专题25 一元函数的导数及其应用(单元测试卷)(原卷版)
(常考题)人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．2C ．2019D ．20202．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（ ）A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1653．已知函数()=x e xf x x+，1(ln )a f e =，1()2b f =，1()c f e =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数，()f x '为其导函数，已知()()1221f x f x -=-，()20f -=，当0x >时，()()xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．()(),20,2-∞-D ．()()0,22,+∞5．已知函数f (x )(x ∈R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>12，则不等式1()22x f x <+的解集（ ） A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－1，1)6．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π24a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<7．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A ．()3x x f x e=B ．()x x xf x e e -=- C ．()xx f x e = D ．()xf x xe =8．函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为（ ） A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,1--9．已知()'f x 是定义在上的函数()f x 的导函数，且2(1)(1)xf x f x e +=-，当1x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断正确的是（ ） A ．()()523e f f ->B ．()()523f e f ->C ．()()523e f f <-D ．()()523f e f >-10．若函数()33=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,4- B ．()1,4- C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x y e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),2-∞C ．()0,1D ．()1,212．若1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，则（ ） A ．()f x 有极大值1- B ．()f x 有极小值1- C ．()f x 有极大值0D ．()f x 有极小值0二、填空题13．函数()2()cos 12f x xf x π'=-+的图象在点()()0,0f 处的切线方程为______.14．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t 的关系为()c f t =，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如下图所示．给出下列四个结论：① 在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；② 在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；③ 在23[,]t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； ④ 在12[,]t t ,23[,]t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同. 其中所有正确结论的序号是_____．15．已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()()2f x lnx ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a =________.16．222(2sin ),()sin cos ,(0)a x x dx f x x x x x a -=⎰-=+≤≤，则()f x 的最大值为_____________.17．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，则函数()f x 的图象在1ln 2x =处的切线的倾斜角为________. 18．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩的图象上任意两点，且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最大值为 __________. 19．设曲线()(1)x f x ax e =-⋅在点()01,A x y 处的切线为1l ，()(1)x g x x e -=-⋅在点()02,B x y 处的切线为2l ，若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是______.20．已知21()34ln 2f x x x x =--+在(,1)t t +上不单调，则实数t 的取值范围是______________三、解答题21．设函数()21xf x e ax x =---，a R ∈.（1）0a =时，求()f x 的最小值.（2）若()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，求a 的取值范围.22．已知函数()()()3222232121f x x a a x a a x =--++-+，a R ∈，讨论()f x 的单调性.23．已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.24．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈. （1）1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，且对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围.参考答案25．已知函数1()ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，设函数()eg x x=，若在[1,e]上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.26．已知1x =是()=2ln bf x x x x++的一个极值点. （1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）设函数3()()ag x f x x+=-，若函数()g x 在区间[1,2]内单调递增，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+， 所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.2．D解析：D 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解． 【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．由2y lnx x =-+，得11y x'=-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12k =-．令1112x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ，切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=的距离d == 即221212()()M x x y y =-+-的最小值为165． 又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩，解得145x =，即当M 最小时，2145x =． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．3．B解析：B 【分析】求出()f x 的导数，根据导数判断出函数的单调性，再根据111ln ,,2e e的大小关系即可判断. 【详解】()=x e xf x x+，0x ≠ ()()()()2211xx x e x e x e x f x x x+-+-'∴==， 当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，11012e <<<，112f f e ⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且1112f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，1ln 10e =-<，()11ln 111f f e e ⎛⎫∴=-=-< ⎪⎝⎭， 111ln 2f f f e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c b a >>.故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，注意函数的定义域为{}0x x ≠，故单调区间有3个，故在判断1(ln )a f e=的大小的时候应从函数值判断，而不能直接利用单调性.4．B解析：B 【分析】由已知条件得函数()f x 为偶函数，引入()()g x xf x =，利用导数可得(0,)+∞上()g x 为增函数，结合(2)0=g 可解不等式()0>g x ，从而得()0f x >在(0,)+∞上的解，再由偶函数得出结论． 【详解】由()()1221f x f x -=-，可知()f x 为偶函数，构造新函数()()g x xf x =，则()()()g x xf x f x ''=+，当0x >时()0g x '>. 所以()()g x xf x =在()0,∞+上单调递增，又()20f =，即()20g =. 所以由()()0g x xf x =>可得2x >，此时()0f x >.又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为()(),22,-∞-+∞.故选：B ． 【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求解时，如果是偶函数，可利用单调性求出(0,)+∞上的解，然后再利用奇偶性得出{|0}x x ≠上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在R 上的单调性，然后由单调性解不等式．5．A解析：A 【分析】 根据f ′(x )>12，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022=--=g f ，然后将不等式1()22x f x <+，转化为1()022--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】因为f ′(x )>12， 所以()102f x '-> 所以()()()()()110222x g x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增，又()()1111022=--=g f ， 所以不等式1()22x f x <+，即为1()022--<x f x ， 即为：()()1g x g <， 所以1x <， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题.6．D解析：D 【分析】 首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】 设()()sin f x g x x=， ()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数， 并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f ag ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即a b c >>. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.7．A解析：A 【分析】由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减，然后逐项分析各选项中函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出正确选项. 【详解】由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减. 对于A 选项，函数()3x x f x e =的定义域为R ，()()x xx xf x f x e e---==-=-，该函数为奇函数，当0x >时，()xx f x e=，()1x xf x e -'=. 当01x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减，合乎题意； 对于B 选项，函数()x xxf x e e -=-的定义域为{}0x x ≠，不合乎题意；对于C 选项，函数()xx f x e =的定义域为R，()1f e -=-，()11f e =，()()11f f -≠-，该函数不是奇函数，不合乎题意；对于D 选项，函数()xf x xe =的定义域为R ，当0x >时，()xf x xe =，()()10x f x x e '=+>，该函数在区间()0,∞+上单调递增，不合乎题意.故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来判断，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】求出函数的导数，根据函数的零点判定定理求出函数的极值点的区间即可. 【详解】()262x f x x e '=-+，且()f x '为单调函数，∴()12620f e '=-+>，()0620f '=-+<， 由()()010f f ''<，故()f x 的极值点所在的区间为()0,1， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的应用，函数的极值点的意义，考查转化思想，属于中档题.9．A解析：A 【分析】构造函数()()x f x g x e=，由(1)(1)g x g x -=+，可得()g x 的图象关于直线1x =对称， 利用导数研究函数的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】构造函数()()xf xg x e=，因为2(1)(1)xf x f x e +=-，所以11(1)(1)x x f x f x e e +-+-=， 则(1)(1)g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，因为当1x >时，()()f x f x '>，所以()()()0xf x f xg x e''-=>， 所以()g x 在(1,)+∞上单调递增， 所以有(3)(2),(2)(3)g g g g ->->， 即3223(3)(2)(2)(3),f f f f e e e e---->>， 即5(3)(2)e f f ->，5(2)(3)e f f ->， 故选：A. 【点睛】本题考查了导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数，属于中档题.10．C解析：C 【分析】对函数()f x 进行求导，可得函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，可得()f x 的图像，由函数在区间()5,21a a -+上有最小值，数形结合可得关于a的不等式，计算可得答案. 【详解】解：由3()3f x x x =-，可得()2333(1)(1)f x x x x '=-+=--+，当11x -<<，()0f x '>，当1x <-或1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，则()f x 的图像如图所示，因为函数在区间()5,21a a -+上有最小值，故51212a a -<-<+， 解得：112a -<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题，体现了数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.11．B解析：B 【解析】分析：先根据图像求出()1f x e '≤，即得()0f x '≤，也即得结果. 详解：因为当2x ≤时，()1f x e '≤，所以当2x ≤时，()0f x '≤， 所以()y f x =的单调减区间是(),2-∞， 选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.12．A解析：A【分析】先根据极值定义得a,再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定极值. 【详解】因为1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，所以1(1)0011f a a =∴+=∴=-' ，1()101,f x x x∴=-+=⇒=' 当1x >时，()0,f x '<当01x <<时，()0,f x '>因此()f x 有极大值1-，选A. 【点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求()'f x →求方程()0f x '=的根→列表检验()'f x 在()0f x '=的根的附近两侧的符号→下结论.(3)已知极值求参数.若函数()f x 在点00(,)x y 处取得极值，则0()0f x '=，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.二、填空题13．【分析】求得函数的导数得到进而求得切点坐标为和即可求得切线的方程【详解】由题意函数可得则解得所以可得切点坐标为又由可得即切线的斜率为所以切线的方程为即故答案为：【点睛】求曲线过点的切线方程的方法：当 解析：20x y +=【分析】求得函数的导数()2()sin 2f x f x π''=+，得到2()1f π'=-，进而求得切点坐标为()0,0和()02f '=-，即可求得切线的方程. 【详解】由题意，函数()2()cos 12f x xf x π'=-+，可得()2()sin 2f x f x π''=+，则()2()sin222f f πππ''=+，解得2()1f π'=-，所以()2cos 1f x x x =--+，可得()020cos010f =-⨯-+=，切点坐标为()0,0， 又由()2sin f x x '=-+，可得()02sin02f '=-+=-，即切线的斜率为2k =-， 所以切线的方程为2y x =-，即20x y +=. 故答案为：20x y +=. 【点睛】求曲线过点P 的切线方程的方法：当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为00()y y k x x -=-； 当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过点11(,())P x f x '的切线方程为111()()()y f x f x x x '-=-； 第三步：经点00(,)P x y 代入切线方程，求出1x 的值；第四步：将1x 的值代入111()()()y f x f x x x '-=-可得过点00(,)P x y 的切线方程.14．①③④【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义结合图象判断选项【详解】①在时刻为两图象的交点即此时甲乙两人血管中的药物浓度相同故①正确；②甲乙两人在时刻的切线的斜率不相等即两人的不相同所以甲乙两人血解析：①③④ 【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项. 【详解】①在1t 时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在2t 时刻的切线的斜率不相等，即两人的()2f t '不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是()()3232f t f t t t --，故③正确；④在[]12,t t 时间段，甲的平均变化率是()()2121f t f t t t --，在[]23,t t 时间段，甲的平均变化率是()()3232f t f t t t --，显然不相等，故④正确.故答案为：①③④ 【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是()()f t t f t t+-.15．1【分析】根据函数的奇偶性确定在上的最大值为求导函数确定函数的单调性求出最值即可求得的值【详解】是奇函数时的最小值为1在上的最大值为当时令得又令则在上递增；令则在上递减得故答案为：1【点睛】本题考查解析：1 【分析】根据函数的奇偶性，确定()f x 在(0,2)上的最大值为1-，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a 的值．【详解】()f x 是奇函数，(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，()f x ∴在(0,2)上的最大值为1-，当(0,2)x ∈时，1()f x a x'=-， 令()0f x '=得1x a =，又12a >，102a ∴<<，令()0f x '>，则1x a <，()f x ∴在1(0,)a 上递增；令()0f x '<，则1x a>， ()f x ∴在1(a，2)上递减，111()()1max f x f ln aaaa ∴==-=-，10ln a∴=，得1a =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．【分析】根据定积分的几何意义以及定积分性质求得再求得利用导数分析函数单调性即可求得最大值【详解】令则又即故为半径为的半圆面积故；又是奇函数根据定积分性质则故则故当时单调递增；当时单调递减故故答案为：解析：2π【分析】 根据定积分的几何意义以及定积分性质，求得a ，再求得f x ，利用导数分析函数单调性，即可求得最大值. 【详解】令m =，)n x dx =，则a m n =+，又y =222x y +=，故m 的半圆面积，故212m ππ=⨯=；又y sinx =是奇函数，根据定积分性质，则0n =.故a π=.则()(),0f x xsinx cosx x π=+≤≤，()f x xcosx ='，故当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0f x，()f x 单调递增；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0f x，()f x 单调递减.故()22max f x f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：2π 【点睛】本题考查利用定积分的几何意义求定积分，以及定积分的性质，涉及利用导数求函数的最大值，属综合中档题.17．【分析】设则求得的值进而得到的解析式然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解【详解】设则因为为单调函数故不随的变化而变化即是常数又切线斜率为1所以倾斜角为∴答案为:【点睛】本题考查利用换元 解析：45︒【分析】设2()log t f x x =-，则()3f t =，求得t 的值，进而得到()f x 的解析式，然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解. 【详解】设2()log t f x x =-，则()3f t =.因为()f x 为单调函数，故t 不随x 的变化而变化即t 是常数. 又2()log f x x t =+，，2log 3t t +=，2t =，2()log 2f x x =+，1()ln 2f x x '=，11ln 2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，切线斜率为1， 所以倾斜角为45︒. ∴答案为:45︒. 【点睛】本题考查利用换元法和方程思想求函数的解析式，利用导数的几何意义研究函数的切线问题，涉及对数函数的导数公式和导数的运算，属小综合题，关键点在于利用换元法和方程思想求得函数的解析式，在于对数函数的导数公式的准确性掌握，难度一般.18．【分析】由题得即得所以设利用导数求函数的最值即可【详解】由导数的几何意义知点处的切线的斜率为点处的切线的斜率为函数的图象在点处的切线互相垂直时有由可得即因为所以所以设可得即在递增可得有最大值故答案为 解析：e【分析】由题得12xx e =，即得21>x ，101x <≤.所以1211x x x x e =，设()(01)x h x xe x =<，利用导数求函数的最值即可. 【详解】由导数的几何意义知，点A 处的切线的斜率为1()f x '，点B 处的切线的斜率为2()f x '， 函数()f x 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，有12()()1f x f x ''=-，由(1)x x e e -'=-，1()lnx x'=，可得1211x e x -=-，即12x x e =， 因为21>x ，所以101x <≤. 所以1211x x x x e =，设()(01)x h x xe x =<，可得()(1)0x h x x e '=+>， 即()h x 在(0，1]递增，可得()h x 有最大值11=e e ⨯， 故答案为：e【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．【分析】求出利用两切线垂直可以得到参变分离后可得令换元后可求函数的值域从而得到实数的取值范围【详解】存在使得即令∴故∴答案为【点睛】解决曲线的切线问题核心是切点的横坐标因为函数在横坐标处的导数就是切解析：31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】求出()()00,f x g x ''，利用两切线垂直可以得到()()00121ax a x -+⋅-=-，参变分离后可得0003121x a x x -=⋅-+，令03t x =-，换元后可求函数0003121x y x x -=⋅-+的值域，从而得到实数a 的取值范围. 【详解】()(1)x f x ax a e '=-+，()(2)x g x x e -'=-，存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()001f x g x ''⋅=-，即()()00121ax a x -+⋅-=-,()001112a x x -⋅+=+-,0003121x a x x -=⋅-+，令0333,2t x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，14(4)(1)5t y t t t t==++++,13443t t -≤+≤-，∴312y ≤≤，故312a ≤≤，∴答案为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.含参数的方程的有解问题，可通过参变分离把问题转化为不含参数的函数的值域问题.20．【解析】【分析】先由函数求f′（x ）＝﹣x ﹣3再由函数f （x ）x2﹣3x+4lnx 在(tt+1)上不单调转化为f′（x ）＝﹣x ﹣30在区间（tt+1）上有解从而有0在（tt+1）上有解进而转化为：x 解析：()0,1【解析】 【分析】先由函数求f ′（x ）＝﹣x ﹣34x +，再由“函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx 在(t ，t +1)上不单调”转化为“f ′（x ）＝﹣x ﹣34x +=0在区间（t ，t +1）上有解”从而有234x x x+-=0在（t ，t +1）上有解，进而转化为：x 2+3x ﹣4＝0在（t ，t +1）上有解，进而求出答案． 【详解】 ∵函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx ， ∴f ′（x ）＝﹣x ﹣34x+， ∵函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx 在（t ，t +1）上不单调， ∴f ′（x ）＝﹣x ﹣34x+=0在（t ，t +1）上有解 ∴234x x x+-=0在（t ，t +1）上有解∴g （x ）＝x 2+3x ﹣4＝0在（t ，t +1）上有解， 由x 2+3x ﹣4＝0得：x ＝1，或x ＝﹣4（舍）， ∴1∈（t ，t +1）， 即t ∈（0，1），故实数t 的取值范围是（0，1）， 故答案为（0，1）． 【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性与极值的关系，考查了转化思想，属于中档题．三、解答题21．（1）0；（2）1(,]2-∞. 【分析】（1）当0a =时，求导可得()1xf x e '=-，令()0f x '=，解得0x =，分别讨论(),0x ∈-∞和()0,∞+时，()'f x 的正负，即可得()f x 的单调性，即可求得答案；（2）求导可得()21xf x e ax '=--，设()21(0)xh x e ax x =--≥，分别讨论12a ≤和12a >时()h x '的正负，可得()h x 的单调性，进而可得()f x 的单调性，综合分析，即可得答案. 【详解】 （1）当0a =时，()1x f x e x =--，则()1xf x e '=-，令()0f x '=，解得0x =，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞单调递减函数； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+单调递增函数； 所以()()min 00f x f ==.（2）()21xf x e ax x =---，则()21xf x e ax '=--，设()21(0)xh x e ax x =--≥，则()2xh x e a '=-，当12a ≤时，()0h x '≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数， 又(0)0h =，所以()(0)0h x h ≥=，即()0f x '≥， 所以()f x 在在[)0,+∞上为增函数，又(0)0f =， 所以()(0)0f x f ≥=，满足题意；当12a >时，令()0h x '=，解得ln2x a =，当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，所以()h x 在(0,ln 2)a 为减函数， 所以当[0,ln 2)x a ∈时，()(0)0h x h ≤=，即()0f x '≤， 所以()f x 在[0,ln 2)x a ∈为减函数，又(0)0f = 所以()(0)0f x f ，不满足题意，综上：a 的取值范围是1(,]2-∞ 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求解函数单调性，极（最）值的方法，若处理恒成立问题时，需满足min ()0f x ≥，若处理存在性问题时，需满足max ()0f x ≥，需仔细审题，进行求解，属中档题. 22．答案见解析 【分析】先求得()f x 的导函数()'fx ，然后对a 分成2a =或1a =-、1a <-或2a >、1a 2-<<等情况进行分类讨论，由此判断()f x 的单调性.【详解】()()()()()'22226621262f x x a a x a a x x a a =--++-=--+，由'0fx，得2x a a =-或2x =，由22a a -=，得1a =-或2a =，当2a =或1a =-时，()()2'620f x x =-≥；当1a <-或2a >时，2>2a a -，()f x 在区间(),2-∞和()2,a a -+∞上，()'0f x >；()22,x a a ∈-，()'0f x <.当1a 2-<<时，22a a -<，()f x 在区间()2,a a -∞-和()2,+∞上，()'0fx >；()2,2x a a ∈-，()'0f x <.综上所述：当2a =或1a =-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当1a <-或2a >时，()f x 在(),2-∞，()2,a a -+∞上单调递增，在()22,a a -上单调递减；当1a 2-<<时，()f x 在()2,a a -∞-，()2,+∞上单调递增，在()2,2a a -上单调递减.【点睛】含参数分类讨论函数的单调性，关键是制定分类标准，可根据导函数零点的分布来制定分类标准.23．（1）54a =；（2）单调递减区间是()0,5，单调递增区间是()5,+∞. 【分析】（1）求导，使()12f '=-求解a 的值；（2）将（1）中所求a 的值代入，求解()0f x '>和()0f x '<的区间，从而得出函数()f x 的单调区间.【详解】（1）对()f x 求导得()2114a f x x x=--'， 由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =， 知()3124f a '=--=-，解得54a =. （2）由（1）知()()53ln 0442x f x x x x =+-->，则()22454x x f x x'--=， 令()0f x '=，解得1x =-或5x =，因为1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，所以舍去. 当()0,5x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,5内单调递减； 当()5,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()5,+∞内单调递增. 故()f x 的单调递减区间是(0，5)，单调递增区间是()5,+∞. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求解，难度一般.24．（1）()f x 的单调递减区为(0,1)，单调递增区间为[1,)+∞.（2）21b e -≤- 【分析】（1）求导后，利用()0f x '>可得单调递增区间，()0f x '<可得单调递减区间； （2）求导后，利用()01f '=可得1a =，将()2f x bx ≥-转化为1ln 1xb x x≤+-，构造函数1ln ()1xg x x x=+-，利用导数求出()g x 的最小值即可得解. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为1a =，所以()1ln =--f x x x ，所以1()1f x x '=-1x x-=， 令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x <<，所以()f x 的单调递减区为(0,1)，单调递增区间为[1,)+∞.（2）因为11()ax f x a x x'-=-=，且函数()f x 在1x =处取得极值， 所以()01f '=，即10a -=，解得1a =，由（1）知，1a =满足题意，所以()1ln =--f x x x ，由已知对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，得1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1x b x x≤+-对()0,x ∀∈+∞恒成立，， 令1ln ()1x g x x x=+-，则2211ln ()x g x x x -'=--2ln 2x x -=， 令()0g x '>，得2x e >，令()0g x '<，得20x e <<， 所以()g x 在2(0,)e 上递减，在2[,)e +∞上递增， 所以当2x e =时，()g x 取得最小值，最小值为22222121()111g e e e e e-=+-=-=-， 所以21b e -≤-.【点睛】 本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用函数的极值求参数，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.25．（1）1y x =-；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）22,1e e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭. 【分析】（1）先(1)11ln10f =--=，再求导211()1f x x x'=+-，从而可得切线的斜率为11(1)1111f '=+-=，然后利用点斜式写出切线方程即可； （2）先求出导函数，要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0f x '≥在(0,)+∞内恒成立，然后将a 分离，利用基本不等式可求出实数a 的取值范围；（3）根据()e g x x=在[1,e]上的单调性求出函数的值域，然后根据（2）可求出()f x 的最大值，要使在[1,e]上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x ≥成立，只需max min ()()f x g x ≥，然后建立不等式，即可求出实数a 的取值范围【详解】（1）当1a =时，函数1()ln f x x x x=--， ∴(1)11ln10f =--=，211()1f x x x '=+-， 曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为11(1)1111f '=+-=.从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-，（2）2221()a ax x a f x a x x x -+'=+-=. . 要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0f x '≥在(0,)+∞内恒成立.即：20ax x a -+≥得2111x a x x x≥=++恒成立. ∵12x x +≥，∴1112x x≤+，∴12a ≥. ∴()f x 在(0,)+∞内为增函数，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭法二：2221()a ax x a f x a x x x-+'=+-= 当0a ≤时，()0f x '<在定义域内恒成立，不合题意舍当0a >时，2140a ∆=->即102a <<方程20ax x a -+=有两解1x ，2x ， 1210x x a+=>，1210x x => 故20ax x a -+=在(0,)+∞恒有两解，()0f x '≥不恒成立，不合题意舍去； 2140a ∆=-≤即12a ≥，20ax x a -+≥即22()0ax x a f x x -+'=≥在(0,)+∞内恒成立，函数()f x 在其定义域内为增函数所以实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）∵()e g x x=在[1,]e 上是减函数 ∴x e =时，min ()1g x =，1x =时，max ()g x e =，即()[1,]g x e ∈ 由（2）知，当12a ≥；在定义域(0,)+∞内是增函数，即1()1,1f x a e e ⎡⎤⎛⎫∈--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 存在0[1,]x e ∈，()()00f x g x ≥只需满足max min ()()f x g x ≥，[1,e]x ∈， 即1ln 1a e e e ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，解得221e a e ≥- . ∴实数a 的取值范围是22,1e e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】此题考查了导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了数学转化思想，属于中档题26．（1）(]0,1；（2）3a ≥-.【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()01f '=求得b ，并检验，然后由()0f x '<确定减区间；（2）同样求出()'g x ，然后由()0g x '≥在[1,2]上恒成立得a 的范围．【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2(0,,)1b f x xx x +'=-∈+∞. 因为1x =是()2f x x ln b xx =++的一个极值点， 所以(1)0f '=，即210b -+=. 解得3b =，经检验，适合题意，所以3b = 因为222313()22f x x x x x x +-+='=-， 解()0f x '<，得01x <<.所以函数()f x 的单调递减区间为(]0,1.（2）()()23(0)a g x f x x l a x xnx x =-=+->+， 2()01(2)a x g x xx '=>++. 因为函数()g x 在[]1,2上单调递增，所以()0g x '≥在[]1,2上恒成立， 即2201a x x++≥在[]1,2上恒成立， 所以22a x x ≥--在[]1,2上恒成立， 所以[]2(2),1,2max a x x x ≥--∈.因为在[]1,2上，2(2)3max x x --=-，所以3a ≥-.【点睛】本题考查由导数研究函数的极值、单调性，考查由单调性确定参数范围，解题关键是的转化，单调性转化为不等式恒成立，再转化为求函数最值．本题旨在考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，转化与化归能力．。
(典型题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数()5332f x x x x =+++，若()()24f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(),2-∞C ．()1,+∞D ．()2,+∞2．已知函数()322213x f x ax bx c ++=+，函数()f x 的两个极值点分别在区间()0,1与()1,2内，则2+a b 的取值范围为 （ ）A ．()3,1--B ．()2,1--C ．()1,-+∞D ．()3,-+∞3．已知函数222,0()11,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2⎡⎤-⎣⎦B ．(],1-∞C ．()2-D ．2⎡⎤-⎣⎦4．若函数()321233f x x x =+-在 区间(),5a a +内存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)5,0-B ．()5,0-C ．[)3,0-D ．()3,0-5．若幂函数()f x 的图象过点12⎫⎪⎪⎝⎭，则函数()()e x f x g x =的递减区间为（ ） A ．()0,2 B ．(),0-∞和()2,+∞ C ．()2,0-D ．()(),02,-∞+∞6．函数()f x x =，2()=g x x 在[0,1]的平均变化率分别记为12,m m ，则下面结论正确的是 A ．12m m = B ．12m m C ．21m mD ．12m m ，的大小无法确定7．已知函数()21,20ln ,0x x f x x x e⎧--≤≤=⎨<≤⎩，方程()f x a =恰有两个不同的实数根1x 、()212x x x <，则212x x +的最小值与最大值的和（ ）A ．2e +B ．2C ．36e -+D ．34e -+8．定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，若()01f =，则不等式()xf x e >的解集为（ ）A ．()01，B ．()1+∞，C ．()1-∞，D ．()0-∞，9．若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．0B ．6πC ．3π D ．π10．已知函数()[]1sin ,0,3f x x x x π=-∈且[]001cos ,0,3x x π=∈那么下列命题中真命题的序号是（ ）①()f x 的最大值为()0f x ； ②()f x 的最小值为()0f x ； ③()f x 在上[]0,π是减函数； ④()f x 在上[]0,x π上是减函数. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．已知()f x 的定义域为(0,)+∞，fx 为()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x <-，则不等式(1)(1)f x x +>-()21f x -的解集是（ ）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,12．若f ′(x 0)＝－3，则()()0003limh f x h f x h h→+--等于( )A ．－3B ．－6C ．－9D ．－12二、填空题13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()xf x f x '<，若()10f =，则不等式()0f x x>的解集为________. 14．已知函数()332f x x x =+，()2,2x ∈-，如果()()1120f a f a -+-<成立，则实数a 的取值范围为__________．15．若关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为________.16．已知函数()xf x a x e =-有3个零点，则实数a 的取值范围为_______________. 17．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为2-，则()()000lim x f x x f x x→--=△△△______.18．若0<x 1<x 2<1，且1<x 3<x 4，下列命题：①3443ln ln x x e e x x ->-；②2121ln ln x x ee x x ->-；③3232x x x e x e <；④1221x xx e x e >；其中正确的有___________19．已知函数f(x)＝x 3－2x 2＋x ＋a ，g(x)＝－2x ＋9x，若对任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[2,4]，使得f(x 1)＝g(x 2)，则实数a 的取值范围是________．20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e =__________． 三、解答题21．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.22．已知函数()(1)ln f x x x ax a =++-.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若[1,)x ∈+∞时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 23．设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++ （1）求函数()f x 的极值； （2）若方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个实数解，求t 的取值范围； （3）证明：当0m n >>时，(1)(1)n mm n +<+.24．已知直线:(0)l y kx b b =+>与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点，P 是抛物线C 上异于A 、B 的一点，若PAB △重心的纵坐标为13，且直线PA 、PB 的倾斜角互补． （Ⅰ）求k 的值．（Ⅱ）求PAB △面积的取值范围． 25．设函数22()ln 2x f x k x =-，0k >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,上仅有一个零点． 26．（1）求曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程. （2）求函数()316f x x x =+-过点()0,0的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意，设()()5323g x f x x x x =-=++，分析可得()g x 为奇函数且在R 上为增函数，据此可得原不等式等价于()()2g a g a >-，结合函数的单调性可得2a a >-，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，设()()5323g x f x x x x =-=++，其定义域为R ，则()()()533g x x x x g x -=-++=-，则()g x 为奇函数，又由()425910g x x x '=++>，则()g x 在R 上为增函数，故()()()()()()24222222f a f a f a f a f a f a ⎡⎤+->⇒->--+⇒->---⎣⎦()()2g a g a ⇒>--()()2g a g a ⇒>-，必有2a a >-，解得1a >，即a 的取值范围为()1,+∞. 故选：C ． 【点睛】利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可；（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可.2．B解析：B 【分析】求得()22f x x ax b '=++，根据题意可得出()()()001020f f f '''⎧>⎪<⎨⎪>⎩，利用不等式的基本性质可求得2+a b 的取值范围. 【详解】由()322213x f x ax bx c ++=+，求导()22f x x ax b '=++，因为函数()f x 的两个极值点分别在区间()0,1与()1,2内， 即方程220x ax b ++=的两个根分别在区间()0,1与()1,2内，即()()()020*********f b f a b f a b ⎧=>⎪=++<⎨⎪=++>''⎩'，则0212b a b a b >⎧⎪+<-⎨⎪+>-⎩， 所以，()22a b a b b +=++>-. 综上所述，2+a b 的取值范围是()2,1--. 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解.3．A解析：A 【分析】作出函数()f x 的图象，利用数形结合的思想判断a 的范围，找出临界点即相切时a 的取值，进而得出a 的范围． 【详解】作出()f x 的图象，如图，由图象可知： 要使()f x ax 恒成立，只需函数()g x ax =的图象恒在图象()f x 的下方， 可得1a ，设()g x ax =与函数2()22(0)f x x x x =++相切于点(),(0)P m n m <， 由()f x 的导数为22x +，可得切线的斜率为22m +， 即有22a m =+，222am m m =++， 解得2m =-，222a =-由图象可得222a -，综上可得a 的范围是[222-，1]． 故选：A 【点睛】解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.4．C解析：C 【分析】利用导数求出函数()f x 的极小值为()203f =-，由题意可知()0,5a a ∈+，再由()()0f x f =求得x 的值，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】解：由题意，()()222f x x x x x '=+=+，当2x <-或0x >时，()0f x '>；当20x -<<时，()0f x '<. 故()f x 在(),2-∞-，()0,∞+上是增函数，在()2,0-上是减函数， 所以，函数()f x 的极小值为()203f =-. 作其图象如图，令32122333x x +-=-得3230x x +=，解得0x =或3x =-， 结合图象可知3050a a -≤<⎧⎨+>⎩，解得，[)3,0a ∈-.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数在区间上存在最值求参数，解本题的关键就是弄清楚函数()f x 的极小值点在区间(),5a a +内，通过求得()()30f f -=，数形结合得出实数a 所满足的不等式组，综合性较强.5．B解析：B 【分析】根据条件先求解出()f x 的解析式，然后利用导数求解出()()ex f x g x =的单调递减区间. 【详解】因为()f x为幂函数，且过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以设()f x x α=，所以1=22α⎛ ⎝⎭，所以2α=，所以()2f x x =，所以2()ex x g x =，则(2)()e x x x g x '-=，当2x >或0x <时，()0g x '<；当02x <<时，()0g x '>， 所以()()e xf xg x =的递减区间为(),0-∞和()2,+∞， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求解完()f x 的解析式之后，根据()0f x '<去分析()f x 的单调递减区间.6．A解析：A 【解析】因为1m =1,21010m -=-=1,所以12m m =，选A. 7．C解析：C 【分析】作出函数()y f x =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围，将21x 、2x 用a 表示，可将212x x +表示为以a 为自变量的函数，利用导数可求得212x x +的最大值和最小值，进而可求得结果. 【详解】作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，当31a -≤≤时，直线y a =与函数()y f x =的图象有两个交点()1,x a 、()2,x a ，12x x <，则2121ln x a x a ⎧-=⎨=⎩，可得2121ax a x e⎧=-⎨=⎩，则2121ax x e a +=-+， 构造函数()1xx g x e =-+，其中31x -≤≤，则()1xg x e '=-.当-<3≤0x 时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减； 当01x <≤时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增. 所以，()()min 02g x g ==，()334g e --=+，()1g e =，显然()()31g g ->，()()3max 34g x g e -∴=-=+.因此，212x x +的最大值和最小值之和为33426e e --++=+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求解代数式的最值，解题的关键就是将212x x +表示为以a 为自变量的函数，考查计算能力，属于中等题.8．D解析：D 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，用导数法得到()g x 在R 上递减，然后由()01f =，得到()01g =，再利用函数的单调性定义求解.【详解】 令()()x f x g x e=，因为()()f x f x '<， 则()()()0xf x f xg x e'-'=<， 所以()g x 在R 上递减，又()01f =，则()01g =， 不等式()xf x e >等价于()()10xf xg e>= ， 所以0x <. 故选：D 【点睛】本题主要考查函导数与函数的单调性以及函数单调性解不等式，还考查了构造函数求解问题的能力，属于中档题.9．B解析：B 【分析】先对函数()f x 求导，采用赋值的方式计算出()0f '的结果，由此计算出6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值. 【详解】因为()()20sin 1f x x f x ''=-+，所以令0x =，则()01f '=，所以()2sin 1f x x x '=-+，则66f ππ⎛⎫'= ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查导数中的计算，采用赋值法求解出函数解析中的未知量是解答的关键，难度一般.10．B解析：B 【解析】本题考查导数及函数的最值、单调性 由()1sin 3f x x x =-得()/1cos 3f x x =- 令()/1cos 03fx x =-=有1cos 3x =；因为01cos 3x =，则0x 为函数()1sin 3f x x x =-的一个极值点.当[]0,x π∈时，函数cos y x =递减，所以当()00,x x ∈时()/0f x >，函数递增，则③错误，；当()0,x x π∈时()/0fx <，函数递减，④正确．故0x 是函数的一个极大值点且唯一，故此点也是最大值点，①正确，②错误. 故正确答案为①④ 所以本题选B11．B解析：B 【分析】构造函数()()F x xf x =，再根据单调性解不等式，即得结果. 【详解】令()()F x xf x =，则()()()0F x f x xf x ''=+<，所以()F x 在(0,)+∞上单调递减(1)(1)f x x +>-()21f x -，2(1)(1)(1)x f x x ∴++>-()21f x -，2(1)(1)F x F x ∴+>-， 2011,2x x x ∴<+<-∴>，故选：B 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.12．D解析：D 【分析】 由于f ′(x 0)＝()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆＝－3，而()()0003limh f x h f x h h→+--的形态与导数的定义形态不一样，故需要对()()0003limh f x h f x h h→+--转化成()()()()000003limh f x h f x f x f x h h→+-+--利用()()()()000003 limh f x h f x f x f x h h→+-+--＝()()()()000003lim3lim3h h f x h f x f x h f x hh→→+---+⋅-即可求解. 【详解】 f ′(x 0)＝()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆＝－3，()()0003limh f x h f x h h→+--＝()()()()000003limh f x h f x f x f x h h→+-+--＝()()()()000003lim 33h f x h f x f x h f x h h →⎡⎤+---+⋅⎢⎥-⎣⎦＝()()()()000003lim3lim3h h f x h f x f x h f x hh→→+---+⋅-＝f ′(x 0)＋3f ′(x 0)＝4f ′(x 0)＝－12. 答案：D 【点睛】本题主要考察导数的定义和极限的运算，本题的难点在于要把极限化成导数定义的形态，需要对分式进行合理变形.属于中等题.二、填空题13．【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根 解析：()()1,00,1-【分析】 令()()f xg x x=，对其求导，由0x >时，()()xf x f x '<，可知()0g x '<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减，由()f x 的奇偶性，可得()g x 是定义域上的偶函数，从而可得出()g x 在(),0-∞上的单调性，再结合()()110g g -==，可求出()0g x >的解集.【详解】 由题意，令()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x'-'=， 因为0x >时，()()xf x f x '<，则()()()20xf x f x g x x'-'=<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知()g x 在(),0-∞上单调递增，且()()()11101f g g -===，所以()()1,00,1x ∈-时，()0g x >.故答案为：()()1,00,1-.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数()()f xg x x=，求导并结合当0x >时，()()xf x f x '<，可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．14．【详解】因为恒成立所以在R 上递增又所以为奇函数则可化为由递增得解得：0＜a ＜故答案为解析：3(0,)2【详解】因为23+6x 0f x '=（）＞恒成立，所以f x （）在R 上递增， 又f x f x =（﹣）﹣（），所以f x （）为奇函数，则1120f a f a +（﹣）（﹣）＜，可化为121f a f a （﹣）＜（﹣）， 由f x （）递增，得1212122212a a a a --⎧⎪--⎨⎪--⎩＜＜＜＜＜，解得：0＜a ＜32，故答案为302⎛⎫⎪⎝⎭，．15．【分析】本题现将不等式运用参变分离化简为再构造新函数求最大值最后求实数a 的取值范围【详解】解：∵不等式在区间上有解∴不等式在区间上有解∴不等式在区间上有解令（）则∴当时单调递减∴不等式在区间上有解即 解析：(,1)-∞【分析】本题现将不等式220x ax +-<运用参变分离化简为2a x x<-，再构造新函数2()f x x x=-求最大值，最后求实数a 的取值范围. 