恒定磁场小结

适当难度 如图所示，宽为 l 的薄长金属板，处于 xy 平面内，设板 x 上电流强度为 I ，试求：（1） 轴上 P 点的磁感应强度的 大小和方向；（2）当 d l 时，结果又如何？
解：（1）取坐标如图所示，在距原点O为 x 处 取宽为dx的细长直导线带，所载电流为 dI Idx
则在P点产生的磁感应强度方向垂直图面向里， 0 dI 大小为
方向垂 直向上
11-22 解：
BLeabharlann Baidu dF1, 2 BI 2dx
0 I1
2π x
0 I1I 2 dx
2π x
0 I1I 2 a b dx 0 I1I 2 a b F1 F2 dF1, 2 a x 2 ln a 2
11-22 解：
B
0 I1
2π x
在非均匀磁场中安培力计算一般需要分段积分 例 无限长载流直导线旁有一 度为 l 电流I2 载流直导 线，与其共面，求该载流直导线所受的安培力。
解： B
0 I1
2π x
dF BI 2 dx
0 I1I 2 dx
2π x
0 I1I 2 a l dx 0 I1I 2 a l F dF a x 2 ln a 2

它们在O点产生的磁感应强度：
dB
根据
0 r dI
2 2 2 3 2
2(r x )
r R sin r 2 x 2 R 2 2 NI dI IdN d 0 NI 2 dB sin d 有 R NI 0 NI 2 0 2 sin d O点磁感应强度： B 0 R 4R
方向，不能改变它的大小，所以洛仑兹力不对运动电荷做 功。
安培力
7. 磁场对载流导线的作用——安培力： dF Idl B 此式表示电流元 Idl 内定向运动的电子所受的合洛仑
兹力，这个力被传递给载流导体，表现为电流元这个载流 导体所受的磁场力，即通常所称的安培力。通常称上式为 安培力公式。 由上式可求任意的电流在磁场中所受的安培力，即求积 分 F LIdl B 。L为在磁场中导线的长度。
安培环路定理
5. 真空中磁场的安培环路定理： l B dl 0 I 磁介质中的磁场安培环路定理： H dl I
其中
B 0 r H H
l
此定理虽然由无限长直线电流推导出来，但普遍成立。
此定理只说明 B 的环流与穿过环路的电流存在着这样的关系，它 并不说明式中的 B只是由穿过环路的电流产生的，实际上 B 是由在
同理，薄铜片的水平部分在P点产生的磁感强度
解：选取坐标如图所示 在P点产生的磁感强度
I dI dz a
0 I r a B2 ln 4a r
2 2
总磁感强度 B
20 I r a B1 B2 ln 4a r
有一定难度
一半径为R的无限长半圆柱形金属薄片，其中通有电流 I ，如图 所示。试求圆柱轴线上一点P的磁感应强度。 解：将载流的无限长圆柱形金属薄片看成由许多无限长 的平行直导线组成。如图所示。对应 到 d ，宽 度为 Rd 的无限长直导线的电流为 Rd Id
2 0 I B B2 B1 2l
图（b）中可分解为3段电流
2 0 I B2 4l
处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零，半 圆弧在P点的磁感应强度为 I
B B2

