南师附中2014届高三数学第一轮复习课课练02函数的概念(教师版)

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高三数学第一轮复习教案第7课时-函数的概念

一．课题：函数的概念二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；2．函数的传统定义和近代定义；3．函数的三要素及表示法．（二）主要方法：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．（三）例题分析：例1．（1），，；（2），，；（3），，．上述三个对应（2）是到的映射．例2．已知集合，映射，在作用下点的象是，则集合（）解法要点：因为，所以．例3．设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（）8个 12个 16个 18个解法要点：∵为奇数，∴当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法．故映射的个数是．例4．矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；（2）求的最大值．解：（1）2111()408(5)5(8)222ABCD CEF ABE ADF S f x S S S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯- ．∵，∴，∴函数的解析式：；（2）∵在上单调递增，∴，即的最大值为．例5．函数对一切实数，均有成立，且，（1）求的值；（2）对任意的，，都有成立时，求的取值范围．解：（1）由已知等式，令，得，又∵，∴．（2）由，令得，由（1）知，∴．∵，∴在上单调递增，∴．要使任意，都有成立，当时，,显然不成立．当时，，∴，解得∴的取值范围是．（四）巩固练习：1．给定映射，点的原象是或．2．下列函数中，与函数相同的函数是（）3．设函数，则＝．五．课后作业：《高考计划》考点7，智能训练5，7，9，10，13，14．。

南师附中2014届高三数学第一轮复习课课练：10 二次函数(2)

§10 二次函数（2）姓名等第1、已知－3和1是关于x 的方程2360x x a ++=的两个实根，则实数a = ，()f x =236x x a ++的最小值为。

2、设x ，y 是关于m 的方程2210m m a -++=的两个实根，则22x y +的最小值是。

3、若不等式250ax x b ++>的解集为11{|}32x x <<，则a 、b 的值分别为________. 4、方程2(2)50x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围是________. 5、已知关于x 的方程2(2)210x m x m +-+-=有一实根在0和1之间，则实数m 的取值范围是_________________.6、函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为___________.7、已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为_________________. 8、函数()23x f x x=+的零点所在的一个区间是（）．Ａ．()2,1--Ｂ．()1,0-Ｃ．()0,1Ｄ．()1,29、设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m +k 的最小值为_______________.10、对于实数a 和b ，定义运算“﹡”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________.11、若不等式4288(2)50x a x a +--+>对于任意实数x 均成立，求实数a 的取值范围.12、已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行,且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数xx g x f )()(=(1)若曲线)(x f y =上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2,求m 的值 (2) )(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点,并求出零点.13、如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．§10 二次函数（2）答案姓名等第1、已知－3和1是关于x 的方程2360x x a ++=的两个实根，则实数a = ，()f x =236x x a ++的最小值为。

江苏省南师附中2014届高三数学第一轮复习课课练：01 集合的概念与运算(教师版)

§01 集合的概念姓名等级一、填空题：1．已知集合A ={1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝．答案：{1，2，4，6}2. 集合{1,2,3,4}共有个子集.答案：163．已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则A ∩B ＝ .答案：{－1,2}4．设集合A ={－1,1,3}，B ={a +2,a 2＋4}，A ∩B ={3}，则实数a = ．答案：1.5．如果集合A ＝{x | ax 2＋2x ＋1＝0}只有一个元素，则实数a 的值为．答案：1或06．已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = .答案：4 7．设{}{}{}22,3,23,|1|,2,5U U m m A m A =+-=+=ð，∁U A ＝{5}，则m ＝．答案：－4或28．已知{}2|230A x x x =-->，{}2|0B x x ax b =++≤，若A ∪B =R ，(]3,4A B = ，则ab ＝．答案：129．若A ={()}2137x x x -<+，则A ∩Z 的元素的个数为．答案：6 10．己知集合2220,2(52)50x x M x x Z x k x k ⎧⎫⎧-->⎪⎪=∈⎨⎨⎬+++<⎪⎪⎩⎩⎭且={－2}，则k 的取值范围为。

答案：－3≤k ＜2二、解答题：11．已知全集I=R ，A ={x |x 2－3x ＋2≤0}，B ={x |x 2－2ax ＋a ≤0,a ∈R }，且B ⊆A ，求a 的取值范围.解：{}|12A x x =≤≤①当2440a a ∆=-<，即01a <<时，B =∅，满足B A ⊆；②当2440a a ∆=-=，即01a a ==或时，若0a =，则{}0B =，不满足B A ⊆，故0a =应舍去；若1a =，则{}1B =，满足B A ⊆，故1a =满足条件；③当2440a a ∆=->，即01a a <>或时，()22f x x ax a =-+的图象与x 轴有两个交点， ∵B A ⊆，∴方程220x ax a -+=的两根位于1，2之间，∴()()2440,12,10,20,a a a f f ⎧∆=->⎪<<⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，解集为空集。

高考数学一轮复习教学案函数及其表示(含解析)

第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分段函数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2，由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值．解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________．解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0，解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。

