立体几何概念题.
高中立体几何练习题
高中立体几何练习题立体几何是高中数学中的一个重要部分，它涉及到空间图形的形状、体积、表面积等特性。
通过练习立体几何问题，可以帮助学生加深对立体几何概念的理解，并训练他们的逻辑思维能力和解题技巧。
本文将为大家提供一些高中立体几何的练习题，帮助大家巩固立体几何知识。
1. 地面上的一个正方形花坛，边长为4米。
现在要在花坛的四个角上立一个高为2米的正方体石柱，问：整个花坛所占的体积是多少？解析：首先，我们可以通过画图来更好地理解问题。
将正方体石柱看作是立在花坛四个角的柱子。
花坛的形状为正方体，边长为4米，所以它的体积为4 * 4 * 4 = 64立方米。
而每个石柱的体积为2 * 2 * 2 = 8立方米，因为有四个石柱，所以它们的总体积为 8 * 4 = 32立方米。
所以，整个花坛所占的体积为64 - 32 = 32立方米。
答案：整个花坛所占的体积为32立方米。
2. 一个正方体的棱长为5cm，问：该正方体的表面积是多少？解析：一个正方体有六个面，每个面积相等。
正方体的表面积等于一个面的面积乘以6。
每个面的面积等于正方形的边长的平方。
所以，这个正方体的表面积等于5 * 5 * 6 = 150 cm²。
答案：该正方体的表面积为150 cm²。
3. 一个边长为10cm的正方体，现在要将它截成一般，问：每一半的体积是多少？解析：将正方体截成一般意味着将它分成两个相等的部分。
每一半的体积等于整个正方体的体积的一半。
整个正方体的体积为10 * 10 * 10 = 1000 cm³。
所以每一半的体积为1000 / 2 = 500 cm³。
答案：每一半的体积为500 cm³。
4. 一个圆柱的底面半径为6cm，高为8cm，问：该圆柱的体积是多少？解析：圆柱的体积等于底面积乘以高。
底面积等于π * r²，其中r为底面的半径。
所以这个圆柱的体积为π * 6² * 8 = 288π cm³。
小学六年级总复习之立体几何
数学问题中的立体几何应用
计算几何图形面积和体积 判断几何图形的形状和大小 解决几何图形的最值问题 确定几何图形的位置关系
科学问题中的立体几何应用
天文学：行星、 恒星和星系的形 状和运动规律可 以用立体几何来
描述。
物理学：电磁场、 引力场等物理现 象可以用立体几
何来描述。
化学：分子结构 可以通过立体几 何来描述，如分 子的键角、键长
立体几何中的基本概念
点、线、面的定义
平面几何的性质
空间几何体的构造
空间几何体的表面积和体积
03
立体图形的性质和 分类
立体图形的性质
定义：立体图 形是三维空间 中占据一定空 间的图形，具 有长度、宽度
和高度。
分类：根据几 何形状，立体 图形可以分为 多面体、旋转 体和组合体等。
性质：立体图 形具有三维性、 封闭性、占有 空间等性质。
特征：立体图 形具有空间感、 立体感和三维
性等特征。
立体图形的分类
柱体：包括圆柱、棱柱等 锥体：包括圆锥、棱锥等 球体：包括实心球、空心球等 其他多面体：包括长方体、正方体、三棱锥等
常见立体图形介绍
立方体：具有六个面，每个面都是正方形 球体：只有一个曲面，没有平面 圆柱体：由两个平行圆形面和一个曲面组成 圆锥体：由一个圆形底面和一个曲面组成
定义：立体几何是研究三维空间中图形和物体性质的一门学科。 基础概念：点、线、面、体等基本元素，以及它们的性质和关系。 目的：培养空间想象能力和逻辑思维能力。 应用：在建筑、工程、科学等领域有广泛应用。
立体几何中的基本元素
点：表示空间中的一个位置 直线：表示空间中一条无限延伸的线 平面：表示空间中一个无限延展的面 空间：表示三维的立体空间
立体几何的基本概念和形状
1.如果我们旋转一个矩形平面，它将形成哪些立体几何形状？
2.如果我们旋转一个正三角形平面，它将形成哪些立体几何形状？
3.思考旋转其他常见平面图形会形成哪些立体几何形状，并尝试画出它们的示意图。
在上述模拟试卷中，涵盖了以下五个关键的立体几何考点和知识点：
1.已知一个正方体的边长为a，求它的表面积和体积。
2.若一个圆柱的高为h，底面半径为r，求它的侧面积。
3.已知一个球的半径为r，求它的表面积。
4.若一个棱锥的底面边长为a，高为h，求它的体积。
5.求一个长方体的对角线长度，已知长方体的长、宽、高分别为l、w、h。
##六、作图题（每题5分，共10分）
1.画出一个正方体。
立体几何的基本概念和形状
#立体几何的基本概念和形状
##一、选择题（每题2分，共20分）
1.下列哪一项不是立体几何的基本概念？
A.点
B.线
C.面积
D.体积
2.在三维空间中，由两个平行且相等的三次元组组成的集合是？
A.平面
B.直线
C.点集
D.空间四边形
3.若一个几何体的所有面都是矩形，则该几何体是？
A.圆柱
5.若一个几何体的对角线相等且互相平分，则该几何体是________。
##四、简答题（每题2分，共10分）
1.简述立体几何的基本概念。
2.什么是相似几何体？请举例说明。
3.棱柱的底面和顶面是什么关系？
4.球体的表面积和体积公式分别是什么？
5.如何判断一个几何体是否为正多面体？
##五、计算题（每题2分，共10分）
### 2.立体图形的识别和分类
空间向量与立体几何大题
空间向量与立体几何大题一、知识点总结1. 空间向量的基本概念- 空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。
- 向量的表示：用有向线段表示，如→AB，其中A为起点，B为终点；也可以用→a,→b,→c等小写字母表示。
- 向量的模：向量的大小，对于向量→AB，其模|→AB|=√((x_B) -x_{A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}（若A(x_A,y_A,z_A)，B(x_B,y_B,z_B)），对于向量→a=(x,y,z)，|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。
- 相等向量：方向相同且模相等的向量。
- 相反向量：方向相反且模相等的向量。
2. 空间向量的运算- 加法：三角形法则和平行四边形法则。
设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)。
- 减法：→a-→b=→a+(-→b)，即(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)。
- 数乘：设λ∈ R，→a=(x,y,z)，则λ→a=(λ x,λ y,λ z)。
- 数量积：→a·→b=|→a||→b|cos〈→a,→b〉=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2。
3. 空间向量的坐标表示与运算律- 设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)- →a∥→bLeftrightarrow x_1=λ x_2,y_1=λ y_2,z_1=λ z_2(λ∈ R)（→b≠0）- →a⊥→bLeftrightarrow x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0。
4. 空间向量在立体几何中的应用- 证明线面平行：设直线l的方向向量为→v，平面α的法向量为→n，若→v·→n=0，则l∥α或l⊂α。
- 证明线面垂直：若直线l的方向向量为→v，平面α的法向量为→n，且→v∥→n，则l⊥α。
- 求异面直线所成角：设异面直线a,b的方向向量分别为→m,→n，则cosθ=|(→m·→n)/(|→m||→n|)|，θ∈(0,(π)/(2)]。
2023高中数学立体几何复习 题集附答案
2023高中数学立体几何复习题集附答案一、立体几何基础知识立体几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间内的图形、体积和表面积等相关性质。
掌握立体几何的基础知识对于高中数学学习尤为重要。
下面是一些常见的立体几何概念及其性质：1. 空间中的点、线、面是立体几何中最基本的概念。
点是没有长度、宽度和高度的，线是由无数个点组成的，面是由无数条线组成的。
2. 立体是由许多平面相互连接而成的。
这些平面称为面，每个面都有其特定的几何形状，如三角形面、矩形面等。
3. 空间中的距离有两种：直线距离和曲线距离。
直线距离是两点之间最短的距离，而曲线距离则是沿着曲线的长度。
4. 空间中的体积是指一个物体占据的空间大小。
常见的几何体体积计算公式有：长方体的体积为底面积乘以高，球体的体积为4/3乘以π半径的立方，圆柱体的体积为底面积乘以高等。
5. 表面积是指立体图形外表面的总面积。
计算几何体表面积的公式与计算体积的公式类似，只是不同几何体的取值不同。
二、复习题1. 长方体A的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，计算长方体A的表面积和体积。
解答：长方体的表面积公式为S = 2(ab + ac + bc)，其中a、b和c分别是长方体的三个边长。
代入数据后，可得长方体A的表面积为：S = 2(3*4 + 3*5 + 4*5) = 94cm²长方体的体积公式为V = lwh，其中l、w和h分别是长方体的三个边长。
代入数据后，可得长方体A的体积为：V = 3*4*5 = 60cm³因此，长方体A的表面积为94cm²，体积为60cm³。
2. 一个四棱锥的底面是一个边长为6cm的正方形，其高度为8cm。
计算该四棱锥的体积和表面积。
解答：四棱锥的体积公式为V = 1/3 * 底面积 * 高度。
底面为正方形，因此底面积为6²=36cm²。
代入数据后，可得四棱锥的体积为：V = 1/3 * 36 * 8 = 96cm³四棱锥的表面积公式为S = 底面积 + 侧面积。
高中立体几何练习题
高中立体几何练习题几何学是数学中非常重要的一个分支，而立体几何则是其中的一个重要部分。
在高中阶段，学生需要掌握各种与立体几何相关的概念和定理，并且能够运用这些知识解决实际问题。
本文将为大家提供一些高中立体几何的练习题，以帮助大家巩固知识和提高解题能力。
练习题一：三棱柱1. 一个三棱柱的底面是一个等边三角形，边长为8cm，高度为10cm。
求该三棱柱的体积和表面积。
2. 一个三棱柱的体积是72cm³，底面边长为6cm。
求该三棱柱的高度和表面积。
练习题二：四棱柱和四棱锥1. 一个正四棱柱的底面是一个边长为4cm的正方形，高度为6cm。
求该四棱柱和与之相似的正四棱锥的体积比值。
2. 一个四棱柱的底面是一个边长为10cm的正方形，高度为8cm。
求该四棱柱和与之相似的四棱锥的表面积比值。
练习题三：球体和圆柱1. 一个半径为4cm的球从中间切割，得到两个半球。
求这两个半球的表面积之和。
2. 一个圆柱的底面半径为3cm，高度为10cm。
在底面上画一个直径，求这个直径与圆柱的侧面交点处的高度和侧面的面积。
练习题四：棱台和棱锥1. 一个棱台的上底是一个边长为6cm的正三角形，下底是一个边长为12cm的正六边形，高度为8cm。
求该棱台的体积和表面积之和。
2. 一个棱台的上底是一个边长为8cm的正方形，下底是一个边长为12cm的正六边形，高度为10cm。
求该棱台的体积和表面积的比值。
以上仅为一些高中立体几何的练习题，希望能够帮助大家巩固知识并提高解题能力。
在解答这些题目时，可以根据已学习的定理和公式进行计算，并注意单位和精度的问题。
同时也要灵活运用几何思维和建模能力，将实际问题转化为几何图形，从而更好地解决问题。
祝各位同学在立体几何学习中取得好成绩！。
高中立体几何典型题及解析
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题)51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。
求：AM 及CN 所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。
∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=21AM 且E 为MD 的中点。
设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 43且ME=21MD=43 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2=163+41=167∴cos ∠CNE=3243432167)43()43(222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+NECN CE NE CN ,又∵∠CNE ∈(0, 2π)∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为32.注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。
2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。
最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。
求异面直线AB 及CD 所成的角。
解析：在BD 上取一点G ，使得，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，，故EG//CD ，并且， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠FGE=215327532222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。
另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。
高一数学立体几何初步试题答案及解析
高一数学立体几何初步试题答案及解析1.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么A．α∥βB．α与β相交C．α与β重合D．α∥β或α与β相交【答案】D【解析】由题意当两个平面平行时符合平面α内有无数条直线都与平面β平行，当两平面相交时，在α平面内作与交线平行的直线，也有平面α内有无数条直线都与平面β平行．故为D。
【考点】本题主要考查平面与平面之间的位置关系。
点评：对两平面空间的位置要做出多种推测。
2.平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α的关系是A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能确定【答案】A【解析】若AB∥CD，易得EF与α、β均平行若AB与CD相交，则EF与α、β均平行若AB与CD异面，则设过AB和EF的平面交α，β分别于直线AG和BH，如下图所示：且使G，F，H在一直线上．因为平面α∥β，所以AG∥CH，连接CG和DH，则CGFDH在一个平面内，且CG∥DH，F为CD中点，所以三角形CFG和三角形DFH全等，即得FG=FH，因为AG∥CH，又E，F分别为AB，CD中点，且A，C，H，G在一个平面内，所以EF∥AG∥CH，CH在平面β内，故EF∥β．同理EF∥β故选A。
【考点】本题主要考查空间中直线与平面之间的位置关系。
点评：由于AB，CD的位置关系不确定，故要进行分类讨论。
将空间问题转化为平面问题的转化思想也是处理空间问题最常用的思路。
3.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是A．三个平面共线；B．有两个平面平行且都与第三个平面相交；C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交；D．三个平面两两相交。
