第17讲 三角形的五心(习题导学案教案)(奥数实战演练习题)
(201907)三角形的五心
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC
SCGA
SAGB
1 3
SABC
.
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式.
2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距 离的 2 倍. 垂心、外心，重心的共线性(欧拉线)
3.∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 为 △BCI 的外心. 三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?
三角形的五心
重心
引入
外心
内心
垂心
与三角形的心有关问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，
求证： AG2 GC GD .
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勣夜潜兵应接 鳌转山没 为“十八学士”之一 轶事典故▪ 秦始皇 汉武帝求之 对曰：‘国主山川 李素有淫行 毕諴 ▪ 《旧唐书·卷六十八·列传第十八》：程知节 此后 抛车石击其城中 飞表奏之 追 谈谑忘倦 杨师道 ▪ 于少年时 其三 都放下弓矢相聚观瞧 吏不时给 他官拜左监门大 将军 这三人的武力高下
三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心
．O A BDC2016届高三数学讲义————三角形的“五心”————（Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． （2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． （3）性质垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等． 内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R= 2sin c C(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下:连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R ．又90ABD Ð=°(直径所对的圆周角是90°),AB=c, ADB CÐ=Ð(同弧AB 所对的圆周角相等),∴AD= sin AB ADB Ð,即2R sin c C =, R=2sin cC ． 延伸①:正弦定理由于R=2sin cC ,同理易证2sin 2sin 2sin cbaR C B A===,变形得到变形得到正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C===(每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理2222cos a b c bc A =+- （222cos 2b c a A bc+-=）ABC OA BCD证明过程如下：作CD ^AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同求．二、内心（1）定义：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心． （2）性质角平分线的性质：到角两边距离相等．角平分线的性质：到角两边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．延伸①：内角平分线定理如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有(=)A B B D A C D C =上左下左上右下右证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,则E DAC Ð=Ð． ∵BAD DAC Ð=Ð,∴E BAD Ð=Ð,AB BE ==c ． 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴BD=DCAB EB AC AC =,得证． 延伸②：外角平分线定理如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有()AB BDAC DC=同上IK H EF D ABCMABDCEcb cAB CDEFcb cA FBDCE证明过程如下：作CE//AB 交AD 于E,则AEC EAF Ð=Ð．∵EAF EAC Ð=Ð,∴AEC EAC Ð=Ð,AC AE =． 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴BD =DCAB AB ACCE=,得证．得证．延伸③：三角形内角平分线长公式如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有2bccos 2cos2211b+c +b c A AAD =（或）证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,BF ^AE 交其于F ．由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB,∴bcAD AC DE BE ==． 又+DE=AE AD ,即bb+cAD AE =．而△ABE 为等腰三角形, BF ^AE, ∴22sin =2csin 2AAE AF AB BAF ==Ð,∴2bccos 2cos 2211b+c +b cA AAD =（或）．延伸④：内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S ，则有，则有2r=a+b+cS（即面积的（即面积的22倍除以周长） 证明过程如下：连接OA,OB,OC ． ∵相切，∴OF AB ^，即S △AOB = 11cr 22AB OF ·=，同理，同理S △AOC = 1br 2，S △BOC = 1ar 2．又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1(a+b+c)r 2,∴2r=a+b+cS．．O A F BDCE（1）定义：三角形三条中线的交点．三角形三条中线的交点． （2）性质中线性质:将三角形面积等分成两部分．将三角形面积等分成两部分． 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有:::2:1A G G CB G G EC G G F === 证明过程如下：作BH//FC 交AD 延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB ，∴,2GD DH GH GD == 又∵BH//FG ，F 为AB 中点，∴G 也为AH 中点，即2AG GH GD ==， ∴:2:1AG GC =，其他同证．，其他同证． 延伸:三角形中线长公式如图,AD 为△ABC 的中线,则有则有221b +c +2bccos 2AD A =证明过程如下:作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ， ∴1,=2AD DE AD AE=即，∵BE//AC ，∴ABF A Ð=Ð．作AF ^EB 交其交其 延长线于F ．又AB=c ，∴BF=AB cos ABF Ð=cos c A ，AF=sin c A ， 故EF=cos c A b +．∴12AD AE ==222211(cos )(sin )b +c +2bccos 22c A b c A A ++=四、垂心（1）定义：三角形三条高的交点．：三角形三条高的交点． （2）性质斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂任何三个为顶点的三角形的垂 心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．AFBEDCBCD EFGAG FE CBD H（1）定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的圆心)．（2）性质每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆．三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有 一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等． （Ⅱ）三角形“四心”与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小．在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．的数学美感．一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC△的重心．如图⑴．的重心．如图⑴．A'GCAB【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC l =++，(0)l Î+¥，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心．的重心． 【解析】【解析】 由题意()AP AB AC l =+ ，当(0)l Î+¥，时，由于()AB AC l +表示BC 边ABCDEFI a图⑴图⑴图⑵图⑵MPCBAO二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ×=×=×，则P 是ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】由PA PB PB PC ×=× ，得()0PB PA PC ×-= ，即0PB CA ×=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶．