上海市浦东新区2020届高三下学期期中教学量监测(二模)数学试题 含答案
上海市浦东新区2020届高三下学期期中教学量监测(二模)数学试题
1浦东新区2020学年度第二学期期中教学质量监测高三数学试卷2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C ．2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 ．3. 若函数()21x x f =，则()=-11f．4. 若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p ．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 ．7. 若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x Λ32lim 51 ．8. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.9. 从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m ．10. 已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 ．211. 如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，则AP 的最小值为 . 12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n n n b a b a b +=+-+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为( )A ． 1B ． 2C ． 3 D. 4 14. 如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线( )A ． 有一条B ． 有二条C ． 有无数条 D. 不存在15. 已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是 ( )3A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④ D. ① ② ④ 16. 设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( ) A ． 711949⋅ B ． 7021949⋅ C ． 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转ο120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2） 在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值．。
2020届上海市浦东新区高三二模数学试题解析
绝密★启用前2020届上海市浦东新区高三二模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若x 、y 满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.解：由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)max 22z x y ∴=+=.故选：B点评：本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.2．如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（）A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D ．不存在答案：C 易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条.解：若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ，又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条.故选：C点评：本题考查了线面平行的判定，属于基础题.3．已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论：①()f x 是周期函数；②函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈； ④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. 则正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①②④答案：D 由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数，当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题. 解：()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确； 当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+ 当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=-- 可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确； 函数()f x 的对称轴为,x k k Z π=∈若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误； sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确. 故选：D.点评： 本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.4．设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（）A ．711949⋅B ．7021949⋅C ．702371949⋅⋅D ．702721949⋅⋅ 答案：C先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72L ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++L ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020L L L L L L 等1949类，问题可得解.解：当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况； 集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况； 以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72L ，有（7070C ）种情况. 所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++L L ①70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++L L ②707070,070,r r C C r r Z -=≤≤∈Q①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯L70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020,L L L L L 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅. 故选：C点评：本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.二、填空题5．设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．答案：{}2由补集的运算法则可得解.解：{}{}0,1,2,0,1U A ==Q{}2U C A ∴=故答案为：{}2点评：本题考查了补集的运算，属于基础题.6．某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___．答案：100数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.解：5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100点评：本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.7．若函数()12f x x =，则()11f -=__________． 答案：1由()12f x x=可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解. 解：由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2020-2021学年上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析A
上海市第二学期期中质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知()21xf x =-，则1(3)f-= ▲ ．2．已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则M N =I ▲ ．3．若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数,则实数a = ▲ ．4．直线23x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）对应的普通方程是 ▲ ．5．若()1(2),3nnn x x axbx c n n -*+=++++∈≥N L ，且4b c =，则a 的值为 ▲ ．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ ．7．若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ▲ ．9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ ．10．已知椭圆()222101y x b b+=<<的左、右焦点分别为12F F 、，记122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PF则b 的最大值为 ▲ ．11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q为小圆上的点，则PA PQ ⋅u u u r u u u r的取值范围是 ▲ ．12．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．设a b r r 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b r r、夹角的取值范围为A ，12l l 、所成角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14． 将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x=的图像上，则 (A) 12t =，s 的最小值为6π (B) t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π(D) 2t =，s 的最小值为12π 15．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） (B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：(1) 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； (2) 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； (3) 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； (4) 若函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA ，M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．(1) 若C A BM 1⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．B18．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称．(1)若()4()3f x g x =+，求x 的值；(2)若存在[]0,4x ∈，使不等式3)2()(≥--+x g x a f 成立，求实数a 的取值范围．19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中ο120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？AB CPQ D20．（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ，与圆)0()5(222>=+-r r y x相切于点M ，且M 为线段AB 中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 是坐标原点），求此三角形的边长； (2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（直接写出结论）．21．（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于数列{}n a ，定义12231n n n T a a a a a a +=+++L ，*n N ∈．(1) 若n a n =，是否存在*k N ∈，使得2017k T =？请说明理由； (2) 若13a =，61nn T =-，求数列{}n a 的通项公式；(3) 令21*112122,n n n nT T n b T T T n n N +--=⎧=⎨+-≥∈⎩，求证：“{}n a 为等差数列”的充要条件是“{}n a 的前4项为等差数列，且{}n b 为等差数列”．（参考答案）一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分 1． 2 2．{1,0}- 3．1 4．10x y +-= 5．16 6． 7． 1[,1]2- 8．9 9．29 1011．[3-+ 12．1009二、选择题 （每小题5分，共20分）13． C 14．A 15. B 16．B三．解答题（共78分）17．[解]（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分),2,2(h -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分由C A BM 1⊥得01=⋅A ，即0422=-⨯h 解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-u u u r u u u u r u u u r……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =-r……………………10分设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 5n BA n BA θ⋅===⋅r u u u r r u u u r ……………12分 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为sin 5arc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥Q ，AB ∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分 在1A BM Rt △中，11AM A B ==所以111sin5A MA BMA B∠===……………………12分所以1A BM∠=所以直线1BA与平面ABM所成的角为sin5arc………………14分18．[解]（1）由()4()3f xg x=+得2423x x-=⋅+……………………2分223240x x⇒-⋅-=所以21x=-（舍）或24x=，……………………4分所以2x=……………………6分（2）由()(2)3f a xg x+--≥得2223a x x+-≥……………………8分2223a x x+≥+2232a x x-⇒≥+⋅……………………10分而232x x-+⋅≥，当且仅当[]4232,log30,4x x x-=⋅=∈即时取等号…12分所以2a≥211log32a≥+．………………………………14分19．[解]（1）设AB长为x米，AC长为y米，依题意得8004001200000x y+=，即23000x y+=，………………………………2分1sin1202ABCS x y∆=⋅⋅o yx⋅⋅=43…………………………4分yx⋅⋅=28322283⎪⎭⎫⎝⎛+≤yx=2m当且仅当yx=2，即750,1500x y==时等号成立，所以当ABC△的面积最大时，AB和AC的长度分别为750米和1500米……6分（2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m==．由2133AD AB AC=+u u u r u u u r u u u r…………………………8分得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r22919494+⋅+=…………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=u u u r， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中，ο120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500(οοC ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =u u u r u u u r ，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 20．[解] (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)22a a ±………2分所以214,22a a ⎛⎫±=⋅ ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky by ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-=Q 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===Q ()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分 (3)(][)0,24,5r ∈U 时，共2条；……………………………12分()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分 [)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．[解]：（1）由0n a n =>，可知数列{}n T 为递增数列，……………………………2分 计算得1719382017T =<，1822802017T =>，所以不存在*k N ∈，使得2017k T =； ………………………4分（2）由61n n T =-，可以得到当*2,n n N ≥∈时，1111(61)(61)56n n n n n n n a a T T --+-=-=---=⋅， ……………………6分又因为1215a a T ==，所以1*156,n n n a a n N -+=⋅∈， 进而得到*1256,n n n a a n N ++=⋅∈，两式相除得*26,n na n N a +=∈， 所以数列21{}k a -，2{}k a 均为公比为6的等比数列， ……………………8分 由13a =，得253a =， 所以1*22*23621,562,3n n n n k k N a n k k N --⎧⋅=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩；………… …………10分（3）证明：由题意12123122b T T a a a a =-=-，当*2,n n N ≥∈时，111212n n n n n n n n b T T T a a a a +-+++=+-=-，因此，对任意*n N ∈，都有121n n n n n b a a a a +++=-． …………12分必要性(⇒)：若{}n a 为等差数列，不妨设n a bn c =+，其中,b c 为常数， 显然213243a a a a a a -=-=-，由于121n n n n n b a a a a +++=-=2212()222n n n a a a b n b bc ++-=++， 所以对于*n N ∈，212n n b b b +-=为常数，故{}n b 为等差数列； …………14分 充分性(⇐)：由于{}n a 的前4项为等差数列，不妨设公差为d当3(1)n k k ≤+=时，有4131213,2,a a d a a d a a d =+=+=+成立。
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题(解析版)
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题一、单选题1．“a b =”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充要关系定义进行判断选择. 【详解】若a b =，则a b =，所以充分性成立；若a b =，则a b =不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立； 故选：A 【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.2．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则8978aa a a +=+（） A ．1B ．1+C ．3+D ．3-【答案】B【解析】根据等差数列列式求得公比，再代入所求式,解得结果. 【详解】因为1a ，312a ，22a 成等差数列，所以3121222a a a ⨯=+设{}n a 公比为21201qq qq q ∴=+>∴=+从而89781a a q a a +==++故选：B 【点睛】本题考查等比数列与等差数列综合，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．对于实数a 、b 、m ，下列说法：①若a b >，则22am bm >； ②若a b >，则a ab b ；③若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+； ④若 0a b >>，且ln ln a b =，则(2,)a b +∈+∞，其中正确的命题的个数（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】举例说明①错误；根据不等式性质证明②成立；利用作差法证明③成立；根据对勾函数性质说明④成立. 【详解】若,0a b m >=，则22am bm =,所以①错误； 若a b >，则当0a b >≥时a a b a b b a a b b当0a b ≥>时0a a b b a ab b 当0a b >>时0aba ab a b ba ab b ，因此②成立；若0b a >>，0m >，则()0()a m a b a m a m ab m b b b m b m b+-+-=>∴>+++，所以③成立； 若 0a b >>，且ln ln a b =，则ln ln ln()0,11ab b a a b a ∴==∴=>-，1a b a a ∴+=+在(1,)+∞上单调递增，即12a b a a+=+>，因此④成立. 故选：C 【点睛】本题考查根据不等式性质比较大小、作差法比较大小、对勾函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4．数学试卷的填空题由12道题组成，其中前6道题，每道题4分；后6道题，每道题5分．下面4个数字是某教师给出的一位学生填空题的得分，这个得分不可能是（ ） A ．17 B ．29C ．38D ．43【答案】D【解析】根据得分情况可说明ABC 成立，再说明D 一定不成立. 【详解】因为17=34+15,296415,382465⨯⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，所以得分可能是ABC;因为432475=⨯+⨯，而满足个位数为3的只有这一种，但每道题5分的只有6道题，因此D 得分是不可能的， 故选：D 【点睛】本题考查简单推理，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式的值是____________． 【答案】2【解析】根据代数余子式定义列式求解,即得结果. 【详解】在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式为401(1)0(2)221--=--= 故答案为：2 【点睛】本题考查代数余子式，考查基本求解能力，属基础题. 6．函数y =的定义域为____________．【答案】(]2-∞，【解析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解得指数不等式得结果. 【详解】2933032x x x ≥∴≤∴-≤,故定义域为(]2-∞， 故答案为：(]2-∞，【点睛】本题考查定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知x 、R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 1i x y -+=-+，则x y +=____________． 【答案】2【解析】根据复数相等列方程组，解得,x y ，即得结果.【详解】()212i 1i 1x x y y -=-⎧-+=-+∴⎨=⎩121x x y y =⎧∴∴+=⎨=⎩故答案为：2 【点睛】本题考查复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题.8．函数()sin cos R y x x x =-∈的单调递增区间为____________．【答案】()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】先根据辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求单调区间. 【详解】sin cos )4y x x x π=-=-22()242k x k k Z πππππ∴-≤-≤+∈322()44k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈ 故答案为：()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知02x <<_______ 【答案】1【解析】配方后利用二次函数求最值可得结果. 【详解】==,又因为02x <<所以1x =时 1. 故答案为:1 【点睛】本题考查了二次函数求最大值,属于基础题.10．61()x x-的展开式中的常数项是： ．(请用数字作答) 【答案】-20 【解析】621661()(1)r n rr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令620r -=，则3r =，所以常数项为3620C -=-．11．.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数的反函数的图像上，则n a =________. 【答案】12n - 【解析】解：因为221log (1)log (1)12212nn n n n n n y x n S S S a -=+∴=+∴+=∴=-∴= 12．