排队论(Lingo方法)

损失制排队模型实例
S=1(M/M/1/1)
例1：设某条电 话线，平均每 分钟有0.6次呼 唤，若每次通 话时间平均为 1.25min,求系 统相应的参数 指标。 model: S=1;R=0.6;T=1.25;load=R*T; Plost=@pel(load,S); Q=1-Plost;R_e=Q*R;A=Q*R_e; L_s=R_e*T,eta=L_s/S; end
例：某工人照管4台自动 机床，机床运转时间平均 为负指数分布，假定平均 每周有一台机床损坏需要 维修，机床运转单位时间 内平均收入100元，而每 增加一单位μ的维修费用 为75元，求使总利益达到 最大的μ*
分析：这是一个闭合式排队 系统M/M/1/K/K,且K=4，设 Ls是队长，则正常运转的机 器为K－Ls部，因此目标函 数为：f=100(K－Ls) －75 μ Model: S=1;K=4;R=1; L_s=@pfs(K*R/mu,S,K); Max=100*(K-L_s)-75*mu; end
损失制排队模型实例
例2：分析：
1)电话交换台的服务分成两类，第一类内 线打外线，其强度为
λ1=（0.2×60/40+0.8×60/120） ×200=140
Model: R=200;T=3/60;load=R*T; Plost=@pel(load,S);
第二类是外线打内线，其强度为
λ2 =1×60=60 因此总的强度为
试着做一做
某售票点有两个售票窗 口，顾客按参数λ=8人 /min的Poisson流到达， 每个窗口的售票时间服 从参数μ =5人/min的负 指数分布，试比较以下 两种排队方案的运行指 标，并指出哪种售票方 式效率更高。
1）顾客到达后，以1/2的概率站 成两个队列，如下图
λ1=4 λ=8 到达 λ2=4 μ =5 μ =5 离去 离去
2.等待制排队系统：顾客到达时若服务台均被占，他们 就排队等待。服务顺序有：先到先服务、后到先服务、 随机服务、有优先权的服务
3.混合制排队系统：损失制与等待制的混合。队长（容 量）有限的混合；等待时间有限的混合；逗留时间有 限的混合
排队服务系统的基本概念
服务机构：
1.服务台的数目
2.顾客所需的服务时间服从怎样的概率分布 (常见顾客的服务时间分布有:定长分布、负 指数分布、超指数分布、k阶Erlang分布、 几何分布、一般分布)
2）顾客到达后排成一个队列，顾 客发现哪个窗口空闲时，他就接 受该窗口的服务，如下图 λ=8 到达 μ =5 μ =5 离去 离去
3.顾客处于正常情况的概率:P=(K－Ls)/K
4.平均逗留时间、平均等待队长和平均排队等待时间 Ws=Ls/ λe=Ls/Re Wq=Ws－1/ μ=Ws－T 5.每个服务台的工作强度:Pwork= λe/(Sμ) Lq=Ls－ λ e/ μ =Ls-Re· T
排队系统的最优化模型
1.系统服务时间的确定
量和潜在的顾客数都为K，顾客到达率为 λ，服务 台的平均服务率为μ ，这样的系统称为闭合式排队 模型，记为：M/M/S/K/K
闭合式排队模型的基本参数
1.平均队长：Ls=@pfs(load,S,K),load=K· λ/μ =KRT 即: 系统的负荷=系统的顾客数×顾客到达率×顾客的服务时间 2.单位时间平均进入系统的顾客数: λe= λ （K－Ls）=R(K－Ls)=Re
排队论模型的符号表示
通常由3-5个英文字母组成， 其形式为 A/B/C/n， 其中 A表示输入过程， B表示服务时间， C表示服务台数目， n表示系统空间数
排队模型的表示： X/Y/Z/A/B/C X—顾客相继到达的间隔时 间的分布； Y—服务时间的分布； Z—服务台个数； A—系统容量限制（默认为 ∞）； B—顾客源数目（默认为 ∞）； C—服务规则 （默认为先到 先服务FCFS)。 M—负指数分布、D—确定 型、Ek —k阶爱尔朗分布。
Plost<=0.05;
Q=1-Plost; R_e=Q*R;A=Q*R_e; L_s=R_e*T;eta=L_s/S; Min=S;@gin(S); end
λ= λ1+ λ2=140+60=200
2)按题目要求，系统损失的概率不能超过 5%，即Plost≤0.05
3）外线是整数，在满足条件下，条数越 少越好
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在 一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人 数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
排队服务系统的基本概念
排队规则：指服务系统是否允许排队，顾客是否愿意排队
1.损失制排队系统：顾客到达若所有服务台被占，服务 机构又不允许顾客等待，此时该顾客就自动离去。
混合制排队模型
混合制排队模型通常记为：M/M/S/K,即有S个服 务台或服务员，系统空间容量为K，当K个位置已 被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中 有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
闭合式排队模型
设系统内有M个服务台，顾客到达系统的间隔时间
和服务台的服务时间均为负指数分布，而系统的容
Ws= Wq+1/ μ =Wq+T Ls= λ
· Ws=RWs
Lq= λ· Wq=R Wq
等待制排队模型实例
1.S=1 (M/M/1/∞)
