角的概念的推广_ppt课件(上课正式稿)
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角的概念的推广及其度量课件(共28张PPT)
探索研究 角的概念推广之后，利用转角给出60°+90°与90°-
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
《角概念的推广》课件
计算机视觉：用于图像识 别和跟踪
机器人技术：用于导航和 路径规划
机器学习：用于特征提取 和分类
Part Five
角的概念推广
角度的推广：极坐标系中的角度概念
极坐标系：以原点为中心，两个正交轴为极轴和极角轴 极角：从极轴正方向到直线与极轴的夹角 极角范围：0到360度 极角表示：用弧度或度数表示极角大小
添加标题
角的性质：对称性、周期性、可加 性等
角概念在现代科学中的应用和影响
几何学：角的概念是几何学的基础，用 于描述形状、位置和运动
计算机科学：角的概念在计算机科学中 用于描述图形、图像和动画
物理学：角的概念在物理学中用于描述 力、运动和能量
天文学：角的概念在天文学中用于描述 天体位置和运动
工程学：角的概念在工程学中用于设计、 制造和维护各种设备和系统
角概念的推广
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汇报人：PPT
目录
01 添 加 目 录 项 标 题
02 角 的 基 本 概 念
03 角 的 分 类
04 角 的 应 用
05 角 的 概 念 推 广
06 角 的 概 念 在 数 学 中 的发展历程
Part One
辐角θ，满足 θ=arctan(b/a)， 可以推广到更广 泛的数学领域。
角度的泛化：在向量空间中的角度概念
添加标题
向量空间中的角度概念：将平 面几何中的角度概念推广到向 量空间中，使得向量之间的夹 角可以定义为两个向量的余弦 值。
添加标题
向量空间中的角度计算：通过 计算两个向量的余弦值，可以 得出两个向量之间的夹角。
古埃及：最早 使用角的概念， 用于测量土地
角的概念的推广课件（PPT34页)
（1） 70° （2） 210 ° （3） -60°
70°
Y 第一象 限角哦！
210 °
Y
第三象 限角哦！
O
O
X
X
第四象
Y
限角哦！
-60°
X O
画出30，390，330角，观察它们的终边 有什么特点.
y -3300
3900 o
300 x
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
•
13、乍见翻疑梦，相悲各问年。。22.1.522.1.509:30:3509:30:35January 5, 2022
•
14、他乡生白发，旧国见青山。。2022年1月5日星期三上午9时30分35秒09:30:3522.1.5
•
15、比不了得就不比，得不到的就不要。。。2022年1月上午9时30分22.1.509:30January 5, 2022
•
10、雨中黄叶树，灯下白头人。。09:30:3509:30:3509:301/5/2022 9:30:35 AM
•
11、以我独沈久，愧君相见频。。22.1.509:30:3509:30Jan-225-Jan-22
•
12、故人江海别，几度隔山川。。09:30:3509:30:3509:30Wednesday, January 05, 2022
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
70°
Y 第一象 限角哦！
210 °
Y
第三象 限角哦！
O
O
X
X
第四象
Y
限角哦！
-60°
X O
画出30，390，330角，观察它们的终边 有什么特点.