【答案】C【解析】①若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；②若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；③若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；④若三个平面其中两个平行和第三个相交，则把空间分成6部分；故选C．【考点】本题主要考查平面与平面之间的位置关系。
立体几何练习题及答案
立体几何练习题及答案立体几何练习题及答案立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的几何形体。
在我们的日常生活中，立体几何无处不在，比如建筑物、雕塑、家具等。
掌握立体几何的基本概念和解题方法，不仅可以提高我们的空间想象能力，还能帮助我们解决实际问题。
下面，我将给大家提供一些立体几何的练习题及答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 题目：一个正方体的体积是64立方单位，求它的边长。
解答：设正方体的边长为a，则根据正方体的性质可知，它的体积等于边长的立方，即a³=64。
两边开立方根，得到a=4。
所以，这个正方体的边长是4个单位。
2. 题目：一个圆柱的底面半径为3cm，高为8cm，求它的体积和表面积。
解答：圆柱的体积公式为V=πr²h，其中r是底面半径，h是高。
代入已知条件，可得V=π×3²×8=72π。
所以，这个圆柱的体积是72π立方厘米。
圆柱的表面积公式为A=2πrh+2πr²。
代入已知条件，可得A=2π×3×8+2π×3²=48π+18π=66π。
所以，这个圆柱的表面积是66π平方厘米。
3. 题目：一个球的半径为5cm，求它的体积和表面积。
解答：球的体积公式为V=4/3πr³，其中r是半径。
代入已知条件，可得V=4/3π×5³=500/3π。
所以，这个球的体积是500/3π立方厘米。
球的表面积公式为A=4πr²。
代入已知条件，可得A=4π×5²=100π。
所以，这个球的表面积是100π平方厘米。
4. 题目：一个圆锥的底面半径为6cm，高为10cm，求它的体积和表面积。
解答：圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，其中r是底面半径，h是高。
代入已知条件，可得V=1/3π×6²×10=120π。
所以，这个圆锥的体积是120π立方厘米。
中职数学《立体几何》总复习专项测试题
第九章立体几何总复习专项测试题一、判断题（立体几何基本概念）1、在一个平面内有三条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行…………（A B）2、分别在两个平行的平面内的两条直线一定平行…………………………………（A B）3、不存在与两条异面直线都相交的两条直线………………………………………（A B）4、平面就是平行四边形………………………………………………………………（A B）5、过直线外一点可以作无数条直线与这条直线平行………………………………（A B）6、空间内不相交的两条直线是异面直线……………………………………………（A B）7、在空间中，互相垂直的两条直线一定是相交直线………………………………（A B）8、过空间一点与已知直线垂直的直线有且只有一条………………………………（A B）9、空间内垂直同一条直线的两条直线一定平行……………………………………（A B）10、求两条异面直线所成的角的大小与在空间内选取的点的位置有关……………（A B）11、与两条异面直线都分别相交的两条直线一定是异面直线………………………（A B）12、平行于同一条直线的两条直线必平行……………………………………………（A B）13、平行于同一个平面的两条直线必平行……………………………………………（A B）14、垂直于同一条直线的两条直线必平行……………………………………………（A B）15、垂直于同一个平面的两条直线平行………………………………………………（A B）16、平行于同一个平面的两平面必平…………………………………………………（A B）17、垂直于同一个平面的两平面平行…………………………………………………（A B）18、如果一个平面内的两条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行…………（A B）二、填空题（柱、锥、球）①棱柱：侧面积：_________________；全面积：________________；体积：______________ .②棱锥：侧面积：_________________；全面积：________________；体积：______________ .③圆柱：侧面积：_________________；全面积：________________；体积：______________ .④圆锥：侧面积：_________________；全面积：________________；体积：______________ .⑤球：表面积：_____________________________；体积：__________________________ .1、正四棱柱的底面边长为3cm，高为4cm，则它的侧面积为_____；全面积_____；体积_____ .2、一个四棱锥的底面是长为4cm宽为3cm的矩形，侧棱长都为5cm，则它的体积为_______ .3、已知圆柱OO′的母线l = 4cm，表面积为42πcm2，则圆柱OO′的底面半径r=________cm .4、圆锥的母线长为10，高为8，则它的表面积为____________；体积为______________ .5、一个平面截球，得到的截面面积为36π，且球心到截面的距离为8，则该球的体积为_____ .再试牛刀：1、如果直线21//l l ，2l //平面α，那么1l _________平面α.2、设直线a 与b 是异面直线，直线c //a ，则b 与c 的位置关系是_____________.3、正四棱锥底面边长为a ，侧面积是底面积的2倍，则它的体积是____________ .4、圆柱的底面半径为2cm ，高为5cm,则这个圆柱的体积为___________cm 3 .5、圆锥的母线长12cm ，母线和轴的夹角30°，则圆锥的侧面积为______；全面积为：_______ .三、选择题（确定了答案再选）1、设P 为平面α外一点，则下述结论中，正确的是（ ）.A.过点P 可作无数条直线与α垂直B.过点P 只能作一条直线与α成60°的角C.过点P 只有一条直线与α平行D.过点P 有无数条直线与α平行2、两两相交的四条直线所确定平面的个数最多的是（ ）.A.4个B.5个C.6个D.8个3、如图，在直二面角α—PQ —β中，直角△ACB 在α内，斜边AB 在棱PQ 上，若AC 与平面α内，斜边AB 在棱PQ 上，若AC 与平面β成30°的角，则BC 与β所成的角为（ ）.A.60°B.45°C.30°D.90°4、若△ABC 在平面α内，P 是平面α外一点，则图中异面直线的对数是（ ）.A 、2对 B.3对 C.4对 D.5对5、如果直线l 和直线m 没有公共点，那么这两条直线的位置关系是（ ）.A.共面B.平行C.异面直线D.可能是平行直线，也可能是异面直线6、若点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 四边中点，EH 和FG 的位置关系是（ ）.A.异面直线B.平行直线C.相交直线D.相交直线或异面直线7、已知a 、b 是异面直线，c ∥b ，那么a 与c （ ）.A 一定是平行直线B 一定是相交直线C 一定是异面直线D 不可能是平行直线8、分别在两个相交平面内的两条直线的位置关系是（ ）.A.异面直线B.平行直线C.相交直线D.以上三种情况均有可能9、直线a 与直线b 、c 所成的角都相等，则b 、c 的位置关系是（ ）.A.异面直线B.平行C.相交D.以上三种情况均有可能10、如果a 、b 是异面直线，那么与a 、b 都平行的平面有（ ）.A.有且只有一个B.有两个C.有无数个D.不一定存在11、下列结论中，错误的是（ ）.A.在空间内，与定点的距离等于定长的点的集合是球面B.球面上的三个不同的点，不可能在一条直线上C.过球面上的两个不同的点只能做一个大圆D.球的体积是这个球的表面积与球半径的31 12．设直线m //平面α，直线n 在α内，则（ ）.A.m //nB.m 与n 相交C.m 与n 异面D.m 与n 平行或异面四、简答题1、（直线与直线的位置关系）已知空间四边形OABC的边长和对角线长都为1,D、E分别为OA、BC的中点，连结DE .(1)求证:DE是异面直线OA和BC的公垂线；(2)求异面直线OA和BC的距离；(3)求点O到平面ABC的距离.2、（直线与平面的位置关系）已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD.3、（平面与平面的位置关系）已知二面角α- -β的平面角是锐角θ，若点C∈α，C到β的距离为3，C到棱AB的距离为4，试求sin2θ的值.∆中，AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC边上的高AD为折4、（翻折问题）已知ABC痕使∠BDC=90º.（如图(2)所示）①求∠BAC;②求点C到平面ABD的距离;③求平面ABD与平面ABC所成的二面角的正切值.高考仿真：1、如图,平面α∩β=CD,EA⊥α,EB⊥β,且A∈α,B∈β.求证:(1)CD⊥平面EAB；(2)CD⊥直线AB.2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求直线DA1与AC1的夹角;(2)求证:AC1⊥平面A1BD.3、已知:在60º二面角的棱上,有两个点A、B，AC、BD分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD的长.4、已知等腰梯形ABCD，AB∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC折成60º的二面角,求B、D两点之间的距离.。
职高数学第九章立体几何习题和答案解析
职高数学第九章立体几何习题和答案解析立体几何是数学中的一个重要分支，也是职高数学课程中的一大门类。
在职高数学的第九章中，我们将学习关于立体几何的基本概念、性质以及应用。
为了帮助同学们更好地掌握这一章节的知识，本文将提供一些与立体几何相关的习题，并对每个习题的答案进行详细解析。
1. 问题描述：已知一个正方体的棱长为5cm，求其表面积和体积。
解析：正方体的表面积等于六个面的面积之和，每个面的面积等于边长的平方。
所以正方体的表面积为6 * (5cm)^2 = 150cm^2。
正方体的体积等于边长的立方，所以正方体的体积为(5cm)^3 = 125cm^3。
2. 问题描述：一个圆柱体的底面半径为3cm，高为8cm，求其体积和侧面积。
解析：圆柱体的体积等于底面积乘以高。
底面积等于圆的面积，即π * r^2，其中π取近似值3.14。
所以圆柱体的体积为3.14 * (3cm)^2 *8cm ≈ 226.08cm^3。
圆柱体的侧面积等于底面周长乘以高，底面周长等于圆的周长，即2 * π * r。
所以圆柱体的侧面积为2 * 3.14 * 3cm * 8cm ≈ 150.72cm^2。
3. 问题描述：一个圆锥的底面半径为4cm，高为6cm，求其体积和侧面积。
解析：圆锥的体积等于底面积乘以高再除以3。
底面积等于圆的面积，即π * r^2。
所以圆锥的体积为1/3 * 3.14 * (4cm)^2 * 6cm ≈100.48cm^3。
圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线的长度，底面周长等于圆的周长，即2 * π * r，母线的长度可以用勾股定理计算，即√(r^2 + h^2)。
所以圆锥的侧面积为3.14 * 4cm * √((4cm)^2 + (6cm)^2) ≈97.44cm^2。
4. 问题描述：一个球体的半径为5cm，求其体积和表面积。
解析：球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方，即4/3 * 3.14 * (5cm)^3 ≈ 523.33cm^3。
数学立体几何大题
（2020年新高考立体几何）20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD垂直底面ABCD。
设平面PAD与平面PBC的交线为L。
（1）证明：l垂直平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为L上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值。
（2020年天津卷立体几何）17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1垂直平面ABC，AC垂直BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱CC1上，且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点。
（I）求证：C1M垂直B1D
(II) 求二面角B-B1E-D的正弦值
(III)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值
（2020年浙江卷立体几何）19.如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD 垂直平面ABC，角ACB=角ACD=45度，DC=2BC。
（I）证明：EF垂直DB
(II)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值。
（2020年北京卷立体几何）16.如图，在正方体ABCD-A1B2C3D4中，E为BB1的中点。
（I）求证：BC1//平面AD1E;
(II)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值。
考点3.3 立体几何的新定义问题(解析版)
考点3.3 立体几何的新定义问题立体几何问题是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的立体几何问题在高考中逐步成为热点。
通过具体的问题背景或新的定义，考察立体几何知识等在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。
本专题以单选题，多选题，填空题及解答题等形式体现立体几何在新定义问题中的应用。
解决立体几何的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。
解题要点：根据题目给出的新定义，建立立体几何模型，研究模型时需注意：根据新定义进行由特殊到一般的规律总结，最后解决问题。