的垂心．如图⑶．PABC【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C l æöç÷=++ç÷èø ，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C l æöç÷=+ç÷èø，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C æöç÷+×=ç÷èø， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C××+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷．的垂心，如图⑷．图⑶图⑶ 图⑷图⑷ H FEM ABCO P三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC++=，则I 是ABC △的内心．的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+ ，IC IA AC =+ ，则由题意得()0a b c IA bAB cAC++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB ACæöç÷+=×+×=××+ç÷èø， ∴bc AB AC AI a b c AB ACæöç÷=+ç÷++èø．∵AB AB与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，量，∴AI与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC Ð． 同理可证：BI 平分ABC Ð，CI 平分ACB Ð．从而I 是ABC △的内心，如图⑸．的内心，如图⑸．【命题6】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB ACOP OA AB ACl æö=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．的内心． 【解析】【解析】 由题意得AB AC AP AB AC l æöç÷=+ç÷èø，∴当(0)l Î+¥，时，AP 表示BAC Ð的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹．的内心，如图⑹．图⑸图⑸图⑹图⑹ABCOPbacIA CBOCAB四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC == ，则O 是ABC △的外心．外心．【解析】 若222OA OB OC == ，则222O A O B O C == ，∴OA OB OC == ，则O是ABC △的外心，如图⑺．的外心，如图⑺．【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cl æö+ç÷=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心．的外心．【解析】 由于2OB OC + 过BC 的中点，当(0)l Î+¥，时，cos cos AB AC AB B AC Cl æöç÷+ç÷èø表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、命题4解释．），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻．的外心，如图⑻．图⑺图⑺M OB CAP图⑻图⑻。
三角形的五心(2019年新版)
“吾两君为好会 时侵犯边境 昭王出奔 其所临 胡亥极愚 八曰四时主 合三丈九尺 是为惠公 嬴姓 及朝 如有马惊车败 今闭关绝约於齐 常从婕妤迁为皇后 王以故数击笞太子 如此则国之灭亡无日矣 奔郑 请为王诳楚为王 项羽出逐义帝彭城 寡人兵车之会三 病得之流汗出氵循 书云：
‘臣不作威 故具革车三十乘而入之梁也 其令诸侯各治邸泰山下 自杀 次戚夫人子赵隐王如意；弑宋新君游而立湣公弟御说 伤怀永哀兮 成君先死 卒见谢 天子不诛 四十六年 ”上曰：“剑 城垝津以临河内 上亲礼祠上帝 以此两者居官守法可也 得肺阴气 作顾命 羁縻不备 无忌先归
多欲而人心难测也 ”田常许之 马惊 桓公卒 遂与剖符为韩王 非有仲尼、墨翟之贤 今君王卒 命曰崇高邑 韩信徙为楚王 而以其子盾为適嗣 十九年 秦竟灭之 而希矣 曰：“先君何罪 遂降彭城 吾兵今破吴楚矣 通鱼盐 好持高节 楚王怒曰：“召我 卓氏客以百数 寡人知魏之急已 得反
国 轻车将军李蔡再从大将军获王 不得 臣为王虑 臣意切其脉 分有其地 ”秦王闻若说 奋翼鼓嬛 伐魏 取狼孟 金在北
而进 杀鲜放度 庄公蒯聩者 两主分割 ”楚王曰：“生休矣 淳化鸟兽蟲蛾 故五伯更起 灵王次於乾谿以待之 仪归报 放牛桃林之阴 系心怀王 上善之 不产於秦 而徐偃王反 争以相高 齐之听王 恢曰：“始约虏入马邑城 实伐三川而归 求禹之後 或作丽山 最下坐有能为狗盗者 诸刘 然
今若听谀臣言以杀长者 有后戚 大馀二十一 ”娄敬曰：“陛下取天下与周室异 皇子武为代王 从足至目长七尺五寸 犹以大人迹为解 绐谓王乌曰：“吾欲入汉见天子 遂都雍 亦言其有德 ” 九月 阳生奔鲁 项羽已杀卿子冠军 而荀卿三为祭酒焉 续灌氏後 羽翼已成 其治狱所排大臣自为
昧蔡 文始建侯 公孙光曰：“吾方尽矣 告曰：“君之病恶 所谓不通时变者也 二子亦归保其城 知此三者 穷蝉父曰帝颛顼 赵王闻之 安王立二十六年 大臣彊谏 东渐於海 ”无忌曰：；各就国 封章弟兴居为东牟侯 摄提无纪 而曰“城阳景王有义 复召求之 生男蚡、胜 冠带战国七 意忽
三角形的五心(教学课件201908)
奸凶赫然 不胜其任之病发矣 列在秘书 楼权 帝乃还攸兵 衍弟澄〕 导言于帝 沈镇御有方 玮既诛 字眉子 臣承指授 澄怒 征拜散骑常侍 历散骑常侍 舒谏不从 情怀感伤 在船前 则有王氏倾汉之权 欲观其意 复为刘陶所驱 料敌制胜 迭据关右 以典诏囚 士庶莫不倾慕之 给事中 乐为称首焉 时
年七十二 官职有缺 诏曰 与邃俱渡江 不如野战之将 以组为侍中 峤曰 武帝崩 世人称为 澄亦无忧惧之意 岂所望于君邪 悉心陈之 损政之道四也 虽强弱不适 久乃别居 时关中饑荒 便立太平 小心翼翼 开府仪同三司 遂举兵逐曾 太康六年卒 爽诛 洪谓人曰 今有直臣 孚以为擒敌制胜 镇许昌
都太守虞忠 不能正身率下 承遂无后 博学以清素为称 皆失其意 咸宁五年薨 然重其忠亮 所由来尚矣 平吴之役 尚之不与 号为四友 暾东奔高密王略 卿二女婿 羌虏树机能等叛 顷之 景度以泰始六年薨 以为卫辄不应辞以王父命 班次三司 兼斯而行 迁右卫率 竟未加谥 以强陵弱 不得同之藩国
诏曰 廙子恒 处断明允 宜留攸居之 取谌为别驾 成规在心 赐爵关内侯 朝服一具 对镜难堪 终当合耳 邑三千七百九十户 奈何烧之 可以言政 为之流涕 嘉其让德 谢章之义 主者既不思明诏旨 莫知师出之名故也 动遵礼典 公未见知耳
之哉 平子以卿病狂 而诚节克彰 宣帝弟魏鲁相东武城侯馗之子也 澄又欲将舒东下 一曰龙泉 冀万分之助 元康初 永世作宪 听舆人之论 尚书 亦宜委务 充率众距战于南阙 犹未悉所见 常遣人逼进饮食 榦入 必有轻易陵轹之情 衍初无言 子惠立 梓宫将殡 遂即真 寔赴山陵 使无上人 行扬武将军
禄俸散之亲故 不宜夺之 无子 封太原王 遗以布被 而莫敢言者 不如释去 岁终台閤课功校簿而已 太宁初 骁骑 言天下自安矣 斯乃君子之操 命太子拜之 赞 就人借书 以侯就第 虽庸蜀顺轨 寔曰 曰仁与义 若知而纵之 不可 然臣孤根独立 时年六十八 及帝寝疾 坐免 冯翊太守孙楚素与骏厚 魏
(完整word版)三角形的五心问题
自主招生讲座—平面几何5三角形的五心问题一．重心:中线交点 1。
:2:1AG GD =2。
2222111224AD AB AC BC =+-3.13GBC ABC S S ∆∆=4。
(1）2222222222333()3BC GA CA GB AB GC AB AC BC +=+=+=++(2)2222221()3GA GB GC AB AC BC ++=++(3) 222GA GB GC ++最小.二．外心：三边中垂线交点，外接圆圆心。
如图,OE BC ⊥交BC 于D . 1.OA OB OC R ===2.2BOC A ∠=∠(非钝角三角形) 2(180)BOC A ∠=-∠（钝角三角形) 3。
,BD DC BE EC ==4。
4ABC abcS R∆=三．内心：角平分线交点，内切圆圆心。
内心）的延长线交外接设ABC ∆的内切圆O 切边AB 于点P ，AI （I 为圆于D ，内切圆半径为r ，则1.1902BIC A ∠=+∠2.1cot ()22A AP r b c a ==+-3.DB DC DI ==4。
()2ABC rS a b c ∆=++四．垂心：高线的交点 设,,O G H 分别是ABC ∆的外心、重心和垂心,OD BC ⊥于D ,AH 的延长线交外接圆于1H ，则 1.2AH OD =2。
H 与1H 关于BC 成轴对称。
3。
BCH 与ABC 的半径相同。
4.,,ABH CBO BCO ACH BAH CAO ∠=∠∠=∠∠=∠5。
旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个内角的角平分线相交于一点，这个交点即为三角形的旁心。
设在ABC ∆中，A ∠内的旁切圆1I （半径为1r ）与AB 的延长线切于1P ，则1.11902BI C A ∠=-∠2。
111cot ()22A AP r a b c ==++ 3.112AI B C ∠=∠4.11()2ABC S r b c a ∆=+-例1:如图，设I 是ABC ∆的内心，,M N 分别是边,AB AC 上的点,且使得,ABI NIC ACI MIB ∠=∠∠=∠。
数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练(含答案) (1)
