小学奥数专题巧解三阶幻方APPT课件
三年级奥数教程第12讲三阶幻方
三年级奥数教程第12讲三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3(三行三列)的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图．例1、将1～9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．图12-1分析与解 1+2+…+8+9＝45．所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(＝45÷3)．从1到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1，8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3．6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心．在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示．816357492图12-2说明除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．随堂练习1 用0到8这9个数构造一个三阶幻方．例2、将1，3，5，7，…17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．分析与解将图12—2中的1，2，3，…，9分别用1，3，5，…，17代替，得到图12—3．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27．1511159137173图12-3随堂练习2 将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．例3、如果l、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?分析与解总和是1+4+7+…+25＝(1+25)×9÷2＝117．由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3＝39．。
每一列、每一条对角线的和也是39．两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍．所以中央的那个数是(39×3—39 × 2)÷3＝13．随堂练习3 如果2、6、10、1 l、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?例4、图12—4是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数．62815图12-4分析与解首先注意在例3中实际上已经得出每一行(每一列、每条对角线)的和是中央那个数的3倍．因此，现在每一行的和是15×3＝45．这样，就可以得出第三行第一个数是45—6—28＝11．第三行第三个数是45—6—15＝24．第三行第二个数是45—11—24＝10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图12—5．6201928152111024图12-5随堂练习4图1 2—6是一个三阶幻方，请填出其他的数．15423图12-6例5、已知图12—7中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．11263图12-7分析及解每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12。
小学奥数之三阶幻方讲义
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
ab c def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
三阶幻方的讲解
三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。
如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。
幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
这里我们主要学习三阶幻方。
例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。
（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。
同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。
小学三年级奥数 第三章第二节 洛书.幻方
2
7 6
8
1
每一行，每一列，每一条对角线上的三个 数的和，有什么特点?
1、幻方的定义（三阶幻方）
8+5+2=15 4 3 8 9 5 1 2 7 6
2 7 +6 15
宫健快乐奥数园
4+9+2=15 3+5+7=15 8+1+6=15 4+5+6=15
4 9 3 5 +8 +1 15 15
每行、每列、对角线上的三个数的和都相等的方格，叫 “幻方”。 这个相等的和叫三阶幻方的幻和。
8
X
(10+20+30+40+50-30)/2=60 10+50=60 20+40=60
9 10
13 14
11 12 15 16
4个 4个 4个 4个 请让它们分别交换吧! 数的 数的 数的 数的 和 和 和 和 = = = = 34 34 34 34
它就是对称交换法
对 数字依次先排好, 上下中间交叉换,左右中间交叉换,其他地方不要变 比 以前 现在 一 1 2 3 4 1 15 14 4 下 12 6 了 7 8 7 9 5 6 ， 8 10 11 5 9 10 11 12 哪 13 3 2 16 些 13 14 15 16 数 1 2 3 4 位 置 5 6 7 8 有 9 10 11 12 变 化
2 7 6
9
4
2
7
6 1 ② 8
8
5 1
7
3 ① 9 4 8
2 6
5 3
1
2 7
9 5
4 3
6
1 8
8 3 4 4 9
3.1简单的三阶幻方(最新数学课件)
例3：请你编出一个三阶幻方，使其幻和为24.
幻和=中心数×3 中心数=24÷3=8
5 12 7 10 8 6 9 4 11
第5个数
4、5、6、7、8、9、10、11、12
①②③④ ⑤⑥ ⑦ ⑧ ⑨
例4：在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第 一列的位置上填6，如图9。请你在其它方格中填上适当的数， 使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为36.
1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16
1、在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复也不遗漏的 填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自 然数的和均相等（这个相等的和叫做幻和），通常这样的图形 叫做三阶幻方。
2、 三阶幻方中的规律： （1）幻和=九个数之和÷3 （2）幻和=中心数×3 （3）九个连续的自然数中，第5个是中心数，第二、 四、六、八个数是四个角上的数。 （口诀：二四为肩，六八为足，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ九下一，左七右三，五居中间） （4）相邻边上两个中间数的平均数=对角上的数
5
11 13 6
幻和=10×3=30
相邻边上两个中间数的平均数=对角上的数
例6：将1~16这16个数分别填在图的16个方格里，使每行、每 列、两条对角线上四个数和都相等。
123 4 56 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 32 4 86 75 12 10 11 9 13 15 14 16
11 20
12 18
中心数=36÷3=12
19 4 13
C=12, D=36-12-6=18
G=36-18-5=13 ，A=36-12-13=11
B=36-11-5=20，E=36-11-6=19，F=36-20-12=4
小学奥数三阶幻方解归纳PPT课件
.
