上海市浦东新区2020届高三下学期期中教学量监测(二模)数学试题 含答案

1
( ) ( ) 7. 若二项式 1+ 2x 4 展开式的第4 项的值为4
2 ，则 lim x + x 2 + x 3 + ⋯ + x n
=
5
．
n→∞
8. 已知双曲线的渐近线方程为 y = ± x ，且右焦点与抛物线 y 2 = 4x 的焦点重合，则这个双 曲线的方程是__ 2x2 − 2 y2 = 1__________.
为“跳跃数列”.
（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：
① 等差数列：1,2 ,3 ,4 ,5 ,⋯；
② 等比数列：1,− 1 , 1 ,− 1 , 1 ⋯ ； 2 4 8 16
（2）若数列{an} 满足对任何正整数 n
，均有 an+1
=
a an 1
( a1
>
0) .证明：数列{an} 是跳跃数
列的充分必要条件是 0 < a1 < 1.
k + 1 < x < k + 5 ,k ∈ Z
8
8
.
则正确结论的序号是 ( )
A． ① ②
B． ② ③ ④
C． ① ③ ④
D. ① ② ④
16. 设集合 S = {1, 2,3,..., 2020} ，设集合 A 是集合 S 的非空子集， A 中的最大元素和最小
元素之差称为集合 A 的直径. 那么集合 S 所有直径为 71 的子集的元素个数之和为( )
为 {1} ．
11. 如图，在 ∆ABC 中，∠BAC = π ， D 为 AB 中点， P 为 3
CD 上一点，且满足 AP = t AC + 1 AB ，若 ∆ABC 的面积为 3
33
，则 AP 的最小值为 2
.
2
{ } { } 12.已知数列 an , bn 满足 a1 = b1 = 1 ，对任何正整数 n 均有 an+1 = an + bn + an2 + bn2 ，
分．
1．设全集U = {0,1,2 }，集合 A = {0 ,1}，则 CU A = {2 }
．
2. 某次考试，5 名同学的成绩分别为：96 ,100 , 95,108,115 ，则这组数据的中位数为 100 ．
1
3. 若函数 f (x) = x 2 ，则 f −1(1) = 1
．
4. 若1 − i 是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的一个根（其中 i 为虚数单位， p ,q ∈ R ），则
C． 3
D. 4
14. 如图，正方体 A1B1C1D1 − ABCD 中，E 、F 分别为棱 A1 A 、BC 上的点，在平面 ADD1A1 内且与平面 DEF 平行的直线( C )
A． 有一条
B． 有二条
C． 有无数条
D. 不存在
16. 已知函数 f (x) = cos x ⋅ cos x .给出下列结论： ① f (x) 是周期函数； ② 函数 f (x) 图像的对称中心（kπ + π , 0) (k ∈ Z ) ；
{ } （3）跳跃数列
an
满足对任意正整数 n
均有 an+1
= 19 − an2 5
，求首项 a1 的取值范围.
浦东新区 2019 学年度第二学期期中教学质量监测
高三数学答案及评分细则
2020.05
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零
① f (x) 是周期函数； ② 函数 f (x) 图像的对称中心（kπ + π , 0) (k ∈ Z ) ；
2
③ 若 f (x1 ) = f (x2 )，则 x1 + x2 = kπ ( k ∈ Z )；
④
不等式 sin 2πx ⋅
sin 2πx
> cos 2πx ⋅ cos 2πx
的解集为
x
{ } bn+1 = an + bn −
an2 + bn2
，
设
cn
= 3n
1
an
+
1 bn
，则数列
cn
的 前 2020 项 之 和
为
.
( ) 【解】 an+1 + bn+1 = 2 an +bn ⇒ an + bn = 2n ，
an+1bn+1 = 2anbn ⇒ an + bn = 2n−1 ， cn = 2 ⋅ 3n = 3n+1 − 3n ， S2020 = 32021 − 3
p+q= 0
．
5.若两个球的表面积之比为1 : 4 则这两个球的体积之比为 1 : 8
．
( ) 6.在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
=
t
−
1
t为参数
，圆 O 的参数方程
y =t
( ) 为 x = cos θ θ为参数 ，则直线 l 与圆 O 的位置关系是 相交 ．
y = sin θ
p+q=
．
5.若两个球的表面积之比为1 : 4 则这两个球的体积之比为
．
( ) 6.在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
=
t
−
1
t为参数
，圆 O 的参数方程
y =t
为 x = cos θ ( θ为参数)，则直线 l 与圆 O 的位置关系是
．
y = sin θ
1
( ) ( ) 7. 若二项式 1+ 2x 4 展开式的第4 项的值为4 2 ，则 lim x + x 2 + x 3 + ⋯ + x n
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
x − y ≥ 0
13．若 x 、 y 满足
x+ y ≤1，
则目标函数 f
= 2x + y 的最大值为(
B
)
y ≥ 0
A． 1
B． 2
=
5
．
n→∞
8. 已知双曲线的渐近线方程为 y = ± x ，且右焦点与抛物线 y2 = 4x 的焦点重合，则这个双
曲线的方程是____________.