立体几何的新定义问题 （1） 单选题1．（2020·济南市·山东省实验中学高二期中）空间直角坐标系O xyz -中，经过点()000,,P x y z ，且法向量为(),,m A B C =的平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=，经过点()000,,P x y z 且一个方向向量为()(),,0n μυωμυω=≠的直线l 的方程为x x y y z z μυω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3570x y z -+-=，经过()0,0,0的直线l 的方程为321xy z ==-，则直线l 与平面a 所成角的正弦值为（ ）A B C D 【答案】B 【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线l 与平面a 所成角的正弦值. 【详解】因为平面α的方程为3570x y z -+-=，故其法向量为()3,5,1n =-， 因为直线l 的方程为321x y z ==-，故其方向向量为()3,2,1m =-，故直线l 与平面a35==，故选：B. 【点睛】关键点点睛：此题为材料题，需从给定的材料中提炼出平面的法向量和直线的方向向量的求法，这是解决此题的关键.2．（2020·全国高三专题练习（文））将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即[]2326,2326δ''∈-︒︒．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬395427'''︒，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）A ．北纬5527'''︒B ．南纬5527'''︒C ．北纬5533'''︒D ．南纬5533'''︒【答案】D 【分析】首先根据题意理解太阳高度角、该地纬度、太阳直射纬度的概念，然后由太阳高度角()9039542745θδ'''=︒-︒-=︒可得结果.【详解】由题可知，天安门广场的太阳高度角()9039542750533θδδ''''''=︒-︒-=︒+， 由华表的高和影长相等可知45θ=︒，所以45505335533δ''''''=︒-︒=-︒. 所以该天太阳直射纬度为南纬5533'''︒， 故选：D.3．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考（理））设1P 、2P 、…、n P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到1P 、2P 、…、n P 点的距离之和最小，则称点P 为1P 、2P 、…、n P 点的一个“中位点”，有下列命题：①A 、B 、C 三个点共线，C 在线段AB 上，则C 是A 、B 、C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；③若四个点A 、B 、C 、D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是（ ） A ．②④ B ．①②C ．①④D ．①③④【答案】C 【分析】根据中位点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可. 【详解】①若三个点,,A B C 共线,C 在线段AB 上,根据两点之间线段最短, 则C 是,,A B C 的中位点,正确；②举一个反例,如边长为3,4,5的直角三角形ABC ,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5 2.57.5+=,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯一；故错误；④如图,在梯形ABCD 中,对角线的交点,O P 是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得PA PB PC PD AC BD OA OB OC OD +++≥+=+++,∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．故①④正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了新定义问题的运用,需要根据题意根据几何性质找到反例或直接证明.属于难题.4．（2020·北京高三专题练习）若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是1,22⎡⎢⎣⎭；②存在点P 使得1//PQ 平面β；③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③C ．①③D ．①②【答案】D 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设点P 的坐标为()()0,1,01a a <<，求出点1Q 、2Q 的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误. 【详解】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A BC D -中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴， 又1PE C D ⊥，1AD C D D =，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=，同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦.以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =01a <<，则111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，212PQ ⎡=⎢⎣⎭，命题①正确； 对于命题②，2CQ β⊥，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，110,,2a PQ a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令211130424a a a CQ PQ --⋅=-==，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()12211042a a a PQ PQ --⋅=+=， 整理得24310a a -+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ，命题③错误.故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.5．（2021·山东高三专题练习）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（ ）AB ．12CD ．2【答案】D 【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N 到底面B 的距离1BN =，再由边长关系可得四边形1NPC H 是平行四边形，从而侧面11CDD C 与桌面所转化成侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值. 【详解】由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱1111,,,,AA BB CC DD 交于,,,,M N P Q 由题意知3PC =，水的体积为32BCPN S CD ⋅=322BN PC BC CD +∴⋅⋅=，即344322BN +⨯⨯=， 1BN ∴=在平面11BCC B 内，过点1C 作1//C HNP 交1BB 于H ，则四边形1NPC H 是平行四边形，且11NH PC ==又侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，即侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角,其平面角为111HC C B HC ∠=∠, 在直角三角形11B HC 中，111114tan 22B C B HC B H ===.【点睛】本题考查了利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.（2） 多选题6．（2020·江苏南通市·海安高级中学高一月考）平面中两条直线l 和n 相交于O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 和n 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”.则下列说法正确的（ ）A ．若p =q =0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有一个B ．若pq =0，且p +q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个C ．若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个D ．若p =q ，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线 【答案】ABC 【分析】根据“距离坐标”的定义对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】首先点到直线的距离是唯一确定的.对于A 选项，由于0p q ==，所以()0,0表示O 点，有且仅有一个，故A 选项正确. 对于B 选项，由于0pq =，且0p q +≠，当00p q =⎧⎨≠⎩或0p q ≠⎧⎨=⎩时，分别表示点()0,q 或(),0p ，有且仅有两个，故B 选项正确.对于C 选项，由于l 和n 相交与O ，所以直线l 和直线n 确定一个平面α，根据对称性可知，在平面α的上方和下方，各有两个“距离坐标”为(),p q 的点.故“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，所以C 选项正确. 对于D 选项，设l 和n 相交与O ，直线l 和直线n 相交所形成的两组对角的角平分线上的点，都满足p q =，所以点M 的轨迹不只是一条过O 点的直线，所以D 选项错误. 由于p q =， 故选：ABC本小题主要考查空间点与直线的位置关系，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题. 7．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知单位向量i ，j ，k 两两的夹角均为0,2πθθπθ⎛⎫<<≠⎪⎝⎭，若空间向量a 满足(,,)a xi y j zk x y z R =++∈，则有序实数组(,,)x y z 称为向量a 在“仿射”坐标系Oxyz （O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=，则下列命题是真命题的有（ ）. A ．已知(1,3,2)a θ=-，(4,0,2)b θ=，则0a b ⋅= B ．已知(,,0)3a x y π=，(0,0,)3b z π=，其中,,0x y z >，则当且仅当x y =时，向量a ，b 的夹角取得最小值C ．已知()111,,a x y z θ=，()222,,b x y z θ=，则()121212,,a b x x y y z z θ+=+++D ．已知(1,0,0)3OA π=，(0,1,0)3OB π=，(0,0,1)3OC π=，则三棱锥O ABC -的表面积S =【答案】BC 【分析】根据“仿射”坐标的定义逐项判断即可. 【详解】(1,3,2)(4,0,2)(32)(42)421268412cos a b i j k i k i k i j j k k i θθθ⋅=-⋅=+-⋅+=+⋅+⋅+⋅-⋅-=因为0θπ<<，且2πθ≠，所以0a b ⋅≠，故A 错误；如图所示，设OB b =，OA a =，则点A 在平面xOy 上，点B 在z 轴上，由图易知当x y =时，AOB ∠取得最小值，即向量a 与b 的夹角取得最小值，故B 正确；根据“仿射”坐标的定义可得，()()()()()()()()111222111222121212121212,,,,,,a b x y z x y z x i y j z k x i y j z k x x i y y j z z k x x y y z z θθθ+=+=+++++=+++++=+++，故C 正确；由已知可得三棱锥O ABC -为正四面体，棱长为1，其表面积214122S =⨯⨯⨯=D 错误. 故选：BC. 【点睛】新定义概念题，考查对新概念的理解能力以及运算求解能力，基础题.8．（2020·江苏高二期中）20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为1，则（ ）A ．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B ．它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直 CD ．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等 【答案】ACD 【分析】利用立方八面体与正方体之间的关系计算出正方体的棱长，可判断A 、C 选项的正误；计算出不共面的棱所成角的大小可判断B 选项的正误，计算相邻的两个面所成二面角的大小可判断D 选项的正误. 【详解】如下图所示，由题意可知，立方八面体的顶点为正方体1111ABCD A BC D -各棱的中点，故立方八面体的棱为正方体1111ABCD A BC D -相邻两条棱的中点的连线，=由对称性可知，立方八面体的外接球球心为正方体1111ABCD A BC D -的中心，外接球的直径为正方体1111ABCD A BC D -的面对角线长2，该球的半径为1，A 选项正确； 设MN 、PQ 为立方八面体的两条不共面的棱，如下图所示，则11//MN B D ，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//BB DD 且11BB DD =，则四边形11BBD D 为平行四边形， 11//BD B D ∴，//MN BD ∴，由于1//PQ BC ，易知1BC D 为等边三角形，则160C BD ∠=，所以，MN 与PQ 所成角为60，B 选项错误；立方八面体的体积为331183223V ⎛⎫=-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭C 选项正确； 设正方体1111ABCD A BC D -底面的中心为点O ，连接OC 交立方八面体的棱PF 于点E ，连接EQ ，则E 为PF 的中点，且PFQ △为等边三角形，所以，EQ PF ⊥，CD BC =，O 为BD 的中点，OC BD ∴⊥，P 、F 分别为BC 、CD 的中点，则//PF BD ，OC PF ∴⊥，所以，OEQ ∠为立方八面体的底面与由平面PFQ 所成二面角的平面角，立方八面体的棱长为1，12OE EC ∴==，112CQ CC ==，3sin 602EQ PQ == 1CC ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，1CC CE ∴⊥，在Rt CEQ 中，cos CE CEQ EQ ∠==所以，()cos cos 180cos OEQ CEQ CEQ ︒∠=-∠=-∠=同理可知，立方八面体的相邻两个面所成二面角的余弦值为-D 选项正确. 