一支田径队有男运动员40人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为19的样本，则抽取男运动员的人数为____________． 【答案】10【解析】由样本容量与总体容量的比值相等计算． 【详解】设抽取的男运动员人数为n ，则由分层抽样定义得40194036x =+，解得10x =． 故答案为：10． 【点睛】本题考查分层抽样，利用分层抽样中样本容量与总体容量的比值相等求解即可． 1336的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ． 【答案】92π 【解析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O ,球心为O ,一个顶点为A ,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA ,再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O,则球心O 是12O O 的中点.∴正六棱柱底面边长为3,侧棱长为61Rt AO O ∴中,1136,AO O O ==,可得221132AO AO O O =+=因此,该球的体积为3439322V ππ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭ 故答案为92π. 【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题.14．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 交于1P 、2P 、3P 、4P 四个点，1F 和2F 分别是1C 的左右焦点，也是2C 的左右焦点，并且六边形121342PP F P P F 是正六边形．若椭圆1C 的方程为22142323+=+，则双曲线2C 的方程为____________．221= 【解析】先根据椭圆1C 的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中,,.a b c 【详解】2221442423c c =∴=+=∴=+设22222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>22212||||21a P F P F a =-=∴222241)b c a ∴=-=-=因此2221C =221= 221-= 【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.15．已知A 、B 、C 是半径为5的圆M 上的点，若6BC =，则AB AC ⋅的取值范围是____________． 【答案】[]8,72-【解析】由正弦定理求出sin A ，由平方关系得cos A ，然后利用余弦定理和基本不等式求出bc 的范围，最后由数量积的定义可得结论． 【详解】记,,A B C 所对边长分别为,,a b c ， 由正弦定理得2sin a R A=，即63sin 2255a A R ===⨯，所以4cos 5A =±，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，4cos 5A =时，228836255b c bc bc bc =+-≥-，90bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 90725AB AC bc A ⋅=≤⨯=，4cos 5A =-时，228836255b c bc bc bc =++≥+，10bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 1085AB AC bc A ⎛⎫⋅=≥⨯-=- ⎪⎝⎭，综上[8,72]AB AC ⋅∈-． 故答案为：[8,72]-． 【点睛】本题考查求平面向量数量积的取值范围，考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题．16．对数列{}n a ，{}()*n b n N∈，如果存在正整数k ，使得1kk ab >+，则称数列{}n a 是数列{}n b 的“优数列”，若32222n a n n tn t =+-+，3241n b n n n =+++，并且{}n a 是{}n b 的“优数列”，{}n b 也是{}n a 的“优数列”，则t 的取值范围是____________． 【答案】1t >-．【解析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围. 【详解】因为{}n a 是{}n b 的“优数列”， 所以存在正整数k ，1k k a b >+即3223222411k k tk t k k k +-+>++++，22(24)20k t k t --++> 显然成立，所以t R ∈； 因为{}n b 是{}n a 的“优数列”， 所以存在正整数m ，1m m b a >+即3232241221m m m m m tm t +++>+-++，22(24)0m t m t -++<22(24)401t t t ∴∆=+->∴>-当1t >-时，由于对称轴21m t =+>，所以必存在正整数m ，使得22(24)0m t m t -++<综上，1t >- 故答案为：1t >- 【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 为棱1AA 的中点，1AB =，12AA =．（1）求点B 到平面11B C E 的距离； （2）求二面角11B EC C --的正弦值． 【答案】（1）2；（2）3． 【解析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离； （2）用空间向量法求二面角的余弦值，再求正弦值． 【详解】解：（1）如图所示，建立直角坐标系，则有关点的坐标为()1,0,0B ，()11,0,2B ，()11,1,2C ，()0,0,1E ，所以，()110,1,0B C =，()11,0,1B E =--．设平面11B C E 的法向量()1,,n u v w =， 则由111n B C ⊥且11n B E ⊥得，11111000v n B C u w n B E ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩．取1u =，于是平面11B C E 的一个法向量为()11,0,1n =-． 且()10,0,2BB =，所以，点B 到平面11B C E 的距离为()11222010*******n BB d n⋅⨯+⨯-⨯===++-．（2）因为()11,1,2C ，()0,0,1E ，()11,1,0C ， 所以，()10,0,2CC =，()1,1,1CE =--设平面1CC E 的法向量()1112,,n u v w =，则由21n CC ⊥且2n CE ⊥得，11211111122000000w w n CC u v w u v n CE ⎧⎧==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+=+=⋅=⎪⎩⎪⎩⎩．取11u =于是平面1CC E 的一个法向量为()21,1,0n =-．设平面11B C E 的一个法向量()11,0,1n =-与平面1CC E 的一个法向量 为()21,1,0n =-的夹角为ϕ，则12121cos 2n n n n ϕ⋅==， 所以，3sin ϕ=． 所以二面角11B EC C --的正弦值为3． 【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离，求二面角．在图形中已有两两相互垂直的三条直线时，如长方体，可建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，距离，研究（或证明）空间线面位置关系．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<．（1）如图所示，函数()f x 的图象与直线()1 1 y m m =-<<三个相邻交点的横坐标为3π-、6π、2π，求ω的值； （2）函数()()sin 0,0y x ωϕωϕπ=+><<的图象与x 轴的交点A 、B 、C ，且满足OA 、OB 、OC 成等差数列，求ϕ的值． 【答案】（1）125ω=；（2）34πϕ=． 【解析】（1）先确定周期，再求ω的值；（2）根据等差数列性质得2OB OA OC =+，再利用A 、B 、C 坐标表示，解得ϕ的值． 【详解】（1）由三角函数的图象可知，直线y m =与正弦函数图象相交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期则5236T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 所以2125T πω==． （2）由OA 、OB 、OC 成等差数列得2OB OA OC =+ 在同一周期内，不妨设0B x ωϕ+=，A x ωϕπ+=， 2C x ωϕπ+= 得B x ϕω=-，A x πϕω-=，2C x πϕω-=， 由2OB OA OC =+，得322πϕϕωω-=，解得34πϕ=． 【点睛】本题考查根据三角函数图象与性质求参数、等差数列应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．某企业准备投产一款产品，在前期的市场调研中发现： ①需花费180万元用于引进一条生产流水线；②每台生产成本Q （x ）（万元）和产量x （台）之间近似满足Q （x ）＝51351x ++，x ∈N ；（注每台生产成本Q （x ）不包括引进生产流水线的费用） ③每台产品的市场售价为10万元； ④每年产量最高可达到100台；（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．【答案】（1）至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．【解析】（1）由题意可得利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，由f （x ）＞0求解不等式得答案；（2）把利润函数f （x ）变形，再由基本不等式求最值． 【详解】（1）由题意可知该商品的利润函数为：f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，则由()1018000100*Q x x x x N ⎧⎡⎤-⋅-⎪⎣⎦⎨≤∈⎪⎩＞＜，，解得x ≥63． ∴至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）由（1）可知，当产量0＜x ≤60，x ∈N 时，无法实现盈利； 当产量60＜x ≤100，x ∈N 时，由题意可知利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅60﹣（x ﹣60）﹣180． 化简得f （x ）＝181﹣[()1356011x x ⋅+++]1801≤-=． 当且仅当x ＝89时等号成立．∴可以实现盈利，利润最大时，产量为89台． 【点睛】本题考查分式函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题. 20．已知点F 是抛物线2:8C y x =上的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的两个动点．（1）若直线AB 经过点F ，且126x x +=，求AB ；（2）若126x x +=，求证:线段AB 的垂直平分线经过一个定点C ，并求出C 点的坐标；（3）若线段AB 与x 轴交于Q 点，是否存在这样的点Q ，使得2211AQBQ+为定值，若存在，求出这个定值和Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）10；（2）证明见解析，经过一个定点()70C ，；（3）存在Q 点满足题意，坐标为()4,0，2211116AQBQ+=． 【解析】（1）根据抛物线定义求焦点弦弦长；（2）先考虑直线AB 的斜率存在情况，根据点斜式得线段AB 的垂直平分线的方程，确定定点，再验证直线AB 的斜率不存在情况也过此定点；（3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，与抛物线联立方程组，结合韦达定理化简2211AQBQ+，确定定值取法，即可确定定点与定值.【详解】（1）1022A B A B p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=． （2）①当直线AB 的斜率存在时，设线段AB 的中点为()00,M x y ，则12032x x x +==，1202y yy +=，21212221212108488AB y y y y k y y x x y y y --====-+-．线段AB 的垂直平分线的方程是()034y y y x -=--，即()074y y x =--． ②当直线设AB 的斜率不存在时，此时线段AB 的垂直平分线的方程是0y =．所以线段AB 的垂直平分线经过一个定点()70C ，． （3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，联立228880y xy ty m x ty m⎧=⇒--=⎨=+⎩，则264320t m ∆=+>，128y y t +=，128y y m =-．则()()222221111AQ x m y t y =-+=+，()()222222221BQ x m y t y =-+=+，所以，()()22222212111111t y t y AQBQ+=+++()()()()()()222212121222222212122641664111y y y y y y t mm t t y y t y y +-++===+++， 所以当4m =时，2211116AQBQ+=，故Q 点的坐标为()4,0， 并且满足264320t m ∆=+>． 【点睛】本题考查抛物线焦点弦、抛物线中定点与定值问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.21．定义在R 上的非常值函数()f x 、()g x （()f x 、()g x 均为实数），若对任意实数x 、y ，均有()()()()22f x y f x y g y g x +⋅-=-，则称()g x 为()f x 的关联平方差函数．（1）判断()cos g x x =是否是()sin f x x =的关联平方差函数，并说明理由； （2）若()g x 为()f x 的关联平方差函数，证明：()f x 为奇函数；（3）在（2）的条件下，如果()01g =，()21g =-，当02x <<时()11g x -<<，且f x Tf x 对所有实数x 均成立，求满足要求的最小正数T 并说明理由．【答案】（1）是；理由见解析；（2）证明见解析；（3）4T =是满足要求的最小正数，理由见解析．【解析】（1）根据关联平方差函数定义直接化简判断；（2）结合关联平方差函数定义，证明()()f b f b -=-恒成立； （3）结合关联平方差函数定义先探求4T =，再用反证法证4T =是满足要求的最小正数. 【详解】（1）()cos g x x =是()sin f x x =的关联平方差函数，()()()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin f x y f x y x y x y x y x y x y x y +-=+-=+-()()2222222222sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos x y x y y x y x x y =-=---()()2222cos cos y x g y g x =-=-（2）()f x 是非常值函数，所以存在a ，()0f a ≠， 下证对任意实数b ，()()f b f b -=- 令2a b x +=，2a b y -=可得()()2222a b a b f a f b g g -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再令2a b x -=，2a b y +=可得()()2222a b a b f a f b g g +-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加可得()()()0f a f b f b +-=⎡⎤⎣⎦，()0f a ≠，()()f b f b ∴-=-，所以()f x 为奇函数（3）令0y =可得()()()()222201f x g g x g x =-=-，即()()221fx g x +=，()21g =-，()()220f f ∴=-=，令2y x =+，()()()()2222220f x f gx g x +-=+-=， 令2y =，()()()2221f x f x gx +-=-，用2x +替换x 可得()()()()()2224121f x f x g x g x f x +=-+=-=，[1]若()0f x ≠，那么()()+4f x f x =； [2]若()=0f x ，那么()()()()()2222211+2+2+4fx g x g x f x f x =-=-==；所以()()+40f x f x == 综上可知4T=满足要求，下证4T =是满足要求的最小正数，用反证法，若存在004T <<也满足要求，令0x =，02T y =可得()2200000222T T T f f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，00022T T f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！ 所以4T=是满足要求的最小正数.【点睛】本题考查函数新定义、证明奇函数、函数周期、反证法，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.。
2020年上海市浦东新区高三数学二模试卷(含答案)
浦东新区2019学年度第二学期教学质量检测高三数学试卷卷 2020.05考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，否则一律得零分．1．设全集}{U=0,12，，集合}{A=01，，则∁U A ． 2．96、100、95、108、115，则这组数据的中位数为 ． 3，则()=-11f．4．若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈、），则=+q p ．5．若两个球的表面积之比为4:1则这两个球的体积之比为 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 ．7．若二项式()421x+展开式的第4，则()=++++∞→nn x x x x 32lim ．8．已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.9．从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人发言.假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果事件A 和事件B 的概率相等，则=m ．10．已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 ．11．如图，在ABC ∆中，AB 中点，P 为CD ，若ABC ∆的面 CAP DB积为233，则AP 的最小值为 .12．已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n nnb a b a b +=+-+，设113nn nn c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .二、选择题（ 本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ， 则目标函数y x f +=2的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线（ ）A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D ．不存在 15．已知函数()x cos x cos x f ⋅=，给出下列结论： ①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是（ ）A ．① ②B ．② ③ ④C ．① ③ ④D ．① ② ④16．设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径，那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ）A ．711949⋅B ．7021949⋅C ．702371949⋅⋅D ．702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x C 1A 1 D 1B 1ED FCBA ADF（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为 （1）求()β+αcos 的大小；（2）在ABC ∆中，c b a 、、分别为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，，且22c bc a +λ=，求λ的值． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围． 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F 、2F 分别是椭圆右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，、P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF 、l 、2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210(N )*+++-->∈i i i i a a a a i ，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：① 等差数列： ,,,,,54321；② （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有，求首项1a 的取值范围.浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C {}2 ． 2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 100 ．3. 若函数()21x x f =，则()=-11f1 ．4. 若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p 0 ．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为 81: ．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 相交 ．7. 若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x 32lim ．8. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是__12222=-y x __________.9. 从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m 10 ．10. 已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 {1} ．11. 如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，则AP 的最小值为 2 . 12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n n n b a b a b +=+-+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .【解】()112+2nn n n n n n a b a b a b +++=⇒+=，11122n n n n n n n a b a b a b -++=⇒+=，12333n n n n c +=⋅=-，2021202033S =-二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．5113．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为( B )A ． 1B ． 2C ． 3 D. 4 14. 如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线( C )A ． 有一条B ． 有二条C ． 有无数条 D. 不存在15. 已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是 ( D )A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④ D. ① ② ④16. 设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( C ) A ． 711949⋅ B ． 7021949⋅ C ． 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形．…………（4分） 所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ．………（7分）（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C -．所以，()222--=,,FP ，()231--=,,AC .…………………（11分）设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则xyz=αcos426+=.…………（13分） 所以，异面直线FP 与CA 所成角为426+=αarccos.…………（14分） 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2） 在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值． 【解答】（1）由已知cos sin cos ααββ=………… (2分) 因而cos(+)=cos cos sin sin αβαβαβ-==…………（6分） （2）法一：（正弦定理）由已知，,cos C C C π==………….(7分) 34sin sin()sin()4525210B AC A π=+=+=⨯+⨯=…………(10分) 222291sin sin 1=sin sin 5a c A C bc B C λ---===- …………(14分)法二：（余弦定理）2222cos a c b bc A -=-，因而由已知得2428sin 88152cos =5sin 555b cb B b bc A bc c c C λλ-⨯-⇒==-=-==- 法三：（余弦定理、正弦定理）cos cos()4B C π=-+=因而由余弦定理得：2222222cos cos cos 2cos b a c ac B a c B b C c a b ab C⎧=+-⨯⇒=+=⎨=+-⨯⎩ 同理 2222222cos 4cos cos 52cos a b c bc A b c A a C c c a b ab C ⎧=+-⨯⇒=+=⎨=+-⨯⎩得7,5ca b =得221=2a c bc λ-=- ()()()()()()()()()222222231222223212-++-⋅-++--⨯-+⨯+-⨯-=法四：（射影定理）可得cos cosa c Bb C=+=，4cos cos5b c A a C c=+=+下同解法二19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x（万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf xx=-+（其中b为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b=是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b的取值范围．