不确定性数学方法的比较研究
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i 1 (0)
k
则称 D 为 X
(0)
的一次累加生成算子。 X
(0)
D 为 X ( 0 ) 的一次累加生成序列[9]。
定义 3 设初始数据序列为： X
(k ) ( x ( 0 ) (1), x ( 0 ) (2), , x ( 0 ) (n)) ， D 为序列算子
X ( 0 ) D ( x ( 0 ) (1)d , x ( 0 ) (2)d , , x ( 0 ) (n)d )
1982 年，邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是针对研究少数据、贫信息不确定性问题 的新方法[4]。灰色系统主要通过对“部分”已知信息的开发，提取有价值的信息，实现对系 统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统理论着重研究“外延明确，内涵不 明确”的对象。比如到 2050 年，中国将人口控制在 15 亿到 16 亿之间，这个“15 亿到 16 亿之间”就是一个灰概念，其外延很清楚，但进一步问 15 亿到 16 亿之间的哪个具体值，则 不清楚[9]。 灰色系统理论认为，尽管客观事物的表面现象复杂，数据无序，它们总会蕴含着自身的 特征规律， 关键是如何选择合适有效的方法去利用和挖掘信息。 对数据构造不同的算子成是 灰色系统处理信息的重要手段。 定义 2 设初始数据序列为： X
其中： x 则称 D 为 X
(0) (0)
(k )d x ( 0 ) (k ) - x ( 0 ) (k - 1); k 2, ,3, , n
(0)
的一次累减生成算子， X
D 为 X ( 0 ) 的一次累减生成序列[9]。
累加生成和累减生成是在灰色系统中使灰色信息白化的一种方法， 通过累加生成后得到的数 据可以描述灰色数据积累过程的发展态势， 使规律不明显的原始数据中蕴含的积累特性充分 显露出来。累减生成是在获取增量信息时常用的一种手段，累减生成可以还原累加生成。累 减生成与累加生成是一对互逆的序列算子，它们是构建 GM (1,1) 模型的理论基础。 灰色系统与经典数学理论结合形成了自身的理论体系，包括灰数运算、灰色代数系统、 灰色方程、灰色矩阵等，此外，灰色系统在实际应用方面也构建了许多经典模型，如用于系 统诊断、 分析的系统灰色关联分析模型； 用于解决系统要素和对象分类问题的灰色聚类评估 模型；用于方案评估和选择的灰靶决策和多目标加权灰靶决策模型；以及灰色规划、灰色投 入产出、灰色博弈、灰色控制等[4]。 （4）粗糙集 在灰色系统成立的同时，1982 年，Pawlak 教授针对 G.Frege 的边界线区域思想提出粗 糙集理论[10]。粗糙集是一种能够定量分析和处理不精确、不一致、不完备信息与知识的数 学工具。 粗糙集的基本思想是用己有的知识库中的知识和信息， 通过等价关系来近似表示不 确定的未知目标。 上近似算子和下近似算子是粗糙集理论的基础， 是粗糙集依靠等价关系判 定分类的手段。即。 定义 4 设 U 为一论域， R R ，对于任意 X U ， X 基于等价关系 R 的下近似 R( X ) 与
A : U 0,1 u | A(u )
则称 A 为 U 上的模糊集， A(u ) 称为 A 的隶属度函数（或称为 u 对 A 的隶属度）[3]。 隶属度函数在模糊数学理论应用中占有至关重要的地位， 是将模糊性运用数学方法来解决的 关键媒介。隶属度函数的确定，是一个比较复杂的问题，在许多实际情况下，通常根据经验 或统计规律来决定。 模糊数学有着相当丰富的研究内容， 到目前为止， 经典数学中的很多理论分支学科模糊 化，成为模糊数学学科的组成部分。如模糊关系、模糊矩阵、模糊变换、模糊拓扑空间、模 糊图论、模糊概率统计、模糊线性规划、模糊逻辑、模糊变量、模糊博奕等。 （3）灰色系统