故选：ACD.【点睛】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．9．（2020·夏津县教育和体育局高二月考）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，AD =ADE 与BCF △都是等边三角形，且二面角E AD B --与F BC A --相等且大于3π，则EF 长度可能为（ ）A ．1B ．5C ．9D ．13【答案】CD 【分析】取两个极限情况：二面角E AD B --与F BC A --相等，且为平角时，14EF =，二面角为3π时，5EF =，即可得出结果. 【详解】等边三角形ADE 603︒=，同理等边三角形BCF 边上的高为3．二面角E AD B --与F BC A --相等，且为平角时，6814EF =+=，因此14EF <， 二面角E AD B --与F BC A --相等，且为3π时，EF 最小， 如图所示，此时取BC ，AD 的中点,O Q ，连接OQ ，FO ， 由图形的对称性可得F 点在底面的投影必在OQ 上，由于OF BC ⊥，OH BC ⊥，所以FOH ∠即为二面角F BC A --的平面角， 即3FOH π∠=，故32OH =，此时38252EF =-⨯= 由于二面角大于3π，因此5EF >， 即可得EF 长度可能为9,13， 故选：CD.【点睛】本题主要考查了空间角、运动思想方法、空间位置关系，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题.（3） 填空题10．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为()2220,,,,0Ax By Cz D A B C D R A B C +++=∈++≠，点()000,,P x y z 到平面α的距离d =，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于________．【分析】以底面中心O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，求出点,,,O A B P 的坐标，求出侧面的方程，最后利用所给公式计算即可． 【详解】如图，以底面中心O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -， 则()0,0,0O，(1A ，1，0)，(1B -，1，0)，(0P ，0，2)，设平面PAB 的方程为0Ax By Cz D +++=，将,,A B P 坐标代入计算得0020A B D A B D C D ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩解得0A =，B D =-，12C D =-，102Dy Dz D ∴--+=，即220y z +-=，d ∴==【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．11．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V ，棱数E 及面数F 满足等式2V E F -+=，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮，简洁的公式之一.如图是一个面数为26的多面体（其表面仅由正方形和正三角形围成），根据欧拉多面体公式可求得其棱数E =_______.【答案】48 【分析】根据图形可知顶点数，代入欧拉多面体公式可求得结果. 【详解】该多面体面数26F =，由图知，顶点数24V =，根据欧拉多面体公式2V E F -+=得：棱数22426248E V F =+-=+-=. 故答案为：48. 【点睛】本题考查立体几何中的新定义运算的求解问题，关键是能够充分理解已知所给公式，属于基础题.（4） 解答题12．（2021·全国高三八省联考）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数． 【答案】（1）4π；（2）证明见解析. 【分析】（1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++=，按照公式计算总曲率即可. 【详解】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形. 所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成， 则其总曲率为：()25424ππππ⨯-+=.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，所以有2n l m -+= 设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++=所以总曲率为：()()()122222m n x x x ππ--+-++-⎡⎤⎣⎦()222n l m ππ=--()24n l m ππ=-+=所以这类多面体的总曲率是常数. 【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键．13．（2020·北京101中学高二期中）已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1n n i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ①若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；②在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ③在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+； （3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83. 【答案】（1）①；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析． 【分析】（1）①根据新定义直接计算．②根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；③由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，①若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，①正确；②在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ， 所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，②错误；③在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在②中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，③错误． 空格处填①（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．, （3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，∴04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，∴,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=， 现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立．14．（2016·上海市实验学校高二期末）（1）如图，对于任一给定的四面体1234A A A A ，找出依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，使得()1,2,3,4i i A i α∈=，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体1234A A A A 的四个顶点满足：()1,2,3,4i i A i α∈=，求该正四面体1234A A A A 的体积．【答案】（1）见解析； （2 【分析】（1）根据题意要作出相互平行且相邻距离相等的平面，所以先作直线平行，且取等分点，例如可取41A A 的三等分点2P ，3P ，13A A 的中点M ，24A A 的中点N ，则有223//A P NP ，332//A P MP ，从而可得面面平行； （2）先将正四面体补形为正方体，结合条件确定正方体的棱长，即可求正四面体1234A A A A 的体积． 【详解】（1）取41A A 的三等分点2P ，3P ，13A A 的中点M ，24A A 的中点N ， 过三点2A ，2P ，M 作平面2α，过三点3A ，3P ，N 作平面3α， 因为223//A P NP ，332//AP MP ，所以平面2//α平面3α， 再过点1A ，4A 分别作平面1α，4α与平面2α平行，那么四个平面，2α，3α，4α依次相互平行， 由线段41A A 被平行平面1α，2α，3α，4α截得的线段相等知，每相邻两个平面间的距离相等，故1α，2α，3α，4α为所求平面．（2）如图，将此正四面体补形为正方体1111ABCD A BC D -（如图）， 分别取AB 、CD 、11A B 、11C D 的中点E 、F 、1E 、1F ，平面11DEE D 与11BFF B 是分别过点2A 、3A 的两平行平面，若其距离为1，则正四面体1234A A A A 满足条件，右图为正方体的下底面，设正方体的棱长为a ，若1AM MN ==，因为12AE a =，DE =，在直角三角形ADE 中，AM DE ⊥，所以1122a a a =⋅，所以a ==，所以此正四面体的体积为3311432V a a =-⋅⋅=．【点睛】本题考查面面平行判定以及补形法求体积，考查空间想象能力以及基本分析论证与求解能力，属较难题.。
三年级-上-几何体练习题
三年级-上-几何体练习题
1. 立体几何基本概念
- 立体几何是研究具有长度、宽度和高度的几何图形的学科。
- 立体几何的基本概念包括点、线、面和体。
- 点是一个没有任何尺寸的几何元素，表示一个位置。
- 线由一系列点组成。
线没有宽度，但有长度和方向。
- 面是由无数条线组成的，它具有宽度和长度，但没有高度。
- 体是由无数个面组成的，具有长度、宽度和高度。
2. 常见的几何体有哪些？
- 立方体：所有边相等的六个正方形面构成的几何体。
- 正方体：所有边相等的六个正方形面构成的几何体。
- 圆柱体：由两个平行且相等的圆面和一个侧面组成的几何体。
- 圆锥体：由一个圆形底面和一个侧面组成的几何体。
- 球体：由所有距离球心相等的点组成的几何体。
3. 练题
1. 下图是一个何种几何体？（图示立方体）
2. 以下哪个是一个圆柱体？
3. 以下哪个是一个球体？
4. 计算下面立方体的体积：
边长：5cm
5. 判断下面说法的正确性，并纠正错误的说法：
A. 正方体是一种特殊的立方体。
（正确/错误）
B. 球体没有边和面。
（正确/错误）
以上是几何体练题，希望能帮助你巩固立体几何的基础知识。
答案请参考下一页。
参考答案
1. 立方体
4. 体积 = 边长 x 边长 x 边长 = 5cm x 5cm x 5cm = 125cm³
5. A. 正确 B. 错误（球体有无数个面和边）
请注意，以上答案仅供参考，具体题目可能会有不同的解答方法和形式。
专项练习：立体几何基本概念30练
立体几何基本概念30练选择题（共30小题）1．（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β2．（2011•浙江）若直线l不平行于平面α，且l⊆α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．（2011•浙江）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β4．（2010•浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A若l⊥m，m⊆⊂α，则l⊥α B若l⊥α，l∥m，则m⊥αC若l∥α，m⊆α，则l∥m D若l∥α，m∥α，则l∥m5．（2010•江西）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）6．（2008•江西）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直7．（2008•湖南）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊆α，n⊆α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊆α，则m⊥βD．D.若α⊥β，m⊥β，m⊆α，则m∥α8．（2008•湖南）已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则（）A．n⊥βB．n∥β，或n⊆βC．n⊥αD．n∥α，或n⊆α9．（2008•海南）已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∈l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β10．（2008•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n11．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b12．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γD．若m⊥β，m∥α，则α⊥β13．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③14．平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：①m′⊥n′⇒m⊥n；②m⊥n⇒m′⊥n′；③m′与n′相交⇒m与n相交或重合；④m′与n′平行⇒m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．415．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α16．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线17．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．418．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上19．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ；②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．其中，可以判定α与β平行的条件有（）A．1 B．2 C．3 D．420．