【解答】（1）法一：因为当12b=时，()33342f=<，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）法二：由条件②可知()[]12144,1242xf x x xx=-+≥⇔∈．因为[]34,12∉，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）法三：由条件②可知()2xf x≥在[]3,6上恒成立，所以2max144b x x⎛⎫≤-+⎪⎝⎭，解得394b≤，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）(注：如果证明了当12b=时满足条件①得2分)（2）法一：由条件①可知，()f x在[]3,6上单调递增，则对任意1236x x≤<≤时，有1212121212124()()44()0444x x x x bb bf x f x x xx x x x⎛⎫⎛⎫+-=-+--+=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即1240x x b+>⇔1214b x x>-恒成立，所以94b≥-；…………（10分）由条件②可知，()2xf x≥，即不等式1442x bxx-+≥在[]3,6上恒成立，所以2max139444b x x⎛⎫≤-+=⎪⎝⎭…………（13分）综上，参数b的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）法二：由条件①可知，()44x bf xx-+在[]3,6上单调递增，所以当0b≥时，满足条件；当0b<时，得3≤94b⇔-≤<，所以94b ≥-…………（10分） 由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，所以34436446b b ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，得394b ≤ …………（13分） 综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【解答】（1）由12AF +AF2a =，从而a =椭圆方程为2212x y +=. ………… (4分) （2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上. 因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥. ………… (6分)设:1l x my -=，与椭圆方程联立可得22(2)210m y my ++-=，设A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),因此12222m y y m +=-+，12212y y m =-+. ………… (8分)由12120x x y y +=，可得22212122212(1)()11022m m m y y m y y m m +++++=--+=++，解得m =，即直线方程为10x -=.………… (10分)（3） 设:l y kx b =+，由122k k k +=，可得1212211y y k x x +=--， 即1212211kx b kx bk x x +++=--. 化简可得1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x +-+-=--，即12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符，因此122x x +=.………… (12分) 联立直线与椭圆方程，222(21)4(22)0k x kbx b +++-=. 因为228(21)0k b ∆=-+> ①由1224221kbx x k +=-=+，可得，2212k b k +=-② ………… (14分) 将②代入①，2221421,2k k k >+>；再由11(2)2b k k=-+，可得，(,)b ∈-∞-⋃+∞. ………… (16分)21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列： ,,,,,54321； ② 等比数列： 1618141211,,,,--； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【解答】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；………… (2分)② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列. ………… (4分)（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. ………… (6分)充分性：下面用数学归纳法证明：若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.（1）当1n =时，，112111aa a a a =>=， 213112aaa a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=，231a a a ∴>>………… (8分)321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<，所以1n =命题成立………… (9分)（2）若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>， 则22221212322,kk k a a a k k k a a a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立……… (10分)根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）()2111955n n n n a a a a +-=--， ()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----，………… (11分) ()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----，………… (12分)11 [1]若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；………… (14分) [2]若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时n a ⎛∈ ⎝⎭；………… (16分)若5,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211953,52n n a a +⎛-+=∈ ⎝⎭，所以()2,2n a ∈-.若n a ⎛∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈. 所以()()12,23,21a ∈-， 此时对任何正整数n ，均有()()2,23,21n a ∈-………… (18分)。
2020届浦东高三数学二模卷及答案(高清打印版)
浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C {}2 ．2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 100 ．3. 若函数()21x x f =，则()=-11f1 ．4. 若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p 0 ．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为 81: ．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 相交 ．7. 若二项式()421x +展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x 32lim ．8. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是__12222=-y x __________.9. 从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m 10 ．10. 已知函数()()2222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 {1} ．11. 如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，则AP 的最小值为 2 . 12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n n n b a b a b +=+-+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .【解】()112+2nn n n n n n a b a b a b +++=⇒+=，11122n n n n n n n a b a b a b -++=⇒+=，12333n n n n c +=⋅=-，2021202033S =-二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须51在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为( B )A ． 1B ． 2C ． 3 D. 4 14. 如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线( C )A ． 有一条B ． 有二条C ． 有无数条 D. 不存在15. 已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是 ( D )A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④ D. ① ② ④16. 设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( C )A ． 711949⋅B ． 7021949⋅ C ． 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形．…………（4分） 所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ．………（7分）（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C -．所以，()222--=,,FP ，()231--=,,AC .…………………（11分）设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则z426+=.…………（13分） 所以，异面直线FP 与CA 所成角为426+=αarccos.…………（14分） 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2） 在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值． 【解答】（1）由已知cos sin cos ααββ==………… (2分) 因而cos(+)=cos cos sin sin 2αβαβαβ-==…………（6分） （2）法一：（正弦定理）由已知，,cos C C C π===………….(7分) 34sin sin()sin()4525210B AC A π=+=+=⨯+⨯=…………(10分) 222291sin sin 1=sin sin 5a c A C bc B C λ---===- …………(14分)法二：（余弦定理）2222cos a c b bc A -=-，因而由已知得2428sin 88152cos =5sin 555b cb B b bc A bc c c C λλ-⨯-⇒==-=-=-=- 法三：（余弦定理、正弦定理）cos cos()4B C π=-+=因而由余弦定理得：2222222cos cos cos 1022cos b a c ac B a c B b C c a b ab C⎧=+-⨯⇒=+=+⎨=+-⨯⎩ 同理 2222222cos 4cos cos 52cos a b c bc A b c A a C c c a b ab C ⎧=+-⨯⇒=+=⎨=+-⨯⎩()()()()()()()()()222222231222223212-++-⋅-++--⨯-+⨯+-⨯-=法四：（射影定理）可得cos cos 102a c Bb C =+=+，4cos cos 5b c A a C c =+=下同解法二 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．【解答】（1）法一：因为当12b =时，()33342f =<，所以当12b =时不满足条件②．…………（6分）法二：由条件②可知()[]12144,1242x f x x x x =-+≥⇔∈． 因为[]34,12∉，所以当12b =时不满足条件②．…………（6分）法三：由条件②可知()2x f x ≥在[]3,6上恒成立，所以2max144b x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭， 解得394b ≤，所以当12b =时不满足条件②．…………（6分） (注：如果证明了当12b =时满足条件①得2分)（2）法一：由条件①可知，()f x 在[]3,6上单调递增，则对任意1236x x ≤<≤时，有1212121212124()()44()0444x x x x bb b f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+--+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 即1240x x b +>⇔1214b x x >-恒成立，所以94b ≥-；…………（10分）由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式1442x b x x -+≥在[]3,6上恒成立，所以2max139444b x x ⎛⎫≤-+= ⎪⎝⎭ …………（13分） 综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）法二：由条件①可知，()44x bf x x-+在[]3,6上单调递增，所以当0b ≥时，满足条件；当0b <时，得3≤904b ⇔-≤<， 所以94b ≥-…………（10分） 由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，所以34436446b b ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，得394b ≤ …………（13分） 综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【解答】（1）由12AF +AF2a =，从而a =椭圆方程为2212x y +=. ………… (4分) （2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上. 因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥. ………… (6分)设:1l x my -=，与椭圆方程联立可得22(2)210m y my ++-=，设A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),因此12222m y y m +=-+，12212y y m =-+. ………… (8分)由12120x x y y +=，可得22212122212(1)()11022m m m y y m y y m m +++++=--+=++，解得m =10x ±-=.………… (10分)（3） 设:l y kx b =+，由122k k k +=，可得1212211y y k x x +=--， 即1212211kx b kx bk x x +++=--. 化简可得1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x +-+-=--， 即12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符，因此122x x +=.………… (12分)联立直线与椭圆方程，222(21)4(22)0k x kbx b +++-=. 因为228(21)0k b ∆=-+> ①由1224221kbx x k +=-=+，可得，2212k b k +=-② ………… (14分) 将②代入①，2221421,2k k k >+>；再由11(2)2b k k=-+，可得，(,)b ∈-∞-⋃+∞. ………… (16分)21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列： ,,,,,54321； ② 等比数列： 1618141211,,,,--； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【解答】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；………… (2分)② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列. ………… (4分)（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. ………… (6分)充分性：下面用数学归纳法证明：若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.（1）当1n =时，，112111aa a a a =>=， 213112aaa a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=，231a a a ∴>>………… (8分)321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<，所以1n =命题成立………… (9分)（2）若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>， 则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立……… (10分)根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）()2111955n n n n a a a a +-=--， ()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----，………… (11分)()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----，………… (12分)[1]若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时522n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；………… (14分)[2]若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭；………… (16分)若522n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211953,52nn a a +⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2,2n a ∈-.若53,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则()21192,25nn a a +-=∈-，所以(n a ∈. 所以()()12,23,21a ∈-，此时对任何正整数n ，均有()()2,23,21n a ∈-………… (18分)。
上海市浦东新区2020届高三数学下学期期中教学质量检测（二模）试题（含解析）
上海市浦东新区2020届⾼三数学下学期期中教学质量检测（⼆模）试题（含解析）上海市浦东新区2020届⾼三数学下学期期中教学质量检测（⼆模）试题（含解析）⼀、填空题（本⼤题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考⽣应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若集合，集合，则_______ .【答案】【解析】【分析】由集合交集的定义可直接得解.【详解】由集合，集合，得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2.若⾏列式，则______ .【答案】3【解析】【分析】由⾏列式的定义列⽅程求解即可.【详解】⾏列式，所以. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了⾏列式的计算，属于基础题.3.复数的虚部为______（其中为虚数单位）.【答案】【解析】【分析】由复数的除法运算直接求解即可得虚部.【详解】复数. 虚部为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及虚部的概念，属于基础题.4.平⾯上有12个不同的点，其中任何3点不在同⼀直线上. 如果任取3点作为顶点作三⾓形，那么⼀共可作_________个三⾓形.（结果⽤数值表⽰）【答案】220【解析】【分析】根据题意，由组合数公式计算总12个点中任选3个的取法，⼜由任何3点不在同⼀直线上，分析可得答案．【详解】根据题意，12个点中，任取3个，有种取法，⼜由平⾯的12个点中，任何3点不在同⼀直线上，则可以做220个三⾓形；故答案为：220．【点睛】本题考查组合数公式的应⽤，注意“任何3点不在同⼀直线上”的条件．5.如果⼀个圆柱的⾼不变，要使它的体积扩⼤为原来的倍，那么它的底⾯半径应该扩⼤为原来的_______倍.【答案】【解析】【分析】设圆柱的⾼为h，底⾯半径为r，设扩⼤后圆柱的⾼为h，底⾯半径为R，根据圆柱的体积公式计算可得答案．【详解】设圆柱的⾼为h，底⾯半径为r，则体积V＝πr2h，设扩⼤后圆柱的⾼为h，底⾯半径为R，则体积V′＝πR2h，由，得R2＝5r2，则R．∴它底⾯半径应该扩⼤为原来的倍．故答案为：．【点睛】本题考查了圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式是关键，是基础题．6.已知函数是偶函数，则的最⼩值是________.【答案】【解析】【分析】结合三⾓函数的奇偶性，建⽴⽅程关系2kπ，k∈Z,即可得解．【详解】是偶函数，则2kπ，k∈Z，即，k∈Z，当k＝0时，取得最⼩值，为，故答案为：．【点睛】本题主要考查三⾓函数对称性的应⽤，结合三⾓函数是偶函数，建⽴⽅程求出的表达式是解决本题的关键．7.焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线的标准⽅程为_______.【答案】【解析】【分析】利⽤已知条件求出c，a，然后求解b，即可得到双曲线⽅程．【详解】焦点在x轴上，焦距为6，c＝3，且经过点可得，所以.双曲线的标准⽅程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应⽤，是基本知识的考查．8.已知⽆穷数列满⾜则_______.【答案】0【解析】【分析】直接利⽤数列的极限的运算法则求解即可．【详解】⽆穷数列满⾜，0．故答案为：0．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应⽤，属于基础题．9.⼆项式展开式的常数项为第_________项.【答案】4【解析】【分析】由⼆项式展开式的通项公式得：T r+1（2x）6﹣r（）r＝（﹣1）r26﹣2r x6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T4为常数项，即⼆项式展开式的常数项为第4项，得解．【详解】由⼆项式展开式的通项公式得：T r+1（2x）6﹣r（）r＝（﹣1）r26﹣2r x6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T4为常数项，即⼆项式展开式的常数项为第4项，故答案为：4．【点睛】本题考查了⼆项式展开式的通项，属基础题．10.已知个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯⼀众数是，则这个数⽅差的最⼤值为__________.（精确到⼩数点后⼀位）【答案】12.3【解析】【分析】根据题意，由中位数、众数的概念分析，设这6个数为a，3，3，5，b，c；进⽽分析可得若这6个数⽅差的最⼤，则a＝1，b ＝6，c＝12；由⽅差公式计算可得答案．【详解】根据题意，6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯⼀众数是3，则可以设这6个数为a，3，3，5，b，c；若这6个数⽅差的最⼤，6个数据的波动幅度较⼤，此时a＝1，c＝12.由平均数为5，所以，则有b＝6其⽅差s2[（1﹣5）2+（3﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（12﹣5）2]≈12.3；故答案为：12.3．【点睛】本题考查数据的⽅差、中位数、众数、平均数的计算，关键是掌握数据的⽅差、中位数、众数、平均数的定义，属于基础题．11.已知正⽅形边长为，若在正⽅形边上恰有个不同的点，使，则的取值范围为_____________.【答案】【解析】【分析】建⽴坐标系，逐段分析?的取值范围及对应的解得答案．【详解】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建⽴平⾯直⾓坐标系如图：则F（0，2），E（8，4）（1）若P在AB上，设P（x，0），0≤x≤8∴（﹣x，2），（8﹣x，4）∴?x2﹣8x+8，∵x∈[0，8]，∴﹣8?8，∴当λ＝﹣8时有⼀解，当﹣8＜λ≤8时有两解；（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤8，∴（0，2﹣y），（8，4﹣y）∴?（2﹣y）（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y≤8，∴﹣1?24∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有唯⼀解；当﹣1＜λ≤8时有两解（3）若P在DC上，设P（x，8），0＜x≤8∴（﹣x，﹣6），（8﹣x，﹣4），∴?x2﹣8x+24，∵0＜x≤8，∴8?24，∴当λ＝8时有⼀解，当8＜λ≤24时有两解．（4）若P在BC上，设P（8，y），0＜y＜8，∴（﹣8，2﹣y），（0，4﹣y），∴?（2﹣y）?（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y＜8，∴﹣1?24，∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有⼀解，当﹣1＜λ≤8时有两解．综上，在正⽅形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P，使得?λ成⽴，那么λ的取值范围是（﹣1，8）故答案为：（﹣1，8）【点睛】本题考查平⾯向量数量积的性质及其运算，分类讨论思想，属难题．12.已知是定义在上的函数, 若在定义域上恒成⽴，⽽且存在实数满⾜：且，则实数的取值范围是_______【答案】【解析】【分析】由函数定义域及复合函数的关系可得，解得，设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，由与抛物线联⽴，解得中点在得，从⽽在有两不等的实数根，利⽤⼆次函数根的分布列不等式组求解即可.【详解】因为，，所以时满⾜；设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，令由设、为直线与抛物线的交点，线段中点为，所以，所以，⽽在上，所以，从⽽在有两不等的实数根，令，所以。
2020年上海浦东高三二模数学
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知直线 l 经过椭圆的右焦点 F2 ， P 、Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形，求直
线 l 的方程；
（3）已知直线 l 不经过椭圆的右焦点 F2 ，直线 AF2 、 l 、 BF2 的斜率依次成等差数列，求
直线 l 在 y 轴上截距的取值范围.