不确定性数学方法的比较研究 摘要：概率统计、模糊数学、灰色系统、粗糙集和未确知数学是目前存在的五种不确定性数 学方法， 本文针对不确定性信息及其数学方法的概念进行了阐述和分析， 并且比较了五种方 法的不同之处，使人们更清晰的认识和区分这五种不确定性数学方法。 关键字：概率统计；模糊数学；灰色系统；粗糙集；未确知数学；不确定性信息 0、引言 经典数学的研究对象局限在确定性对象， 因此人们又称之为确定性数学。 在信息多变的 时代，不确定现象无处不在，其存在形式各式各样。人类在不断认识世界和改造世界的过程 中发现经典数学不再是解决问题的有效途径。 面对大量得不确定现象， 如何从数学上定量的 描述这些不确定现象，并研究不确定现象数量规律及优化问题一直是人们追求的课题研究。 在研究过程中， 人们发现了信息的不确定性是多种多样的， 并将多样的不确定性信息进行分 类表述，就出现了信息的随机性、模糊性、灰色性、粗糙性和未确知性，相关的概率统计、 模糊数学、灰色系统、粗糙集和未确知数学学科也被专家一一提出，做了深入研究，并且取 得良好的理论和应用成果。 我们把研究自然社会中存在的不确定现象的数学理论和方法统称为不确定数学。因此， 概率统计、模糊数学、灰色系统、粗糙集和未确知数学学科都可以包含在不确定数学的范畴 之中[1]。这五种学科是当前研究不确定性问题的不同的数学方法，这些学科的发展也就是反 映了不确定性数学的发展。 1、不确定性信息 不确定性是指客观事物在发展与联系的过程中，存在无序的，或然的，未知的，近似的 属性。 任何一个复杂的系统都存在不确定性因素， 不确定性因素的产生不仅仅涉及主观因素， 还会涉及很多客观因素，而且是两者交互影响。由于信息的产生及其传播的过程条件不同， 不确定信息的表现会有不同的特征。 根据这些不确定信息的表现特征， 人们将已认识到的不 确定性信息主要分为如下五种。 （1）随机信息 在随机现象中，事件结果是确定的，由于偶然因素干扰，使得几种确定结果呈或然性出 现。即在某次试验中事件在相同的情况下却有不同的结果，这种试验称为随机试验。由随机 试验得到的信息称为随机信息。如市场价格波动、彩票中奖情况等[2]。由随机信息引起的不 确定性称为随机不确定。 （2）模糊信息 因为事物的复杂性，事物的自身概念外延不明确，即事物特征界限不明确，其概念不能 准确的被描述和评定。 事物从一方概念到另一方概念存在过渡的过程， 它提供的很难说清边 [3] 界的的信息称为模糊信息 。如稳定、不稳定、健康、不健康等。由模糊信息引起的不确定 性称为模糊不确定。 （3）灰色信息 在事物发展过程中， 由于人们接收信息系统的能力有限， 使得人们只能获取事物发展的 部分信息，而不能获得全部的确切信息。即部分信息已知，部分信息未知[4]。这种外延明确 内涵不明确的信息称为灰色信息。如小麦产量、股票市场等。由灰色信息引起的不确定称为 灰色不确定。 （4）粗糙信息 由于不确定性，导致事物的不可辨性。事物的集合是明确，但其中所包含的元素是不明 确的，这种信息被称为粗糙信息。它与模糊信息的区别在于，模糊信息的集合边界不确定。
上近似 R( X ) [11]分别定义如下：
R( X ) x U : [ x]R X ； R( X ) x U : [ x]R X
其中 [ x] R y U : ( x, y ) R，表示元素 x 在论域 U 上由等价关系 R 决定的等价类。 目前，基于粗糙集理论的应用研究主要集中在属性约简、规则获取、基于粗糙集的计算 智能算法研究等方面。粗糙集的知识约简理论的发展为数据挖掘提供了一些有效的新方法。 例如、数据分析法、基于信息熵的属性约简算法、动态约简算法、增量式算法、可辨识矩阵 算法等[10]。此外，粗糙集结合信息论、概念格、群体智能算法技术等也都有了显著的的研 究成果。 （5）未确知数学 1990 年，我国王光远教授提出了未确知信息，从而创立了未确知数学理论。未确知数 学主要研究、表达和处理未确知信息的一种理论与方法。若想将未确知的事情变成已知，主 观概率和主观隶属度函数是未知数学的重要依据。所谓主观概率[12]，就是人们对某个未确 知事件的各种可能情况为真几率的主观估计。 因为有时候研究的是已发生的事件， 因而没有 随机性，又因为是一次性事件，因而主观概率不存在任何统计的含义。主观隶属度[12]的产 生是由于采用解决模糊性信息的手段来处理未确知的信息。例如，通过测量分析后，估计某 一条河水的重量为 3000 吨左右。这个回答是用一个模糊量来估计大量液体的重量这个确定 性的量。它纯粹是回答者对该具体量的一种主观上的粗略估计，因而称为主观隶属度分布。 