【详解】解：∵ 不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解， ∴ 不等式22x a x-<在区间[1,4]上有解，∴ 不等式2a x x<-在区间[1,4]上有解， 令2()f x x x =-，（14x ≤≤），则22'()1f x x=--， ∴ 当14x ≤≤时，'()0f x <，()f x 单调递减，∴ max 2()(1)111f x f ==-= 不等式2a x x<-在区间[1,4]上有解，即max ()a f x∴1a <故答案为：(,1)-∞ 【点睛】本题考查不等式存在性问题，借导函数研究原函数单调性求最大值，是中档题.16．【分析】对参数的取值分类讨论特别地考虑当时利用导数的几何意义求得相切状态时参数的临界值即可数形结合求得参数范围【详解】函数有3个零点也即的图象有3个交点当时没有零点故舍去；当时故此时也没有零点故舍去 解析：a e >【分析】对参数a 的取值分类讨论，特别地考虑当0a >时，利用导数的几何意义，求得相切状态时参数a 的临界值，即可数形结合求得参数范围. 【详解】函数()f x 有3个零点，也即,xy e y a x ==的图象有3个交点.当0a =时，()xf x e =没有零点，故舍去；当0a <时，0xa x e ≤<，故此时()f x 也没有零点，故舍去；当0a >时，画出,xy e y a x ==的函数图象，如下所示：数形结合可知，当a 大于,(0)y ax x =>与xy e =相切时切线的斜率即可.不妨设此时切线斜率为k ，切点为(),m n ，又xy e '=，则mm n e k e m m===，解得1m =，故可得k e =.即,(0)y ax x =>与xy e =相切时切线的斜率为1， 故要满足题意，只需a e >. 故答案为：a e >. 【点睛】本题考查由函数零点个数求参数范围，以及导数的几何意义，涉及数形结合的数学思想，属综合中档题.17．2【分析】根据函数在处导数为2得然后对进行变形利用导数定义即可得出为2【详解】解：依题意有所以故答案为：2【点睛】本题考查导数的定义关键是导数定义的等价变形属于基础题解析：2【分析】根据函数()y f x =在0x 处导数为2得()()000lim2x f x x f x x→-=-△+△△，然后对()()000limx f x x f x x →--△△△进行变形，利用导数定义即可得出为2.【详解】 解：依题意有()()000lim2x f x x f x x→-=-△+△△，所以()()()()()()000000000limlim lim 2x x x f x x f x f x x f x f x x f x x x x→→→-----=-=-=△△△△△+△△-△△.故答案为：2. 【点睛】本题考查导数的定义，关键是导数定义的等价变形，属于基础题.18．①④【分析】令求导后求得函数的单调性后即可判断①②；令求导求得函数的单调性后即可判断③④；即可得解【详解】令则易知当时单调递增由则存在使得当时单调递减；当时单调递增；当时即此时故②错误；即故①正确；解析：①④ 【分析】 令()()ln 0x f x e x x =->，求导后求得函数()f x 的单调性后，即可判断①、②；令()()0xe h x x x=>，求导求得函数()h x 的单调性后，即可判断③、④；即可得解.【详解】令()()ln 0x f x e x x =->，则()1x f x e x'=-， 易知当()0,x ∈+∞时，()f x '单调递增， 由131303f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()110f e '=->， 则存在01,13x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00f x '=， ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；1201x x ，∴当02x x =时，()()21f x f x <即2121ln ln x x e x e x -<-，∴此时2121ln ln x x e e x x -<-，故②错误；341x x <<，∴()()43f x f x >即3443ln ln x x e x e x ->-， ∴3443ln ln x x e e x x ->-，故①正确；令()()0xe h x x x =>，()()21x e x h x x -'=， ∴当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；2301x x <<<，∴()2h x 与()3h x 的大小无法确定即23x x e 、32x x e 的大小无法确定，故③错误；121x x ，∴()()21h x h x <即2121x x e e x x <，∴1221x x x e x e >，故④正确.故答案为：①④. 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了构造新函数的能力和推理能力，属于中档题.19．【解析】【分析】分别求出g （x ）f （x ）的最大值和最小值得到不等式组解出即可【详解】问题等价于f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集显然g （x ）单调递减∴g （x ）max=g （2）=g （x ）min=g （解析：73,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】分别求出g （x ），f （x ）的最大值和最小值，得到不等式组，解出即可． 【详解】问题等价于f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集， 显然，g （x ）单调递减，∴g （x ）max =g （2）=12，g （x ）min =g （4）=﹣234； 对于f （x ），f ′（x ）=3x 2﹣4x+1，令f′（x ）=0，解得：x=13或x=1， x ，f′（x ），f （x ）的变化列表如下：max min ∴1222344a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，∴a ∈[﹣74，﹣32]， 故答案为：[﹣74，﹣32]． 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．20．-1【解析】分析：先求导数解得代入解得详解：因为所以所以因此点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化解析：-1. 【解析】分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e . 详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1()2()f x f e x''=+ 所以11()2()(),f e f e f e e e''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e=-+=-，点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性；（2）构造函数2()ln x x e x ϕ-=-，利用导数可得()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则可得()0()0x x ϕϕ≥>，即得证.【详解】 （1）11()(0)ax f x a x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）设函数2()ln x x e x ϕ-=-，则21()x x exϕ-'=-，可知()x ϕ'在(0,)+∞上单调递增. 又由(1)0ϕ'<，(2)0ϕ'>知，()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则()020010x x e x ϕ-'=-=，即0201x e x -=.当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减； 当()0x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；所以()0200()ln x x x ex ϕϕ-≥=-，结合021x e x -=，知002ln x x -=-， 所以()()22000000001211()20x x x x x x x x x ϕϕ--+≥=+-==>，则2()ln 0x x e x ϕ-=->， 即不等式2()x e ax f x --≥恒成立.【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明2()ln x x e x ϕ-=-的最小值大于0.22．（1）440x y --=；（2）2a ≥-. 【分析】（1）先写出当2a =时，()f x 解析式，再求导，根据导数的几何意义可得4k =切，再由点斜式写出切线的方程．（2）先求出()f x '，在求出()f x ''，通过分两种情况2a -，2a <-，讨论()f x ''的正负，进而得()f x '的增减性，推出()f x '最小值的范围，进而判断()0f x 是否恒成立，即可得出答案． 【详解】解（1）当2a =时，()(1)ln 22f x x x x =++-，1()ln 2x f x x x+'=++，(1)4f '=，所以切线斜率4k =，又(1)0f =，所以切线方程为4(1)y x =-，即440x y --=. （2）11()ln ln 1x f x x a x a x x +'=++=+++，22111()x f x x x x-''=-=. 当[1,)x ∈+∞时，()0f x ''≥，所以()'f x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)2f x f a ''≥=+.①当20a +≥即2a ≥-时，()0f x '≥，所以()f x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f ≥=，满足题意.②当20a +<即2a <-时，必存在0(1,),x ∈+∞当0[1,),()0x x f x '∈<，0(,),()0x x f x '∈+∞>，所以()f x 在0[1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以min 0()()(1)0f x f x f =<=，所以()0f x ≥不恒成立，所以2a <-不满足题意.综上，a 的取值范围为2a ≥-. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 23．（1）0；（2）11[ln 2,0)22-+；（3）证明见详解. 【分析】（1）首先明确定义域，再求导()ln(1)f x x '=-+，所以()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，即可得解；（2）实际研究直线x t =与函数()y f x =图像交点有两个的情况，由（1）知()f x 在1[,0]2-上单调递增，在[0,1]上单调递减，且1(1)()2f f <-，所以当11[,ln 2,0)22t ∈-+时，方程()f x t =有两解．（3）首先将两变量分离，这要用到取对数，即ln(1)ln(1),n m m n +<+因此只需证ln(1)ln(1)m n m n++<，即证ln(1)(),(0)x g x x x+=>为单调减函数，可利用导数2ln(1)1()xx x g x x-+'+=，再结合（1）的结论可证. 【详解】（1）由()(1)ln(1)f x x x x =-++，定义域为()1,-+∞，()ln(1)f x x '=-+，()ln(1)00f x x x '=-+=⇒=，当10x -<<时，()()0,f x f x '>单调递增， 当0x >时，()()0,f x f x '<单调递减， 所以0x =为函数的极大值点，则函数()f x 的极值为(0)0(01)ln(01)0f =-++=. （2）由（1）知，()f x 在1[,0]2-上单调递增， 在(]0,1上单调递减，又111(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222f f f ==--=-+， ∴ 135(1)()ln 20222f f --=-<． ∴ 当11[ln 2,0)22t ∈-+时，方程()f x t =有两解． （3）∵ 0m n >>.∴ 要证：(1)(1)n m m n +<+只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+， 只需证：ln(1)ln(1)m n m n ++<． 设ln(1)(),(0)x g x x x+=>， 则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)xx x x x x g x x x x -+-+++=+'=． 由（1）知()(1)ln(1)f x x x x =-++在(0,)+∞单调递减， 又()00f =，∴ (1)ln(1)0x x x -++<， 即()g x 是减函数，而m n >． ∴ ()()g m g n <，故原不等式成立． 【点睛】关键点睛：要证：(1)(1)n mm n +<+只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+，只需证：ln(1)ln(1)m n m n ++<，构造函数ln(1)(),(0)x g x x x+=>是解决本题的关键. 24．（Ⅰ）2；（Ⅱ）30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（Ⅰ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，利用斜率公式得到直线PA 、PB 、AB 的斜率，根据直线PA 、PB 的倾斜角互补．得到01220y y y ++=，根据三角形的重心的坐标公式可得122y y +=，从而可得2k =；（Ⅱ）联立直线:2l y x b =+与抛物线方程，根据弦长公式求出||AB ，利用点到直线的距离公式求出AB 边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可. 【详解】（Ⅰ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则010122010101444PA y y y y k y y x x y y --===-+-，同理可得021244,PBAB k k y y y y ==++， 因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，所以0102440y y y y +=++， 即01220y y y ++=， 又PAB △重心的纵坐标为13，根据三角形的重心的坐标公式可得0121y y y ++=， 所以122y y +=，所以422AB k k ===． （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线:2l y x b =+，与抛物线方程联立，并整理得2244(1)0x b x b +-+=，其判别式22116(1)1602b b b ∆=-->⇒<，所以102b <<．而212111,4b x x b x x +=-=，因此，||AB ===又由（Ⅰ）知，01y =-，所以200144y x ==，所以1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线:20l x y b -+=的距离为1|21|b d ⨯++==所以113||222PABS AB d b ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭△ 令231()(12),022f b b b b ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2333()2122(61)0222f b b b b b b ⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=-++-⨯+=-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，故()f b 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以9()(0,)4f b ∈，故30,4PAB S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】结论点睛：本题中用到的结论：①三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形的重心的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，②弦长公式：||AB =能力，属于中档题.25．（Ⅰ）()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 极小值2(12ln )2k k -；（Ⅱ）证明见解析． 【分析】（Ⅰ）求函数导数，分析函数的单调性即可得极值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为2(12ln )()2k k f k -=，由()0f k ≤得k k =k >.【详解】（Ⅰ）由22()ln 02 ()x f x k x k >=-得222()k x k f x x x x-'=-=． 由()0f x '=解得x k =．()f x 与()'f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 在x k =处取得极小值2(12ln )()2k k f k -=，无极大值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为2(12ln )()2k k f k -=．因为()f x 存在零点，所以2(12ln )02k k -≤，从而k当k =()f x 在区间(1,上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间(1,上的唯一零点．当e k >时，()f x 在区间(0,e)上单调递减，且1(1)02f =>， 2e (e)02k f -=<， 所以()f x 在区间(1,e]上仅有一个零点． 综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,e]上仅有一个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： 先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；构造新函数，将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；分离参变量，即由()0f x =分离参变量，得()a x ϕ=，研究直线y a =与()y x ϕ=的图像的交点问题.26．（1）21y x =+；（2）13y x =【分析】（1）对函数求导，代入切点横坐标即可得出斜率，进而可得结果.（2）设切点坐标3000(,16)+-P x x x ，用导数求出切线斜率，再用两点坐标求出斜率，列方程，即可求出切点坐标，进而求出切线方程.【详解】（1）()()222222x xy x x +-==++'，1|2x k y =-'==切线方程为：(1)2(+1)--=y x ，即2+1=y x（2）设切点为3000(,16)+-P x x x2'()3+1=f x x ，()32000001631x x k f x x x +-=='=+，解得0-2=x (-2,-26)P ，切线方程为：(26)13(2)--=+y x ，即13y x =【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力，属于基础题目.。
新人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．若函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤- B ．2a ≤ C ．1a ≥- D ．1a ≤2．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（ ）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b > 3．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（e ，4）B ．（e 14+，4]C ．（e 14+，4）D ．（14，4] 4．设函数21()9ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．(]0,3C ．[)4,+∞D ．(],2-∞ 5．已知函数f (x )(x ∈R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>12，则不等式1()22x f x <+的解集（ ）A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－1，1) 6．若()()21ln 22f x x b x =-++在[)1,-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．(],1-∞- C ．[)1,+∞ D ．(],1-∞ 7．已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，满足x R ∀∈，()()f x f x '>且(1)f e =，则不等式(ln )f x x <的解集为（ ）A ．(,)e +∞B ．(1,)+∞C ．(0,) eD ．(0,1) 8．函数()3sin cos 2x x f x x x =+在[]2,2ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[2,1]- D ．[2,0]-10．已知函数()cos ln f x x x =-+，则()1f '的值为（ ）A ．sin11-B ．1sin1-C ．1sin1+D ．1sin1--11．设曲线12x y x +=-在点(1,2)-处的切线与直线0ax by c -+=垂直，则a b 的值为（ ）A ．13B ．13- C ．3 D ．-312．R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()20f =，则不等式2()x x e f x e e <-的解集为（ ）A ．()(),00,2∞⋃-B ．()(),02,-∞+∞ C ．()0+∞，D ．(),2∞- 二、填空题13．已知曲线()32351f x x x x =+-+，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，则点P 的横坐标为______________.14．函数y x b =+的图象与函数122y x =的图象有且仅有一个公共点，则实数b 的取值范围为_________.15．已知x y ，均为正实数.1x y +=.则1y x y+的最小值为________． 16．函数()2()cos 12f x xf x π'=-+的图象在点()()0,0f 处的切线方程为______. 17．函数32()22=-f x x x 在区间[1,2]-上的最大值是___________.18．已知函数()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈的最小值为2，则实数m 的值为____________． 19．设函数f （x ）在（0，+∞）可导，其导函数为f′（x ），若f （lnx ）=x 2﹣1nx ，则f′（1）=_____20．函数sin x y x e =+在点(0,1)处的切线方程是__________．三、解答题21．已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(),+ -∞∞，当0x <时，()()ln ex f x x-=（e 为自然数的底数） （1）若函数()f x 在区间()1,0 2a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值点，求实数a 的取值范围； （2）如果当1x ≥时，不等式()1k f x x ≥+恒成立，求实数k 的范围. 22．已知函数()(ln )xe f x a x x x=--，a R ∈． （1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性：（2）当1a =-时，函数1()()x g x f x x e mx x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．23．已知函数2()ln (21)1()f x x ax a x a =+-++≥0.（1）当0a =时，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（2）函数()f x 在区间(1,)+∞上存在最小值，记为()g a ，求证：1()14g a a<-. 24．设函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈ （1）若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的斜率为1，求a 的值; （2）已知导函数()f x '在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1,x e ∈时，()2f x e >-. 25．（1）已知函数f （x ）=2ln x +1．若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）已知函数()()=ln f x x mx m m -+∈R .讨论函数()f x 的单调性.26．已知1x =是()=2ln b f x x x x++的一个极值点. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）设函数3()()a g x f x x+=-，若函数()g x 在区间[1,2]内单调递增，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数a 的取值范围．【详解】 解：函数sin ()cos x a f x x +=则2cos cos sin (sin )()x x x x a f x cos x++'= (0,)2x π∈上， 2cos 0x ∴>要使函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增， 22cos sin sin 0x x a x ∴++≥在(0,)2x π∈上恒成立， 即：sin 10a x +≥在(0,)2x π∈上恒成立， (0,)2x π∈上， sin (0,1)x ∈1a ∴-故选：C ．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2．B解析：B【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围．【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--，22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=， x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >． 故选：B ．【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．3．B解析：B【分析】结合导数和二次函数的性质可求出()f x 和()g x 的值域，结合已知条件可得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：g （x ）=x 2e x 的导函数为g ′（x ）=2xe x +x 2e x =x （x +2）e x ，当0x =时，()0g x '=， 由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ， 所以对于任意的2[1,1]x ∈-，2()[0,e]g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴， 又10202--<-，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-， 则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，且函数f （x ）在11[,]22-， 图象关于y 轴对称，在（12，2]上，函数()f x 单调递减．由题意，得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -， 可得a –4≤0<e <14a -，解得e 14+<a ≤4． 故选:B ．【点睛】 本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是12()()f x g x =这一条件的转化.4．A解析：A【分析】利用()f x 的导函数()'fx ，结合()f x 在区间[1,1]a a -+上的单调性列不等式组求得a的取值范围.【详解】 由()219ln ,(0)2f x x x x =->，则()299,(0)x f x x x x x'-=-=>， 当(0,3)x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，又函数()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以101311a a a a ->⎧⎪+≤⎨⎪+>-⎩，解得12a <≤，故选：A.【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下两个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．5．A解析：A【分析】根据f ′(x )>12，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022=--=g f ，然后将不等式1()22x f x <+，转化为1()022--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】因为f ′(x )>12，所以()102f x '-> 所以()()()()()110222xg x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增， 又()()1111022=--=g f ， 所以不等式1()22x f x <+，即为1()022--<x f x ， 即为：()()1g x g <，所以1x <，故选：A【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题.6．B解析：B【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案【详解】由题意可知()02b f x x x '-+≤+=，在[)1x ∈-+∞，上恒成立， 即()2b x x ≤+在[)1x ∈-+∞，上恒成立， 由于()2y x x =+在[)1,-+∞上是增函数且最小值为1-，所以1b ≤-，故选：B.【点睛】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题，属于中档题.7．C解析：C【分析】由不等式()f lnx x <，令t lnx =，可知()()t f lnx x f t e <⇔<，令()()x f x g x e=，求导可得函数单调性，从而可解：10lnx x e <⇔<<，【详解】解：令t lnx =，则()()t f lnx x f t e <⇔<， 令()()x f x g x e=，则()()()0x f x f x g x e '-'=>， 因为：满足x R ∀∈，()()f x f x '>()g x ∴在R 上单调递增， ∴()()()()11t tf t f t eg t g e <⇔<⇔<110t lnx x e ⇔<⇔<⇔<<， 故选：C ．【点睛】 本题主要考查导数法研究函数的单调性，考查了导数的综合应用，属于中档题． 8．C解析：C【分析】利用()()'2,0f fπ确定正确选项.【详解】 ()23sin 222cos 2202f ππππππ=+⋅=>，由此排除BD 选项. 当0x ≥时，()3sin cos 2x x f x x x =+， ()'3cos 3ln 2sin cos sin 2x x x f x x x x -⋅=+-， ()'031040f =+-=>，由此排除A 选项.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.9．D解析：D【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解.【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线，当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-，故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-.故选：D【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题. 10．C解析：C【分析】根据导数的运算法则先求出函数的导数()f x '的解析式，再把1x =代入()f x '的解析式运算求得结果．【详解】∵函数()cos ln f x x x =-+，∴()1sin f x x x'=+， ∴()1sin11f ='+，故选C.【点睛】本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，属于基础题． 11．A解析：A【分析】 求得函数12x y x +=-在点1x =处的导数，结合两直线的位置关系，即可求解.【详解】 由题意，曲线12x y x +=-，可得()()2221322x x y x x ---'==---， 所以1|3x y ='=-，即曲线12x y x +=-在点(1,2)-处的切线的斜率为3k =-， 因为曲线12x y x +=-在点(1,2)-处的切线与直线0ax by c -+=垂直， 所以(3)1a b ⨯-=-，解得13a b =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数求解曲线在某点处的切线的斜率，结合两直线的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.12．D解析：D【分析】构造函数()()x xF x e f x e =-，则由题意可证得()F x 在R 上单调递增，又()20f =， ()()22222F e f e e =-=-，故2()x x e f x e e <-可转化为()()2F x F <，解得2x <.【详解】令()()x x F x e f x e =-，则()()()()()1x x x xF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-⎡⎤⎣⎦， 因为()()1f x f x '+>，所以()()()0x F x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()F x 在R 上单调递增，又()20f =，所以()()22222F e f e e =-=- 故当2()x x e f x e e <-时，有2()x x e f x e e -<-，即()()2F x F <，由()F x 的单调性可知2x <.故选：D.【点睛】本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般.二、填空题13．0或或【分析】设切点的坐标由求出切线方程把代入切线方程可求得切点坐标【详解】设的坐标为过点的切线方程为代入点的坐标有整理为解得或或故答案为：0或或【点睛】本题考查导数的几何意义求函数图象的切线方程要解析：0或1-或53【分析】设切点P 的坐标，由P 求出切线方程，把(1,0)代入切线方程可求得切点坐标． 【详解】设P 的坐标为()32,351m m m m +-+，2()9101f x x x +'=-，过点P 的切线方程为()()3223519101()m m m m x y m m +-+=+---，代入点()1,0的坐标有()()()32235191011mm m mm m --+-+=+--，整理为323250m m m --=，解得0m =或1m =-或53m =， 故答案为：0或1-或53. 【点睛】本题考查导数的几何意义．求函数图象的切线方程要分两种情况：（1）函数()y f x =图象在点00(,)P x y 处的切线方程，求出导函数，得出切线方程000()()y y f x x x '-=-；（2）函数()y f x =图象过点00(,)P x y 处的切线方程：设切线坐标11(,)x y ，求出切线方程为111()()y y f x x x '-=-，代入00(,)x y 求得11,x y ，从而得切线方程．14．【分析】根据幂函数的性质作出的图象数形结合即可求解【详解】由幂函数的性质作出的图象由图知当直线与的图象相切时只有一个公共点由得设切点则解得所以切点为因为切点在切线上所以解得符合题意当直线过点时此时有 解析：(,0){1}-∞【分析】根据幂函数的性质作出122y x =的图象，数形结合即可求解. 【详解】由幂函数的性质作出122y x =的图象，由图知当直线y x b =+与122y x =的图象相切时，只有一个公共点，由122y x =得12122y x x-'=⨯=，设切点()00,x y 则00|1x x y x ='==，解得01x =，所以02y =，切点为()1,2， 因为切点在切线y x b =+上，所以21b =+，解得1b =符合题意，当直线y x b =+过点()0,0时0b =，此时有2个交点，由图知0b <时有一个交点， 故答案为：(,0){1}-∞ 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据幂函数的性质作出122y x =的图象，然后作y x =，当y x b =+与曲线相切时有一个公共点，利用切点处的导函数值等于1，求出b 的值，当直线y x b =+过原点时有两个公共点，此时0b =再向下平移有一个公共点，可得0b <.15．【分析】均为正实数可得所以再利用导数研究单调性极值与最值即可求解【详解】因为所以所以令则令即解得此时单调递增令即解得此时单调递减所以时所以时的最小值为3故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数求函数 解析：3【分析】x y ，均为正实数，1x y +=，可得10x y =->，所以01y <<， ()11111y f y x y y y+=+-=-再利用导数研究单调性极值与最值即可求解. 【详解】因为1x y +=，所以1x y =-，所以()11111111111y y y x y y y y y y y--++=+=+=+----， 令()1111f y y y=+--， 则()()()222211211y f y y y y y -'=-+=--令()0f y '>，即210y ->，解得112y << ，此时()f y 单调递增， 令()0f y '<，即210y -<，解得102y <<，此时()f y 单调递减， 所以12y =时，()min 11131122f y =+-=，所以12x y ==时1y x y+的最小值为3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.16．【分析】求得函数的导数得到进而求得切点坐标为和即可求得切线的方程【详解】由题意函数可得则解得所以可得切点坐标为又由可得即切线的斜率为所以切线的方程为即故答案为：【点睛】求曲线过点的切线方程的方法：当 解析：20x y +=【分析】求得函数的导数()2()sin 2f x f x π''=+，得到2()1f π'=-，进而求得切点坐标为()0,0和()02f '=-，即可求得切线的方程. 【详解】由题意，函数()2()cos 12f x xf x π'=-+，可得()2()sin 2f x f x π''=+，则()2()sin222f f πππ''=+，解得2()1f π'=-，所以()2cos 1f x x x =--+，可得()020cos010f =-⨯-+=，切点坐标为()0,0， 又由()2sin f x x '=-+，可得()02sin02f '=-+=-，即切线的斜率为2k =-， 所以切线的方程为2y x =-，即20x y +=. 故答案为：20x y +=. 【点睛】求曲线过点P 的切线方程的方法：当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为00()y y k x x -=-； 当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过点11(,())P x f x '的切线方程为111()()()y f x f x x x '-=-； 第三步：经点00(,)P x y 代入切线方程，求出1x 的值；第四步：将1x 的值代入111()()()y f x f x x x '-=-可得过点00(,)P x y 的切线方程.17．8【分析】对函数求导由导数确定单调区间由单调性确定极值再比较极值与函数端点值即可确定函数最值【详解】f′(x)=6x2-4x=2x(3x-2）已知x ∈-12当2≥x>或-1≤x<0时f′(x)>0f解析：8 【分析】对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值. 【详解】f ′(x )=6x 2-4x = 2x (3x -2）， 已知x ∈[-1，2]，当2 ≥ x >23或-1 ≤ x <0时， f ′(x )>0， f （x ）单调递增区间是2[1,0),(,2]3-， 当0<x <23时，f ′(x )<0， f （x ）单调递减区间是2(0,)3，故函数在0x =处取极大值，f （0）=0，又f (2)=8，故 f （x ）的最大值是8. 故答案为：8 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了计算能力，属于基础题目.18．【分析】求出分三种讨论函数的单调性可得函数的最小值从而得到的值【详解】当时为减函数故解得舍；当时为减函数故舍；当时若故在上为减函数；若故在上为增函数；所以故符合；综上故填【点睛】求函数的最值应结合函 解析：e【分析】 求出'()f x ，分0m ≤，10m e <≤，1m e>三种讨论函数的单调性可得函数的最小值，从而得到m 的值. 【详解】()1'(),0,mx f x x e x-=∈，当0m ≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，故()min 12f x me =-=，解得3m e=，舍；当10m e<≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，()()min 12f x f e me ==-=，故3m e=，舍；当1m e >时，若10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，'()0f x <，故()f x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数； 若1,x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，'()0f x >，故()f x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数； 所以min 11()ln 2f x m m m=⨯-=，故m e =，符合； 综上，m e =，故填e . 【点睛】求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符号还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．19．【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式再求导代值计算即可【详解】设lnx=t 则x=et ∵f （lnx ）=x2-1nx ∴f （t ）=e2t-t ∴f （x ）=e2x-x ∴f′（x ）=2e2x-1∴f′（ 解析：221e -【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式，再求导，代值计算即可． 【详解】 设lnx=t ，则x=e t ， ∵f （lnx ）=x 2-1nx ， ∴f （t ）=e 2t -t ， ∴f （x ）=e 2x -x ， ∴f′（x ）=2e 2x -1， ∴f′（1）=2e 2-1， 故答案为2e 2-1． 【点睛】本题考查了函数解析式的求法和导数的运算，属于基础题．20．【解析】分析：求出函数的导数求得切线的斜率由斜截式方程即可得到所求切线的方程详解：的导数为在点（01）处的切线斜率为即有在点（01）处的切线方程为故答案为点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有利用解析：210x y -+=【解析】分析：求出函数sin xy x e =+的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.详解：sin x y x e =+的导数为'cos x y x e =+， 在点（0,1）处的切线斜率为0cos02k e =+=， 即有在点（0,1）处的切线方程为210x y -+=. 故答案为210x y -+=.点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线()y f x =在点0x 的导数0'()f x 就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.三、解答题21．（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）(],2-∞.【分析】（1）先根据奇函数的性质得0x >时，()1ln xf x x+=，由于0a >，故研究函数()f x 在()0,∞+上的极值点得1x =处取得唯一极值点，进而得1012a a <<<+，解不等式即可得答案；（2）根据题意将问题转化为()()11ln x x k x++≥在区间[)1,+∞上恒成立，进而令函数()()()11ln x g x x x++=，[)1,x ∈+∞，研究函数()g x 的最小值即可得答案. 【详解】解：（1）设0x >，则0x -<，所以()ln exf x x-=-， 由于函数()f x 是定义域为(),+ -∞∞的奇函数，故()ln 1ln ex xf x x x+==， 即当0x >时，()1ln xf x x+=， 所以()()2211ln ln 'x x x x f x x x ⋅-+-==，解不等式()'0f x >得()0,1x ∈，解不等式()'0f x <得()1,x ∈+∞， 所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以函数()f x 在1x =处取得唯一极值点，且为极大值点.， 由于函数()f x 在区间()1,0 2a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值点， 所以1012a a <<<+，即112a <<. 故实数a 的取值范围1,12⎛⎫⎪⎝⎭.（2）根据题意当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立， 所以当1x ≥时，1ln 1x k x x +≥+恒成立，即()()11ln x x k x++≥在区间[)1,+∞上恒成立； 故令()()()11ln x g x x x++=，[)1,x ∈+∞，()()()()()221ln '1ln ln '11x x x x x g x x x x x +⋅-+⎡⎤-⎣⎦=++=， 令()ln h x x x =-，则()11'10x h x x x-=-=≥在区间[)1,+∞上恒成立， 所以函数()h x 在区间[)1,+∞单调递增，故()()110h x h ≥=>，所以()'0g x >区间[)1,+∞上恒成立，所以函数()g x 在区间[)1,+∞单调递增， 所以()()12g x g ≥=，即函数()g x 在区间[)1,+∞上的最小值为2， 由于()()11ln x x k x++≥在区间[)1,+∞上恒成立，故只需函数()min g x k ≥⎡⎤⎣⎦即可，所以k 2≤，即实数k 的范围为：(],2-∞ 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，不等式恒成立问题，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意将问题转化为()()11ln x x k x++≥在区间[)1,+∞上恒成立，进而令函数()()()11ln x g x x x++=，[)1,x ∈+∞并研究函数()g x 的最小值问题.22．（1）函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）[2,)-+∞. 【分析】（1）先对函数求导，令()0f x '=求出1x =，根据导数的方法，即可得到函数单调性；（2）先由1a =-，得到()ln (1)xg x xe x m x =-++，由分离参数法方法，将原不等式化为1ln 1x x m e x +≥--，构造函数1ln ()1xx h x e x+=--，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，()22(1)()x x x ax e x a xe e f x a x x x+--'=--= ∵0a >，0x >，0x ax e ∴+>，令()0f x '=，得1x =，所以01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （2）当1a =-时，1()()ln (1)x xg x f x x e mx xe x m x x ⎛⎫=+++=-++ ⎪⎝⎭由()1g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，得1ln 1xx m e x+≥--， 设1ln ()1x x h x e x +=--，则222ln ln ()x x x x e xh x e x x-+'=-=-， 设2()ln xx x e x ϕ=+，则0x >时，()21()20xx x x e xϕ'=++>， 所以()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0e ϕ=>，1ln 202ϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 所以函数()ϕx 在(0,)+∞上有唯一的零点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭当00x x <<时，()0x ϕ<，()0h x '>，()h x 单调递增; 当0x x >时，()0x ϕ>，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以0x >时，()00max 001ln ()1x x h x h x e x +==-- 所以001ln 1x x m e x +≥--， ()02000ln 0x x x e x ϕ=+=，000011ln xx e x x ∴=，即000011ln ln ln ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为ln y x x =+是增函数，所以0001lnln x x x ==-， 000000001ln 11122x x x x x x m e e e e x x +-∴≥--=--=--=-，即m 的取值范围为[2,)-+∞. 【点睛】 思路点睛：导数的方法研究由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.23．（1）0；（2）证明见解析. 【分析】（1）由导数求出函数()f x 的单调性，即可得出函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值； （2）求导得出(21)(1)()ax x f x x--'=，讨论a 的值，确定函数()f x 的单调性，得出函数()f x 有最小值时a 的取值范围，再令12t a=，由（1）得出()ln 1,(1)h t t t t =-+>的单调性，进而证明该不等式. 【详解】解：（1）当0a =时，()ln 1f x x x =-+，则1()1f x x'=- 因为[1,)x ∈+∞，所以()0f x '≤. 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递减 所以()f x 区间[1,)+∞上最大值为(1)0f =. （2）由题可知1()2(21)f x ax a x'=+-+ 22(21)1ax a x x-++=(21)(1)ax x x--=.①当0a =时，由（1）知，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减 所以函数()f x 无最小值，此时不符合题意； ②当12a ≥时，因为(1,)x ∈+∞，所以210ax ->.此时函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增所以函数()f x 无最小值，此时亦不符合题意； ③当102a <<时，此时112a<. 函数()f x 在区间1(1,)2a 上单调递减，在区间1(,)2a+∞上单调递增 所以min 111()()ln 224f x f a a a==-即11()ln 24g a a a=-. 要证1()14g a a<-，只需证当102a <<时，1()104g a a -+<成立. 即证111ln 10,0222a a a ⎛⎫-+<<< ⎪⎝⎭ 设12t a=，()ln 1,(1)h t t t t =-+> 由（1）知()(1)0h t h <= 即1()104g a a -+<成立. 所以1()14g a a<-. 【点睛】在证明不等式的恒成立问题时，可以将不等式问题转化为求函数的最值问题，进而证明不等式.24．（1）2a =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解；（2）结合导函数的零点可得02a x =，再由函数()f x 的单调性，进而可转化条件为()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()()22,21ln ,g x x x e x x x =--∈，通过导数证明()2g x e >-即可得证.【详解】（1）因为()()2ln 2f x a x x a x =+-+，所以()()22af x x a x'=+-+， 所以()()42212af a '=+-+=，解得2a =； （2）证明：由题意，()()()()1222x x a af x x a x x--'=+-+=， 因为导函数()f x '在区间()1,e 上存在零点， 设零点为()00,1,x x e ∈，则()0222,e a x ∈=，所以()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()()22,21ln ,g x x x e x x x =--∈，则()2ln 2g x x x '=-，设()()()2ln 21,,h x g x x e x x '==-∈，则()220h x x'=-<，()h x 单调递减， 又()()112h g '==-，故()2ln 20g x x x '=-<在()1,e 上恒成立，故()g x 单调递减， 所以()()2g x g e e >=-， 故当()1,x e ∈时，()2f x e >-. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导函数的零点即函数的极值点转化条件为证明2200002ln 2x x x x e -->-.25．（1）1c ≥-．（2）答案见解析．【分析】（1）不等式变形为()2f x x c -≤，求出()2f x x -的最大值后可得c 的范围；（2）求出导函数()'f x ，确定()'f x 的正负，得()f x 的单调性．【详解】（1）()f x 定义域是(0,)+∞，由()2f x x c ≤+得，2ln 12c x x ≥+-，设()2ln 12g x x x =+-，则22(1)()2x g x x x-'=-=， 当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，∴max ()(1)2ln1121g x g ==+-=-，∴1c ≥-．（2）()()=ln f x x mx m m -+∈R ，定义域是(0,)+∞，1()f x m x'=-， 当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上递增， 当0m >时，1()()m x m f x x -'=，当10x m <<时，()0f x '>，1x m >时，()0f x '<， ∴()f x 在1(0,)m 上递增，在1(,)m +∞上递减．综上，0m ≤时，()f x 的增区间是(0,)+∞，0m >时，()f x 的增区间是1(0,)m ，减区间是1(,)m +∞． 【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．（1）已知()f x 的导函数是()'f x ，解不等式()0f x '>可得增区间，()0f x '<可得减区间．（2）()f x m ≥恒成立，则min ()m f x ≤，若()f x m ≤恒成立，则max ()m f x ≥． 26．（1）(]0,1；（2）3a ≥-.【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()01f '=求得b ，并检验，然后由()0f x '<确定减区间；（2）同样求出()'g x ，然后由()0g x '≥在[1,2]上恒成立得a 的范围．【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2(0,,)1b f x xx x +'=-∈+∞. 因为1x =是()2f x x ln b xx =++的一个极值点， 所以(1)0f '=，即210b -+=. 解得3b =，经检验，适合题意，所以3b = 因为222313()22f x x x x x x +-+='=-， 解()0f x '<，得01x <<.所以函数()f x 的单调递减区间为(]0,1.（2）()()23(0)a g x f x x l a x xnx x =-=+->+， 2()01(2)a x g x xx '=>++. 因为函数()g x 在[]1,2上单调递增， 所以()0g x '≥在[]1,2上恒成立， 即2201a x x++≥在[]1,2上恒成立， 所以22a x x ≥--在[]1,2上恒成立， 所以[]2(2),1,2max a x x x ≥--∈.因为在[]1,2上，2(2)3max x x --=-，所以3a ≥-.【点睛】本题考查由导数研究函数的极值、单调性，考查由单调性确定参数范围，解题关键是的转化，单调性转化为不等式恒成立，再转化为求函数最值．本题旨在考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，转化与化归能力．。