4
提高：
?
a
?
1
2
2a-1 2
a
2a-2 1
.
5
练一练：
完成下列三阶幻方：
3 4 -1
① -2 2 6
5 01
10
②4 8
③
7
12 11 18
.
6
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：
（ 3,7位
为“一对”，4,6 位为“一对”，）
123456789
返回
.
3
三阶幻方中的规律：
规律3:与中间数对应的上下、左 右、对角两个数字的和=中间 数×2
4 92
三
阶 3 57
幻
方 81 6
规律4：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出
.
7
杨辉构造法
.
8
试一试
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用一 次,使每一横行、竖列、对角线上三 个数的和都相等.
.
9
生活中的幻方
.
10
小结：
完成三阶幻方的步骤： ①把9个数从小到大排列，找出中位数a,填 在幻方中心 ②求出幻和3a ③先选取“两对”数分别填写在对角线上 ④根据幻和填其它数 ⑤根据定义验证，如不符合，返回步骤③。
.
11
§探索神奇的幻方
三阶幻方初探
.
1
三阶幻方
492 357 816
将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻 方的定义是如何做到的？？
三年级奥林匹克数学专题讲解三阶幻方理论A篇和练习B篇
三年级奥林匹克数学专题讲解——三阶幻方理论A 篇幻方实际上是一种填数游戏，它不仅有三阶，还有四阶、五阶……直到任意阶。
一般地，在n 行n 列的方格里，既不重复也不遗漏地填上n n ⨯个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上n 个自然数的和相等，我们把这几个相等的和叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的图形叫做n 阶幻方。
三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重复也不遗漏地填上33⨯个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。
通常这样的图形叫做三阶幻方。
三阶幻方的一些基本规律：幻和=九个数之和÷3，中间数=幻和÷3。
九个连续的自然数中，第五个数是中间数，第二、四、六、八个数是四个角上的数。
例题1 在下面的方格中填上适当的数，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都等于24。
分析： 解决问题的突破口：找出每行、每列和每条对角线上的任意两个数，就可以根据幻和求出第三个数。
例题2 下图中，每个字母代表一个数。
已知每行、每列、每条对角线上的三个数和都相等，若4,16,17,5a l d h ====。
求b 与f 为多少？分析： 根据幻和相等：a e l c e g b e h d e f ++=++=++=++，这4个算式中都有中间数e ，所以有：a l c g b h df +=+=+=+。
再代入4,16,17,5a l d h ====即可。
一、知识介绍二、例题讲解例题3 编出一个三阶幻方，使其幻和为27。
分析： 先根据幻和求中间数，然后填其他数。
请你试一试：调换数的位置，还可以得到几种答案？例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
分析： 先求幻和，再根据幻和求中间数，然后填其他数。
例题5 下图中，a g 7个字母，各代表7个数字，要使三阶幻方成立，“a ”所代表的数字是多少？分析： 根据幻方的概念：每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。
小学数学 幻方问题 PPT课件带答案带作业
A为34-4-5-11=14
其他空根据幻和可依次填出
总结：重数分析法
练习5: 在下面方格表中的字母处分别填入不同的自然数，使其每行、每
列以及每条对角线上的四个数之和都等于264，并求A＋B－C＋ D＋E－F＋G－H。
幻和：264 A:264-68-89-96=11 F:264-96-88-19=61 E:264-68-91-19=86 C:264-11-86-98=69 D:264-99-86-61=18 B:264-91-69-88=16 H:264-89-91-18=66 G:264-66-9819=81 A＋B－C＋D＋E－F＋G－H=11+1669+18+86-61+81-66=16
16
18 81 66
11 69
86 61
例题6: 在下面的方格表中填入适当的数，使每行、每列和每条对角线上
的三个数的乘积都相等。
