角的概念的推广与弧度制(课堂PPT)
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角的概念的推广及其度量课件(共28张PPT)
探索研究 角的概念推广之后，利用转角给出60°+90°与90°-
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
《角概念的推广》课件
计算机视觉：用于图像识 别和跟踪
机器人技术：用于导航和 路径规划
机器学习：用于特征提取 和分类
Part Five
角的概念推广
角度的推广：极坐标系中的角度概念
极坐标系：以原点为中心，两个正交轴为极轴和极角轴 极角：从极轴正方向到直线与极轴的夹角 极角范围：0到360度 极角表示：用弧度或度数表示极角大小
添加标题
角的性质：对称性、周期性、可加 性等
角概念在现代科学中的应用和影响
几何学：角的概念是几何学的基础，用 于描述形状、位置和运动
计算机科学：角的概念在计算机科学中 用于描述图形、图像和动画
物理学：角的概念在物理学中用于描述 力、运动和能量
天文学：角的概念在天文学中用于描述 天体位置和运动
工程学：角的概念在工程学中用于设计、 制造和维护各种设备和系统
角概念的推广
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汇报人：PPT
目录
01 添 加 目 录 项 标 题
02 角 的 基 本 概 念
03 角 的 分 类
04 角 的 应 用
05 角 的 概 念 推 广
06 角 的 概 念 在 数 学 中 的发展历程
Part One
辐角θ，满足 θ=arctan(b/a)， 可以推广到更广 泛的数学领域。
角度的泛化：在向量空间中的角度概念
添加标题
向量空间中的角度概念：将平 面几何中的角度概念推广到向 量空间中，使得向量之间的夹 角可以定义为两个向量的余弦 值。
添加标题
向量空间中的角度计算：通过 计算两个向量的余弦值，可以 得出两个向量之间的夹角。
古埃及：最早 使用角的概念， 用于测量土地
角的概念的推广PPT教学课件
C l2 此时 α＝R＝C－C2＝2.
2
C2 ∴当 α＝2 弧度时，扇形面积有最大值16.
【方法点评】 合理选择变量，把扇形面积表示出 来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不 同的方法求最值，这是解决问题的关键．
3．一个扇形的周长等于它所在圆的周长，那么这个 扇形的圆心角是多少？如果其半径等于 那么它的面积 等于多少？
【自主探究】 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 则x＝4t，y＝－3t，
r＝ x2＋y2＝ (4t)2＋(－3t)2＝5|t|，
当 t>0 时，r＝5t，
y －3t 3
x 4t 4
sin α＝r＝ 5t ＝－5，cos α＝r＝5t＝5，
α 150°＋n·360°< 3 <180°＋n·360° 当 k＝3n＋2(n∈Z)时， 270°＋n·360°<α3 <300°＋n·360°.
α ∴ 3 是第一或第二或第四象限角．
扇形的弧长、面积公式的应用 已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的 弓形面积． (2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时， 该扇形有最大面积？ 【思路点拨】 (1)利用弧长、面积公式求解；(2)把扇形 面积用α表示出来，或用弧长表示出来，然后求函数的最值． 【自主探究】 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
【解析】 设β＝2 010°＋k·360°(k∈Z)， 则当k＝－6时，β＝2 010°－2 160°＝－150°， 当k＝－5时，β＝2 010°－1 800°＝210°， ∴与2 010°终边相同的最小正角为210°，最大负角 为－150°. 【答案】 210° －150°
角的概念的推广公开课PPT课件
2、锐角是第一象限的角。 3、第一象限的角都是锐角。
（） （） （）
4、第二象限角一定比第一象限角大（ ）
5、小于90°的角都是锐角
（）
第15页/共20页
二 、时钟的时针和分针2h内各转了多少度？
时针2h内转了－60°，分针2h内转了－720°
三、在直角坐标系中作出下列角，并判断是第几 象限角：
（1）150° （2）450° （3）－210°
小结
正角：按逆时针方向旋转形成的角
1.按旋转方向分类 负角：按顺时针方向旋转形成的角
2.按角的终 边位置分类
零角：一条射线不作任何旋转形成的角
1)使角的顶点与原点重合
象限角 2)始边与x轴的正半轴重合
3)终边落在第几象限就是 第几象限角
非象限角：终边落在坐标轴上的角
第18页/共20页
第19页/共20页
想想怎样才能推广到任意角？
第6页/共20页
知识探究（一）：角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一个角可以看做平面内一
条射线绕着它的端点从一个位
置旋转到另一个位置所形成的
B
图形。如图
旋转开始时的射线OA叫做0
A
角α的始边，旋转终止的射线
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
第7页/共20页
⑵．旋转有方向： 按逆时针方向旋转 所形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转 所形成的角叫做负角， 没有作任何旋转 看成零角（0º）．
时钟问题
540
12
9
3
6
第11页/共20页
知识探究（二）：象限角
1、建立坐标系:角的顶点与原点重合,角 的始边与x轴的正半轴Байду номын сангаас合。
（） （） （）
4、第二象限角一定比第一象限角大（ ）
5、小于90°的角都是锐角
（）
