角的概念的推广课件
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S1={β| β=900+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+1800 的偶数倍}
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z}
={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
2.象限角
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
α＋K·3600，K∈Z
4：判断一个角是第几象限角，方法是：所给角ａ
改写成α0+k ·3600 ( K∈Z,00≤α0＜3600)的形 式，α0在第几象限α就是第几象限角
1.在初中角是如何定义的？
初中定义：由一个端点引出的两条
射线组成的几何图形叫做角。
顶
射线
点
射线
2.我们初中学过那些角?它们的大小是多 少?
锐角:大于0度小于90度
直角:等于90度
钝角:大于90度小于180度 平角:等于180度
周角:等于360度
我们以前所学过的角都是大于0度小 于或等于360度的角，即 （0º, 360º]
｛偶数｝∪｛奇数｝ ＝｛整数｝
900+K∙3600 Y X O
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
2700+k∙3600
S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
（2）660°=360°+300° 所以与640°角终边相同的角是300°
（3）-950°08’ = -3×360°+129°52' 所以与-950°12’ 角终边相同的角是
129°52 ’
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
这些例子所提到的角不仅不在范围 (00 ,3600 ] 中，而且有的方向还不相同， 有必要将角的概念进行推广。
用运动的观点来看待角的变化。
定义：平面内一条射线绕着端点从一 个位置OA旋转到另一个位置OB所成 的图形叫做角。
B 终边
顶
点o
A 始边
“正角”、“负角”、“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
x
o
300=
=300+0x3600
3900=300+3600=300+1x3600
－3300=300－3600 =300－1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600
300+3x3600 ,
…,
300－3x3600
…,
与300终边相同的角的一般形 式为300＋ K ·360° ，K ∈ Z
正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，射线没有旋转时也把它看成角叫做零 角。如图，以OA为始边的角α=210°，β=－ 150°。
2100
-1500
例、画出下列各角：
30，390， 330， 30，330， 390
并观察图像：这些角有何特点？
y
-3300 3900
300
思考: 生活中的角是不是都在范围(00 ,3600 ]内
踺子后手翻转体180度接前直空翻540度——“程菲跳”
踺子后手翻转体180度直体前空翻转体900度——“李小鹏跳”
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
汽车在前进和倒车时，车轮转动的角度如 何表示才比较合理?
工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，转动的角 度如何表示比较合适?
序号是 (1).(2).(4). .
５.在坐标系中的角：
终边相同时，角不__一__定_相等，角相等时终 边_一__定__相同，终边相同的角有_无__数_个， 它们满足什么性质它__们__相__差__3_6_0_°_的__整__数。倍
课堂小结：正角：射线按逆时针方向旋转
1.任意角
形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转
与α终边相同的角的一般形式为 α＋K ·360°，K ∈ Z
S={ β| β=α + Baidu Nhomakorabea ·360° , K∈ Z}
例1、在0到360度范围内，找出与下列各角 终边相同的角。 （1）-120°（2）660 °（3） -950 ° 08'
解（1）-120°=-360 °+240 ° 所以与-120 °角终边相同的角是240 °
解：(1) S={β| β=k·360º+60ºk∈Z }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
(2) S={β| β=k·360º－21ºk∈Z)} S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
(3) {β| β=k·360º+ 363º14’ k∈Z } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
3、象限角
自学课本第五页第三段后回答： 在坐标系中讨论角时：
（1）角的顶点与始边有何要求 （2）以角的终边的位置分类，角可以分为哪
几类，并举例说明。
y 终边
o 终边
x 始边
终 边
终 边
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
例1变式：题目要求改为: 判断下列各角是哪个象限的角？
例3 写出终边落在y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
练习：
1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角？
答：第一象限的角并不都是锐角。 3、小于90°的角都是锐角吗？
答：小于90°的角并不都是锐角，它也 有可能是零角或负角。
4. 下列命题：①一个角的终边在第几限， 就说这个角是第几象限的角；
②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z}
={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
2.象限角
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
α＋K·3600，K∈Z
4：判断一个角是第几象限角，方法是：所给角ａ
改写成α0+k ·3600 ( K∈Z,00≤α0＜3600)的形 式，α0在第几象限α就是第几象限角
1.在初中角是如何定义的？
初中定义：由一个端点引出的两条
射线组成的几何图形叫做角。
顶
射线
点
射线
2.我们初中学过那些角?它们的大小是多 少?