幻积为：32×32×32＝215 上层中间数为：215÷32÷512＝2 右上角数为：215÷256÷2＝64 左下角数为：215÷64÷32＝16 左侧中间数为：215÷256÷16＝8 右侧中间数为：215÷8÷32＝128 右下角数为：215÷16÷512＝4
X=（11+15）÷2=13
作业3:
在下面3×3的方格表中，每行、每列和每条对角线上的数之和都相等，那么
A+B与C+D相等吗？ E+D+H A+B=C+D E+C+M=M+F+B E+C=F+B
M H
作业4:
在下面3×3的方格表中，每行、每列和每条对角线上的数之和都相等, 那么字母 X是多少？
小学奥数之三阶幻方讲义
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
ab c def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
小学奥数之三阶幻方讲义
小学奥数之三阶幻方讲义同学们：在3 3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1―9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在4 4（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在4 4方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
adbecfigh图1 图2分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和(1 2 3 4 5 6 7 8 9) 345 315（3）选择突破口，显然是e，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f 15 所以：(a e i) (b e h) (c e g) (d e f) 15 15 15 15 60也就是：(a b c d e f g h i) 3 e 60 又因为：a b c d e f g h i 45 所以45 3 e 603 e 60 45 e 5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
3.1三阶幻方教案教学课件
1三阶幻方学习目标 :1、对幻方有初步认识，认识三阶幻方的结构和特点。
2、掌握连续自然数填写三阶幻方的方法。
3、掌握幻和与中心数的数量关系并能灵便运用。
授课重点 :1、掌握连续自然数填写三阶幻方的方法。
2、掌握幻和与中心数的数量关系并能灵便运用。
授课难点：掌握幻和与中心数的数量关系并能灵便运用。
授课过程：一、情况体验在公元前三千多年，洛水经常泛滥成灾，夏禹带着大家去治水。
这时，在洛水中浮起一只大龟，龟背上有奇怪的图案，称为“洛书〞，这个龟就叫它“洛书龟〞。
聪颖的祖先已经破译了洛书龟背上奇特莫测的图案。
〔请学生观察。
)师：这幅图由几组圆点组成的？每组圆点上的个数相同吗？生：不一样样。
师：那我们一起来看看每组各有几个圆点呢？师：把每组圆点的个数对应写出，尔后画出一个三行三列的表格。
这个就是我们今天要学的三阶幻方〔板书标题〕。
幻方定义：在一个正方形的表格里填上一些数，使每一行每一列及两条对角线上的数的和相等，这样的图标叫做幻方。
这里所填的幻方是一个三行三列的表格，所以叫做三阶幻方。
二、思想研究展比方 1例 1：请你将 1-9 这九个数字填在方格里，使每横行、每竖行和对角线上的三个数的和都相等。
：依照神背上的案我可以填出一种，每横行、每行和角上的三个数的和都相等，都等于多少？生：都等于 15.：，个相等的和叫做幻和。
九个数的和与15 有怎的数量关系呢？生 1：有三行，每行的和都是 15，所以九个数的和 =15×3生 :2 ：九个数的和是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,45÷ 3=15.：很好！也就是：幻和 =九个数之和÷ 3：除了神身上的种填写方法，你能有其他填法？〔学生填写，完成后再黑板上呈不一样的填写方法〕492294672816357753159357618618834492⋯⋯：察几种填法，个方格正中的数就是中心数，中心数有什么特点？生：都是 5：中心数与幻和之有怎的数量关系呢？生：幻和 =中心数× 3：， 5 是九个数中的第几个数呢？生： 5 是九个数中的第 5 个数：以第 2 种填法例，我一起看看其他的几个数分在什么地址。
11年春季三年级奥数 第三讲：幻方
11年春季三年级奥数第三讲：幻方
姓名：
幻方是一个古老的数学趣题，传说在我国夏禹时期，北方的洛水中曾出现了一只神龟，背上刻有图形和文字，这引起了许多数学家和兴趣，此图为“洛图”或“洛书”。
三阶幻方的定义
（1）、在三行三列的正方形表格中，各行之和，各列之和，两条对角线之和均相等的数字表格叫做“三阶幻方”。
又称“九宫图”。
（2）、那个共同的和叫做幻和。
例1、将1～9九个数字，填入3×3表格中，使每一行，每一列，两条对角线的三个数加起来等于15.