y -3300
3900 o
300 x
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
•
13、乍见翻疑梦，相悲各问年。。22.1.522.1.509:30:3509:30:35January 5, 2022
•
14、他乡生白发，旧国见青山。。2022年1月5日星期三上午9时30分35秒09:30:3522.1.5
•
15、比不了得就不比，得不到的就不要。。。2022年1月上午9时30分22.1.509:30January 5, 2022
•
10、雨中黄叶树，灯下白头人。。09:30:3509:30:3509:301/5/2022 9:30:35 AM
•
11、以我独沈久，愧君相见频。。22.1.509:30:3509:30Jan-225-Jan-22
•
12、故人江海别，几度隔山川。。09:30:3509:30:3509:30Wednesday, January 05, 2022
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
角的概念的推广课件
角的概念的推广课件
目录 CONTENT
• 角的基本概念 • 角的分类与性质 • 角的应用 • 角的推广 • 角的概念在数学中的发展
01
角的基本概念
角的定义
总结词
角的定义是指两条射线或线段在同一直线上相交形成的夹角 。
详细描述
角是由两条射线或线段在同一直线上相交形成的，这两条射 线或线段称为角的边，而它们相交的点称为角的顶点。根据 定义，一个角可以由其顶点和两条边唯一确定。
02
角的分类与性质
锐角
小于90度的角
锐角是角度小于90度的角，它的大小在0度到90度之间。在几何学中，锐角具有 许多重要的性质和应用，例如在三角形中，锐角的大小决定了三角形的形状和大 小。
直角
等于பைடு நூலகம்0度的角
直角是角度等于90度的角，它的大小是固定的90度。直角在几何学中具有特殊的意义，因为它可以用来定义其他角的大小和 方向。在三角形中，直角的大小决定了三角形的形状和大小。
方向判断
在导航或地图上，方向通 常用角度来表示，如北偏 东30度，南偏西45度等。
建筑结构
建筑物的结构设计中，角 度是一个重要的参数，如 屋顶的角度、窗户的角度 等。
科学实验中的应用
物理实验
在物理实验中，角度是一 个重要的参数，如测量光 的偏振角度、测量机械振 动中的相位角等。
天文学
天文学中，角度的概念尤 为重要，如赤纬角、时角 等，用于描述天体位置和 运动轨迹。
多边形的内角和
几何证明
在几何证明中，角的概念是重要的基 础，通过角度的大小关系可以证明两 条线是否平行或垂直。
多边形的内角和与外角和也是基于角 的概念，通过角的加减运算得出。
日常生活中的应用
目录 CONTENT
• 角的基本概念 • 角的分类与性质 • 角的应用 • 角的推广 • 角的概念在数学中的发展
01
角的基本概念
角的定义
总结词
角的定义是指两条射线或线段在同一直线上相交形成的夹角 。
详细描述
角是由两条射线或线段在同一直线上相交形成的，这两条射 线或线段称为角的边，而它们相交的点称为角的顶点。根据 定义，一个角可以由其顶点和两条边唯一确定。
02
角的分类与性质
锐角
小于90度的角
锐角是角度小于90度的角，它的大小在0度到90度之间。在几何学中，锐角具有 许多重要的性质和应用，例如在三角形中，锐角的大小决定了三角形的形状和大 小。
直角
等于பைடு நூலகம்0度的角
直角是角度等于90度的角，它的大小是固定的90度。直角在几何学中具有特殊的意义，因为它可以用来定义其他角的大小和 方向。在三角形中，直角的大小决定了三角形的形状和大小。
方向判断
在导航或地图上，方向通 常用角度来表示，如北偏 东30度，南偏西45度等。
建筑结构
建筑物的结构设计中，角 度是一个重要的参数，如 屋顶的角度、窗户的角度 等。
科学实验中的应用
物理实验
在物理实验中，角度是一 个重要的参数，如测量光 的偏振角度、测量机械振 动中的相位角等。
天文学
天文学中，角度的概念尤 为重要，如赤纬角、时角 等，用于描述天体位置和 运动轨迹。
多边形的内角和
几何证明
在几何证明中，角的概念是重要的基 础，通过角度的大小关系可以证明两 条线是否平行或垂直。
多边形的内角和与外角和也是基于角 的概念，通过角的加减运算得出。
日常生活中的应用
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0
即任意与角 终边相同的角， 都可以表示成 与整数个周角的 和．
【例２】
在 00～3600 间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角．
150 （1） ；（2）650 ；（3）950 15' ．
【例3】写出与下列各角终边相同的角的集合S ，
360 720 并把 S 中适合不等式 的元素
0 0
y
y
y
o
0
x
o
x
o
x
| k 360 , k Z
y
y
y
o
x
o
x
o
x
课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否 都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间 (0º,90º)内的角是锐角吗？ 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐
9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在 [0º,360º]范围内，终边与角 的终边相同的
3
角为______________; 解：β=k〃360º+60º，k∈Z. 所以
3
=k〃120º+20º， k∈Z.
当k=0时，得角为20º，
当k=1时，得角为140º，
当k=2时，得角为260º.