人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．2C ．2019D ．20202．已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（ ）A ．12B ．1CD ．23．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞4．已知函数()=x e xf x x+，1(ln )a f e =，1()2b f =，1()c f e =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（ ）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,∞+ D ．()(),10,-∞-+∞7．已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-9．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)16f =，且()f x 的导函数'()41f x x <-，则不等式2()21f x x x <-+的解集为（ ） A ．{}|33x x -<< B ．{}|3x x >- C ．{}|3x x >D ．{|3x x <-或3x10．已知函数()f x 的导函数()f x ，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．-1211．已知函数2()sin cos f x x x x x =++，则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<的解集为（ ） A ．(,)e +∞B ．(0,)eC ．1(,)e eD ．1(0,)(1,)e e12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（ ） A ．()()21ln 2f f -< B ．()()21ln 2f f -> C ．()()211f f -<D ．()()211f f ->二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数，()()()()220,xf x f x g x x f x '+<=，则不等式()(12x g g ->的解集为______ 14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()xf x f x '<，若()10f =，则不等式()0f x x>的解集为________. 15．函数32()22=-f x x x 在区间[1,2]-上的最大值是___________.16．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩的图象上任意两点，且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______． 17．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020,若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ,则实数a ＝_______. 18．已知函数()331xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--的值为_______.19．已知函数()f x axlnx =，()x 0,∞∈+，其中a 为实数，()f'x 为()f x 的导函数，若()f'e 2(e 2.71828==⋯是自然对数的底数)，则a 的值为______．20．函数sin x y x e =+在点(0,1)处的切线方程是__________．三、解答题21．已知函数()1ex f x a +=，()ln1xg x a=-，其中0a >. （1）若1a =，在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点O 分别作函数()y f x =与()y g x =的图象的切线1l ，2l ，求1l ，2l 的斜率之积；（2）若()()f x g x ≥在区间()0,∞+上恒成立，求a 的最小值. 22．已知函数()331f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.（3）求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.23．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围.24．已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.25．已知函数()ln f x ax x b =+，()23g x x kx =++，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1y x =-，a ，b ，R k ∈．（1）若函数()f x 在(),b m 上有最小值，求a ，b 的值及m 的取值范围； （2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，其中 2.718e =⋅⋅⋅，e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式()()20f x g x +≥有解，求k 的取值范围．26．已知函数f （x ）＝ax 3+bx +c 在x ＝2处取得极值为c ﹣16. （1）求a 、b 的值；（2）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+， 所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.2．D解析：D 【分析】()y f x =的所有切线的斜率即为()2af x x x'=+（0x >）的值域，由题意知当1x =时()f x '取得最小值，由基本不等式可知()2a x f x x '=+≥=，当且仅当2ax x =即22a x =时()f x '取得最小值，可得2a = 【详解】 因为2()ln f x a x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2af x x x'=+， 由导数的几何意义可知：当1x =时()f x '取得最小值， 因为0a >，0x >，所以()2a x f x x '=+≥=， 当且仅当2ax x=即22a x =时()f x '取得最小值， 又因为1x =时()f x '取得最小值，所以2212a =⨯=， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由导数的几何意义可得当1x =时()2af x x x'=+取得最小值，再利用基本不等式求()f x '取得最小值时满足2ax x=即22a x =，即可求出a 的值. 3．D解析：D 【分析】根据条件()()12122f x f x x x ->-可变形为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，构造函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-，利用其为增函数即可求解. 【详解】 根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数， 所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题由条件()()12122f x f x x x ->-恒成立，转化为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键，再根据此式知函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题. 4．B解析：B 【分析】求出()f x 的导数，根据导数判断出函数的单调性，再根据111ln ,,2e e的大小关系即可判断. 【详解】()=x e xf x x+，0x ≠()()()()2211xx x e x e x e x f x x x+-+-'∴==， 当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，11012e <<<，112f f e ⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且1112f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 1ln 10e =-<，()11ln 111f f e e ⎛⎫∴=-=-< ⎪⎝⎭，111ln 2f f f e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c b a >>.故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，注意函数的定义域为{}0x x ≠，故单调区间有3个，故在判断1(ln )a f e=的大小的时候应从函数值判断，而不能直接利用单调性.5．C解析：C 【分析】先对函数()f x 求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间. 【详解】()cos2f x x =， ()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题.6．B解析：B 【详解】()21ln 2f x x ax bx =--,,,由得，()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-', 若,由,得,当时,,此时单调递增；1x > 时,,此时单调递减；所以是的极大值点．若,则由,得或．时的极大值点, ,解得．综上：,的取值范围时．故选B ．【点晴】本题是一道关于函数极值的题目,考虑运用导数求函数的极值．对求导,得,由得,将代入到导函数中,可得()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-',接下来分和两种情况,结合函数的单调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．7．A解析：A 【分析】利用函数的定义域和函数的值域排除BD ，通过函数的单调性排除C ，推出结果即可. 【详解】令()ln 1g x x x =--，则11()1x g x x x-'=-=， 由()0g x '>得1x >，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增， 由()0g x '<得01x <<，即函数()g x 在(0,1)上单调递减， 所以当1x =时，()()min 10g x g ==， 于是对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，有()0g x >，则()0f x >，故排除BD ，因为函数()g x 在()0,1单调递减，则函数()f x 在()0,1递增，故排除C.【点睛】本题考查利用导数对函数图象辨别，属于中档题.8．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-， 故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，则原不等式可以转化为()()3g x g <，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，其导数()()41g x f x x '='-+， 又由()41f x x '<-，即()410f x x '-+<， 则()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，又由f （3）16=，则g （3）f =（3）18310-+-=， ()()22()21()2103f x x x f x x x g x g <-+⇒-+-<⇒<，又由函数()g x 为减函数，则有3x >，则不等式2()21f x x x <-+的解集为{|3}x x >； 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．10．B解析：B 【分析】将()2f '看出常数利用导数的运算法则求出()f x '，令2x =求出()2f '代入()f x '，令5x =求出()5f '即可．【详解】 解：()2()322f x x xf '=+，()()622f x x f '∴=+'， ()(2)1222f f '∴=+'(2)12f '∴=- ()624f x x '∴=- (5)65246f '∴=⨯-=故选B ． 【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，解题的关键是弄清()2f '是常数，属于基础题．11．C解析：C 【分析】先判断出()f x 为R 上的偶函数，再利用当0x >时，()'0f x >得到函数的单调性，从而可解原不等式. 【详解】因为()()()()22()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为R上的偶函数，又1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<即：(ln )(1)f x f <，()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+为增函数，故(ln )(1)f x f <等价于ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<，故不等式的解集为1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,，故选C.【点睛】对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x fx f x ==-，对于奇函数()g x ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．12．B解析：B 【解析】分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'1f x lnx x='>，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()110xf x g x f x x x-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论． 详解：令()(),0g x f x lnx x =->， ∴()()()11xf x g x f x x x=''-'-=， ∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->． 故选B ．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．二、填空题13．【分析】根据条件可得函数为偶函数且在单调递减从而可得不等式【详解】当时且为偶函数在单调递减解得：故答案为：【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数再利用导数研究函数的单调性进而将不等式进行等价转化解析：1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件可得函数()g x 为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，从而可得不等式. 【详解】当0x >时，()''(()2())0g x x xf x f x =+<，且()g x 为偶函数，∴()g x 在(0,)+∞单调递减， ∴()(()111122222x x x g g g g--->⇔>⇔<112x ⇔-<， 解得：1322x <<， 故答案为：1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数，再利用导数研究函数的单调性，进而将不等式进行等价转化.14．【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根 解析：()()1,00,1-【分析】 令()()f xg x x=，对其求导，由0x >时，()()xf x f x '<，可知()0g x '<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减，由()f x 的奇偶性，可得()g x 是定义域上的偶函数，从而可得出()g x 在(),0-∞上的单调性，再结合()()110g g -==，可求出()0g x >的解集.【详解】 由题意，令()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x'-'=， 因为0x >时，()()xf x f x '<，则()()()20xf x f x g x x'-'=<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知()g x 在(),0-∞上单调递增，且()()()11101f g g -===，所以()()1,00,1x ∈-时，()0g x >.故答案为：()()1,00,1-.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数()()f xg x x=，求导并结合当0x >时，()()xf x f x '<，可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．15．8【分析】对函数求导由导数确定单调区间由单调性确定极值再比较极值与函数端点值即可确定函数最值【详解】f′(x)=6x2-4x=2x(3x-2）已知x ∈-12当2≥x>或-1≤x<0时f′(x)>0f解析：8 【分析】对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值. 【详解】f ′(x )=6x 2-4x = 2x (3x -2）， 已知x ∈[-1，2]，当2 ≥ x >23或-1 ≤ x <0时， f ′(x )>0， f （x ）单调递增区间是2[1,0),(,2]3-， 当0<x <23时，f ′(x )<0， f （x ）单调递减区间是2(0,)3，故函数在0x =处取极大值，f （0）=0，又f (2)=8，故 f （x ）的最大值是8. 故答案为：8 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了计算能力，属于基础题目.16．【分析】先判定再根据切线相互垂直可得的关系利用该关系式把转化为一元函数利用导数可求其最小值【详解】当时当时因为故所以即其中又令则当时；当时故故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值解析：1e-【分析】先判定()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，再根据切线相互垂直可得12,x x 的关系，利用该关系式把12x x 转化为一元函数，利用导数可求其最小值.【详解】当1x <时，()0xf x e '=-<，当1x >时，()10f x x'=>， 因为()()121f x f x ''=-，故()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，所以1211x e x -⨯=-即12x x e =，其中11<x . 又1121xx x x e =，令(),1tg t te t =<，则()()1,1tg t t e t '=+<，当1t <-时，()0g t '<；当11t -<<时，()0g t '>， 故()()min 11g t g e=-=-， 故答案为：1e-. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.17．0【分析】结合所求式子与已知的式子特点可以对原函数求导然后利用赋值法求解即可【详解】对已知的式子两边同时求导可得：2020a （1+ax ）2019令x ＝1则：2020a （1+a ）2019＝a1+2a2解析：0 【分析】结合所求式子与已知的式子特点,可以对原函数求导,然后利用赋值法求解即可. 【详解】对已知的式子两边同时求导可得：2020a （1+ax ）2019220191232020232020a a x a x a x =++++,令x ＝1则：2020a （1+a ）2019＝a 1+2a 2+3a 3+…+2020a 2020, 又因为：a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a , 所以（1+a ）2019＝1,所以a ＝0. 故答案为：0. 【点睛】本题考查了二项式定理的系数的性质、赋值法的应用.同时考查了学生的运算能力,属于中档题.18．3【分析】根据解析式可得到解析式可求得；求导后可得到从而代入的值可求得结果【详解】故答案为：【点睛】本题考查根据函数的性质求解函数值的问题涉及到导数的运算关键是能够通过函数解析式得到原函数和导函数的解析：3 【分析】根据()f x 解析式可得到()f x -解析式，可求得()()3f x f x -+=；求导后可得到()()f x f x ''-=，从而代入x 的值可求得结果.【详解】()333311x x x e f x x x e e --=-=-++ ()()3f x f x ∴-+=()()202020203f f ∴+-=()()222223333332121xx x x x x x e e f x x x x e e e e e ---'=+=+=-++++++ ()()f x f x ''∴-= ()()201920190f f ''∴--= ()()()()20202020201920193f f f f ''∴+-+--=故答案为：3 【点睛】本题考查根据函数的性质求解函数值的问题，涉及到导数的运算，关键是能够通过函数解析式得到原函数和导函数的性质.19．1【分析】根据题意求出函数的导数将代入计算可得解可得a 的值即可得答案【详解】根据题意函数则函数若则解可得；故答案为1【点睛】本题考查导数的计算关键是掌握导数的计算公式属于基础题解析：1 【分析】根据题意，求出函数()'f x 的导数，将x e =代入计算可得()'ln 22f e a e a a =+==，解可得a 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，函数()ln f x ax x =，则函数()()()''ln ln 'ln f x a x x ax x a x a =+=+， 若()'2f e =，则()'ln 22f e a e a a =+==， 解可得1a =； 故答案为1． 【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．20．【解析】分析：求出函数的导数求得切线的斜率由斜截式方程即可得到所求切线的方程详解：的导数为在点（01）处的切线斜率为即有在点（01）处的切线方程为故答案为点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有利用解析：210x y -+=【解析】分析：求出函数sin xy x e =+的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.详解：sin x y x e =+的导数为'cos x y x e =+， 在点（0,1）处的切线斜率为0cos02k e =+=， 即有在点（0,1）处的切线方程为210x y -+=. 故答案为210x y -+=.点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线()y f x =在点0x 的导数0'()f x 就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.三、解答题21．（1）1；（2）21e. 【分析】（1）利用导数的运算法则和公式求得1()e x f x +'=，1()g x x'=，得到切线1l ，2l 的斜率∴111ex l k +=，221l k x =，根据两切线都经过原点，求得121,e x x ==，进而求得两直线的斜率之积;（2）问中是典型的无法分离参数的情况，进行转化并构造函数，1()e x F x x +=，转化为()ln 1x F x F a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，分类讨论，并注意利用导数进一步研究函数()F x 的单调性，当ln 10,x a ->转化为1max ln 1e x x x x a a +⎛⎫≥-⇒≥ ⎪⎝⎭，进而再次造函数令1()ex x x ϕ+=，利用导数研究单调性并求得其最大值，即得a 的最小值. 【详解】解：（1）当1a =时，()1x f x e=＋，()ln 1g x x =-设过原点O 的直线分别切()f x ，()g x 于点()111,P x y ，()222,P x y1()e x f x +'=，1()g x x'=， ∴111e x l k +=，221l k x =且11111122222e e 1e ln 11x x x x x x x x ++⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ ∴12221e 1el l k k ⋅=⋅=． （2）由1eln 1x xa a+≥-在(0,)+∞上恒成立得∵0a >，∴111eln x x a a a+≥- ln 1eln 1ln 1e (*)xx ax x x x a a a +⎛⎫⎛⎫≥-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1()e x F x x +=，∴()ln1x F x F a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭①当ln 10xa-≤时，(*)左边0,>右边0,≤显然成立 ②当ln10,xa->注意到1()(1)e 0x F x x +'=+> ∴()F x 在(0,)+∞上∴1maxln1e x x x x a a +⎛⎫≥-⇒≥ ⎪⎝⎭ 令1()e x x x ϕ+=，11221e e 1()e ex x x x x x x ϕ++++--'==，令()0x ϕ'= 得01x <<时，()0x ϕ'>，()x ϕ↗； 当1x >时，()0x ϕ'<，()x ϕ↘ ∴max 21()(1)x e ϕϕ==，∴21a e ≥．【点睛】本题考查求曲线上某点处的切线的斜率问题和利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题，难度一般.关键是要熟练掌握导数的运算法则和求导公式，这是一切导数问题的基础，第（2）问中将不等式整理为为ln 1eln 1ln 1e (*)xx ax x x x a a a +⎛⎫⎛⎫≥-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1()e x F x x +=，转化为()ln 1x F x F a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，是难点也是解决问题的关键点，多次构造函数，并利用函数思想进行转化和求解是本题的显著特点，值得好好体会.22．（1）310x y +-=；（2）()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-；（3）最大值为3，最小值为1-. 【分析】（1）对()f x 求导， ()0k f '=，计算()0f 求切点，利用点斜式即可写出切线方程； （2）令()0f x '>可得单调递增区间，令()0f x '<可得单调递减区间； （3）求出()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，即可利用单调性求出最值.【详解】()()()233311f x x x x ==+'--，()03k f '==-，因为()01f =，所以切点为()0,1，所以切线方程为()130y x -=--， 即310x y +-=，（2）由()()()2333110f x x x x '=-=+->可得1x >或1x <-，由()()()2333110f x x x x '=-=+-<可得11x -<<，所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞， 单调递减区间为()1,1-，（3）由（2）知()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，[]1,2单调递增，所以31113312228f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3223213f =-⨯+=， ()3113111f =-⨯+=-，所以()()min 11f x f ==- ，()()max 23f x f == ， 所以函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1-， 【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.23．（1）0a =，4b =-；（2）3a =；（3）[0,)a ∈+∞.（1）利用导数的几何意义，可得(1)12f '-=，(1)9f -=-，计算整理，即可求得a ，b 的值；（2）令'(3)0f =，即可求得a 的值，检验可得3x =为极值点，即可得答案； （3）令'()0f x =，解得1x a =，21x =，分别求得1a <和1a ≥时，()f x 的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案. 【详解】（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-， 解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值， 所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--， 令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意. （3）令()6()(1)0f x x a x '=--=， 得1x a =，21x =. 当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数， 故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立. 当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意， 当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数， 从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题. 24．（1）54a =；（2）单调递减区间是()0,5，单调递增区间是()5,+∞. 【分析】（1）求导，使()12f '=-求解a 的值；（2）将（1）中所求a 的值代入，求解()0f x '>和()0f x '<的区间，从而得出函数()f x 的单调区间.（1）对()f x 求导得()2114a f x x x=--'， 由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =， 知()3124f a '=--=-，解得54a =. （2）由（1）知()()53ln 0442x f x x x x =+-->，则()22454x x f x x'--=， 令()0f x '=，解得1x =-或5x =，因为1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，所以舍去. 当()0,5x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,5内单调递减； 当()5,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()5,+∞内单调递增. 故()f x 的单调递减区间是(0，5)，单调递增区间是()5,+∞. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求解，难度一般.25．（1）1,0,a b =⎧⎨=⎩；1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）2321e e k e -+≥-. 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，进而可得m 的取值范围；（2）问题等价于不等式22ln 3x x x k x++≥-在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，设()22ln 3x x x h x x ++=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求导可得函数的最值，进而可得k 的取值范围． 【详解】（1）()()ln 1f x a x '=+，由题意得()()1011f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，解得：10a b =⎧⎨=⎩， 故()ln 1f x x '=+， 当()0f x '>，即1x e>时，()f x 单调递增， 当()0f x '<，即10x e<<时，()f x 单调递减， 因为()f x 在()0,m 上有最小值， 所以m 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）关于x 的不等式()()20f x g x +≥在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 即232ln 0x x x kx ++≥+在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 等价于不等式22ln 3x x x k x++≥-在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 设()22ln 3x x x h x x ++=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()2223x x h x x+-'∴=-， 当()0h x '>，即11x e<<时，()h x 单调递增， 当()0h x '<，即1x e <<时，()h x 单调递减， 又21321e h e e e -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2e 2e 3e e h ++=-， 所以()()22222211233212420e e e e e e e e h h e e e e e e ---++-+-++⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭， 故()2min 1321e e h x h e e -+⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以2321e e k e-+≥-． 【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道中档题.26．（1）1,12a b ==-；（2）最小值为4-，最大值为28.【分析】（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '=，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（2）根据导数可知()f x 在2x =-处取得极大值，即可求出c ，再求出端点处的函数值，即可判断.【详解】（1）因3()f x ax bx c =++ ，故2()3f x ax b '=+，由于()f x 在点2x =处取得极值，故有(2)0(2)16f f c ==-'⎧⎨⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ，解得112a b =⎧⎨=-⎩； （2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-令()0f x '= ，得122,2x x =-=，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数； 当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数， 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数． 由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-，由题设条件知1628c += ，得12c =，此时(3)921f c -=+=，(3)93f c =-+=，(2)164f c =-=-， 因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-，最大值为28.【点睛】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．。
选择性必修第二册数学第五章——一元函数的导数及其应用单元测试卷
选择性必修第二册数学第五章一元函数的导数及其应用单元测试卷一、选择题1. 下列求导运算正确的是( )A. B.C. D.2. 过点，且与曲线在点处的切线平行的直线方程为（）A. B. C. D.3. 函数单调递增的充分必要条件是A. B. C. D.4. 若，则的解集为A. B.C. D.5. 函数在上的最大值是（）A. B. C. D.6. 一质点沿直线运动，如果由始点起经过秒后的位移与时间的关系是，那么速度为零的时刻是（）A.秒B.秒末C.秒末D.秒末和秒末7. 若函数在上有极值点，则的取值范围为（）A. B. C. D.8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为A. B.） C. D.9. 已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．给出以下命题：①当时，；②函数有三个零点；③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；④对，，恒成立．其中，正确命题的个数为 A.个 B.个 C.个 D.个11. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.12. 若曲线在点处的切线方程为，且点在直线（其中，）上，则的最小值为( )A. B. C. D.二、填空题13. 设函数在处取得极值，则 _________.14. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是________．15. 定义在上的函数满足，是的导函数，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为________．16. 已知函数若且满足，则的取值范围是________．三、解答题17.已知，请用导数的定义证明：.用公式法求下列函数的导数：①；②.18. 已知函数，当时，有极大值．求，的值；求函数的极小值．19. 已知函数.讨论函数的单调性；若对任意的成立，求实数的取值范围．20. 已知函数，其中为正实数.若函数在处的切线斜率为，求的值；若函数有两个极值点，求证：.21. 已知函数，，且函数与的图像在处的切线相同．求的值；令若函数存在个零点，求实数的取值范围．22. 已知函数．判断在区间上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：，）若存在，使得成立，求实数的取值范围．参考答案与试题解析选择性必修第二册数学第五章一元函数的导数及其应用单元测试卷一、选择题1.【答案】C【解答】解：，，故错误；，，故错误；，，故正确；，，故错误.故选.2.【答案】B【解答】解：，，所求直线方程为，整理为.故选.3.【答案】B【解答】解：由单调递增，可得，∴在上恒成立，∴或解得，故函数单调递增的充分必要条件是.故选.4.【答案】C【解答】解：由题可得，的定义域为，，令，整理得，解得或，结合函数的定义域知，的解集为．故选．5.【答案】C【解答】解：，，令，解得：，令，解得：，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴ .故选．6.【答案】C【解答】解：∵，∴，令得，，或．故选．7.【答案】A【解答】解：，所以在上为减函数，所以解得.故选.8.【答案】B【解答】解：由题意得：解得.故选.9.【答案】C【解答】解：由，得对任意的恒成立，即恒成立.令，得.令，得，∴函数在上单调递增.∵，，∴方程在上存在唯一的实根，且满足，∴，即，即.当时，，则；当时，，则，∴函数在上单调递减，在上单调递增.∴，∴ .故整数的最大值为.故选.10.【答案】D【解答】解：①因为函数是定义在上的奇函数，当时，，设，则，所以，即，故①正确；②对时的解析式求导数可得，，令其等于，解得，且当时，导数小于，函数单调递减；当时，导数大于，函数单调递增，处为极小值点，且，且在处函数值为，且当时函数值为负．又因为奇函数的图象关于原点中心对称，故函数的图象应如图所示：因为函数的定义域为，且是奇函数，所以.由图象可知：函数有个零点，故②正确；③若关于的方程有解，则实数的取值范围是，故③正确；④由于函数，故有，，恒成立，故④正确．故正确的命题为①②③④．故选．11.【答案】A【解答】解：∵，∴函数是偶函数，关于轴对称，故排除，令，∴恒成立，∴在上单调递增，∵，∴，故排除，当时，单调递增，故当时，单调递减，故排除．故选.12.【答案】D【解答】解：设，的导数为，可得切线的斜率为，切线方程为，可得，，解得，或，.由点在直线（其中），可得成立（舍去），则，当且仅当时，取得最小值.故选.二、填空题13.【答案】【解答】解：函数，求导得,因为该函数在处取得极值，故,且,故或，因为时函数无极值，故，此时，故答案为：.14.【答案】【解答】解：设，则的导数为：，∵当时总有成立，即当时，恒小于，∴当时，函数为减函数，又∵，∴函数为定义域上的偶函数.又∵，∴函数的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式,或或．∴成立的的取值范围是．故答案为：．15.【答案】【解答】解：设，，则，∵，∴，∴，∴在定义域上单调递增，∵，∴，又∵，∴，∴，∴不等式的解集为.故答案为：．16.【答案】【解答】解：作出的图象，由且得,∴ ,令,则,,∵∴∴ ,则函数在区间上单调递增，∴即.故答案为：.三、解答题17.【答案】证明：.当时，.解：①.②.18.【答案】解：，当时，解得.由得：，∴ .令，得，或，当或时，，单调递减；当时，，单调递增．∴．19.【答案】解：∵，∴ .令，则，∴（舍）或.分析知，当时，；当时，，∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．据题意知，对任意的成立．令，则，当时，，当时，，∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴，∴，即所求实数的取值范围为．20.【答案】解：，，所以的值为.证明：由知，当时，函数有两个极值点，且.因为.要证，只需证.构造函数，则，在上单调递增，又，，且在定义域上不间断，由零点存在定理，可知在上存在唯一实根，且.则在上单调递减，上单调递增，所以的最小值为.因为,当时，，则，所以恒成立.所以，所以，得证.21.【答案】解：已知，，则.又，所以在处的切线方程为.因为和的图像在处的切线相同，，所以．由可知即画出函数的图像如图所示：可知函数若存在个零点时，的取值范围是或.22.【答案】解：，∴时，，∴函数在上是减函数．又，∵，，∴，由零点存在性定理，在区间上只有个零点．由题意等价于，整理得，令，则，令，，∴在上单调递减，∴，即，∴，即在上单调递减，∴ ,即．。
(常考题)人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(答案解析)
一、选择题1．设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数，()f x '为其导函数，已知()()1221f x f x -=-，()20f -=，当0x >时，()()xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．()(),20,2-∞-D ．()()0,22,+∞2．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则12a b+的最小值是（ ） A ．42 B ．22C ．342+D ．322+3．已知()3216132m f x x x x =-++在()1,1-单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[33]-，B ．（-3,3）C ．[55]-，D ．(-5,5)4．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π24a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<5．如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．A ．－1B ．0C ．2D ．46．若()()21ln 22f x x b x =-++在[)1,-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞7．函数()3sin cos 2xxf x x x =+在[]2,2ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设函数()e 3x f x x a =+-若曲线sin y x =上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,2e +B ．13,1e -⎡⎤-⎣⎦C ．[]1,1e +D ．13,1e e --⎡⎤+⎣⎦9．已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()33,⎡-∞⋃+∞⎣ B ．(()33,-∞⋃+∞C ．3,3⎡-⎣D ．(3,3-10．已知()f x 的定义域为(0,)+∞，fx 为()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x <-，则不等式(1)(1)f x x +>-()21f x -的解集是（ ）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,11．R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()20f =，则不等式2()x x e f x e e <-的解集为（ ） A ．()(),00,2∞⋃-B ．()(),02,-∞+∞C ．()0+∞，D ．(),2∞-12．若f ′(x 0)＝－3，则()()0003limh f x h f x h h→+--等于( )A ．－3B ．－6C ．－9D ．－12二、填空题13．函数()2ln 2x f x x =-在其定义域内的一个子区间[]1,1k k -+内不是单调函数，则k的取值范围是______________．14．已知函数()332f x x x =+，()2,2x ∈-，如果()()1120f a f a -+-<成立，则实数a 的取值范围为__________．15．若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a =_________.16．已知32()3f x x x a =-+(,a R ∈a 为常数),在]2,2⎡-⎣上有最大值4，那么此函数在]2,2⎡-⎣上的最小值为_______.17．已知21()34ln 2f x x x x =--+在(,1)t t +上不单调，则实数t 的取值范围是______________18．已知函数()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈的最小值为2，则实数m 的值为____________． 19．已知函数322()3f x x ax bx a =+++,若函数()()sin 2g x f x x =+在点(0,(0))g 处的切线平行于x 轴，则实数b 的值是________．20．已知()5234501234532x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++的值为______三、解答题21．设函数()21xf x e ax x =---，a R ∈.（1）0a =时，求()f x 的最小值.（2）若()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，求a 的取值范围.22．已知函数()(ln )xe f x a x x x=--，a R ∈．（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性： （2）当1a =-时，函数1()()xg x f x x e mx x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．23．已知函数2()ln f x x x =-，()g x kx =． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若()g x 是()f x 的切线，求实数k 的值；（3）若()f x 与()g x 的图象有两个不同交点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，求证：121x x >．24．已知函数()()()3222232121f x x a a x a a x =--++-+，a R ∈，讨论()f x 的单调性.25．已知函数()221xf x xe x x =---.（1）求函数()f x 在[1,1]-上的最大值； （2）证明：当0x >时，()1f x x >--. 26．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈. （1）1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，且对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由已知条件得函数()f x 为偶函数，引入()()g x xf x =，利用导数可得(0,)+∞上()g x 为增函数，结合(2)0=g 可解不等式()0>g x ，从而得()0f x >在(0,)+∞上的解，再由偶函数得出结论． 【详解】由()()1221f x f x -=-，可知()f x 为偶函数，构造新函数()()g x xf x =，则()()()g x xf x f x ''=+，当0x >时()0g x '>. 所以()()g x xf x =在()0,∞+上单调递增，又()20f =，即()20g =. 所以由()()0g x xf x =>可得2x >，此时()0f x >.又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为()(),22,-∞-+∞.故选：B ． 【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求解时，如果是偶函数，可利用单调性求出(0,)+∞上的解，然后再利用奇偶性得出{|0}x x ≠上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在R 上的单调性，然后由单调性解不等式．2．D解析：D 【分析】由导数的几何意义转化条件得1a b +=，进而可得1223b a a b a b+=++，由基本不等式即可得解. 【详解】因为函数ln()y x b =+的导数1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 所以11x b=+即切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-得10b a --=，即1a b +=， 又a 、b 为正实数，所以()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =，2b =.所以12a b +的最小值是3+. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数几何意义及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.3．C解析：C 【分析】依题意得，(1,1)x ∈-时，2()60f x x mx '=+-恒成立，得到(1)0(1)0f f '-⎧⎨'⎩，解之即可．【详解】解：()3216132mf x x x x -+=+，()26f x x x m '∴=-+，要使函数()f x 在()1,1-单调递减， 则()0f x '≤在()1,1x ∈-上恒成立， 即260x mx -+≤在()1,1x ∈-上恒成立，则：()()1010f f ⎧-≤⎪⎨≤''⎪⎩，即：160160m m --≤⎧⎨+-≤⎩，解得：55m -≤≤则m 的取值范围为：[]55-，. 故选：C . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到(1)0(1)0f f '-⎧⎨'⎩是关键，考查化归思想与运算能力，属于中档题．4．D解析：D 【分析】 首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】 设()()sin f x g x x=， ()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数，并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f ag ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即a b c >>.【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.5．B解析：B 【分析】将点()3,1的坐标代入切线方程得出k 的值，得出()3f k '=以及()31f =，再对函数()y g x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，即可得出()3g '的值．【详解】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-，由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =， 对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点： （1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率； （2）切点是切线与函数图象的公共点．6．B解析：B 【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案 【详解】由题意可知()02bf x x x '-+≤+=，在[)1x ∈-+∞，上恒成立， 即()2b x x ≤+在[)1x ∈-+∞，上恒成立， 由于()2y x x =+在[)1,-+∞上是增函数且最小值为1-，所以1b ≤-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题，属于中档题.7．C解析：C利用()()'2,0f f π确定正确选项.【详解】()23sin 222cos 2202f ππππππ=+⋅=>，由此排除BD 选项. 当0x ≥时，()3sin cos 2xxf x x x =+， ()'3cos 3ln 2sin cos sin 2xx xf x x x x -⋅=+-， ()'031040f =+-=>，由此排除A 选项.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.8．A解析：A 【分析】由题意可得存在0[0y ∈，1]，使00()f y y =成立，即()f x x =在[0，1]上有解，即23x a e x x =+-，[0x ∈，1]．利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a 的范围．【详解】由题意可得00sin [1y x =∈-，1]，0()f y 曲线sin y x =上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =，∴存在0[0y ∈，1]，使00()f y y =成立．函数()f x = 下面证明00()f y y =．假设00()f y c y =>，则0(())f f y f =（c ）00()f y c y >=>，不满足00(())f f y y =． 同理假设00()f y c y =<，则不满足00(())f f y y =． 综上可得：00()f y y =．则问题等价于方程()f x x =，[0,1]x ∈有解，即23x x e x a =+-在[0,1]x ∈有解，分离参数可得23x a e x x =+-，令2()3xg x e x x =+-，∵()320,[0,1]x g x e x x '=+->∈，所以函数()g x 在[0,1]上单调递增， 所以1(0)()(1)2g g x g e =≤≤=+，所以12a e ≤≤+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．9．C解析：C 【分析】求得函数的导数2()321f x x ax '=-+-，根据函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调函数，利用0∆≤，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数32()1f x x ax x =-+--，则2()321f x x ax '=-+-，因为函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调函数，所以22(2)4(3)(1)4120a a ∆=-⨯-⨯-=-≤，即23a ≤，解得a ≤≤即实数a 的取值范围是⎡⎣，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性求解参数问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．B解析：B 【分析】构造函数()()F x xf x =，再根据单调性解不等式，即得结果. 【详解】令()()F x xf x =，则()()()0F x f x xf x ''=+<，所以()F x 在(0,)+∞上单调递减(1)(1)f x x +>-()21f x -，2(1)(1)(1)x f x x ∴++>-()21f x -，2(1)(1)F x F x ∴+>-， 2011,2x x x ∴<+<-∴>，故选：B 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.11．D解析：D 【分析】构造函数()()xxF x e f x e =-，则由题意可证得()F x 在R 上单调递增，又()20f =，()()22222F e f e e =-=-，故2()x x e f x e e <-可转化为()()2F x F <，解得2x <.【详解】令()()x xF x e f x e =-，则()()()()()1x x x x F x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-⎡⎤⎣⎦，因为()()1f x f x '+>，所以()()()0xF x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()F x 在R 上单调递增，又()20f =，所以()()22222F e f e e =-=-故当2()x x e f x e e <-时，有2()x x e f x e e -<-，即()()2F x F <，由()F x 的单调性可知2x <. 故选：D. 【点睛】本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般.12．D解析：D 【分析】 由于f ′(x 0)＝()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆＝－3，而()()0003limh f x h f x h h→+--的形态与导数的定义形态不一样，故需要对()()0003limh f x h f x h h→+--转化成()()()()000003limh f x h f x f x f x h h→+-+--利用()()()()000003 limh f x h f x f x f x h h→+-+--＝()()()()000003lim3lim3h h f x h f x f x h f x hh→→+---+⋅-即可求解. 【详解】 f ′(x 0)＝()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆＝－3，()()0003limh f x h f x h h→+--＝()()()()000003limh f x h f x f x f x h h→+-+--＝()()()()000003lim 33h f x h f x f x h f x h h →⎡⎤+---+⋅⎢⎥-⎣⎦＝()()()()000003lim3lim3h h f x h f x f x h f x hh→→+---+⋅-＝f ′(x 0)＋3f ′(x 0)＝4f ′(x 0)＝－12. 答案：D 【点睛】本题主要考察导数的定义和极限的运算，本题的难点在于要把极限化成导数定义的形态，需要对分式进行合理变形.属于中等题.二、填空题13．【分析】求出函数的定义域利用导数求出函数的极值点由题意可知函数的极值点在区间内结合题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】函数的定义域为令可得列表如下： 极 解析：()1,2【分析】求出函数()f x 的定义域，利用导数求出函数()f x 的极值点，由题意可知，函数()f x 的极值点在区间()1,1k k -+内，结合题意可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围. 【详解】函数()2ln 2x f x x =-的定义域为()0,∞+，()211x f x x x x ='-=-. 令()0f x '=，0x ，可得1x =，列表如下：所以，函数f x 在1x =处取得极小值，由于函数()2ln 2x f x x =-在其定义域内的一个子区间[]1,1k k -+内不是单调函数，则()11,1k k ∈-+，由题意可得111110k k k -<⎧⎪+>⎨⎪->⎩，解得12k <<.因此，实数k 的取值范围是()1,2. 故答案为：()1,2. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 内存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.14．【详解】因为恒成立所以在R 上递增又所以为奇函数则可化为由递增得解得：0＜a ＜故答案为解析：3(0,)2【详解】因为23+6x 0f x '=（）＞恒成立，所以f x （）在R 上递增，又f x f x =（﹣）﹣（），所以f x （）为奇函数，则1120f a f a +（﹣）（﹣）＜，可化为121f a f a （﹣）＜（﹣）， 由f x （）递增，得1212122212a a a a --⎧⎪--⎨⎪--⎩＜＜＜＜＜，解得：0＜a ＜32，故答案为302⎛⎫⎪⎝⎭，．15．或【分析】在曲线上取切点利用导数得出得出的值可求出切线的方程再将该切线方程与二次函数解析式联立利用求出实数的取值范围【详解】在曲线上取切点由题意可得得切点坐标为则所求切线方程为由于直线与函数的图象相解析：3或1-. 【分析】在曲线()y f x =上取切点(),ln t t ，利用导数得出()1f t '=得出t 的值，可求出切线的方程，再将该切线方程与二次函数()2g x x ax =+解析式联立，利用0∆=求出实数a 的取值范围. 【详解】在曲线()y f x =上取切点(),ln t t ，()ln f x x =，()1f x x'∴=，由题意可得()11f t t'==，得1t =，切点坐标为()1,0，则所求切线方程为1y x =-. 由于直线1y x =-与函数()2g x x ax =+的图象相切，联立得21y x y x ax=-⎧⎨=+⎩， 消去y 并整理得()2110x a x +-+=，则()2214230a a a ∆=--=--=， 解得1a =-或3，故答案为3或1-. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线方程，在求解直线与二次函数图象相切的问题，可以将直线方程与二次函数解析式联立，利用判别式为零来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．