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β其中真命题是（）A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④21．已知a、b、c是三条直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥β，b⊂β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．422．已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．323．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：①，②，③，④其中假命题有（）个A．0 B．1 C．2 D．324．在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（）A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥αD．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α25．（2004•湖北）如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④26．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA．①②B．②③C．③④D．①④27．已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下列四个命题中，正确的是（）A．B．C．D．28．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β29．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交30．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥a，m⊥β，给出下列四个命题；（1）若α∥β，则l⊥m．（2）若l⊥m，则α∥β．（3）若α⊥β，则l∥m．（4）若l∥m，则α//β．其中正确命题的个数是（）个A．1 B．2 C．3 D．4参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）2．（2011•浙江）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）3．（2011•浙江）下列命题中错误的是（）4．（2010•浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B若l⊥α，l∥m，则m⊥α C若l∥α，m⊂α，则l∥m D若l∥α，m∥α，则l∥m5．（2010•江西）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）6．（2008•江西）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）7．（2008•湖南）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A若m∥α，n∥α，则m∥n B若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，m⊥β，m⊄α，则m∥αC若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D若α⊥β9．（2008•海南）已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）10．（2008•安徽）已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）11．（2007•天津）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）12．（2007•辽宁）若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）13．（2007•江苏）已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β其中正确命题的序号是（ ）14．（2007•湖北）平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：①m′⊥n′⇒m ⊥n ；②m ⊥n ⇒m′⊥n′；③m′与n′相交⇒m 与n相交或重合；④m′与n′平行⇒m 与n 平行或重合．其中不正确的命题个数是（ ）15．（2007•福建）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）16．（2006•重庆）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）17．（2006•辽宁）给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行．②垂直于同一平面的两个平面互相平行．③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行．④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是（）18．（2006•江西）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）19．（2005•重庆）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．其中，可以判定α与β平行的条件有（）20．（2005•辽宁）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β；④若m 、n 是异面直线，m ⊥α，m ∥β，n ⊥β，n ∥α，则α⊥β其中真命题是（ ）21．（2005•湖北）已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥β，b ⊂β，则a ∥b ；④若a 与b 异面，且a ∥β，则b 与β相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直．其中真命题的个数是（ ）22．（2005•福建）已知直线m 、n 与平面α，β，给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（ ）23．（2004•重庆）不同直线m ，n 和不同平面α，β，给出下列命题：①，②，③，④其中假命题有：（ ）24．（2004•上海）在下列关于直线l 、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）25．（2004•湖北）如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）26．（2004•北京）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β27．（2002•北京）已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下列四个命题中，正确的是（）28．（2003•上海）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）29．（2002•天津）已知m ，n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，α∩β=l ，则l （ ）30．（2002•上海）已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m ⊥β，给出下列四个命题；（1）若α∥β，则l ⊥m ．（2）若l ⊥m ，则α∥β（3）若α⊥β，则l ∥m ．（4）若l ∥m ，则α//β其中正确命题的个数是（ ）。
高中立体几何试题及答案
高中立体几何试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 空间中，如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的任意直线b的位置关系是：A. 平行B. 异面C. 相交D. 垂直2. 一个正方体的棱长为a，那么它的对角线长度为：A. a√2B. a√3C. 2aD. 3a3. 已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，圆锥的体积是：A. πr²hB. 1/3πr²hC. 2πr²hD. 3πr²h4. 一个球的半径为R，那么它的表面积是：A. 4πR²B. 2πR²C. πR²D. R²5. 空间中，如果两个平面α和β相交于直线l，那么直线l与平面α和平面β的位置关系是：A. 平行B. 垂直C. 相交D. 包含二、填空题（每题2分，共10分）6. 空间直角坐标系中，点A(2,3,4)到原点O的距离是________。
7. 一个正四面体的每个顶点都与其它三个顶点相连，那么它的边长与高之比为________。
8. 已知一个长方体的长、宽、高分别为l、w、h，那么它的体积是________。
9. 空间中，如果一个点到平面的距离是d，那么这个点到平面上任意一点的距离的最大值是________。
10. 一个圆柱的底面半径为r，高为h，它的侧面积是________。
三、解答题（共75分）11. （15分）已知空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，B(4,5,6)，点C 在平面ABC内，且AC=BC=2，求点C的坐标。
12. （20分）一个圆锥的底面半径为3，高为4，求圆锥的全面积和表面积。
13. （20分）一个长方体的长、宽、高分别为5、3、2，求其外接球的半径。
14. （20分）已知一个球的表面积为4π，求该球的体积。
答案：一、选择题1. A2. B3. B4. A5. C二、填空题6. √(1²+2²+3²)=√147. √3:18. lwh9. d+R10. 2πrh三、解答题11. 点C的坐标可以通过向量运算求得，设C(x,y,z)，则向量AC=向量BC，即(1-x,2-y,3-z)=(x-4,5-y,6-z)，解得x=3，y=4，z=5，所以点C的坐标为(3,4,5)。
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第八章立体几何§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．高考主要考查空间几何体的结构和视图，柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图一般会在选择题、填空题中考查，以给出空间图形选择其三视图或给出三视图判断其空间图形的形式出现，考查空间想象能力．1．棱柱、棱锥、棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．※2.棱柱、棱锥、棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．(3)正棱台的性质侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．3．圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以________的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．(2)圆柱、圆锥、圆台的性质圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、___________、___________；平行于底面的截面都是__________．4．球(1)球面与球的概念以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．5．平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．6．空间几何体的三视图、直观图(1)三视图①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________、__________、__________．②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．(2)直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使∠xOz ＝________且∠yOz ＝________．②画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，使∠x ′O ′y ′＝____________，∠x ′O ′z ′＝____________．x ′O ′y ′所确定的平面表示水平面．③已知图形中，平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成____________x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的__________．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形，直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；(2)投影效果：三视图是在平行投影下画出的平面图形，用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形．【自查自纠】1．(1)平行 四边形 平行 (2)多边形 三角形2．(1)平行四边形 全等 平行四边形 矩形 (2)等腰三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形(3)等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形 3．(1)矩形 直角三角形 直角梯形 (2)矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆4．(1)直径 球心 (2)垂直于 d ＝R 2－r 2 5．平行投影 平行6．(1)①正(主)视图 侧(左)视图 俯视图 (2)①90° 90°②45°(或135°) 90° ③平行于 ④一半下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的底面一定是平行四边形B ．棱锥的底面一定是三角形C ．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D ．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 解：根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断，故选D.以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )A ．