0 I
16l
B2
0
16l
两个图形中P点的磁感应强度之比
B 8 2 2 B
注意P75中的例题
2.电源: 能够提供非静电力的装置.
电动势: l Ek dl
磁感强度 1. 磁感强度——定量描述磁场性质的物理量。
2. 磁通量： B dS （ dS 的方向为它的向外的法 线方向）。 的单位—韦伯（Wb）。
磁通量的计算:习题11-13、11-16、11-17等。
0 I1I 2l F3 2a 0 I1I 2l F4 2 ( a b)
合力
0 I1I 2lb F F3 F4 2a (a b)
方向向左
磁力矩 8. 均匀磁场中的 载流线圈所受的磁力矩： M NIS sin NmBsin
矢量式 M Nm B 其中 m ISen 为线圈的磁矩
R 0 dI 0 I 它在P点产生的磁感强度 dB 2 d 2R 2 R dB 的方向是在与轴垂直的xy平面内，与y轴的夹角为
dBx dB sin
dI
I
。由对称 性可知，半圆柱形电流在P处的磁感强度在y方向相互抵消，所以， P点的磁感强度沿x轴正向，即 0 I
l
dB
2 (d l x)
整个薄长金属板在点产生的磁感强度大小为
0 I l dx 0 I l B l dB ln(1 ) 方向垂直图面向里。 0 2 l d l x 2 l d l l 1 l 当 d l 时，将对数函数做幂级数展开，即 ln(1 ) ( ) d d 2 d
9.磁介质
r
1
1 1
顺磁质 抗磁质 铁磁质 （非常数）
恒定磁场中的三类计算题
第一类：用积分的方法计算任意形状电流的磁感强度。 第二类：用安培环路定理计算具有完全对称性电流所产生 的磁场分布（包含磁通量的计算）。
第三类：安培力的计算。
场的所有电流产生的。也就是说它虽对环路积分没有贡献，但并不 说明对磁场没有贡献。
若 I 0 ，L内未必无电流 由安培环路定律求磁场时要求磁场分布要具有完全对称性, 如:无限长圆柱形电流、无限长密绕螺线管、无限大平面
6. 磁场对运动电荷的作用——洛仑兹力： q(v B) F 由上式可见到， F 总与 v 的方向垂直， F 只能改变 v 的
在均匀磁场中安培力计算可采用以下方法 结论1 闭合电流在均匀磁场中所受的合力为零。 结论2 弯曲的电流在均匀磁场中所受的力可截弯取直， 与磁感线平行的电流不受力，只需计算与磁感线垂直 部分电流所受的力。
F Fy BILj
F BIR
方向垂直纸面向外
结论3 任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力 , 与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同.
圆弧电流
解：图中（a）可分解为5段电流
0 I B0 4R
处于同一直线的两段电流对 P 点的磁感应强度为零，其他三 段在 P 点的磁感应强度方向相 同
长为l的两段在P点的磁感应强 度为 2 I
B1
0
4l
B
（cos1 cos 2） 4π r0
0 I
长为2l的一段在P点的磁感应强度为
3. 磁场中的高斯定理： s B dS 0
0 Idl er d 4. 毕奥-萨伐尔定律——电流元的磁场： B 2 4 r
实验证明，磁场也满足叠加原理，即任意形状的载流导 线的磁场等于各电流元所产生的的元磁场的矢量和，由此 毕-萨定律的地位很象电场中的库仑定律。这里要特别注 意毕-萨定律的矢量式： B dB
0 I 0 I B dBx 2 0 sin d 2 2 R R
2 R
2
sin d
有一定难度
半径为R的木球上密绕有细导线，相邻的线圈彼此平行地靠着， 以单层盖住半个球面共有N匝，如图所示。设导线中通有电流I，求 在球心O处的磁感应强度。 解：取坐标系如图 ， 2N 单位弧长上的线圈匝数 dN d
若场点在圆电流的圆心，则
0
2
B
0 I
2R
（3 ） 长 直密 绕 螺线 管电流的磁感强度
B 0 nI
（4）载流螺绕环内 的磁场的磁感强度
0 NI B 2π R
（5）半径为R的载流圆弧,弧线的圆心角 为 ,如图所示,圆心处的磁感强度为
0 I B 4R
补充习题 一段导线先弯成图（a）所示形状，然后将 同样长的导线再弯成图（b）所示形状。在导线通以电 流I后，求两个图形中P点的磁感应强度之比。
电流密度
1.电流密度 j ——是一个矢量，其方向与该点的场强的方
向一致，其大小为垂直通过单位截面积的电流强度， 即 j dI ds 。 电流强度与电流密度的关系：两个都是描写电流的物理 量。电流强度是一个标量，是描写导体中一个面的；电流 密度是一个矢量的点函数，是描写导体中一个点的。 电流密度与载流子的漂移速度的关系： j nevd

磁感强度 重要结论：
0 I （1）一段直电流的磁场 (P81例1): B (cos1 cos 2 ) 4r0 0 I 若导线为无限长，则 B 2r0
若导线为半无限长，则 BP
0 I
4π r
RI （2）圆电流轴线上的磁场(P82例2) : B 2 ( R 2 x 2 )3 2 方向垂直于圆形导线平面,沿 ox 轴正向.
2
略去高次项，得
0 I l 0 I B 2 l d 2 d
举一反三
一长直薄铜皮，宽度为 a，弯成一直角，如图所示。在直角延长线 上，离铜皮的一条距离为r处有一P点。求当薄铜片内均匀流过电流 时P处的磁感应强度。
0 dI 0 I dB1 dz 4 (r z ) 4a(r z ) 0 I 0 I r a a B1 dB1 0 dz ln 4a(r z ) 4a r