6、若α是第四象限角，则180º－α是（ A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（
A. β=α+90o
）D
B β=α〒90o
C β=k〃360o+90o+α,k∈Z
D β=k〃360o〒90o+α, k∈Z
8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是 (0º ,45º ) ，α+β的范围是___________; (180º ,270º ) __________
C x轴的非正半轴上
D y轴的非正半轴上
4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ） A {β|β=k〃360º (k∈Z) } B {β|β=k〃180º (k∈Z) } C {β|β=k〃90º (k∈Z) } D {β|β=k〃180º+90º (k∈Z) }
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是 ( C ) A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角 C ）
角．
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落
在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它
们是哪个象限的角？
(1)420º，(2) －75º，(3)855º，(4) －510º． 答：(1)第一象限角； (2)第四象限角，
(3)第二象限角，
(4)第三象限角.
3、已知α,β角的终边相同，那么α －β的终边 在（ A ） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上
D. 5 360 315
0
0
(2).在直角坐标系中,判断下列各语句的真,假.
①.第一象限的角的一定是锐角; ②.终边相同的角一定相等; ③.相等的角终边一定相同; ④.小于900的角一定是锐角;
⑤.象限角为钝角的终边在第二象限;
例4: 写出终边在下列位置上的角的集合
用0 到360 的角表示
(2). 300 3900 -3300 问：观察第(2)题各角有何特点？
能否把(2)题这些角用一个集合表示 出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０ 内的某一角终边相同呢？
三．终边相同角的表示方法：
所有与角 终边相同的角，连 同角 在内可构成一个集合
S | k 360 , k Z
例5：终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合．
Y Y
30
0
300 300
O
450
X
O
X
补充练习:
(1).已知与-18200终边相同的角的集合为A; 集合B=[-7200,3600],求A∩B
(2).时针走过2小时40分,则分针转过的角度 是_____
(3).要将时钟拨慢5分钟,则分针转了____度; 时针转了____度
终边 始边
始边 终边
O
1200
A
射线OA绕端点O旋转900到射线OB,接
着再旋转-300到OC求角AOC.
B
-300
C
900 600
AOC = AOB + BOC
= 900 + (-300)
=
A 600
O
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
例 1:
射线OA绕端点O顺时针旋转800到OB位 置, 接着逆时针旋转2500到OC位置,然后再顺
思 考:
1.如果 是第一象限角,那么 的取值
范围可以表示为怎样的不等式?
2.如果是第一象限角,那么 象限角?
2
是第几
练习反馈
（4）若角 与角 的终边重合，则 与 的 关系是_____，
若角 与角 的终边在一条直线上，则 与 的 关系是______． （5）若 是第四象限角，则 1800 是（ ）．
时针旋转2700到OD位置,求 AOD的大小.
二.象限角： 角的顶点与坐标原点重合,角的 始边与x轴的正半轴重合，那角的终 边在第几象限，就说这个角是第几象 限角．
y
B 注：当角的终 边落在坐标轴 上时，它不属 A o 于任何象限.它 叫轴线角.
Ｏ
x
口答：
说出以下角各属于第几象限： (1). 450 1400 -2300 3400
（6）已知角α的终边与角-6900的终边关于y轴对 称，求α
角与角的终边的对称关系：
1. 与 终边关于x轴对称，则 k 360 ，k Z
0
2. 与的终边关于y轴对称，则 (2k 1) 180 k Z
3. 与的终边关于原点对称，则 (2k 1) 180 k Z
初中角的概念:
B
端点的两条射线组成的图形叫做角.
角还可以看成平面内一条射线
绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形．
一.正角、负角、零角：
正角：一条射线绕着它的端点按逆时 针方向旋转形成的角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线没有作任何旋转。
B
-1200
AOB=1200 BOA=-1200
0
0
4. 与的终边在一条直线上，则 k 180 ，k Z
0
写出来：
363 14 ． （1） 60 ；（2）21 ；（3）
练习1:
(1).把 14850 化成k 3600 00 3600 , k Z 的形式是
0 0
A. 4 360 45
0
B. 4 360 315
0
0
0
C. 10 360 315
即任意与角 终边相同的角， 都可以表示成 与整数个周角的 和．
【例２】
在 00～3600 间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角．
150 （1） ；（2）650 ；（3）950 15' ．
【例3】写出与下列各角终边相同的角的集合S ，
360 720 并把 S 中适合不等式 的元素
0 0
y
y
y
o
0
x
o
x
o
x
| k 360 , k Z
y
y
y
o
x
o
x
o
x
课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否 都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间 (0º,90º)内的角是锐角吗？ 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐
9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在 [0º,360º]范围内，终边与角 的终边相同的
3
角为______________; 解：β=k〃360º+60º，k∈Z. 所以
3
=k〃120º+20º， k∈Z.