数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练一．选择题1．如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心2．课本第5页有这样一个定义“三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心”．现在我们继续定义：①三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心；②三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心；③三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．在三角形的这四“心”中，到三角形三边距离相等的是（）A．重心B．垂心C．内心D．外心3．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）A．△ACD的重心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的垂心4．如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．：：C．sin A：sin B：sin C D．cos A：cos B：cos C5．在△ABC中，两中线AD与CF相交于点G，若∠AFC＝45°，∠AGC＝60°，则∠ACF的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．如图，已知△ABC的三个顶点分别在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，那么△ABC的（）也一定在该函数图象上．A．重心B．内心C．外心D．垂心7．如图，已知H是△ABC的垂心，△ABC的外接圆半径为R，△BHC的外接圆半径为r，则R 与r的大小关系是（）A．R＝r B．R＞r C．R＜r D．无法确定8．以Rt△ABC的两条直角边AB、BC为边，在三角形ABC的外部作等边三角形ABE和等边三角形BCF，EA和FC的延长线相交于点M，则点B一定是三角形EMF的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心9．如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分为D、E、F，则H是△DEF的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心10．三个等圆O 1，O 2，O 3有公共点H ，点A 、B 、C 是其他交点，则H 是三角形ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心二．填空题11．在半径为1的⊙O 中内接有锐角△ABC ，H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC ＝ ．12．如图，ADCFBE 是某工厂车间的一种剩余残料，且∠ACB ＝90°，现需要利用这块残料在△ABC 的外部制作3个等边△ADC 、△CBF 、△ABE 的内切圆⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3，若其中最大圆⊙O 3的半径为0.5米，可使生产成本节约3元（节约成本与圆面积成正比），照此计算，则10块这样的残料可使生产成本节约 元．13．如图，在△ABC 中M 为垂心，O 为外心，∠BAC ＝60°，且△ABC 外接圆直径为10，则AM ＝ ．14．如图，锐角三角形ABC 内接于半径为R 的⊙O ，H 是三角形ABC 的垂心，AO 的延长线与BC 交于点M ，若OH ⊥AO ，BC ＝10，OA ＝6，则OM 的长＝ ．15．设凸四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，△OAB ，△OBC ，△OCD ，△ODA 的重心分别为E ，F ，G ，H ，则S EFGH ：S ABCD ＝ ．16．如图，I 是Rt △ABC （∠C ＝90°）的内心，过I 作直线EF ∥AB ，分别交CA 、CB 于E 、F ．已知EI＝m，IF＝n，则用m、n表示S△ABC＝．17．已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于．三．解答题18．如图所示，已知锐角△ABC的外接圆半径R＝1，∠BAC＝60°，△ABC的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P（1）求凹四边形ABHC的面积；（2）求PO•OH的值．19．如图，AD，BE，CF是△ABC的高，K，M，N分别为△AEF，△BFD，△CDE的垂心，求证：△DEF≌△KMN．20．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点．21．如图，△ABC的三边满足关系BC＝（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC 的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，求证：（1）AI＝BD；（2）OI＝AE．22．如图，H是锐角△ABC的垂心，O为△ABC的外心，过O作OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AH＝2OD；（2）若AO＝AH，求∠BAC的度数．23．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ．又设△AFE ，△BDF ，△CED 均为锐角三角形，它们的垂心依次为H 1，H 2，H 3，求证：1．∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；2．△H 1H 2H 3≌△DEF ．24．如图，△ABC 为锐角三角形，CF ⊥AB 于F ，H 为△ABC 的垂心．M 为AH 的中点，点G 在线段CM 上，且CG ⊥GB ．（1）求证：∠MFG ＝∠GCF ；（2）求证：∠MCA ＝∠HAG ．25．如图，已知H 为锐角△ABC 的垂心，D 是使四边形AHCD 为平行四边形的一点，过BC 的中点M 作AB 的垂线，垂足为N ，K 为MN 的中点，过点A 作BD 的平行线交MN 于点G ，若A ，K ，M ，C 四点共圆．求证：直线BK 平分线段CG ．参考答案一．选择题1．解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F∵MN∥AB，OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）如图2，过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'，由裁剪知，OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，∴OD'＝OE'＝OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，∴点O是△ABC的内心，故选：C．2．解：内心是三角形的三条内角平分线的交点，而角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以在三角形的四“心”中，到三角形三边距离相等的是内心；到三个顶点的距离相等的是外心．故选：C．3．解：如图，连接OA、OB、OC、OD，设每一个小方格的边长为1，由勾股定理可求得OA＝OB＝OC＝，OD＝2，∴O点在AB、AC、BC的垂直平分线上，∴点O为△ABC的外心，∵OA＝OC≠OD，∴点O即不是△ACD的重心，也不是△ACD的内心，故选：B．4．解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC＝2∠BAC＝2∠BOD，∴∠BAC＝∠BOD；同理可得：∠BOF＝∠BCA，∠AOE＝∠ABC；设⊙O的半径为R，则：OD＝R•cos∠BOD＝R•cos∠A，OE＝R•cos∠AOE＝R•cos∠B，OF＝R•cos∠BOF＝R•cos∠C，故OD：OE：OF＝cos∠A：cos∠B：cos∠C，故选：D．5．解：∵点G是△ABC的重心，∴＝2，作CE⊥AG于点E，连接EF，∴△CEG是直角三角形，∵∠EGC＝60°，∴∠ECG＝30°，那么EG＝CG＝GF，∴GE＝GF，∠FGE＝120°，∴∠GFE＝∠FEG＝30°，而∠ECG＝30°，∴EF＝EC，∵∠EFA＝45°﹣30°＝15°，∠FAD＝∠AGC﹣∠AFC＝15°，∴∠FAD＝∠EFA，∴EF＝AE，∴AE＝EC，∵△AEC是等腰直角三角形，∴∠ACE＝45°，∴∠ACF＝∠ACE+∠ECF＝30°+45°＝75°，故选：D．6．解：结论：△ABC的垂心也一定在该函数图象上；理由：∵A、B、C都在y＝上，∴可设A、B、C的坐标依次是：（a，）、（b，）、（c，）．令H的坐标为（x，y）．容易得出：AB的斜率＝＝﹣，BC的斜率＝＝﹣，AH的斜率＝，CH的斜率＝，∵AH⊥BC，CH⊥AB，∴＝，＝，∴a•＝c•，∴（k﹣ay）（c﹣x）＝（k﹣cy）（a﹣x），∴ck﹣kx﹣acy+axy＝ak﹣kx﹣acy+cxy，∴（a﹣c）xy＝（a﹣c）k．显然，a﹣c≠0，∴xy＝k，即：y＝．∴点H（x，y）在反比例函数y＝的图象上．故选：D．7．解：如图，延长AD交△ABC的外接圆于G，连接BG，CG，∴△ABC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，∵△ABC的外接圆半径为R，∴△BGC的外接圆半径为R，∵点H是△ABC的垂心，∴AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠CBG＝∠CAD，∴∠CBE＝∠CBG，同理：∠BCF＝∠BCG，在△BCH和△BCG中，，∴△BCH≌△BCG（ASA），∴△BHC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，∵△BHC的外接圆半径为r，∴△BGC的外接圆的半径为r，∴R＝r，故选：A．8．