【解析】【分析】利用导数二次函数的性质研究函数的单调性由单调性求得函数在上的最值【详解】因为所以利用导数的符号可得函数的增区间为减区间为因为所以在上单调递增在上单调递减当时函数取得最大值所以所以可得 解析：16-【解析】 【分析】利用导数、二次函数的性质研究函数的单调性，由单调性求得函数在[2,2]-上的最值. 【详解】因为32()3f x x x a =-+，所以2'()363(2)f x x x x x =-=-，利用导数的符号，可得函数的增区间为(,0),(2,)-∞+∞，减区间为(0,2)， 因为[2,2]x ∈-，所以()f x 在[2,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减， 当0x =时，函数取得最大值4a =， 所以32()34f x x x =-+，所以(2)812416f -=--+=-，(2)81240f =-+=， 可得当2x =-时，函数取得最小值为16-， 故答案是：16-. 【点睛】该题考查的是有关求函数在某个区间上的最小值的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数最值问题，属于简单题目.17．【解析】【分析】先由函数求f′（x ）＝﹣x ﹣3再由函数f （x ）x2﹣3x+4lnx 在(tt+1)上不单调转化为f′（x ）＝﹣x ﹣30在区间（tt+1）上有解从而有0在（tt+1）上有解进而转化为：x 解析：()0,1【解析】 【分析】先由函数求f ′（x ）＝﹣x ﹣34x +，再由“函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx 在(t ，t +1)上不单调”转化为“f ′（x ）＝﹣x ﹣34x +=0在区间（t ，t +1）上有解”从而有234x x x+-=0在（t ，t +1）上有解，进而转化为：x 2+3x ﹣4＝0在（t ，t +1）上有解，进而求出答案． 【详解】 ∵函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx ， ∴f ′（x ）＝﹣x ﹣34x+， ∵函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx 在（t ，t +1）上不单调， ∴f ′（x ）＝﹣x ﹣34x+=0在（t ，t +1）上有解∴234x x x+-=0在（t ，t +1）上有解∴g （x ）＝x 2+3x ﹣4＝0在（t ，t +1）上有解， 由x 2+3x ﹣4＝0得：x ＝1，或x ＝﹣4（舍）， ∴1∈（t ，t +1）， 即t ∈（0，1），故实数t 的取值范围是（0，1）， 故答案为（0，1）． 【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性与极值的关系，考查了转化思想，属于中档题．18．【分析】求出分三种讨论函数的单调性可得函数的最小值从而得到的值【详解】当时为减函数故解得舍；当时为减函数故舍；当时若故在上为减函数；若故在上为增函数；所以故符合；综上故填【点睛】求函数的最值应结合函 解析：e【分析】 求出'()f x ，分0m ≤，10m e <≤，1m e>三种讨论函数的单调性可得函数的最小值，从而得到m 的值. 【详解】()1'(),0,mx f x x e x-=∈， 当0m ≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，故 ()min 12f x me =-=，解得3m e=，舍；当10m e<≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，()()min 12f x f e me ==-=，故3m e=，舍；当1m e >时，若10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，'()0f x <，故()f x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数； 若1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，'()0f x >，故()f x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数； 所以min 11()ln 2f x m m m=⨯-=，故m e =，符合； 综上，m e =，故填e . 【点睛】求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符号还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．19．【分析】求g （x ）的导数可得x=0处切线的斜率由两直线平行的条件：斜率相等得方程解方程可得b 的值【详解】函数g （x ）=f （x ）+sin2x=x3+2ax2+bx+a2+sin2x 则g′（x ）=3x2 解析：2-【分析】求g （x ）的导数，可得x=0处，切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，得方程，解方程可得b 的值. 【详解】函数g （x ）=f （x ）+sin2x=x 3+2ax 2+bx+a 2+sin2x 则g′（x ）=3x 2+4ax+b+2cos2x ，可得g （x ）在x=0处的切线的斜率为b+2，由题意可得b+2=0，可得b=-2. 【点睛】本题考查了通过导数求切线的斜率，考查了两直线平行的条件：斜率相等；解答本题的关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程.20．233【解析】分析：根据题意在（3﹣2x ）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中令x=0可得a0=243设y=（3﹣2x ）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5解析：233 【解析】分析：根据题意，在（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5中，令x=0可得a 0=243，设y=（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，求出其导数，分析可得y '=﹣104(32)x -=a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4，令x=1可得a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，将其值相加即可得答案．详解：根据题意，（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5中， 令x=0可得：35=a 0，即a 0=243，设y=（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5， 其导数y′=﹣10（3﹣2x ）4=a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x=1可得：﹣10=a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5， 则a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5=243﹣10=233； 故答案为：233点睛：（1）本题主要考查二项式定理的应用和导数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力基本的计算能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是想到赋值法，令x=0可得a 0=243，令x=1可得﹣10=a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5.其二是要看到0123452345a a a a a a +++++要想到求导.三、解答题21．（1）0；（2）1(,]2-∞. 【分析】（1）当0a =时，求导可得()1xf x e '=-，令()0f x '=，解得0x =，分别讨论(),0x ∈-∞和()0,∞+时，()'f x 的正负，即可得()f x 的单调性，即可求得答案；（2）求导可得()21xf x e ax '=--，设()21(0)xh x e ax x =--≥，分别讨论12a ≤和12a >时()h x '的正负，可得()h x 的单调性，进而可得()f x 的单调性，综合分析，即可得答案. 【详解】 （1）当0a =时，()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，令()0f x '=，解得0x =，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞单调递减函数； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+单调递增函数； 所以()()min 00f x f ==.（2）()21xf x e ax x =---，则()21xf x e ax '=--，设()21(0)xh x e ax x =--≥，则()2xh x e a '=-，当12a ≤时，()0h x '≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数， 又(0)0h =，所以()(0)0h x h ≥=，即()0f x '≥， 所以()f x 在在[)0,+∞上为增函数，又(0)0f =， 所以()(0)0f x f ≥=，满足题意；当12a >时，令()0h x '=，解得ln2x a =， 当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，所以()h x 在(0,ln 2)a 为减函数，所以当[0,ln 2)x a ∈时，()(0)0h x h ≤=，即()0f x '≤， 所以()f x 在[0,ln 2)x a ∈为减函数，又(0)0f = 所以()(0)0f x f ，不满足题意，综上：a 的取值范围是1(,]2-∞ 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求解函数单调性，极（最）值的方法，若处理恒成立问题时，需满足min ()0f x ≥，若处理存在性问题时，需满足max ()0f x ≥，需仔细审题，进行求解，属中档题.22．（1）函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）[2,)-+∞. 【分析】（1）先对函数求导，令()0f x '=求出1x =，根据导数的方法，即可得到函数单调性；（2）先由1a =-，得到()ln (1)xg x xe x m x =-++，由分离参数法方法，将原不等式化为1ln 1x x m e x +≥--，构造函数1ln ()1xx h x e x+=--，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，()22(1)()x x x ax e x a xe e f x a x x x+--'=--= ∵0a >，0x >，0x ax e ∴+>，令()0f x '=，得1x =，所以01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （2）当1a =-时，1()()ln (1)x xg x f x x e mx xe x m x x ⎛⎫=+++=-++ ⎪⎝⎭由()1g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，得1ln 1xx m e x+≥--， 设1ln ()1x x h x e x +=--，则222ln ln ()x x x x e xh x e x x-+'=-=-， 设2()ln xx x e x ϕ=+，则0x >时，()21()20xx x x e xϕ'=++>，所以()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0e ϕ=>，1ln 202ϕ⎛⎫=<⎪⎝⎭，所以函数()ϕx 在(0,)+∞上有唯一的零点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭当00x x <<时，()0x ϕ<，()0h x '>，()h x 单调递增; 当0x x >时，()0x ϕ>，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以0x >时，()00max 001ln ()1x x h x h x e x +==-- 所以001ln 1x x m e x +≥--， ()02000ln 0xx x e x ϕ=+=，000011ln x x e x x ∴=，即000011ln ln ln ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为ln y x x =+是增函数，所以0001lnln x x x ==-， 000000001ln 11122x x x x x x m e e e e x x +-∴≥--=--=--=-， 即m 的取值范围为[2,)-+∞. 【点睛】 思路点睛：导数的方法研究由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果. 23．（1）11ln 222+；（2）1；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出其单调性，即可得出函数()f x 的最小值； （2）利用导数的几何意义得出切线方程20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，再由2000012,1ln 0x k x x x -=-+-=求出k 的值； （3）将22111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加相减化简得出2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=-，令211x t x =>，构造函数2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，利用单调性证明2(1)ln 1t t t ->+，从而得出1212ln 22x x x x +>，再由令()ln 2G x x x =+的单调性得出12()(1)G x x G >，从而得出121x x >. 【详解】解：（1）∵2()ln f x x x =-，∴2121()2(0)x f x x x x x-'=-=>当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x在2⎛ ⎝⎭上单调递减；当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，∴()f x在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增． 故函数()f x的最小值为211ln ln 222222f ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）若()g x 是()f x 的切线，设切点为00(,())x f x 则过点00(,())x f x 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ 即20000012()ln y x x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭ 由题意知2000012,1ln 0x k x x x -=-+-= 令2()1ln (0)h x x x x =-+->，则0x >时，1()20h x x x'=--< ∴2()1ln h x x x =-+-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h = ∴2001ln 0x x -+-=有唯一的实根01x =，则0012211k x x =-=-=． （3）由题意知22111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加得22121212ln ()x x x x k x x +-=+两式相减得22221211ln ()x x x k x x x --=-，即212121ln x x x x k x x +-=-∴22211212211221ln ln ()x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪+-=+-+-⎪ ⎪⎝⎭，即2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=- 不妨令120x x <<，记211x t x =>，则2121212211ln 2ln x x xx x x x x x x ++==-1ln 1t t t +- 令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+∴2l ())1n 1(t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+∴2(1)ln 1t t t ->+，因而1212ln 2x x x x +=112(1)ln 2111t t t t t t t ++->⋅=--+ 令()ln 2G x x x =+，则0x >时，1()20G x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增 ∵121212()ln 22(1)G x x x x x x G =+>=，∴121x x >． 【点睛】在处理极值点偏移问题时，关键是构造新函数，结合单调性解决极值点偏移问题. 24．答案见解析 【分析】先求得()f x 的导函数()'fx ，然后对a 分成2a =或1a =-、1a <-或2a >、1a 2-<<等情况进行分类讨论，由此判断()f x 的单调性.【详解】()()()()()'22226621262f x x a a x a a x x a a =--++-=--+，由'0fx，得2x a a =-或2x =，由22a a -=，得1a =-或2a =，当2a =或1a =-时，()()2'620f x x =-≥；当1a <-或2a >时，2>2a a -，()f x 在区间(),2-∞和()2,a a -+∞上，()'0fx >；()22,x a a ∈-，()'0f x <.当1a 2-<<时，22a a -<，()f x 在区间()2,a a -∞-和()2,+∞上，()'0fx >；()2,2x a a ∈-，()'0f x <.综上所述：当2a =或1a =-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当1a <-或2a >时，()f x 在(),2-∞，()2,a a -+∞上单调递增，在()22,a a -上单调递减；当1a 2-<<时，()f x 在()2,a a -∞-，()2,+∞上单调递增，在()2,2a a -上单调递减.【点睛】含参数分类讨论函数的单调性，关键是制定分类标准，可根据导函数零点的分布来制定分类标准.25．（1）1e-；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用导数得到()f x 单调性，确定()()(){}max max 1,1f x f f =-，进而可得结果； （2）将所证不等式转化为证明10x e x -->，构造函数()1xg x e x =--，利用导数可证得()0g x >，从而得到结论.【详解】（1）()()()2212x x x f x e xe x x e '=+--=+-， 当()1,ln 2x ∈-时，()0f x '<；当()ln 2,1x ∈时，()0f x '>，()f x ∴在[)1,ln 2-上单调递减，在(]ln 2,1上单调递增，()()(){}max max 1,1f x f f ∴=-，又()111121f e e-=--+-=-，()11214f e e =---=-， ()()max 11f x f e∴=-=-. （2）要证()1f x x >--，只需证()210x f x x xe x x ++=-->， 0x ，∴只需证：10x e x -->.令()1x g x e x =--，则()1x g x e '=-，当0x >时，e 1x >，()0g x '∴>在()0,∞+上恒成立，()g x ∴在()0,∞+上单调递增， ()0010g x e ∴>--=，即当0x >时，10x e x -->恒成立，则原命题得证， ∴当0x >时，()1f x x >--.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题关键是能够通过分析法将所证不等式进行等价转化，从而构造新函数，利用导数求得新函数的最值使得结论得证.26．（1）()f x 的单调递减区为(0,1)，单调递增区间为[1,)+∞.（2）21b e -≤-【分析】（1）求导后，利用()0f x '>可得单调递增区间，()0f x '<可得单调递减区间； （2）求导后，利用()01f '=可得1a =，将()2f x bx ≥-转化为1ln 1x b x x ≤+-，构造函数1ln ()1x g x x x=+-，利用导数求出()g x 的最小值即可得解. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为1a =，所以()1ln =--f x x x ， 所以1()1f x x '=-1x x-=， 令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x <<， 所以()f x 的单调递减区为(0,1)，单调递增区间为[1,)+∞.（2）因为11()ax f x a x x'-=-=，且函数()f x 在1x =处取得极值， 所以()01f '=，即10a -=，解得1a =，由（1）知，1a =满足题意，所以()1ln =--f x x x ，由已知对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，得1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1x b x x≤+-对()0,x ∀∈+∞恒成立，， 令1ln ()1x g x x x=+-，则2211ln ()x g x x x -'=--2ln 2x x -=， 令()0g x '>，得2x e >，令()0g x '<，得20x e <<， 所以()g x 在2(0,)e 上递减，在2[,)e +∞上递增， 所以当2x e =时，()g x 取得最小值，最小值为22222121()111g e e e e e-=+-=-=-， 所以21b e -≤-.【点睛】 本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用函数的极值求参数，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.。
最新人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．已知函数(),0,,0.lnx x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若0x R ∃∈使得()()00 f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞B ．1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2．已知函数2()85f x x x =---，()x e exg x ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若1x ∀∈[],m n ，2x ∃∈()0,∞+，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．25D ．233．函数tan 22tan y x x =-42x ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．33-B ．3C ．0D ．3-4．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞5．若函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤-B ．2a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≤6．已知函数()=x e xf x x+，1(ln )a f e =，1()2b f =，1()c f e =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>7．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则12a b+的最小值是（ ） A ．2B ．2C ．342+D ．322+8．已知函数()22,22,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)28,4,e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭9．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-10．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7B ．4C ．0D ．﹣411．函数()ln 22f x x x x a =-++，若()f x 与()()f f x 有相同的值域，则a 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞ B ．1,02⎛⎤-⎥⎝⎦C ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞12．α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ>B ．0αβ+>C ．αβ<D ．22αβ>二、填空题13．已知函数()332f x x x =+，()2,2x ∈-，如果()()1120f a f a -+-<成立，则实数a 的取值范围为__________．14．函数f （x ）=lnx+x 的图象在x=1处的切线方程为___． 15．点(),P x y 是曲线C ：()10y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点O 是坐标原点，①PA PB =；②OAB 的面积为定值；③曲线C 上存在两点,M N 使得OMN 是等边三角形；④曲线C 上存在两点M ，N 使得OMN 是等腰直角三角形，其中真命题的序号是______.16．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，则函数()f x 的图象在1ln 2x =处的切线的倾斜角为________. 17．函数()1ln(12)2xf x x x-=+-的导函数是()f x '，则()f x '=______________. 18．已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，那么此函数在[]22-,上的最大值为______.19．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，定义：设()f x "是函数()y f x =的导数()y f x ='的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()00x f x ，为函数()y f x =的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数()3231324f x x x x =-+-，则它的对称中心为______．20．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)=f ________三、解答题21．设函数()21xf x e ax x =---，a R ∈.（1）0a =时，求()f x 的最小值.（2）若()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，求a 的取值范围.22．已知函数(),()1x f x e g x ax ==-，其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数. （1）讨论函数()()()h x f x g x =⋅的单调性；（2）设N ,()()a f x g x +∈≥恒成立，求a 的最大值(ln 3 1.1,ln 20.69)≈≈. 23．已知函数32()f x x ax bx c =+++在0x 处取得极小值32-，其导函数为()'f x ．当x 变化时，()'f x 变化情况如下表：（1）求0x 的值； （2）求,,a b c 的值．24．已知函数()3f x x ax b =-+在1x =处的切线方程为0y =.（1）求实数a 、b 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值之和. 25．已知函数()221xf x xe x x =---.（1）求函数()f x 在[1,1]-上的最大值； （2）证明：当0x >时，()1f x x >--.26．已知函数12()ln e e x f x x x=-- . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：1ln x ex≥-； （Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由已知建立方程，反解出k ，将问题转化为求函数值域问题，然后利用函数的性质求出最值即可求解. 【详解】由题意可得：存在实数00x ≠，使得()()00 f x f x -=成立，假设00x >，则00x -<， 所以有00ln kx x -=， 则0ln x k x =-， 令()ln xh x x=-， 则()2ln 1x h x x -'=， 令()0h x '>，即ln 1x >， 解得x e >，令()0h x '<，即ln 1x <， 解得0x e <<，则()h x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增， 所以()()()ln 1min e h x h x h e e e≥==-=-， 所以1k e≥-， 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查了分段函数的存在性问题，构造函数，利用导函数求最值是解决本题的关键.2．B解析：B 【分析】先用导数法研究()y g x =，然后的同一坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =的图象，根据[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立求解. 【详解】因为()x e exg x ex+=，所以()()211x x e x e g x ex ex '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭， 当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()10g '=， 所以()g x 在1x =处取得极小值，且为定义域内唯一极值，()()min 12g x g ∴==.()22185()4111f x x x x -==---++≤，作函数()y f x =与()y g x =的图象， 如图所示：当()2f x =时，方程两根分别为7-和1-， 则n m -的最大值为：()176---=. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用导数和二次函数的性质，作出图像，利用数形结合进行求解，考查了转化化归的的思想、运算求解，以及数形结合的能力，属于中档题.3．A解析：A 【分析】化简可得322tan 1tan xy x=-，令tan t x =，()1,t ∈+∞，则3221t y t =-，求出函数导数，利用导数判断函数的单调性即可求出最值. 【详解】可得3222tan 2tan tan 22tan 2tan 1tan 1tan x xy x x x x x =-=-=--， 令tan t x =，则()1,t ∈+∞，则3221t y t=-， 则()()()()()22322222261222311t t t t t t y t t --⨯--'==--，当(t ∈时，0y '>，函数单调递增，当)t ∈+∞时，0y '<，函数单调递减，所以当t =时，()3max 221y ⨯==--.故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键是利用换元法将函数化为3221t y t=-，然后利用导数讨论其单调性即可求出最值.4．D解析：D 【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间.【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e =，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.5．C解析：C 【分析】利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数a 的取值范围． 【详解】 解：函数sin ()cos x af x x+= 则2cos cos sin (sin )()x x x x a f x cos x++'=(0,)2x π∈上，2cos 0x ∴>要使函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增， 22cos sin sin 0x x a x ∴++≥在(0,)2x π∈上恒成立，即：sin 10a x +≥在(0,)2x π∈上恒成立，(0,)2x π∈上，sin (0,1)x ∈1a ∴-故选：C ． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．6．B解析：B 【分析】求出()f x 的导数，根据导数判断出函数的单调性，再根据111ln ,,2e e的大小关系即可判断. 【详解】()=x e xf x x+，0x ≠()()()()2211xx x e x e x e x f x x x+-+-'∴==， 当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，11012e <<<，112f f e ⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且1112f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 1ln 10e =-<，()11ln 111f f e e ⎛⎫∴=-=-< ⎪⎝⎭，111ln 2f f f e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c b a >>.故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，注意函数的定义域为{}0x x ≠，故单调区间有3个，故在判断1(ln )a f e=的大小的时候应从函数值判断，而不能直接利用单调性.7．D解析：D 【分析】由导数的几何意义转化条件得1a b +=，进而可得1223b a a b a b+=++，由基本不等式即可得解. 【详解】因为函数ln()y x b =+的导数1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 所以11x b=+即切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-得10b a --=，即1a b +=， 又a 、b 为正实数，所以()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =，2b =.所以12a b +的最小值是3+. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数几何意义及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.8．C解析：C 【分析】当2x ≥时，利用导数研究函数的单调性，()()g x f x m =-有两个零点，即()y f x =的图象与直线y m =有两个交点，结合函数图象，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：当2x ≥时，设()22x x x hx e +=，则()()()2222222x x x xx e x x e x h x e e +-+-'==-， 易知当2x >时，()0h x '<，即()h x 是减函数，∴2x =时，()()2max 82h eh x ==， 又x →+∞时，()0h x →且()0h x >，而2x ≤时，()2f x x =+是增函数，()24f =．()()g x f x m =-有两个零点，即()y f x =的图象与直线y m =有两个交点，函数()22,22,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象如下所示：所以280m e <<．故选:C ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数方程思想与数形结合思想，属于中档题.9．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-， 故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.10．A解析：A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 11．B解析：B 【分析】判断()f x 的单调性，求出()f x 的值域，根据()y f x =与(())y f f x =有相同的值域得出()f x 的最小值与极小值点的关系，得出a 的范围．【详解】()f x lnx '=，故而当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()f x ∴的最小值为()121f a =+，且x →+∞时，()f x →+∞即()f x 的值域为[)21,a ++∞，函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，且()f x 的定义域为(0,)+∞，0211a ∴<+≤，解得：102-<≤a ．故选：B【点睛】本题考查了导数研究函数的单调性，考查函数最值的计算，属于中档题． 12．D解析：D【分析】构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.【详解】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又 ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】 本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.二、填空题13．【详解】因为恒成立所以在R 上递增又所以为奇函数则可化为由递增得解得：0＜a ＜故答案为 解析：3(0,)2【详解】因为23+6x 0f x '=（）＞恒成立，所以f x （）在R 上递增，又f x f x =（﹣）﹣（），所以f x （）为奇函数，则1120f a f a +（﹣）（﹣）＜，可化为121f a f a （﹣）＜（﹣），由f x （）递增，得1212122212a a a a --⎧⎪--⎨⎪--⎩＜＜＜＜＜，解得：0＜a ＜32，故答案为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 14．2x ﹣y ﹣1=0【分析】求出f （x ）的导数可得切线的斜率和切点即可得到所求切线的方程【详解】函数f （x ）=lnx+x 的导数为可得函数f （x ）的图象在x=1处的切线斜率为k=2切点为（11）可得切线的解析：2x ﹣y ﹣1=0【分析】求出f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程.【详解】函数f （x ）=lnx +x 的导数为()11f x x'=+， 可得函数f （x ）的图象在x =1处的切线斜率为k =2，切点为（1，1），可得切线的方程为y ﹣1=2（x ﹣1）；即2x ﹣y ﹣1=0．故答案为2x ﹣y ﹣1=0．【点睛】本题考查利用导数求切线的方程，是基本题．15．①②③④【分析】利用导数的几何意义求得过点的切线方程结合函数性质对每个选项进行逐一分析即可容易判断和选择【详解】设点由得切线方程：即∴∴为中点∴①正确；②正确；过原点作倾斜角等于和的2条射线与曲线的解析：①②③④【分析】利用导数的几何意义求得过点P 的切线方程，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断和选择.【详解】 设点()1,0P a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 由21y x '=-得切线方程：()211y x a a a -=--，即212y x a a=-+ ∴()2,0A a ，20,B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为AB 中点， ∴PA PB =，①正确；1122222AOB S OA OB a a=⋅=⨯⨯=△，②正确； 过原点作倾斜角等于15︒和75︒的2条射线与曲线的交点为,M N由对称性可知OMN 中，=OM ON ，又60MON ∠=︒， ∴OMN 为等边三角形，③正确；过原点作2条夹角等于45︒的射线与曲线交于点,M N ，当直线OM 的倾斜角从90︒减少到45︒的过程中，OM ON 的值从+∞变化到0， 在此变化过程中必然存在OM ON 2和22的时刻， 此时OMN 为等腰直角三角形，④正确.∴真命题的个数为4个.故答案为：①②③④.【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及函数性质的应用，属综合中档题.16．【分析】设则求得的值进而得到的解析式然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解【详解】设则因为为单调函数故不随的变化而变化即是常数又切线斜率为1所以倾斜角为∴答案为:【点睛】本题考查利用换元 解析：45︒【分析】设2()log t f x x =-，则()3f t =，求得t 的值，进而得到()f x 的解析式，然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解.【详解】设2()log t f x x =-，则()3f t =.因为()f x 为单调函数，故t 不随x 的变化而变化即t 是常数.又2()log f x x t =+，，2log 3t t +=，2t =，2()log 2f x x =+，1()ln 2f x x '=，11ln 2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，切线斜率为1， 所以倾斜角为45︒.∴答案为:45︒.【点睛】本题考查利用换元法和方程思想求函数的解析式，利用导数的几何意义研究函数的切线问题，涉及对数函数的导数公式和导数的运算，属小综合题，关键点在于利用换元法和方程思想求得函数的解析式，在于对数函数的导数公式的准确性掌握，难度一般.17．【分析】利用基本函数求导公式和导数运算法则求出导数然后代入求值【详解】解：因为由于且解得：且即的定义域为：即：故答案为：【点睛】本题考查基本函数求导公式和导数运算法则以及复合函数求导考查计算能力 解析：23242142x x x x -+--+ 【分析】利用基本函数求导公式和导数运算法则，求出导数，然后代入求值．【详解】解：因为()1ln(12)2x f x x x-=+-， 由于20x ≠且120x ->，解得：12x <且0x ≠， 即()f x 的定义域为：()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭， ()()11()ln 12()ln 1222x x f x x x x x '--⎡⎤''∴=+-='+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 2223222(1)14214122122242x x x x x x x x x x -----+-=-+=+=-+---， 即：()23242142x x f x x x -+-'=-+. 故答案为：23242142x x x x -+--+． 【点睛】本题考查基本函数求导公式和导数运算法则，以及复合函数求导，考查计算能力． 18．43【分析】先求导数判断函数单调性和极值结合（为常数）在上有最小值3求出的值再根据单调性和极值求出函数的最大值【详解】令解得或当时单调递减当时单调递增当时单调递减所以在时有极小值也是上的最小值即函数 解析：43.【分析】先求导数，判断函数单调性和极值，结合32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，求出m 的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值.【详解】32()26f x x x m =-++，2()6126(2)f x x x x x '∴=-+=--,令 ()0f x '=，解得 0x =或2x =，当20x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减，当02x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当2x >时，()0,()f x f x '<单调递减， 所以()f x 在0x =时有极小值，也是[]22-,上的最小值， 即(0)3f m ==，函数在[]22-,上的最大值在2x =-或2x =时取得， 3232(2)2(2)6(2)343;(2)2262311f f -=-⨯-+⨯-+==-⨯+⨯+=， ∴函数在[]22-,上的最大值为43.故答案为：43【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题. 19．【分析】根据拐点的定义令解得则由拐点的性质可得结果【详解】∵函数∴∴令解得且所以函数对称中心为故答案为【点睛】本题主要考查导数的运算以及新定义问题属于中档题新定义题型的特点是：通过给出一个新概念或约 解析：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】根据拐点的定义，令()630f x x "=-=，解得12x =，则112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由拐点的性质可得结果.【详解】∵函数()3231324f x x x x =-+-， ∴()2333f x x x '=-+，∴()63f x x "=-． 令()630f x x "=-=，解得12x =，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以函数()3231324f x x x x =-+-对称中心为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故答案为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查导数的运算，以及新定义问题，属于中档题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.20．-1【解析】【分析】首先对函数求导然后利用方程思想求解的值即可【详解】由函数的解析式可得：令可得：则【点睛】本题主要考查导数的运算法则基本初等函数的导数公式方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力 解析：-1【解析】【分析】首先对函数求导，然后利用方程思想求解()'1f 的值即可.【详解】由函数的解析式可得：()()1'2'1f x f x=+， 令1x =可得：()()1'12'11f f =+，则()'11f =-.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题21．（1）0；（2）1(,]2-∞.【分析】（1）当0a =时，求导可得()1x f x e '=-，令()0f x '=，解得0x =，分别讨论(),0x ∈-∞和()0,∞+时，()'f x 的正负，即可得()f x 的单调性，即可求得答案；（2）求导可得()21x f x e ax '=--，设()21(0)x h x e ax x =--≥，分别讨论12a ≤和12a >时()h x '的正负，可得()h x 的单调性，进而可得()f x 的单调性，综合分析，即可得答案.【详解】 （1）当0a =时，()1x f x e x =--，则()1xf x e '=-， 令()0f x '=，解得0x =，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞单调递减函数；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+单调递增函数；所以()()min 00f x f ==.（2）()21x f x e ax x =---，则()21x f x e ax '=--，设()21(0)xh x e ax x =--≥，则()2x h x e a '=-， 当12a ≤时，()0h x '≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数， 又(0)0h =，所以()(0)0h x h ≥=，即()0f x '≥，所以()f x 在在[)0,+∞上为增函数，又(0)0f =，所以()(0)0f x f ≥=，满足题意； 当12a >时，令()0h x '=，解得ln2x a =， 当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，所以()h x 在(0,ln 2)a 为减函数，所以当[0,ln 2)x a ∈时，()(0)0h x h ≤=，即()0f x '≤，所以()f x 在[0,ln 2)x a ∈为减函数，又(0)0f =所以()(0)0f x f ，不满足题意，综上：a 的取值范围是1(,]2-∞【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求解函数单调性，极（最）值的方法，若处理恒成立问题时，需满足min ()0f x ≥，若处理存在性问题时，需满足max ()0f x ≥，需仔细审题，进行求解，属中档题.22．（1）答案见解析；（2）3.【分析】（1）求函数导数得()(1)x h x e ax a -'=+，再分0a =、0a >和0a <，由导数的正负判断单调性即可；（2）设函数()()()1x F x f x g x e ax =-=-+，通过求导得min ()(ln )ln 10F x F a a a a ==-+≥，再构造()ln 1G a a a a =-+，1a ≥，求导数根据单调性，结合零点存在性定理即可得解.【详解】（1）由题意得()()()(1)x h x f x g x e ax =⋅=-，则()(1)(1)x x x h x e ax ae e ax a =-+=-+'当0a =时，()0x h x e =-<'恒成立，函数()h x 单调递减；当0a >时，令()0h x '>得1a x a ->，令()0h x '<得1a x a -<， 函数()h x 在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减. 当0a <时，令()0h x '>得1a x a -<，令()0h x '<得1a x a ->， 函数()h x 在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （2）设函数()()()1x F x f x g x e ax =-=-+，所以()xF x e a =-'，令()0F x '=得ln ,(0)x a a =>. 当ln x a <时，()0F x '<；当ln x a >时，()0F x '>所以()F x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增,所以min ()(ln )ln 1F x F a a a a ==-+因为要使得()()f x g x ≥恒成立，只要()0F x ≥恒成立即min ()(ln )ln 10F x F a a a a ==-+≥设()ln 1G a a a a =-+，1a ≥∴()ln 0G a a =-≤'，∴()G a 在1a ≥上单调递减，又(3)33ln 314 3.30G =-+≈->，(4)44ln 415 5.520G =-+≈-<，且()G a 图象连续不断，又a N +∈，所以满足条件的a 的最大值为3.【点睛】思路点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.23．（1）01x =；（2）1,2,02a b c =-=-=.【分析】（1）由表可得出1x =是极小值点；（2）由题可得()01f '=，3(1)2f =-，2()03f '-=，由此可求出. 【详解】解：（1）由题意可知，2()32f x x ax b '=++ 当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>.所以()f x 在区间2(,1)3-上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增. 故1x =时，函数()f x 有极小值，所以01x =.（2）由（1）知1x =为函数()f x 的极小值点，得()01f '=，即320a b ++=.①因为函数()f x 的极小值为32-，所以3(1)2f =-， 即312a b c +++=-，整理得：52a b c ++=-.② 由题可知23x =-为函数()f x 的极大值点，所以2()03f '-=， 即44033a b -+=.③ 联立①②③得：1,2,02a b c =-=-=.【点睛】关键点睛：本题考查函数的导数与极值的关系，解题得关键是知道函数在极值点处的函数值为0.24．（1）3a =，2b =；（2）4.【分析】（1）求出切点的坐标，利用切线的斜率和切点的坐标可得出关于实数a 、b 的方程组，进而可解得实数a 、b 的值；（2）利用导数分析函数()f x 在区间[]1,2-上的单调性，可求得该函数在区间[]1,2-上的最大值和最小值，由此可求得结果.【详解】（1）由已知得切点为()1,0，且()23f x x a '=-， ()()110130f a b f a ⎧=-+=⎪∴⎨=-='⎪⎩，解得3a =，2b =； （2）由（1）知()332f x x x =-+，233f x x ，当12x <≤时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减.所以，()()min 10f x f ==，又()14f -=，()24f =，()max 4f x ∴=.因此，函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值之和为4.【点睛】在利用导数求解函数的最值的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数()y f x =在[],a b 内所有使()0f x '=的点，再计算函数()y f x =在区间内所有使()0f x '=的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．25．（1）1e -；（2）证明见解析.【分析】（1）利用导数得到()f x 单调性，确定()()(){}max max 1,1f x f f =-，进而可得结果； （2）将所证不等式转化为证明10x e x -->，构造函数()1x g x e x =--，利用导数可证得()0g x >，从而得到结论.【详解】（1）()()()2212x x x f x e xe x x e '=+--=+-， 当()1,ln 2x ∈-时，()0f x '<；当()ln 2,1x ∈时，()0f x '>，()f x ∴在[)1,ln 2-上单调递减，在(]ln 2,1上单调递增，()()(){}max max 1,1f x f f ∴=-，又()111121f e e-=--+-=-，()11214f e e =---=-， ()()max 11f x f e∴=-=-. （2）要证()1f x x >--，只需证()210x f x x xe x x ++=-->， 0x ，∴只需证：10x e x -->.令()1x g x e x =--，则()1x g x e '=-，当0x >时，e 1x >，()0g x '∴>在()0,∞+上恒成立，()g x ∴在()0,∞+上单调递增， ()0010g x e ∴>--=，即当0x >时，10x e x -->恒成立，则原命题得证， ∴当0x >时，()1f x x >--.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题关键是能够通过分析法将所证不等式进行等价转化，从而构造新函数，利用导数求得新函数的最值使得结论得证.26．（Ⅰ）12()+10e e x y -1--=；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】试题分析：（1）求导()2112x f x e x ex =--+'，得到切线斜率()111ef '=-，利用点斜式得到直线的方程；（2）“要证明()1ln 0x x ex ≥->”等价于“1ln e x x ≥-”，构造新函数确定函数的最小值大于等于1e -即可；（3）曲线()y f x =是位于x 轴下方即证明(f x ) 0<，利用（Ⅱ）可知()1111x x x f x e ex x e e ⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭，转证()10x x k x e e=-<即可. 试题函数的定义域为()0,+∞， ()2112x f x e x ex =--+'. （Ⅰ）()111e f '=-，又()11e f =-， 曲线()y f x =在1x =处的切线方程为11111e e ey x ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭， 即121+10x y e e ⎛⎫---= ⎪⎝⎭. （Ⅱ）“要证明1ln (0)x x ex ≥->”等价于“1ln e x x ≥-” 设函数()ln g x x x =.令()=1+ln 0g x x '=，解得1x e=.因此，函数()g x 的最小值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故1ln x x e ≥-. 即1ln x ex≥-. （Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下：由（Ⅱ）可知1ln x ex≥-，所以()1111x x x f x e ex x e e ⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭. 设()1x x k x e e =-，则()1x x k x e='-. 令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >.所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数. 所以当0x >时，()()1=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，()10k =. 又因为()110ef =-<， 所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方.点睛：在导函数中证明不等式的方法：(1)直接构造新函数，转为新函数的最值问题；(2)构造两个函数，转化为两个函数的最值比较，即最小值大于最大值； （3）利用上一问进行合理的放缩，简化后再进行证明．。
2023-2024学年高考数学一元函数的导数及其应用专项练习题(附答案)