未确知数学也根据原数学的领域进行了推广，建立了“未确知集合” 、 “未确知顺序” 、 “未确知函数” 、 “未确知极限”等相关的数学内容。 3、五种不确定数学方法的比较 概率统计、模糊数学、灰色系统、粗糙集和未确知数学是当前存在的解决不确定问题的 五种数学方法， 他们彼此之间存有相似之处却有彼此不同。 其研究对象都具有某种不确定性， 这是他们的共同点。 正是研究对象在不确定性上的区别， 派生出五种各具特色的不确定性学 科。综上所述，我们可以把五种常用不确定性数学方法的区别归纳如表 1.1 所示 表 1.1 项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重 目标 特色 灰色系统 贫信息不确定 灰数集 信息覆盖 灰序列生成 任意分布 内涵 现实规律 小样本 概率统计 随机不确定 康托尔集 映射 频率统计 典型分布 内涵 历史统计规律 大样本 模糊数学 认知不确定 模糊集 映射 截集 隶属度可知 外延 认知表达 凭经验 粗糙集理论 边界不清晰 近似集 划分 上、下近似 等价关系 内涵 概念逼近 信息表 未确知数学 不可知信息 未确知集合 映射 主观概率 主观隶属度 可推断 内涵 结论确定 依据主观
(0)
(k ) ( x ( 0 ) (1), x ( 0 ) (2), , x ( 0 ) (n)) ， D 为序列算子
X ( 0 ) D ( x ( 0 ) (1)d , x ( 0 ) (2)d , , x ( 0 ) (n)d )
其中： x
(0)
(k )d x ( 0 ) (i ); k 1,2, , n
Hale Waihona Puke Baidu
如人的外貌、人的品质。由粗糙信息引起的不确定性称为粗糙不确定。 （5）未确知信息 未确知信息是指因为条件的限制，在进行决策时，无法确知的信息[5]。这些信息既无随 机性，也无模糊性，它是由于决策者所掌握的信息不充足，不精确。以至不足以确定事物的 真实状态和数量关系。这种未确知信息可以带来主观认识上的不确定性。如地震的震源、一 座已建成的建筑物的重量等。由未确知信息引起的不确定性称为未确知不确定。 2、不确定性数学方法 （1）概率统计 1657 年，荷兰著名数学家惠更斯就对随机性进行研究，随后前苏联数学家柯尔莫哥洛 夫提出并建立的概率论。 概率统计是以随机现象为基础。 概率论是根据大量相同随机现象的 规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出客观的科学判断并进行数量上的描述[7]。 要研究一个随机现象， 首先要搞清楚它服从的概率分布， 但是有的随机现象所服从的分 布是什么概型可能完全不知道， 有的由于现象自身的特征和已经发生的结果， 我们可以推测 出其概型，却不能确定其分布函数中所含的参数值。例如，在一段时间内某公路上所行驶车 辆的速度服从什么分布是不知道的，某一商业部收购 N 件产品，每件产品不是合格就是不 合格，显然产品的是否合格得情况是服从二项分布，但分布中的参数 P （不合格品率）却 是不知道的。为了要掌握上述车辆速度的分布、不合格品率，我们必须对这一公路上所行使 的车辆速度及工业产品是否合格进行观察和试验。 这就是概率统计的应用之处。 在数理统计 中我们总是从所要研究的对象全体中抽取一部分进行观测或试验以取得信息， 从而对整体作 出推断， 一个基本的问题就是依据观测或试验所取得的有限信息对整体如何推断的问题， 每 个推断必须伴随一定的概率以表明推断的可靠程度。 这种伴随一定概率的推断称为统计推断 [7] 。 数理统计中假设检验、参数估计、方差分析和回归分析等思想也都达到成熟状态并得 到广泛应用。 （2）模糊数学 1965 年，美国控制论专家查德教授发表了论文“模糊集合”标志着模糊数学的诞生[8]。 模糊集合的出现是模糊信息客观存在的必然反映。 面对模糊问题时， 如判断王五性格是否开 朗， “性格开朗”没有一个确切衡量标准，怎样才算是性格开朗的是无法说清楚的，也就是 不能用普通集合论里仅取 0 或 1 两个值的特征函数来刻画。 为了体现类似问题中的这种连续 过渡的共性，查德将普通集合论里的特征函数的取值范围由 0， 1 推广到闭区间 0， 1 ，用一 个实数去度量它，这个实数值便是隶属度[3]。 定义 1 设在论域 U 上给定了一个映射