动动手，动动脑
例2、要使图中的3×3方格表中每行、每列、每条对角线上三个数
练习：图中的3×3方格表中每行、每列、每条对角线上三个数的和
变一变
例3、在下图方格表中的格子填上数，每一行、每一列及两条对角线
练习：在下图方格表中的格子填上数，每一行、每一列及两条对角线
例4、图中每一行、则x＝？
脑力大风暴：
测测你的智力
例5、图中有九个方格，要求每个方格中填入互不相同的数，使得每一行、每一列以及每条对角
11年春季三年级试卷（第三次）
1、请将下面的表格填写完整，要使下图方格表
中每行、每列、两条对角线上三个数的和都相
等。
2、在下面方格表中填上适当的数，使每行、每列、两条对角线上三个数的和均相等。
3、图中每一行、每一列以及对角线上的三数之和均相等，求X ＝（ ）
4、下图中有几个格子，要求每个方格中填入互不相同的数，使得每一横行、竖行、斜行三个数的和都相等。
小学奥数三阶幻方
三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方是一种特殊的数阵图。
例1 将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。
分析：1+2+3+4+...+9=45 所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=159+5+1，9+4+2 8+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。
8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。
随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。
2、将2，4，6，...，18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。
公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央数是多少？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。
（4） （5）5、已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。
6、把下图三阶幻方补充完整。
练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。
2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。
（第1题） （第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
（第3题） （第4题） （第5题）4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
5、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和是60。
6、下图是一个三阶幻方，求？是多少。
（第6题） （第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。
这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？8、填完第7题的图。
小学奥数三阶幻方讲解归纳标准版资料
的两数字和的一半
杨辉(yánɡ huī)构造法
2、9个数的中位数在幻方的最中心。
三阶(sān jiē)幻方
3、幻和等于中间数的3倍。
4 9 2 杨辉(yánɡ huī)构造法
4、每“对”数三的连线(lián xiàn)都过“中心” 。
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阶 2、9个数的中位数在幻方的最中心。
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位
小学(xiǎoxué)奥数三阶幻方讲 解归纳
第一页，共10页。
三阶(sān jiē)幻方
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将1-9九个数学(shùxué)不重复的填入方格中， 满足幻方的定义是如何做到的？？
第二页，共10页。
三阶(sān jiē)幻方中的规律：
1、每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等， 都等于幻和。 2、9个数的中位数在幻方的最中心。 3、幻和等于中间数的3倍。 4、每“对”数的连线(lián xiàn)都过“中心” 。
3 5 7 3 5 7 规律3:与中(间s数ā 对应的上下、左右(zuǒyòu)、对角两个数字的和=中间数×2
n 杨辉(yánɡ huī)构造法
把2、3、4、5、6、7、8、9、10分别填入三阶方格(fānɡ ɡé)中,每个数只用一次,使每一横行、竖列、对角线上三个数的和都相等.
把2、3、4j、iē5)、6、7、8、9、10分别填入三阶方格(fānɡ ɡé)中,每个数只用一次,使每一横行、竖列、对角线上三个数的和都相等.