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二 、时钟的时针和分针2h内各转了多少度？
时针2h内转了－60°，分针2h内转了－720°
三、在直角坐标系中作出下列角，并判断是第几 象限角：
（1）150° （2）450° （3）－210°
小结
正角：按逆时针方向旋转形成的角
1.按旋转方向分类 负角：按顺时针方向旋转形成的角
2.按角的终 边位置分类
零角：一条射线不作任何旋转形成的角
1)使角的顶点与原点重合
象限角 2)始边与x轴的正半轴重合
3)终边落在第几象限就是 第几象限角
非象限角：终边落在坐标轴上的角
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想想怎样才能推广到任意角？
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知识探究（一）：角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一个角可以看做平面内一
条射线绕着它的端点从一个位
置旋转到另一个位置所形成的
B
图形。如图
旋转开始时的射线OA叫做0
A
角α的始边，旋转终止的射线
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
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⑵．旋转有方向： 按逆时针方向旋转 所形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转 所形成的角叫做负角， 没有作任何旋转 看成零角（0º）．
时钟问题
540
12
9
3
6
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知识探究（二）：象限角
1、建立坐标系:角的顶点与原点重合,角 的始边与x轴的正半轴Байду номын сангаас合。
人教版数学第一章弧度制(共20张PPT)教育课件
360
A B 的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB的度数
r
逆时针方向
180
2 r
逆时针方向
2
r
逆时针方向
1
360 57.30
2r
顺时针方向
-2
114.60
r
顺时针方向
180
0
未旋转
0
0
r
逆时针方向
180
2 r
逆时针方向
2
360
新知2：
（1）一般地，正角的弧度数是一个正数，负 角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
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轻
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个
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是
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我
告
诉
你
怎
么
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电
:
“
口
罗
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一
，
1
戏
有
上
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的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
角的概念的推广说课课件
角的度量单位
度：最基本的度 量单位，用于表 示角的大小
弧度：另一种度量 单位，用于表示角 的大小，与实数对 应
梯度：用于表示 方向和强度的度 量单位
向量：用于表示 方向和大小的度 量单位
角的应用和推广
角在几何学中的应用
角是几何学中的基本概念，用于描述直线间的关系 角在平面几何中的应用：三角形、四边形、多边形等 角在立体几何中的应用：圆柱、圆锥、球等 角在解析几何中的应用：直线、曲线、曲面等
大学阶段如何推广角的概念
引入高等数学中的 角概念，如复数、 向量等
通过实例讲解角的 概念在实际生活中 的应用，如工程、 物理等领域
结合现代科技，如计 算机图形学、虚拟现 实等，让学生了解角 的概念在科技领域的 应用
开展角的概念相关的 实验和实践活动，如 测量、绘图等，提高 学生的动手能力和创 新能力
角的概念的推广
XX,
汇报人：XX
目录
01目录标题02源自030405
06
角的概念的 起源和定义
角的应用和 推广
角的概念在 不同领域中 的推广
角的概念在 不同年龄段 的教学推广
角的概念推 广的意义和 价值
添加章节标题
角的概念的起源 和定义
角的基本定义
角：两条直线 相交形成的图
形
角的大小：两 条直线相交形
角在日常生活中的应用
导航：如使用指南针确定方 向
测量角度：如测量建筑物的 高度、角度等
设计：如设计家具、建筑等
艺术：如摄影、绘画等中的 角度运用
角在其他学科中的应用
物理学：角在力学、电磁 学、光学等领域的应用
数学：角在几何学、代数、 微积分等领域的应用
工程学：角在建筑、机械、 电子等领域的应用
高三数学复习课件：角的推广与弧度制(共22张PPT)
{ | 2k , k Z} （弧度制）
例1、求在 0 到 360 （ 0到2 ）范围内，与下列各角终边相同的角
（1）、 950 12
（2）、139
129 48
1
3
终边相同的 角1、终边相同的角与相等角的区别
终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
2、象限角、象间角与区间角的区别 y
2
2
则α 角属于( C )A.第－象限;B.第二象限;
2
C.第 三 象 限; D.第 四 象 限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.