k
则称 D 为 X
(0)
的一次累加生成算子。 X
(0)
D 为 X ( 0 ) 的一次累加生成序列[9]。
定义 3 设初始数据序列为： X
(k ) ( x ( 0 ) (1), x ( 0 ) (2), , x ( 0 ) (n)) ， D 为序列算子
X ( 0 ) D ( x ( 0 ) (1)d , x ( 0 ) (2)d , , x ( 0 ) (n)d )
1982 年，邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是针对研究少数据、贫信息不确定性问题 的新方法[4]。灰色系统主要通过对“部分”已知信息的开发，提取有价值的信息，实现对系 统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统理论着重研究“外延明确，内涵不 明确”的对象。比如到 2050 年，中国将人口控制在 15 亿到 16 亿之间，这个“15 亿到 16 亿之间”就是一个灰概念，其外延很清楚，但进一步问 15 亿到 16 亿之间的哪个具体值，则 不清楚[9]。 灰色系统理论认为，尽管客观事物的表面现象复杂，数据无序，它们总会蕴含着自身的 特征规律， 关键是如何选择合适有效的方法去利用和挖掘信息。 对数据构造不同的算子成是 灰色系统处理信息的重要手段。 定义 2 设初始数据序列为： X
其中： x 则称 D 为 X
(0) (0)
(k )d x ( 0 ) (k ) - x ( 0 ) (k - 1); k 2, ,3, , n
(0)
的一次累减生成算子， X
D 为 X ( 0 ) 的一次累减生成序列[9]。
累加生成和累减生成是在灰色系统中使灰色信息白化的一种方法， 通过累加生成后得到的数 据可以描述灰色数据积累过程的发展态势， 使规律不明显的原始数据中蕴含的积累特性充分 显露出来。累减生成是在获取增量信息时常用的一种手段，累减生成可以还原累加生成。累 减生成与累加生成是一对互逆的序列算子，它们是构建 GM (1,1) 模型的理论基础。 灰色系统与经典数学理论结合形成了自身的理论体系，包括灰数运算、灰色代数系统、 灰色方程、灰色矩阵等，此外，灰色系统在实际应用方面也构建了许多经典模型，如用于系 统诊断、 分析的系统灰色关联分析模型； 用于解决系统要素和对象分类问题的灰色聚类评估 模型；用于方案评估和选择的灰靶决策和多目标加权灰靶决策模型；以及灰色规划、灰色投 入产出、灰色博弈、灰色控制等[4]。 （4）粗糙集 在灰色系统成立的同时，1982 年，Pawlak 教授针对 G.Frege 的边界线区域思想提出粗 糙集理论[10]。粗糙集是一种能够定量分析和处理不精确、不一致、不完备信息与知识的数 学工具。 粗糙集的基本思想是用己有的知识库中的知识和信息， 通过等价关系来近似表示不 确定的未知目标。 上近似算子和下近似算子是粗糙集理论的基础， 是粗糙集依靠等价关系判 定分类的手段。即。 定义 4 设 U 为一论域， R R ，对于任意 X U ， X 基于等价关系 R 的下近似 R( X ) 与
A : U 0,1 u | A(u )
则称 A 为 U 上的模糊集， A(u ) 称为 A 的隶属度函数（或称为 u 对 A 的隶属度）[3]。 隶属度函数在模糊数学理论应用中占有至关重要的地位， 是将模糊性运用数学方法来解决的 关键媒介。隶属度函数的确定，是一个比较复杂的问题，在许多实际情况下，通常根据经验 或统计规律来决定。 模糊数学有着相当丰富的研究内容， 到目前为止， 经典数学中的很多理论分支学科模糊 化，成为模糊数学学科的组成部分。如模糊关系、模糊矩阵、模糊变换、模糊拓扑空间、模 糊图论、模糊概率统计、模糊线性规划、模糊逻辑、模糊变量、模糊博奕等。 （3）灰色系统