江苏省南师附中高三数学第一轮复习课课练：函数的单调性教师

§06 函数的单调性姓名等级一、填空题：1．函数y ＝322+--x x 的递增区间是 [―3, ―1] ，递减区间是 [－1, 1] ．2. 已知偶函数f （x ）在〔0，π〕上单调递增，则f （－π）,f （－2π）,f （log 214）从大到小排列为．f （－π）＞f （log 214）＞f （－2π） 3．二次函数f (x )满足(2)(2)f x f x +=-, 又f (x )在] ,[20上是增函数, 且f (a )≥f (0), 那么实数a 的取值范围是．0≤a ≤44．函数22()log (45)f x x x =--的单调增区间为．(5,)+∞5.若函数2()2(1)8f x x a x =--+的单调减区间是(,4]-∞，则实数a 为____3a =-____.6．函数()log |1|a f x x =-在区间(0,1)上递减,那么f (x )在(1, +∞)上递．增7.若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是．)1,43[8. 函数22(31)y ax a x a =--+在[1,+∞)递增,则a 的取值范围是 . [0,1]9. 已知函数f (x )的图象与函数1()()4x g x =的图象关于直线y =x 对称,那么2(2)f x x -的单调减区间是 . (0,1]10．已知2()82f x x x =+-,如果2()(2)g x f x =-,那么g (x )的减区间为． (-1,0)和（0,1）二、解答题：11.求下列函数的单调减区间：⑴)34(log 221-+-=x x y ⑵sin()y x =- （3）2y x x=+(复合函数的单调性(1)(1,2]（2）[2,2],.2k k k Z πππ-∈（3）[2,0),(0,2]-)12.函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x ＞0时，恒有f (x )＞1．(1) 求证: f (x )在R 上是增函数；(2 ) 若f (3 )＝4, 解不等式f (25a a +-)＜2.解：(1)设12x x <, 210x x ∴->, 当0x >时, ()1f x >,21() 1.f x x ∴->2211211()[()]()()1f x f x x x f x x f x =-+=-+-212112()()()10()()f x f x f x x f x f x ∴-=-->⇒<()f x ∴在R 上为增函数(2) ,m n R ∈, 不妨设1m n ==(11)(1)(1)1(2)2(1)1f f f f f ∴+=+-⇒=-(3)4(21)4(2)(1)143(1)24f f f f f =⇒+=⇒+-=⇒-=(1)2,(2)2213f f ∴==⨯-= 2(5)2(1)f a a f ∴+-<=, ()f x 在R 上为增函数25132a a a ∴+-<⇒-<<即(3,2) a ∈-13. 已知函数)0(,11lg)(>∈--=k R k x kx x f 且.（Ⅰ）求函数f （x ）的定义域；（Ⅱ）若函数f （x ）在[10，+∞)上单调递增，求k 的取值范围.解答:（Ⅰ）由1100:0.11x kx k k x x -->>>--及得（1）当0<k <1时，得111,(,1)(,)x x x k k<>∴∈-∞+∞或；（2）当k =1时，得10,1;1x x x R x ->∴≠∈-且（3）当k >1时，得111,(,)(1);x x x k k<>∈-∞+∞或即综上所求函数的定义域：当0<k <1时为1(,1)(,);1k k -∞+∞≥当时为1(,)(1).k -∞+∞ （Ⅱ）由()[10)f x +∞在上是增函数 1011010110k k -∴>>-得. 又11()lg lg()11kx k f x k x x --==+--对任意的1x 、2x ，当2110x x <≤时，有121211()(),lg()lg(),11k k f x f x k k x x --<+<+--即得： 12121111(1)()0,1111k k k x x x x --<⇔--<----又1211,10, 1.11k k x x >∴-<∴<-- 综上可知k 的取值是（1,101）说明: 第（Ⅰ）题:根据对数的真数大于0,将求函数的定义域转化为求关于x 的不等式的解集,为此要对字母系数k 分类讨论求解; 第（Ⅱ）题: 根据单调性的定义,函数f （x ）在[10，+∞)上单调递增等价于()f x 满足对任意的1x 、2x ，当2110x x <≤时，有12()()f x f x <恒成立,根据对数函数的单调性,进一步等价转化为121111k k x x --<⇔--11(1)(1k x ---21)1x - 0<对2110x x <≤恒成立,再根据不等式的性质可得k <1.。

江苏南师附中2014高三数学第一轮复习课课练-函数性质的运用

§07 函数性质运用姓名等级一、填空题：1. 函数①y =|x |＋1；②y ＝－x 2＋1；③y =2－|x |；④y ＝x 2|x |中，既是偶函数又在(0,＋∞)单调递增的函数是．2. 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，f (2) ．3. 函数f (x )＝|ln(2－x )|的增区间是．4. 若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝．5. 已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(a －12)(x －1)，x ＜1，log x a ，x ≥1在区间(－∞,＋∞)内是单调减函数，则a 的取值范围是．6. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“)(x f 为]1,0[上的增函数”是“()f x 为]4,3[上的减函数”的条件．7. 设函数,01)(⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 下面四个结论：①D (x )的值域为{0,1}；②D (x )是偶函数；③D (x )不是周期函数；④D (x )不是单调函数中，正确的是．8. 已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数），若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是．9. 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a -x ＋2,(a ＞0,a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝．10. 设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4 (x ≥0），则{x |f (x －2)＞0}= ．二、解答题：11. 函数()y f x =(0)x ≠是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =，求不等式1[()]02f x x -<的解集.12．已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-，当12a ≤时，讨论()f x 的单调性。

南师附中2014届高三数学第一轮复习课课练02函数的概念(学生版)

§02 函数的概念姓名等级一．填空题：1．函数()y f x =的图象与直线x ＝2的公共点共有个．2．在函数①x y sin 1= ，② x x y ln =，③y ＝xe x ，④x x y sin =中，与函数31xy =定义域相同的函数为．3．已知函数()f x 的定义域为()1,0-,则函数()21f x -的定义域为．4．函数()f x =的定义域为．5．若函数()22log 21y ax ax =++的定义域为R ，则a 的取值范围是．6．已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，则f (log 2x )的定义域为．7．若函数f (x )=log a (x +1)(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是［0，1］，则a 等于．8．若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间内．9．如果函数f (x )=ax -1的定义域为[－21，+)∞，那么实数a 的取值是．10．若一系列函数的解析式相同值域相同但是定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y =2x 2+1,值域为{1,5}的孪生函数共有个．40m二．解答题：11．判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？（1）3)5)(3(1+-+=x x x y ；52-=x y （2）111-⋅+=x x y ；)1)(1(2-+=x x y （3）21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f（4） f (n )=2n -1,g (n )=2n +1,(n ∈Z )．（5）||)(2x x x f =， ⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈=)0,(,),0(,)(t t t t t g12．求下列函数的定义域：（1）1lg 4x y x -=-；（2）lg 4y x x =-13．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 求其边长x (单位m )的取值范围．三．反思与小结：。

江苏省南师附中2014届高三数学第一轮复习幂函数、指数函数、对数函数课时训练苏科版

§12 幂函数、指数函数、对数函数1、已知幂函数()223m m y x m Z --=∈的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，则m ＝ .2、若函数()0,1x y a b a a =->≠的图象不过第二象限，则a 、b 的取值范围分别是3、直线2y a =与函数()10,1x y a a a =->≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 .4、函数132x y -=的定义域为__________,值域为___________.5、设函数()f x 定义在实数集上，它的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则2()3f 、1()3f 及3()2f 的大小顺序为__________..6、若函数f （x ）=log a （x +1）（a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a 等于 .7、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， .8、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是9、已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++的值等于．10、设2()lg()1f x a x=+-的奇函数，则使得()0f x <的x 的取值范围是_________ 11、已知910390x x -⋅+≤，求函数1114242x x y -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值与最小值。

12、已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1)（1）证明函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数（2）证明：方程f (x )=0没有负数根13、已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。

江苏省南师附中高三数学第一轮复习课课练：函数解析式教师

§04 函数的解析式姓名等级一．填空题：1．已知2(1)21f x x +=+，则(1)__________f x -=．2289x x -+2．已知()f x 是二次函数，且()02f =，()()11f x f x x +-=-，则()f x =213222x x -+ 3．函数f (x )＝若f (a )＝12，则a = ．-14．已知定义在),0[+∞的函数⎩⎨⎧<≤≥+=)20()2(2)(2x xx x x f , 若425)))(((=k f f f ，则实数=k 235. 已知()21cos sin f x x -=，则()f x = ．[]()220,2x x x -∈ 6．若f (x )＋21f (x1)＝x , 则 f (x )＝．x x 3234-7．已知函数()()x g x f ,分别由下表给出：则()[]1g f 的值；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值 .8. 已知2211()x x f x x x+++=，则()f x =__________________；21x x -+，x R ∈且0x ≠ 9. 已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足2()()21f x g x x x +=+-，则()f x =____________________，()g x =__________________.2x ，21x -10. 已知函数2()f x x x =+与()y g x =的图像关于直线2x =对称，求()g x 的解析式为．2920x x -+二．解答题11．已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；解：设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+，⎩⎨⎧≤>.,,,log 0202x x x x∴2a =，7b =，∴()27f x x =+。