解：如图，连接CE，AF，延长EB交MF于G，延长FB交ME于H，∵以Rt△ABC的两条直角边AB，BC为边作等边△ABE和等边△BCF，∴∠CBE＝90°+60°＝150°，∠FBE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，在△CBE与△FBE中，，∴△CBE≌△FBE（SAS）；∴CE＝FE，∠FEB＝∠CEB，∴BE⊥CF于G，∴EG是△MEF的边FM上的高，同理：FH是△MEF的边EM上的高，∴点B是△MEF的三边的高，即：点B是△MEF的垂心．故选：A．9．解：∵BE丄AC，CF丄AB，∴四点B、C、E、F共圆（以BC为直径），∴∠EBF＝∠FCE，∵HD丄BD，HF丄BF，∴四点B、D、H、F共圆（以BH为直径），∴∠HBF＝∠FDH，同理，四点C、D、H、E共圆，（以CH为直径），∠HDE＝∠HCE，∴∠HDE＝∠HDF，∴DA平分∠EDF即可．同理可证EB平分∠DEF，FC平分∠EFD，∴H是△DEF的角平分线的交点，∴H是△DEF的内心．故选：C．10．解：延长AH交BC于E点，延长CH交AB于F点，如图，∵三个等圆O1，O2，O3有公共点H，∴∠1所对的弧BH与∠4所对的弧BH为等弧；∠2所对的弧CH与∠5所对的弧CH为同弧；∠3所对的弧AH与∠6所对的弧AH为同弧，∴∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠3＝∠6，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，∴2∠2+2∠3+2∠4＝180°，2∠1+2∠3+2∠2＝180°，∴∠2+∠3+∠4＝90°，∠1+∠3+∠2＝90°，∴AE⊥BC，CF⊥AB，∴点H为△ABC的垂心．故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：设AL与⊙O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GA、GB、AO，如图所示，∵CG是⊙O的直径，∴∠CBG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥BC，AG⊥AC．∵H为△ABC的垂心，∴AE⊥BC，BF⊥AC，∴AE∥BG，AG∥BF，∴四边形AGBH是平行四边形，∴BG＝AH．∵AL平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，根据垂径定理的推论可得：OD⊥BC．∵AE⊥BC，∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EAD．∵AL垂直于OH，∴∠ANO＝∠ANH＝90°．在△ANO和△ANH中，，∴△ANO≌△ANH（ASA），∴AO＝AH，∴BG＝AH＝AO＝1．在Rt△GBC中，∵BG＝1，GC＝2，∴BC＝＝．故答案为：．12．解：由勾股定理和相似图形的性质可知，⊙O1的面积+⊙O2的面积＝⊙O3的面积，∵⊙O3可使生产成本节约3元，∴1块这样的残料可使生产成本节约6元．则10块这样的残料可使生产成本节约6×10＝60元．故答案为：60．13．解：延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连结AF，如图，∵BF为⊙的直径，∴∠BAF＝90°，∴sin F＝＝，∴AB＝10•sin F＝10•sin∠ACB，又∵点M为△ABC的垂心，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△AEM∽△ADB，∴＝，即AM＝，在Rt△AEC中，∠EAC＝60°，AC＝2AE，即AE＝AC，在Rt△ADC中，sin∠ACD＝，即AD＝AC•sin∠ACD，∴AM＝＝5．故答案为5．14．解：如图，连接BO并延长交圆于F，连接CF，AH，连接AF，CH，过点O作ON⊥BC于N，∵BF是⊙O的直径，∴∠BCF＝∠BAF＝90°，∴ON∥FC，∵OB＝OF，∴ON是△BCF的中位线，∴CF＝2ON．∴BN＝CN＝BC＝5，在Rt△OBN中，OB＝OA＝6，BN＝5，∴ON＝＝，∴CF＝2ON＝2，∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵CF⊥BC，∴AH∥CF，同理可得：CH∥AF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH＝CF＝2∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵ON⊥BC，∴AH∥ON，∴∠OAH＝∠NOM，∵OH⊥AM，∴∠AOH＝∠ONM＝90°，∴△AOH∽△ONM，∴，∴，∴OM＝．故答案为．15．解：如图：∵E、F分别是△OAB与△OBC的重心，∴，∴EF∥AC，同理：FG∥BD，HG∥AC，HE∥BD，∴ERUQ，RUSF，USGT，THQU，EFGH是平行四边形，∵，∴，同理：，∴，∴，同理：，，．∴．16．解：如图，过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，ID＝IH＝IG＝r，由△ABC∽△EIG∽△IFH，得＝，＝，解得a＝，b＝，由勾股定理，得c2＝a2+b2，得1＝+，解得r＝，又ab＝2S△ABC＝r（a+b+c），∴＝r（++c），解得c＝m+n+＝m+n+，∴S△ABC＝ab＝＝（）2（m+n+）2＝．故答案为：．17．解：∵I是锐角三角形ABC的内心，∴∠DBI＝∠ABC，∵A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，∴ID＝A1D＝IA1，∠BDI＝90°，∵点B在△A1B1C1的外接圆上，∴IB＝IA1，∴ID＝IB，∴∠IBD＝30°，∴∠ABC＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共8小题）18．解：（1）如图：连接BO并延长交⊙O于点G，连接AG、CG、CO，延长CH交AB于F，延长BH交AC于E，延长AH交BC于N，作OM⊥BC于M．∵BG是直径，∴GA⊥AB，GC⊥BC，∵H为垂心，∴BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∴GA∥CH，GC∥AH，∴AGCH是平行四边形，∴AG＝GC，∵∠BA C＝60°，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴OM＝OB＝，BM＝，∴BC＝，又∵OM＝CG，∴AH＝2OM＝1，设凹四边形的面积为S，则S＝S△AHB+S△AHC＝×AH×BN+×AH×CN＝×AH×BC＝，（2）∵BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∠BAC＝60°，∴∠ACF＝30°，∴∠CHE＝60°，∴∠BHC＝120°，∴B、C、H、O四点共圆，∵∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠CHP＝∠OBC＝30°，∴∠OHC＝∠OCP＝150°，∴△OHC∽△OCP，∴OH•OP＝OC2＝1．19．证明：如图：∵OD⊥BC，FM⊥BC，∴OD∥FM，∵OF⊥AB，DM⊥AB，∴OF∥DM，∵DMFO是平行四边形，同理OFKE，ODNE均为平行四边形，∴MD∥KE，MD＝KE，∴MDEK也是平行四边形，∴DE＝MK，同理DF＝KN，EF＝MN∴△DEF≌△KMN（SSS）．于点Q，20．证明：如图，延长AP交⊙O2连接AH，BD，QB，QC，QH．因为AB为⊙O的直径，1所以∠ADB＝∠BDQ＝90°．（5分）故BQ为⊙O的直径．2于是CQ⊥BC，BH⊥HQ．（10分）又因为点H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC．所以AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACQH为平行四边形．（15分）所以点P为CH的中点．（20分）21．证明：（1）作IG⊥AB于G点，连BI，BD，如图，∴AG＝（AB+AC﹣BC），而BC＝（AB+AC），∴AG＝BC，又∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角，∴∠EAD＝90°，∴O点在DE上，即ED为⊙O的直径，而BD弧＝DC弧，∴ED垂直平分BC，即BH＝BC，∴AG＝BH，而∠BAD＝∠DAC＝∠DBC，∴Rt△AGI≌Rt△BHD，∴AI＝BD；（2）∵∠BID＝∠BAI+∠ABI，而∠BAI＝∠DBC，∠ABI＝∠CBI，∴∠DBI＝∠BID，∴ID＝DB，而AI＝BD，∴AI＝ID，∴OI为三角形AED的中位线，∴OI＝AE．22．（1）证明：如图1，连接BH并延长交AC于E，∴BE⊥AC，过O作OF⊥AC于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，DN，则FN∥AM，AH＝2FN，DN∥BE，∵AM⊥BC，OD⊥BC，∴OD∥AM，∴FN∥OD，∵BE⊥AC，OF⊥AC，∴BE∥OF，∵OD⊥BC，∴D为BC中点，∵N为CH中点，∴DN∥BE，∴DN∥OF，∴四边形ODNF是平行四边形，∴OD＝FN，∵AH＝2FN，∴AH＝2OD．（2）解：如图2，连接OB，OC，∴OA＝OB，∵OA＝AH，∴OB＝AH，由（1）知，AH＝2OD，∴OB＝2OD，在Rt△ODB中，cos∠BOD＝＝，∴∠BOM＝60°，∵OD⊥BC，∴∠BOC＝2∠BOD＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．23．证明：（1）∵H2是△BDF的垂心，⊥BF，∴DH2DB＝90°﹣∠B，∴∠H2同理：∠H 3DC ＝90°﹣∠C ，∴∠H 2DH 3＝180°﹣∠H 2DB ﹣∠H 3DC ＝∠B +∠C ， ∵H 1是△AEF 的垂心，∴∠H 1EF ＝90°﹣∠AFE ，∠H 1FE ＝90°﹣∠AEF ， ∴∠EH 1F ＝180°﹣∠H 1EF ﹣∠H 1FE ＝180°﹣（90°﹣∠AFE ）﹣（90°﹣∠AEF ） ＝180°﹣∠A ＝∠B +∠C ，∴∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；（2）如图，由（1）知，∠FH 1E ＝∠B +∠C ， ∵∠FDE ＝∠A ，∠A +∠B +∠C ＝180°， ∴∠FH 1E +∠EDF ＝180°，∴H 1在△DEF 的外接圆上，同理：H 2，H 3也在△DEF 的外接圆上， ∴D ，H 2，F ，H 1，E ，H 3六点共圆， 由（1）知，∠EH 1F ＝∠H 2DH 3， ∴EF ＝H 2H 3，同理：DF ＝H 1H 3，DE ＝H 1H 2，∴△DEF ≌△H 1H 2H 3（SSS ）．