不确定性数学方法的比较研究 摘要：概率统计、模糊数学、灰色系统、粗糙集和未确知数学是目前存在的五种不确定性数 学方法， 本文针对不确定性信息及其数学方法的概念进行了阐述和分析， 并且比较了五种方 法的不同之处，使人们更清晰的认识和区分这五种不确定性数学方法。 关键字：概率统计；模糊数学；灰色系统；粗糙集；未确知数学；不确定性信息 0、引言 经典数学的研究对象局限在确定性对象， 因此人们又称之为确定性数学。 在信息多变的 时代，不确定现象无处不在，其存在形式各式各样。人类在不断认识世界和改造世界的过程 中发现经典数学不再是解决问题的有效途径。 面对大量得不确定现象， 如何从数学上定量的 描述这些不确定现象，并研究不确定现象数量规律及优化问题一直是人们追求的课题研究。 在研究过程中， 人们发现了信息的不确定性是多种多样的， 并将多样的不确定性信息进行分 类表述，就出现了信息的随机性、模糊性、灰色性、粗糙性和未确知性，相关的概率统计、 模糊数学、灰色系统、粗糙集和未确知数学学科也被专家一一提出，做了深入研究，并且取 得良好的理论和应用成果。 我们把研究自然社会中存在的不确定现象的数学理论和方法统称为不确定数学。因此， 概率统计、模糊数学、灰色系统、粗糙集和未确知数学学科都可以包含在不确定数学的范畴 之中[1]。这五种学科是当前研究不确定性问题的不同的数学方法，这些学科的发展也就是反 映了不确定性数学的发展。 1、不确定性信息 不确定性是指客观事物在发展与联系的过程中，存在无序的，或然的，未知的，近似的 属性。 任何一个复杂的系统都存在不确定性因素， 不确定性因素的产生不仅仅涉及主观因素， 还会涉及很多客观因素，而且是两者交互影响。由于信息的产生及其传播的过程条件不同， 不确定信息的表现会有不同的特征。 根据这些不确定信息的表现特征， 人们将已认识到的不 确定性信息主要分为如下五种。 （1）随机信息 在随机现象中，事件结果是确定的，由于偶然因素干扰，使得几种确定结果呈或然性出 现。即在某次试验中事件在相同的情况下却有不同的结果，这种试验称为随机试验。由随机 试验得到的信息称为随机信息。如市场价格波动、彩票中奖情况等[2]。由随机信息引起的不 确定性称为随机不确定。 （2）模糊信息 因为事物的复杂性，事物的自身概念外延不明确，即事物特征界限不明确，其概念不能 准确的被描述和评定。 事物从一方概念到另一方概念存在过渡的过程， 它提供的很难说清边 [3] 界的的信息称为模糊信息 。如稳定、不稳定、健康、不健康等。由模糊信息引起的不确定 性称为模糊不确定。 （3）灰色信息 在事物发展过程中， 由于人们接收信息系统的能力有限， 使得人们只能获取事物发展的 部分信息，而不能获得全部的确切信息。即部分信息已知，部分信息未知[4]。这种外延明确 内涵不明确的信息称为灰色信息。如小麦产量、股票市场等。由灰色信息引起的不确定称为 灰色不确定。 （4）粗糙信息 由于不确定性，导致事物的不可辨性。事物的集合是明确，但其中所包含的元素是不明 确的，这种信息被称为粗糙信息。它与模糊信息的区别在于，模糊信息的集合边界不确定。
上近似 R( X ) [11]分别定义如下：
R( X ) x U : [ x]R X ； R( X ) x U : [ x]R X
其中 [ x] R y U : ( x, y ) R，表示元素 x 在论域 U 上由等价关系 R 决定的等价类。 目前，基于粗糙集理论的应用研究主要集中在属性约简、规则获取、基于粗糙集的计算 智能算法研究等方面。粗糙集的知识约简理论的发展为数据挖掘提供了一些有效的新方法。 例如、数据分析法、基于信息熵的属性约简算法、动态约简算法、增量式算法、可辨识矩阵 算法等[10]。此外，粗糙集结合信息论、概念格、群体智能算法技术等也都有了显著的的研 究成果。 （5）未确知数学 1990 年，我国王光远教授提出了未确知信息，从而创立了未确知数学理论。未确知数 学主要研究、表达和处理未确知信息的一种理论与方法。若想将未确知的事情变成已知，主 观概率和主观隶属度函数是未知数学的重要依据。所谓主观概率[12]，就是人们对某个未确 知事件的各种可能情况为真几率的主观估计。 因为有时候研究的是已发生的事件， 因而没有 随机性，又因为是一次性事件，因而主观概率不存在任何统计的含义。主观隶属度[12]的产 生是由于采用解决模糊性信息的手段来处理未确知的信息。例如，通过测量分析后，估计某 一条河水的重量为 3000 吨左右。这个回答是用一个模糊量来估计大量液体的重量这个确定 性的量。它纯粹是回答者对该具体量的一种主观上的粗略估计，因而称为主观隶属度分布。 