江苏高考数学一轮复习《函数的概念》教程学案

第二章函数____第5课__函数(hánshù)的概念____1. 体会(tǐhuì)函数是描述两个变量之间依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．2. 了解(liǎojiě)构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些(y īxi ē)简单函数的定义域和值域．3. 了解(liǎojiě)映射的概念，进一步了解函数是非空数集到非空数集的映射.1. 阅读：必修1第23～27页及第46页．2. 解悟：①读懂函数定义，并思考初中的函数定义与高中课本函数的定义是否相同？《函数》这一章节为何置于《集合》章节之后？②圈画函数定义中的关键词，准确理解函数的概念，并思考式子y 2＝x 中变量y 是变量x 的函数吗？为什么？③阅读第46页，思考映射和函数有什么区别和联系？怎样的映射不是函数，你能举例吗？④函数的三要素有哪些？怎样才能算相同的函数？至少需要满足几个条件？3. 践习：在教材空白处，完成第26～27页练习第4、6、7题.基础诊断1. 下列对应法则f 中，不是从A 到B 的函数的序号是__③__．①A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，B ＝{－6，－3，1}，f ⎝⎛⎭⎫12＝－6，f(1)＝－3，f ⎝⎛⎭⎫32＝1； ②A ＝{1，2，3}，B ＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ③A ＝B ＝{1，2，3}，f(x)＝2x －1； ④A ＝B ＝{x|x ≥1}，f(x)＝2x ＋1；⑤A ＝Z ，B ＝{－1，1}，当n 为奇数时，f (n )＝－1；当n 为偶数时，f (n )＝1. 解析：根据函数的定义，①②④⑤中，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应；在③中f (3)＝5，集合B 中没有元素与集合A 中的3对应，故不是从A 到B 的函数．2. 判断(pànduàn)下面说法是否正确．(在括号中画“√”或“”)(1) f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0，－1， x<0表示同一(tóngyī)函数．()解析(jiě xī)：因为函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，函数g(x)的定义域为R ，定义域不同，所以表示的不是(bù shi)同一函数，故是错误的．(2) 若两个函数(hánshù)的定义域与值域相同，则这两个函数相同. ()解析：若两个函数的定义域、值域和对应法则都相同，则这两个函数相同，故是错误的．(3) 若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．()解析：若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，所以1≤2x －1<3，解得1≤x <2，所以函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <2}，故是错误的．(4) 函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个．( √ )解析：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个自变量x ，存在唯一的函数值y 与之对应，所以函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有一个．(5) 函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是[1，＋∞)．()解析：因为x 2≥0，所以x 2＋4≥4，所以x 2＋4≥2，所以f (x )＝x 2＋4＋1≥3，所以函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是[1，＋∞)是错误的．(6) f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．( √ )解析：因为函数f (x )与函数g (x )的定义域、对应法则和值域都相同，故函数f (x )与函数g (x )是同一函数．3. 设一函数的解析式为f(x)＝2x ＋3，它的值域为{－1，2，5，8}，则函数f(x)的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52__．解析：当f(x)＝－1时，2x ＋3＝－1，解得x ＝－2；当f(x)＝2时，2x ＋3＝2，解得x ＝－12；当f(x)＝5时，2x ＋3＝5，解得x ＝1；当f(x)＝8时，2x ＋3＝8，解得x ＝52，所以(suǒyǐ)函数f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52.4. 函数(hánshù)y ＝f(x ＋1)的值域为[3，5]，则函数y ＝2f(x)的值域为__[6，10]__．解析(jiě xī)：因为函数(h ánsh ù)y ＝f(x ＋1)的值域为[3，5]，函数f(x)是将函数f(x ＋1)的图象(tú xiàn ɡ)向右平移1个单位长度得到的，所以f(x)的值域也为[3，5]，所以2f(x)的值域为[6，10]．5. 若函数y ＝ax 2＋ax ＋2的定义域为R ，则a 的取值范围是__[0，8]__．解析：由题意得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ×2≤0，解得0≤a ≤8，所以a ∈[0，8]．范例导航考向❶ 求函数的定义域例1 求下列函数的定义域：(1) y ＝12－|x|＋x 2－1； (2) y ＝xlog 12（2－x ）.解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|≠0，x 2－1≥0，解得x ≠±2或x ≥1或x ≤－1，故函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，＋∞)．(2) 由题意0<2－x<1，解得1<x<2，故函数的定义域为(1，2)．已知函数f(x)＝2x －11－x，若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称．记y ＝g(x)的定义域为A ，不等式x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0的解集为B.若A 是B 的真子集，求实数a 的取值范围．解析(jiě xī)：由题意得g(x)＝－－2x －11＋x，所以(suǒyǐ)⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，－2x －11＋x ≥0，解得－1<x ≤－12，所以(suǒyǐ)A ＝⎝⎛⎦⎤－1，－12. 解不等式x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0，解得a －1≤x ≤a ，即B ＝[a －1，a]．因为(yīn wèi)A 是B 的真子集，所以(suǒyǐ)⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤－1，a ≥－12，解得－12≤a ≤0，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，0. 考向❷ 求函数的值域例2 求下列函数的值域：(1) y ＝x 2＋2x(x ∈[0，3])； (2) y ＝2x －3x ＋1(x ≤－2)； (3) y ＝x －1－2x ； (4) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解析：(1) 因为y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，所以该函数在[0，3]上单调递增，所以该函数在[0，3]上的最大值为15，最小值为0，所以函数的值域为[0，15]． (2) 由题意(tí yì)得y ＝2x －3x ＋1＝2－5x ＋1. 因为(yīn wèi)x ≤－2，所以(suǒyǐ)－1≤1x ＋1<0，所以(suǒyǐ)0<－5x ＋1≤5，所以(suǒyǐ)2<2－5x ＋1≤7，故该函数的值域为(2，7]．(3) 令1－2x ＝t ，t ≥0，所以x ＝1－t 22，所以原函数可转化为y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，因为t ≥0，所以函数在[0，＋∞)上单调递减，所以y ≤12，所以原函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，12. (4) y ＝log 3x ＋log x 3－1＝log 3x ＋1log 3x －1，所以若log 3x>0，则log 3x ＋1log 3x －1≥1，当且仅当log 3x ＝1log 3x，即log 3x ＝1时取等号，此时y ≥1；若log 3x<0，则－⎝⎛⎭⎫－log 3x ＋1－log 3x －1≤－2－1＝－3，当且仅当log 3x ＝－1时等号成立，此时y ≤－3，所以原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．求下列函数的值域： (1) y ＝x 2－xx 2－x ＋1；(2) y ＝4x 2＋8x ＋136（x ＋1）(x>－1)．解析(jiě xī)：(1) 由题意得y ＝x 2－x x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1＝1－1⎝⎛⎭⎫x －122＋34.因为(yīn wèi)⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，所以(suǒyǐ)0<1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤43，所以(suǒyǐ)－13≤y<1，故函数(hánshù)的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (2) 由题意得y ＝4x 2＋8x ＋136（x ＋1）＝4（x ＋1）2＋96（x ＋1）＝23(x ＋1)＋32（x ＋1）.因为x>－1，所以x ＋1>0，所以23(x ＋1)＋32（x ＋1）≥2，当且仅当23(x ＋1)＝32（x ＋1），即x ＝12时取等号，故函数的值域为[2，＋∞).考向❸ 函数定义域和值域的综合例3 已知函数f(x)＝1＋x ＋1－x.(1) 求函数f(x)的定义域和值域；(2) 设f(x)＝a2{[f(x)]2－2}＋f(x)(a 为实数)，当a<0时，求f(x)的最大值g(a)．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≥0，解得－1≤x ≤1，所以函数的定义域为[－1，1]．又[f(x)]2＝2＋21－x 2∈[2，4]，f(x)≥0，所以f(x)∈[2，2]．(2) f(x)＝a2{[f(x)]2－2}＋f(x)＝a 1－x 2＋1＋x ＋1－x ，令t ＝f(x)＝1＋x ＋1－x ，则1－x 2＝12t 2－1，所以(suǒyǐ)f(x)＝m(t)＝a ⎝⎛⎭⎫12t 2－1＋t ＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]．由题意(tí yì)知g(a)即为函数m(t)＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]的最大值，t ＝－1a 是抛物线m(t)＝12at 2＋t －a 的对称轴．因为(yīn wèi)a<0时，函数y ＝m(t)，t ∈[2，2]的图象(tú xiàn ɡ)是开口向下的抛物线的一段，①若t ＝－1a ∈(0，2]，即a ≤－22，则g(a)＝m(2)＝2；②若t ＝－1a ∈(2，2]，即－22<a ≤－12，则g(a)＝m ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－a －12a ； ③若t ＝－1a ∈(2，＋∞)，即－12<a<0，则g(a)＝m(2)＝a ＋2.综上所述，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2，－12<a<0，－a －12a ，－22<a ≤－12，2， a ≤－22.自测(zì cè)反馈1. 函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为(－1，1)．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x>－1，－4<x<1，所以－1<x<1，故定义域为(－1，1)．2. 若函数f(x)＝3x －5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫0，34__．解析：由题意得kx 2＋4kx ＋3＝0无解，所以k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝16k 2－12k <0，解得0≤k <34，故实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34.3. 若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域为__(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2__．解析：因为(yīn wèi)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，且在区间(qū jiān)(－∞，1)和[2，5)上单调(dāndiào)递减，当x ∈(－∞，1)时，y<0；当x ∈[2，5)时，12<y ≤2，即函数(hánshù)的值域为(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2.4. 若函数(hánshù)y ＝ax ＋31－2x的值域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，则实数a 的值为__4__．解析：由题意得ax ＋31－2x ≠－2，化简得(a －4)x ≠－5，要使x 取任意值时，(a －4)x ≠－5恒成立，所以a ＝4.故实数a 的值为4.1. 初中函数是看成刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，高中将函数定义为建立在两个非空数集上的单值对应，同时高中函数的种类有所增加，如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等．2. 准确理解函数定义中的关键词(非空数集，对应法则，每一个，唯一，定义域)3. 你还有哪些体悟，写下来：内容总结。

