中山第4版概率论习题解答 第二章
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第二章：随机变量及其分布函数
2.甲乙两名篮球队员独立的轮流投篮，直至某人投中篮筐为止。今让甲先投，果甲投中的概率为0.4，乙为0.6。求各队员投篮次数的概率分布。 解：
对甲而言： ξ=1 甲（未中）乙（中）或甲（中） ………………. ξ=k 意味着
1
.k -⋯⋯甲（未）乙（未）甲（未）乙（未）甲（中）
或者
.k
⋯⋯甲（未）乙（未）甲（未）乙（未）
所以
111()(0604)04(0604)0606(0604)076k k k P k ξ---==⋅⨯⋅⨯⋅+⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⨯⋅
其中1=k 、2、3…..
对乙而言：
40)()0(⋅===甲首次即投中P P η
4560)240(40)4060(60)4060()(121⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⨯⋅+⋅⨯⋅⨯⋅==--k k k k P η
其中1=k 、2、3…..
5.设某个动物生下r 个蛋的概率是p(r =ξ)=
λλ-e r r
!
。若每一个蛋能发育成
动物的概率是p ,且各个蛋能否发育成小动物是彼此相互独立的。证明恰有k 个后代的概率分布是具有参数为p λ的泊松分布。 证明;
令η表示恰有k 个后代，k 个后代是由于r 个蛋孵化出来的，r ≥k. 那么据全概率公式得
P(η=k)= ()(|)r k P r P k r ξηξ∞
====∑
=λλ--∞
=-∑e r p p c r
k
r k
k
r k r
!
)
1(
=e
r k r k
k r p p r k r k r λλ
-∞
=---∑)1(!
1)!(!! =e
k k r k r k k r p p k r k λλλ
--∞
=---∑)1()!
(!1
=e
k
r k r k
p k r k p -∞
=---∑))
1(()!(1
!)(λλλ
=e
()(1)!
!
k i i
i p p k i λ
λλ∞
-=-∑
=e
(1)
()!
k p p e k λ
λλ-- =k p
p k e )(!
λλ- 即函数为p λ的泊松分布。
6.设1ξ与2ξ相互独立，并具有共同的几何分布 {}k i p k pq ξ==()1,2;0,1,2,......i k == （1）证明：()121
1
i p k n n ξξξ=+==+。 （2）求{}12max ,ηξξ=的分布。 （3）求η与1ξ的联合分布。
（1）证明：
()()
()
()()
()()
()21121212121
20
022
,1,0,1,2, (11)
n
i n
n
k n k
k k n
n n
n n
k p k n p k p n k p q p k n p n p k p n k p pq pq p q q k n q n p q
ξξξξξξξξξξξ
ξ-====+===-=+===
=
+===-====++∑∑∑(2)(){}()
1,2max p k p k ηξξ===
=()()()112212112,,,p k p k p k ξξξξξξξξξ=>+=<+== =Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ 其中
()()()1
1
120
1
111k k k i
i i k
k k i k k k i I p k p i pq pq q
pq p q pq p
pq q q
ξξ--==-=====-===--∑∑∑
Ⅱ=Ⅰ
Ⅲ=()12,k k p k k pq pq ξξ=== ∴()()21k k k k p k pq q pq pq η==-+ =()()222k k k k k k k pq q pq pq q q pq -+=--+
=()()()1212,0,1,2......k k k k k k pq q q p pq q q k +---=--=
（3）()1,p i j ηξ==
if i j = ()()()1112,,1k k p i j p j pq q ηξξξξ====>=-
即{}12122,,max ,j i ξξηξξξ====
∴()()2112,,j i i j p i j p j i pq pq p q ηξξξ+=======
if ,i j <这不可能∴()1,0p i j ηξ===
故
()
()()112110
21221,{,} {,}, 0, 1,,0,,,j j j k i i
P i j P i i j
P j i i j i j pq q i j p q i j j i k i p ξξηξξξξξξ=++==⎧
=≤==⎪⎪⎪
=====>⎨⎪<⎪⎪⎩
-==><∑⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