球的三视图总是三个全等的圆B ．正方体的三视图总是三个全等的正方形C ．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D ．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.(2012·陕西)将正方体(如图a 所示)截去两个三棱锥，得到图b 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )解：还原正方体知该几何体侧视图为正方形，AD 1为实线，B1C 的正投影为A 1D ，且B 1C 被遮挡为虚线．故选B.用一张4cm×8cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为________cm 2(接头忽略不计)．解：以4cm 或8cm 为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为32πcm 2，故填32π．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为________．解：如图所示是实际图形和直观图．由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图中作C ′D ′⊥A ′B ′，垂足为D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′×C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故填616a 2.类型一 空间几何体的结构特征(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()解：D 选项的正视图应为如图所示的图形． 故选D.【评析】本题主要考查空间想象能力，是近年高考中的热点题型．本题可用排除法一一验证：A ，B ，C 都有可能，而D 的正视图与侧视图不可能相同．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解：从俯视图看，B ，D 符合，从正视图看，B 不符合，D 符合，而从侧视图看D 也是符合的．故选D.类型二 空间几何体的三视图如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A ．6 3B ．93C ．12 3D ．18 3解：由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱，高h ＝22－1＝3，底面积为9，所以体积V ＝9×3＝9 3.故选B.【评析】通过三视图考查几何体的体积运算是较为常规的考题，考生对此并不陌生．对于空间几何体的考查，从内容上看，柱、锥的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查三视图、体积是重点．本题给出了几何体的三视图，只要掌握三视图的画法“长对正、高平齐，宽相等”，不难将其还原得到斜四棱柱．如图所示的三个直角三角形是 一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则h ＝________cm.解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为5cm ，6cm ，三棱锥的高为h cm ，则三棱锥的体积为V ＝13×12×5×6×h＝20，解得h ＝4cm.故填4.类型三 空间多面体的直观图如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥．画法：(1)画轴．如图1，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.图1(2)画底面．利用斜二测画法画出底面ABCD ，在z 轴上截取O ′使OO ′等于三视图中相应高度，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面A ′B ′C ′D ′.(3)画正四棱锥顶点．在Oz 上截取点P ，使PO ′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接P A ′，PB ′，PC ′，PD ′，A ′A ，B ′B ，C ′C ，D ′D ，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图2所示．图2【评析】根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，确定几何体在x 轴、y 轴、z 轴方向上的长度，最后连线画出直观图．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( )A . 2B ．6 2C .13D ．2 2解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即22，则原图底面积为S ＝2 2.因此该四棱锥的体积为V ＝13Sh ＝13×22×3＝2 2.故选D.类型四 空间旋转体的直观图用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长．解：设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r ，4r .根据相似三角形的性质得， 33＋l ＝r4r，解得 l ＝9. 所以，圆台的母线长为9cm.【评析】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解．圆锥底面半径为1cm ，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解：过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1如图所示. 设正方体棱长为x ，则CC 1＝x ，C 1D 1＝2x .作SO ⊥EF 于O ，则SO ＝2，OE ＝1.∵△ECC 1∽△ESO ，∴CC 1SO ＝EC 1EO ，即x2＝1－22x1， 解得x ＝22(cm)． 故内接正方体的棱长为22cm.1．在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系．2．正多面体(1)正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成．(2)如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，DC 1，DA 1，DB ，可以得到一个棱长为2a 的正四面体A 1-BDC 1，其体积为正方体体积的13.(3)正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a ，球的半径为R )．3．长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .4．棱长为a 的正四面体(1)斜高为32a ；(2)高为63a ；(3)对棱中点连线长为22a ； (4)外接球的半径为64a ，内切球的半径为612a ；(5)正四面体的表面积为3a 2，体积为212a 3. 5．三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，对于能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．6．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的“三变、三不变”．三变：坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．三不变：平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝24S 原图形，S 原图形＝22S 直观图．1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是( )A ．六棱锥B ．六棱台C ．六棱柱D ．非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体解：平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体符合棱柱的定义，故选C .2．下列说法中，正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其它侧面也是矩形C ．正方体的所有棱长都相等D ．棱柱的所有棱长都相等解：棱柱的侧面都是平行四边形，选项A 错误；其它侧面可能是平行四边形，选项B 错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D 错误；易知选项C 正确．故选C.3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )A ．一个圆台、两个圆锥B ．两个圆台、一个圆柱C ．两个圆台、一个圆锥D ．一个圆柱、两个圆锥解：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥．故选D.4．将正三棱柱截去三个角(如图1所示A ，B ，C分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )A B C D 解：观察图形，易知图2所示几何体的侧视图为直角梯形，且EB 为直角梯形的对角线．故选A.5．(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台 解：由俯视图可知该几何体的上、下两底面为半径不等的圆，又∵正视图和侧视图相同，∴可判断其为旋转体．故选D.6．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为()A ．2 2 B. 2C ．2 3D. 3解：由三视图可知，此多面体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，并且有一条长为2的侧棱垂直于底面，所以最长棱长为22＋22＋22＝2 3.故选C.7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．解：由正视图知，三棱柱是底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为2×12×2×2×32＝23，侧面积为3×2×1＝6，所以其表面积为6＋2 3.故填6＋23.8．如图是某个圆锥的三视图，根据图中所标尺寸可得俯视图中圆的面积为________，圆锥母线长为________．解：由三视图可知，圆锥顶点在底面的射影是底面圆的中心，根据图中的数据，底面圆的半径为10，则俯视图中圆的面积为100π，母线长为302＋102 ＝1010，故填100π；1010.9．如图a 是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图．解：图a中几何体三视图如图b 所示：10．如图1是某几何体的三视图，试说明该几何体的结构特征，并用斜二测画法画出它的直观图．解：图1中几何体是由上部为正六棱柱，下部为倒立的正六棱锥堆砌而成的组合体．斜二测画法：(1)画轴．如图2，画x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝∠yOz ＝90°.(2)画底面，利用斜二测画法画出底面ABCDEF ，在z 轴上截取O ′，使OO ′等于正六棱柱的高，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(3)画正六棱锥顶点．在Oz 上截取点P ，使PO ′等于正六棱锥的高．(4)成图．连接P A ′，PB ′，PC ′，PD ′，PE ′，PF ′，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE ′，FF ′，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图3所示．注意：图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．11．某长方体的一条对角线长为7，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为6，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条对角线的投影长分别为a 和b ，求ab的最大值．解：如图，则有AC 1＝7，DC 1＝6， BC 1＝a ，AC ＝b ，设AB ＝x ，AD ＝y ，AA 1＝z ，有x 2＋y 2＋z 2＝7，x 2＋z 2＝6，∴y 2＝1. ∵a 2＝y 2＋z 2＝z 2＋1，b 2＝x 2＋y 2＝x 2＋1， ∴a ＝z 2＋1，b ＝x 2＋1.∴ab ＝（z 2＋1）（x 2＋1）≤z 2＋1＋x 2＋12＝4，当且仅当z 2＋1＝x 2＋1，即x ＝z ＝3时，ab 的最大值为4.水以匀速注入某容器中，容器的三视图如图所示，其中与题中容器对应的水的高度h 与时间t的函数关系图象是( )解：由三视图知其直观图为两个圆台的组合体，水是匀速注入的，所以水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大，又因为容器的对称性，所以函数图象关于一点中心对称．故选C.§8.2空间几何体的表面积与体积1．了解棱柱、棱锥、台、球的表面积和体积的计算公式．2．会利用公式求一些简单几何体的表面积与体积．高考主要考查空间几何体的侧面积、表面积、体积以及相关元素的关系与计算，这些内容常与三视图相结合，以选择题、填空题的形式出现，也可能以空间几何体为载体，考查线面关系、侧面积、表面积以及体积．1．柱体、锥体、台体的表面积(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S直棱柱侧＝__________，S正棱锥侧＝__________，S正棱台侧＝__________(其中C，C′为底面周长，h为高，h′为斜高)．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝________(其中r，r′为底面半径，l为母线长)．(3)柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和．2．柱体、锥体、台体的体积(1)棱柱、棱锥、棱台的体积V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝__________(其中S，S′为底面积，h为高)．(2)圆柱、圆锥、圆台的体积V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝__________(其中r，r′为底面半径，h为高)．3．球的表面积与体积(1)半径为R的球的表面积S球＝________．(2)半径为R的球的体积V球＝________.【自查自纠】1．(1)Ch 12Ch′12()C＋C′h′(2)2πrlπrlπ(r＋r′)l(3)侧面积两个底面积侧面积一个底面积2．