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第1节函数的概念及其表示练习新人教A版-新人教A版

第二章第 1 节函数的概念及其表示[基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] [学生用书课时冲关四文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]．答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0，解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．[学生用书课时冲关四文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]．答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0，解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]．答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0，解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。

2014届高三数学一轮复习精讲精练：2.1函数的概念

2014届高三数学一轮复习精讲精练：2.1函数的概念2019高中数学精讲精练第二章函数【知识导读】【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等． 2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为映特函具一概图表示定义域单调性基本幂函指数对数二次指对互函数应用lg10x y =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____． 3.写出下列函数定义域： (1) ()13f x x =-的定义域为______________； (2)21()1f x x =-的定义域为______________；(3) 1()1f x x x=+的定义域为______________； (4)0(1)()x f x x x+-_________________．4．已知三个函数:(1)()()P x y Q x =； (2)2()ny P x =(*)n N ∈；(3)()log()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：(1)______________________； (2)______________________；(3)______________________________． 5.写出下列函数值域：1 2 2 x y O ①y 1 2 2 x O ② 1 22 x O ③y1 2 2 xO ④yR {1}x x ≠±[1,0)(0,)-⋃+∞ (,1)(1,0)-∞-⋃- ()0Q x ≠ ()0P x ≥ ()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠(1) 2()f x x x=+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}． (2) 2()22f x xx =-+；值域是[1,)+∞．(3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈．值域是(2,3]．【范例解析】例 1.设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()11f x x x =+-，2()1g x x =-③2()21f x x x =-+()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．例 2.求下列函数的定义域：① 2112y x x=+--； ②12()log (2)xf x x =-解：（1）① 由题意得：220,10,x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞．② 由题意得：12log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．例3.求下列函数的值域：（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；（2）221x y x =+()x R ∈；（3）21y x x =-+分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．（1）解：2242(2)2y x x x =-+-=--+，[0,3)x ∈，∴函数的值域为[2,2]-；（2）解法一：由2221111x y x x ==-++，21011x <≤+，则21101x -≤-<+，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．解法二：由221x y x =+，则21y xy=-，20x ≥，∴01yy≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．（3）解：1x t +=(0)t ≥，则21x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--，当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】1．函数f (x )＝x21-的定义域是___________．2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为(,0]-∞(1,2)(2,3)⋃_________________． 3. 函数21()1y x R x=∈+的值域为________________．4. 函数23134y x x =-+-的值域为_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为_____________________．6.记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x－a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：(1)由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，x <－1或x ≥1，即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．(2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ．∵B ⊆A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1，∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)． (,4]-∞13[,0)(,1]44-⋃。