( ) 9. 从 m m ∈ N∗，且m ≥ 4 个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，假设事件 A 表示选
出的 2 个人性别相同，事件 B 表示选出的 2 个人性别不同．如果 A 的概率和 B 的概率相等，
如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2
的正方形 ABCD (及其内部)以 AB 边所在直线为旋转轴顺 时针旋转120 得到的．
（1）求此几何体的体积；
（2）设 P 是弧 EC 上的一点，且 BP ⊥ BE ，求异面 直线 FP 与 CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
3
2
为
.
{ } { } 12.已知数列 an , bn 满足 a1 = b1 = 1 ，对任何正整数 n 均有 an+1 = an + bn + an2 + bn2 ，
{ } bn+1 = an + bn −
an2 + bn2
，
设
cn
= 3n
1
an
+
1 bn
，则数列
cn
的 前 2020 项 之 和
4
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额
在 3 万元至 6 万元（包括 3 万元和 6 万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列
两个条件：①补助款 f ( x) （万元）随企业原纳税额 x （万元）的增加而增加；②补助款不
B． 2
C． 3
D. 4
14. 如图，正方体 A1B1C1D1 − ABCD 中，E 、F 分别为棱 A1 A 、BC 上的点，在平面 ADD1A1 内且与平面 DEF 平行的直线( )
A． 有一条
B． 有二条
C． 有无数条
D. 不存在
15. 已知函数 f (x) = cos x ⋅ cos x .给出下列结论：
在平面直角坐标系
xOy
中， F1 ， F2
分别是椭圆
Γ：x a
2 2
+
y2
= 1(a
>
0)
的左、右焦点，
直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，且 AF1 + AF2 = 2 2 .
（1）求椭圆 Γ 的方程；
（2）已知直线 l 经过椭圆的右焦点 F2 ， P, Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形， 求直线 l 的方程；
已知锐角α 、β 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交
3 10 2 5
于 P 、 Q 两点，若 P 、 Q 两点的横坐标分别为
、．
10 5
（1）求 cos( α + β ) 的大小；
（2） 在 ∆ABC 中， a、b、c 为三个内角 A、B、C 对应的边长，若已知角 C = α + β ， tan A = 3 ，且 a2 = λbc + c2 ，求 λ 的值．
．
2. 某次考试，5 名同学的成绩分别为：96 ,100 , 95,108,115 ，则这组数据的中位数为 ．
1
3. 若函数 f (x) = x 2 ，则 f −1(1) =
．
4. 若1 − i 是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的一个根（其中 i 为虚数单位， p ,q ∈ R ），则
为
Fra Baidu bibliotek
.
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
x − y ≥ 0
13．若 x 、 y 满足
x+ y ≤1，
则目标函数 f
= 2x + y 的最大值为(
)
y ≥ 0
A． 1
( ) 9. 从 m m ∈ N∗，且m ≥ 4 个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，假设事件 A 表示选
出的 2 个人性别相同，事件 B 表示选出的 2 个人性别不同．如果 A 的概率和 B 的概率相等，
则m =
10
．
( ) 10. 已知函数 f (x) = x2 + a log2 x2 + 2 + a − 2 的零点有且只有一个，则实数 a 的取值集合
（3）已知直线 l 不经过椭圆的右焦点 F2 ，直线 AF2 ，l ，BF2 的斜率依次成等差数列， 求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围.
21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 8 分.
{ } ( ) ( ) 若数列 an 对任意连续三项 ai , ai+1, ai+2 ，均有 ai − ai+2 ai+2 − ai+1 > 0 ，则称该数列
则m =
．
( ) 10. 已知函数 f (x) = x2 + a log2 x2 + 2 + a − 2 的零点有且只有一个，则实数 a 的取值集合
为
．
11. 如图，在 ∆ABC 中，∠BAC = π ， D 为 AB 中点， P 为 3
CD 上一点，且满足 AP = t AC + 1 AB ，若 ∆ABC 的面积为 3 3 ，则 AP 的最小值
浦东新区 2019 学年度第二学期期中教学质量监测
高三数学试卷
2020.05
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零
分．
1．设全集U = {0,1,2 }，集合 A = {0 ,1}，则 CU A =
低于原纳税额 x （万元）的 50% ．经测算政府决定采用函数模型 f ( x) = x − b + 4 （其中
4x b 为参数）作为补助款发放方案．
（1）判断使用参数 b = 12 是否满足条件，并说明理由；
（2）求同时满足条件①、②的参数 b 的取值范围．
20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 6 分.
C． ① ③ ④
D. ① ② ④
16. 设集合 S = {1, 2,3,..., 2020} ，设集合 A 是集合 S 的非空子集， A 中的最大元素和最小
2
③ 若 f (x1 ) = f (x2 )，则 x1 + x2 = kπ ( k ∈ Z )；
④
不等式 sin 2πx ⋅
sin 2πx
> cos 2πx ⋅ cos 2πx
的解集为
x
k + 1 < x < k + 5 ,k ∈ Z
8
8
.
则正确结论的序号是 ( D )
A． ① ②
B． ② ③ ④
A． 71⋅1949
B． 270 ⋅1949 C． 270 ⋅ 37 ⋅1949
D. 270 ⋅ 72 ⋅1949
三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分.