度量方法

(1)标准欧氏距离的定义
标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺 点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路： 既然数据各维分量的分布不一样，好吧！那我 先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等 吧。均值和方差标准化到多少呢？这里先复习 点统计学知识吧，假设样本集X的均值(mean) 为m，标准差(standard deviation)为s，那么X 的“标准化变量”表示为： 而且标准化变量的数学期望为0，方差为1。 因此样本集的标准化过程(standardization)用 公式描述就是：

又称欧式距离，欧氏距离是最易于理解的一种距离 计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。 先设定我们要比较X个体和Y个体间的差异，它们都 包含了N个维的特征，即X=（x1， x2， x3， … xn），Y=（y1， y2， y3， … yn）。 因为计算是基于各维度特征的绝对数值，所以欧氏 度量需要保证各维度指标在相同的刻度级别，比如 对身高（cm）和体重（kg）两个单位不同的指标 使用欧式距离可能使结果失效。 对于距离度量，距点（x,y)的距离小于或等于某一 值r的像素是中心在(x,y)且半径为r的圆平面。
西洋棋（国际象棋）
西洋棋（国际象棋）规则
王：横、竖、斜都可以走，每次限走一格 后：横、竖、斜都可以走，格数不限，不能越
子 象：只能斜走，格数不限，不能越子 马：每步棋先横走或竖走一格，然后再斜走一 格，可以越子 车：横、竖都可以走，不能斜走，格数不限， 除王车易位的情况，平时不能越子 兵：只能向前直走，每次只能走一格。走第一 步时，可以走一格，也可以直进两格。
(1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比
雪夫距离：
(2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与
b(x21,x22,…,x2n)间的切比雪夫距离：
(3)Matlab计算切比雪夫距离 例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的切
比雪夫距离 X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2] D = pdist(X, 'chebychev') 结果： D = 1 2 2
切比雪夫距离起源于国际象棋中国王的走法，
我们知道国际象棋国王每次只能往周围的8格中 走一步，那么如果要从棋盘中A格（x1， y1） 走到B格（x2， y2）最少需要走几步？最少步 数总是max( | x2-x1 | , | y2-y1 | ) 步。 扩展到多维空间，其实切比雪夫距离就是当p 趋向于无穷大时的明氏距离：
(1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈
顿距离

(2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与
b(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离

(3)
Matlab计算曼哈顿距离 例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的曼 哈顿距离 X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2] D = pdist(X, 'cityblock') 结果： D = 1 2 3

欧氏距离是最常见的距离度量，衡量的是多维
空间中各个点之间的绝对距离。公式如下：
(1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧
氏距离：
(2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的
欧氏距离：
(3)Matlab计算欧氏距离 Matlab计算距离主要使用pdist函数。若X是一
又称明氏距离，或闵式距离 明氏距离是欧氏距离的推广，是对多个距离度
量公式的概括性的表述。 明氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。
(1)
明氏距离的定义 两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的明可夫斯基距离定义为：
其中p是一个变参数。根据变参数的不同，闵
曼哈顿距离的命名原因是从规划为方型建筑区
块的城市（如曼哈顿）间，最短的行车路径而 来（忽略曼哈顿的单向车道以及只存在于3、 14大道的斜向车道）。任何往东三区块、往北 六区块的的路径一定最少要走九区块，没有其 他捷径。
出租车几何学满足除了SAS全等定理之外的希伯特 定理，SAS全等指任两个三角型两个边与一个角相 等，则这两个三角型必全等。 在出租车几何学中，一个圆是由从圆心向各个固定 曼哈顿距离标示出来的点围成的区域。因此这种圆 其实就是旋转了45度的正方形。如果有一群圆，任 两圆皆相交，则整群圆必在某点相交；因此曼哈顿 距离会形成一个超凸度量空间（Injective metric space）。对一个半径为r 的圆来说，这个正方形的 圆每边长√2r。此'"圆"的半径r对切比雪夫距离 (L∞ 空间)的二维平面来说，也是一个对座标轴来说边 长为2r的正方形，因此二维切比雪夫距离可视为等 同于旋转且放大过的二维曼哈顿距离。然而这种介 于L1与L∞的相等关系并不能延伸到更高的维度。
闫和鑫
分类： 欧几里得距离（Euclidean Distance） 标准化欧氏距离（Standardized Euclidean distance） 曼哈顿距离（Manhattan Distance） 切比雪夫距离（Chebyshev Distance） 明可夫斯基距离（Minkowski Distance） 马哈拉诺比斯距离（Mahalanobis Distance 汉明距离(Hamming Distance) 杰卡德距离(Jaccard Distance) 相关距离（ Correlation Distance ） hausdorff距离 巴氏距离 Earth Mover’s distance
简单说来，明氏距离的缺点主要有两个： (1)将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”
当作相同的看待了。 (2)没有考虑各个分量的分布（期望，方差等) 可能是不同的。
(3)Matlab计算明氏距离 例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的闵
氏距离（以变参数为2的欧氏距离为例） X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2] D = pdist(X,'minkowski',2) 结果： D = 1.0000 2.0000 2.2361