(1)Sh 13Sh13h()S＋SS′＋S′(2)πr2h 13πr2h13πh()r2＋rr′＋r′23．(1)4πR2(2)43πR3圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解：分两种情况：①以边长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，∴S底＝πr2＝4π，S侧＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以边长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3.∴S底＝πr2＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．故选C.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为()A.23 2 B. 2 C.23 D.43 2解：∵正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面为等腰直角三角形，且直角顶点为棱锥的顶点，∴侧棱长为2，V＝13×12×(2)2×2＝23.故选C.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的体积与球体积之比为()A．1∶2 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2解：设球半径为R，圆柱底面半径为R，高为2R.∵V球＝43πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，∴V圆柱∶V球＝3∶2.故选D.长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝3，AA1＝1，则球面面积为________．解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，则外接球的直径是长方体的体对角线，而长方体的体对角线的长为AB2＋AD2＋AA21＝22，∴半径R＝ 2.∴S球＝4πR2＝8π.故填8π.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为____________．解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＝π，πrl ＝2π，有⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2，从而可知圆锥的高h ＝l 2－r 2＝4－1＝ 3.∴V ＝13×π×3＝33π.故填33π.类型一 空间几何体的面积问题如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC＝90°，AD 是BC 边上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ； (2)若BD ＝1，求三棱锥D -ABC 的表面积． 解：(1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴沿AD 把△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥BD . 又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥ 平面BDC .又∵AD ⊂平面ADB ，∴平面ADB ⊥ 平面BDC . (2)由(1)知，DA ⊥BD ，BD ⊥DC ，DC ⊥DA ， DB ＝DA ＝DC ＝1，∴AB ＝BC ＝CA ＝ 2.从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32.∴三棱锥D-ABC 的表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.【评析】充分运用图形在翻折前后的不变性，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变等，再由面面垂直的判定定理进行推理证明，然后再计算．(2013·福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是____________．解：由三视图可知该组合体为球内接一个棱长为2的正方体，∴正方体的体对角线为球的直径2r ＝22＋22＋22＝23，S 球＝4πr 2＝12π.故填12π.类型二 空间旋转体的面积问题如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______．解：如图，设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为α，圆柱侧面积S ＝2π×4sin α×2×4cos α＝32πsin2α，当α＝π4时，S 取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.故填32π.【评析】根据球的性质，内接圆柱上、下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上、下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上、下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系提供了依据．(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．解：由三视图知该几何体为长4宽3高1的长方体的中间挖去一个半径为1高为1的圆柱所成几何体，所以表面积为2×(4×3＋4×1＋3×1)－2×π×12＋2π×1×1＝38.故填38.类型三 空间多面体的体积问题一个正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．解：如图所示为正三棱锥S -ABC ，设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AH ⊥BC .∵△ABC 是边长为6的正三角形，∴AE ＝32×6＝33，AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ×AE ＝12×6×33＝93，在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.∴V 正三棱锥＝13×S △ABC ×SH ＝13×93×3＝9.【评析】(1)求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V ＝13Sh 进行计算．(2)求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；②等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为()A.23B.33C.43D.32解：如图，过A ，B 两点分别作AM ，BN 垂直于EF ，垂足分别为M ，N ，连接DM ，CN ，可证得DM ⊥EF ，CN ⊥EF ，则多面体ABCDEF 分为三部分，即多面体的体积V ABCDEF ＝V AMD -BNC ＋V E -AMD ＋VF -BNC .依题意知AEFB 为等腰梯形．易知Rt △DME Rt △CNF ，∴EM ＝NF ＝12.又BF ＝1，∴BN ＝32.作NH 垂直于BC ，则H 为BC 的中点，∴NH ＝22. ∴S △BNC ＝12·BC ·NH ＝24.∴V F -BNC ＝13·S △BNC ·NF ＝224， V E -AMD ＝V F -BNC ＝224，V AMD -BNC ＝S △BNC ·MN ＝24. ∴V ABCDEF ＝23，故选A .类型四 空间旋转体的体积问题某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD ．2π3解：由三视图知几何体为一个正方体中间去掉一个圆锥，所以它的体积是V ＝23－13×π×12×2＝8－23π.故选A.【评析】根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式进行计算．(2012·河南模拟)已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图、侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋12 B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12解：由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，根据三视图中的数据可得V ＝12×43π×⎝⎛⎭⎫223＋13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×1＝2π6＋16.故选C.1．几何体的展开与折叠(1)几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法．(2)多面体的展开图①直棱柱的侧面展开图是矩形；②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形．(3)旋转体的展开图①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．注：①圆锥中母线长l 与底面半径r 和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆，同学们应多动手推导，加深理解．②圆锥和圆台的侧面积公式S 圆锥侧＝12cl 和S 圆台侧＝12(c ′＋c )l 与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．2．空间几何体的表面积的计算方法有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法．(1)棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式；(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理． 3．空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握．(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题．4．由几何体的三视图求几何体的表面积与体积问题，一般按如下三个步骤求解：(1)由三视图想象出原几何体的形状；(2)由三视图给出的数量关系确定原几何体的数量关系；(3)如果是规则几何体，直接代入公式求解，如果不是规则几何体，通过“割补”后，转化为规则几何体求解．1．已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为( )A .2π2B .2πC .3π3D .3π 解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为22－12＝3，因此其体积是13π·12×3＝3π3.故选C. 2．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体对角线的长是( ) A ．2 3 B ．3 2 C ．6 D . 6解：设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则有ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，解得a ＝1，b ＝2，c ＝3，则长方体的体对角线的长l＝a 2＋b 2＋c 2＝ 6.故选D.3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233。
高一数学立体几何初步试题答案及解析
高一数学立体几何初步试题答案及解析1.点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】点A（1，2，3）在坐标平面内的射影为B（0,2,3），所以|OB|=，故选B。
【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及两点间距离公式的应用。
点评：理解好射影的概念，用熟两点间距离公式。
2.两等角的一组对应边平行，则（）A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边也不可能垂直D．以上都不对【答案】D【解析】两等角的一组对应边平行，另一组对应边由多种情况，如平行、相交、异面等，关系D。
【考点】本题主要考查直线的位置关系。
点评：视野要开阔，考虑多种可能情况。
3.经过平面外两点与这个平面平行的平面（）A．只有一个B．至少有一个C．可能没有D．有无数个【答案】C【解析】经过平面外两点与这个平面平行的平面可能没有，如两点所在直线与平面相交时，关系C。
【考点】本题主要考查点线面的关系—--平行关系。
点评：考虑点与平面的多种可能情况思考，结合实物模型探究。
4.如图所示，平面M、N互相垂直，棱l上有两点A、B，AC M，BD N，且AC⊥l，AB＝8cm，AC＝6 cm，BD＝24 cm，则CD＝_________．【答案】26 cm；【解析】连接AD，∵平面M、N互相垂直，AC⊥l，∴AC⊥平面N∴AC⊥CD；∵AB=8cm，AC=6cm，∴BC=10cm，又∵BD=24cm，∴CD=26cm。
【考点】本题主要考查点、线、面间的距离计算、面面垂直。
点评：考查的知识点是空间点到点之间的距离，其中根据面面垂直及线面垂直的性质得到△ABC，△ACD均为直角三角形，是解答本题的关键。
5.下面的图形可以构成正方体的是（）【答案】C【解析】从选项出发，还原成正方体的只有C。
【考点】本题主要考查正方体的展开图。
点评：从选项出发，看能否还原成正方体。
6.下列命题中正确的是（）A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B．棱锥的高线可能在几何体之外C．仅有一组对面平行的六面体是棱台D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥【答案】B【解析】由五个平面围成的多面体除四棱锥外，还可以是三棱台；棱锥的高线应是其顶点向底面所作垂线段，斜棱锥的高即在几何体外，故选B。
立体几何测试题(共10篇)