未确知数学也根据原数学的领域进行了推广，建立了“未确知集合” 、 “未确知顺序” 、 “未确知函数” 、 “未确知极限”等相关的数学内容。 3、五种不确定数学方法的比较 概率统计、模糊数学、灰色系统、粗糙集和未确知数学是当前存在的解决不确定问题的 五种数学方法， 他们彼此之间存有相似之处却有彼此不同。 其研究对象都具有某种不确定性， 这是他们的共同点。 正是研究对象在不确定性上的区别， 派生出五种各具特色的不确定性学 科。综上所述，我们可以把五种常用不确定性数学方法的区别归纳如表 1.1 所示 表 1.1 项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重 目标 特色 灰色系统 贫信息不确定 灰数集 信息覆盖 灰序列生成 任意分布 内涵 现实规律 小样本 概率统计 随机不确定 康托尔集 映射 频率统计 典型分布 内涵 历史统计规律 大样本 模糊数学 认知不确定 模糊集 映射 截集 隶属度可知 外延 认知表达 凭经验 粗糙集理论 边界不清晰 近似集 划分 上、下近似 等价关系 内涵 概念逼近 信息表 未确知数学 不可知信息 未确知集合 映射 主观概率 主观隶属度 可推断 内涵 结论确定 依据主观
(0)
(k ) ( x ( 0 ) (1), x ( 0 ) (2), , x ( 0 ) (n)) ， D 为序列算子
X ( 0 ) D ( x ( 0 ) (1)d , x ( 0 ) (2)d , , x ( 0 ) (n)d )
其中： x
(0)
(k )d x ( 0 ) (i ); k 1,2, , n
Hale Waihona Puke Baidu
如人的外貌、人的品质。由粗糙信息引起的不确定性称为粗糙不确定。 （5）未确知信息 未确知信息是指因为条件的限制，在进行决策时，无法确知的信息[5]。这些信息既无随 机性，也无模糊性，它是由于决策者所掌握的信息不充足，不精确。以至不足以确定事物的 真实状态和数量关系。这种未确知信息可以带来主观认识上的不确定性。如地震的震源、一 座已建成的建筑物的重量等。由未确知信息引起的不确定性称为未确知不确定。 2、不确定性数学方法 （1）概率统计 1657 年，荷兰著名数学家惠更斯就对随机性进行研究，随后前苏联数学家柯尔莫哥洛 夫提出并建立的概率论。 概率统计是以随机现象为基础。 概率论是根据大量相同随机现象的 规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出客观的科学判断并进行数量上的描述[7]。 要研究一个随机现象， 首先要搞清楚它服从的概率分布， 但是有的随机现象所服从的分 布是什么概型可能完全不知道， 有的由于现象自身的特征和已经发生的结果， 我们可以推测 出其概型，却不能确定其分布函数中所含的参数值。例如，在一段时间内某公路上所行驶车 辆的速度服从什么分布是不知道的，某一商业部收购 N 件产品，每件产品不是合格就是不 合格，显然产品的是否合格得情况是服从二项分布，但分布中的参数 P （不合格品率）却 是不知道的。为了要掌握上述车辆速度的分布、不合格品率，我们必须对这一公路上所行使 的车辆速度及工业产品是否合格进行观察和试验。 这就是概率统计的应用之处。 在数理统计 中我们总是从所要研究的对象全体中抽取一部分进行观测或试验以取得信息， 从而对整体作 出推断， 一个基本的问题就是依据观测或试验所取得的有限信息对整体如何推断的问题， 每 个推断必须伴随一定的概率以表明推断的可靠程度。 这种伴随一定概率的推断称为统计推断 [7] 。 数理统计中假设检验、参数估计、方差分析和回归分析等思想也都达到成熟状态并得 到广泛应用。 （2）模糊数学 1965 年，美国控制论专家查德教授发表了论文“模糊集合”标志着模糊数学的诞生[8]。 模糊集合的出现是模糊信息客观存在的必然反映。 面对模糊问题时， 如判断王五性格是否开 朗， “性格开朗”没有一个确切衡量标准，怎样才算是性格开朗的是无法说清楚的，也就是 不能用普通集合论里仅取 0 或 1 两个值的特征函数来刻画。 为了体现类似问题中的这种连续 过渡的共性，查德将普通集合论里的特征函数的取值范围由 0， 1 推广到闭区间 0， 1 ，用一 个实数去度量它，这个实数值便是隶属度[3]。 定义 1 设在论域 U 上给定了一个映射