例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度 ：
解：分针所转过的角度 1 20 360 480
以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的
度数和弧度数. 在书写时注意不要同时
混用角度制和弧度制
180 180 1 rad
1
rad
180
57.30
1 式.
lr
l
n 360
2
r
n
180
r
S r2 1 r2 1l r
22
2
小结：
本节课你学到了什么？
作业：
学业水平考试试题选编（9）
（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含
角在内）的集合为. k 360, k Z
（4）角在“到”范围内，指0 360
任意角的三角函数
y
1、角的概念的推广
o
的终边
的终边
正角 零角
例1、求在 0 到 360 （ 0到2 ）范围内，与下列各角终边相同的角
（1）、 950 12
（2）、139
129 48
1
3
终边相同的 角1、终边相同的角与相等角的区别
终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
2、象限角、象间角与区间角的区别 y
2
2
则α 角属于( C )A.第－象限;B.第二象限;
2
C.第 三 象 限; D.第 四 象 限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.
例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度 ：
解：分针所转过的角度 1 20 360 480
以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的
度数和弧度数. 在书写时注意不要同时
混用角度制和弧度制
180 180 1 rad
1
rad
180
57.30
1 式.
lr
l
n 360
2
r
n
180
r
S r2 1 r2 1l r
22
2
小结：
本节课你学到了什么？
作业：
学业水平考试试题选编（9）
（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含
角在内）的集合为. k 360, k Z
（4）角在“到”范围内，指0 360
任意角的三角函数
y
1、角的概念的推广
o
的终边
的终边
正角 零角
角的概念的推广和弧度制-PPT精品
3603604545zzkkkk??????????则令?????????036045720k得????????45360765k解得360145360??765????k从而2k或??k代回???675?或???315?2因为??zkkxxm??????4512表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合
在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而： M
Ø
N
新疆 源头学子小屋
/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@
例 2 若角 是第二象限角，则
（1） 是哪个象限角？ （2） 2 是哪个象限角？
2
分析： k 360 90 k 360 180 （ k Z ）
解：（1）因为角 是第二象限角，所以 k 360 90 k 360 180 则 k 180 45 k 180 90 (k Z )
2 可知 在第三象限；
2 综上述，角 是第二象限角，则 是第一象限角或第三象限角；
（2）因为 2k 360 180 22 2k 360 360 可知角 2 的终边应在第三象限或第四象限或 Y 轴的负半轴上；
例3
已知下列各个角：1
11
7
， 2
511
角的概念的推广和弧度制
例 1 已知角 45 ； （1）在区间[720, 0 ]内找出所有与角 有相同终边的角 ；
（2）集合 M
x
|
x
k 2
180
45,
k
Z
，
N
x
在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而： M
Ø
N
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/wxc/ 特级教师
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例 2 若角 是第二象限角，则
（1） 是哪个象限角？ （2） 2 是哪个象限角？
2
分析： k 360 90 k 360 180 （ k Z ）
解：（1）因为角 是第二象限角，所以 k 360 90 k 360 180 则 k 180 45 k 180 90 (k Z )
2 可知 在第三象限；
2 综上述，角 是第二象限角，则 是第一象限角或第三象限角；
（2）因为 2k 360 180 22 2k 360 360 可知角 2 的终边应在第三象限或第四象限或 Y 轴的负半轴上；
例3
已知下列各个角：1
11
7
， 2
511
角的概念的推广和弧度制
例 1 已知角 45 ； （1）在区间[720, 0 ]内找出所有与角 有相同终边的角 ；
（2）集合 M
x
|
x
k 2
180
45,
k
Z
，
N
x
初等数学§5-1角的概念的推广和弧度制
3、换算公式
1 ra d0.017r4a5d
180
1 ra 5 d .3 7 0 5 1 7 '8
6、弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角 的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零；
角的概念推广后，无论是用角度制还是用 弧度制，都能在角的集合与实数R之间建 立一种一一对应的关系。
用弧度制表示角时，不能与角度制混用。
见书本第６页 探究
思考6：如果半径为r的圆的圆心角α所 对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝 对值如何计算？
l r
探究（二）：度与弧度的换算
思考1：一个圆周角以度为单位度量是多 少度？以弧度为单位度量是多少弧度？ 由此可得度与弧度有怎样的换算关系？
3602(ra)d 180 (rad)
思考2：根据上述关系，1°等于多少弧 度？1rad等于多少度？
⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到另一位置OB，就形成角B
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始，射线的端
点O叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β= －150°，γ=660°，
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(1)π/12
(2) - 210º
(3) -4π/3
(4) 1200º
4 .特殊角的度数与弧度数的对应表:
20
练习1. 把下列各角化成弧度 (1)120 ° , (2)75 ° , (3)135 , (4) 300 °
, (5) - 210 ° , (6)225
练习2: 把下列各弧度化成度. (1)3π/5 , (2) π/12 ,(3)3π/10 ,(4)π/5 (2)(5) - 12 π , (6) 5π/6 , (7) 7π/12
1
初中角的概念:
顶点
O
B
角的边
A
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 .