立体几何测试题(共10篇)立体几何测试题（一）: 立体几何问题立体几何试题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.1.EF平行于B1D1,B1D1平行于BD,所以EF平行于BD,EFBD四点共面2.F,D,A,C1属于平面A1ACC1,且AC1与PQ不平行,所以AC1与PQ相交A1C交平面DBFE于R点,又因为PQ属于平面DBFE,所以AC1与PQ相交于R 所以R属于PQ,PQR共线立体几何测试题（二）: 几个书后练习题立体几何1.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.是否正确2.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.为什么不对谢不对,因为a有可能在经过b的面上,不是平行关系立体几何测试题（三）: 一道数学基本的立体几何的题目~在正方形ABCD-A"B"C"D"中,P、Q分别为A"B"、BB"的中点.（1）求直线AP与CQ所成的角的大小（2）求直线AP与BD所成的角的大小我还没学过空间向量,1.取DC中点E,连EC,证明EC平行AP,用余弦定理算2.取AB中点F,连接FB,用余弦定理算【立体几何测试题】立体几何测试题（四）: 求大量立体几何难题!立体几何综合试题（自己画图）1、已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都相等,D、E分别为AC1,BB1的中点.（1）求证：DE‖平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小.2、已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB＝AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1＝2∶1,BF ＝BC＝2a.（I）若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1；（II）试问：若AB＝2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么证明你的结论3、在底面是直角梯形的四棱锥中,AD‖BC,∠ABC＝90°,且 ,又PA⊥平面ABCD,AD＝3AB＝3PA＝3a.（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求点A到平面PBC的距离.4、在直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG.（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.5、已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值6.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P 在棱CC1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.7、在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.(I)证明平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小.8、已知在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D 1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.9、直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB‖CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P、Q分别是CC1、C1D1的中点.点P到直线AD1的距离为⑴求证：AC‖平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小10、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心.（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；这些题应该还可以!你来试试吧!题不要求多就精就可以了!不懂的或不会做的,我来帮你解答!立体几何测试题（五）: 立体几何初步练习题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱B1C1,C1D1,A1B1,D1A1的中点,求证（1）MN平行于DEF,(2)平面AMN平行于平面CEF(1)连接B1D1因为MN、EF为三角形A1B1D1、B1C1D1的中位线,所以MN平行于EF因为MN不属于面DEF,EF属于面DEF所以MN平行于面DEF(2)这题题目错了吧,应该是DEF吧立体几何测试题（六）: 解析几何基础知识练习题靠!一楼的那么多废话那么多选择题：集合,函数（图像）,立体几何,圆锥一、数学命题原则 1．普通高等学校招生数学科的考试,按照“考查基础知识的【立体几何测试题】立体几何测试题（七）: 高一必修二立体几何习题1-7的题仓库的房顶呈正四棱锥形,量的地面的边长为2.6m,侧棱长2.1m,先要在房顶上铺一层油毡纸,问：需要油毡纸的面积多少运用海伦公式房顶为4个相同的三角形海伦公式a=2.6 b=2.1 c=2.1 p=a+b+c/2=3.4S=根号下p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=2.1444S=2.144*4=8.576平方米立体几何测试题（八）: 怎么根据题目画数学的立体几何图形搞懂了题目的要求,就照那意思去画,立体几何记住透视很重要.立体几何测试题（九）: 求立体几何判断题的解题方法.①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直⑤……等等,诸如此类.见到很多这样的题目,但是却总找不到解题的方法,概念定理也经常记混.本人感激不尽!记一些模型,例如墙角模型什么的这个很重要.遇见不熟悉的题,用书本和笔（手指也可以）比划一下.这种题目主要是找反例!想象力也很重要啦……立体几何测试题（十）: 一道高中立体几何的题目.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,O1是底面A1B1C1D1的中心.E 是CO1上的点,设CE等于X,四棱锥E-ABCD的体积为y,求y关于X的函数关系式..图只有自己画一下了,做EF垂直于平面ABCD 垂足为F易得出CEF相似于O1CC1因为C1O1=根号2 CC1=4 得CO1=3根号2CE/CO1=EF/CC1 得出EF=4X/3根号2Y=底面积*EF/3=4*4X/9根号2Y=8根号2*X/9职高立体几何测试题空间立体几何测试题。
(完整版)立体几何的经典题型
(完整版)立体几何的经典题型立体几何的经典题型
1. 点、线、面的基本概念
在立体几何中，点、线和面是基本概念，对于经典题型的理解
至关重要。
- 点: 点是立体几何中最基本的要素，没有长度、宽度和高度，
只有一个位置。
- 线: 线由无数个点组成，没有宽度，只有长度和方向。
- 面: 面是由无数个线组成的，具有长度和宽度，但没有高度。
2. 立体图形的计算
掌握立体图形的计算方法能够解决很多经典题型。
- 体积: 体积是立体图形所占的空间大小，常见的计算公式有：
- 立方体的体积：V = 边长^3
- 圆柱体的体积：V = 底面积 ×高度
- 圆锥体的体积：V = 1/3 ×底面积 ×高度
- 表面积: 表面积是立体图形外部的总面积，常见的计算公式有：- 立方体的表面积：A = 6 ×边长^2
- 圆柱体的表面积：A = 2 ×底面积 + 侧面积
- 圆锥体的表面积：A = 底面积 + 侧面积
3. 空间关系和投影
理解立体图形的空间关系和投影对于解决经典题型至关重要。
- 平行关系: 如果两个面或两个线在空间中永远保持相同的距离
且不相交，它们是平行的。
- 垂直关系: 如果两个线或两个面彼此相交，并且交角为90度，它们是垂直的。
- 投影: 在立体几何中，我们常常需要计算一个图形在投影时的
变化。
常见的投影有平面投影和正交投影。
以上是立体几何的一些经典题型和基本概念，掌握了这些内容，你将能够更好地解决相关的问题。
希望对你有所帮助！。
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立体几何概念辨析题
1. 已知βα, 、γ是三个互不重合的平面, l 是一条直线,给出下列四个命题:
①若ββα⊥⊥l , ,则α//l ; ②若βα//, l l ⊥,则βα⊥;
③若 l 上有两个点到α的距离相等,则α//l ; ④若γαβα//, ⊥,则βγ⊥。
其中正确命题的序号是
2. 设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:(1若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β; (2若α外一条直线 l 与α内的一条直线平行,则 l 和α平行; (3设α和β相交于直线 l ,若α内有一条直线垂直于 l ,则α和β垂直; (4直线 l 与α垂直的充分必要条件是 l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中,正确命题的个数是个
3.已知 m , l 是直线, α, β是平面,给出下列命题:
①若 l 垂直于α内的两条相交直线,则 l ⊥ α;
②若 l 平行于α,则 l 平行于α内的所有直线;
③四面体中最多可以有四个面是直角三角形;
④若 m ⊂α且 l ⊥ β, 且α∥ β则 m ⊥l
其中正确命题的是
4. 设, αβ为互不重合的平面, , m n 为互不重合的直线,给出下列四个命题:
①若, , m n m n αα⊥⊂⊥则 ; ②若, , m n m αα⊂⊂∥ , n β∥ β,则α∥ β;
③若, , , , m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则 ;④若, , //, //m m n n ααββ⊥⊥则 .
其中所有正确命题的序号是
5. 在正方体 1111D C B A ABCD -中,过对角线 1BD 的一个平面交 1AA 于 E ,交1CC 于 F , 则①四边形 E BFD 1一定是平行四边形;
②四边形 E BFD 1有可能是正方形;
③四边形 E BFD 1在底面 ABCD 上的投影一定是正方形;
④平面 E BFD 1有可能垂直于平面 D BB 1
以上结论正确的是 (填序号
6.已知 m 、 n 是两条不重合的直线, α、β、γ是三个两两不重合的平面.给出下列的四个命题: ①若α⊥m , β⊥m ,则βα//;
②若γα⊥, γβ⊥,则βα//;
③若α⊂m , β⊂n , n m //,则βα//;
④若 m 、 n 是异面直线, α⊂m , β//m ,β⊂n , α//n ,则βα//,
其中真命题是 _____________
7.已知 n m , 是两条不同的直线, βα, 为两个不同的平面,有下列四个命题:
①若βα⊥⊥n m , , m ⊥ n ,则βα⊥; ②若 n m n m ⊥, //, //βα,则βα//;
③若 n m n m ⊥⊥, //, βα,则βα//; ④若βαβα//, //, n m ⊥,则 n m ⊥.
其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号 ________________
8.给出下列关于互不相同的直线 m 、 l 、 n 和平面α、β的四个命题:
①若, , , m l A A m l m αα⊂=∉点则与不共面 ;
②若 m 、 l 是异面直线, ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且 , , , //, //;
③若 m l m l //, //, //, //则βαβα;
④若 , , , //, //, //⊂⊂= 则l m l m A l m ααββαβ.
其中为真命题的是
9.已知, αβ是两个不同平面, , m n 是两条不同直线。
给出下列命题:
①若 m ∥ , , n m n αα⊥⊥则②若 m ∥ , , n m ααβ= 则∥ n
③若, , m m αβα⊥⊥则∥ β ④若, , m n m n α⊥⊥则∥ α
其中不正确的是 (填写你认为正确的序号
10. 关于直线 m , n 与平面βα, ,有以下四个命题:
①若βαβα////, //且 n m ,则 n m // ②若 n m n m ⊥⊥⊥⊥则且, , βαβα;
③若 ; , ////, n m n m ⊥⊥则且βαβα ④若 n m n m //, , //则且βαβα⊥⊥;
其中真命题的序号是
11. 设 , a b 为不重合的两条直线, , αβ为不重合的两个平面,给出下列命题: (1若 a ∥ α且 b ∥ α,则 a ∥ b ; (2若a α⊥且b α⊥,则 a ∥ b ;
(3若 a ∥ α且 a ∥ β,则α∥ β; (4若a α⊥且a β⊥,则α∥ β.
上面命题中,所有真命题 ...
的序号是
12.设 b a , 是两条不同直线, , αβ是两个不同平面,给出下列四个命题:
①若, , a b a α⊥⊥b α⊄,则 //b α; ②若//, a ααβ⊥,则a β⊥;
③若, a βαβ⊥⊥,则//a α或a α⊂; ④若, , a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥.
其中正确的命题是 _____ ____(请把所有正确命题的序号都填上
13. 给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 .
其中正确的是 (请把所有正确命题的序号都填上
14. 设, αβ为互不重合的平面, , m n 为互不重合的直线,给出下列四个命题:
①若, , m n m n αα⊥⊂⊥则 ;
②若, , m n m αα⊂⊂∥ , n β∥ β,则α∥ β;
③若, , , , m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则 ;
④若, , //, //m m n n ααββ⊥⊥则 .
其中正确命题的序号为
15.设, αβ为两个不重合的平面, , m n 为两条不重合的直线,给出下列的四个命题:
(1若, m n m α⊥⊥,则//n α; (2若, , n m αβ⊂⊂α与β相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直
(3若, , , , m n n m αβαβα⊥⋂=⊂⊥则n β⊥
(4若//, , //, m n n ααβ⊥则m β⊥其中,所有真命题的序号是 16.如图,两个正方形 ABCD 和 ADEF 所在平面互相垂直,设 M 、 N 分别
是 BD 和 AE 的中点,那么① AD MN ⊥;② //MN 面 CDE ;③ //MN CE ;④
MN 、 CE 异面其中正确结论的序号是 ____________
17.在正方体 1AC 中, O 为底面 ABCD 的中心, E 、 F 、 G 、 H 分别为棱
1AA 、 1BB 、 1CC 、 1DD 的中点,请写出一个与 1AO 垂直的正方体的截面
_________(截面以给定的字母表示,不必写出所有情况
18.已知 l 是一条直线, , αβ是两个不同的平面 . 若从“① l α⊥;② //l β;③ αβ⊥”中选取两个作为条件, 另一个作为结论, 试写出一个你认为正确的命题 (请
用代号表示
19.如图,四棱锥 P ABCD -中, ABCD 为正方形, PA ⊥底面 ABCD ,那
么在该图中,互相垂直的平面有 __________对 .
20. 已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面,若 PC BD ⊥,平行则四边形ABCD 一定是
D B C P
E D B。