21. 若数列{an} 对任意连续三项 ai 、ai1 、ai2 ，均有 (ai ai2 )(ai2 ai1) 0 （ i N* ），
曲线的方程是
9. 从 m （ m N* ，且 m 4 ）个男生、6 个女生中任选 2 个人发言，假设事件 A 表示选出 的 2 个人性别相同，事件 B 表示选出的 2 个人性别不同，如果事件 A 和事件 B 的概率相等， 则
10. 已知函数 f (x) x2 a log2 (x2 2) a 2 的零点有且只有一个，则实数 a 的取值集合 为
1
3. 若函数 f (x) x 2 ，则 f 1(1)
4. 若1 i 是关于 x 的方程 x2 px q 0 的一个根（其中 i 为虚数单位， p, q R ），则 pq
5. 若两个球的表面积之比为1: 4 ，则这两个球的体积之比为
x t 1
6.
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
17. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120°得到的. （1）求此几何体的体积； （2）设 P 是弧 EC 上的一点，且 BP BE ，求异面直线 FP 与CA 所成角的大小.（结果用 反三角函数值表示）
上海市浦东新区2021届高三二模数学试卷 含答案
上海市浦东新区2020学年高三第二学期期中教学质量检测数学试卷 2021.04考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．已知集合{1,0,1,2}A =−，2{|1}B x x =≤，则AB =_______.2．已知1i +是实系数一元二次方程20x ax b ++=的根(i 为虚数单位），则2a b +=_____. 3．已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪−⎝⎭，则xy =_______ 4．已知球的主视图的面积为4π，则该球的体积为___________. 5．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为___________.6．已知实数x 、y 满足条件001x y y x y −≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =−的最大值为___________.7．方程239(log )log 32x x +=的解集为__________.8．某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为________. 9．已知(1,0)A 、(0,1)B −，若曲线:C y =上存在两个不同的点P 满足条件BP BA t ⋅=，则t 的取值范围为___________.10．将函数()2sin 2f x x =的图像向左平移6π个单位，再向下平移1个单位，得到函数的()y g x =图像．若()y g x =在[]0,(0)b b >上至少含有2021个零点，则b 的最小值为___________.11．已知a 、b 、m 、n 均为正实数，且满足202120200a b ab +−=，202020218()m n a b +=+，则11()()m n m n+⋅+的取值范围为___________. 12．已知a 、b 、c 为正整数，方程20ax bx c ++=的两实根为12,x x ，且12||1,||1x x <<，则a b c ++的最小值为___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．已知实数0a ≠，则“1a <”是“11a>”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件14．以圆22430x y x +++=的圆心为焦点的抛物线标准方程为 （ ）（A ）24y x = （B ）24y x =− （C ）28y x =− （D ）28y x = 15．已知函数()()f x x D ∈，若对任意的x D ∈，都存在t D ∈，使()()f t f x =−成立，称()f x 是“拟奇函数”．下列函数是“拟奇函数”的个数是 （ ） ①2()f x x =； ②()ln f x x =； ③1()f x x x=+； ④()cos f x x = （A ）1个（B ）2个（C ）3个 （D ）4个16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a m =，且对任意的n N *∈都有121n n a a n ++=+，则下列三个命题中，所有真命题的序号是 （ ） ①存在实数m ，使得{}n a 为等差数列； ②存在实数m ，使得{}n a 为等比数列；③若存在*k N ∈使得155k k S S +==，则实数m 唯一. （A ）① （B ）①② （C ）①③ （D ）①②③三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）.本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，已知圆锥SO 底面圆的半径1r =，直径AB 与直径CD 垂直，母线SA 与底面所成的角为3π. （1）求圆锥SO 的侧面积；（2）若E 为母线SA 的中点，求二面角E CD B −−的大小(结果用反三角函数值表示).18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin f x x =，x R ∈（1）设2()3(2)2()2g x x f x π=++，求函数()g x 的值域；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边为,,a b c .若3()1f A b =，ABC ∆3求sin C 的值.EDABOS19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x 吨需另外投入可变成本()h x 万元，已知()249,(0,50]1363551860,(50,100]21ax x x h x x x x ⎧+∈⎪=⎨+−∈⎪+⎩．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完．设基地种植该中药材年利润为y 万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．（1）求a 的值；（2）求年利润y 的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆C ：2212x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过点()0,2A 的直线l 交椭圆C 于不同的两点P 、Q .（1）若直线l 经过2F ，求1F PQ 的周长；（2）若以线段PQ 为直径的圆过点2F ，求直线l 的方程；（3）若AQ AP λ=，求实数λ的取值范围．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知无穷实数列{}n a ，*n N ∈，若存在0M >，使得对任意*n N ∈，n a M ≤恒成立，则称{}n a 为有界数列； 记1,(1,2,3,1)i i i b a a i n +=−=−，若存在0T >，使得对任意*2,n n N ≥∈，1231n b b b b T −++++≤恒成立，则称{}n a 为有界变差数列.（1）已知无穷数列{}n a 的通项公式为*21,n a n N n=∈，判断{}n a 是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为11c =，公比为实数q 的等比数列{}n c 为有界变差数列，求q 的取值范围； （3）已知两个单调递增的无穷数列{}n d 和{}n e 都为有界数列，记n n n f d e =⋅，*n N ∈，证明：数列{}n f 为有界变差数列．上海市浦东新区2020学年高三第二学期期中教学质量检测数学试卷答案 2021.041． {1,0,1}− 2． 2− 3． 2 4． 6π5．20 6．2 7．33,9⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭8．140 9． [2,21)+ 10． 40414π 11．)2652,⎡−+∞⎣ 12． 9． 13----16． B C C A17．解:（1）由母线SA 与底面所成的角为3π, 又因为1OA r ==,所以2SA = 所以2S rl ππ==侧（2）(法一)由1EA =.联结OE ,因为SO 垂直圆O 所在的平面,CD ⊂圆O 所在的平面,所以CD SO ⊥, 又因为CD AB ⊥,所以CD ⊥平面SOA .因为OE ⊂平面SOA ,所以OE CD ⊥,又AB CD ⊥,所以EOB ∠为二面角E CD B −−的平面角.在BOE ∆中,1OB OE ==,3BE =,所以1cos 2EOB ∠=−,所以23EOB π∠=(法二)建立空间直角坐标系（略）18．解：（1）2()3(2)2()2g x f x f x π=++23sin 22sin ()2x x π=++23sin 22cos x x =+ 3sin 2cos21x x =++ 2sin(2)16x π=++所以，函数的值域为[]1,3−． （2）由3(),2f A =3sin 2A =，()0,A π∈ 3A π∴=或23A π= 1sin 3,12ABCS bc A b ∆=== 得4c = ①若3A π=，则2222cos 13a b c bc A =+−=，13a ∴=，239sin sin 13c C A a ∴==②若23A π=，则2222cos 21a b c bc A =+−=，21a ∴=sin sin c C A a ∴==综上，sin C =或sin C =19．解：（1）当基地产出该中药材40吨时，年成本为16004940250a +⨯+万元， 利润为5040(16004940250)190a ⨯−+⨯+= 解得14a =−； （2）当(0,50]x ∈时，2211504925025044y x x x x x ⎛⎫=−−++=+− ⎪⎝⎭， 因为对称轴20−<，在(0,50]上为增函数， 所以当50x =时，max 425y =万元； 当(50,100]x ∈时，136351363550518602506102121y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=−+−+=−+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，2113635610.5610.5445.4221x x +⎛⎫=−+≤−≈ ⎪+⎝⎭ 当且仅当2113635221x x +=+，即82.1x =≈时取等号； 所以当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.4万元．20．解：（1）12PF PF +=12QF QF +=则1F PQ 的周长等于1212PF PF QF QF +++=（2）当直线l 斜率不存在时, 直线:0l x =,此时(0,1),(0,1)Q P −，220F F P Q ⋅=，符合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =+,1122(,),(,)P x y Q x y ，联立直线与椭圆22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，有22(12)860k x kx +++=，此时122812k x x k +=−+,122612x x k=+，22223644()60021223k k k k ∆=−⨯>⇒−>⇒>+，121(1,)P y F x =−，222(1,)Q y F x =−，221212(1)(1)P F Q x y F x y ⋅=−−+1212(1)(1)(2)(2)0x x kx kx =−−+++=∴21212(1)(21)()50k x x k x x ++−++=即22268(1)(21)()501212k k k k k −++−+=++，解得118k =−∴直线l 的方程为0x =或118160x y +−=； （3）①当直线l 斜率不存在时, 直线:0l x =，若(0,1),(0,1)Q P −，则(0,1),(0,3)AQ AP =−=−，13AQ AP =，此时13λ=； 若(0,1),(0,1)Q P −，则(0,3),(0,1)AQ AP =−=−，3AQ AP =，此时3λ=； ②当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =+,1122(,),(,)P x y Q x y ，又AQ AP λ=，即21212(2)x x y y λλ=⎧⎨−=−⎩，故21x x λ=，又()2222121221221283212263(12)12k x x x x k k x x x x k k⎛⎫− ⎪++⎝⎭=⇒++=++， 即2110161033(12)3k λλ+=−<+，因为232k >，故23(12)12k +>， 21016233(12)k −>+，110(2,)3λλ+∈， 显然12λλ+>(1)λ≠，由21101025163399λλλλ+<⇒−+<得454133333λλ−<−<⇒<<, 综上1[,1)(1,3]3λ∈⋃.21．解：（1）211n a n=≤则1M ≥即可，则{}n a 为有界数列.由21n a n =，知1n n a a +> 11,(1,2,3,1)i i i i i b a a a a i n ++=−=−=−1231111n n b b b b a a a −++++=−<=则1T ≥即可，则{}n a 为有界变差数列.（2）1n n c q −= 则1111i ii i i i b c c q qq q−−+=−=−=−当1q =时，则0i b =，显然满足题意. 当1q =−时，则2i b =，则12312(1)n b b b b n −++++=−，若2(1)n T −≤，则12Tn ≤+，舍去，矛盾. 当1q ≠时，则{}n b 为首相为1q −，公比为q 的等比数列，则11231111n n qb b b b q q−−−++++=−− 若01q <<时，1111111n q q q q q −−−<−−−，则符合题意. 若1q >时，1111n qq q−−−−趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去.则q 的取值范围为()1,0(0,1]−.（3）因为{}n d 和{}n e 为有界数列，则存在10M >，使得对任意*n N ∈，1n d M ≤恒成立， 则存在20M >，使得对任意*n N ∈，2n e M ≤恒成立，11i i i i i b d e d e ++=−1111i i i i i i i i d e d e d e d e ++++=−+−111()()i i i i i i d d e e e d +++=−+− 111()()i i i i i i d d e e e d +++≤−+−{}n d 和{}n e 为单调递增数列的有界数列，11111()()i i i i i i i i i i i b d e d e d d e e e d +++++=−≤−+−1121()()i i i i M d d M e e ++≤−+−则2111()()i i i i i b M d d M e e ++≤−+− 则12312111()()n n n b b b b M d d M e e −++++≤−+−2111211212(||||)(||||)(2)(2)4n n M d d M e e M M M M M M ≤+++≤+=存在124T M M ≥即可，则数列{}n f 为有界变差数列.。
上海市浦东新区2020届高三下学期教学质量检测数学试题
上海市浦东新区2020届高三下学期教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式的值是____________． 2．函数y =____________．3．已知x 、R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 1i x y -+=-+，则x y +=____________． 4．函数()sin cos R y x x x =-∈的单调递增区间为____________． 5．已知02x <<_______ 6．61()x x-的展开式中的常数项是： ．(请用数字作答) 7．.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数的反函数的图像上，则n a =________.8．一支田径队有男运动员40人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为19的样本，则抽取男运动员的人数为____________． 9．若一个底面边长为2的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．10．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 交于1P 、2P 、3P 、4P 四个点，1F 和2F 分别是1C 的左右焦点，也是2C 的左右焦点，并且六边形121342PP F P P F 是正六边形．若椭圆1C 的221=，则双曲线2C 的方程为____________．11．已知A 、B 、C 是半径为5的圆M 上的点，若6BC =，则AB AC ⋅的取值范围是____________．12．对数列{}n a ，{}()*n b n N∈，如果存在正整数k ，使得1kk ab >+，则称数列{}n a 是数列{}n b 的“优数列”，若32222n a n n tn t =+-+，3241n b n n n =+++，并且{}n a 是{}n b 的“优数列”，{}n b 也是{}n a 的“优数列”，则t 的取值范围是____________．二、单选题13．“a b =”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件14．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则8978a a a a +=+（ ） A．1B．1+C．3+D．3-15．对于实数a 、b 、m ，下列说法： ①若a b >，则22am bm >； ②若a b >，则a ab b ；③若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+； ④若 0a b >>，且ln ln a b =，则(2,)a b +∈+∞，其中正确的命题的个数（ ） A ．1B ．2C ．3D ．416．数学试卷的填空题由12道题组成，其中前6道题，每道题4分；后6道题，每道题5分．下面4个数字是某教师给出的一位学生填空题的得分，这个得分不可能是（ ） A ．17 B ．29C ．38D ．43三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 为棱1AA 的中点，1AB =，12AA =．（1）求点B 到平面11B C E 的距离； （2）求二面角11B EC C --的正弦值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<．（1）如图所示，函数()f x 的图象与直线()1 1 y m m =-<<三个相邻交点的横坐标为3π-、6π、2π，求ω的值； （2）函数()()sin 0,0y x ωϕωϕπ=+><<的图象与x 轴的交点A 、B 、C ，且满足OA 、OB 、OC 成等差数列，求ϕ的值．19．某企业准备投产一款产品，在前期的市场调研中发现： ①需花费180万元用于引进一条生产流水线；②每台生产成本Q （x ）（万元）和产量x （台）之间近似满足Q （x ）＝51351x ++，x ∈N *；（注每台生产成本Q （x ）不包括引进生产流水线的费用） ③每台产品的市场售价为10万元；④每年产量最高可达到100台；（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．20．已知点F 是抛物线2:8C y x =上的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的两个动点．（1）若直线AB 经过点F ，且126x x +=，求AB ；（2）若126x x +=，求证:线段AB 的垂直平分线经过一个定点C ，并求出C 点的坐标； （3）若线段AB 与x 轴交于Q 点，是否存在这样的点Q ，使得2211AQBQ+为定值，若存在，求出这个定值和Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．21．定义在R 上的非常值函数()f x 、()g x （()f x 、()g x 均为实数），若对任意实数x 、y ，均有()()()()22f x y f x y g y g x +⋅-=-，则称()g x 为()f x 的关联平方差函数．