2023-2024学年高考数学一元函数的导数及其应用小专题一、单选题1．已知函数在区间上不单调，则实数a 的取值范围为（ ）()ln 2f x x ax =--(1,2)A ．B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知函数若有两个零点，则的取值范()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩()[]()1F x f f x m =++12,x x 12x x +围是（ ）A ．B ．C ．D ．[)42ln2,-+∞)1e,⎡++∞⎣)42ln2,1e ⎡-+⎣(),1e -∞+3．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是()f x R ()f x '()()f x f x '<e 自然对数的底，则一定成立的是（ ）A ．B ．(2019)e (2020)<f f e (2019)(2020)<f f C ．D ．e (2019)(2020)>f f ()()2019e 2020f f >4．函数的图象在点处的切线方程是（ ）()4e 2x f x x =--()()0,0f A ．B ．C ．D ．310x y ++=310x y +-=310x y -+=310x y --=5．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取()()()210e 210xxx f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩()()1y f f x a =--a 值范围是（ ）A ．B ．(]11,12,3e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (]111,12,33e e ⎛⎫⎧⎫++⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ C ．D ．[)111,12,33e e ⎛⎫⎧⎫++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ (]21,12,3e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 6．已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）()2e ln 2xx f x x =+-1x ()ln 2xh x x =2x A ．B ．C ．D ．12x x >21x x >12x x ≥21x x ≥7．若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）120x x a <<<211212ln ln 2x x x x x x ->-a A ．1B ．C ．D ．e1e128．已知是方程的一个根，则的值是（ ）0x 34e 2ln 40x x x -+-=042e2ln x x -+A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题9．曲线在点处的切线与其平行直线l 的距离为，则直线l 的方程可能为2e cos3xy x =()0,15（ ）A ．B ．26y x =+24y x =-C ．D ．31y x =+34y x =-10．已知函数是自然对数的底数，则（ ）ln (),e xf x x =A ．(2)(3)f f >B ．若，则1221ln ln =x x x x 212ex x +=C ．的最大值为()f x 1eD ．若关于的不等式有正整数解，则x 119x x λ⎛⎫≤⎪⎝⎭6λ≥11．设函数，定义域交集为，若存在，使得对任意都有()f x ()g x I 0x I ∈x I ∈，则称构成“相关函数对”.则下列所给两个函数构成“相()()()()00f x g x x x --≥()()(),f x g x 关函数对”的有（ ）A ．B ．()()()()e R ,1R xf x xg x x x =∈=+∈()()()()1ln 0,0f x x x g x x x=>=>C ．D ．()()()()10,R 2xf x x xg x x ⎛⎫=≥=∈ ⎪⎝⎭()()()()2R ,R f x x x g x x x =∈=∈12．已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ）()y f x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x '()()sin cos f x f x x x '>A ．B ．ππ234f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π426f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．()2cos11π6f f ⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭π2(1)cos13f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭三、填空题13．曲线在点处的切线的斜率为.21()ln 2f x x x x =+()()1,1f 14．已知函数在上存在唯一零点x ，则实数k 的值为．()e x f x kx=-()0,∞+15．函数的极小值点为．()3231f x x x =-+16．设函数的定义域为，若对任意，存在，使（为()f x D x D ∈y D ∈()()2f x f y C-=C 常数）成立，则称函数在上的“半差值”为.下列四个函数中，满足所在定义域上“半()f x D C 差值”为2的函数是（填上所有满足条件的函数序号）.①②③31y x =-()e 1xy x =+④2log y x =sin y x=答案：1．B【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对()f x (1,2)()f x (1,2)函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等()f x a (1,2)a 式，即可求出结果．【详解】由.11()'-=-=ax f x a x x ①当时，函数单调递增，不合题意；0a ≤()f x ②当时，函数的极值点为，0a >()f x 1x a =若函数在区间不单调，必有，解得；()f x (1,2)112a <<112a <<综上所述：实数a 的取值范围为.1,12⎛⎫⎪⎝⎭故选：B.2．A【分析】依题意可得有两个根，根据的解析式，分别求出的表()e 1m f x -=-12,x x ()f x 12,x x 达式，再根据导数求的取值范围.12x x +【详解】由题意可知，当时，，所以；1x ≥()1ln 11f x x +=+≥()()()1ln 1f f x f x ⎡⎤+=+⎣⎦当时，，所以，1x <()311121222x x f x +=-+=->>()()()1ln 1f f x f x ⎡⎤+=+⎣⎦综上，对，有，R x ∀∈()()()1ln 1f f x f x ⎡⎤+=+⎣⎦由有两个零点，即方程有两个根，()[]()1F x f f x m=++12,x x ()()ln 10f x m ++=12,x x 即方程有两个根，不妨设,()e 1m f x -=-12,x x 12x x <易知函数在上单调递减，在上单调递增，()f x (),1∞-[)1,+∞当时，,当时，1x ≥2ln e1mx -=-1x <11e 12m x --=-令，因为，所以，e 1mt -=-11122x ->12t >所以，则，21e ,22tx x t ==-121e 22,2t x x t t +=-+>令，()1e 22,2t g t t t =-+>，令，解得，()e 2t g t '=-()0g t '>ln 2t >所以函数在上单调递增，在上单调递减， ()g t ()ln2,∞+1,ln22⎛⎫ ⎪⎝⎭当时.ln2t =()ln2min e 2ln2242ln2g t =-+=-所以函数的值域为，()g t [)42ln2,∞-+即的取值范围是.12x x +[)42ln2,∞-+故选：A.3．B【分析】构造新函数，通过导数研究该函数的单调性，利用单调性比较大小，()()e xf x F x =可得结果.【详解】令，则，()()e xf x F x =()()()-=''x f x x f x F e 由，所以，()()f x f x '<()0F x '>故函数为上的单调递增，所以，()F x R ()()20202019F F >故，即，故B 正确，C 错误；20202019(2020)(2019)>e f f e ()()e 20192020f f <对于AD 无法判断其正误，例如，则，满足题意，()-=-x f x e ()-'=xf x e 此时，即20192019(2019)e ,e (2020)e --=-=-f f ()()2019e 2020=f f 故AD 不一定成立.故选：B 4．D【分析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.【详解】因为，所以．因为，()44e 1x f x '=-()03k f '==()01f =-所以切线方程为，即．13y x +=310x y --=故选：D.5．B当时，由得0x <()10f x -=x 点为-2，0，函数有三个零点，当且仅当(())1y f f x a =--()2f x a =-()f x a =所以实数的取值范围是.a 11(1,1)(2,3]{3}e e ++ 故选：B.关键点睛：本题的关键是利用作出函数图象，利用换元法解决嵌套函数问题，最后转化为直线与函数图象交点个数问题.6．A【分析】根据题目条件求出，，即可判断．111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2112e 4x =<【详解】的定义域为，()2e ln 2xx f x x =+-()0,∞+在上单调递增，且，，()1e x f x x x '=+-()0,∞+1213022e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭41e 154104f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭所以，，111,42x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭1111e 0xx x +-=所以当时，当时，即在上单调递减，在10x x <<()0f x '<1x x >()0f x ¢>()f x ()10,x 上单调递增，()1,x +∞则在处取得极小值且．()f x 1x x =111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的定义域为，由，()ln 2x h x x =()0,∞+()2222ln 1ln 42x x h x x x --'==当时，，当时，，()0,e x ∈()0h x '>()e,+x ∈∞()0h x '<故在处取得极大值，也是最大值，，()ln 2x h x x =e x =()()max ln e 1e 2e 2e h x h ===即．所以．2112e 4x =<12x x >故选：A 7．C【分析】问题转化为，构造函数，易得在定义域上单调1212ln 2ln 2x x x x ++<ln 2()x f x x +=()f x (0,)a 递增，所以在上恒成立，进而可求出的最大值．()0f x '≥(0,)a a 【详解】解：，，，120x x a <<< 120x x ∴-<211212ln ln 2()x x x x x x ∴-<-，，∴121221ln ln 22x x x x x x -<-∴1212ln 2ln 2x x x x ++<函数在定义域上单调递增，∴ln 2()x f x x +=(0,)a 在上恒成立，∴221(ln 2)ln 1()0x x f x x x -+--'==>(0,)a 则，解得，故的最大值是．ln 10x -->10e x <<a 1e 故选：C ．8．B【分析】化简方程，利用构造函数法，结合导数求得，由此求得34e 2ln 40x x x -+-=42ex x -=的值.042e2ln x x -+【详解】依题意，，0x >由，得，34e 2ln 40x x x -+-=3ln 4e e 3ln 4ln x x x x x x -⋅++-=+，3ln 4ln e 3ln 4e ln x x x x x x +-++-=+设单调递增，()()()e ,e 10,x x f x x f x f x '=+=+>由得，()()3ln 4ln f x x f x +-=3ln 4ln x x x +-=即，即，所以，2ln 4x x +=4ln 2x x -=42e xx -=所以.042000e2ln 2ln 4x x x x -=++=故选：B 9．AB【分析】由导数的几何意义求出切线方程，再根据平行直线间的距离公式可求出结果.【详解】，，()222e cos3e 3sin 3x x y x x '=+-()2e 2cos33sin 3x x x =-0|2x y ='=所以曲线在点处的切线方程为，即，2e cos3xy x =()0,112(0)y x -=-210x y -+=设直线（），:20l x y t -+=1t ≠依题意得，解得或，22|1|521t -=+6t =4t =-所以直线的方程为或.l 26y x =+24y x =-故选：AB 10．CD【分析】根据已知，利用特值法、导数与函数的单调性以及结合函数图象进行计算求解.又因为，所以ln 2ln 8ln 3ln 92636=<=当时，由可知，必有0λ<ln ln 90x x λ≥>故选：CD.右侧图象中的图象高于的图象，在的左侧图象中的图象低于的图象.()f x ()g x 0x x =()f x ()g x 对于A 项，令，()()()e 1xh x f x g x x =-=--则，()e 1xh x '=-，，()00h x x >⇒>'()00h x x <⇒<'所以在上单调递减，在上单调递增，()h x (,0)-∞(0,)+∞所以，()(0)0h x h ≥=即恒成立，所以不符合题意，故A 项不成立；()()f x g x ≥对于B 项，令，，1()()()ln x f x g x x x ϕ=-=-0x >则，211()0x x x ϕ'=+>所以在上单调递增，()ϕx (0,)+∞又因为，，(1)ln1110ϕ=-=-<1(e)ln e 0eϕ=->所以由零点存在性定理知，存在唯一，使得，0(1,e)x ∈0()0x ϕ=则对任意，不等式恒成立，符合题意，故B 项正确；,()0x ∈+∞0[()()]()0f x g x x x --≥对于C 项，，1()()()()2xm x f x g x x =-=-则，1211()()ln 2022x m x x -'=+>所以在单调递增，()m x [0,)+∞又因为，，(0)10m =-<1(1)02m =>所以由零点存在性定理知，存在唯一，使得，0(0,1)x ∈0()0m x =则对任意，不等式恒成立，符合题意，故C 项正确；[0,)x ∈+∞0[()()]()0f x g x x x --≥对于D 项，因为，解得：或，()()f x g x =0x =1x =所以图象与图象有两个交点，不符合题意，故D 项不成立.()f x ()g x 故选：BC.12．AD【分析】由题设得，构造并应用导数研究单调性，()cos ()sin f x x f x x '>()()cos g x f x x =【详解】因为，所以，又，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0,cos 0x x >>()()sin cos f x f x x x '>所以，()cos ()sin f x x f x x '>构造函数，，则，()()cos g x f x x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()cos ()sin 0g x f x x f x x ''=->所以在上为增函数，()g x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，所以，即，即，故A 正确；ππ34>ππ34g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos 3344f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ234f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，即，故，故B 错ππ46>ππ46g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos 4466f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6π426f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭误；因为，所以，即，故，故C 错误；π16<()π16g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭ππcos (1)cos166f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭π23(1)cos163f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭因为，所以，即，故，故D 正确.π13>()π13g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭ππcos (1)cos133f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭π2(1)cos13f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭故选：AD 关键点点睛：将已知条件转化为，进而构造研究单调()cos ()sin f x x f x x '>()()cos g x f x x =性为关键.13．2【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率即可.()1f '【详解】由可得，21()ln 2f x x x x =+()ln 1f x x x =++'于是.()11ln112f +'=+=所以曲线在点处的切线的斜率为.21()ln 2f x x x x =+()()1,1f 2故答案为.214．e【分析】根据零点定义，结合导数的性质进行求解即可.【详解】因为函数在上存在唯一零点x ，()e x f x kx =-()0,∞+所以当时，函数有最小值所以当时，两个函数的图象有唯一交点，符合题意，e =k 故e方法点睛：函数的零点问题一般可以转化为方程实根问题或者转化为两个函数交点问题15．2【分析】利用导数判断单调性，进而判断极小值点【分析】①③中函数值域为，可直接判断；②④中求出的值域和值域，看R ()f x ()4f y +是否符合题目要求的包含关系来判断.【详解】①：因为函数的值域是全体实数集，所以对于任意，存在，31y x =-x ∈R R y ∈使成立，符合题意()()22f x f y -=②：，()()e 1e 2x x y x y x '=+⇒=+当时，，该函数此时单调递增，当时，，该函数此时单调递减，2x >-0'>y <2x -0'<y 所以当时，函数有最小值，2x =-2e --若是“半差值”为2的函数，因此有，存在，使成立，()e 1xy x =+x ∀∈R R y ∈()()22f x f y -=即，即的值域是值域的子集，()()4f x f y =+()f x ()4f y +对于，，而，显然，不一定存在，使x ∀∈R ()2e f x -≥-()24e 4f y -+≥-+x ∀∈R R y ∈成立，故本函数不符合题意；()()22f x f y -=③：因为函数的值域是全体实数集，所以对于，存在，使2log y x =x ∀∈R R y ∈成立，符合题意；()()22f x f y -=④：若是实数集上的“半差值”为2的函数，因此有，存在，使sin y x =x ∀∈R R y ∈，即，即的值域是值域的子集()()22f x f y -=()()4f x f y =+()f x ()4f y +对于，，而，显然恒不成立，故假设不成x ∀∈R ()11f x -≤≤()345f y ≤+≤()()4f x f y =+立，所以本函数不符合题意.故①③.。
第五章一元函数的导数及其应用单元综合测试卷(原卷版)
第五章 一元函数的导数及其应用 单元综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()f x 在1x =处的导数为2，则()()011lim2x f x f x ∆→+∆-=∆ ( ) A ．2 B ．1 C ．12 D ．62．已知函数()()22cos f x t g x x ==，，则（ ）A ．()()0,2sin f x g x x ''==-B ．()()2,2sin f x t g x x =-''=C ．()()02sin f x g x x ''==，D ．()()2,2sin f x t g x x =''=3．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()2322l t t t =+，则当3s t =时，该运动员的滑雪速度为（ ） A ．7.5m /s B ．13.5m /s C ．16.5m /s D ．22.5m /s4．函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数(=cos2ln y x x ⋅的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．6．设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '-++<，则（ ） A ．()()2130f f >>B ．()()2130f f <<C ．()()2310f f >>D ．()()2310f f <<7．给定函数()()1e x f x x =-，则下列结论不正确的是（ ）A ．函数()f x 有两个零点B ．函数()f x 在()1,+∞上单调递增C ．函数()f x 的最小值是1-D ．当1a =-或0a ≥时，方程()f x a =有1个解8．若120x x a <<≤都有211212ln ln x x x x x x -<-成立，则a 的最大值为（ ）A ．12 B ．1 C ．e D ．2e二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试题与答案解析(共四套)
高中数学选择性必修二《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（一）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．函数2()(1)f x x =+的导函数为（ ）A ．()1f x x '=+B ．()21f x x '=+C ．()2f x x '=+D ．()22f x x '=+ 2．曲线2y x x =+在点(1,2)P 处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图像，则下面判断正确的是( )A ．在区间（-2,1）上()f x 是增函数B ．在区间（1,3）上()f x 是减函数C ．在区间（4,5）上()f x 是增函数D ．当4x =时，()f x 取极大值4．设曲线()ln 1axy e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．35．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π4a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a << 6．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2 B ．12 C ．ln 2e D ．()ln 2e 7．设函数23()ln 2=+-f x x ax x ，若1x =是函数()f x 是极大值点，则函数()f x 的极小值为（ ）A ．ln 22-B ．ln21-C ．ln 32-D ．ln31-8．若函数()33=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,4-B ．()1,4-C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分） 9．若直线12y x b =+是函数()f x 图像的一条切线，则函数()f x 可以是（ ） A ．1()f x x=B ．4()f x x = C ．()sin f x x = D ．()x f x e = 10．对于函数()2ln xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．()2f ff <<D ．若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则2ek > 11．如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）A ．函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内单调递增 B ．函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减 C ．函数()y f x =在区间()4,5内单调递增 D ．当2x =时，函数()y f x =有极大值12．已知函数()32391f x x x x =+-+，若()f x 在区间(],2k 上的最大值为28，则实数k 的值可以是（ ）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．已知函数f(x)=e xlnx ，()'f x 为f(x)的导函数，则()'1f 的值为__________．14．已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极小值10，则a b +=___________． 15．已知函数()2sin f x x x =-，若正实数,a b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是__________．16．已知函数()(ln )f x x x ax =-有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是_____.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．已知32()f x ax bx x c =+++，在1x =与13x =-处都取得极值. （1）求实数a ，b 的值；（2）若对任意[1x ∈-，2]，都有2()f x c <成立，求实数c 的取值范围.18．已知函数2()ln f x x x ax =--.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19．设函数()2ln 3f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的极大值点；（2）若关于x 的方程()()23f x x m x =+-在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.20．已知函数()()ln 1f x a x x x =-+-，其中a R ∈.曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线斜率为1-. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求证：()0f x ≤.21．已知函数()xf x e ax =-（a 为常数）.（1）当0a =时，求()f x 过原点的切线方程； （2）讨论()f x 的单调区间和极值；（3）若[]0,1x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.22．已知函数2()ln 2f x a x x=+-(0)a >. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（2）若对(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求实数a 的取值范围； 答案解析 第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．函数2()(1)f x x =+的导函数为（ ）A ．()1f x x '=+B ．()21f x x '=+C ．()2f x x '=+D ．()22f x x '=+ 【答案】D 【解析】22()(1)21f x x x x =+=++()22f x x ∴'=+，故选：D .2．曲线2y x x =+在点(1,2)P 处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】2y x x =+的导数为21y x =+′， 可得曲线2y x x =+在点(1,2)P 处切线的斜率为2113⨯+=.故选：C.3．如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图像，则下面判断正确的是( )A ．在区间（-2,1）上()f x 是增函数B ．在区间（1,3）上()f x 是减函数C ．在区间（4,5）上()f x 是增函数D ．当4x =时，()f x 取极大值 【答案】C【解析】选项A, 区间（-2,1）导函数先是负后是正,所以原函数先减后增,A 错误 选项B, 区间（1,3）导函数先是正后是负, 所以原函数先增后减,B 错误 选项C, 区间（4,5）导函数恒大于0，原函数单调递增，C 正确 选项D ，当4x =处，左边减右边增，()f x 取极小值，D 错误 答案是C4．设曲线()ln 1axy e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】()ln 1axy e x =-+，1'1axy ae x =-+， 当x ＝0时，y′＝a －1.故曲线()ln 1axy e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，即：21y x =+，从而a －1＝2，即a ＝3. 本题选择D 选项.5．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π4a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π3b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a << 【答案】D【解析】设()()sin f x g x x=，()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数， 并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f ag ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即a b c >>. 故选：D6．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2 B ．12 C ．ln 2e D ．()ln 2e 【答案】C【解析】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k -=，则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =， ()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln2eb =-=.故选：C.7．设函数23()ln 2=+-f x x ax x ，若1x =是函数()f x 是极大值点，则函数()f x 的极小值为（ ）A ．ln 22-B ．ln21-C ．ln 32-D ．ln31- 【答案】A【解析】∵()23ln (0)2f x x ax x x =+->，∴()1322f x ax x =+-'， ∵1x =是函数的极大值点，∴()311122022f a a +-=-'==，解得14a =，∴()()()21213322222x x x x x f x x x x---+='=+-=， ∴当01x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；当12x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当2x >时，()()0,f x f x '>单调递增；∴当2x =时，()f x 有极小值，且极小值为()2ln22f =-． 故选A ．8．若函数()33=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,4-B ．()1,4-C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由3()3f x x x =-，可得()2333(1)(1)f x x x x '=-+=--+，当11x -<<，()0f x '>，当1x <-或1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，则()f x 的图像如图所示，因为函数在区间()5,21a a -+上有最小值，故51212a a -<-<+， 解得：112a -<， 故选：C.二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分） 9．若直线12y x b =+是函数()f x 图像的一条切线，则函数()f x 可以是（ ） A ．1()f x x=B ．4()f x x = C ．()sin f x x = D ．()x f x e = 【答案】BCD 【解析】直线12y x b =+的斜率为12k =， 由1()f x x =的导数为'21()f x x=-，即切线的斜率小于0，故A 不正确； 由4()f x x =的导数为'3()4f x x =，而3142x =，解得12x =，故B 正确；由()sin f x x =的导数为'()cos f x x =，而1cos 2x =有解，故C 正确；由()x f x e =的导数为'()xf x e =，而12x e =，解得ln2x =-，故D 正确，故选：BCD10．对于函数()2ln xf x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．()2f ff <<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2ek >【答案】ACD【解析】由已知，()3'12ln x fx x-=，令'()0f x >得0x <<'()0f x <得x >()f x在上单调递增，在)+∞单调递减，所以()f x 的极大值为12f e=， A 正确；又令()0f x =得ln 0x =，即1x =，()f x ∴只有1个零点，B 不正确；函数在)+∞上单调递减，因为2>>>()2f f f <<，故C 正确；若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()21f x k x +<在()0,∞+上恒成立，设()221ln 1()x g x f x x x +=+=， '32ln 1()x g x x --=，令'()0g x >得120x e -<<，令'()0g x <得12x e ->，故()g x 在12(0,)e -上单调递增，在12(,)e -+∞单调递减，所以12max ()()2eg x g e -==，2e k >，故D 正确. 故选：ACD11．如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）A ．函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内单调递增 B ．函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减 C ．函数()y f x =在区间()4,5内单调递增D ．当2x =时，函数()y f x =有极大值【答案】CD【解析】对于A 选项，当32x -<<-时，()0f x '<，则函数()y f x =在区间()3,2--上单调递减，A 选项错误；对于B 选项，当122x -<<时，()0f x '>，则函数()y f x =在区间1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当45x <<时，()0f x '>，则函数()y f x =在区间()4,5上单调递增，C 选项正确；对于D 选项，当22x -<<时，()0f x '>，当24x <<时，()0f x '<，所以，函数()y f x =在2x =处取得极大值，D 选项正确.故选：CD.12．已知函数()32391f x x x x =+-+，若()f x 在区间(],2k 上的最大值为28，则实数k 的值可以是（ ）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-【答案】AB【解析】因为()32391f x x x x =+-+，所以()2'369f x x x =+-，令()2'3690f x x x =+-=，解得1231x x ，=-=，所以()'f x 在(,3)-∞-和(1,)+∞时，()'>0f x ，()'f x 在()3,1-时，()'0f x <，所以函数()f x 在(,3)-∞-和(1,)+∞上单调递增，函数()f x 在()3,1-上单调递减， 则()f x 在[]1,2内单调递增，所以在[]1,2内，()2f 最大； ()f x 在()3,1-时单调递减，所以在[]3,1-内，()3f -最大；()f x 在(),3-∞-时单调递增，所以在(),3-∞-内，()3f -最大；因为()()23328f f =-=，，且()f x 在区间(],2k 上的最大值为28，所以3k <-，即k 的取值范围是(),3-∞-，故选：AB.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．已知函数f(x)=e x lnx ，()'f x 为f(x)的导函数，则()'1f 的值为__________．【答案】e 【解析】由函数的解析式可得：11()ln ln x x x f x e x e e x x x '⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭， 则11(1)ln11f e e '⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即()'1f 的值为e ，故答案为e . 14．已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极小值10，则a b +=_____．【答案】7-【解析】因为322()f x x ax bx a =+++，所以2()32f x x ax b '=++，又函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极小值10，(1)320f a b '=++=且2(1)110f a b a =+++=， 解得4,11a b ==-，或3,3a b =-=，当4,11a b ==-时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-此时，1x =是函数的极小值点，当3,3a b =-=时，22()3633(1)f x x x x '=-+=-，此时，1x =不是函数的极小值点，4,11a b ∴==-，7a b ∴+=-，故答案为：7-15．已知函数()2sin f x x x =-，若正实数,a b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是__________．【答案】9+【解析】因为()2cos 0,()2sin ()f x x f x x x f x '=->-=-+=-，所以函数()f x 为单调递增奇函数，因此由()()210f a f b +-=，得()(21)(12)12,21,f a f b f b a b a b =--=-∴=-+=因此14a b +1424()(2)999b a a b a b a b =++=++≥+=+，当且仅当b =时取等号.16．已知函数()(ln )f x x x ax =-有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是_____.【答案】(,0]-∞【解析】因为函数()(ln )f x x x ax =-有且仅有一个极值点， 所以1()ln ln 210f x x ax x a x ax x ⎛⎫'=-+-=-+= ⎪⎝⎭只有一个解， 即ln 12x a x+=，只有一个解， 即2y a =与ln 1()x y g x x +==只有一个交点， 因为2ln ()x g x x -'=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →，画出函数()g x 的草图如下：结合图象可得21a =或20a ≤， 解得12a =或0a ≤， 当12a =时，21()ln 2f x x x x =-， 所以()1ln f x x x '=+-，令()1ln h x x x =+-， 所以1()1h x x'=-， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 没有极值点.所以实数a 的取值范围是(,0]-∞.故答案为：(,0]-∞四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．已知32()f x ax bx x c =+++，在1x =与13x =-处都取得极值.（1）求实数a ，b 的值；（2）若对任意[1x ∈-，2]，都有2()f x c <成立，求实数c 的取值范围.【答案】（1）1a =-，1b =；（2）(-∞⋃，)+∞. 【解析】（1）32()f x ax bx x c =+++，2()321f x ax bx ∴=++'，()f x 在1x =与13x =-处都取得极值， 1x ∴=与13x =-是2()3210f x ax bx '=++=的两根，即12133111()33b a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪⨯-=⎪⎩， 解得1a =-，1b =.（2）由（1）知，32()f x x x x c =-+++，2()321(31)(1)f x x x x x =-=-+'++-， 令()0f x '=，则1x =或13-， ()f x '∴和()f x 随x 在[1-，2]上的变化情况如下表所示：(1)1f c ∴-=+，极大值为f （1）1c =+，()f x ∴在[1x ∈-，2]上的最大值为1c +，对任意[1x ∈-，2]，都有2()f x c <成立， 21c c ∴+<，解得12c +>12c -<. 故实数c 的取值范围为(-∞，11(22+⋃，)+∞. 18．已知函数2()ln f x x x ax =--.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)2y x =-；(Ⅱ)1a ≥-.【解析】()11a =时，函数()2ln f x x x x =--，可得()1'21f x x x=--，所以()'12f =-，1x =时，()12f =-．曲线()y f x =则1x =处的切线方程；()221y x +=--即：2y x =-；()2由条件可得2ln 0(0)x x ax x --≤>，则当0x >时，ln x a x x≥-恒成立， 令()ln (0)x h x x x x =->，则()221ln 'x x h x x --=， 令()21ln (0)k x x x x =-->， 则当0x >时，()1'20k x x x=--<，所以()k x 在()0,+∞上为减函数． 又()'10k =， 所以在()0,1上，()'0h x >；在()1,+∞上，()'0h x <．所以()h x 在()0,1上为增函数；在()1,+∞上为减函数．所以()()11max h x h ==-，所以1a ≥-．19．设函数()2ln 3f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的极大值点；（2）若关于x 的方程()()23f x x m x =+-在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12；（2）221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=+-==，()0x >所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 故()f x 在12x =处取得极大值，函数()f x 的极大值点为12. （2）()()23f x x m x =+-，可化为ln x mx =， 即ln x m x=在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个不同的实数根， 令()ln x g x x =，()21ln x g x x-'=， 则()g x 在[]1,e 上()0g x '>，函数单调递增，在(2,e e ⎤⎦上()0g x '<，函数单调递减， 所以()()max 1g x g e e ==，又()10g =，()222g e e=， 故原方程有两个不同实数解时的m 的取值范围为221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 20．已知函数()()ln 1f x a x x x =-+-，其中a R ∈.曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求证：()0f x ≤.【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）()ln a f x x x '=-， 由题意可知，()11a f e e'=-=-， 故0a =；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知()()ln 1,ln f x x x x f x x =-+-'=-，易得，当1x >时，()0f x <′，函数单调递减，当01x <<时，()0f x >′，函数单调递增，故当1x =时，函数取得极大值也是最大值()10f =，故()0f x ≤.21．已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）.（1）当0a =时，求()f x 过原点的切线方程；（2）讨论()f x 的单调区间和极值；（3）若[]0,1x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）y ex =；（2）答案见解析；（3）a e ≤.【解析】（1）当0a =时，()x f x e =， 则()xf x e '=， 设切点坐标为()00,x x e， ∴()0000x x e f x e x '==，解得01x =， ∴()1f e '=，∴()f x 过原点的切线方程y ex =；（2）()xf x e ax =-， ∴()xf x e a '=-， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减，当ln x a >时，()0f x '>，函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，∴()()ln ln ln ln a f x f a e a a a a a ==-=-极小值，无极大值；（3）[]0,1x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即0x e ax -≥在[]0,1x ∈上恒成立，当0x =时，10≥恒成立， 当0x ≠时，xe a x≤， 设()xe g x x=，(]0,1x ∈，∴()()210x e x g x x-'=≤恒成立， ∴()g x 在(]0,1上单调递减，∴()()min 1g x g e ==，∴a e ≤，综上所述a e ≤.22．已知函数2()ln 2f x a x x=+-(0)a >. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（2）若对(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求实数a 的取值范围；【答案】（1）的单调增区间是(2,)+∞，单调减区间是(0,2);（2）20a e<<. 【解析】（1）直线2y x =+的斜率1.函数()f x 的定义域为()0,+∞，()22'a f x x x=-+， 所以()22'1111a f =-+=-，解得1a =.所以()2ln 2f x x x =+-，()22'x f x x -=. 由()'0f x >解得2x >；由()'0f x <解得02x <<，所以()f x 的单调增区间是()2,+∞，单调减区间是()0,2.（2）()2222'a ax f x x x x -=-+=，由()'0f x >解得2x a>；由()'0f x <解得20x a<<. 所以()f x 在区间2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在区间20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减， 所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2y f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为对于()0,x ∀∈+∞都有()()21f x a >-成立，所以只须()221f a a ⎛⎫>-⎪⎝⎭即可， 即2ln a a a >，解得20a e<<.高中数学选择性必修二《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（二）一、单选题1．设函数，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．－12．已知函数，求( )A ．B ．5C ．4D ．33．已知函数，且，则曲线在处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．函数y=xlnx 的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．6．已知函数，则( )A ．B ．eC ．D ．1 ()f x x =()()11lim x f x f x ∆→∞+∆-=∆32()23f x x x x =-+-(2)f '=1-()()2x f x x a e =-()'13f e =()y f x =0x =10x y -+=10x y --=310x y -+=310x y ++=()()32ln f x x a x =+-a 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭[)2,+∞()0,∞+(),2-∞()2()ln f x xf e x '=+()f e =e -1-7．函数有（ ）A ．极大值6，极小值2B ．极大值2，极小值6C ．极小值－1，极大值2D ．极小值2，极大值88．若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．直线能作为下列（ ）函数的图像的切线. A ． B ． C ． D ．11．已知函数f （x ）的定义域为R 且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的有（ ）A ．函数f （x ）的减区间是（-，-2）B ．函数f （x ）的增区间是（-2，+）C ．x=-2是函数的极小值点D ．x=2是函数的极小值点 12．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）334yx x =-+ln(1)2,0,()1,0.x ax x f x x a x x +-->⎧⎪=⎨++<⎪⎩(1)f -a (,]e -∞10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[),e +∞()0,1324y x x =+()siny x x =+-2log y x=22x xy -=-12y x b =+1()f x x=4()f x x =()sin f x x =()xf x e =()f x '()y xf x '=∞∞()y f x =()f x 'A ．函数在区间内单调递增B ．当时，函数取得极小值C ．函数在区间内单调递增D ．当时，函数有极小值三、填空题13．曲线y ＝x 2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_____． 14．函数的单调递增区间为_______. 15.若函数在处取得极小值，则__________．16．已知函数则的最小值为_____，最大值为____. 四、解答题17．设，（），曲线在点处的切线垂直于轴.（1）求的值； （2）求函数的单调区间.18．已知函数在处有极值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值.19．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，()y f x =13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭2x =-()y f x =()y f x =()2,2-3x =()y f x =()ln f x x x =-()()2f x x x a =-2x =a=1()sin ,[0,],2f x x x x π=-∈()f x ()ln 4f x a x x =-+a R ∈()y f x =()()1,1f ya ()y f x =()2ln f x axb x =+1x =12,a b ()f x 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦x ()C x 721()23C x x x =+（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （取）.20．已知曲线的方程是．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标．21．已知函数 (m R) （1）当时， ①求函数在x=1处的切线方程； ②求函数在上的最大，最小值．（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；22．已知函数．（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立．答案解析 一、单选题1．设函数，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．－13()6ln 17e C x x x x=++-()P x x 320e =C 3232y x x x =-+1x =1l 2:l y kx =2l C ()()000,0x y x ≠2l 21()ln 2f x x m x =-∈2m =()f x ()f x [1,]e ()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭m()n ()l f x x x m m R =--∈()f x m3m ≥-x ()()20x f x x e +-<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x x =()()11limx f x f x∆→∞+∆-=∆【解析】 因为， 所以.故选：B.2．已知函数，求( )A ．B ．5C ．4D ．3 【答案】B 【解析】由题意，函数，则， 所以. 故答案为：B.3．已知函数，且，则曲线在处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】，，解得，即，，则，，曲线在点处的切线方程为，即.4．若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D()f x x =()()1111limlimlim 1x x x f x f x xxx x∆→∞∆→∞∆→∞+∆-+∆-∆===∆∆∆32()23f x x x x =-+-(2)f '=1-32()23f x x x x =-+-2()341'=-+f x x x 2(2)324215f '=⨯-⨯+=()()2xf x x a e =-()'13f e =()y f x =0x =10x y -+=10x y --=310x y -+=310x y ++=()()()'2222x x x f x e x a e x a e =+-=+-∴()()'143f a e e =-=1a =()()21x f x x e =-()01f =-()()'21x f x x e =+∴()'01f =∴()y f x =0x =()110y x +=⨯-10x y --=()()32ln f x x a x =+-a 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭[)2,+∞()0,∞+(),2-∞的定义域为，， 令解得. 由于函数在上不是单调函数，所以，解得. 故选：D5．函数y=xlnx 的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为y=xlnx ，故可得 令，可得；令，可得， 故函数在区间上单调递减，在区间单调递增，又因为当时，，故排除；()f x ()0,∞+()'2323a x a f x x x-+-=+='0f x 23ax -=()()32ln f x x a x =+-()0,∞+203a->2a <1y lnx '=+0y '>1x e >0y '<1x e<10,?e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0,0lnx y <<,A B又时，，故函数在区间上有一个零点，故排除C.故选：D.6．已知函数，则( ) A ． B ．e C ． D ．1 【答案】C 【解析】由题得， 所以. 故选：C.7．函数有（ ）A ．极大值6，极小值2B ．极大值2，极小值6C ．极小值－1，极大值2D ．极小值2，极大值8 【答案】A 【解析】令，解得，则随的变化如下表所以，当时，函数有极大值为；当时，函数有极小值为. 故选:A.8．若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）1x =0y =1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()2()ln f x xf e x '=+()f e =e -1-111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e'''''=+∴=+∴=-1()2()ln 2()11f e ef e e e e=+=⨯+'-=-334y x x =-+2330y x '=-=1x =±,y y 'x 1x =-61x =2ln(1)2,0,()1,0.x ax x f x x a x x +-->⎧⎪=⎨++<⎪⎩(1)f -aA ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】当时，，， 若，则在恒成立，在，且时，，函数的最大值不可能为，，当时，得，当时，， 在单调递增，在单调递减， ，当时，， ， 故选：C. 二、多选题9．（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】由奇函数定义可知，A 、B 、D 均为奇函数，C 为偶函数，所以排除C ；对于选项A ，，所以在上单调递增；对于选项B ，，所以在上单调递增；(,]e -∞10,e ⎛⎤⎥⎝⎦1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[),e +∞0x >()ln(1)2f x x ax =+--'1()1f x a x =-+0a ≤'()0f x >0x >∴()f x (0,)+∞x →+∞()f x →+∞∴(1)f -∴0a >'()0f x >101x a <<-'()0f x <11x a>-∴()f x 1(0,1)a -1(1,)a-+∞∴max 1111ln 12l ()()()n 3a a a a a f ax f --==--=-+-0x <11()[()]2(1)f x x a x a a f x x=++=--++≤-+=--∴1ln 32ln 1a a a a a e-+-≤-+⇒≥-⇒≥()0,1324y x x =+()sin y x x =+-2log y x =22x x y -=-'2640y x =+>324y x x =+()0,1'1cos 0y x =-≥()sin y x x =+-()0,1对于选项D ，，所以在上单调递增.故选：ABD 10．直线能作为下列（ ）函数的图像的切线. A ． B ． C ． D ． 【答案】BCD 【解析】，故，无解，故排除； ，故，故，即曲线在点的切线为，正确；，故，取，故曲线在点的切线为，正确； ，故，故，曲线在点的切线为，正确；故选：.11．已知函数f （x ）的定义域为R 且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的有（ ）'2ln 22ln 20x xy -=+>22x x y -=-()0,112y x b =+1()f x x=4()f x x =()sin f x x =()x f x e =1()f x x =211'()2f x x =-=A 4()f x x =31()42f x x ==12x =11,216⎛⎫ ⎪⎝⎭13216y x =-B ()sin f x x =1'()cos 2f x x ==3x π=3π⎛ ⎝⎭126y x π=-+C ()x f x e ='()12xf x e ==ln2x =-1ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭111ln 2222y x =++D BCD ()f x '()y xf x '=A ．函数f （x ）的减区间是（-，-2）B ．函数f （x ）的增区间是（-2，+）C ．x=-2是函数的极小值点D ．x=2是函数的极小值点 【答案】ABC 【解析】当时，，故，函数单调递增； 当时，，故，函数单调递增； 当时，，故；当时，，故，函数单调递减； 对比选项知：故正确. 故选：.12．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数在区间内单调递增B ．当时，函数取得极小值C ．函数在区间内单调递增D ．当时，函数有极小值 【答案】BC 【解析】对于A ，函数在区间内有增有减，故A 不正确； 对于B ，当时，函数取得极小值，故B 正确；对于C ，当时，恒有，则函数在区间上单调递∞∞0x ≥()0y xf x '=≥()'0f x ≥20x -<<()0y xf x '=<()'0f x >2x =-()0y xf x '==()'20f -=2x <-()0y xf x '=>()'0f x <ABC ABC ()y f x =()f x'()y f x =13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭2x =-()y f x =()y f x =()2,2-3x =()y f x =()y f x =13,2⎛⎫--⎪⎝⎭2x =-()y f x =()2,2x ∈-()0f x '>()y f x =()2,2-增，故C 正确；对于D ，当时，，故D 不正确. 故选：BC 三、填空题13．曲线y ＝x 2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_____． 【答案】 【解析】，在点（1，1）处的切线斜率为，所以切线方程为. 14．函数的单调递增区间为_______. 【答案】【解析】函数有意义，则： ，且： ，由 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为，故答案为.15.若函数在处取得极小值，则__________． 【答案】 【解析】求导函数可得，所以，解得 或，当时，，函数在处取得极小值，符合题意；当时，，函数在处取得极大值，不符合题意，不符合题意，所以. 16．