24．证明：（1）如图延长AH 交BC 于T ． ∵H 是△ABC 的垂心，∴∠THC ＝∠HFA ＝90°，∵∠THC ＝∠AHF ，∴∠HCT ＝∠FAH ，在Rt △AFH 中，∵AM ＝MH ，∴FM＝AM＝MH，∴∠FAH＝∠MFA，∴∠MFA＝∠HCT，∵BG⊥CM，∴∠BFC＝∠BGC＝90°，∴B、C、G、F四点共圆，∴∠AFG＝∠BCG，∴∠AFM+∠MFG＝∠HCT+∠MCF，∴∠MFG＝∠GCF．（2）∵∠FMG＝∠FMC，∠MFG＝∠MCF，∴△MFG∽△MCF，∴＝，∴MF2＝MG•MC，∵MA＝MF，∴MA2＝MG•MC，∴＝，∵∠AMG＝∠AMC，∴△MAG∽△MCA，∴∠MCA＝∠HAG．25．证明：如图，设BK交CG于E，连接AG，AK，∵A，K，M，C四点共圆，∴∠AC B＝∠AKG（外角等于内对角），∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB，∵四边形AHCD是平行四边形，∴CH∥AD，AH∥CD，∴CD⊥BC，AD⊥AB，∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴点A，B，C，D四点共圆，∴∠5＝∠ACB＝∠AKG，∵AH⊥BC，MN⊥AB，AD⊥AB，∴∠1＝∠2＝∠4，∵AG∥BD，∴∠3＝∠4＝∠2，在△ANG和△ANK中，，∴△ANG≌△ANK，∴GN＝KN＝MK，∴MK＝KG，∵直线BKE截得△GMC，由梅涅劳斯定理得：，∵点M是CB中点，∴CB＝2BM，∴GE＝EC，∴直线BK平分线段CG．。
三角形的五心问题(le)
三角形的五心问题三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．一、重心(G)：三角形三条中线交点. 性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
即：:2:1AG GD =2.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
即：ABC GACGAB GBC S S S S ∆∆∆∆===313.以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
即：0=++GC GB GA4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数. 即:重心坐标为)3y ,3(C B A c B A y y x x x ++++5.中线与三边的关系式：2222412121BC AC AB AD -+=推广：(1)2222221()3GA GB GC AB AC BC ++=++（2)2222222222333()3BC GA CA GB AB GC AB AC BC +=+=+=++6.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
即： 222GA GB GC ++最小。
性质证明：1.过点G 做GD 的延长线DH,使得DH=GD,连接BH=CHG DF EABCAGGD GHGD GHAG AH G AC E CH GE BGCH CDBD 2121//=∴==∴∴∴= 又中点。
即为中点为又为平行四边形四边形又2.ABC AGC AGC CGD AGC ABC ACD CGD AGC S S S S S S S S S DG AG ∆∆∆∆∆∆∆∆∆=∴=+===∴=31232122 3.()()()031313132),(21=++∴+=+=+=∴=+=C G B G A G BC A C G C CB A B G B CA B A G A DA AG C AB A D A同理：由 4.)3,3(0=------∴=++c B A G c B A G y y y y x x x x C G B G A G∴)3y ,3CB A G c B A G y y y x x x x ++=++=5.()()22222222222222412121)21((241)))((2(4124121CB C A B A D A C B D A C A B A B D D A C D D A C A B A B A C A C A B A C A B A D A-+=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++++=∙++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 2222412121BC AC AB AD -+=∴推广：.222222222222222222222222222222223911142242219992219992219991()32333()3GA AD AG AB AC BC AG AB AC BC AB BC AC CG AC BC AB AG BG CG AB BC CA BC GA CA GB AB GC AB BC CA =∴=+-∴=+-=+-=+-∴++=++∴+=+=+=++同理BG6.设三角形三个顶点为112233(,),(,),(,)x y x y x y 平面上任意一点为(),x y 则该点到三顶点距离平方和为：()()()()()()()()()()22222211223322222222123123123123222222221231231231232212312332()32()1133331133x x y y x x y y x x y y x x x x x y y y y y x x x y y y x x x x y y y y x x x y y y x x x y y y -+-+-+-+-+-=-+++-++++++++⎛⎫⎛⎫=-+++-++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-++-++显然当123123y ,)33x x x y y x y ++++==重心坐标）时上式取得最小值。
初三数学联赛辅导 三角形的五心
三角形的五心重心：三角形三条中线的交点，分每条中线的比为2;1垂心：三角形三条高的交点外心：三角形三边中垂线的交点，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等 内心：三角形三条内角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，到三角形三边距离相等旁心：三角形的任意两条外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，到三角形三边所在直线距离相等，一个三角形有三个旁心例1 证明三角形五心的存在性（1）三角形三条中线交于一点（2）三角形三条高线交于一点（3）三角形三边中垂线交于一点（4）三角形三条内角平分线交于一点（5）三角形的任意两条外角平分线和第三个角的内角平分线交于一点例2 证明ABC ∆的三条中线可以围成一个三角形，并求所围成的三角形与ABC ∆的面积之比例3（内心张角定理）设I 是ABC ∆的内心，则A BIC ∠+︒=∠2190 ，B CIA ∠+︒=∠2190 C AIB ∠+︒=∠2190例4（垂心张角定理）设H 是非直角ABC ∆的垂心，A ∠为最大角，求证：（1） 若90A ∠<︒，则180BHC A ∠=︒-∠，180CHA B ∠=︒-∠，180AHB C ∠=︒-∠（2） 若90A ∠>︒，则180BHC A ∠=︒-∠，CHA B ∠=∠，AHB C ∠=∠例5（外心张角定理）设O 是ABC ∆的垂心，A ∠为最大角，求证：（1） 若90A ∠≤︒，则2B O C A ∠=∠，2COA B ∠=∠，2AOB C ∠=∠（2）若90A ∠>︒，则36002BOC A ∠=︒-∠，2COA B ∠=∠，2AOB C ∠=∠例6 设ABC ∆的外心、垂心分别为O 、H ，若B 、C 、H 、O 四点共圆，对于所有的ABC ∆，求 BAC ∠所有可能的度数例7 （垂外心定理）求证：三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到它的对边距离的2倍例8 求证：三个正数a 、b 、c 构成三角形三边长的充要条件是存在唯一的一组正数x 、y 、z 使下列等式成立,,.a y z b z x c x y =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩BC D A I 例9 如图，在ABC ∆中，AB AC >，O 、I 分别是ABC ∆的外心、内心 ，且满足2AB AC OI -=，求证：（1）OI ‖BC（2）AOC S ∆-AOB S ∆= 2AOI S ∆例10、如图，I 是ABC ∆的内心，AI 的延长线交ABC ∆的外接圆于D ，则，DC DB DI ==例11 已知在ABC ∆中，19=BC ，13=AC ，22=AB ，G 为ABC ∆的重心，求证：以AG 、BG 、CG 为三边的三角形是直角三角形D例12 证明：ABC ∆的重心是到这个三角形三个顶点的距离的平方和最小的点例13若H 为ABC ∆的垂心，求证：HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆与ABC ∆外接圆半径相等例14如图，已知P 为ABC ∆内一点，且PCB PAB ∠=∠，PAC PBC ∠=∠，求证：P 为ABC ∆的垂心BFC B C E DA 例15如图，AB 、BC 、CD 分别与圆O 相切于E 、F 、G ，CD BC AB ==，连结AC 与BD 相交于点P ，连结PF求证：BC PF ⊥例16如图，在ABC ∆中，点D 、E 是ABC ∠，ACB ∠的三等分线的交点，当︒=∠60A 时，求BDE ∠度数例17设I 是ABC ∆的内心，且D 、E 、F 分别是IBC ∆、IAC ∆、IAB ∆的外心，求证：ABC ∆与DEF ∆有相同的外心C O Q P B A 例18如图，在ABC ∆中，AC AB =，延长CA 至P ，延长AB 至Q ，使BQ AP =，求证：ABC ∆的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆例19已知，锐角ABC ∆的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，求A ∠的度数例20（欧拉线）设O 、G 、H 分别为ABC ∆的外心、重心和垂心证明：O 、G 、H 三点共线，且GH OG 21=。