（1）判断()cos g x x =是否是()sin f x x =的关联平方差函数，并说明理由； （2）若()g x 为()f x 的关联平方差函数，证明：()f x 为奇函数；（3）在（2）的条件下，如果()01g =，()21g =-，当02x <<时()11g x -<<，且f x T f x 对所有实数x 均成立，求满足要求的最小正数T 并说明理由．参考答案1．2 【分析】根据代数余子式定义列式求解,即得结果. 【详解】在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式为401(1)0(2)221--=--= 故答案为：2 【点睛】本题考查代数余子式，考查基本求解能力，属基础题.2．(]2-∞，【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解得指数不等式得结果. 【详解】2933032x x x ≥∴≤∴-≤,故定义域为(]2-∞， 故答案为：(]2-∞，【点睛】本题考查定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．2 【分析】根据复数相等列方程组，解得,x y ，即得结果. 【详解】()212i 1i 1x x y y -=-⎧-+=-+∴⎨=⎩121x x y y =⎧∴∴+=⎨=⎩ 故答案为：2【点睛】本题考查复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】先根据辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求单调区间. 【详解】sin cos )4y x x x π=-=-22()242k x k k Z πππππ∴-≤-≤+∈322()44k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈ 故答案为：()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．1 【分析】配方后利用二次函数求最值可得结果. 【详解】==,又因为02x <<所以1x =时 1. 故答案为:1 【点睛】本题考查了二次函数求最大值,属于基础题. 6．-20 【解析】621661()(1)r n r r rr r r T C x C x x--+=-=-，令620r -=，则3r =，所以常数项为3620C -=-．7．12n - 【解析】 解：因为221log (1)log (1)12212nn n n n n n y x n S S S a -=+∴=+∴+=∴=-∴=8．10 【分析】由样本容量与总体容量的比值相等计算． 【详解】设抽取的男运动员人数为n ，则由分层抽样定义得40194036x =+，解得10x =． 故答案为：10． 【点睛】本题考查分层抽样，利用分层抽样中样本容量与总体容量的比值相等求解即可． 9．92π 【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O ,球心为O ,一个顶点为A ,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA ,再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O,则球心O 是12O O 的中点.∴1Rt AO O ∴中,11AO O O ==,可得32AO ==因此,该球的体积为3439322V ππ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭ 故答案为92π. 【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题.10221= 【分析】先根据椭圆1C 的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中,,.a b c 【详解】2221442423c c =∴=+=∴=+设22222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>22212||||21a P F P F a =-=∴222241)b c a ∴=-=-=因此2221C =221= 221= 【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 11．[]8,72- 【分析】由正弦定理求出sin A ，由平方关系得cos A ，然后利用余弦定理和基本不等式求出bc 的范围，最后由数量积的定义可得结论． 【详解】记,,A B C 所对边长分别为,,a b c ， 由正弦定理得2sin a R A=，即63sin 2255a A R ===⨯，所以4cos 5A =±， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，4cos 5A =时，228836255b c bc bc bc =+-≥-，90bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 90725AB AC bc A ⋅=≤⨯=，4cos 5A =-时，228836255b c bc bc bc =++≥+，10bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 1085AB AC bc A ⎛⎫⋅=≥⨯-=- ⎪⎝⎭， 综上[8,72]AB AC ⋅∈-． 故答案为：[8,72]-． 【点睛】本题考查求平面向量数量积的取值范围，考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题． 12．1t >-． 【分析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围. 【详解】因为{}n a 是{}n b 的“优数列”， 所以存在正整数k ，1k k a b >+即3223222411k k tk t k k k +-+>++++，22(24)20k t k t --++> 显然成立，所以t R ∈； 因为{}n b 是{}n a 的“优数列”， 所以存在正整数m ，1m m b a >+即3232241221m m m m m tm t +++>+-++，22(24)0m t m t -++<22(24)401t t t ∴∆=+->∴>-当1t >-时，由于对称轴21m t =+>，所以必存在正整数m ，使得22(24)0m t m t -++<综上，1t >- 故答案为：1t >- 【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 13．A 【分析】根据充要关系定义进行判断选择. 【详解】若a b =，则a b =，所以充分性成立；若a b =，则a b =不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立； 故选：A 【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题. 14．B 【分析】根据等差数列列式求得公比，再代入所求式,解得结果. 【详解】因为1a ，312a ，22a 成等差数列，所以3121222a a a ⨯=+设{}n a 公比为21201q q qq q ∴=+>∴=+从而89781a a q a a +==++故选：B 【点睛】本题考查等比数列与等差数列综合，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．C 【分析】举例说明①错误；根据不等式性质证明②成立；利用作差法证明③成立；根据对勾函数性质说明④成立. 【详解】若,0a b m >=，则22am bm =,所以①错误； 若a b >，则当0a b >≥时a a b a b b a a b b当0a b ≥>时0a a b b a ab b 当0a b >>时0aba ab a b ba ab b ，因此②成立；若0b a >>，0m >，则()0()a m a b a m a m ab m b b b m b m b+-+-=>∴>+++，所以③成立； 若 0a b >>，且ln ln a b =，则ln ln ln()0,11ab b a a b a ∴==∴=>-，1a b a a∴+=+在(1,)+∞上单调递增，即12a b a a+=+>，因此④成立. 故选：C 【点睛】本题考查根据不等式性质比较大小、作差法比较大小、对勾函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题. 16．D 【分析】根据得分情况可说明ABC 成立，再说明D 一定不成立. 【详解】因为17=34+15,296415,382465⨯⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，所以得分可能是ABC;因为432475=⨯+⨯，而满足个位数为3的只有这一种，但每道题5分的只有6道题，因此D 得分是不可能的， 故选：D 【点睛】本题考查简单推理，考查基本分析判断能力，属基础题. 17．（1（2． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离； （2）用空间向量法求二面角的余弦值，再求正弦值． 【详解】解：（1）如图所示，建立直角坐标系，则有关点的坐标为()1,0,0B ，()11,0,2B ，()11,1,2C ，()0,0,1E ，所以，()110,1,0B C =，()11,0,1B E =--．设平面11B C E 的法向量()1,,n u v w =， 则由111n B C ⊥且11n B E ⊥得，111110000v n B C u w n B E ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩．取1u =，于是平面11B C E 的一个法向量为()11,0,1n =-． 且()10,0,2BB =，所以，点B 到平面11B C E 的距离为1101n BB d n⋅⨯===（2）因为()11,1,2C ，()0,0,1E ，()11,1,0C ， 所以，()10,0,2CC =，()1,1,1CE =--设平面1CC E 的法向量()1112,,n u v w =，则由21n CC ⊥且2n CE ⊥得，11211111122000000w w n CC u v w u v n CE ⎧⎧==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+=+=⋅=⎪⎩⎪⎩⎩．取11u =于是平面1CC E 的一个法向量为()21,1,0n =-．设平面11B C E 的一个法向量()11,0,1n =-与平面1CC E 的一个法向量 为()21,1,0n =-的夹角为ϕ，则12121cos 2n n n n ϕ⋅==， 所以，sin ϕ=． 所以二面角11B EC C -- 【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离，求二面角．在图形中已有两两相互垂直的三条直线时，如长方体，可建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，距离，研究（或证明）空间线面位置关系． 18．（1）125ω=；（2）34πϕ=． 【分析】（1）先确定周期，再求ω的值；（2）根据等差数列性质得2OB OA OC =+，再利用A 、B 、C 坐标表示，解得ϕ的值． 【详解】（1）由三角函数的图象可知，直线y m =与正弦函数图象相交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期则5236T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 所以2125T πω==． （2）由OA 、OB 、OC 成等差数列得2OB OA OC =+ 在同一周期内，不妨设0B x ωϕ+=，A x ωϕπ+=， 2C x ωϕπ+= 得B x ϕω=-，A x πϕω-=，2C x πϕω-=， 由2OB OA OC =+，得322πϕϕωω-=，解得34πϕ=． 【点睛】本题考查根据三角函数图象与性质求参数、等差数列应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．（1）至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）可以实现盈利，利润最大时，产量为89台． 【分析】（1）由题意可得利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N *，由f （x ）＞0求解不等式得答案；（2）把利润函数f （x ）变形，再由基本不等式求最值． 【详解】（1）由题意可知该商品的利润函数为：f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N *，则由()1018000100*Q x x x x N ⎧⎡⎤-⋅-⎪⎣⎦⎨≤∈⎪⎩＞＜，，解得x ≥63． ∴至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）由（1）可知，当产量0＜x ≤60，x ∈N *时，无法实现盈利； 当产量60＜x ≤100，x ∈N *时，由题意可知利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅60﹣（x ﹣60）﹣180． 化简得f （x ）＝181﹣[()1356011x x ⋅+++]1801≤-=． 当且仅当x ＝89时等号成立．∴可以实现盈利，利润最大时，产量为89台． 【点睛】本题考查分式函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题.20．（1）10；（2）证明见解析，经过一个定点()70C ，；（3）存在Q 点满足题意，坐标为()4,0，2211116AQBQ+=． 【分析】（1）根据抛物线定义求焦点弦弦长；（2）先考虑直线AB 的斜率存在情况，根据点斜式得线段AB 的垂直平分线的方程，确定定点，再验证直线AB 的斜率不存在情况也过此定点；（3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，与抛物线联立方程组，结合韦达定理化简2211AQBQ+，确定定值取法，即可确定定点与定值.【详解】（1）1022A B A B p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=． （2）①当直线AB 的斜率存在时，设线段AB 的中点为()00,M x y ，则12032x x x +==，1202y yy +=，21212221212108488AB y y y y k y y x x y y y --====-+-．线段AB 的垂直平分线的方程是()0034y y y x -=--，即()074yy x =--． ②当直线设AB 的斜率不存在时，此时线段AB 的垂直平分线的方程是0y =．所以线段AB 的垂直平分线经过一个定点()70C ，． （3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，联立228880y xy ty m x ty m⎧=⇒--=⎨=+⎩， 则264320t m ∆=+>，128y y t +=，128y y m =-．则()()222221111AQ x m y t y =-+=+，()()222222221BQ x m y t y =-+=+，所以，()()22222212111111t y t y AQBQ+=+++()()()()()()222212121222222212122641664111y y y y y y t mm t t y y t y y +-++===+++， 所以当4m =时，2211116AQBQ+=，故Q 点的坐标为()4,0， 并且满足264320t m ∆=+>． 【点睛】本题考查抛物线焦点弦、抛物线中定点与定值问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.21．（1）是；理由见解析；（2）证明见解析；（3）4T =是满足要求的最小正数，理由见解析． 【分析】（1）根据关联平方差函数定义直接化简判断；（2）结合关联平方差函数定义，证明()()f b f b -=-恒成立； （3）结合关联平方差函数定义先探求4T =，再用反证法证4T =是满足要求的最小正数.【详解】（1）()cos g x x =是()sin f x x =的关联平方差函数，()()()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin f x y f x y x y x y x y x y x y x y +-=+-=+-()()2222222222sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos x y x y y x y x x y =-=---()()2222cos cos y x g y g x =-=-（2）()f x 是非常值函数，所以存在a ，()0f a ≠， 下证对任意实数b ，()()f b f b -=- 令2a b x +=，2a b y -=可得()()2222a b a b f a f b g g -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再令2a b x -=，2a b y +=可得()()2222a b a b f a f b g g +-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加可得()()()0f a f b f b +-=⎡⎤⎣⎦，()0f a ≠，()()f b f b ∴-=-，所以()f x 为奇函数（3）令0y =可得()()()()222201f x g g x g x =-=-，即()()221fx g x +=，()21g =-，()()220f f ∴=-=，令2y x =+，()()()()2222220f x f gx g x +-=+-=， 令2y =，()()()2221f x f x gx +-=-，用2x +替换x 可得()()()()()2224121f x f x g x g x f x +=-+=-=，[1]若()0f x ≠，那么()()+4f x f x =； [2]若()=0f x ，那么()()()()()2222211+2+2+4fx g x g x f x f x =-=-==；所以()()+40f x f x == 综上可知4T=满足要求，下证4T =是满足要求的最小正数，用反证法，若存在004T <<也满足要求，令0x =，02T y =可得()2200000222T T T f f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，00022T T f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！ 所以4T=是满足要求的最小正数.【点睛】本题考查函数新定义、证明奇函数、函数周期、反证法，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.。