江苏专版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示学案理含解析050649.doc

第一节函数及其表示1．函数的概念 (1)定义：设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(5)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．(2019·无锡一中期中测试)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为________．解析：由题意知，x 2－x ＞0，即x ＜0或x ＞1. 则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)2．已知f (x )＝x －1，则f (2)＝________. 解析：令x ＝2，则x ＝4，所以f (2)＝3. 答案：33．(2019·海头高级中学高三期中)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 3x ，x ＞0，3－log 2－x ，x ＜0，则f (3)＋f (－2)＝________.答案：54．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，－x ，x ＞1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得当x ≤1时，3x＝2，所以x ＝log 32；当x ＞1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32. 答案：log 321．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．(2019·常州一中检测)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，log 2x －，x ＞1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：因为52＞1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝log 232，又因为log 232＜1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝223log 2－2＝－12.答案：－122．(2018·苏州中学测试)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1，则函数f (x )的解析式为________．解析：用1x代替3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1中的x ，得3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋5f (x )＝3x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3f x ＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f x ＝3x ＋1， ②②×5－①×3得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．答案：f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)考点一函数的定义域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·常州期末)函数y ＝1－x ＋lg(x ＋2)的定义域为________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋2＞0，解得－2＜x ≤1，故所求函数的定义域为(－2,1]．答案：(－2,1]2．(2018·南通中学高三测试)函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为________________．解析：由函数y ＝1－x22x 2－3x －2得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，13．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是________．解析：令t ＝x ＋1，由已知函数的定义域为[1,2 019]，可知1≤t ≤2 019.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 019，解得0≤x ≤2 018，故函数f (x ＋1)的定义域为[0，2018]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 018，x －1≠0，解得0≤x ＜1或1＜x ≤2 018.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1，2 018]．答案：[0,1)∪(1,2 018]4．(2018·南京师范大学附中模拟)函数f (x )＝log 12x －的定义域是________．解析：由题意得log 12(2x －3)≥0⇒0＜2x －3≤1⇒32＜x ≤2，即函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2[谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．考点二求函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )；(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，求f (x )的解析式；(5)已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．解：(1)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(2)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(3)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x ＞0，所以t ＞1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x ＞1. (4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x，② ①×2－②，得，3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 所以f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3. (5)(赋值法)令x ＝0，得f (－y )＝f (0)－y (－y ＋1)＝1＋y 2－y ，所以f (y )＝y 2＋y ＋1，即f (x )＝x 2＋x ＋1.[由题悟法]求函数解析式的5种方法1．(2019·如皋测试)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝kx ＋b ，由f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，所以k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，即f (x )＝x ＋1. 答案：x ＋12．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1，x ≥1.法二：(配凑法)因为x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1，即f (x )＝x 2－1，x ≥1. 考点三分段函数题点多变型考点——多角探明[锁定考向]分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透着分类讨论的数学思想，高考对分段函数的常见的命题角度有：(1)分段函数的求值问题； (2)求参数或自变量的值与范围； (3)分段函数与不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的求值问题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x ＋，－1＜x ≤0，tan π2x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫33－1＝________. 解析：因为－1＜33－1≤0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 333＝12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫33－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝tan π4＝1.答案：1角度二：求参数或自变量的值与范围2．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 12，x ∈[0，＋，|sin x |，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，若f (a )＝12，则a ＝________.解析：若a ≥0，由f (a )＝12得，a 12＝12，解得a ＝14；若a ＜0，则|sin a |＝12，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，解得a ＝－π6.综上可知，a ＝14或－π6.答案：14或－π6角度三：分段函数与不等式问题3．(2018·如东期末)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2e x，x ≥0，x2ex ，x ＜0，则使得f (2x ＋1)＞f (x －1)成立的x 的取值范围是________．解析：当x ＞0时，f (－x )＝x 2e x＝f (x )，且为增函数，同理当x ＜0时，f (－x )＝x 2ex ＝f (x )，且为减函数，所以f (x )关于y 轴对称，且左减右增．要使f (2x ＋1)＞f (x －1)，则需|2x ＋1|＞|x －1|，两边平方化简得x 2＋2x ＞0，解得x ＜－2或x ＞0，故所求x 的取值范围是(－∞，－2)∪(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)[通法在握]1．分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．2．分段函数与不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]1．(2019·姜堰中学测试)已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为________．解析：因为f (10)＝f (100－90)＝lg 100＝2，f (－100)＝f (－10－90)＝－(－10)＝10，所以f (10)－f (－100)＝2－10＝－8. 答案：－82．(2018·无锡高三第一学期期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1x 2，x ≤－12，log 121＋x 2，x ＞－12，g (x )＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是________．解析：当x ≤－12时，f (x )＝1＋2x －1x2＜1，此时f (x )＝1＋2x －1x 2＝1＋2x －1x 2在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上单调递减，易求得f (x )∈[－7,1)；当x ＞－12时，f (x )＝log 121＋x2，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减，易求得f (x )∈(－∞，2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．故存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0⇒－g (b )＝f (a )∈(－∞，2)⇒b 2＋2b ＋2＜2⇒b ∈(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2018·南通期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，2x －1，x ＜0，则不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0的解集为__________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，2x －1，x ＜0的图象如图所示，所以f (x )是定义域为R 的奇函数也是增函数，所以不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0⇔ f (x 2－2)＜f (－x )⇔x 2－2＜－x ，解得－2＜x ＜1，所以原不等式的解集为(－2,1)．答案：(－2,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2019·淮安调研)函数f (x )＝－x2的定义域是________．解析：由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1，即x 2≤4，解得－2≤x ≤2. ∴函数f (x )＝－x2的定义域是[－2,2]．答案：[－2,2]2．(2018·苏州高三期中调研)函数y ＝1x －的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －，解得x ＞1，且x ≠2，所以函数的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．答案：(1,2)∪(2，＋∞)3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a ＝________. 解析：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a＝74. 答案：744．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.答案：2x －235．(2019·盐城模考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1，若f (0)＝3，则f (a )＝________.解析：因为f (0)＝3，所以a －2＝3，即a ＝5，所以f (a )＝f (5)＝9. 答案：96．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x， x ＞1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．解析：因为f (2)＝12，所以f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. 当x ＞1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)，所以f (x )∈[－3，＋∞)．答案：－52[－3，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·如东高级中学高三学情调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.解析：因为f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.答案：92．(2018·苏州期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________．解析：画出f (x )的图象如图所示，可看出函数的值域为(－∞，1]．答案：(－∞，1]3．(2018·南京名校联考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案：94．(2019·南通调研)函数f (x )＝11－x＋lg(x ＋1)的定义域是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，x ＋1＞0⇒x ＞－1且x ≠1，所以函数f (x )的定义域是(－1,1)∪(1，＋∞)．答案：(－1,1)∪(1，＋∞)5．(2018·启东中学检测)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]6．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 答案：①③7．(2019·扬州一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数，则f (g (2))＝________.解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数，所以当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝2x －2＝－f (x )，所以f (x )＝－2x ＋2，即g (x )＝－2x ＋2.所以g (2)＝－22＋2＝－2，f (g (2))＝f (－2)＝22－2＝2.答案：28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋1，x ≤1，a x －1，x ＞1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：149．(2019·泰州一调)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≥2，x 2－3x －2，x ＜2，若f (x )＞2，则x 的取值范围是________．解析：不等式f (x )＞2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －3＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x 2－3x －2＞2，解得x ＞52或x ＜－1.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞10．(2019·无锡一中月考) 已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．解析：要使函数g (x )有意义，需f (x )＞0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )＞0.答案：(2,8]11．(2019·南京金陵中学月考)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确定实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，得x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1＞m ，对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min ＞m ，又因为g (x )在[－1,1]上递减，所以g (x )min ＝g (1)＝－1，故m ＜－1，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)．12．(2018·南京期末)已知二次函数f (x )满足f (1)＝1，f (－1)＝5，且图象过原点． (1)求二次函数f (x )的解析式； (2)已知集合U ＝[1,4]，B ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝f xx 2，x ∈U ，求∁U B .解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为f (1)＝1，f (－1)＝5，且图象过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x . (2)y ＝f x x 2＝3－2x，当x ∈[1,4]时，函数y ＝3－2x是增函数，当x ＝1时，y 取得最小值1；当x ＝4时，y 取得最大值52，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52，又集合U ＝[1,4]，故∁U B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤52，4.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________.解析：当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34.答案：－342．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，若当0≤x ≤2时，f (x )＝x (2－x )，则当－4≤x ≤－2时，f (x )＝________.解析：由题意知f (x ＋4)＝2f (x ＋2)＝4f (x )，当－4≤x ≤－2时，0≤x ＋4≤2，所以f (x )＝14f (x ＋4)＝14(x ＋4)[2－(x ＋4)]＝－14(x ＋4)(x ＋2)，所以当－4≤x ≤－2时，f (x )＝－14(x ＋4)(x ＋2)．答案：－14(x ＋4)(x ＋2)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.因为x ≥0，所以0≤x ≤70. 故行驶的最大速度是70千米/时．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