已知函数则的最小值为_____，最大值为____. 3x =()0f x '≠320x y --=12y x x'=+3320x y --=()ln f x x x =-0x >()1'1f x x=-()'0f x >()0,1()0,1()()2f x x x a =-2x =a =222()34f x x ax a '=-+2(2)1280f a a =-+='2a =6a =2a =2()384(2)(32)f x x x x x ==-'-+-2x =6a =2()324363(2)(6)f x x x x x =-=--'+2x =2a =1()sin ,[0,],2f x x x x π=-∈()f x【答案】【解析】则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则当时，； 又，所以.故答案为： ；. 四、解答题17．设，（），曲线在点处的切线垂直于轴.（1）求的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】（1）由于，依题意，解得. （2）由（1）知，所以在上递增，在上递增.也即的单调递增区间为，单调递减区间为.62π-2π1()sin ,[0,],2f x x x x π=-∈'1()cos ,[0,],2f x x x π∴=-∈03x π<<'()0f x <3x ππ<<'()0f x >()f x [0,]3π[,]3ππ3x π=min ()62f x π=-()()00,2f f ππ==max ()2f x π=6π-2π()ln 4f x a x x =-+a R ∈()y f x =()()1,1f y a ()y f x =1a =()f x ()0,1()1,+∞()'1a f x x =-()'11101af a =-=-=1a =()()()()'11ln 40,10xf x x x x f x x x x-=-+>=-=>()f x ()0,1()1,+∞()f x ()0,1()1,+∞18．已知函数在处有极值. （1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为【解析】（1）由题可知，，的定义域为，，由于在处有极值， 则，即，解得：，， （2）由（1）可知，其定义域是， ， 令，而，解得，由，得；由，得，则在区间上，，，的变化情况表如下：()2ln f x ax b x =+1x =12,a b ()f x 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦12a =1b =-2ln 2-12()2ln f x ax b x =+()f x ()0,∞+()2(0)bf x ax x x'∴=+>()f x 1x =12()()1112120f a bln f a b ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩'1220a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩12a =1b =-21()ln 2f x x x =-(0,)+∞1(1)(1)()x x f x x x x+-'=-=()=0f x '0x >1x =()0f x '<01x <<()0f x '>1x >1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦x ()f x '()f x可得， ，， 由于，则，所以，函数在区间上的最大值为，最小值为.19．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （取）.【答案】（1） （2）当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元 【解析】()()min 112f x f ==11ln 228f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)2ln 2f =-()1122ln 2ln 2028f f ⎛⎫⎛⎫-=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()()max 22ln 2f x f ==-∴()f x 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2ln 2-12x ()C x 721()23C x x x =+3()6ln 17e C x x x x=++-()P x x 320e =23142,073()15,7x x x p x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩2011（1）产品售价为元，则万件产品销售收入为万元. 依题意得，当时，， 当时，，； （2）当时，，当时，的最大值为（万元），当时，， 当时，单调递增，当单调递减， 当时，取最大值（万元），当时，取得最大值万元，即当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元. 20．已知曲线的方程是． （1）求曲线在处的切线方程；（2）若，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）；（2）直线的方程为，切点坐标为． 【解析】（1）∵， ∴，66x 07x <<2211()6224233p x x x x x x =---=-+-7x ≥33()6(6ln 17)215ln e e p x x x x x x x=-++--=--23142,073()15,7x x x p x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎪--≥⎪⎩07x <<21()(6)103p x x =--+∴6x =()p x (6)10p =7x ≥333221()15ln ()e e e x p x x p x x x x x -=--∴'=-+=∴37x e ≤<()p x 3,()x e p x ≥∴3x e =()p x 33()15ln 111p e e =--=1110>∴320x e =≈()p x 112011C 3232y x x x =-+1x =1l 2:l y kx =2l C ()()000,0x y x ≠2l 10x y +-=2l 14y x =-33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭3232y x x x =-+'2362y x x =-+∴， ∴的斜率为，且过点，∴直线的方程为，即； （2）直线过原点，则，由点在曲线上， 得，∴， 又，所以，又， ∴，整理得， ∵，∴，此时，， ∴直线的方程为，切点坐标为． 21．已知函数 (m R) （1）当时，①求函数在x=1处的切线方程； ②求函数在上的最大，最小值．（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；【答案】（1）①；②函数在上的最大值为，最小值为1316121x y ==⨯-⨯+=-'1l 1-()1,01l (1)y x =--10x y +-=2l ()0000y k x x =≠()00,x y C 32000032y x x x =-+2000032y x x x =-+'2362y x x =-+200362k x x =-+0k y x =2200000036232y x x x x x -+==-+200230x x -=00x ≠032x =038y =-14k =-2l 14y x =-33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭21()ln 2f x x m x =-∈2m =()f x ()f x [1,]e ()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭m 2230x y +-=()f x [1,]e 2122e -；（2）. 【解析】（1）当时，. ①当x=1时，， 所以函数在x=1处的切线的斜率为，因此切线方程为：； ②因为，所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，所以当时，函数有极小值， 而， 所以函数在上的最大值为，最小值为； （2）， 因为函数在上单调递增，所以 在时恒成立， 即在时恒成立，设，，因为当时，函数单调递增，所以， 1ln2-14m ≤2m=22'122(()2ln ()2x x x f x x x f x x x x x-+=-⇒=-==2'11(1)12ln1,(1)122f f =⨯-===-()f x 1-11(1)22302y x x y -=-⋅-⇒+-=[1,e]x∈x ∈'()0f x <()fx ]x e ∈'()0f x >()f x [1,e]x ∈()fx 211ln 22f =⨯-=-2222111111(1)12ln1,(2)2ln 2(4)222222f f e e e e =⨯-==-=-=->()f x [1,]e 2122e -1ln2-2'1()ln ()2mf x x m x f x x x=-⇒=-()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭'()0m f x x x =-≥1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭2m x ≤1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭2()g x x =1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭2()g x x =2min 11()()24g x ==因此要想在时恒成立，只需. 所以当函数在上单调递增时，实数的取值范围为. 22．已知函数． （1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立．【答案】（1）；（2） 【解析】（1）令，； 令，， 令，解得，令，解得，则函数在上单点递增，在上单点递减，． 要使函数有两个零点，则函数的图像与有两个不同的交点． 则，即实数的取值范围为． （2），；设，； 设，，则在上单调递增. 又，.，使得，即，. 2m x ≤1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭14m ≤()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭m 14m ≤()n ()l f x x x m m R =--∈()f x m 3m ≥-x ()()20xf x x e +-<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(),1-∞-3m ≥-()f x lnx x m 0=--=m lnx x ∴=-()g x lnx x =-()11xg x 1x x-∴=-='()g x 0'>0x 1<<()g x 0'<x 1>()g x ()0,1()1,∞+()()max g x g 11∴==-()f x ()g x y m =m 1<-m (),1∞--()()x f x x 2e 0+-<()x m x 2e lnx x ∴>-+-()()x1h x x 2e lnx x,x ,12⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦()()x1h x x 1e x ⎛⎫=--⎝'⎪⎭()x1u x e x =-()x21u x e 0x =+>'()u x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦1u 202⎛⎫=<⎪⎝⎭()u 1e 10=->01x ,12⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭()0u x 0=0x 01e x =00lnx x ∴=-当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减.. 设，. 当时，恒成立，则在上单调递增， ，即当时，.∴ 当时，关于的不等式在上恒成立.高中数学选择性必修二《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（三）一、选择题1．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-2．若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[-1，+∞]B ．（-1，+∞）C ．（-∞，-1]D ．（-∞，-1） 3．设a R ∈，若函数3axy e x =+，x R ∈有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >-D ．13a <- 4．已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b ，则必有( )A ．af(b)≤bf(a)B ．bf(a)≤af(b)01x ,x 2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()u x 0,h x 0'(]0x x ,1∈()()u x 0,h x 0'><()h x ∴01,x 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭(]0x ,1()()()()0x 0000000max 0012h x h x x 2e lnx x x 22x 12x x x ∴==-+-=-⋅-=--()2φx 12x x =--()222222x φx 2x x-∴=-='1x ,12⎛⎫∈⎪⎝⎭()φx 0'>()φx 1,12⎛⎫⎪⎝⎭()()φx φ13∴<=-1x ,12⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()h x 3<-m 3≥-x ()()x fx x 2e 0+-<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
高中数学《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试卷及答案解析(共四套)
高中数学选择性必修二《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（一）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sin α－cos x ，则f′(x)等于( )A ．sin xB ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x 2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π43．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．函数f(x)＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎥⎤0， 22 5．函数f(x)＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12C ．0D ．－16．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．函数f(x)＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，67B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－316C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，－116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－310∪⎝ ⎛⎭⎪⎫67，＋∞8．已知定义在R 上的函数f(x)，f(x)＋xf′(x)＜0，若a ＜b ，则一定有( )A ．af(a)＜bf(b)B ．af(b)＜bf(a)C ．af(a)＞bf(b)D ．af(b)＞bf(a)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列结论中不正确的是( ) A ．若y ＝cos 1x ，则y′＝－1x sin 1xB ．若y ＝sin x 2，则y′＝2xcos x 2C ．若y ＝cos 5x ，则y′＝－sin 5xD ．若y ＝12xsin 2x ，则y′＝xsin 2x10．下列函数中，存在极值点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2|xC ．y ＝－2x 3－x D ．y ＝xln x11.定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4上的函数f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f(x)在区间(0,4)上单调递增B ．函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减 C ．函数f(x)在x ＝1处取得极大值 D ．函数f(x)在x ＝0处取得极小值12．已知函数f(x)＝e x－ax 有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则下列说法正确的是( ) A ．a ＞e B ．x 1＋x 2＞2C ．x 1x 2＞1D ．f(x)有极小值点x 0，且x 1＋x 2＜2x 0第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若f(x)＝13x 3－f′(1)x 2＋x ＋5，则f′(1)＝________.14．已知奇函数 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx－1(x>0)，h (x )(x<0)，则函数h(x)的最大值为________．15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 16．若函数f(x)＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值4. (1)求实数a ，b 的值；(2)当a>0时，求曲线y ＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程． 18．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f(x)＝(－x 2＋ax)e x. (1)当a ＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围． 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 在x ＝22处取得极小值－ 2. (1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点M(1，m)的直线与曲线y ＝f(x)相切且这样的切线有三条，求实数m 的取值范围．20. (本小题满分12分)设函数f(x)＝x22－kln x ，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点． 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)当a ＜0时，证明f(x)≤－34a－2.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x －ax .(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g(x)＝ln x －a ，若g(x)<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． 答案解析第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sin α－cos x ，则f′(x)等于( )A ．sin xB ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x 解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析：选A y′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.3．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f(x)在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b)上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点． 4．函数f(x)＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎥⎤0， 22 解析：选A ∵f′(x)＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x≤22时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 5．函数f(x)＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0 D ．－1解析：选A f′(x)＝3－12x 2，令f′(x)＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f(0)＝0，f(1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－12＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.6．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选D f′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，∵f′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f(x)＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，67B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－316C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，－116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－310∪⎝ ⎛⎭⎪⎫67，＋∞解析：选D f′(x)＝ax 2＋ax －2a ＝a(x ＋2)(x －1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫103a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－76a ＋1<0，解得a<－310或a>67. 故选D.8．已知定义在R 上的函数f(x)，f(x)＋xf′(x)＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af(a)＜bf(b) B ．af(b)＜bf(a) C ．af(a)＞bf(b) D ．af(b)＞bf(a)解析：选C 令y ＝xf(x)，则y′＝[xf(x)]′＝x′f(x)＋xf′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0，∴函数y ＝xf(x)是R 上的减函数，∵a ＜b ，∴af(a)＞bf(b)．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列结论中不正确的是( ) A ．若y ＝cos 1x ，则y′＝－1x sin 1xB ．若y ＝sin x 2，则y′＝2xcos x 2C ．若y ＝cos 5x ，则y′＝－sin 5xD ．若y ＝12xsin 2x ，则y′＝xsin 2x解析：选ACD 对于A ，y ＝cos 1x ，则y′＝1x 2sin 1x ，故错误；对于B ，y ＝sin x 2，则y′＝2xcos x 2，故正确；对于C ，y ＝cos 5x ，则y′＝－5sin 5x ，故错误；对于D ，y ＝12xsin 2x ，则y′＝12sin 2x ＋xcos 2x ，故错误．10．下列函数中，存在极值点的是( ) A ．y ＝x －1x B ．y ＝2|x|C ．y ＝－2x 3－x D ．y ＝xln x解析：选BD 由题意，函数y ＝x －1x ，则y′＝1＋1x 2＞0，所以函数y ＝x －1x在(－∞，0)，(0，＋∞)内单调递增，没有极值点．函数y ＝2|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x≥0，2－x，x ＜0根据指数函数的图象与性质可得，当x ＜0时，函数y ＝2|x|单调递减，当x≥0时，函数y ＝2|x|单调递增，所以函数y ＝2|x|在x ＝0处取得极小值；函数y ＝－2x 3－x ，则y′＝－6x 2－1＜0，所以函数y ＝－2x 3－x 在R 上单调递减，没有极值点；函数y ＝xln x ，则y′＝ln x ＋1，x ＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，y′＜0，函数单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，y′＞0，函数单调递增，当x＝1e时，函数取得极小值，故选B 、D. 11.定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4上的函数f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f(x)在区间(0,4)上单调递增B ．函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减 C ．函数f(x)在x ＝1处取得极大值 D ．函数f(x)在x ＝0处取得极小值解析：选ABD 根据导函数图象可知，f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上，f′(x)＜0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)在x ＝0处取得极小值，没有极大值，所以A 、B 、D 选项正确，C 选项错误．故选A 、B 、D.12．已知函数f(x)＝e x－ax 有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则下列说法正确的是( ) A ．a ＞e B ．x 1＋x 2＞2C ．x 1x 2＞1D ．f(x)有极小值点x 0，且x 1＋x 2＜2x 0解析：选ABD 由题意，函数f(x)＝e x－ax ，则f′(x)＝e x－a ，当a≤0时，f′(x)＝e x－a ＞0在R 上恒成立，所以函数f(x)单调递增，不符合题意；当a ＞0时，令f′(x)＝e x－a ＞0，解得x ＞ln a ，令f′(x)＝e x－a ＜0，解得x ＜ln a ，所以函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝e x－ax 有两个零点x 1，x 2且x 1＜x 2，则f(ln a)＝eln a－aln a ＝a －aln a ＝a(1－ln a)＜0，且a ＞0，所以1－ln a ＜0，解得a ＞e ，所以A 项正确；又由x 1＋x 2＝ln(a 2x 1x 2)＝2ln a ＋ln(x 1x 2)＞2＋ln(x 1x 2)，取a ＝e 22，则f(2)＝e 2－2a ＝0，x 2＝2，f(0)＝1＞0，所以0＜x 1＜1，所以x 1＋x 2＞2，所以B 正确；由f(0)＝1＞0，则0＜x 1＜1，但x 1x 2＞1不能确定，所以C 不正确；由函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，所以函数的极小值点为x 0＝ln a ，且x 1＋x 2＜2x 0＝2ln a ，所以D 正确．故选A 、B 、D. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若f(x)＝13x 3－f′(1)x 2＋x ＋5，则f′(1)＝________.解析：f′(x)＝x 2－2f′(1)x＋1，令x ＝1，得f′(1)＝23.答案：2314．已知奇函数 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx－1(x>0)，h (x )(x<0)，则函数h(x)的最大值为________．解析：先求出x>0时，f(x)＝e xx －1的最小值．当x>0时， f′(x)＝e x(x －1)x 2，∴x ∈(0,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f′(x) >0，函数单调递增，∴x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e. 答案：1－e15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)， 因为f′(x)＝1＋cos x≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b. 答案：c<a<b 16．若函数f(x)＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f′(x)＝4－4x2(x 2＋1)2，令f′(x)＞0，得－1＜x ＜1，即函数f(x)的增区间为(－1,1)． 又因为f(x)在(m,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m≤0.答案：(－1,0]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值4. (1)求实数a ，b的值；(2)当a>0时，求曲线y ＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程． 解：(1)∵f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.∵f(1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝4，f′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.经检验都符合题意．(2)当a>0时，由(1)得f(x)＝x 3＋3x 2－9x ＋9， ∴f′(x)＝3x 2＋6x －9. ∴f(－2)＝31，f′(－2)＝－9.∴所求的切线方程为y －31＝－9(x ＋2)，即9x ＋y －13＝0. 18．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f(x)＝(－x 2＋ax)e x. (1)当a ＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f(x)＝(－x 2＋2x)e x，f′(x)＝(－x 2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x 2＋2)e x>0，注意到e x>0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x< 2.所以，函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立． 又因为f′(x)＝[－x 2＋(a －2)x ＋a]e x，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a]e x≥0，注意到e x>0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y′＝1＋1(x ＋1)2>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y<1＋1－11＋1＝32，故a≥32.即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 在x ＝22处取得极小值－ 2. (1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点M(1，m)的直线与曲线y ＝f(x)相切且这样的切线有三条，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意得，f′(x)＝3ax 2＋b.∵函数f(x)＝ax 3＋bx 在x ＝22处取得极小值－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝－4，32a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，经检验满足条件，则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x 3－3x.(2)设切点坐标为(x 0,2x 30－3x 0)，则曲线y ＝f(x)的切线的斜率k ＝f′(x 0)＝6x 20－3， 切线方程为y －(2x 30－3x 0)＝(6x 20－3)(x －x 0)， 代入点M(1，m)，得m ＝－4x 30＋6x 20－3，依题意，方程m ＝－4x 30＋6x 20－3有三个不同的实根． 令g(x)＝－4x 3＋6x 2－3，则g′(x)＝－12x 2＋12x ＝－12x(x －1)， ∴当x ∈(－∞，0)时，g′(x)<0； 当x ∈(0,1)时，g′(x)>0； 当x ∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.故g(x)＝－4x 3＋6x 2－3在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴g(x)极小值＝g(0)＝－3，g(x)极大值＝g(1)＝－1.∴当－3<m<－1时，g(x)＝－4x 3＋6x 2－3的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点， ∴－3<m<－1时，存在这样的三条切线． 故实数m 的取值范围是(－3，－1)．20. (本小题满分12分)设函数f(x)＝x22－kln x ，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．解：(1)由f(x)＝x22－kln x(k>0)，得x>0且f′(x)＝x －k x ＝x 2－kx .由f′(x)＝0，解得x ＝k(负值舍去)． f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：所以，f(x)在x ＝k 处取得极小值f(k)＝k (1－ln k )2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(k)＝k (1－ln k )2.因为f(x)存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k≥e.当k ＝e 时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0， 所以x ＝e 是f(x)在区间(1， e ]上的唯一零点．当k>e 时，f(x)在区间(1， e ]上单调递减，且f(1)＝12>0，f(e)＝e －k2<0，所以f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点． 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)当a ＜0时，证明f(x)≤－34a －2.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x .若a≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f′(x)＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f′(x)＜0.故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f(x)在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a .所以f(x)≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a ＋1≤0.设g(x)＝ln x －x ＋1，则g′(x)＝1x－1.当x ∈(0,1)时，g′(x)＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g(x)取得极大值且为最大值，最大值为g(1)＝0. 所以当x ＞0时，g(x)≤0.从而当a ＜0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x －ax .(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g(x)＝ln x －a ，若g(x)<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)f′(x)＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x>0)，当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数， f(x)不存在最小值；当a<0时，由f′(x)＝0得x ＝－a ， 且0<x<－a 时，f′(x)<0， x>－a 时，f′(x)>0.∴x ＝－a 时，f(x)取得最小值， f(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a ＝－e. (2)g(x)<x 2即ln x －a<x 2，即a>ln x －x 2，故g(x)<x 2在(0，e]上恒成立，也就是a>ln x －x 2在(0，e]上恒成立． 设h(x)＝ln x －x 2，则h′(x)＝1x －2x ＝1－2x2x，由h′(x)＝0及0<x≤e 得x ＝22.当0<x<22时，h′(x)>0，当22<x≤e 时，h′(x)<0，即h(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤22，e 上为减函数， 所以当x ＝22时h(x)取得最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝ln 22－12. 所以g(x)<x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22－12，＋∞.高中数学选择性必修二《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（二）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( ) A ．10 B ．20 C ．16 D ．122．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1(n≥2)，则a 5等于( )A ．－163 D ．163 C ．－83 D ．833．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3 4．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－55．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )A ．第8项B ．第10项C ．第12项D ．第14项 6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝( )A ．2 D ．12 C ．3 D ．137．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －18．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n－i ＋1(i 是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数不超过2m(m ＞1，m ∈N *)的对称数列，且1,2,4，…，2m －1是数列{b n }的前m 项，则当m ＞1 200时，数列{b n }的前2 019项和S 2 019的值不可能为( ) A ．2m－2m －2 009B ．22 019－1C ．2m ＋1－22m －2 019－1 D ．3·2m －1－22m －2 020－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的公比q ＝－23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 1010．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是( ) A ．若S 5＝S 9，则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9，则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6＞S 7，则必有S 7＞S 8D ．若S 6＞S 7，则必有S 5＞S611．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( ) A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝ln n n ＋1第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a n ＝________，S 10＝________.15．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.16．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f(x n －1)(n≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 020.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132.(1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 21．(本小题满分12分)在①a n ＋1＝a n 3a n ＋1，②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，其中1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列，③1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝1，________.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由． 答案解析第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( ) A ．10 B ．20 C ．16 D ．12 解析：选D ∵{a n }是等差数列， ∴d ＝a 5－a 35－3＝52，∴a 7＝2＋4×52＝12.2．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1(n≥2)，则a 5等于( )A ．－163 D ．163 C ．－83 D ．83解析：选B ∵a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1，∴a 2＝(－1)2×2×13＝23，a 3＝(－1)3×2×23＝－43，a 4＝(－1)4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－83，a 5＝(－1)5×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83＝163.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3解析：选A 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.4．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－5 解析：选D 因为S n ＝5n ＋1＋a ＝5×5n＋a ，由等比数列的前n 项和S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝a 11－q－a 11－q·q n ，可知其常数项与q n的系数互为相反数，所以a ＝－5. 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )A ．第8项B ．第10项C ．第12项D ．第14项 解析：选D 当n 为正奇数时，a n ＋1＝2a n ，则a 2＝2a 1＝2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝a n ＋1，得a 3＝3，依次类推得a 4＝6，a 5＝7，a 6＝14，a 7＝15，…，归纳可得数列{a n }的通项公式a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋12－1，n 为正奇数，2n2＋1－2，n 为正偶数，则2n2＋1－2＝254，n ＝14，故选D.6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝( )A ．2 D ．12 C ．3 D ．13解析：选C ∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3＝35.∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，∴a 2＝3.故选C. 7．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1解析：选A 由题知a 1＝1，q ＝13，则a n －a n －1＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.设数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1的前n 项和为S n ， ∴S n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n .又∵S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ，∴a n ＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n .8．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n－i ＋1(i 是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数不超过2m(m ＞1，m ∈N *)的对称数列，且1,2,4，…，2m －1是数列{b n }的前m 项，则当m ＞1 200时，数列{b n }的前2 019项和S 2 019的值不可能为( ) A ．2m－2m －2 009B ．22 019－1C ．2m ＋1－22m －2 019－1 D ．3·2m －1－22m －2 020－1解析：选A 若数列{b n }的项数为偶数，则数列可设为1,21,22，…，2m －1,2m －1， (22)2,1，当m≥2 019时， S 2 019＝1×(1－22 019)1－2＝22 019－1，故B 可能．当1 200＜m ＜2 019时，S 2 019＝2×1×(1－2m)1－2－1×(1－22m －2 019)1－2＝2m ＋1－22m －2 019－1，故C 可能．若数列为奇数项，则数列可设为1,21,22，…，2m －2,2m －1,2m －2， (22)2,1，当m≥2 019时，S 2 019＝1×(1－22 019)1－2＝22 019－1.当1 200＜m ＜2 019时，S 2 019＝2×1×(1－2m －1)1－2－1×(1－22m －1－2 019)1－2＋2m －1＝3·2m －1－22m －2 020－1，故D 可能．故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的公比q ＝－23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10 解析：选AD ∵等比数列{a n }的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10＝a 29⎝ ⎛⎭⎪⎫－23<0，故A 正确； 但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确； ∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数，又∵b 1＝12>0，∴d<0，∴b 9>b 10，故D 正确；∴b 10一定是负数，即b 10<0，故C 不正确．故选A 、D.10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是( ) A ．若S 5＝S 9，则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9，则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6＞S 7，则必有S 7＞S 8D ．若S 6＞S 7，则必有S 5＞S 6解析：选ABC ∵等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2，若S 5＝S 9，则5a 1＋10d ＝9a 1＋36d ，∴2a 1＋13d ＝0， ∴a 1＝－13d2，∵a 1＞0，∴d ＜0，∴a 1＋a 14＝0，∴S 14＝7(a 1＋a 14)＝0，A 对；又∵S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－13nd 2＋n (n －1)d 2＝d[(n －7)2－49]2，由二次函数的性质知S 7是S n中最大的项，B 对；若S 6＞S 7，则a 7＝a 1＋6d ＜0，∴a 1＜－6d ， ∵a 1＞0，∴d ＜0，∴a 6＝a 1＋5d ＜－6d ＋5d ＝－d ，a 8＝a 7＋d ＜a 7＜0， S 7＞S 8＝S 7＋a 8，C 对；由a 6＜－d 不能确定a 6的符号，所以S 5＞S 6不一定成立，D 错．故选A 、B 、C.11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( ) A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍解析：选ABD 设此人第n 天走a n 里路，则{a n }是首项为a 1，公比为q ＝12的等比数列．所以S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192.a 3＝a 1q 2＝192×14＝48，所以A 正确，由a 1＝192，则S 6－a 1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B 正确． a 2＝a 1q ＝192×12＝96，而14S 6＝94.5＜96，所以C 不正确．a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＝336，则后3天走的路程为378－336＝42而且42×8＝336，所以D 正确． 故选A 、B 、D.12．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝ln nn ＋1解析：选CD 对A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误；对C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确； 对D ，若a n ＝lnn n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln n n ＋1＝ln n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)递减，所以数列{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确． 故选C 、D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．解析：由a n ＝2 020－3n>0，得n<2 0203＝67313，又∵n ∈N *，∴n 的最大值为673. 答案：67314．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a n ＝________，S 10＝________.解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝20－2(n －1)＝22－2n .S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案：22－2n 11015．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.解析：因为数列1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.因为数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，又b 2＝1×q 2＞0(q 为等比数列的公比)，所以b 2＝3，则b 2a 1＋a 2＝310. 答案：31016．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.解析：设{a n }的公比为q ，q>0，且a 23＝1， ∴a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍去)，a 1＝1q2＝4. ∴S 5＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝314.答案：314四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f(x n －1)(n≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 020.解：(1)证明：∵x n ＝f(x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n≥2且n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n≥2且n ∈N *)， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是公差为13的等差数列．(2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53.∴1x 2 020＝2 020＋53＝675. ∴x 2 020＝1675.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132.(1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .解：(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.(2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，所以a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，所以数列{a 2n }是首项为1，公比为14的等比数列，故a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差是d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n <a n ＋1，得q>1，又a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2， 因为S 3＝2S 2＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＝2(a 1＋a 2)＋1，则1＋q ＋q 2＝2(1＋q)＋1，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，b n ＝(2n －1)·a n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)， 则T n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，两式相减，得－T n ＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n －1)×2n，即－T n ＝1＋22＋23＋24＋ (2)－(2n －1)×2n， 化简得T n ＝(2n －3)×2n＋3. 21．(本小题满分12分)在①a n ＋1＝a n 3a n ＋1，②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，其中1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列，③1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝1，________. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：若选条件①：(1)易知a n ≠0，∵a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1－1a n ＝3.又1a 1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列，∴1a n ＝3n －2，∴a n ＝13n －2. (2)证明：由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13， 故T n ＜13.若选条件②：(1)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，则1a 2＝1＋d ，1a 3＋1＝2＋2d ，1a 6＝1＋5d ，∵1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列， ∴(2＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d ＝3或d ＝－1.当d ＝－1时，1a 2＝1＋d ＝0，此时1a 2，1a 3＋1，1a 6不能构成等比数列，∴d ＝3，∴1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， ∴a n ＝13n －2. (2)由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13， 故T n ＜13.若选条件③：(1)由1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n 2知，当n≥2时，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －1＝3(n －1)2－(n －1)2，两式相减，得1a n ＝3n 2－n 2－3(n －1)2－(n －1)2＝3n －2，∴a n ＝13n －2(n≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也适合上式， ∴a n ＝13n －2. (2)由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13， 故T n ＜13.22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2 d.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n(n ∈N *)．(2)假设存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k . 因为b n ＝a n a n ＋1＝nn ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1，所以⎝⎛⎭⎪⎫m m ＋12＝12×k k ＋1.整理，得k ＝2m2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m ，k 的方法： 因为k>0，所以－m 2＋2m ＋1>0， 解得1－2<m<1＋ 2. 因为m≥2，m ∈N *， 所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8使得b 1，b m ，b k 成等高中数学选择性必修二《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（三）一、单选题1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2 2．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．13π+ B ．4π+．6π+．2π4．若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞ 5．曲线2yx x 在点(1,0)处的切线方程是（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．10x y --=D ．10x y +-=6．已知函数()f x 的导函数()()()1f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．()2,+∞C ．()0,1D ．(),3-∞- 7．已知函数()cos xf x e x =+，设()10.3a f -=，()0.32b f -=，()2log0.2c f =，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a << 8．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）A ()()34f ππ-< B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π>-D ．()()63f ππ<二、多选题9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20192020f ef < B ．()()20192020ef f >C ．()f x 是R 上的增函数D ．若0t >，则有()()tf x e f x t <+10．若直线12y x b =+是函数()f x 图像的一条切线，则函数()f x 可以是（ ） A ．1()f x x=B ．4()f x x =C ．()sin f x x =D ．()x f x e = 11．已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．1-是函数()f x 的极小值点B ．3-是函数()f x 的极小值点C ．函数()f x 在区间()3,1-上单调递增 D ．函数()f x 在0x =处切线的斜率小于零 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＞时，()1xx f x e -=.则下列结论正确的是（ ）.A ．当0x <时，()()1xf x e x =-+B ．函数()f x 在R 上有且仅有三个零点C ．若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是()()22f m f -≤≤D ．12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -<三、填空题13．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()321xf x x f x e '=-++，则()1f '的值等于__________.14．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A 对应________；B 对应________；。