2020年上海市浦东新区中考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分） 1. 在下列各数：π,−√36,0.23,227,√53,3.1416无理数的个数有( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 下列根式中，与√2是同类二次根式的是()A. √3B. √4C. √12D. √123. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限，则k 、b 的取值范围为( )A. k >0、b >0B. k >0、b <0C. k <0、b >0D. k <0、b <04. 一个正多边形的每个外角都等于60°，那么这个正多边形的中心角为( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°5. 如图，由下列条件不能得到AB//CD 的是( )A. ∠3 = ∠4B. ∠1 = ∠2C. ∠B + ∠BCD = 180°D. ∠B = ∠56. 已知矩形ABCD 的边AB =6，BC =8，以点B 为圆心作圆，使A ，C ，D 三点至少有一点在⊙B 内，且至少有一点在⊙B 外，则⊙B 的半径r 的取值范围是( )A. r >6B. 6<r <8C. 6<r <10D. 6<r <8或8<r <10二、填空题（本大题共12小题，共48.0分） 7. 函数y =2x−3的自变量x 的取值范围是______．8. 方程√2x +10−x =1的根是______．9. 不等式组{x −2>−32(x −2)≥3x −6的解集是______． 10. 如果一元二次方程2x 2+3x +m =0有两个相等的实数根，那么实数m 的值为________．11. 一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“小于3”的概率为______12. 已知点A(x 1,y 1)和B(x 2,y 2)都在反比例函数y =k x (k <0)的图象上，且x 1<0<x 2，则y 1________y 2.(填“>”或“=”或“<”)13. 某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为______名．14. 如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，且CD =2AD.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(结果用向量a ⃗ 、b ⃗ 的式子表示)15. 如图，BC//DE ，若∠A =35°，∠E =60°，则∠C 等于______16. 如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6 m 的位置，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5 m ，则旗杆AB 的高度约为________m.(精确到0.1 m.参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，DE ⊥AC ，DE =3，AE =4，CE =6，则BC 的长度为______．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，点D是边AB 上的动点，将△ACD 沿CD 所在的直线折叠至△A′CD 的位置，CA′交AB 于点E.若△A′ED 为直角三角形，则AD 的长为________．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 先化简，再求值：(1−1m+2)÷m 2+2m+12m+2，其中m =√2−2．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20. 计算：|−3|+(√2−1)0−(13)−121. 已知：如图，AO 是⊙O 的半径，AC 为⊙O 的弦，点F 为AC⏜的中点，OF 交AC 于点E ，AC =8，EF =2．(1)求AO的长；(2)过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．22.为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》若干本，其中每本《三国演义》的价格比每本《水浒传》的价格贵6元，用480元购买《水浒传》本数是用360元购买《三国演义》本数的2倍，求每本《水浒传》的价格．23.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB=2，∠AOB=60°，求BC的长；24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax−3a(a>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的对称轴及线段AB的长；(2)抛物线的顶点为P，若∠APB=120°，求顶点P的坐标及a的值；(3)若在抛物线上存在一点N，使得∠ANB=90°，结合图象，求a的取值范围．25.如图1，在菱形ABCD中，AC=2，∠ABC=60°，AC，BD相交于点O．(1)如图1，AH⊥BC，求证：△ABH≌△ACH；(2)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时(BE>CE)，求CG的长．【答案与解析】1.答案：B解析：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：∵−√36=−6，，√53是无理数，共2个，故选B．2.答案：D解析：本题考查了同类二次根式和最简二次根式，根据同类二次根式的定义进行求解即可．解：A．√3与√2不是同类二次根式，故本选项错误；B.√4=2，与√2不是同类二次根式，故本选项错误；C.√12=2√3，与√2不是同类二次根式，故本选项错误；D.√12=√22，与√2是同类二次根式，故本选项正确；故选D．3.答案：B解析：本题主要考查一次函数的图像与性质，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一，二，三象限；②当k>0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第一，三，四象限；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一，二，四象限；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二，三，四象限.解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k>0，b<0，故选B．4.答案：D解析：本题考查了正多边形的中心角计算.理解正多边形的外角的度数与中心角的度数相等是关键．正多边形的一个外角的度数与正多边形的中心角的度数相等，据此即可求解．解：正多边形的一个外角等于60°，则中心角的度数是60°．故选D．5.答案：B解析：本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定(①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行)判断即可．解：A.∵∠3=∠4，∴AB//CD，说法正确，故本选项不选；B.∵∠1=∠2，∴AD//BC，不能推出AB//CD，说法错误，故选择此项；C.∵∠B+∠BCD=180°，∴AB//CD，说法正确，故本选项不选；D.∵∠B=∠5，∴AB//CD，说法正确，故本选项不选．故选B．6.答案：C解析：解：因为AB=6，BC=8，所以根据矩形的性质和勾股定理得到：BD=√62+82=10．∵BA=6，BC=8，BD=10，而A，C，D中至少有一个点在⊙B内，且至少有一个点在⊙B外，∴点A在⊙B内，点D在⊙B外．因此：6<r<10．故选：C．先求出矩形对角线的长，然后由A，C，D与⊙B的位置，确定⊙B的半径的取值范围．本题考查的是点与圆的位置关系，根据BA，BC，BD的长以及点A，C，D的位置，确定圆的半径的取值范围．7.答案：x≠3解析：根据分式的意义的条件：分母不等于0，可知：x−3≠0，解得x的范围．主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．解：x−3≠0，解得：x≠3，故答案为x≠3的一切实数．8.答案：x=3解析：解：√2x+10−x=1，√2x+10=1+x，2x+10=(1+x)2，x2=9，解得：x=±3，检验：把x=3代入方程√2x+10−x=1得：左边=右边，所以x=3是原方程的解，把x=−3代入方程√2x+10−x=1得：左边≠右边，所以x=−3不是原方程的解，所以原方程的解为x=3，故答案为：x=3．移项后两边平方，即可得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．9.答案：−1<x≤2解析：解：解不等式x−2>−3，得：x>−1，解不等式2(x−2)≥3x−6，得：x≤2，则不等式组的解集为−1<x≤2，故答案为：−1<x≤2．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10.答案：98解析：此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．根据一元二次方程2x2+3x+ m=0有两个相等的实数根得到△=9−4×2m=0，求出m的值即可．解：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数，∴△=9−4×2m=0，∴m=9，8．故答案为9811.答案：23解析：解：根据题意可得：标号小于3有1，2，两个球，共3个球，．从中随机摸出一个小球，其标号小于3的概率为是：23．故答案为：23根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=m n ，难度适中． 12.答案：>解析：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A 、B 所在的象限是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出该函数图象所在的象限及在每一象限内的增减性，再由x 1<0<x 2，可判断出A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)所在的象限，故可得出结论．解：∵反比例函数y =k x (k <0)∴其函数图象在二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，∵x 1<0<x 2，∴A 在第二象限，B 点则第四象限，∴y 1>y 2．故答案为>． 13.答案：160解析：本题考查的是用样本估计总体的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．利用总人数560乘以每天做作业时间不少于2小时的同学所占的比例即可求解．解：根据题意，结合统计图知：估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为560×105+20+10=160人， 故答案为：160．14.答案：13b ⃗ −a ⃗解析：解：∵CD =2AD ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ ， ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +13b ⃗ ， 故答案为：13b ⃗−a ⃗ ． 求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 求解即可． 本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15.答案：25°解析：解：∵BC//DE ，∠E =60°，∴∠CBE =∠E =60°，∵∠A =35°，∴∠C =∠CBE −∠A =60°−35°=25°，故答案为：25°．根据平行线的性质求出∠CBE ，再根据三角形外角性质求出即可．本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，能根据定理求出∠CBE =∠E 和∠C =∠CBE −∠A 是解此题的关键．16.答案：9.5解析：此题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．注意数形结合思想的应用.根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．解：过D 作DE ⊥AB ，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，∴∠ADE =53°，∵BC =DE =6m ，∴AE =DE ⋅tan53°≈6×1.33≈7.98m ，∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m，故答案为9.5．17.答案：6解析：本题考查了勾股定理的运用以及相似三角形的判定和性质，垂直的定义的运用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先根据勾股定理求得AD=5，再根据△AED∽△ABC，得出DECB =ADAC，即3CB=54+6，进而得出BC．解：∵DE⊥AC，DE=3，AE=4，∴AD=5，∵∠B=90°，DE⊥AC，∴∠B=∠AED，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴DECB =ADAC，即3CB=54+6，∴CB=6．故答案为：6．18.答案：3−√3或2解析：本题主要考查了折叠问题以及含30°角的直角三角形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．分两种情况讨论：当∠A′DE=90°时，△A′ED为直角三角形，当∠A′ED= 90°时，△A′ED为直角三角形，分别依据直角三角形的边角关系，即可得到AD的长．解：如图，当∠A′DE=90°时，△A′ED为直角三角形，∵∠A′=∠A=30°，∴∠A′ED=60°=∠BEC=∠B，∴△BEC是等边三角形，∴BE=BC=2，又∵Rt△ABC中，AB=2BC=4，∴AE=2，设AD=A′D=x，则DE=2−x，∵Rt△A′DE中，A′D=√3DE，∴x=√3(2−x)，解得x=3−√3，即AD的长为3−√3；如图，当∠A′ED=90°时，△A′ED为直角三角形，此时∠BEC=90°，∠B=60°，∴∠BCE=30°，BC=1，∴BE=12又∵Rt△ABC中，AB=2BC=4，∴AE=4−1=3，设AD=A′D=x，则DE=3−x，Rt△A′DE中，A′D=2DE，即x=2(3−x)，解得x=2，即AD的长为2；综上所述，即AD的长为3−√3或2．故答案为3−√3或2．19.答案：解：原式=(m+2m+2−1m+2)÷(m+1)22(m+1)=m+1m+2⋅2m+1=2m+2，当m=√2−2时，原式=√2−2+2=√2．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.答案：解：原式=3+1−3=1．解析：直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.答案：解：(1)∵O是圆心，且点F为AC⏜的中点，∴OF⊥AC，∵AC=8，∴AE=4，设圆的半径为r，即OA=OF=r，则OE=OF−EF=r−2，由OA2=AE2+OE2得r2=42+(r−2)2，解得：r=5，即AO=5；(2)∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°，∴∠AOE=∠ACD，则sin∠ACD=sin∠AOE=AEAO =45．解析：本题主要考查垂径定理，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握垂径定理及其推论、勾股定理和锐角三角函数的定义等知识点．(1)由垂径定理得出AE=4，设圆的半径为r，知OE=OF−EF=r−2，根据OA2=AE2+OE2求解可得；(2)由∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°知∠AOE=∠ACD，从而根据sin∠ACD=sin∠AOE=AEAO可得答案．22.答案：解：设每本《水浒传》的价格为x元，则每本《三国演义》的价格为(x+6)元，依题意，得：480x =2×360x+6，解得：x=12，经检验，x=12是原方程的解，且符合题意．答：每本《水浒传》的价格为12元．解析：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设每本《水浒传》的价格为x元，则每本《三国演义》的价格为(x+6)元，根据数量=总价÷单价.结合用480元购买《水浒传》本数是用360元购买《三国演义》本数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．23.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2OB，∵OA=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形；(2)解：∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2OA=4，∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2，即22+BC2=42，∴BC=√42−22=2√3，∴BC的长为2√3．解析：此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握这些定理与性质是关键．(1)根据四边形ABCD是平行四边形，得到AC=2AO，BD=2OB，根据OA=OB，得到AC=BD，即可得到四边形ABCD是矩形；(2)根据∠AOB=60°，OA=OB，得到△AOB是等边三角形，OA=AB=2，根据四边形ABCD是矩形，得到AC=2OA=4，∠ABC=90°，利用勾股定理得到AB2+BC2=AC2，即22+BC2=42，即可得到BC=√42−22=2√3．24.答案：解：(1)令y=0得：ax2+2ax−3a=0，即a(x+3)(x−1)=0，解得：x=−3或x=1，∴A(−3,0)、B(1,0)．∴抛物线的对称轴为直线x=−1，AB=4．(2)如图1所示：设抛物线的对称轴与x轴交于点H．∵∠APB=120°，AB=4，PH在对称轴上，∴AH=2，∠APH=60°．∴PH=2√33．∴点P的坐标为(−1,−2√33).将点P的坐标代入得：−2√33=−4a，解得a=√36．(3)如图2所示：以AB为直径作⊙H．∵当∠ANB=90°，∴点N在⊙H上．∵点N在抛物线上，∴点N为抛物线与⊙H的交点．∴点P在圆上或点P在圆外．∴HP≥2．∵将x=−1代入得：y=−4a．∴HP=4a．∴4a≥2，解得a≥12．∴a的取值范围是a≥12．解析：(1)令y=0得：ax2+2ax−3a=0，解关于x的方程可求得点A和点B的横坐标，然后可求得AB的长，利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴方程；(2)如图1所示，利用抛物线的对称性可知：AH=2，∠APH=60°，然后可求得PH=2√33，从而可得点P的坐标，最后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值；(3)以AB为直径作⊙H，则点N在⊙H上，当点P在⊙H上或点P在⊙H外时，∠ANB=90°，故H P≥2，接下来，依据HP≥2列不等式求解即可．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，找出∠ANB=90°的条件是解题的关键．25.答案：解：(1)∵四边形ABCD是菱形，且AC=2，∴AB=BC=2，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=2，∵AH⊥BC，∴∠AHB=∠AHC=90°，在Rt△ABH和Rt△ACH中，{AB=ACAH=AH，∴△ABH≌△ACH(HL)，(2)①△AEF是等边三角形，理由：∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACD=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAC+∠BAE=∠EAC+∠CAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，∴△BAE≌△CAF，∴AE=AF，又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，②∵△AEF和△ABC是等边三角形，∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=60°，∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠GEC=120°，∴∠BAE=∠GEC，∴△AEB∽△EGC，∴BECG =ABEC，又∵EC=14BC=14AB，∴CG=14BE=316BC=38．解析：此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定，还用到三角形的全等和相似，判断三角形全等与相似是解本题的关键．(1)由菱形的性质得到△ABC是等边三角形，进而得到AB=AC，从而用HL判定出△ABH≌△ACH．(2)①由菱形的性质判定△ABC和△ACD是等边三角形，进而判断出△BAE≌△CAF，得到AE=AF即可；②证明△AEB∽△EGC即可得解．。
上海市浦东新区2020届高三下学期教学质量检测数学试题
10．如图，已知椭圆 和双曲线 交于 、 、 、 四个点， 和 分别是 的左右焦点，也是 的左右焦点，并且六边形 是正六边形．若椭圆 的方程为 ，则双曲线 的方程为____________．
11．已知 、 、 是半径为5的圆 上的点，若 ，则 的取值范围是____________．
（1）判断 是否是 的关联平方差函数，并说明理由；
（2）若 为 的关联平方差函数，证明： 为奇函数；
（3）在（2）的条件下，如果 ， ，当 时 ，且 对所有实数 均成立，求满足要求的最小正数 并说明理由．
参考答案
1．2
【解析】
【分析】
根据代数余子式定义列式求解,即得结果.
【详解】
在行列式 中，元素 的代数余子式为
得 ， ， ，
由 ，得 ，解得 ．
【点睛】
本题考查根据三角函数图象与性质求参数、等差数列应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
19．（1）至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．
【解析】
【分析】
（1）由题意可得利润函数为f（x）＝[10﹣Q（x）] x﹣180，0＜x≤100，x∈N*，由f（x）＞0求解不等式得答案；
【详解】
因为 ,
又因为
所以 时, 的最大值是1.
故答案为:1
【点睛】
本题考查了二次函数求最大值,属于基础题.