(1)相关距离的定义
(2)Matlab计算(1, 2 ,3 ,4 )与( 3 ,8 ,7 ,6 )之间的相 关系数与相关距离 X = [1 2 3 4 ; 3 8 7 6] C = corrcoef( X' ) %将返回相关系数矩阵 D = pdist( X , 'correlation') 结果： C = 1.0000 0.4781 0.4781 1.0000 D = 相关系数 0.5219 其中0.4781就是相关系数，0.5219是相关距离。

(1)杰卡德距离可用如下公式表示：
杰卡德距离用两个集合中不同元素占所有元素
的比例来衡量两个集合的区分度。
(2)Matlab
计算杰卡德距离 Matlab的pdist函数定义的杰卡德距离跟我这里 的定义有一些差别，Matlab中将其定义为不同 的维度的个数占“非全零维度”的比例。 例子：计算(1,1,0)、(1,-1,0)、(-1,1,0)两两之 间的杰卡德距离 X = [1 1 0; 1 -1 0; -1 1 0] D = pdist( X , 'jaccard') 结果 D = 0.5000 0.5000 1.0000
而其中向量Xi与Xj之间的马氏距离定义为：
若协方差矩阵是单位矩阵（各个样本向量之间
独立同分布）,则公式就成了：
也就是欧氏距离了。 若协方差矩阵是对角矩阵，公式变成了标准化
欧氏距离。 (2)马氏距离的优缺点： 量纲无关，排除变量之间的相关性的干扰。
(3)
Matlab计算(1 2)，( 1 3)，( 2 2)，( 3 1)两 两之间的马氏距离 X = [1 2; 1 3; 2 2; 3 1] Y = pdist(X,'mahalanobis')

在西洋棋里，车（城堡）是以曼哈顿距离来计
算棋盘 格上的距离；而王（国王）与后（皇后） 使用切比雪夫距离，象（主教）则是用转了45 度的曼哈顿距离来算（在同色的格子上），也 就是说它以斜线为行走路径。只有国王需要一 步一步走的方式移动，皇后、主教与城堡可以 在一或两次移动走到任何一格（在没有阻碍物 的情况下，且主教忽略它不能走到的另一类颜 色）。

既然欧几里得距离无法忽略指标度量的差异，
所以在使用欧氏距离之前需要对底层指标进行 数据的标准化，而基于各指标维度进行标准化 后再使用欧氏距离就衍生出来另外一个距离度 量——马哈拉诺比斯距离（Mahalanobis Distance），简称马氏距离。
（1）马氏距离定义
有M个样本向量X1~Xm，协方差矩阵记为S， 均值记为向量μ，则其中样本向量X到u的马氏 距离表示为：
氏距离可以表示一类的距离。 当p=1时，就是曼哈顿距离 当p=2时，就是欧氏距离 当p→∞时，就是切比雪夫距离
(2)明氏距离的缺点 明氏距离，包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比
雪夫距离都存在明显的缺点。 举个例子：二维样本(身高,体重)，其中身高范 围是150~190，体重范围是50~60，有三个样本： a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。那么a与b 之间的明氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距 离或切比雪夫距离）等于a与c之间的明氏距离， 但是身高的10cm真的等价于体重的10kg么？因 此用明氏距离来衡量这些样本间的相似度很有 问题。
结果： Y
= 2.3452 2.0000 5 1.2247
2.3452
1.2247