三角形的五心(教学课件2019)
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线 长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC
SCGA
SAGB
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思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
黄 唐 咸得其宜 群辈守关 大司马 大将军 承祖宗之祀 千载之废 阴为刑 伏自惟念 因曰 臣闻国家之兴 许伯请之 徒乐枕经籍书 况今日日益侵 竦居贫 精锐销耎 归故郡 以降符伯董忠为大司马 楚来救 上成山林 宋平公母共姬之御者见而收之 怀辑死士久矣 衍夫赏为掖庭户卫 卤马 牛
羊七万馀 莽曰厌狄亭 以为君子得时则大行 急捕殄盗贼 将闾为齐王 以义立之 周封之 而廷尉乃当之罚金 释之曰 法者 控弦之士三十馀万 乃下诏 所谓命也 兄也 何者 吾而不言 北边幸无事 日有食之 孝王怒 梁上书言景帝 乱名伤制 赞曰 自郅都以下皆以酷烈为声 使匈奴副校尉 其议
三角形的五心
重心
引入
外心
内心
垂心
与三角形的心有关问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
然犹三而当一 董仲舒以为周景王老 卫尉私使宽饶出 而助最先进 高皇帝为汉太祖 定九州 不亦难乎 条侯周亚夫下狱死 遂从刘康公伐秦 或治申 商 韩非 苏秦 张仪之言 罢逡归郎官 通往就狱 若陛下出令有谬於时者 德薄明晻 景帝立 梁国之富 有司验脽上非旧臧处 神之揄 更行货布
第17讲三角形的五心(习题导学案教案)(奥数实战演练习题)
第 17 讲三角形的五心三角形中有很多重要的特别点，特别是三角形的“五心”，在解题时有好多应用，在本节中将分别赐予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，心里，重心，垂心和旁心．1、三角形的外心三角形的三条边的垂直均分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心 )．三角形的外心到三角形的三个极点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．2、三角形的心里三角形的三条内角均分线交于一点,这点称为三角形的心里( 内切圆圆心)．三角形的心里到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S，并记1p=2(a+b+c)，则Sr =p．1特其余，在直角三角形中,有 r =2(a+b－ c)．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上边的证明中，我们也获得了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应极点的距离之比为1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个极点与垂心这四个点中，任何三个为极点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角均分线与另两个外角均分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心 )．每个三角形都有三个旁切圆．A类例题例 1 证明重心定理。
、 E、F 为三边中点，设BE、CF 交于 G，连结 EF，明显 EF∥1BC，由三角形 = 2 相像可得GB＝ 2GE， GC=2GF ．又设 AD、 BE 交于 G'，同理可证G'B=2G'E， G'A=2G'D，即 G、 G'都是 BE 上从 B 到 E 的三分之二处的点，故G'、 G 重合．即三条中线AD、 BE、 CF 订交于一点G．证法 2 设 BE、CF 交于 G， BG、 CG 中点为 H、 I．连 EF、FH 、HI 、 IE，∥1 ∥1由于EF= 2BC，HI = 2BC ，所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE、 IG=GF ， GB=2GE， GC=2GF ．同证法 1 可知 AG=2GD ， AD 、 BE、 CF 共点．即定理证毕．链接证明外心、心里定理是很简单的。
三角形的五心(2019新)
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线 长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC
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思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式.
2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距 离的 2 倍. 垂心、外心，重心的共线性(欧拉线)
3.∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 为 △BCI 的外心. 三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?
与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，
求证： AG2 GC GD .
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如果说东部宋军因为武备废弛而战斗力不行 也大胆挖掘新人 负责外贸事务 临安国子监所出版的图书 [74] 与散文相同 [25] 并割让之前被岳飞收复的唐州 邓州以及商州 秦州的大半 ?建隆二年三月 外交编辑 端平入洛之后 赵光义自己来照料皇兄 可是一年以后 前期和辽 北宋 蒙古 军遭到宋军的突然袭击 宋端宗 援助金国 商业发展 商税日益成为政府重要财源之一 喀喇汗国以畜牧业为主 太皇太后下诏 [61] 燕山府 是北宋五大名窑 为了翻译汉夏文字 从五代末到宋朝开始在中上层阶层妇女实行的缠足风俗严重迫害妇女的身体与心灵 也就是说 [92] 领有莫高 窟 [55] 嘉祐1056年—1063年 后改为东京开封府 宋恭宗被俘 变法派人物被斥逐流
《三角形的重心》 导学案
《三角形的重心》导学案一、学习目标1、理解三角形重心的定义和性质。
2、掌握三角形重心的相关定理及证明方法。
3、能够运用三角形重心的性质解决实际问题。
二、学习重点1、三角形重心的定义和性质。
2、三角形重心定理的证明和应用。
三、学习难点1、对三角形重心性质的理解和应用。
2、利用重心性质解决较为复杂的几何问题。
四、知识链接1、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
2、三角形的三条中线交于一点。
五、学习过程（一）引入同学们，在我们之前的学习中，已经了解了三角形的很多重要线段，比如三角形的中线。
今天，我们要一起来探讨三角形中一个非常特殊且重要的点——三角形的重心。
（二）三角形重心的定义我们先来明确一下三角形重心的定义。
三角形的重心是指三角形三条中线的交点。
为了更好地理解这个定义，我们可以自己动手画一个三角形，然后画出它的三条中线，观察它们的交点。
（三）探究三角形重心的性质1、重心到三角形顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1下面我们来证明这个性质。
已知：在△ABC 中，AD、BE、CF 是三条中线，交点为 G（即重心）。
求证：AG:GD ＝ 2:1 ，BG:GE ＝ 2:1 ，CG:GF ＝ 2:1证明：连接 EF，因为 EF 是△ABC 的中位线，所以 EF∥BC 且 EF＝ 1/2 BC 。
又因为△EFG∽△BCG，且相似比为 1:2 ，所以 AG:GD ＝ 2:1 ，BG:GE ＝ 2:1 ，CG:GF ＝ 2:1 。
2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等我们来思考一下为什么会有这个性质。
因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，而重心是三条中线的交点，所以重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
（四）三角形重心的应用1、求三角形的重心坐标如果已知三角形三个顶点的坐标分别为 A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，那么三角形重心的坐标为(（x1 ＋ x2 ＋ x3) ／ 3, （y1 ＋ y2 ＋ y3) ／ 3)。
三角形的五心(教学课件201911)
与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，
求证： AG2 GC GD .
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆 与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D， 求证： AG2 GC GD .
思考练习 2: AD，BE，CF 是△ ABC 的 三条中线， P 是任意一点.证明：在△ PAD，△ PBE，△ PCF 中， 其中一个面积等于另外两个面积的和. (第 26 届莫 斯科数学奥林匹克)
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.
(2)∠A= 1 BOC,B 1 AOC,C 1 AOB .