当k=0时，得角为20º，
当k=1时，得角为140º，
当k=2时，得角为260º.
6、若α是第四象限角，则180º－α是（ A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（
A. β=α+90o
）D
B β=α〒90o
C β=k〃360o+90o+α,k∈Z
D β=k〃360o〒90o+α, k∈Z
8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是 (0º ,45º ) ，α+β的范围是___________; (180º ,270º ) __________
C x轴的非正半轴上
D y轴的非正半轴上
4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ） A {β|β=k〃360º (k∈Z) } B {β|β=k〃180º (k∈Z) } C {β|β=k〃90º (k∈Z) } D {β|β=k〃180º+90º (k∈Z) }
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是 ( C ) A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角 C ）
角．
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落
在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它
们是哪个象限的角？
(1)420º，(2) －75º，(3)855º，(4) －510º． 答：(1)第一象限角； (2)第四象限角，
(3)第二象限角，
(4)第三象限角.
3、已知α,β角的终边相同，那么α －β的终边 在（ A ） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上
D. 5 360 315
0
0
(2).在直角坐标系中,判断下列各语句的真,假.
①.第一象限的角的一定是锐角; ②.终边相同的角一定相等; ③.相等的角终边一定相同; ④.小于900的角一定是锐角;
⑤.象限角为钝角的终边在第二象限;
例4: 写出终边在下列位置上的角的集合
用0 到360 的角表示
(2). 300 3900 -3300 问：观察第(2)题各角有何特点？
能否把(2)题这些角用一个集合表示 出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０ 内的某一角终边相同呢？
三．终边相同角的表示方法：
所有与角 终边相同的角，连 同角 在内可构成一个集合
S | k 360 , k Z
例5：终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合．
Y Y
30
0
300 300
O
450
X
O
X
补充练习:
(1).已知与-18200终边相同的角的集合为A; 集合B=[-7200,3600],求A∩B
(2).时针走过2小时40分,则分针转过的角度 是_____
(3).要将时钟拨慢5分钟,则分针转了____度; 时针转了____度
终边 始边
始边 终边
O
1200
A
射线OA绕端点O旋转900到射线OB,接
着再旋转-300到OC求角AOC.
B
-300
C
900 600
AOC = AOB + BOC
= 900 + (-300)
=
A 600
O
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
例 1:
射线OA绕端点O顺时针旋转800到OB位 置, 接着逆时针旋转2500到OC位置,然后再顺
思 考:
1.如果 是第一象限角,那么 的取值
范围可以表示为怎样的不等式?
2.如果是第一象限角,那么 象限角?
2
是第几
练习反馈
（4）若角 与角 的终边重合，则 与 的 关系是_____，
若角 与角 的终边在一条直线上，则 与 的 关系是______． （5）若 是第四象限角，则 1800 是（ ）．
时针旋转2700到OD位置,求 AOD的大小.
二.象限角： 角的顶点与坐标原点重合,角的 始边与x轴的正半轴重合，那角的终 边在第几象限，就说这个角是第几象 限角．
y
B 注：当角的终 边落在坐标轴 上时，它不属 A o 于任何象限.它 叫轴线角.
Ｏ
x
口答：
说出以下角各属于第几象限： (1). 450 1400 -2300 3400
（6）已知角α的终边与角-6900的终边关于y轴对 称，求α
角与角的终边的对称关系：
1. 与 终边关于x轴对称，则 k 360 ，k Z
0
2. 与的终边关于y轴对称，则 (2k 1) 180 k Z
3. 与的终边关于原点对称，则 (2k 1) 180 k Z
初中角的概念:
B
端点的两条射线组成的图形叫做角.
角还可以看成平面内一条射线
绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形．
一.正角、负角、零角：
正角：一条射线绕着它的端点按逆时 针方向旋转形成的角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线没有作任何旋转。
B
-1200
AOB=1200 BOA=-1200
0
0
4. 与的终边在一条直线上，则 k 180 ，k Z
0
写出来：
363 14 ． （1） 60 ；（2）21 ；（3）
练习1:
(1).把 14850 化成k 3600 00 3600 , k Z 的形式是
0 0
A. 4 360 45
0
B. 4 360 315
0
0
0
C. 10 360 315