锐角:大于0度小于90度
直角:等于90度
钝角:大于90度小于180度 平角:等于180度
周角:等于360度
我们以前所学过的角都是大于0度小 于或等于360度的角，即 （0º, 360º]
｛偶数｝∪｛奇数｝ ＝｛整数｝
900+K∙3600 Y X O
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
2700+k∙3600
S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
（2）660°=360°+300° 所以与640°角终边相同的角是300°
（3）-950°08’ = -3×360°+129°52' 所以与-950°12’ 角终边相同的角是
129°52 ’
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
这些例子所提到的角不仅不在范围 (00 ,3600 ] 中，而且有的方向还不相同， 有必要将角的概念进行推广。
用运动的观点来看待角的变化。
定义：平面内一条射线绕着端点从一 个位置OA旋转到另一个位置OB所成 的图形叫做角。
B 终边
顶
点o
A 始边
“正角”、“负角”、“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
x
o
300=
=300+0x3600
3900=300+3600=300+1x3600
－3300=300－3600 =300－1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600
300+3x3600 ,
…,
300－3x3600
…,
与300终边相同的角的一般形 式为300＋ K ·360° ，K ∈ Z
正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，射线没有旋转时也把它看成角叫做零 角。如图，以OA为始边的角α=210°，β=－ 150°。
2100
-1500
例、画出下列各角：
30，390， 330， 30，330， 390
并观察图像：这些角有何特点？
y
-3300 3900
300
思考: 生活中的角是不是都在范围(00 ,3600 ]内
踺子后手翻转体180度接前直空翻540度——“程菲跳”
踺子后手翻转体180度直体前空翻转体900度——“李小鹏跳”
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
汽车在前进和倒车时，车轮转动的角度如 何表示才比较合理?
工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，转动的角 度如何表示比较合适?
序号是 (1).(2).(4). .
５.在坐标系中的角：
终边相同时，角不__一__定_相等，角相等时终 边_一__定__相同，终边相同的角有_无__数_个， 它们满足什么性质它__们__相__差__3_6_0_°_的__整__数。倍
课堂小结：正角：射线按逆时针方向旋转
1.任意角
形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转
与α终边相同的角的一般形式为 α＋K ·360°，K ∈ Z
S={ β| β=α + Baidu Nhomakorabea ·360° , K∈ Z}
例1、在0到360度范围内，找出与下列各角 终边相同的角。 （1）-120°（2）660 °（3） -950 ° 08'
解（1）-120°=-360 °+240 ° 所以与-120 °角终边相同的角是240 °
解：(1) S={β| β=k·360º+60ºk∈Z }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
(2) S={β| β=k·360º－21ºk∈Z)} S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
(3) {β| β=k·360º+ 363º14’ k∈Z } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
3、象限角
自学课本第五页第三段后回答： 在坐标系中讨论角时：
（1）角的顶点与始边有何要求 （2）以角的终边的位置分类，角可以分为哪
几类，并举例说明。
y 终边
o 终边
x 始边
终 边
终 边
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
例1变式：题目要求改为: 判断下列各角是哪个象限的角？
例3 写出终边落在y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
练习：
1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角？
答：第一象限的角并不都是锐角。 3、小于90°的角都是锐角吗？
答：小于90°的角并不都是锐角，它也 有可能是零角或负角。
4. 下列命题：①一个角的终边在第几限， 就说这个角是第几象限的角；
②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的