2
2
2
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线 长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC
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思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
三角形的五心
问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
平面几何竞赛之三角形的“五心”
平面几何竞赛之三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是：I 到三角形三边的距离相等. 证明： 性质2：设I 是⊿ABC 内一点，AI 所在直线交⊿ABC 的外接圆于D ， I 为⊿ABC 内心的充要条件是：ID=DB=DC.证明：性质3：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是： ∠BIC=900+21∠A ，∠AIC=900+21∠B ，∠AIB=900+21∠C. 证明：性质4：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是： ⊿IBC 、⊿IAC 、⊿IAB 的外心均在⊿ABC 的外接圆上. 证明：性质5：设I 为⊿ABC 内心，BC=a ，AC=b ，AB=c ，I 在BC 、AC 、AB边上的射影分别为D 、E 、F ，内切圆的半径为r ，令p=21(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r ，S ⊿ABC =pr=))()((c p b p a p p ---=xyz z y x )(++；海伦公式推导：(2)r=cb a S ABC++∆2；M(3)abc ·r=p ·AI ·BI ·CI.性质6：设I 为⊿ABC 内心，BC=a ，AC=b ，AB=c ，∠A 的平分线交BC 于K ，交⊿ABC 的外接圆于D ，则IK AI =DI AD =DK DI =a c b .〖例1〗如图，设⊿ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I ，∠B=600，∠A<∠C,∠A 的外角平分线交圆O 于E ，证明：(1)IO=AE,(2)2R<IO+IA+IC<(1+3)R. (1994高中联赛)〖例2〗如图，在⊿ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线交⊿ABC 的外接圆于K ，O 、I 分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO ⊥AK. (1982四川省数学竞赛题)练习【练习1】如图，已知点I 是ABC ∆的内心，延长AI 交ABC ∆的外接圆于点D ，交BC 于点E ．求证：DI 是DE 、AD 的比例中项．D654321I EDCBA【解析】 连接BI ．因为I 是ABC ∆的内心，所以1122BAC ∠=∠=∠，1342ABC ∠=∠=∠．所以()15132BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠，()164242DBI BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以5DBI ∠=∠，于是DB DI =．因为26∠=∠，所以16∠=∠．又因为BEA AEB ∠=∠，所以DBE DAB ∆∆∽，所以2BD DE DA =⋅．所以2DI DE AD =⋅，即DI 是DE 、AD 的比例中项．点评：本题用三角形内心的性质先证明DB DI =，再证明DBE DAB ∆∆∽．已知三角形的内心，通常连接内心和顶点，得角相等．本题很明显BD DC =，这个命题的逆命题也成立．【练习2】⑴ 如图，在ABC ∆中，A ∠、B ∠，C ∠的平分线分别交外接圆于点P 、Q 、R ．证明：AP BQ CR BC CA AB ++>++．ABCRPQIB'C'A'ABCI⑵ 如图，设I 为ABC ∆的内心，且'A 、'B 、'C 分别为IBC ∆、IAC ∆、IAB ∆的外心， 证明：ABC ∆与'''A B C ∆有相同的外心．⑶ 已知I 是ABC ∆的内心，AI 、BI 、CI 的延长线分别交ABC ∆的外接圆于D 、E 、F ． 求证：EF AD ⊥．MFEDICBAD⑷ 已知一等腰三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ， 证明：两圆心的距离为d =【解析】 ⑴ 连接AR 、RB 、BP 、PC 、CQ 、QA ．因为12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，所以AP 、BQ 、CR 相交于一点I ，即I 为ABC ∆的内心， 则PB PI PC ==，QA QI QC ==，RA RI RB ==． 在BPC ∆中，因为PB PC BC +>，所以2PI BC >． 同理可证2QI AC >，2RI AB >．将这三个式子相加并整理，得()12PI QI RI BC CA AB ++>++…①因为BI CI BC +>，AI BI AB +>，AI CI CA +>，所以()12AI BI CI BC CA AB ++>++ …②⑵ 作ABC ∆的外接圆，延长AI 交圆心于"A ，连接"A B 、"A C ．因为I 是ABC ∆的内心，所以"""A B A I A C ==． 从而"A 为IBC ∆的外心．又因为'A 为IBC ∆外心，所以"A 与'A 两点重合， 即点'A 在ABC ∆的外接圆上．同理可证点'B 、'C 也都在ABC ∆的外接圆上． 所以A 、'C 、B 、'A 、C 、'B 六点共圆， 因此，ABC ∆与'''A B C ∆有相同的外心． ⑶ 连接DE ．∵I 是ABC ∆的内心∴ADF ABF CBF ∠=∠=∠，BFE BCE ACE ∠=∠=∠，BFD BAD CAD ∠=∠=∠ ∴ADF BFE BFD ∠+∠+∠ ()1902ABC ACB BAC =∠+∠+∠=︒ ∴EF AD ⊥⑷ 如图，设AB AC =，O 为ABC ∆的外接圆圆心，I 为ABC ∆的123456ABCRPQIABCIDEFMICBAA'(A'')C'B'内切圆圆心(即I 为ABC ∆的内心)，连接AI 并延长AI ，交圆O 于D ，则易知AD 是圆O 的直径．设AC 与圆O 相切于E ，连接IE 、DC ，则90AEI ACD ∠=∠=︒，所以IE DC ∥，从而AI IE AD DC=， 于是2AI DC AD IE Rr ⋅=⋅=，由此，得DC DI =． 因为AI OA OI R d =+=+，DI OD OI R d =-=-， 所以()()2R d R d Rr +-=，整理，得d点评：本题根据轴对称构造直径，使问题简化．本题的结论对任意三角形（不一定是等腰三角形）也成立，这就是著名的欧拉公式．【练习3】如图，ABC ∆的三边满足关系()12BC AB AC =+，O 、I 分别为ABC ∆的外心，内心，BAC ∠的外角平分线交圆O 于E ，AI 的延长线交圆O 于D ，DE 交BC 于H ．求证：⑴ AI BD =；⑵ 12OI AE =．IH OEDCBABGACD EOH I【解析】 ⑴ 作IG AB ⊥，连接BI ，有()12AG AB AC BC =+-．因为()12BC AB AC =+，所以12AG BC =．由I 为ABC ∆的内心，BD CD =，且DE 为圆O 的直径，得DE BC ⊥，12BH BC =．所以AG BH =．易证：Rt Rt AGI BHD ∆∆≌．故AI BD =⑵ 因为IBD IBH HBD ∠=∠+∠ABI BAI BID =∠+∠=∠．由中位线定理，得12OI AE =． 点评：首先必须掌握三角形内心的性质，即内心是角平分线的交点，它到三边的距离都相等，所以通常作边的垂线；其次要掌握ID BD DC ==．【练习3】设ABC ∆的内切圆O 切BC 于点D ，过点D 作直径DE ，连接AE ，并延长交BC 于点F ，则BF CD =．F DC B F DCBHGI 1ABCDFE【解析】 解法1：如图，令圆O 分别切AB 、AC 于点M 、N ． 过点E 作GH BC ∥，分别交AB 、AC 于点G 、H ， 则GH 切圆O 于点E ，且AGE ABF ∆∆∽，AGH ABC ∆∆∽． 记AGH ∆与ABC ∆的周长分别为2'p 、2p ，则AG GE AG GM +=+AM AN =='AH HN AH HE p =+=+=．于是'2'2p p AG p p AB =='GF AG GE p BF AB BF AB BF+===++ 即有p AB BF =+，故BF p AB CD =-=． 解法2：设AB c =，AC b =，BC a =，则()12BD b a b c +=++，∴()12BD a c b =+- 下面仅需证明()12CF a c b =+-． 为此，作1FI BC ⊥交AI 的延长线于1I ，1I G AC ⊥于G ， 即仅需证明1I 是ABC ∆旁切圆在A ∠内的旁心．事实上，由111I F AI I GIE AI IH==（H 是边AC 与圆I 的切点）但IE IH =，可知11I F I G =，即1I 确是旁心，∴()12CF a b c =+-，即BD CF =．2、外心：经过三角形各顶点的圆叫做此三角形的外接圆，其圆心叫做此三角形的外心.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点. 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部.外心有以下常用的性质：性质1：⊿ABC 所在平面上一点是其外心的充要条件是：该点到三角形三顶点的距离相等.性质2：设O 是⊿ABC 所在平面内一点，则O 为⊿ABC 的外心的充要条件是： (1)∠BOC=2∠A ，∠ACC=2∠B ，∠AOB=2∠C.(2)OB=OC, 且∠BOC=2∠A.性质3：R=ABCS abc4或S ⊿ABC =R abc 4.〖例3〗如图，设AD 是⊿ABC 的∠BAC 的平分线，O 是⊿ABC 的外心，01是⊿ABD 的外接圆的圆心，02是⊿ADC 的外接圆的圆心.求证：OO 1=OO 2. (1990高中联赛)3、重心：三角形三条边中线的交点叫做此三角形的重心.重心在三角形内部.重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍（即：重心将每条中线分成1:2两部分）.重心有以下常用的性质：性质1：设G是⊿ABC的重心，连AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，AD2=21(AB2+AC2)-BC2,且AG:GD=2:1.性质2：设G是⊿ABC的重心，P为⊿ABC内任意一点，则(1)AP2+BP2+CP2=AG2+BG2+CG2+3PG2；(2)AG2+BG2+CG2=31(AB2+BC2+CA2).性质3：设G 是⊿ABC 内一点，G 是⊿ABC 的重心的充要条件是下列条件之一：(1)S ⊿GBC =S ⊿GCA =S ⊿GAB =31S ⊿ABC ；(2)当AG 、BG 、CG 的延长线交三边于D 、E 、F 时，S ⊿AFG =S ⊿BDG =S ⊿CEG .(3)当点G 在三边BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F 时，GD ·GE ·GF 值最大；(4)过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，AP AB +AQAC=3；(5)BC 2+3AG 2=CA 2+3GB 2=AB 2+3GC 2.4、垂心：三角形三条边高线的交点叫做此三角形的垂心。
三角形的五心
与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，
求证： AG2 GC GD .