角还可以看成平面内一条射线
绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形．
2
一.正角、负角、零角：
正角：由始边逆时针旋转到跟终边所 成的角叫正角；
负角：由始边顺时针旋转到跟终边所 成的角叫负角。
零角：射线没有作任何旋转。
B
-1200
答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.
12
弧度制
13
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，10的角是如何定 义？角度制呢？
将圆3周 6等 0 分 ，其中一份所对的 是1圆 度心 的;角
用度作单位来度量角的单位制叫做 角度制。
2、角度制的单位是什么? “度”（即“ º”） 不能省略
问：观察第(2)题各角有何特点？
能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０内的某一 角终边相同呢？
10
例3: 写 出 终 边 在 下 列 位 置 上 的 角 的 集 合
用 00到 3600的 角 表 示
y
y
y
o
x
o
x
o
x
y
o
x
y
y
o
x
o
x
11
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边 落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指 出它们是哪个象限的角？ (1)
_2___ra_)d(.
O rB
_3___ra_)d(.
l1 2r
1
l1 r
2r r
2
l2 3r
2
l2 r
3r r
3
2.若圆心角为周角,它时所对的弧l长 2r,则
周角的弧度数:是 ______2______.
l3 2r
3
l3 r
2r
r
2360
17
2、角度制与弧度制的换算:
圆周角 用弧度
圆周角 用角度
即任意与角 终边相同的角，都可 以表示成 与整数个周角的和．
6
【例1】
在 00～3600 间，找出与下列各角终边相同的 角．
（1） 1 5 0 ；（2）6 5 0 ；（3） 950。 ．
7
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合 S， 并把 S中适合不等式 360720的元素
写出来：
（1） 6 0 ；（2） 21．
AOB=1200
终始边
1200
BOA=-1200
O
终始边 A
3
思 考 1:
如果从始边转到终边只能转θ 吗？有没有 其他方法？
这些角的终边是相同的。
4
思 考 2:
终边相同的角有什么关系？
5
二．终边相同角的表示方法： 所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k3 6 0 0 ,k Z
8
二.象限角：
角的顶点与坐标原点重合,角的始边
与x轴的正半轴重合，那角的终边在第
几象限，就说这个角是第几象限角．
y
注B ：当角的终边
落在坐标轴上时，
它不属于任何象限
.它叫轴o 线角. A
Ｏ
x
9
口答：
说出以下角各属于第几象限：
(1). 450 1400 -2300 3400
(2). 300 3900 -3300
l 2r
A
360
O 1º B 30º=30×1º
即30º是30个1º的和
14
1、弧度制的定义
（1）1弧度的角：_等__于_半__径__长__的_圆__弧__所__对_的__圆__心；角
如图 :弧AB的长等于 r,弧 半 AB所 径
A
r对的圆心 就角 是 1弧度的 .记角 作1rad.
O r B 弧度的单位符号是rad，读作弧度
21
1、弧度的意义； 2、弧度与角度的换算；
小 结
3.角度是一个量,弧度数表示弧长与半 径的比,是一个实数,这样在角集合与实 数集之间就建立了一个一一对应关系.
正角 零角 负角
正实数
零 负实数
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课件展示
注意 :习惯 ,就 地简 记 1.为
15
(2)一个角的弧度数与圆半径大小是否有关?
无关.大小不同的同心圆,虽然同一圆心
角所对的弧长与半径都不相等,但他们的比值 相同.
2、弧度数公式:若半径为r的圆的圆心角 所对 的弧长为l,则角 的弧度数的绝对值为:
| | l
r
16
A 2r
分析
3r
O rB
360º = 2π
表示
180º = π
表示
1º=
π
180
弧度=0.01745弧度
1弧度 = (
180
π ) º= 57.3º=57º18`
18
3、弧度制：
用弧度做单位来度量角的制度叫做 弧度制
等于半径长的圆弧所对的圆心角
1弧度的角
正角的弧度数 负角的弧度数 零角的弧度数
正数 负数
零 19
例3. 弧度制与角度制互化