3.1.1函数的概念(第二课时)

例题巩固
题型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域：
(1)y＝ x－1； (2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}； (3)y＝2xx－＋31； (4)y＝2x－ x－1.
例题巩固
解 (1)(直接法)∵ x≥0，∴ x－1≥－1，∴y＝ x－1 的值域为[－1，＋∞). (2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3， 2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}. (3)(分离常数法)y＝2xx－＋31＝2（x－x－3） 3 ＋7＝2＋x－7 3，显然x－7 3≠0，所以 y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
结பைடு நூலகம்图象可得函数的值域为(－∞，4].
课堂小结
1．构成函数的三要素：定义域，对应关系和值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函
数是同一个函数．
2．求函数定义域的依据 1）分式中分母不为零； 2）偶次根式内的式子不小于零； 3）0的0次方无意义；若某函数是由多个函数通过加、减、乘运算构成的新函数，则该函数
例题巩固
题型一同一函数的判断
【例1】 (1)下列各组函数：
①f(x)＝x2－x x，g(x)＝x－1；②f(x)＝
xx，g(x)＝
x； x
③f(x)＝（x＋3）2，g(x)＝x＋3；④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系 f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数 g(x)＝
与初中的函数概念相比，要特别注意定义域必须符合题目要求．
定义辨析
一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域. 因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。例如，前面的问题1和问题2中，尽管两个函数的对应关系都是y=350x，但它们的定义城不相同，因此它们不是同一个函数;同时，它们的定义域都不是R，而是R的真子集,因此它们与正比例函数y=350x(x∈R)也不是同一个函数. 函数u=t2，t∈(-∞，+∞),x=y2，y∈(-∞，+∞)与y=x2，y∈(-∞，+∞)，虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数.

高三数学一轮复习 2.2《函数的定义域、值域和解析式》课件

1．求函数的定义域 (1)由函数的解析式能够求出定义域，求出的定义域应该用集合或区间表示． (2)求实际问题的函数定义域时，除了使解析式有意义，还要考虑实际问题对函数自变量的制约． (3)在函数的三要素中，定义域是基本要素，当对应法则和定义域确定之后，其值域相应被确定，研究函数性质必须从定义域出发．特别要重视函数定义域在解决方程、不等式等问题和在研究函数最值、奇偶性、周期性、单调性等问题中所起的作用．
答案： A [阅后报告] 本题考查了对数函数和指数函数的值域，试题难度较低．
试求f(x)＝loga(ax＋1)的值域．
解析：答案： A
解析：答案： C
3．(2009·陕西卷)若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1 －|x|)的定义域为N，则M∩N为( )
A．[0,1) B．(0,1) C．[0,1] D．(－1,0] 解析：不等式x2－x≤0的解集是{x|0≤x≤1}，而函数f(x)＝ ln(1－|x|)的定义域为{x|－1<x<1}，所以M∩N是[0,1)，故选A. 答案： A
3．求函数解析式的常用方法 (1)定义法(配凑法)：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x) 表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可； (2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，得f(t)的解析式即可； (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可； (4)解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关系式，通过解关于f(x)的方程组求f(x)．
[变式训练] 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．解析： (1)∵f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x，令1－cos x＝t，则cos x＝1－t. ∵－1≤cos x≤1，∴0≤1－cos x≤2，∴0≤t≤2， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t(0≤t≤2)，故f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)． (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0知c＝0，f(x)＝ax2＋bx. 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

江苏省南师大附中高三数学精品学案二函数基础教师版

二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有34个，B 到A 的映射有43个；A 到B 的函数有81个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有6个。

函数)(x y ϕ=的图象与直线a x =交点的个数为 0 或1个。

二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

相同函数的判断方法：①定义域相同；②对应法则一样 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：（2）函数定义域的求法：①)()(x g x f y =，则g （x ）0≠； ②)()(*2N n x f y n ∈=则f （x ）0≥； ③0)]([x f y =，则f （x ）0≠； ④如：)(log )(x g y x f =，则{()00()1()1g x f x f x ><<>或；⑤含参问题的定义域要分类讨论；⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

如：已知扇形的周长为20，半径为r ，扇形面积为S ，则==)(r f S -r 2+10r ；定义域为（0，10）。

（3）函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x dcx bax y ∈++=； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k xkx y ，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

【南京一轮复习】第1课函数的概念及其表示法

第二章函数与导数数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休！——华罗庚正确的结果，是从大量错误中得出来的，没有大量错误做台阶，也就登不上最后正确的宝座。