一元函数的导数及其应用检测(基础卷)(原卷版)
一元函数的导数及其应用检测（基础卷）单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1. 物体运动方程为s (t )＝3t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，若v ＝lim Δt →0s （3＋Δt ）－s （3）Δt＝18 m/s ，则下列说法中正确的是( ) A.18 m/s 是物体从开始到3 s 这段时间内的平均速度B.18 m/s 是物体从3 s 到(3＋Δt )s 这段时间内的速度C.18 m/s 是物体在3 s 这一时刻的瞬时速度D.18 m/s 是物体从3 s 到(3＋Δt )s 这段时间内的平均速度2. 若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0f （Δx ）Δx ＝－1，则f ′(0)等于( )A.－2B.2C.－1D.1 3. 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A.－1B.－2C.2D.04. 已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象可能是( )5. 若函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )A.a ≤0B.a <1C.a <2D.a ≤136. 已知a 是函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( )A.－4B.－2C.4D.27. 当0<x <1时，f ()x ＝ln x x ，则下列大小关系正确的是( )A.f 2()x <f ()x 2<f ()xB.f ()x 2<f 2()x <f ()xC.f ()x <f ()x 2<f 2()xD.f ()x 2<f ()x <f 2()x8. 函数f (x )＝3x －x 3在[0，m ]上的最大值为2，最小值为0，则实数m 的取值范围为( )A.[1，3]B.[1，＋∞)C.(1，3]D.(1，＋∞)二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）9. 列说法正确的是( )A.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处也可能有切线B.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在10. 当函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是( )A.aB.0C.－aD.a 211. 设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<2π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ的可能取值为( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π612. 如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A.在区间(－2，1)上，f (x )单调递增B.在(1，2)上，f (x )单调递增C.在(4，5)上，f (x )单调递增D.在(－3，－2)上，f (x )单调递增三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线y ＝9x 在点M (3，3)处的切线方程是________.14. 已知函数y ＝12e 2x ＋4－ln(2x ＋5)，则该函数的图象在x ＝－2处的切线的倾斜角为________.15. 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________.16. 函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则实数a 的取值范围为________.四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）17. 求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4； (3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .18. 已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1).(1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围.19. 设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？20. 已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值. 21. 已知函数h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1在区间[k ，2]上的最大值是28，求k 的取值范围.22. 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )取得极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的实数根，求实数k 的取值范围.。
(好题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(含答案解析)
一、选择题1．定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，其导函数为()f x '，当02x π≤<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．已知函数()2ln f x ax x x -=-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．()0,1C ．21,e e +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．210,e e +⎛⎫⎪⎝⎭3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()201920191f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,2020B ．()2019,+∞C ．()2020,+∞D ．()2019,20204．已知1x ，2x 是函数()3211232x b f ax x c x =+++（a ，b ，c ∈R ）的两个极值点，()12,0x ∈-，()20,2x ∈，则2a b +的取值范围为（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,4-C ．()2,-+∞D ．()4,4-5．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（ ）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b >6．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（e ，4）B ．（e 14+，4] C ．（e 14+，4） D ．（14，4] 7．设ln 2ln 3ln ,,23a b c ππ===则下列判断中正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >>D ．c b a >>8．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞9．设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数，()f x '为其导函数，已知()()1221f x f x -=-，()20f -=，当0x >时，()()xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．()(),20,2-∞-D ．()()0,22,+∞10．设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,∞+D ．()(),10,-∞-+∞11．已知()1()2ln 0f x a x x a x ⎛⎫ -⎪⎝⎭=->在[1)+∞，上为单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[0)+∞，B ．(0)+∞，C ．(1)+∞，D ．[1)+∞， 12．已知()3216132m f x x x x =-++在()1,1-单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[33]-，B ．（-3,3）C ．[55]-，D ．(-5,5)二、填空题13．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为________. 14．已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，那么此函数在[]22-,上的最大值为______.15．已知函数32()26f x x x m =-+（m ∈R ）在区间[－2，2]上有最大值3，那么在区间[－2，2]上，当x=_______时，()f x 取得最小值。
人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数(),0,,0.lnx x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若0x R ∃∈使得()()00 f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞B ．1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2．已知奇函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且()11f =-，则“1x >-”是“()1xf x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件.3．已知函数2()85f x x x =---，()x e exg x ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若1x ∀∈[],m n ，2x ∃∈()0,∞+，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．D ．4．已知函数()2ln f x ax x x -=-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．()0,1C ．21,e e +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．210,e e +⎛⎫⎪⎝⎭5．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（ ）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b >6．设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数，()f x '为其导函数，已知()()1221f x f x -=-，()20f -=，当0x >时，()()xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞C ．()(),20,2-∞-D ．()()0,22,+∞7．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π4a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+⋅的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2fB ．函数()f x 有极大值()1f -和极小值()2fC ．函数()f x 在()3,2x ∈--单调递增D ．函数()f x 在()1,2x ∈单调递增9．若函数()33=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,4- B ．()1,4- C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭10．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7B ．4C ．0D ．﹣411．已知()f x 的定义域为(0,)+∞，fx 为()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x <-，则不等式(1)(1)f x x +>-()21f x -的解集是（ ）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,12．已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()()0,1,4,+∞C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,4)二、填空题13．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t 的关系为()c f t =，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如下图所示．给出下列四个结论：① 在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；② 在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；③ 在23[,]t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； ④ 在12[,]t t ,23[,]t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同. 其中所有正确结论的序号是_____．14．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数.若()()()2202020202f m m f ->-，则实数m 的取值范围为______.15．已知()f x '是函数()()322113f x mx m x n x =-+-+的导函数，若函数()x y f f '=⎡⎤⎣⎦在区间[],1m m +上单调递减，则实数m 的范围是______.16．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩的图象上任意两点，且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______． 17．已知函数()ln 2f x x x =-+，存在(]00,4x ∈，使得()0f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是________． 18．若()()21ln 22f x x b x =-++在()1,-+∞上是减函数，则b 的取值范围是________． 19．已知函数(a ≤0)，函数，若不存在，使，则实数的取值范围为___．20．已知函数()()221f x x xf '=+，则()1f 的值为__________．三、解答题21．已知函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++， （1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（3）若对a ∀∈(-3，-2)，12,x x ∈[1，3] ，不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()2()2xx f x xe a x a R ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性.23．已知函数32()f x x ax bx c =+++在0x 处取得极小值32-，其导函数为()'f x ．当x 变化时，()'f x 变化情况如下表：（1）求0x 的值； （2）求,,a b c 的值．24．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围. 25．已知函数()(0)x xf x x e=>． （1）求函数()f x 的最大值；（2）若函数()()g x f x m =-有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）若不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解，求实数a 的取值范围．26．已知函数211()ln (,0)22f x x a x a R a =--∈≠. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由已知建立方程，反解出k ，将问题转化为求函数值域问题，然后利用函数的性质求出最值即可求解. 【详解】由题意可得：存在实数00x ≠，使得()()00 f x f x -=成立，假设00x >，则00x -<， 所以有00ln kx x -=， 则0ln x k x =-， 令()ln xh x x=-， 则()2ln 1x h x x -'=， 令()0h x '>，即ln 1x >， 解得x e >，令()0h x '<，即ln 1x <， 解得0x e <<，则()h x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增， 所以()()()ln 1min e h x h x h e e e≥==-=-， 所以1k e≥-， 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查了分段函数的存在性问题，构造函数，利用导函数求最值是解决本题的关键.2．B解析：B 【分析】根据奇函数的定义和单调性可确定()f x 和()f x '的符号，由奇偶性定义可知()g x 为偶函数，利用导数可确定()g x 单调性；根据()()111g g =-=，利用单调性可求得()1xf x <的解集，根据推出关系可确定结论. 【详解】()f x 为(),-∞+∞上的奇函数，∴()00f =，又()f x 单调递减，∴当0x <时，()0f x >；当0x >时，()0f x <，且()0f x '≤， 令()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，()g x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()0xf x ≤；当0x <时，()0xf x <；()()g x xf x ∴=-，()()()()()g x f x xf x f x xf x '''∴=--=-+⎡⎤⎣⎦当0x ≥时，()0f x ≤，()0g x '∴≥，()g x ∴在[)0,+∞上单调递增， 由偶函数对称性知：()g x 在(],0-∞上单调递减；()()()1111g g f =-=-=，∴由()()1g x xf x =<得：11x -<<，()()1,11,≠-⊂-+∞，∴“1x >-”是“()1xf x <”的必要不充分条件.故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， 则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．3．B解析：B 【分析】先用导数法研究()y g x =，然后的同一坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =的图象，根据[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立求解. 【详解】因为()x e exg x ex+=，所以()()211x x e x e g x ex ex '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭， 当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()10g '=， 所以()g x 在1x =处取得极小值，且为定义域内唯一极值，()()min 12g x g ∴==.()22185()4111f x x x x -==---++≤，作函数()y f x =与()y g x =的图象， 如图所示：当()2f x =时，方程两根分别为7-和1-， 则n m -的最大值为：()176---=. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用导数和二次函数的性质，作出图像，利用数形结合进行求解，考查了转化化归的的思想、运算求解，以及数形结合的能力，属于中档题.4．B解析：B 【分析】函数()2()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点，即方程2ln x xa x +=有两个根，设()2ln x xg x x+=，求出()g x '，研究出函数()g x 的单调性，由()g x 的图象与y a =有两个交点，得出a 参数的范围，即得结果. 【详解】 函数()2()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点，由题意得方程2ln x x a x +=有两个根，设()2ln x xg x x+=，则y a =与()y g x =有两个不同的交点，又()2431(1)(ln (2)12ln ）x x x x x x x g x x x +-+--'==， 设()12ln h x x x =--，则()210h x x'=--<所以()12ln h x x x =--在()0,∞+上单调递减，又(1)0h = 当()()(0,1),0,0x h x g x '∈>>，所以()g x 在(0,1)上单调递增，当()()(1,),0,0x h x g x '∈+∞<<，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，又(1)1g =，22111()01e g e e e e -==-<⎛⎫ ⎪⎝⎭，当(1,)x ∈+∞时，ln 0x x +>，则()0g x >，即()g x 在(1,)+∞上单调递减，但恒正. 作出函数()y g x =的大致图象如下：要使()y g x =的图象与y a =有两个交点， 所以实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．B解析：B 【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围． 【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--，22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=， x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．6．B解析：B 【分析】由已知条件得函数()f x 为偶函数，引入()()g x xf x =，利用导数可得(0,)+∞上()g x 为增函数，结合(2)0=g 可解不等式()0>g x ，从而得()0f x >在(0,)+∞上的解，再由偶函数得出结论． 【详解】由()()1221f x f x -=-，可知()f x 为偶函数，构造新函数()()g x xf x =，则()()()g x xf x f x ''=+，当0x >时()0g x '>. 所以()()g x xf x =在()0,∞+上单调递增，又()20f =，即()20g =. 所以由()()0g x xf x =>可得2x >，此时()0f x >.又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为()(),22,-∞-+∞.故选：B ． 【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求解时，如果是偶函数，可利用单调性求出(0,)+∞上的解，然后再利用奇偶性得出{|0}x x ≠上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在R 上的单调性，然后由单调性解不等式．7．D解析：D 【分析】 首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】 设()()sin f x g x x=，()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数， 并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f ag ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即a b c >>. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.8．A解析：A 【分析】根据图象判断出导函数()f x '的符号，由此求得()f x 的单调区间、极大值、极小值. 【详解】当3x <-时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒>⎨+<'⎩'，()f x 递增； 当31x -<<-时，()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒<⎨+<'⎩'，()f x 递减； 当12x -<<时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒<⎨+>'⎩'；当2x >时()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒>⎨+>'⎩'，()f x 递增；综上：函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2f . 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用图象判断函数的单调性和极值，属于中档题.9．C解析：C 【分析】对函数()f x 进行求导，可得函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，可得()f x 的图像，由函数在区间()5,21a a -+上有最小值，数形结合可得关于a的不等式，计算可得答案. 【详解】解：由3()3f x x x =-，可得()2333(1)(1)f x x x x '=-+=--+，当11x -<<，()0f x '>，当1x <-或1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，则()f x 的图像如图所示，因为函数在区间()5,21a a -+上有最小值，故51212a a -<-<+， 解得：112a -<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题，体现了数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.10．A解析：A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 11．B解析：B 【分析】构造函数()()F x xf x =，再根据单调性解不等式，即得结果. 【详解】令()()F x xf x =，则()()()0F x f x xf x ''=+<，所以()F x 在(0,)+∞上单调递减(1)(1)f x x +>-()21f x -，2(1)(1)(1)x f x x ∴++>-()21f x -，2(1)(1)F x F x ∴+>-， 2011,2x x x ∴<+<-∴>，故选：B 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.12．B解析：B 【分析】结合函数图象比较()f x 与()f x '的大小，求出()()0f x f x -<′成立的x 的范围，求出()g x 的导数，判断其与0的关系即可.【详解】结合图象：()01x ∈，和()4x ∈+∞，时，()()f x f x '<，即()()0f x f x -<′， 而()()()0xf x f xg x e -=<′′，故()g x 在()0,1，()4,+∞递减，故选B ． 【点睛】本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断()f x 与()f x '的大小是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．①③④【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义结合图象判断选项【详解】①在时刻为两图象的交点即此时甲乙两人血管中的药物浓度相同故①正确；②甲乙两人在时刻的切线的斜率不相等即两人的不相同所以甲乙两人血解析：①③④ 【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项. 【详解】①在1t 时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在2t 时刻的切线的斜率不相等，即两人的()2f t '不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是()()3232f t f t t t --，故③正确；④在[]12,t t 时间段，甲的平均变化率是()()2121f t f t t t --，在[]23,t t 时间段，甲的平均变化率是()()3232f t f t t t --，显然不相等，故④正确.故答案为：①③④ 【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是()()f t t f t t+-.14．【分析】令求得函数的导数根据函数的单调性把题设中的不等式转化为即可求解【详解】令则因为所以所以函数在为单调递减函数又由所以即所以即所以解得综上可得实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了利用 解析：()2020,2022【分析】令()(),(0,)f x h x x x=∈+∞，求得函数的导数，根据函数的单调性，把题设中的不等式转化为(2020)(2)h m h ->，即可求解.【详解】令()(),(0,)f x h x x x =∈+∞，则()()2()xf x f x h x x '-=， 因为()()0xf x f x '-<，所以()0h x '<，所以函数()h x 在(0,)+∞为单调递减函数， 又由()()()2202020202f m m f ->-， 所以20200m ->，即2020m >，所以()()2020220202f m f m ->-， 即(2020)(2)h m h ->，所以20202m -<，解得2022m <， 综上可得，实数m 的取值范围为()2020,2022.故答案为：()2020,2022. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，以及函数的单调性的应用，着重考查了构造、转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.15．【分析】求出函数的导函数利用导函数研究原函数的单调区间再二次求导得从而得到的单调区间由导函数在区间上单调递增求出其值域将函数的单调性把问题转化为即可列出不等式即可求出的范围【详解】解：由函数得由得或 解析：[]1,0-【分析】求出函数()f x 的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得()22f x x m ''=-，从而得到()f x '的单调区间，由导函数在区间[m ，1]m +上单调递增求出其值域[]1,0-，将函数的单调性把问题转化为[][]1,01,1m m -⊆-+，即可列出不等式即可求出m 的范围. 【详解】解：由函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+，得222()21()1f x x mx m x m '=-+-=--， 由2()10x m -->，得1x m <-或1x m >+，∴函数()f x 的增区间为(,1)m -∞-，(1,)m ++∞，由2(1)0x m --<，得11m x m -<<+，∴函数()f x 单调减区间为[]1,1m m -+，由()22f x x m ''=-，则()0f x ''>时，x m >；()0f x ''<时，x m <，得()'f x 的单调增区间为[),m +∞，单调减区间为(],m -∞，函数()f x '在[],1m m +上单调递增，∴函数()f x '在[],1m m +上的值域为[]1,0-， 又函数[()]y f f x '=在区间[],1m m +上单调递减， 也就是函数()y f x =在区间[]1,0-上单调递减，因此要满足条件[][]1,01,1m m -⊆-+，即1110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得：10m -≤≤， ∴实数m 的范围是[]1,0-.故答案为：[]1,0-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题.16．【分析】先判定再根据切线相互垂直可得的关系利用该关系式把转化为一元函数利用导数可求其最小值【详解】当时当时因为故所以即其中又令则当时；当时故故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值解析：1e-【分析】先判定()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，再根据切线相互垂直可得12,x x 的关系，利用该关系式把12x x 转化为一元函数，利用导数可求其最小值.【详解】当1x <时，()0xf x e '=-<，当1x >时，()10f x x'=>， 因为()()121f x f x ''=-，故()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，所以1211x e x -⨯=-即12x x e =，其中11<x . 又1121xx x x e =，令(),1tg t te t =<，则()()1,1tg t t e t '=+<，当1t <-时，()0g t '<；当11t -<<时，()0g t '>， 故()()min 11g t g e=-=-， 故答案为：1e-. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.17．【分析】由题意可得利用导数求出函数在区间上的最大值即可得出实数的取值范围【详解】存在使得成立等价为令得当时函数是增函数；当时函数是减函数当时函数在处取得最大值所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛解析：1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】由题意可得()max m f x ≤，利用导数求出函数()y f x =在区间(]0,4上的最大值，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】()ln 2f x x x =-+，存在(]00,4x ∈，使得()0f x m ≥成立等价为()max f x m ≥．()ln 1f x x '=--，令()0f x '=，得1x e=. 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()ln 2f x x x =-+是增函数；当1,4x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()ln 2f x x x =-+是减函数，当(]0,4x ∈时，函数()ln 2f x x x =-+在1x e =处取得最大值12e +，所以12m e≤+． 因此，实数m 的取值范围是1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 故答案为：1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式能成立问题，结合题意转化为与函数最值相等的不等式问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】由题意得出对任意的恒成立利用参变量分离法得出求出二次函数在区间上的值域即可得出实数的取值范围【详解】由于函数在上是减函数则对任意的恒成立即得二次函数在区间上为增函数则因此实数的取值范围是故答 解析：(],1-∞-【分析】由题意得出()0f x '≤对任意的()1,x ∈-+∞恒成立，利用参变量分离法得出22b x x ≤+，求出二次函数22y x x =+在区间()1,-+∞上的值域，即可得出实数b 的取值范围.【详解】()()21ln 22f x x b x =-++，()2bf x x x '∴=-++，由于函数()()21ln 22f x x b x =-++在()1,-+∞上是减函数， 则()0f x '≤对任意的()1,x ∈-+∞恒成立，即2bx x ≤+，得()222b x x x x ≤+=+， 二次函数22y x x =+在区间()1,-+∞上为增函数，则()()21211y >-+⨯-=-，1b ∴≤-.因此，实数b 的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，利用参变量分离法求解是一种常用的方法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.19．-10【解析】【分析】先求导分别求出导函数的最值再根据不存在x1x2∈R使得f′（x1）＝g′（x2）得到关于a 的不等式解得即可【详解】∵函数f （x ）＝ex ﹣ax 函数g （x ）＝﹣x3﹣ax2∴f′（ 解析：【解析】 【分析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′（x 1）＝g ′（x 2），得到关于a 的不等式解得即可． 【详解】∵函数f （x ）＝e x ﹣ax ，函数g （x ）＝﹣x 3﹣ax 2， ∴f ′（x ）＝e x ﹣a ＞﹣a ，g ′（x ）＝﹣x 2﹣2ax ＝﹣（x ）2，∵不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′（x 1）＝g ′（x 2）， ∴，解得-1≤a ≤0，故答案为．【点睛】本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题．20．-3【解析】由函数则令所以解得即所以解析：-3 【解析】由函数()()221f x x xf =+'，则()()221f x x f +''=，令1x =，所以()()1221f f =+''，解得()12f '=-，即()24f x x x =-，所以()211413f =-⨯=-.三、解答题21．（1）极小值为4，无极大值（2）答案见解析（3）133m ≤- 【分析】（1）利用导数可求得结果； （2）求导后，令()0f x '=得1x a =-或12x =，对1a -与12的大小分类讨论可求得结果；（3）转化为12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-，根据（2）中的单调性求出1max ()f x 和2min ()f x 代入后得2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立，列式23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩可解得结果. 【详解】（1）当2a =时，1()4f x x x =+(0)x >，222141()4x f x x x-'=-=， 当102x <<时，()0f x '<，当12x >时，()0f x '>，所以()f x 在1(0,)2上递减，在1(,)2+∞上递增， 所以()f x 在12x =处取得极小值1()42f =，无极大值.（2）当0a <时，1()(2)ln 2f x a x ax x=-++，定义域为(0,)+∞， 221()2a f x a x x -=-+'222(2)1ax a x x +--=2(1)(21)ax x x +-=，令()0f x '=得1x a =-或12x =， 当112a ->，即20a -<<时，由()0f x '<得102x <<或1x a >-，由()0f x '>得112x a<<-， 所以()f x 在1(0,)2和1(,)a -+∞上单调递减，在11(,)2a-上单调递增， 当112a -=，即2a =-时，22(21)()x f x x--'=0≤，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 当112a -<，即2a <-时，由()0f x '<得10x a<<-或12x >，由()0f x '>得112x a -<<， 所以()f x 在1(0,)a -和1(,)2+∞上单调递减，在11(,)2a -上单调递增， （3）由（2）可知对a ∀∈(-3，-2)，()f x 在[1,3]上单调递减， 因为不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，等价于12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-， 而1max ()(1)12f x f a ==+，2min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++，所以1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----， 即2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立， 所以23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩，解得133m ≤-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ． 22．（1）极大值112e-，极小值0；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a =时，2()2xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求导，令()0f x '=可得极值点和极值； （2）()()(1)xf x x e a '=+-，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出． 【详解】（1）当1a =时，2()2xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()(1)(1)1x x x f x e xe x e x '=+-+=+-， 令()0f x '=，得1x =-或0x =.∴1x =-时，()f x 有极大值()12f e-=-， 0x =时，()f x 有极小值()00f =；（2）()()(1)(1)xxxf x a e e xe x x a '=+-+=+-，当0a ≤时，0x e a ->，由()0f x '>得1x >-， 即函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，由()0f x '<得1x <-，即函数()f x 在(),1-∞-上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x =-或ln x a =.①当ln 1a =-，即1a e -=时，无论1x >-或1x <-，均有()0f x '>， 又()10f '-=，即在R 上()0f x '≥，从而函数()f x 在R 上单调递增； ②当ln 1a <-，即10ae 时，由()()(1)01xe f x x a x '=+->⇒>-或ln x a <时， 函数()f x 在()1,-+∞和(),ln a -∞上单调递增；由()()(1)0ln 1xf x x a a e x '=+-<⇒<<-时，函数()f x 在()ln ,1a -上单调递减； ③当ln 1a >-，即1a e ->时，由()()(1)0ln xf x x e a x a '=+->⇒>或1x <-时， 函数()f x 在()ln ,a +∞和(),1-∞-上单调递增； 由()()(1)01ln xf x x a x a e '=+-<⇒-<<时， 函数()f x 在()1,ln a -上单调递减.综上，当0a ≤时， ()f x 单调递增区间是()1,-+∞上， 单调递减区间是(),1-∞-上； 当10ae 时，()f x 单调递增区间是(),ln a -∞,()1,-+∞，单调递减区间是()ln ,1a -；当1a e -=时，()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；当1a e ->时，()f x 单调递增区间是(),1-∞-,()ln ,a +∞， 单调递减区间是()1,ln a -. 【点睛】关键点点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)在研究函数单调性的过程中，要准确判断导数的符号，当()f x '含参时，要依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 23．（1）01x =；（2）1,2,02a b c =-=-=. 【分析】（1）由表可得出1x =是极小值点；（2）由题可得()01f '=，3(1)2f =-，2()03f '-=，由此可求出. 【详解】解：（1）由题意可知，2()32f x x ax b '=++ 当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以()f x 在区间2(,1)3-上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增. 故1x =时，函数()f x 有极小值，所以01x =.（2）由（1）知1x =为函数()f x 的极小值点，得()01f '=，即320a b ++=.①因为函数()f x 的极小值为32-，所以3(1)2f =-， 即312a b c +++=-，整理得：52a b c ++=-.② 由题可知23x =-为函数()f x 的极大值点，所以2()03f '-=， 即44033a b -+=.③ 联立①②③得：1,2,02a b c =-=-=.【点睛】关键点睛：本题考查函数的导数与极值的关系，解题得关键是知道函数在极值点处的函数值为0.24．（1）0a =，4b =-；（2）3a =；（3）[0,)a ∈+∞.【分析】（1）利用导数的几何意义，可得(1)12f '-=，(1)9f -=-，计算整理，即可求得a ，b 的值；（2）令'(3)0f =，即可求得a 的值，检验可得3x =为极值点，即可得答案；（3）令'()0f x =，解得1x a =，21x =，分别求得1a <和1a ≥时，()f x 的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案.【详解】（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-，解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值，所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--，令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意.（3）令()6()(1)0f x x a x '=--=，得1x a =，21x =.当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数，故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立.当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意，当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数，从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题.25．(1)1e ；(2)10m e <<；(3)221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【分析】(1)求导，利用导数可得函数的单调性，进而求得函数的最值；(2)函数()()g x f x m =-有两个零点，转化为函数()(0)x x f x x e =>的图象与直线y m =有两个交点．结合（1）中结论即可求得m 的取值范围；(3)由()0f x >，可得()f x a >只有一个整数解，由()f x 的极大值为()11f e =，012<<， ()222f e=，可得a 的取值范围． 【详解】(1)函数()(0)x x f x x e =>， 则1()x x f x e-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值为()11f e=．(2)函数()()g x f x m =-有两个零点，相当于函数()(0)x x f x x e =>的图象与直线y m =有两个交点．当0x =时，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →，结合（1）中结论，可得10m e<<． (3)因为()0f x >，所以不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解， 即()f x a >只有一个整数解，因为()f x 的极大值为()11f e =，012<<，()222f e =， 所以当221,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x a >只有一个整数解1x =， 即当221,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解1x =． 所以实数a 的取值范围是221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想，属于中档题． 26．（1）10x y +-=；（2）答案见解析；（3）()(],00,1-∞. 【分析】（1）当2a =时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线()y f x =在点()1,()f x 处的切线方程；（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调区间； （3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数a 的取值范围．【详解】解：（1）2a =时，211()2ln 22f x x x =--，(1)0f =， 2'()f x x x=- ，'(1)1f =- 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-=（2）2'()(0)a x a f x x x x x -=-=>①当0a <时，2'()0x a f x x-=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+②当0a >时，令'()0f x =，解得x =x =所以函数()f x 的递增区间为+∞，递减区间为 （3）对任意的[1,)x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[1,)x ∈+∞，min ()0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥而11(1)ln1022f a =--= 所以0a <满足题意；②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--= 所以01a <≤满足题意；③当1a >1>，()f x 在上是减函数，)+∞上是增函数，所以只需0f ≥即可 而(1)0f f <= 从而1a >不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1-∞.【点睛】 本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用，属于中档题．。
高中数学选修2第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试(含解析)
高中数学选修2第五章一、单选题1．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V （单位：L ）与直径d （单位：dm ）的关系式为V =πd 36，当d =2dm 时，气球体积的瞬时变化率为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π42．若点P 是曲线y =lnx ―x 2上任意一点，则点P 到直线l ：x +y ―6=0的距离的最小值为( )A ．22B ．32C ．522D ．9223．函数f (x )=13a x 3+12a x 2―2ax +2a +1的图象经过四个象限的一个充分必要条件是( )A ．―43<a <―13B ．―1<a <―12C ．―2<a <0D ．―65<a <―3164．根据公式sin3α=3sin α―4sin 3α，sin10°的值所在的区间是（ ）A ．(17,16)B ．(16,15)C ．(15,14)D ．(14,13)5．已知函数f (x )=ax +ln a ，g (x )=x +e x ―ln x ，若关于x 的不等式f (x )>g (x )在区间(0，+∞)内有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(e ，e 2]B ．(e ，e 22]C ．(e 2，e 3]D ．(e 22，e 33]6．设函数 f (x )=e xx―t (ln x +x +2x ) 恰有两个极值点，则实数 t 的取值范围是（ ）A ．(―∞，12]B ．(12，+∞)C ．(12，e 3)∪(e3，+∞)D ．(―∞，12]∪(e3，+∞)7．已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数， f (―1)=0 ，当 x <0 时， x f ′(x )+f (x )<0 ，则使得 f (x)>0 成立的 x 的取值范围是（ ） A ．(―∞，―1)∪(0，1)B ．(―1，0)∪(1，+∞)C ．(―∞，―1)∪(―1，0)D ．(0，1)∪(1，+∞)8．函数 f (x )=|x |ex ，方程 [f (x )]2―(m +1)f (x )+1―m =0 有4个不相等实根，则 m 的取值范围是（ ）A ．(e 2―e e 2+e，1)B ．(e 2―e +1e 2+e ，+∞)C ．(e 2―e +1e 2+e ，1)D ．(e 2―e e 2+e，+∞)二、多选题9．对任意的x∈R，函数f(x)=x3＋ax2+7ax不存在极值点的充分不必要条件是（ ）A．0≤a≤21B．1≤a≤20C．a<0D．a=21 10．已知函数f(x)=e xx2―x+1，则下列结论正确的是（ ）A．函数f(x)存在极大值和极小值B．函数f(x)不存在最小值与最大值C．当x∈[0，3]时，函数f(x)最大值为eD．当x∈[12，e]时，函数f(x)最小值为e2311．已知函数f(x)=14x 4+12a x2+ax，则下面说法正确的是（ ）A．存在实数a，使f(x)有最小值且最小值小于0B．对任意实数a，f(x)有最小值且最小值不小于0C．存在正实数a和实数x0，使f(x)在(―∞，x0)上递减，在(x0，+∞)上递增D．对任意负实数a，存在实数x0，使f(x)在(―∞，x0)上递减，在(x0，+∞)上递增12．若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若f(x)={x3e x,x≥0ax2,x<0恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ）A．0B．―12018C．―1eD．―12021三、填空题13．函数f(x)=12x―x3在区间[―3，3]的最小值是 .14．设曲线y=e ax+sine在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= ．15．关于x的方程kx―lnxx =2在区间[1e,e]上有两个实根，则实数k的最小值是 .16．已知函数f(x)=x3―a e x，若函数f(x)有三个极值点x1,x2,x3(x1<x2<x3)，若x3≥3x2，则实数a的取值范围是 .四、解答题17．求下列函数的导数：（1）f(x)=(1+sin x)(1―4x)；（2）f(x)=xx+1―2x.18．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．（1）求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．19．已知函数f (x )=x 3+a x 2+x (a ∈R )（1）若函数f (x )存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）若f (x )≥xlnx +x 在(0，+∞)恒成立，求a 的最小值.20．设f n （x ）=x+x 2+…+x n ﹣1，x≥0，n ∈N ，n≥2．（Ⅰ）求f n ′（2）；（Ⅱ）证明：f n （x ）在（0，23）内有且仅有一个零点（记为a n ），且0＜a n ﹣12＜13（23）n ．21．已知函数f （x ）=lnx+a （x 2﹣3x+2），其中a 为参数．（1）当a=0时，求函数f （x ）在x=1处的切线方程； （2）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由；（3）若对任意x ∈[1，+∞），f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围．22．设函数 f (x )=1x ―eex ,g (x )=a (x 2―1)―lnx （ a ∈R ， e 为自然对数的底数）.（1）证明：当 x >1 时， f (x )>0 ； （2）讨论 g (x ) 的单调性；（3）若不等式 f (x )<g (x ) 对 x ∈(1,+∞) 恒成立，求实数 a 的取值范围.参考答案1．A2．B解：已知函数y=lnx―x2，可得y′=1x―2x,(x>0)，直线l:x+y―6=0的斜率为-1，令y′=―1,即1x―2x=―1，可得(x―1)(2x+1)=0，因为x>0，可得x=1，则y=―1，即平行于直线l:x+y―6=0且与曲线y=lnx―x2相切的切点坐标为P(1,―1)，由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为d=|1―1―6|2=32.3．D。
