角的概念的推广任意角

0 0 3 6 0 0 k 9 0 0 3 6 0 0 k k Z
第二象限角的表示方法：
9 0 0 3 6 0 0 k 1 8 0 0 3 6 0 0 k k Z
第三象限角的表示方法：
1 8 0 0 3 6 0 0 k 2 7 0 0 3 6 0 0 k k Z
第四象限角表示方法：
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体操中有转体720。（转 体两周）或转体1080。 （转体三周），如何度 量这些角度呢？
将时钟调快半 小时，应如何 调？ 调慢半小时呢？
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（一）角的概念推广的必要性
为此，要准确地描述这些现象， 不仅要知道角形成的结果， 而且要知道角形成的过程， 即必须既要知道旋转量， 又要知道旋转方向。 这就需要对角的概念进行推广。
1.1.1 任意角
1.初中所学角是如何定义的？ （1）静态定义： 具有公共顶点的两条射线组成的图形
（2）动态定义： 平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所形成的图形
“旋转”形成角
终边
B
顶点
o
A
始边
2.初中学习过哪些角？ 锐角、直角、钝角、 平角、周角 3.初中学习的角的范围？
0º<α≤360º
们就说这个角是第几象限角.
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y
x o
-50° 第四象限角
y
x o -200° 第二象限角
y
x o
405° 第一象限角
y
y 210°
x o
第三象限角
x
o -450°
轴线角
2.非象限角（象界角、轴线角）
终边落在x轴和y轴上的角
当角的终边不落在象限内,这样的角
还是象限角吗? 否
y
y
o
x
o
x
第一象限角表示方法：
⑵零角的终边与始边重合，是零角 即 = 0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正 角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样。
初中所研究的角的范围为
．
我们现在的范围是R。
注意： 0°～360°是指_________
0°到360°是指_________
练习1：观察图中的角，简单描述角的形成过程。
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(三)角的位置:
1.象限角
为了使角有统一的参照系，今后我们常在直 角坐标系中讨论角, 那么怎样把角放在坐标系中 比较方便、合理?
在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,始边与x
轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限，我
(3) k3600与之间是“+”号， 如k3600-30°，应看成 k3600 +(-30°)
(4)终边相同的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相同，终边相同的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范围内，找出与 终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
例2. 终边在y轴上的角的集合
={β| β=180°的整数倍} ={β| β=K∙180° ，K∈Z}
1.与-496°终边相同的角
是 -496°+k·360°(k∈Z); 它们中最小正角是__2_2_4_°
它是第 三 象限的角;
2.下列命题中正确的是( D) A.终边在y轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=270°+k∙360°,k∈Z} ={β| β=90°+(2k+1) ·180° ,k∈Z}
∴终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=90°+n∙180° ，n∈Z}
例：写出终边落在x轴上的角的集合。 ◆ 分析：终边落在坐标轴上的情形
Y
180°+k∙360°
ｋ∙360°
O
X
❖解：终边落在x轴正半轴上的角的集合为 S1={β| β= 90°+K∙360°,K∈Z} ={β| β=90°+2K∙180°，K∈Z} ={β| β=90°+180°的偶数倍}
终边落在x轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=270°+K∙360°,K∈Z}
={β| β= 90°+ 180°+ 2K∙180°,K∈Z} ={β| β= 90°+（2K+1）180° ，K∈Z} ={β| β=90°+180 ° 的奇数倍}
｛偶数｝∪｛奇数｝ ＝｛整数｝ ∴ 终边落在Ｘ轴上的角的集合为
S=S1∪S2 ={β| β=180°的偶数倍} ∪{β| β=180°的奇数倍}
(四)角的关系:
终边与α角的终边相同的角应该怎么表示？ 终边相同的角的表示方法 一般地,所有与角α终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合
S=｛β︱β=α+k·360°,k∈Z｝
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示
成角α与周角的整数倍的和.
注意以下四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
◆ 分析：终边落在坐标轴上的情形
90°+ k360° y
180°+ k360°
0°+k360° x 或360°+ k360°
0
270°+ k360°
◆ 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
90°+k∙360° y x 0
270°+k∙360°
S1={β|β=90°+k∙360°,k∈Z} ={β| β=90°+2k·180°,k∈Z}
它们之间有什么规律？
b= kg 3 6 0 拔 ,kZ
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2. 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 30° 、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边 的关系
390°= 30°+＿1·＿36＿0°
-330°= 30°+(＿-1＿)·3＿60° 750°= 30°+＿2·＿36＿0° 归纳: 与30°终边相同的角的集合 ｛β︱β= 30°＋ k·360°,k∈Z｝
(二)角的分类:
正角：按逆时针方向旋转所形成的角. 2100 如α=210º.
负角：按顺时针方向旋转所形成的角.
如α=-150º. -1500
零角：没有作任何旋转的角.记作α=0º.
角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角 和零角
注意
⑴在不引起混淆的情况下，“角 ” 或“∠ ”可以简化成“ ”；
2 7 0 0 3 6 0 0 k 3 6 0 0 3 6 0 0 k k Z
1.判断下列句子是否正确？
（1）锐角一定是第一象限角 正确
（2）小于
的角一点是锐角 错误
（3）第一象限角一定不是负角 错误
（4）终边在x轴非负来自百度文库轴上的角的度数是
错误
对第（4）题举出反例？
360°，720°......-360°，-720°,......
D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Z），则α
与β终边相同
角的 概念
角的 大小
角的 位置
角的 关系
正角 负角 零角
象限角 轴线角
终边相同角
思考题：已知角是第三象限角，
则2 ， 各是第几象限角？
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