——钱学森【知识网络化】第1课函数的概念及其表示法【课前自主探究】※考纲链接（1）理解函数的概念；理解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），了解映射的概念．（2）理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．※ 教材回归◎基础重现：1．函数的概念：设A ，B 是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对集合A 中的元素x ，在集合B 中都有的元素y 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：()y f x =，x A ∈．其中叫做函数()y f x =的定义域；将所有叫做函数的值域．2．函数的相等函数的定义含有三个要素：、和．当函数的定义域及对应法则确定后，函数的值域也随之确定．因此，定义域和对应法则是函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的和都分别对应相同时，两个函数才是同一个函数．3．映射的定义设A 、B 两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有的元素与之对应，那么，这样的对应关系叫做集合A 到集合B 的映射，记作：:f A B →．4．函数的表示法（1）解析法：；（2）列表法：；（3）图象法：．基础重现答案：1．每一个，唯一，所有的输入值x 组成的集合A ，输出值y 组成的集合． 2．定义域A 、值域C 、对应法则f ．定义域，对应法则． 3．唯一．4．（1）把两个变量的函数关系用一个等式来表示；（2）列出表格来表示两个变量之间的函数关系；（3）用函数图象表示两个变量之间的关系． ◎思维升华：1．函数()y f x =的图象与直线x a =的交点个数为．2．对应关系:f A B →是从集合A 到集合B 的一个函数，则函数()f x 的值域C B ．3．已知a 为实数，函数x x x a x f -+++-=111)(2．设t ＝x x -++11，请把f (x )表示成关于t 的函数m (t )．思维升华答案：1．0个或1个． 2．⊆．3．由1+x ≥0且1-x ≥0，得-1≤x ≤1，而22[2,4],t =+于是有2112t =-．所以m(t)=a(2112t -)+t=21,2at t a t +-∈．※ 基础自测1．设M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N 的函数关系的是．(填序号)．答案： ②③ 2．（2010·盐城模拟）在下列四组函数中：（1）2()()f x g x ==；（2）()log (0,1),()xa f x a a a g x =>≠=（3）0()1,()(1)f x g x x ==-；（4）29(),()33x f x g x x x -==-+，能表示同一函数的是（填写序号）答案：（2）3．若(21)12,()f x x f x +=-=则．答案：2x -+ 解析：(21)12212(21)2,f x x x x +=-=--+=-++则()2f x x =-+ 4．（2010年．陕西卷文）已知函数()f x ＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若((0))4f f a =，则实数a = ．答案：2 解析：(0)2f =，((0))(2)424f f f a a ==+=，所以2a =． 5．（2010·泰州调研）在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，总价应是元答案：344000 解析：设,y kx b =+把800,1000x y ==和700,2000x y ==代入得，109000y x =-+，把400y =代入，得860x =，则总价344000元．【课堂师生共探】※ 经典例题○题型一对函数概念的理解例1 判断下列对应法则是否为函数：（1）2231,x y x x x R →=--∈；（2）,x y →这里2y x =，,x R y R +∈∈；（3）x y →=,x R y R ∈∈；（4）{(,)|,},,A x y x y R B R =∈=对任意(,),x y A ∈(,)3x y x y →+．分析：判断标准：根据给出的定义域和对应法则，看自变量x 在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之相对应．解：（1）对于任意一个实数x ，2231y x x =--都被x 唯一确定，所以当x R ∈时，2231y x x =--是函数；（2）考虑当1x =时，得到1y =±，这里x 的一个值与y 的两个值对应，所以这里2y x =不是函数；（3）变量x 的取值范围是空集，与函数的定义相矛盾，所以x y →=不函数；（4）由于集合A 不是数集，所以此对应法则不是函数．点评：函数定义是我们理解和掌握函数的基础，定义中的“非空数集”、“唯一确定”等关键词容易被忽视，应引起足够的重视． ○题型二对同一函数的判断例2 试判断下列各组函数是否为同一函数：（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；（3）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1．分析：对于两个函数y =f （x ）和y =g （x ），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y =f （x ）和y =g （x ）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，我们一般只要先考查定义域，再考虑对应法则即可．解：（1）由于f （x ）=2x =|x |，g （x ）=33x =x ，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴f （x ）=1212++n n x =x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1=x ，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（3）由于函数f （x ）=x x ||的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x 的定义域为R ，所以它们不是同一函数；（4）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数．点评：，（1）第（4）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，f （t ）=t 2+1，f （u +1）=（u +1）2+1都可视为同一函数．（2）对两个函数来说，只要函数三要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数．变式训练：下面各题中两个函数是否表示同一函数：(1) ()||,()f x x x ϕ== (2) 2y y ==；(3) y y ==； (4) y y ==解析：对于(1)，在公共定义域R 上， ()||,()f x x x ϕ==是表示形式不同，这两个式子表示同一函数；对于(2)和(3)，它们的定义域不同，不表示同一函数；对于(4)，定义域均为[1,1]-，y ==○题型三函数解析式的的探求例3 根据下列条件求各函数的解析式：（1）已知函数2,0()21,(),1,0x x f x x g x x ⎧≥=-=⎨-<⎩求(())f g x 的解析式；（2）已知2(1)f x +=()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，求()f x ；（4）已知2211()3f x x x x+=+-，求()f x ；解析：(1)当0x ≥时，22(())()21f g x f x x ==-，当0x <时，(())(1)2(1)13f g x f =-=⨯--=-，则221,0(())3,0x x f g x x ⎧-≥=⎨-<⎩．（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-，∴()()(1)22f t f x x ==>．（3）设()f x ax b =+，则有2(())()()f f x f ax b a ax b b a x ab b =+=++=++，即241a ab b ⎧=⎨+=-⎩，解得22113a a b b =⎧=-⎧⎪⎨⎨==-⎩⎪⎩或，1()2()213f x x f x x =-=-+或．（4）2222111()25()5,()5(22)f x x x f x x x x x x x+=++-=+-=-≤-≥则或点评：在采用整体换元法求解时一定要注意所换的元的取值范围，不但要从式子形式上确定其取值范围，还要注意题目的限制条件；待定系数法是求函数解析式的重要方法，用这种方法求解析式的前提是知道所求的函数类型．变式训练： (1)已知3311()1f x x x x-=-+，求()f x ． (2)二次函数()y f x =对任意x R ∈，有2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式．解析：(1)33111()()3()1,()31f x x x f x x x x x x -=---+=-+则．