中考复习题 函数综合题

函数型综合题
【简要分析】
中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力．此类综合题，不仅综合了《函数及其图象》一章的基本知识，还涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点．善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键． 【典型考题例析】
例1：如图2-4-20，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标．（2）求一次函数的解析式．（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的
x 的取值范围．
说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运用等．
例2 如图2-4-21，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（－1，0），点C （0，5）、D （1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式． （2）求△MCB 的面积．
说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点．解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解．
例 3 ：已知抛物线2
(4)24y x m x m =-+-++与x 轴交于1(,0)A x 、
2(,0)B x ，与y 轴交于点C ，且1x 、2x 满足条件1212,20x x x x <+=
（1）求抛物线的角析式；
（2）能否找到直线y kx b =+与抛物线交于P 、Q 两点，使y 轴恰好平分△CPQ 的面积？求出k 、b 所满足的条件．
说明 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线．解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化．例如：二次函数与x 轴有交点．可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解．点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等．
例4 已知：如图2-4-23，抛物线2y ax bx c =++经过原点（0，0）
和A （－1，5）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线与x 轴的另一个交点为C ．以OC 为直径作⊙M ，如果过抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ，切点为D ，且与y 轴的正半轴交于点为E ，连结MD ．已知点E 的坐标为（0，m ），求四边形EOMD 的面积．（用含m 的代数式表示）
（3）延长DM 交⊙M 于点N ，连结ON 、OD ，当点P 在（2）的
图2-4-20
条件下运动到什么位置时，能使得DON EOMD S S ∆=四边形？请求出此时点P 的坐标． 【提高训练16】
1．已知抛物线的解析式为
2(21)y x m x m m =--+-，
（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点．（2）若此抛物线与直线
34y x m =-+的一个交点在y 轴上，求m 的值． 2．如图2-4-24，已知反比例函数
12
y x
=
的图象与一次函数4y kx =+的图象相交于P 、Q 两点，并且P 点的纵坐标是6．（1）求这个一次函数的解析式．（2）求△POQ 的面积．
3．在以O 这原点的平面直角坐标系中，抛物线
2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C （0，3）
．与x 轴正半轴交于A 、B 两点（B 点在A 点的右侧），抛物线的对称轴是2x
=，且3
2
AOC S ∆=
．（1）求此抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为D ，求四边形ADBC 的面积． ４．OABC 是一张平放在直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在
y 轴上，OA=10，OC=6．（1）如图2-4-25，在AB
一点M ，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B 求所B ′点的坐标．（2）求折痕CM 所在直线的解析式．（3）作B ∥AB 交CM 于点G ，若抛物线2
16
y x m =+过点G ，式，交判断以原点O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点G 否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标． 5．如图2-4-26，在Rt △ABC 中，∠ACB=900
，BC
AC >，以斜
边AB 所在直线为x 轴，以斜边AB 上的高所在的直线为y 轴，
建立直角坐标系，若2
217OA OB +=，且线段OA 、OB 的长
是关于
x 的一元二次方程2
2(3)0x mx m -+-=的两
根．（1）求点C 的坐标．（2）以斜边AB 为直径作圆与
y 轴交
于另一点E ，求过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图．（3）在抛物线的解析式上是否存在点P ，使△ABP 和△ABC 全等？若相聚在，求出符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【提高训练16答案】 1．（1）
22[(21)]4()10m m m ∆=----=>，∴抛物线与x 轴必有两个不同的交点．
（2）1m =-1m =-2．
（1）4y x =+．（2）16POQ S ∆=．3．（1）2
43y x x =-+．（2）4ADBC S =四边形．4．
（1）B ′（8，0）；（2）163y x =-+ （3）抛物线方程为2122
63
y x =-．除了交点G 外，另有交点为点G 关于y 轴的对称点，其坐标为（－8，10
3
）．
f x () = 2⋅x 2
图2-4-25
f
5．（1）C （0，2）．（2）
213
222
y x x =
--．（3）存在，其坐标为（0，－2）和（3，-2）．。