6．-20
【解析】
，
令 ，则 ，
所以常数项为 ．
7．
【解析】
解：因为
8．10
【解析】
【分析】
由样本容量与总体容量的比值相等计算．
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题(解析版)
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题一、单选题1．“a b =”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充要关系定义进行判断选择. 【详解】若a b =，则a b =，所以充分性成立；若a b =，则a b =不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立； 故选：A 【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.2．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则8978aa a a +=+（） A ．1B ．1+C ．3+D ．3-【答案】B【解析】根据等差数列列式求得公比，再代入所求式,解得结果. 【详解】因为1a ，312a ，22a 成等差数列，所以3121222a a a ⨯=+设{}n a 公比为21201qq qq q ∴=+>∴=+从而89781a a q a a +==++故选：B 【点睛】本题考查等比数列与等差数列综合，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．对于实数a 、b 、m ，下列说法：①若a b >，则22am bm >； ②若a b >，则a ab b ；③若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+； ④若 0a b >>，且ln ln a b =，则(2,)a b +∈+∞，其中正确的命题的个数（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】举例说明①错误；根据不等式性质证明②成立；利用作差法证明③成立；根据对勾函数性质说明④成立. 【详解】若,0a b m >=，则22am bm =,所以①错误； 若a b >，则当0a b >≥时a a b a b b a a b b当0a b ≥>时0a a b b a ab b 当0a b >>时0aba ab a b ba ab b ，因此②成立；若0b a >>，0m >，则()0()a m a b a m a m ab m b b b m b m b+-+-=>∴>+++，所以③成立； 若 0a b >>，且ln ln a b =，则ln ln ln()0,11ab b a a b a ∴==∴=>-，1a b a a ∴+=+在(1,)+∞上单调递增，即12a b a a+=+>，因此④成立. 故选：C 【点睛】本题考查根据不等式性质比较大小、作差法比较大小、对勾函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4．数学试卷的填空题由12道题组成，其中前6道题，每道题4分；后6道题，每道题5分．下面4个数字是某教师给出的一位学生填空题的得分，这个得分不可能是（ ） A ．17 B ．29C ．38D ．43【答案】D【解析】根据得分情况可说明ABC 成立，再说明D 一定不成立. 【详解】因为17=34+15,296415,382465⨯⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，所以得分可能是ABC;因为432475=⨯+⨯，而满足个位数为3的只有这一种，但每道题5分的只有6道题，因此D 得分是不可能的， 故选：D 【点睛】本题考查简单推理，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式的值是____________． 【答案】2【解析】根据代数余子式定义列式求解,即得结果. 【详解】在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式为401(1)0(2)221--=--= 故答案为：2 【点睛】本题考查代数余子式，考查基本求解能力，属基础题. 6．函数y =的定义域为____________．【答案】(]2-∞，【解析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解得指数不等式得结果. 【详解】2933032x x x ≥∴≤∴-≤,故定义域为(]2-∞， 故答案为：(]2-∞，【点睛】本题考查定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知x 、R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 1i x y -+=-+，则x y +=____________． 【答案】2【解析】根据复数相等列方程组，解得,x y ，即得结果.【详解】()212i 1i 1x x y y -=-⎧-+=-+∴⎨=⎩121x x y y =⎧∴∴+=⎨=⎩故答案为：2 【点睛】本题考查复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题.8．函数()sin cos R y x x x =-∈的单调递增区间为____________．【答案】()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】先根据辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求单调区间. 【详解】sin cos )4y x x x π=-=-22()242k x k k Z πππππ∴-≤-≤+∈322()44k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈ 故答案为：()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知02x <<_______ 【答案】1【解析】配方后利用二次函数求最值可得结果. 【详解】==,又因为02x <<所以1x =时 1. 故答案为:1 【点睛】本题考查了二次函数求最大值,属于基础题.10．61()x x-的展开式中的常数项是： ．(请用数字作答) 【答案】-20 【解析】621661()(1)r n rr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令620r -=，则3r =，所以常数项为3620C -=-．11．.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数的反函数的图像上，则n a =________. 【答案】12n - 【解析】解：因为221log (1)log (1)12212nn n n n n n y x n S S S a -=+∴=+∴+=∴=-∴= 12．一支田径队有男运动员40人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为19的样本，则抽取男运动员的人数为____________． 【答案】10【解析】由样本容量与总体容量的比值相等计算． 【详解】设抽取的男运动员人数为n ，则由分层抽样定义得40194036x =+，解得10x =． 故答案为：10． 【点睛】本题考查分层抽样，利用分层抽样中样本容量与总体容量的比值相等求解即可． 1336的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ． 【答案】92π 【解析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O ,球心为O ,一个顶点为A ,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA ,再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O,则球心O 是12O O 的中点.∴正六棱柱底面边长为3,侧棱长为61Rt AO O ∴中,1136,AO O O ==,可得221132AO AO O O =+=因此,该球的体积为3439322V ππ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭ 故答案为92π. 【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题.14．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 交于1P 、2P 、3P 、4P 四个点，1F 和2F 分别是1C 的左右焦点，也是2C 的左右焦点，并且六边形121342PP F P P F 是正六边形．若椭圆1C 的方程为22142323+=+，则双曲线2C 的方程为____________．221= 【解析】先根据椭圆1C 的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中,,.a b c 【详解】2221442423c c =∴=+=∴=+设22222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>22212||||21a P F P F a =-=∴222241)b c a ∴=-=-=因此2221C =221= 221-= 【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.15．已知A 、B 、C 是半径为5的圆M 上的点，若6BC =，则AB AC ⋅的取值范围是____________． 【答案】[]8,72-【解析】由正弦定理求出sin A ，由平方关系得cos A ，然后利用余弦定理和基本不等式求出bc 的范围，最后由数量积的定义可得结论． 【详解】记,,A B C 所对边长分别为,,a b c ， 由正弦定理得2sin a R A=，即63sin 2255a A R ===⨯，所以4cos 5A =±，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，4cos 5A =时，228836255b c bc bc bc =+-≥-，90bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 90725AB AC bc A ⋅=≤⨯=，4cos 5A =-时，228836255b c bc bc bc =++≥+，10bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 1085AB AC bc A ⎛⎫⋅=≥⨯-=- ⎪⎝⎭，综上[8,72]AB AC ⋅∈-． 故答案为：[8,72]-． 【点睛】本题考查求平面向量数量积的取值范围，考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题．16．对数列{}n a ，{}()*n b n N∈，如果存在正整数k ，使得1kk ab >+，则称数列{}n a 是数列{}n b 的“优数列”，若32222n a n n tn t =+-+，3241n b n n n =+++，并且{}n a 是{}n b 的“优数列”，{}n b 也是{}n a 的“优数列”，则t 的取值范围是____________． 【答案】1t >-．【解析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围. 【详解】因为{}n a 是{}n b 的“优数列”， 所以存在正整数k ，1k k a b >+即3223222411k k tk t k k k +-+>++++，22(24)20k t k t --++> 显然成立，所以t R ∈； 因为{}n b 是{}n a 的“优数列”， 所以存在正整数m ，1m m b a >+即3232241221m m m m m tm t +++>+-++，22(24)0m t m t -++<22(24)401t t t ∴∆=+->∴>-当1t >-时，由于对称轴21m t =+>，所以必存在正整数m ，使得22(24)0m t m t -++<综上，1t >- 故答案为：1t >- 【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 为棱1AA 的中点，1AB =，12AA =．（1）求点B 到平面11B C E 的距离； （2）求二面角11B EC C --的正弦值． 【答案】（1）2；（2）3． 【解析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离； （2）用空间向量法求二面角的余弦值，再求正弦值． 【详解】解：（1）如图所示，建立直角坐标系，则有关点的坐标为()1,0,0B ，()11,0,2B ，()11,1,2C ，()0,0,1E ，所以，()110,1,0B C =，()11,0,1B E =--．设平面11B C E 的法向量()1,,n u v w =， 则由111n B C ⊥且11n B E ⊥得，11111000v n B C u w n B E ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩．取1u =，于是平面11B C E 的一个法向量为()11,0,1n =-． 且()10,0,2BB =，所以，点B 到平面11B C E 的距离为()11222010*******n BB d n⋅⨯+⨯-⨯===++-．（2）因为()11,1,2C ，()0,0,1E ，()11,1,0C ， 所以，()10,0,2CC =，()1,1,1CE =--设平面1CC E 的法向量()1112,,n u v w =，则由21n CC ⊥且2n CE ⊥得，11211111122000000w w n CC u v w u v n CE ⎧⎧==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+=+=⋅=⎪⎩⎪⎩⎩．取11u =于是平面1CC E 的一个法向量为()21,1,0n =-．设平面11B C E 的一个法向量()11,0,1n =-与平面1CC E 的一个法向量 为()21,1,0n =-的夹角为ϕ，则12121cos 2n n n n ϕ⋅==， 所以，3sin ϕ=． 所以二面角11B EC C --的正弦值为3． 【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离，求二面角．在图形中已有两两相互垂直的三条直线时，如长方体，可建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，距离，研究（或证明）空间线面位置关系．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<．（1）如图所示，函数()f x 的图象与直线()1 1 y m m =-<<三个相邻交点的横坐标为3π-、6π、2π，求ω的值； （2）函数()()sin 0,0y x ωϕωϕπ=+><<的图象与x 轴的交点A 、B 、C ，且满足OA 、OB 、OC 成等差数列，求ϕ的值． 【答案】（1）125ω=；（2）34πϕ=． 【解析】（1）先确定周期，再求ω的值；（2）根据等差数列性质得2OB OA OC =+，再利用A 、B 、C 坐标表示，解得ϕ的值． 【详解】（1）由三角函数的图象可知，直线y m =与正弦函数图象相交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期则5236T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 所以2125T πω==． （2）由OA 、OB 、OC 成等差数列得2OB OA OC =+ 在同一周期内，不妨设0B x ωϕ+=，A x ωϕπ+=， 2C x ωϕπ+= 得B x ϕω=-，A x πϕω-=，2C x πϕω-=， 由2OB OA OC =+，得322πϕϕωω-=，解得34πϕ=． 【点睛】本题考查根据三角函数图象与性质求参数、等差数列应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．某企业准备投产一款产品，在前期的市场调研中发现： ①需花费180万元用于引进一条生产流水线；②每台生产成本Q （x ）（万元）和产量x （台）之间近似满足Q （x ）＝51351x ++，x ∈N ；（注每台生产成本Q （x ）不包括引进生产流水线的费用） ③每台产品的市场售价为10万元； ④每年产量最高可达到100台；（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．【答案】（1）至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．【解析】（1）由题意可得利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，由f （x ）＞0求解不等式得答案；（2）把利润函数f （x ）变形，再由基本不等式求最值． 【详解】（1）由题意可知该商品的利润函数为：f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，则由()1018000100*Q x x x x N ⎧⎡⎤-⋅-⎪⎣⎦⎨≤∈⎪⎩＞＜，，解得x ≥63． ∴至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）由（1）可知，当产量0＜x ≤60，x ∈N 时，无法实现盈利； 当产量60＜x ≤100，x ∈N 时，由题意可知利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅60﹣（x ﹣60）﹣180． 化简得f （x ）＝181﹣[()1356011x x ⋅+++]1801≤-=． 当且仅当x ＝89时等号成立．∴可以实现盈利，利润最大时，产量为89台． 【点睛】本题考查分式函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题. 20．已知点F 是抛物线2:8C y x =上的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的两个动点．（1）若直线AB 经过点F ，且126x x +=，求AB ；（2）若126x x +=，求证:线段AB 的垂直平分线经过一个定点C ，并求出C 点的坐标；（3）若线段AB 与x 轴交于Q 点，是否存在这样的点Q ，使得2211AQBQ+为定值，若存在，求出这个定值和Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）10；（2）证明见解析，经过一个定点()70C ，；（3）存在Q 点满足题意，坐标为()4,0，2211116AQBQ+=． 【解析】（1）根据抛物线定义求焦点弦弦长；（2）先考虑直线AB 的斜率存在情况，根据点斜式得线段AB 的垂直平分线的方程，确定定点，再验证直线AB 的斜率不存在情况也过此定点；（3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，与抛物线联立方程组，结合韦达定理化简2211AQBQ+，确定定值取法，即可确定定点与定值.【详解】（1）1022A B A B p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=． （2）①当直线AB 的斜率存在时，设线段AB 的中点为()00,M x y ，则12032x x x +==，1202y yy +=，21212221212108488AB y y y y k y y x x y y y --====-+-．线段AB 的垂直平分线的方程是()034y y y x -=--，即()074y y x =--． ②当直线设AB 的斜率不存在时，此时线段AB 的垂直平分线的方程是0y =．所以线段AB 的垂直平分线经过一个定点()70C ，． （3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，联立228880y xy ty m x ty m⎧=⇒--=⎨=+⎩，则264320t m ∆=+>，128y y t +=，128y y m =-．则()()222221111AQ x m y t y =-+=+，()()222222221BQ x m y t y =-+=+，所以，()()22222212111111t y t y AQBQ+=+++()()()()()()222212121222222212122641664111y y y y y y t mm t t y y t y y +-++===+++， 所以当4m =时，2211116AQBQ+=，故Q 点的坐标为()4,0， 并且满足264320t m ∆=+>． 【点睛】本题考查抛物线焦点弦、抛物线中定点与定值问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.21．定义在R 上的非常值函数()f x 、()g x （()f x 、()g x 均为实数），若对任意实数x 、y ，均有()()()()22f x y f x y g y g x +⋅-=-，则称()g x 为()f x 的关联平方差函数．（1）判断()cos g x x =是否是()sin f x x =的关联平方差函数，并说明理由； （2）若()g x 为()f x 的关联平方差函数，证明：()f x 为奇函数；（3）在（2）的条件下，如果()01g =，()21g =-，当02x <<时()11g x -<<，且f x Tf x 对所有实数x 均成立，求满足要求的最小正数T 并说明理由．【答案】（1）是；理由见解析；（2）证明见解析；（3）4T =是满足要求的最小正数，理由见解析．【解析】（1）根据关联平方差函数定义直接化简判断；（2）结合关联平方差函数定义，证明()()f b f b -=-恒成立； （3）结合关联平方差函数定义先探求4T =，再用反证法证4T =是满足要求的最小正数. 【详解】（1）()cos g x x =是()sin f x x =的关联平方差函数，()()()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin f x y f x y x y x y x y x y x y x y +-=+-=+-()()2222222222sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos x y x y y x y x x y =-=---()()2222cos cos y x g y g x =-=-（2）()f x 是非常值函数，所以存在a ，()0f a ≠， 下证对任意实数b ，()()f b f b -=- 令2a b x +=，2a b y -=可得()()2222a b a b f a f b g g -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再令2a b x -=，2a b y +=可得()()2222a b a b f a f b g g +-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加可得()()()0f a f b f b +-=⎡⎤⎣⎦，()0f a ≠，()()f b f b ∴-=-，所以()f x 为奇函数（3）令0y =可得()()()()222201f x g g x g x =-=-，即()()221fx g x +=，()21g =-，()()220f f ∴=-=，令2y x =+，()()()()2222220f x f gx g x +-=+-=， 令2y =，()()()2221f x f x gx +-=-，用2x +替换x 可得()()()()()2224121f x f x g x g x f x +=-+=-=，[1]若()0f x ≠，那么()()+4f x f x =； [2]若()=0f x ，那么()()()()()2222211+2+2+4fx g x g x f x f x =-=-==；所以()()+40f x f x == 综上可知4T=满足要求，下证4T =是满足要求的最小正数，用反证法，若存在004T <<也满足要求，令0x =，02T y =可得()2200000222T T T f f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，00022T T f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！ 所以4T=是满足要求的最小正数.【点睛】本题考查函数新定义、证明奇函数、函数周期、反证法，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.。
2020届上海市浦东区第二次高考模拟高三数学模拟试卷(有答案)(加精)