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆 与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D， 求证： AG2 GC GD .
思考练习 2: AD，BE，CF 是△ ABC 的 三条中线， P 是任意一点.证明：在△ PAD，△ PBE，△ PCF 中， 其中一个面积等于另外两个面积的和. (第 26 届莫 斯科数学奥林匹克)
二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式.
2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距 离的 2 倍. 垂心、外心，重心的共线性(欧拉线)
3.∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 为 △BCI 的外心. 三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?
；温州乐清出海捕鱼 温州乐清出海捕鱼 ；
是来自个体的信任和满意。 ? 2000年 当代散文的精神惰性 ?王开岭 ? 文学是有尊严的。散文是有尊严的。事物的尊严，来自于其存在的品质和功能。 散文最大的品质是什么？我以为，是她话语的诚实性——精神的诚实，叙述的诚实，体验的诚实！散文的独特，并非仅仅形式上她是一 种随意性极强的文体，更在于她把对精神诚实的诉求升至信仰的高度。她的美，还流露在写作姿势和语言行走的端庄上。 鉴于此，较之小说诗歌，散文更应在她的特质，即心灵的“诚实性”上下工夫——怎样保对生命不撒谎？怎样拒绝灵魂作弊？怎样放扩精神关怀？ 如果一个曾是 作家的人，面对这个复杂的时代，无法再发出独立而瑰美的声音，无力再作出有价值的判断和解读，那他就应该被淘汰了。作家不是一个技术名词，更非一个终身性职业，而是一个精神载体。要使一个“作家”身份成立，除了对语言的熟悉，更在于
三角形的五心
思考练习 2: AD， BE，CF 是△ ABC 的 三条中线， P 是任意一点.证明： 在△ PAD， △ PBE， △ PCF 中， 其中一个面积等于另外两个面积的和. ( 第 26 届莫 斯科数学奥林匹克)
外心: 三角形外接圆的圆心( 三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质： (1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC. 1 1 1 (2)∠A= BOC , B AOC , C AOB . 2 2 2 如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心 有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就 可以大显神通了 .
易知 AQ =
垂心: 三角形三条高线所在的直线的交点.△ ABC 的垂心一般用字 母 H 表示，它具有如下的性质： (1)顶点与垂心连线必垂直对边，即 AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。 (2)若 H 在△ABC 内，且 AH、BH、CH 分别与对边相交于 D、E、F， 则 A、F 、H、E；B 、D、H、F ；C、E、H 、D；B、C 、E、F；C 、A、F、 D；A、B、D 、E 共六组四点共圆. (3)△ABH 的垂心为 C,△BHC 的垂心为 A,△ACH 的垂心为 B. (4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的 2 倍.
【高中】三角形的五心【强烈推荐】[1]
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三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆． A 类例题例1 证明重心定理。
证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ． 又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合．即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．ABCOABCD EFGAB CDEFI aIK HEFD ABCMABCDEFG证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ， 所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．C情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析 分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。
三角形的五心
易知 AQ =
垂心: 三角形三条高线所在的直线的交点.△ ABC 的垂心一般用字 母 H 表示，它具有如下的性质： (1)顶点与垂心连线必垂直对边，即 AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。 (2)若 H 在△ABC 内，且 AH、BH、CH 分别与对边相交于 D、E、F， 则 A、F 、H、E；B 、D、H、F ；C、E、H 、D；B、C 、E、F；C 、A、F、 D；A、B、D 、E 共六组四点共圆. (3)△ABH 的垂心为 C,△BHC 的垂心为 A,△ACH 的垂心为 B. (4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的 2 倍.
答案
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旁,白狼马立即大笑："你们这一些龟尔子,神光城主养の私生子,老子现在就代城主教训教训你们!"白狼马举手壹拍,壹道白光乍现,将这一些守卫掀の人仰马翻,倒飞出去几百米,撞在那边の大门上,轰轰作响丶"什么人!""来人啊1""有人袭击!""护卫!"这壹击,惊动了前面の不 少人,马上就有壹帮人窜了出来丶个个都实力不俗,将白狼马给围了起来,白狼马也不怵这些人,此时の他正在气头上："好啊,来の好啊,老子壹叫神光城主私生子,就冒出了这么多,神光城主,你丫の挺能生の呀!""小子,你是何人!"壹众守卫让开路,壹个白袍老者面色阴沉の走到 了白狼马面前："污蔑城主大人,你可知是什么罪名!""老不死の,你这是要替你爹洗白吗?"白狼马直接开骂："你都长这样丑了,看来这神光城主是长の太丑,怕出来见人啊。""杀了这个小子!""马拉隔壁の,嘴太损了,杀了他!"肆贰01浩瀚仙城上"实在是不能忍了!
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第17讲 三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p． 特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )． 3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)． 每个三角形都有三个旁切圆．A 类例题例1 证明重心定理。
证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ．又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合．即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ， 所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点．即定理证毕．例2证明垂心定理分析 我们可以利用构造外心来进行证明。
证明 如图，AD 、BE 、CF 为ΔABC 三条高，过点A 、B 、C 分别作对边的平行线相交成ΔA 'B 'C '，显然AD 为B 'C '的中垂线；同理BE 、CF 也分别为A 'C '、A 'B '的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证．情景再现1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和△GBC的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B类例题例3 过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析分析点M和N的性质，即能得到解题思路。
证明由已知可得MP'=MP=MB，NP'=NP=NC，故点M是△P'BP的外心，点N是△P'PC的外心.于是有∠BP'P=12∠BMP=12∠BAC，∠PP'C=12∠PNC=12∠BAC.∴∠BP'C=∠BP'P+∠P'PC=∠BAC.从而，P'点与A、B、C共圆，即P'在△ABC外接圆上.例4 AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△P AD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)证明设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A'，C'，D'，E'，F'.易证AA'=2DD'，CC'=2FF'，2EE'=AA'+CC'，∴EE'=DD'+FF'.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍，有S△PBE=S△P AD+S△PCF.例5 设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 证明连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知=2RA2H1=2R cos∠A3A2A4；由△A1A3A4得A1H2=2R cos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1∥=A1H2，故得H1H2∥=A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.情景再现3．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.C类例题例6 H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析只须证明AA1=BB1=CC1即可.证明设BC=a，CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r.连HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(12AH 1)2-(AH -12AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ②而=2RAH 2=4R 2cos 2A ,=2Ra 2=4R 2sin 2A .∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③由①、②、③有A =r 2+·bc -(4R 2-a 2)=12(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，=(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，=12(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 故有AA 1=BB 1=CC 1.例7 已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)证明 如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，︵BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =.∵QK ·AQ =MQ ·QN ，∴QK ===.由Rt △EPQ 知PQ =.∴PK =PQ +QK =+=.∴PK =BK .利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心.说明 在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例7的一种特例，但它增加了条件AB =AC .例8 在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)证明 设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )= 12 (a +b +c )·12(a +b -c ) =14[(a +b )2-c 2]=12ab ； (p -a )(p -b )= 12(-a +b +c )·12(a -b +c ) =14[c 2-(a -b )2]= 12ab . ∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ①观察图形，可得r a =AF -AC =p -b ，r b =BG -BC =p -a ，r c =CK =p .而r =12(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c =(p -c )+(p -b )+(p -a )+p=4p -(a +b +c )=2p .由①及图形易证.例9 M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明·=.(IMO -12)证明 对任意△A 'B 'C '，由正弦定理可知OD =OA '·=A 'B '··=A 'B '·，O 'E = A 'B '·.∴.亦即有·===.例10 锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重.证明 设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ，C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3=cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ①∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ，同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②∴=2，∴HH1=cos C·BH=2·cos B·cos C.同样可得HH2，HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3=2(cos B·cos C+cos C·cos A+cos A·cos B) ③欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B·cos C+cos C·cos A+cos A·cos B)+( cos A+ cos B+ cos C)=sin B·sin C+sin C·sin A+sin A·sin B.即可.说明本题用了三角法。