新人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数ln,1 ()1,12x xf x xx≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()[()1]F x f f x m=++两个零点1x，2x，则12x x⋅的取值范围是（）A．(),e-∞B．(),e+∞C．(],42ln2-∞-D．[)42ln2,-+∞2．已知a R∈，0b≠，若x b=是函数()()()2f x x b x ax b=-++的极小值点，则实数b的取值范围为（）A．1b<且0b≠B．1b>C．2b<且0b≠D．2b>3．设ln2ln3ln,,23a b cππ===则下列判断中正确的是（）A．a b c>>B．b c a>>C．a c b>>D．c b a>>4．记函数()cos2f x x=的导函数为()f x'，则函数()23()()g x f x f x'=+在[0,]xπ∈内的单调递增区间是（）A．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：3m）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：31()1010V t H t⎛⎫=-⎪⎝⎭（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为()3m/hv.那么瞬时融化速度等于()3m/hv的时刻是图中的（）.A．1t B．2t C．3t D．4t6．已知函数f(x)(x∈R)满足(1)1f=，且()f x的导数f′(x)>12，则不等式1()22xf x<+的解集（）A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－1，1)7．如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．A ．－1B ．0C ．2D ．4 8．若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．0B ．6πC ．3πD ．π 9．函数()262x f x x x e =-+的极值点所在的区间为（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,1-- 10．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤11．已知奇函数()f x 在R 上是增函数且当0x ≥时()0f x ≥ ，()()g x xf x =．若()2log 5.1a g =-，()0.82b g =，()3c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a << 12．α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ> B ．0αβ+> C ．αβ< D ．22αβ>二、填空题13．已知k 为常数，函数2,0()1ln ,0x x f x x x x +⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩，若关于x 的函数()()2g x f x kx =--有4个零点，则实数k 的取值范围为________.14．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，则函数()f x 的图象在1ln 2x =处的切线的倾斜角为________. 15．已知函数()ln e x f x x ax =--在()1,2上不单调，则a 的取值范围是_________．16．已知32()3f x x x a =-+(,a R ∈a 为常数),在]2,2⎡-⎣上有最大值4，那么此函数在]2,2⎡-⎣上的最小值为_______.17．设函数f （x ）在（0，+∞）可导，其导函数为f′（x ），若f （lnx ）=x 2﹣1nx ，则f′（1）=_____18．已知函数()cos x f x x=，则()f x '=___________. 19．已知函数2()41f x x x =-+，若()f x 在区间[a ，2a+1]上的最大值为1，则a 的取值范围为_________．20．已知函数()()221f x x xf '=+，则()1f 的值为__________． 三、解答题21．已知函数2()ln f x x x =-，()g x kx =．（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()g x 是()f x 的切线，求实数k 的值；（3）若()f x 与()g x 的图象有两个不同交点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，求证：121x x >． 22．已知函数32121()332a f x ax x x +=++， （1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；（2）是否存在正实数a ，使得函数()f x 在区间[1,1]-上为减函数？若存在，请求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.23．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．24．已知函数()(0)x x f x x e=>． （1）求函数()f x 的最大值；（2）若函数()()g x f x m =-有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）若不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解，求实数a 的取值范围．25．已知函数2()4ln f x ax bx x =++的极值点为1和2．（1）求实数a ，b 的值．（2）求函数()f x 在区间(]0,3上的最大值．26．已知函数()ln f x x x =.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若对于任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据题中条件，得到()1m f x e -=-有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <；令112m t e -=->，得到()122t x x e x =-，12t >，设()()22t g t e t =-，对其求导，判定其单调性，求出值域，即可得出结果.【详解】 当1≥x 时，()ln 0f x x =>，∴()11f x +≥，当1x <时，()1122x f x ->=，()312f x +>； ∴()()1ln 1f f x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，等价于方程()()1ln 10F f x f x m +=++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦有两个根1x ，2x ，则()1m f x e -+=，即()1m f x e -=-有两个根1x ，2x （不妨设12x x <），则1≥x 时，2ln 1m x e -=-；当1x <时，1112m x e --=-， 令112m t e -=->，则2ln x t =，112x t -=；所以2t x e =，122x t =-； 则()122t x x e x =-，12t >，设()()22t g t e t =-，12t >， 则()2t g t te '=-，当1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g t '<显然恒成立，所以函数()g t 单调递减，则()12g t g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭所以()g x 的值域为(-∞，即12x x 的取值范围为(-∞.故选：A.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数零点个数结合函数解析式，得到()1m f x e -=-有两个根为1x 和2x ，再构造函数，利用导数的方法求解即可.2．B解析：B【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围．【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--， 22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=， x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >． 故选：B ．【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．3．B解析：B【分析】构造函数()ln x f x x =，利用导数分析()f x 的单调性，从而判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】设()ln x f x x =，所以()21ln x f x x-'=，令()0f x '=，所以x e =， 所以()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(),x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()ln 22ln 2ln 44244f ===，且()()()34f f f π>>，所以b c a >>， 故选：B.【点睛】方法点睛：利用构造函数思想比较大小的方法：（1）先分析所构造函数的导函数，由此分析出函数的单调性；（2）先比较处于同一单调区间的函数值大小； （3）再通过一定方法（函数性质、取中间值等）将非同一单调区间的函数值转化到同一单调区间，即可完成比较大小.4．C解析：C【分析】先对函数()f x 求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间.【详解】()cos2f x x =，()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， 令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C .【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题.5．C解析：C【分析】 根据题意可知，平均融化速度为(100)(0)1000V V v -=-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案.【详解】 解：平均融化速度为(100)(0)1000V V v -=-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知3t 处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致，故选：C ．【点睛】本题考查了图象的识别，瞬时变化率和切线斜率的关系，理解平均速度表示的几何意义（即斜率）是解题的关键.6．A解析：A【分析】根据f ′(x )>12，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022=--=g f ，然后将不等式1()22x f x <+，转化为1()022--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】因为f ′(x )>12， 所以()102f x '-> 所以()()()()()110222xg x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增， 又()()1111022=--=g f ， 所以不等式1()22x f x <+，即为1()022--<x f x ， 即为：()()1g x g <，所以1x <，故选：A【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题.7．B解析：B【分析】将点()3,1的坐标代入切线方程得出k 的值，得出()3f k '=以及()31f =，再对函数 ()y g x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，即可得出()3g '的值．【详解】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-， 由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =，对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点： （1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；（2）切点是切线与函数图象的公共点．8．B解析：B【分析】先对函数()f x 求导，采用赋值的方式计算出()0f '的结果，由此计算出6f π⎛⎫'⎪⎝⎭的值. 【详解】因为()()20sin 1f x x f x ''=-+，所以令0x =，则()01f '=，所以()2sin 1f x x x '=-+，则66f ππ⎛⎫'=⎪⎝⎭， 故选：B.【点睛】本题考查导数中的计算，采用赋值法求解出函数解析中的未知量是解答的关键，难度一般. 9．B解析：B【分析】求出函数的导数，根据函数的零点判定定理求出函数的极值点的区间即可.【详解】()262x f x x e '=-+，且()f x '为单调函数，∴()12620f e '=-+>，()0620f '=-+<，由()()010f f ''<，故()f x 的极值点所在的区间为()0,1，故选：B.【点睛】本题主要考查了导数的应用，函数的极值点的意义，考查转化思想，属于中档题. 10．D解析：D【分析】求出函数的导数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，即可得结果【详解】解：由()32114332f x x mx x =-+-，得'2()4f x x mx =-+， 因为函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数， 所以240x mx -+≥在[]1,2上恒成立， 得4m x x ≤+恒成立因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号， 所以4m ≤，故选：D【点睛】此题考查导数的应用，考查函数最值的求值，考查基本不等式应用，考查转化思想，属于中档题11．C解析：C【分析】可判断函数()g x 为偶函数，再利用导数可证明()g x 在[)0,+∞为增函数，利用指数函数和对数函数的单调性可得0.823log 5.12>>，从而可得三个函数值之间的大小关系.【详解】因为()()()g x xf x xf x -=--=，故()f x 为偶函数，当0x ≥时，因为()()()0g x f x f x ''=+≥（不恒为零），故()g x 在[)0,+∞为增函数，又()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，因为0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，所以c a b >>， 故选：C.【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指数、对数的大小比较，注意两个增函数的乘积不一定是增函数，另外函数值的大小比较一般要利用函数的单调性来处理，本题属于中档题. 12．D解析：D【分析】构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.【详解】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又 ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】 本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.二、填空题13．【分析】将x 的函数有4个零点转化为与有4个不同的交点然后利用数形结合法求解【详解】因为函数有4个零点所以与有4个不同的交点在同一坐标系中作出与的图象如图所示：当时单调递减与有一个交点则；所以当时有3 解析：310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】将x 的函数()()2g x f x kx =--有4个零点，转化为()y f x =与2y kx =+有4个不同的交点，然后利用数形结合法求解.【详解】因为函数()()2g x f x kx =--有4个零点，所以()y f x =与2y kx =+有4个不同的交点，在同一坐标系中作出()y f x =与2y kx =+的图象，如图所示：当0x ≤时，311y x =+-单调递减， 与2y kx =+有一个交点，则0k >； 所以当0x >时，有3个交点，求出2y kx =+与|ln |y x =相切时的k 值， 当1x >时，设切点为()00,ln x x ， 所以1y x'=，则01k x =， 所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 又因为点()0,2在切线上， 所以则()00012ln 0x x x -=-， 解得30x e =，所以31k e=， 由图像知()()2g x f x kx =--有4个零点，则310k e <<， 故答案为： 310,e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．14．【分析】设则求得的值进而得到的解析式然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解【详解】设则因为为单调函数故不随的变化而变化即是常数又切线斜率为1所以倾斜角为∴答案为:【点睛】本题考查利用换元解析：45︒【分析】设2()log t f x x =-，则()3f t =，求得t 的值，进而得到()f x 的解析式，然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解. 【详解】设2()log t f x x =-，则()3f t =.因为()f x 为单调函数，故t 不随x 的变化而变化即t 是常数. 又2()log f x x t =+，，2log 3t t +=，2t =，2()log 2f x x =+，1()ln 2f x x '=，11ln 2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，切线斜率为1， 所以倾斜角为45︒. ∴答案为:45︒. 【点睛】本题考查利用换元法和方程思想求函数的解析式，利用导数的几何意义研究函数的切线问题，涉及对数函数的导数公式和导数的运算，属小综合题，关键点在于利用换元法和方程思想求得函数的解析式，在于对数函数的导数公式的准确性掌握，难度一般.15．【分析】由题意知函数在区间上存在极值点利用导函数在区间上单调可得出有关实数的不等式组解出即可【详解】则函数在上单调递减因为函数在上不单调所以在上有解所以解得因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题解析：21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】由题意知，函数()y f x =在区间()1,2上存在极值点，利用导函数在区间()1,2上单调，可得出有关实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】()ln x f x x ax e =--，()1x f x a e x∴=--'，则函数()y f x ='在()1,2上单调递减， 因为函数()y f x =在()1,2上不单调，所以()0f x '=在()1,2上有解，所以()()21101202f a e f a e ⎧=-->⎪⎨=--<''⎪⎩，解得2112e a e -<<-. 因此，实数a 的取值范围是21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数在区间上不单调求参数的取值范围，一般转化为函数在区间上有极值点，考查运算求解能力，属于中等题.16．【解析】【分析】利用导数二次函数的性质研究函数的单调性由单调性求得函数在上的最值【详解】因为所以利用导数的符号可得函数的增区间为减区间为因为所以在上单调递增在上单调递减当时函数取得最大值所以所以可得 解析：16-【解析】 【分析】利用导数、二次函数的性质研究函数的单调性，由单调性求得函数在[2,2]-上的最值. 【详解】因为32()3f x x x a =-+，所以2'()363(2)f x x x x x =-=-，利用导数的符号，可得函数的增区间为(,0),(2,)-∞+∞，减区间为(0,2)， 因为[2,2]x ∈-，所以()f x 在[2,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减， 当0x =时，函数取得最大值4a =， 所以32()34f x x x =-+，所以(2)812416f -=--+=-，(2)81240f =-+=， 可得当2x =-时，函数取得最小值为16-， 故答案是：16-. 【点睛】该题考查的是有关求函数在某个区间上的最小值的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数最值问题，属于简单题目.17．【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式再求导代值计算即可【详解】设lnx=t 则x=et ∵f （lnx ）=x2-1nx ∴f （t ）=e2t-t ∴f （x ）=e2x-x ∴f′（x ）=2e2x-1∴f′（ 解析：221e -【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式，再求导，代值计算即可． 【详解】 设lnx=t ，则x=e t ， ∵f （lnx ）=x 2-1nx ， ∴f （t ）=e 2t -t ， ∴f （x ）=e 2x -x ， ∴f′（x ）=2e 2x -1， ∴f′（1）=2e 2-1， 故答案为2e 2-1． 【点睛】本题考查了函数解析式的求法和导数的运算，属于基础题．18．【分析】根据导数的运算法则求导即可【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了导数的运算法则掌握法则和常用导数公式是关键属于基础题 解析：2sin cos x x x x--【分析】根据导数的运算法则，求导即可． 【详解】()22cos x xsinx cosx xsinx cosx f x x x x ''--+⎛⎫===- ⎪⎝⎭． 故答案为2sin cos x x x x --．【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，掌握法则和常用导数公式是关键，属于基础题19．【分析】先作函数图象结合图象分类确定最大值为1所满足的条件解得结果【详解】因为作函数图象：由图象得【点睛】在研究函数性质特别是单调性最值零点时要注意用好其与图象的关系结合图象研究解析：13[,0]22⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭【分析】先作函数图象，结合图象分类确定最大值为1所满足的条件，解得结果. 【详解】因为211a a a <+∴>-，作函数()f x 图象：由图象得10013{0421021422a a a a a a -<≤>⎧∴-≤≤=⎨≥+≥+=⎩或或 【点睛】在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.20．-3【解析】由函数则令所以解得即所以解析：-3 【解析】由函数()()221f x x xf =+'，则()()221f x x f +''=，令1x =，所以()()1221f f =+''，解得()12f '=-，即()24f x x x =-，所以()211413f =-⨯=-.三、解答题21．（1）11ln 222+；（2）1；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出其单调性，即可得出函数()f x 的最小值； （2）利用导数的几何意义得出切线方程20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，再由2000012,1ln 0x k x x x -=-+-=求出k 的值； （3）将22111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加相减化简得出2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=-，令211x t x =>，构造函数2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，利用单调性证明2(1)ln 1t t t ->+，从而得出1212ln 22x x x x +>，再由令()ln 2G x x x =+的单调性得出12()(1)G x x G >，从而得出121x x >. 【详解】解：（1）∵2()ln f x x x =-，∴2121()2(0)x f x x x x x-'=-=>当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x在⎛ ⎝⎭上单调递减；当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，∴()f x在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增． 故函数()f x的最小值为211ln ln 222222f ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）若()g x 是()f x 的切线，设切点为00(,())x f x 则过点00(,())x f x 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+即20000012()ln y x x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭ 由题意知2000012,1ln 0x k x x x -=-+-= 令2()1ln (0)h x x x x =-+->，则0x >时，1()20h x x x'=--< ∴2()1ln h x x x =-+-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =∴2001ln 0x x -+-=有唯一的实根01x =，则0012211k x x =-=-=． （3）由题意知22111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加得22121212ln ()x x x x k x x +-=+两式相减得22221211ln ()x x x k x x x --=-，即212121ln x x x x k x x +-=-∴22211212211221ln ln ()x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪+-=+-+-⎪ ⎪⎝⎭，即2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=- 不妨令120x x <<，记211x t x =>，则2121212211ln 2ln x x xx x x x x x x ++==-1ln 1t t t +- 令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+∴2l ())1n 1(t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+ ∴2(1)ln 1t t t ->+，因而1212ln 2x x x x +=112(1)ln 2111t t t t t t t ++->⋅=--+ 令()ln 2G x x x =+，则0x >时，1()20G x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增∵121212()ln 22(1)G x x x x x x G =+>=，∴121x x >． 【点睛】在处理极值点偏移问题时，关键是构造新函数，结合单调性解决极值点偏移问题. 22．（1）()f x 的增区间为32⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-,-，()+∞-1，，()f x 的减区间为32⎛⎫⎪⎝⎭-,-1；()f x 的极大值为98-，()f x 的极小值为76-；（2）不存在；答案见解析.【分析】（1）2a =代入函数解析式，利用导数求函数的单调区间及极值；（2）利用导数在[]1,1-小于等于零可得答案. 【详解】（1）当2a =时，2()(253)(1)(23)f x x x x x '=++=++，令()0f x '=，解得1x =-或 3-2x =，所以，()f x 的增区间为,2-∞-（），1+-∞（，）， ()f x 的减区间为3,12--（）， ()f x 的极大值为39()28f -=-，. ()f x 的极小值为7(1)6f -=-.（2）依题意：2()(21)30f x ax a x '=+++≤在[]1,1-上恒成立，又因为0a >，所以，0(1)0(1)0a f f ''>⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，.得0243a a a ⎧⎪>⎪≥⎨⎪⎪≤-⎩即无解.所以，不存在满足条件的正实数a . 【点睛】方法点睛：函数在某段区间上恒成立，可以用导数小于等于零，也可以变量分离，构造函数求最值.23．（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【分析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值．【详解】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2 （2）存在724a ≥，满足题设， 因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+ 所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞令32436()6x x xh x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设． 【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多． 24．(1)1e ；(2)10m e <<；(3)221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【分析】(1)求导，利用导数可得函数的单调性，进而求得函数的最值； (2)函数()()g x f x m =-有两个零点，转化为函数()(0)x xf x x e=>的图象与直线y m =有两个交点．结合（1）中结论即可求得m 的取值范围；(3)由()0f x >，可得()f x a >只有一个整数解，由()f x 的极大值为()11f e=，012<<， ()222f e=，可得a 的取值范围． 【详解】 (1)函数()(0)x xf x x e=>， 则1()xxf x e -'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值为()11f e=．(2)函数()()g x f x m =-有两个零点，相当于函数()(0)x xf x x e=>的图象与直线y m =有两个交点．当0x =时，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →， 结合（1）中结论，可得10m e<<． (3)因为()0f x >，所以不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解， 即()f x a >只有一个整数解，因为()f x 的极大值为()11f e =，012<<，()222f e=， 所以当221,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x a >只有一个整数解1x =， 即当221,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解1x =． 所以实数a 的取值范围是221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想，属于中档题． 25．（1）1,6a b ==-；（2） 4ln39-． 【分析】试题分析：（1）求出函数的导数fx ，根据()f x 极值点为1,2，列出方程组，即可求解,a b 的值；（2）由（1）中得2()64ln f x x x x =-+，可得42(1)(2)()26x x f x x x x--⇒=-+'=，得出函数的单调性，即可求解()f x 在区间 (0,3]上的最大值. 试题（1）由2()4ln f x ax bx x =++得 4()2f x ax b x'=++，(0,)x ∈+∞ 依题意有()()1240{1,62420f a b a b f a b =++=⇒==-=+'+='（2）由（1）得，2()64ln f x x x x =-+42(1)(2)()26x x f x x x x--⇒=-+'=，(0,3]x ∈由'()001f x x >⇒<<或 23x <<；'()012f x x <⇒<<； 所以()f x 在 (0,1)上递增，在(1,2)上递减，在 (2,3)上递增 所以()f x 在区间 (0,3]上的1x =或 3x =处取得最大值由(1)5=-f ， (3)4ln395f =->-max ()(3)4ln 39f x f ⇒==- 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值与最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，其中解答中涉及到导数的运算公式、方程组的计算等，本题的解答中，正确利用导数的四则运算公式，求解函数的导数，利用函数的极值和导数的符号得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了学号的推理与运算能力，属于中档试题.26．（1）1y x =-（2）()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（3）1a e ≥-. 【分析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令()0f x '=求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数()1ln g x x x=+，求得()g x '并令()0g x '=求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定a 的取值范围. 【详解】（1）因为函数()ln f x x x =， 所以()1ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，()1ln111f '=+=. 又因为()10f =，则切点坐标为()1,0，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-.（2）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+，由（1）可知，()ln 1f x x '=+.令()0f x '=解得1=x e. ()f x 与()f x '在区间()0,∞+上的情况如下：所以，()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； ()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）当1x e e≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1ln a x x ≥+”. 令()1ln g x x x =+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22111x g x x x x -'=-=，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 令()0g x '=解得1x =，当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. 当()1,x e ∈时，()0g x '>，所以()g x 在区间()1,e 单调递增.而1ln 1 1.5g e e e e ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，()11ln 1 1.5g e e e e=+=+<. 所以()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 所以当1a e ≥-时，对于任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.。
一元函数的导数及其应用单元测试卷(B卷)
一元函数的导数及其应用单元测试卷(B卷)
秦晓燕
【期刊名称】《中学生数理化(高二数学、高考数学)》
【年(卷),期】2024()2
【总页数】8页(P18-19)
【作者】秦晓燕
【作者单位】河南省漯河高中
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.多元函数偏导数的链法则在一元函数导数中的应用
2.基于“一题一课”的单元复习课设计与实践——以“一元函数的导数及其应用”为例
3.凸显导数的内涵与思想,体现导数是研究函数性质的基本工具(续)——“一元函数的导数及其应用”教材设计与教学建议
4.凸显导数的内涵与思想,体现导数是研究函数性质的基本工具——“一元函数的导数及其应用”教材设计与教学建议
5.一元函数的导数及其应用单元测试卷(A卷)
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一元函数的导数及其应用单元测试卷(A卷)参考答案与提示
一㊁单选题1.B2.D3.C4.A5.C6.D7.A 提示:f '(x )=5x 4+a n +1c o s x -(2a n +3),易知函数f '(x )为偶函数㊂又f '(x )有唯一零点,则必有f '(0)=a n +1-(2a n +3)=0,即a n +1=2a n +3㊂整理得a n +1+3=2(a n +3)㊂所以数列{a n +3}是以2为公比的等比数列㊂又a 1=1,则a n +3=4ˑ2n -1,a n =2n +1-3㊂所以a 10-a 4+a 2=2045-29+5=2021㊂8.B 提示:由三角恒等变换的公式,化简得2c o sπ2+12s i n 12=-2s i n 212=c o s 1-1㊂已知c o s x =1-x 22!+x 44!-x66!+ ㊂可得c o s 1=1-122!+144!-166!+ =1-12+124-1720+ =1-0.5+0.041-0.001+ ʈ0.54㊂所以c o s 1-1ʈ-0.46㊂二㊁多选题9.C D 提示:由不等式f (l n x )>1+l n x 2,得f (l n x )-12l n x -12>0㊂令函数g (x )=f (x )-12x -12,则g '(x )=f '(x )-12<0,所以g (x )在R 上是减函数㊂易得g (1)=f (1)-12-12=0㊂由g (l n x )=f (l n x )-12l n x -12>0,得g (l n x )>g (1),即l n x <1,所以x ɪ(0,e )㊂所求不等式的整数解为1或2㊂10.A C D 提示:易得函数y =xe x 在(1,+ɕ)上单调递减,在(-ɕ,1)上单调递增㊂当x =1时y =x ex 取得最大值1e ㊂同理函数y =l n xx 在(0,e)上单调递增,在(e ,+ɕ)上单调递减㊂当x =e 时y =l n x x 取得最大值1e ㊂图1作出两个函数的图像,如图1所示㊂由x 2ex 2=a ,得x 2=a e x 2,故选项A 正确㊂由题意知x 1e x 1=x 2ex 2=a =l n x 2x 2=l n x 1x 1,且y =xe x 在(0,1)上单调递增㊂又因0<x 1<1,1<x 2<e ,故0<l n x 2<1,x 1=l n x 2,选项B 错误㊂易知l n e x2e x 2=x 2ex 2=a =l n x 3x 3,且y =l n xx 在(e ,+ɕ)上单调递减㊂e x2ɪ(e ,e e),x 3>e,则e x 2=x 3,故选项C 正确㊂x 1x 3=e x 2l n x 2=x 2a㊃a x 2=x 22,故选项D 正确㊂11.B C 提示:对于A 选项,构造函数g (x )=f (x )+x =x l n x +x ,定义域为(0,+ɕ),则g '(x )=l n x +2㊂当0<x <1e2时,g'(x )<0,所以函数g (x ) 演练篇 核心考点A B 卷答案 高二数学 2024年1月=x l n x +x 的单调递减区间为0,1e2㊂当0<x 1<x 2<1e2时,g (x 1)>g (x 2),故x 1+f (x 1)>x 2+f (x 2),A 选项错误㊂对于B 选项,f (x )x =l n x ,易得函数y =l n x 在(0,+ɕ)上单调递增㊂当0<x 1<x 2时,l n x 1<l n x 2,即f (x 1)x 1<f (x 2)x 2,所以x 2f (x 1)<x 1f (x 2),B 选项正确㊂对于C 选项,函数f (x )=x l n x ,定义域为(0,+ɕ),则f '(x )=l n x +1㊂令f '(x )>0,可得x >1e㊂所以函数f (x )=x l n x 的单调递增区间为1e,+ɕ㊂当x 2>x 1>1e时,f (x 1)<f (x 2),则(x 1-x 2)f (x 1)>(x 1-x 2)f (x 2),即x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 2f (x 1)+x 1f (x 2),C 选项正确㊂对于D 选项,当a =0时,方程f (x )=0只有一个根x =1,D 选项错误㊂12.A B C 提示:已知f (x )=f (2)+f (4-x ),令x =2,则f (2)=f (2)+f (2),解得f (2)=0㊂所以f (x )=f (4-x ),函数f (x )的图像关于直线x =2对称,A 正确㊂因为f (x -2024)+f (2024-x )=0,所以f (x )+f (-x )=0,f (x )为奇函数㊂则f '(x )-f '(-x )=0,即g (-x )=f'(-x )=f '(x )=g (x ),故g (x )为偶函数,B 正确㊂由f (x )=f (4-x )得,f'(x )=-f'(4-x ),即g (x )=-g (4-x ),所以g (x )的图像关于(2,0)对称,且g (2)=0㊂又因为g (x )为偶函数,所以g (4-x )=g (x -4)㊂g (x )=-g (4-x )=-g (x -4),则g (x )=g (x -8),g (x )是以8为周期的周期函数,故g (2022)=g (-2)=g (2)=0㊂C 正确㊂因为f (x )=f (4-x )=-f (x -4),所以f (x )=f (x -8),f (x )是以8为周期的周期函数㊂所以f (2023)=f (-1)=-f (1)=-2023,D 错误㊂三、填空题13.2 提示:已知等式两边同时乘以x 整理得,2x f (x )+x 2f '(x )=2x 2c o s 2x +2x s i n 2x +2x ,即[x 2f (x )]'=(x 2s i n 2x +x 2)'㊂故x 2f (x )=x 2s i n 2x +x 2+c ㊂因为fπ2 =5,所以π22ˑfπ2=π2 2s i n π+π2 2+c ,解得c =π2㊂所以x 2f (x )=x 2s i n 2x +x 2+π2㊂当x =π时,π2f (π)=π2ˑs i n 2π+π2+π2,解得f (π)=2㊂14.0 提示:因为正实数x ,y 满足e x=y l n x +y l n y =y l n (x y ),所以x e x=x y l n (x y )=e l n (x y )㊃l n (x y )㊂构造函数f (x )=x e x,则f (x )=f (l n (x y )),f'(x )=(x +1)e x㊂当x >0时,f '(x )>0,函数f (x )在(0,+ɕ)上单调递增㊂故f (x )=f (l n (x y ))⇔x =l n (x y )㊂则l n y =x -l n x ,l n x +1x -l n y =l n x +1x-x +l n x ㊂令g (x )=l n x +1x-x +l n x ,x ɪ(0,+ɕ),则g '(x )=x -x 2-l n xx2,g '(1)=0㊂令h (x )=x -x 2-l n x ,x ɪ(0,+ɕ),则h (1)=0,h '(x )=1-2x -1x<0㊂故函数h (x )在(0,+ɕ)上单调递减㊂又g '(1)=0,故当x ɪ(0,1)时,g '(x )>0;当x ɪ(1,+ɕ)时,g'(x )<0㊂当x =1时,函数g (x )取得最大值0㊂15.-12提示:已知f (x )=e x -1+演练篇 核心考点A B 卷答案高二数学 2024年1月a x2-(2a+1)x,函数定义域为R,可得f'(x)=e x-1+2a x-(2a+1)㊂易知f'(1)=1+2a-(2a+1)=0㊂不妨设g(x)=e x-1+2a x-(2a+1),函数定义域为R,可得g'(x)=e x-1+2a㊂①当2aȡ0时,g'(x)>0恒成立,g(x)在R上单调递增,所以函数f'(x)=e x-1+ 2a x-(2a+1)在R上单调递增㊂当x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增㊂所以x=1是f(x)的极小值点,不符合题意㊂②当a<0时,令g'(x)=e x-1+2a=0,解得x=1+l n(-2a)㊂当x<1+l n(-2a)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1+l n(-2a)时,g'(x)> 0,g(x)单调递增㊂故f'(x)m i n=f'(0)+l n(-2a)㊂又f'(1)=0,且x=1不是f(x)的极值点,所以1+l n(-2a)=1,解得a=-12㊂16.1e,+ɕ提示:已知k f(x)ȡg(x),对∀xɪ(0,+ɕ)恒成立,且f(x)= e2k x-l n x k x+1(kʂ0),g(x)=x l n x㊂所以k e2k x-l n x x+kȡx l n x,即2k x e2k x+2k xȡx2l n x2+l n x2,也即e2k x l n e2k x+l n e2k xȡx2l n x2+l n x2㊂令h(t)=t l n t+l n t,tɪ(0,+ɕ)㊂则h'(t)=1+l n t+1t㊂设u(t)=1+l n t+1t,则u'(t)=1t-1 t2=t-1t2㊂当t>1时,u'(t)>0,函数u(t)在(1,+ɕ)上单调递增;当0<t<1时,u'(t)<0,函数u(t)在(0,1)上单调递减㊂故当t=1时,函数u(t)取得极小值即最小值,u(1)=2>0,h'(t)>0恒成立㊂故函数h(t)在tɪ(0,+ɕ)上单调递增㊂又原不等式等价于h(e2k x)ȡh(x2),则e2k xȡx2,即2k xȡ2l n x,也即kȡl n x x恒成立㊂易得l n x xɤ1e,则kȡ1e㊂四、解答题17.(1)函数f(x)满足f(x)=e x x+1-x l n x+f'(1)(x3-x+3)㊂则f'(x)=x e x(x+1)2-l n x-1+f'(1)㊃(3x2-1),f'(1)=e(1+1)2-l n1-1+f'(1)㊃(3-1),解得f'(1)=1-e4㊂(2)由(1)可知f(x)=e x x+1-x l n x+ 1-e4(x3-x+3)㊂f'(1)=1-e4㊂f(1)=e2+31-e4=3-e4㊂函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-3+e4=1-e4(x-1),整理可得(4-e)x-4y+8=0㊂18.设矩形在第一象限的顶点坐标为(x0,y0),根据矩形和椭圆的对称性可得,将该矩形绕y轴旋转一周得到的圆柱体的母线长l=2y0,底面圆的半径r=x0㊂由椭圆C:y24+x23=1,得x20=3-3y204㊂所以圆柱体的体积V=πr2㊃l=πx20㊃2y0=π3-3y204㊃2y0=π-3y302+6y0㊂令g(x)=-3x32+6x,0<x<2,则g'(x)=-9x22+6㊂令g'(x)=0,解得x=233㊂所以当0<x<233时,g'(x)>0,g(x)单调递增;演练篇核心考点A B卷答案高二数学2024年1月当233<x <2时,g '(x )<0,g (x )单调递减㊂故当x =233时,g (x )有最大值,即此时圆柱体的体积最大㊂此时圆柱体的母线长l =433,底面圆的半径r =2㊂故当圆柱体的体积最大时圆柱体的侧面积S 侧=l ㊃2πr =433㊃2πˑ2=86π3㊂19.(1)令f (x )=0,得x =e ,故f (x )的零点为e㊂f'(x )=-1x㊃x 2-(1-l n x )㊃2x (x 2)2=2l n x -3x3(x >0)㊂由f '(x )<0,得0<x <e 32;由f '(x )>0,得x >e 32㊂所以f (x )的单调递减区间为0,e 32,单调递增区间为e 32,+ɕ㊂(2)令g (x )=l n xx,则g '(x )=1x ㊃x -1㊃l n x x 2=1-l n xx2=f (x )㊂因为f 12=4+4l n 2>4+4ˑ12=6,f (e )=0,且由(1)得,f (x )在(0,e )内是减函数,所以存在唯一的x 0ɪ12,e,使得g '(x 0)=f (x 0)=6㊂当x ɪ[e ,+ɕ)时,f (x )ɤ0㊂所以曲线y =l n xx 存在以(x 0,g (x 0))为切点,斜率为6的切线㊂由g '(x 0)=1-l n x 0x 2=6,得l n x 0=1-6x 20㊂所以g (x 0)=l n x 0x 0=1-6x 2x 0=1x 0-6x 0㊂因为x 0>12,所以1x 0<2,-6x 0<-3㊂故y 0=g (x 0)<-1㊂20.(1)f'(x )=2e 2x-2,令f '(x )=0,得x =0㊂当x ɪ(-ɕ,0)时,f '(x )<0;当x ɪ(0,+ɕ)时,f'(x )>0㊂所以f (x )在(-ɕ,0)上单调递减,在(0,+ɕ)上单调递增,f (x )m i n =f (0)=0㊂因此,f (x )=e 2x-2x -1ȡ0恒成立㊂(2)∃x 0ɪ(0,+ɕ),使得f (x 0)<a x 0-1成立,即e 2x-2x <a x 在x ɪ(0,+ɕ)内有解,也即a >e 2x-2xx有解㊂令g (x )=e 2x-2x x =e2xx-2,则a >g (x )m i n ,x ɪ(0,+ɕ),g '(x )=(2x -1)e2xx2㊂当x ɪ0,12时,g '(x )<0,g (x )为减函数;当x ɪ12,+ɕ时,g '(x )>0,g (x )为增函数㊂g (x )m i n =g 12=2e -2,即a >2e -2㊂a 的取值范围是(2e -2,+ɕ)㊂21.(1)f (x )=a x -x l n x 的定义域为(0,+ɕ),f'(x )=a -1-l n x ㊂令f '(x )=0,得x =e a -1㊂当x ɪ(0,e a -1)时,f '(x )>0,f (x )单调递增;当x ɪ(e a -1,+ɕ)时,f '(x )<0,f (x )单调递减㊂①当ea -1ɤ1(即a ɤ1)时,f (x )在[1,e ]上单调递减,f (x )m a x =f (1)=a ㊂②当ea -1ȡe (即a ȡ2)时,f (x )在[1,e ]上单调递增,f (x )m a x =f (e )=a e -e ㊂③当1<ea -1<e (即1<a <2)时,f (x )在[e a -1,e ]上单调递减,f (x )在[1,e a -1]上单调递增㊂所以f (x )m a x =f (e a -1)=a e a -1-e a -1㊃(a -1)=e a -1㊂演练篇 核心考点A B 卷答案高二数学 2024年1月(2)由(1)知在(0,+ɕ)上,f (x )m a x =f (e a -1)=e a -1㊂设g (a )=f (e a -1)-a =e a -1-a ㊂由题意,应使g (a )ɤ0,g'(a )=e a -1-1㊂令g '(a )=0,得a =1㊂所以当a ɪ(-ɕ,1)时,g '(a )<0,g (a )单调递减;当a ɪ(1,+ɕ)时,g '(a )>0,g (a )单调递增㊂g (a )m i n =g (1)=0㊂所以使g (a )ɤ0的实数a 只有a =1㊂22.(1)依题意知,x 1,x 2(0<x 1<x 2)是函数y =f (x )的两个零点㊂设x 2=t x 1,因x 2>x 1>0,故t >1㊂因为a =x 1l n x 1=x 2l n x 2=t x 1l n x 1+l n t=(t -1)x 1l n t ,所以l n x 1=l n t t -1,a x 1=1l n x 1=t -1l n t㊂不等式x 1l n x 1<2x 2-x 1⇔x 1l n x 1<2t x 1-x 1⇔1l n x 1<2t -1⇔t -1l n t<2t -1㊂t >1,所证不等式即2t l n t -l n t -t +1>0㊂设h (t )=2t l n t -l n t -t +1,则h '(t )=2l n t +2-1t -1=2l n t -1t+1㊂令n (t )=h '(t ),则n '(t )=2t +1t2>0,所以h '(t )在(1,+ɕ)上是增函数㊂且h '(t )>h '(1)=0,则h (t )在(1,+ɕ)上是增函数㊂且h (t )>h (1)=0,即2t l n t -l n t -t +1>,从而所证不等式成立㊂(2)因曲线C :y =m -kx 2与曲线y =f (x )有唯一的公共点,故方程m -k x 2=2l n x -x 有唯一解,即方程k x 2+2l n x -x =m有唯一解㊂令g (x )=k x 2+2l n x -x ,x >0,则g'(x )=2k x +2x -1=2k x 2-x +2x㊂当1-16k ɤ0,即k ȡ116时,g'(x )ȡ0,函数y =g (x )单调递增㊂易知g (x )与y =m 有且只有一个交点,满足题意㊂当1-16k >0,即0<k <116时,2k x 2-x +2=0有两个根,且两根之和为12k >8,两根之积为1k>16,且当x =4时,2k x 2-x +2<0㊂故两根一个大于4,一个小于4,此时函数g (x )先增后减再增,存在一个极大值和一个极小值㊂要使k x 2+2l n x -x =m 有唯一实数根,则m 大于g (x )的极大值或小于极小值㊂记x 3为极大值点,则x 3<4,g (x 3)=k x 23+2l n x 3-x 3<m 恒成立㊂又2k x 23-x 3+2=0,即2k x 23=x 3-2㊂极大值g (x 3)=k x 23+2l n x 3-x 3=12(x 3-2)-x 3+2l n x 3=2l n x 3-12x 3-1㊂因为g '(x 3)=2x 3-12(x 3<4),所以g '(x 3)>0,g (x 3)在(0,4)上单调递增,g (x 3)<g (4)=4l n 2-3,故m ȡ4l n 2-3㊂记x 4为极小值点,则x 4>4,g (x 4)=k x 24+2l n x 4-x 4>m ㊂又2k x 24-x 4+2=0,故2l n x 4-12x 4-1>m 恒成立㊂令h (x 4)=2l n x 4-12x 4-1,又h '(x 4)=2x 4-12,故当x 4>4时,2x 4-12<0㊂h (x 4)=2l n x 4-12x 4-1单调递减,无最小值㊂不存在m ,使得2l n x 4-12x 4-1>m 恒成立㊂综上,要使对∀k >0,曲线C :y =m -k x 2与曲线y =f (x )都有唯一的公共点,m的取值范围为[4l n 2-3,+ɕ)㊂(责任编辑 徐利杰)演练篇 核心考点A B 卷答案 高二数学 2024年1月。
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专题25 《一元函数的导数及其应用》单元测试卷
一、单选题
1．（2020·夏津第一中学高二期中）设函数()f x x =，则()()
11lim x f x f x
∆→∞
+∆-=∆（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．－1
2．（2019·辰溪县第一中学高二月考）已知函数32()23f x x x x =-+-，求(2)f '=( )
A ．1-
B ．5
C ．4
D ．3
3．（2020·黑山县黑山中学高二月考）已知函数()()2x
f x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．10x y -+= B ．10x y --= C ．310x y -+=
D ．310x y ++=
4．（2020·湖北省高二期中）若函数()()32ln f x x a x =+-不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
B ．[)2,+∞
C ．()0,∞+
D ．(),2-∞
5．（2020·湖南省高三一模（文））函数y =xlnx 的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e - B ．e
C ．1-
D ．1
7．（2020·夏津第一中学高二期中）函数3
34y x x =-+有（ ）
A ．极大值6，极小值2
B ．极大值2，极小值6
C ．极小值－1，极大值2
D ．极小值2，极大值8
8．（2020·福建省高三其他（文））若函数ln(1)2,0,
()1
,0.x ax x f x x a x x +-->⎧⎪
=⎨++<⎪⎩
的最大值为(1)f -，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞ B ．10,e
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．[),e +∞
二、多选题
9．（2019·福建省莆田一中高二期末）（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（ ） A ．324y x x =+
B ．()sin y x x =+-
C ．2log y x =
D ．22x x y -=-
10．（2020·江苏省高二期中）直线1
2
y x b =+能作为下列（ ）函数的图像的切线. A ．1()f x x
=
B ．4()f x x =
C ．()sin f x x =
D ．()x f x e =
11．（2020·山东省潍坊一中高二月考）已知函数f （x ）的定义域为R 且导函数为()f x '，如图是函数()y xf x '=的图像，则下列说法正确的有（ ）
A ．函数f （x ）的减区间是（-∞，-2）
B ．函数f （x ）的增区间是（-2，+∞）
C ．x =-2是函数的极小值点
D ．x =2是函数的极小值点
12．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A ．函数()y f x =在区间13,2⎛⎫
--
⎪⎝⎭
内单调递增 B ．当2x =-时，函数()y f x =取得极小值 C ．函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增 D ．当3x =时，函数()y f x =有极小值 三、填空题
13．（2020·夏津第一中学高二期中）曲线y ＝x 2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_____．
14．（2020·四川省北大附中成都为明学校高二月考（理））函数()ln f x x x =-的单调递增区间为_______. 15.（2020·四川省北大附中成都为明学校高二月考（理））若函数()()2
f x x x a =-在2x =处取得极小值，则a =__________．
16．（2020·浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）已知函数1
()sin ,[0,],2
f x x x x π=-∈则()f x 的最小值为________，最大值为_______. 四、解答题
17．（2018·营口市第二高级中学高二月考（文））设()ln 4f x a x x =-+，（a R ∈），曲线()y f x =在点
()()1,1f 处的切线垂直于y 轴.
（1）求a 的值；
（2）求函数()y f x =的单调区间.
18．（2020·福建省高二月考）已知函数()2
ln f x ax b x =+在1x =处有极值
1
2
. （1）求,a b 的值；
（2）求函数()f x 在1
,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值与最小值.
19．（2020·江西省新余一中高二月考（理））某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年
产量小于7万件时，21()23C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，3
()6ln 17e C x x x x
=++-（万
元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润()P x （万年）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （取320e =）.
20．（2020·横峰中学高二开学考试（理））已知曲线C 的方程是32
32y x x x =-+．
（1）求曲线在1x =处的切线方程1l ；
（2）若2:l y kx =，且直线2l 与曲线C 相切于点()()000,0x y x ≠，求直线2l 的方程及切点坐标． 21．（2020·天津大钟庄高中高二月考）已知函数2
1()ln 2
f x x m x =- (m ∈R ) （1）当2m =时，
①求函数()f x 在x =1处的切线方程； ②求函数()f x 在[1,]e 上的最大，最小值．
（2）若函数()f x 在1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，求实数m 的取值范围；
22．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））已知函数()n ()l f x x x m m R =--∈． （1）若函数()f x 有两个零点，求m 的取值范围；
（2）证明：当3m ≥-时，关于x 的不等式()()20x
f x x e +-<在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恒成立．。