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位 为“一对”，3,7位
为“一对”，4,6 位为“一对”，） 123456789
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三年级奥林匹克数学专题讲解三阶幻方理论A篇和练习B篇
三年级奥林匹克数学专题讲解——三阶幻方理论A 篇幻方实际上是一种填数游戏，它不仅有三阶，还有四阶、五阶……直到任意阶。
一般地，在n 行n 列的方格里，既不重复也不遗漏地填上n n ⨯个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上n 个自然数的和相等，我们把这几个相等的和叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的图形叫做n 阶幻方。
三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重复也不遗漏地填上33⨯个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。
通常这样的图形叫做三阶幻方。
三阶幻方的一些基本规律：幻和=九个数之和÷3，中间数=幻和÷3。
九个连续的自然数中，第五个数是中间数，第二、四、六、八个数是四个角上的数。
例题1 在下面的方格中填上适当的数，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都等于24。
分析： 解决问题的突破口：找出每行、每列和每条对角线上的任意两个数，就可以根据幻和求出第三个数。
例题2 下图中，每个字母代表一个数。
已知每行、每列、每条对角线上的三个数和都相等，若4,16,17,5a l d h ====。
求b 与f 为多少？分析： 根据幻和相等：a e l c e g b e h d e f ++=++=++=++，这4个算式中都有中间数e ，所以有：a l c g b h df +=+=+=+。
再代入4,16,17,5a l d h ====即可。
一、知识介绍二、例题讲解例题3 编出一个三阶幻方，使其幻和为27。
分析： 先根据幻和求中间数，然后填其他数。
请你试一试：调换数的位置，还可以得到几种答案？例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
分析： 先求幻和，再根据幻和求中间数，然后填其他数。
例题5 下图中，a g 7个字母，各代表7个数字，要使三阶幻方成立，“a ”所代表的数字是多少？分析： 根据幻方的概念：每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。
新版小学奥数三阶幻方讲解归纳
4、每“对”数的连线都过“中心” 。 他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀： 为“一对”，4,6 位为“一对”，）
横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 （ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位
三阶幻方
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将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻 方的定义是如何做到的？？
三阶幻方中的规律：
1、每行、每列、每条对角线上三个数 的和都相等，都等于幻和。 2、9个数的中位数在幻方的最中心。 3、幻和等于中间数的3倍。 4、每“对”数的连线都过“中心” 。
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”， 3,7位
九子斜排，上下对易， （ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位
为“一对”，4,6 位为“一对”，）
左右相更，四维挺出
杨辉构造法
试一试
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用 一次,使每一横行、竖列、对角线 上三个数的和都相等.
生活中的幻方
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?
1
2a-2 1
练一练：
完成下列三阶幻方：
3 4 -1
① -2 2 6
5 01
10
②4 8
③
7
12 11 18
大数学家杨辉的构造方法：
为“一对”早，4,6 在位为“公一对”元，）1275年，宋朝的杨辉就对幻方
4、每“对”数的连线都过“中心” 。 早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。
他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀： 2、9个数的中位数在幻方的最中心。 4、每“对”数的连线都过“中心” 。
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7、 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
48
6、 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
5 26
图1
图3
5
图2
8、 在图3的空格中填入不大于15且互不相同 的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个 数之和都等于30。
9
12 3 8 94 76 5
方案一
12 3 654 789
方案二
五、练习
1、在图1中3×3的阵列里，第一行第三列的 位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请 你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、 纵、斜三个方向的三个数之和为36。
5
6
3、写出一个三阶幻方，使其幻和为24
图1
2、将 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 5 ， 7 这九
2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两数的和÷ 2
M= （A+F）÷2 =（D+C）÷2 =（H+E）÷2 =（G+B）÷2
3、A=（B+C）÷2
E=（B+D）÷2
F=（G+D）÷2
H=（C+G）÷2
AG E DM C HBF
四、反三阶幻方及解法
反三阶幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上九 个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等，这样的 3×3的数阵阵列称为反三阶幻方
赵老师教你学奥数
小学奥数专题
第一讲 三阶幻方
276 951 4 38
.
一、三阶幻方的定义
有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的 填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问 题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许 多绚丽多彩的幻方.
二、三阶幻方的解法
杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排 列，上下、左右相更，四维挺出.”
添耳法解三阶幻方： 例：用1～9这九个数完成下图中的三阶幻方。
八个方向，故有八种填法
3
26
276
159 48
951 4 38
7
填数方向及移动方法
完成效果图
三、三阶幻方的规律
1、幻和=中间数×3
据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称 它为“洛书”。
洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要 求填上1～9这九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均相 等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方，又称九宫算。
一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2 个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排 在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表 叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶. .
2 3 4 6 3 4 12 12 12
个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行， 两条对角线中三个数的和都相等。
4、把3、7、11、15、19、23、27、31、35、39 这九个数填入下图，构造三阶幻方。
5、把3、7、11、15、19、23造反三阶幻方。