线段的垂直平分线角平分线经典习题及答案

3.线段的垂直平分线
4.角平分线
例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝040，求∠NMB 的大小
（2）如果将（1）中∠A 的度数改为070，其余条件不变，再求∠NMB 的大小
（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.
（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改
例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。

E
C
F
A D B
例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。

求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。

A
C D
E
B
A B C N
M A
B C N M A
B C
N M
例4：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200
，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。

A
D F
B E G C
例5:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。

求证：BE 垂直平分CD 。

C
E
A D
B F
例6:：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与 F ，求证：OE=OF
例7、如图所示，AB>AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE AB ⊥于E ，DF AC F ⊥于，求证：BE=CF 。

A
E
B M C
F
D
2
1 A
O F E C
B M N
答案如下：
例1：解：（1）∵∠B= 1/2（180°-∠A）=70°，∴∠M=20°；
（2）同理得，∠M=35°；
（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，即：AB的与底边BC所夹的等于∠A的一半．
证明：设∠A=α，
则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α．
（4）改为后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的与底边相交所成的等于顶角的一半．
例2：解：连接BF，由线段的垂直平分线的性质可得，FB＝FA又因为AC＝AF+CF ＝6，所以BF+CF＝6△BCF的周长＝BC+CF+BF＝4+6＝10
例3：证明：因为AC=AD
所以A在线段CD的上
又因为BC=BD
所以B在线段CD的上
所以直线AB是线段CD的
例4：解：作AH⊥BC于H，HC=15/2
∵等腰
∴∠ACB=∠ABC=30°
∴AC=2EC/根号3EC=5根号3
∵F为AC中点
∴FC=5/2根号3
∵FG⊥AC
∴CG=5
同理，BE=5
∴EG=5
例5：证明：
∵DE⊥AB，∠ACB＝90
∴∠BDE＝∠ACB＝90
∵BD＝BC，BE＝BE
∴△BCE≌△BDE （HL）
∴∠CBE＝∠DBE
∵BF＝BF
∴△BCF≌△BDF （SAS）
∴∠BFC＝∠BFD，CF＝DF
∵∠BFC+∠BFD＝180
∴∠BFC＝∠BFD＝90
∴BE⊥CD
∴BE垂直平分CD
例6：解：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．
例7：证明：
连接DC，DB
∵点D在BC的垂直平分线上
∴DB=DC
∵D在∠BAC的平分线上
∴DE=DF
∵∠DFC=∠DEB
∴△DCF≌△DEB
∴CF=BE。