(2)设2(),(0)f x ax bx c a =++≠，由题意可得 222(1)(1)(1)(1)24a x b x c a x b x c x x +++++-+-+=-，即2222(22)24ax bx a c x x +++=-，所以得121a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以2()21f x x x =--．例4 某上市股票在30天内每股的交易价格()P x 与时间()t x 组成有序数对(,)t P ，点(,)t P 落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示．（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（3）在（2）的结论下，用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数式，并求出这30天中第几个日交易额最大，最大值为多少？分析：考虑到点(,)t P 在两段线段上，则P 与t 的函数解析式应分段考虑；由表格确定的Q 与t的关系已知是一次函数，则可用待定系法求解解析式．解：（1）由已知有**12,020,518,2030,10t t t N P t t t N ⎧+<≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩（2）设(,)Q at b a b =+为常数，将（4，36）与（10，30）代入，得436,1030a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,40a b =-=．日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式为*40,030,Q t t t N=-<≤∈．（3）由（1）（2）可得，．**1(2)(40),020,51(8)(40),2030,10t t t t N y t t t t N ⎧+⨯-<≤∈⎪⎪=⎨⎪-+⨯-<≤∈⎪⎩，即2*2*1680,020,5112320,2030,10t t t t N y t t t t N ⎧-++<≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩若020t <≤，则当15t =时，max 125y =；若2030t <≤，则因函数211232010y t t =-+在(20,30]上是减函数，(20)(15)125y y y ∴<<=．点评：这个问题中，函数关系是通过表格和图象的方式分别出，而图象是由两条线段构成，因此，需分段建立函数解析式，分段求解最值，再比较，最后确定整个函数的最值．变式训练：某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合．将A 、B 两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d ＝________，其中t∈［0，60］．答案： 60sin10tπ．解析：由题意，得当时间经过t(s)时，秒针转过的角度的绝对值是30602tt ππ=弧度，因此当t∈(0，30)时，30t AOB π=∠，由余弦定理，得30cos 55255222td π⨯⨯-+= 60sin 100)30cos 1(502tt ππ=-=， 60sin 10t d π=；当t∈(30，60)时，在△AOB 中，302t AOB ππ-=∠，由余弦定理，得60sin 100)30cos 1(50)302cos(552552222t t t d ππππ=-=-⨯⨯-+=，60sin 10td π=，且当t ＝0或30或60时，相应的d(cm)与t(s)间的关系仍满足60sin 10td π=．综上所述， 60sin 10td π=，其中t∈［0，60］．※高考新题零距离1．（2010·陕西高考题）某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为．答案：3[]10x y += 解析：设)90(10≤≤+=ααm x ，，时⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤<x m m x αα时当，所以3[]10x y +=． 2．（2009·福建高考题）下列四个函数（1）()ln f x x =；（2）1()f x x=；（3） ()||f x x =；（4）()xf x e =中，与函数y=有相同定义域的是．答案： (1) 解析解析由y=可得定义域是0.()ln x f x x >=的定义域0x >；1()f x x=的定义域是x ≠0；()||f x x =的定义域是;()xx R f x e ∈=定义域是x R ∈． ※典型错误警示 1．忽视函数定义中的关键词容易出错，如例1中的（3）（4）小题对函数关系的判定；． 2．忽视构成函数的三要素也容易出错，如例3中的（2）小题，学生易忘记写出函数的定义域(,2][2,)x ∈-∞-+∞ ，从而得出错误结论．◎典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径．请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！我的错题：错因：反思：※学以致用第1课时函数的概念及其表示法【基础级】1．与函数f(x)=|x|是相同函数的有（写出一个你认为正确的即可）．答案： y=2x2．已知函数()f x 的定义域为[1,5]-，在同一从标系下，函数()y f x =的图象与直线1x =的交点个数为．答案：1个3．右图中的图象所表示的函数的解析式为．答案：33|1|(02)22y x x =--≤≤ 解析：把函数分成两段，分别设为一次函数的解析式来求解．4．设集合A R =，集合{|0}B x x =>，下面的四个对应法则：（1）:||f x y x →=；（2）:f x y →=（3）:3xf x y -→=；（4）2:log (1||)f x y x →=+，则从集合A到集合B 的映射f 可能是．（填写序号）答案：（3）5．已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为．答案：22()(1)1x f x x x =≠-+ 解析：令11,(1)11x t t x t x t --==≠-++则，则22()1tf t t=+． 6．已知函数2,0(),2,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩则不等式2()f x x ≥的解集是．答案：[1,1]- 解析：当0x ≤时，由已知有22x x +≥，解得12x -≤≤，又0x ≤，则10x -≤≤；当0x >时，由已知有22x x -+≥，解得21x -≤≤，又0x >，则01x <≤，则不等式解集为[1,1]-7．（2010·东海中学期末）已知3(9)()(4)(9)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f 的值为．答案：6 解析： (1)(14)(5)(54)(9)936f f f f f =+==+==-= 【升华级】8．（2010年南京模拟）设函数=⎩⎨⎧<+≥-=)89(,)100()]5([)100(3)(f x x f f x x x f 则．答案：98 解析：)))101((())))104(((()))99((())94(()89(f f f f f f f f f f f f f ==== =)99())102(()97())100(()))103((())98((f f f f f f f f f f f ======((104))(101)98f f f ==．9．已知二次函数()f x 的图象过点A （1，1），B （2，0）及点C （6，0），求()f x 的解析式．解析：因()f x 的图象过点B （2，0）及点C （6，0），则()f x 的图象与x 轴的两交点的横坐标分别是2和6．则可设()(2)(6),0)f x a x x a R a =--∈≠且，又因图象过点A （1，1），则1(12)(16)a =--，解得15a =，故211812()(2)(6),()5555f x x x f x x x =--=-+即． 10．我国水资源相对贫乏，某市节水方法是：水费＝基本费+超额费+损耗费．若每月用水量不超过最低限量3pm 时，只付基本费8元和每户每月定额损耗费q 元；若用水量超过3pm 时，除了付上述的基本费和损耗费外，超过部分每3m 付r 元的超额费，已知每户每月的定额损耗不超过5元，该市一家庭某季度的用水量支付如下表：（1）写出水费y （元）与用水量x （3m ）的函数关系式（这里,,p q r 是已知数）； (2) 根据表中数据，求,,p q r 的值．解析：（1）设水费为y 元，用水量为x （3m ），则得分段函数 8(0).8()()q x p y q x p r x p +<≤⎧=⎨++->⎩（2）根据表中数据，可列式89,1q q +==，若819,11q q +==与5q ≤矛盾，则1q =．依题意(15)919,(22)933p r p r -+=⎧⎨-+=⎩解之得10,2p r ==，综上，10,1,2p q r ===． (☆)11．已知()f x 定义在R 上的函数，且(1)1f =，对任意x R ∈都有下列两式成立：（1）(5)()5f x f x +≥+；（2）(1)()1f x f x +≤+．若()()1g x f x x =+-，求(6)g 的值．解析：反复利用条件（2），有(5)(4)1(3)2(2)3(1)4()5f x f x f x f x f x f x +≤++≤++≤++≤++≤+ 结合条件（1）得(5)()5f x f x +=+，故(6)(6)16[(1)5]51g f f =+-=+-=． ◎典型错误反思我的错题：错因：反思：。