例1：某维修中心在周末现只安排一名员工为顾客提供服务， 新来维修的 顾客到达后，若已有顾客正在接受服务，则需要 排队等待，假设来维修的顾客到达过程为Poisson流，平均每 小时4人，维修时间服从负指数分布，平均需要6min,试求该 系统的主要数量指标。 2.S=3 (M/M/S/∞) 例2：设打印室有3名打字员，平均每个文件的打印时间为 10min,而文件到达率为每小时15件，试求该打印室的主要数 量指标。
等待制排队模型实例
例1： Model: S=1;R=4;T=6/60;load=R*T; Pwait=@peb(load,S); W_q=Pwait*T/(Sload);L_q=R*W_q; W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; End
例2： Model: S=3;R=15;T=10/60;load=R*T; Pwait=@peb(load,S); W_q=Pwait*T/(S-load);
等待制排队模型
等待制排队模型中最常见的模型是：
M/M/S/∞,
即顾客到达系统的相继到达时间间隔独立，且 服从参数为λ 的负指数分布（即输入过程为过 程），服务台的服务时间也独立同分布，且服 从参数为μ 的负指数分布，而且系统空间无限， 允许永远排队
等待制排队模型的基本参数
1.顾客等待的概率:Pwait=@peb(load,S),
排队系统的最优化模型
2.系统服务台的确定 例：一个大型露天矿山， 正考虑修建矿石卸位的个 数，估计运矿石的车将按 Poisson流到达，平均每 小时15辆，卸矿石时间服 从负指数分布，平均3min 卸一辆，又知每辆运送矿 石的卡车售价是8万元，修 建一个卸位的投资是14万 元，问应建多少个矿石卸 位最为适宜？
=1-服务设施总的空闲时间/服务设施总的服务时间
与排队论模型有关的LINGO函数
1.@peb(load,S) 该函数返回值是当到达负荷为load，系统中有S个服务台且允 许排队时系统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率
2.@pel(load,S)
该函数返回值是当到达负荷为load，系统中有S个服务台且不 允许排队时系统损失的概率，也就是顾客得不到服务离开的概 率 3.@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为load ，顾客数为K,平行服务台 数量为S时，有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数的 期望值
分析：用等待制排队系统 M/M/S/∞进行分析,其费用包括 建造卸位的费用和卡车处于排 队状态不能工作的费用，目标 函数为：F=14S+8Ls Model: R=15;T=3/60;load=R*T; Pwait=@peb(load,S); W_q=Pwait*T/(S-load); W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; Min=8*L_s+14*S; @gin(S);@bnd(1,S,5); end
其中S是服务台或服务员的个数，load= λ / μ =RT, 其中R= λ ,T= 1/μ ，R是顾客的平均到达率，T是平 均服务时间 2.顾客的平均等待时间：Wq= Pwait·T/(S-load),
其中T/(S-load)可以看成一个合理的长度间隔，
3.顾客的平均逗留时间、队长和等待队长（little公式）
数学建模讲座
排队论模型
排队系统的描述
服务系统
顾客总体
输入
队伍
服务台
输出
排队服务系统的基本概念
输入过程：描述顾客来源是按怎样的规律抵达排队 系统。 1.顾客源总体:有限还是无限 2.到达类型：单个到达还是成批到达 3.相继顾客到达的时间间隔：相互独立、同分布的; 等时间间隔的;服从Poisson分布的； k阶Erlang分 布
L_q=R*W_q;
W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; END
损失制排队模型
损失制排队模型通常记为
M/M/S/S,
当S个服务器被占用后，顾客自动离 去
损失制排队模型的基本参数
1.系统损失的概率：Plost=@pel(load,S) 2.单位时间内平均进入系统的顾客数： λ e=Re= λ(1-Plost)=R(1-Plost) 3.系统的相对通过能力(Q)与绝对通过能力(A) Q=1-Plost, A= λe· Q= λ(1-Plost)2 =Re· Q= R(1-Plost)2 4.系统在单位时间内占用服务台的均值:Ls= λe/μ=Re· T 注意：在损失制系统中，Lq=0,即等待队长为0 5.系统服务台的效率：η =Ls/S 6.顾客在系统内平均逗留时间:Ws=1/ μ=T 注意：在源自文库失制系统中，Wq=0,即等待时间为0
Eta->η
损失制排队模型实例
S>1(M/M/S/S) 例2：某单位电话交换台有一台200门内线的总 机，已知在上班8小时内，有20%的内线分机 平均每40min要一次外线电话，80%的分机 平均间隔120min要一次外线。又知外线打入 内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话 的时间为平均3min，并且上述时间均服从负 指数分布，如果要求电话的通话率为95%， 问该交换台应设置多少条外线？
描述排队论系统的主要数量指标
1.队长(Ls) ：指在系统中顾客的平均数
等待队长(Lq)：指系统中等待的顾客的平均数 2.顾客的平均等待时间(Wq)：指顾客进入系统的时刻起到开始接 受服务止的平均时间 与平均逗留时间(Ws)：指顾客在系统中平均等待时间与平均服务 时间之和
3.系统的忙期与闲期
服务机构工作强度=由于服务顾客的时间/服务设施总的服务时间