线段的垂直平分线角平分线经典习题及答案

3.线段的垂直平分线

4.角平分线

例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝040，求∠NMB 的大小

（2）如果将（1）中∠A 的度数改为070，其余条件不变，再求∠NMB 的大小

（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.

（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。

E

C

F

A D B

例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。

A

C D

E

B

A B C N

M A

B C N M A

B C

N M

例4：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200

，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。

A

D F

B E G C

例5:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分CD 。

C

E

A D

B F

例6:：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与 F ，求证：OE=OF

例7、如图所示，AB>AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE AB ⊥于E ，DF AC F ⊥于，求证：BE=CF 。

A

E

B M C

F

D

2

1 A

O F E C

B M N

答案如下：

例1：解：（1）∵∠B= 1/2（180°-∠A）=70°，∴∠M=20°；

（2）同理得，∠M=35°；

（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，即：AB的与底边BC所夹的等于∠A的一半．

证明：设∠A=α，

则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α．

（4）改为后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的与底边相交所成的等于顶角的一半．

例2：解：连接BF，由线段的垂直平分线的性质可得，FB＝FA又因为AC＝AF+CF ＝6，所以BF+CF＝6△BCF的周长＝BC+CF+BF＝4+6＝10

例3：证明：因为AC=AD

所以A在线段CD的上

又因为BC=BD

所以B在线段CD的上

所以直线AB是线段CD的

例4：解：作AH⊥BC于H，HC=15/2

∵等腰

∴∠ACB=∠ABC=30°

∴AC=2EC/根号3EC=5根号3

∵F为AC中点

∴FC=5/2根号3

∵FG⊥AC

∴CG=5

同理，BE=5

∴EG=5

例5：证明：

∵DE⊥AB，∠ACB＝90

∴∠BDE＝∠ACB＝90

∵BD＝BC，BE＝BE

∴△BCE≌△BDE （HL）

∴∠CBE＝∠DBE

∵BF＝BF

∴△BCF≌△BDF （SAS）

∴∠BFC＝∠BFD，CF＝DF

∵∠BFC+∠BFD＝180

∴∠BFC＝∠BFD＝90

∴BE⊥CD

∴BE垂直平分CD

例6：解：∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，

又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，

∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，

∴EO=CO，FO=CO，

∴EO=FO．

例7：证明：

连接DC，DB

∵点D在BC的垂直平分线上

∴DB=DC

∵D在∠BAC的平分线上

∴DE=DF

∵∠DFC=∠DEB

∴△DCF≌△DEB

∴CF=BE