浦东新区第二学期质量抽测高三数学试卷注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B I =____________． 2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是____________． 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____________．4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________．5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=____________．6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________．7、已知射手甲击中A 目标的概率为0．9，射手乙击中A 目标的概率为0．8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________．8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________．9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1lim n n n n Sa a →∞+=____________．10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为____________．11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =,则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________．12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c r r r 满足12a b b c ⋅=⋅=r r r r ，若e r 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅r r r r r r的最大值为____________． 二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分． 13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段． 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（1） （2）OC（3） （4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ ）A 、(1)(3)(4)；B 、(2)(4)(3)；C 、(1)(3)(2)；D 、(2)(4)(1)． 15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x=（ ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0． 16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围 是（ ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、()22,16． 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点， 半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点．已知球面上一点310,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积．（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ；方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧»DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0．001平方千米），并指出哪一种设计方案更好．O ABPQ19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P ． （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-r，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值．20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数． 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =．（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”； （2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数．浦东新区第二学期质量抽测高三数学试卷注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B I =____[2,4)________. 2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t=-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是_____1______. 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____8π______.4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为______2_______.5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=___5_______.6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为 9 .7、已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各 向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是___0.98________.8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是_____20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦__________.9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=___14______.10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图象在区间[]3,3-上的交点的个数为 6 .11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =,则首项1a 所有可能取值中的最大值为 16 .12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c r r r 满足12a b b c ⋅=⋅=r r r r ，若e r 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅r r r r r r的最大值为21__________. 二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是 （ D ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段. 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（2） （2）（3） （4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是 （ C ） A 、(1)(3)(4)； B 、(2)(4)(3)； C 、(1)(3)(2)； D 、(2)(4)(1). 15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x= （ C ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0.16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围是 （ D ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、()22,16. 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1， 且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点10,22D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭. （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．解：（1）由题意：()()()11,0,0,0,1,0,0,0,1,0,2A B C D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则10,,22CD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，……………………………………………………2分所以1CD =u u u r ，即OCD ∆为等边三角形，所以π3DOC ∠=， …………4分则»ππ133DC=⨯= …………………………6分 （2）设直线CD 与平面ABC 所成角为θ，易得平面ABC 的一个法向量()1,1,1n =r， …………………………11分则1sin CD n CD nθ⋅===⋅u u u r r u u u r r …………………………13分 即直线CD 与平面ABC所成角θ=…………………………14分18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场.（1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个POQ ∆的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场POQ ∆的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ；方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧»DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积O A B PQABOCED为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好. 解：（1）设,OP x OQ y ==由余弦定理得222211232x y xy x y xy xy ⎛⎫=+-⋅-=++≥ ⎪⎝⎭，13xy ∴≤…4分则1211sin π2323212S xy =≤⨯⨯=，max 12S =（平方千米）即选取3OP OQ ==时养殖场POQ ∆的面积最大. …………6分（2）方案一：围成三角形OAB设AOB θ∠=，由21124OA OB OA OB OA OB +⎛⎫+=⇒⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12OA OB ==时取等号. 所以，11111sin 12248S OA OB θ=⋅≤⋅⋅=（平方千米）， 当且仅当1π,22OA OB θ===时取等号.……………9分方案二：围成弓形CDE设弓形中扇形所在圆C 的半径为r ，而扇形圆心角为4π3、弧长为1千米， 故14433ππr ==. …………10分 于是22112π1sin 223S r r =⋅⋅+…………11分 23190.1448π216π=+⋅≈（平方千米） …………13分 即12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好. ……………14分19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-r，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l的距离均为d，求d的值.解：（1）由题意，(2,0)P，渐近线方程：2y x=±20y±=……………2分则半径7r d===，……………4分所以圆方程为：()221227x y-+=……………6分（2）若在双曲线C上恰有三个点123,,P P P到直线l的距离均为d，则其中一点必定是与直线:2l y x=-平行的直线与双曲线其中一支的切点……………8分设直线'l与双曲线C相切，并且与直线l平行，则':l y x b=+，即有223412y x bx y=+⎧⎨-=⎩，消去y，得到2281240x bx b+++=……………10分则226416(3)0b b∆=-+=，解得1b=±，所以':1l y x=±…………12分又d是l与'l之间的距离，所以2d==或者2d==……………14分20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）且12120a+=≠，………………………3分∴{}21na+是“2级创新数列”………………………4分（2）由正数数列{}n b是“k级创新数列”，得()+10,1kn nb b k=≠，且0nb>∴+1lg lgn nb k b=，………………………6分∴{}lgnb是等比数列，且首项1lg1b=，公比q k=；∴11lg lg n nb b q k--=⋅=；………………………7分9分10分（3111111nn nn n nn n k k k ββαβββ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪n n αβαβ-=-； ……………………12分 14分16分21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数. 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =.（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”； （2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数.证明：（1） 必要性：0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，故()()00sin sin 1g u g u ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎣⎦，即0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解.…………………………………………………2分 充分性： 0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，故()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦， ()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，即0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解. ………………………………4分（2）因为()()()0f b f f a <<，由()f x 单调递增，可知0b a <<. ……………………5分由（1）可知，若函数()f x 是正弦奇函数，则当a 为方程()sin 1f x =⎡⎤⎣⎦的解，必有a -为方程()sin 1f x =-⎡⎤⎣⎦的解，()sin 1f a ∴-=-⎡⎤⎣⎦，即()π2π2f a m -=-()Z m ∈， 而0a -<，故()()00f a f -<=，从而()()π2f a f b a b -≤-=⇒-≤，即0a b +≥； ……………………7分同理()π2π2f b n -=+()()(),0Z n f b f ∈->，故()()π2f b f a b a -≥=⇒-≥，即0a b +≤； …………………………9分 综上，0a b +=. …………………………10分（3）()f x 的值域为R 且单调递增，故对任意R c ∈，存在唯一的0,x 使得()0f x c =.…………11分可设()()πππ,π22n n f a n f b n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()*N n ∈，下证()*0N n n a b n +=∈.当1n =时，由（2）知110a b +=,命题成立； ………………………………12分假设n k ≤时命题成立，即110,,0k k a b a b +=+=L ，而由()f x 的单调性 知11110k k k k b b b a a a ++<<<<<<<<L L ，知11,k k k k a b b a ++-<->，则当1n k =+时，1k a +为方程()sin 1f x =±的解，故1k a +-为方程()sin 1f x =m的解， 且由单调性知()()1k k f a f b +-<，故()()11k k f a f b ++-≤，得11k k a b ++-≤；同理11k k b a ++-≥，故110k k a b +++=. ……………………………………………14分 要证()f x 是奇函数，只需证：对任意0x >，都有()()f x f x -=-.记000a b ==，若()*N n x a n =∈，则n x b -=，()()()2n f x n f a f x ππ⎛⎫-=--=-=- ⎪⎝⎭；……………………………………………………15分若()()221,N n n x a a n +∈∈，则()ππ2,2,22f x n n ππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()ππ2π,2π22f x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212ππ,,2π,2π22n n x b b f x n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而正弦函数在ππ2,222n n ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上单调递增，故由()()()()sin sin sin f x f x f x -=-=-得()()f x f x -=-.若()()2122,N n n x a a n ++∈∈，同理可证得()()f x f x -=-. …………………17分 综上，对任意0x >，都有()()f x f x -=-.故()f x 是奇函数. ……………18分。
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=
5
．
n→∞
8. 已知双曲线的渐近线方程为 y = ± x ，且右焦点与抛物线 y2 = 4x 的焦点重合，则这个双
曲线的方程是____________.
( ) 9. 从 m m ∈ N∗，且m ≥ 4 个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，假设事件 A 表示选
出的 2 个人性别相同，事件 B 表示选出的 2 个人性别不同．如果 A 的概率和 B 的概率相等，
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高三数学试卷
2020.05
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零
分．
1．设全集U = {0,1,2 }，集合 A = {0 ,1}，则 CU A =
C． ① ③ ④
D. ① ② ④
16. 设集合 S = {1, 2,3,..., 2020} ，设集合 A 是集合 S 的非空子集， A 中的最大元素和最小
如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2
的正方形 ABCD (及其内部)以 AB 边所在直线为旋转轴顺 时针旋转120 得到的．
（1）求此几何体的体积；
（2）设 P 是弧 EC 上的一点，且 BP ⊥ BE ，求异面 直线 FP 与 CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
p+q= 0
．
5.若两个球的表面积之比为1 : 4 则这两个球的体积之比为 1 : 8
．
( ) 6.在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
=
t
−
1
t为参数
，圆 O 的参数方程
y =t
( ) 为 x = cos θ θ为参数 ，则直线 l 与圆 O 的位置关系是 相交 ．
y = sin θ
则m =
．
( ) 10. 已知函数 f (x) = x2 + a log2 x2 + 2 + a − 2 的零点有且只有一个，则实数 a 的取值集合
为
．
11. 如图，在 ∆ABC 中，∠BAC = π ， D 为 AB 中点， P 为 3
CD 上一点，且满足 AP = t AC + 1 AB ，若 ∆ABC 的面积为 3 3 ，则 AP 的最小值
（3）已知直线 l 不经过椭圆的右焦点 F2 ，直线 AF2 ，l ，BF2 的斜率依次成等差数列， 求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围.
21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 8 分.
{ } ( ) ( ) 若数列 an 对任意连续三项 ai , ai+1, ai+2 ，均有 ai − ai+2 ai+2 − ai+1 > 0 ，则称该数列
{ } （3）跳跃数列
an
满足对任意正整数 n
均有 an+1
= 19 − an2 5
，求首项 a1 的取值范围.
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高三数学答案及评分细则
2020.05
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零
为 {1} ．
11. 如图，在 ∆ABC 中，∠BAC = π ， D 为 AB 中点， P 为 3
CD 上一点，且满足 AP = t AC + 1 AB ，若 ∆ABC 的面积为 3
33
，则 AP 的最小值为 2
.
2
{ } { } 12.已知数列 an , bn 满足 a1 = b1 = 1 ，对任何正整数 n 均有 an+1 = an + bn + an2 + bn2 ，
3
2
为
.
{ } { } 12.已知数列 an , bn 满足 a1 = b1 = 1 ，对任何正整数 n 均有 an+1 = an + bn + an2 + bn2 ，
{ } bn+1 = an + bn −
an2 + bn2
，
设
cn
= 3n
1
an
+
1 bn
，则数列
cn
的 前 2020 项 之 和
B． 2
C． 3
D. 4
14. 如图，正方体 A1B1C1D1 − ABCD 中，E 、F 分别为棱 A1 A 、BC 上的点，在平面 ADD1A1 内且与平面 DEF 平行的直线( )
A． 有一条
B． 有二条
C． 有无数条
D. 不存在
15. 已知函数 f (x) = cos x ⋅ cos x .给出下列结论：
( ) 9. 从 m m ∈ N∗，且m ≥ 4 个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，假设事件 A 表示选
出的 2 个人性别相同，事件 B 表示选出的 2 个人性别不同．如果 A 的概率和 B 的概率相等，
则m =
10
．
( ) 10. 已知函数 f (x) = x2 + a log2 x2 + 2 + a − 2 的零点有且只有一个，则实数 a 的取值集合
为“跳跃数列”.
（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：
① 等差数列：1,2 ,3 ,4 ,5 ,⋯；
② 等比数列：1,− 1 , 1 ,− 1 , 1 ⋯ ； 2 4 8 16
（2）若数列{an} 满足对任何正整数 n
，均有 an+1
=
a an 1
( a1
>
0) .证明：数列{an} 是跳跃数
列的充分必要条件是 0 < a1 < 1.
为
.
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
x − y ≥ 0
13．若 x 、 y 满足
x+ y ≤1，
则目标函数 f
= 2x + y 的最大值为(
)
y ≥ 0
A． 1
4
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额
在 3 万元至 6 万元（包括 3 万元和 6 万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列
两个条件：①补助款 f ( x) （万元）随企业原纳税额 x （万元）的增加而增加；②补助款不
1
( ) ( ) 7. 若二项式 1+ 2x 4 展开式的第4 项的值为4
2 ，则 lim x + x 2 + x 3 + ⋯ + x n
=
5
．
n→∞
8. 已知双曲线的渐近线方程为 y = ± x ，且右焦点与抛物线 y 2 = 4x 的焦点重合，则这个双 曲线的方程是__ 2x2 − 2 y2 = 1__________.
．
2. 某次考试，5 名同学的成绩分别为：96 ,100 , 95,108,115 ，则这组数据的中位数为 ．
1
3. 若函数 f (x) = x 2 ，则 f −1(1) =
．
4. 若1 − i 是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的一个根（其中 i 为虚数单位， p ,q ∈ R ），则
在平面直角坐标系
xOy
中， F1 ， F2
分别是椭圆
Γ：x a
2 2
+
y2
= 1(a
>
0)
的左、右焦点，
直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，且 AF1 + AF2 = 2 2 .
（1）求椭圆 Γ 的方程；
（2）已知直线 l 经过椭圆的右焦点 F2 ， P, Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形， 求直线 l 的方程；
p+q=
．
5.若两个球的表面积之比为1 : 4 则这两个球的体积之比为
．
( ) 6.在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
=
t
−
1
t为参数
，圆 O 的参数方程
y =t
为 x = cos θ ( θ为参数)，则直线 l 与圆 O 的位置关系是
．
y = sin θ
1
( ) ( ) 7. 若二项式 1+ 2x 4 展开式的第4 项的值为4 2 ，则 lim x + x 2 + x 3 + ⋯ + x n
k + 1 < x < k + 5 ,k ∈ Z
8
8
.
则正确结论的序号是 ( )
A． ① ②
B． ② ③ ④
C． ① ③ ④
D. ① ② ④
16. 设集合 S = {1, 2,3,..., 2020} ，设集合 A 是集合 S 的非空子集， A 中的最大元素和最小
元素之差称为集合 A 的直径. 那么集合 S 所有直径为 71 的子集的元素个数之和为( )