2.3.1某些无理函数的不定积分

(c) 若 ax2 bx c 有两个不同实根 , , 令 ax2 bx c t (x ).
数学分析
例3
求
x
dx
.
x2 2x 3
解 用方法 1:
x
dx x2 2x 3
x
dx
x 12 4
x
u
1
u
du
1 u
2
4
u
2 sec
2sec tan
2sec 12tan
d
2
d cos
注 虽然初等函数都是连续函数,从而它们都存在 原函数,但并非初等函数的原函数都是初等函数.
例如
ex2dx,
sin x2dx,
sin x
x
dx,dx ln x都不是初等函数,因此都不可能用我们介绍的 方法把它们的原函数求出来.
数学分析
第二单元 Ch9 不定积分
3.1 某些无理函数的不定积分
数学分析
某些无理函数的不定积分
1.
R( x,
n
ax b cx d
)
dx
型不定积分
(ad
bc
0)
令 t n ax b , 可化为有理函数的积分. cx d
数学分析
例1
求
dx
.
3 ( x 1)2( x 2)
解 由于
3
(x
1)2( x
2
t tan 2
2
1
1 1
t2 t2
t2
dt
t
2
2
3
dt
数学分析
2 arctan t C 2 arctan( 1 tan ) C.
3
3
3
32
由于
tan
2
1
sin
cos
tan sec 1
u 22 1
x2 2x 3 ,
u 21
x 1
得
dx
2 arctan x 2 2 x 3 C.
3 4
ln 1 t 1 ln(1 t t 2) 3 arctan 1 2t C
2
3
3 ln 3 x 2 3 x 1 2
3 arctan2
3
x
1 3 x 3 3 x2
2
C.
1 1
t
t 1
2 t t2
dt
数学分析
2. R(x, ax2 bx c )dx 型不定积分
x x2 2x 3 3
3( x 1)
数学分析
用方法 2 : 令 x2 2 x 3 x t, 则
x
t2 3
2t 1
,
dx
t2
2t
2t 3
12
dt,
x2
2x
3
t2 3
2t 1
t
t 2 2t 3
2t 1 .
因此
x
dx x2 2x 3
2(t t2
1) 3
2(t (t 2
可用多种方法化为三角函数有理式的不定积分,
有时也可直接化为有理函数的不定积分.
方法1
由于ax 2
bx
c
a
(x
b )2 2a
4ac b2 4a 2
,
若记 u
x b 2a
,k2
4ac b 2 4a 2
,
则 ax2 bx c 化为
(i) a u2 k 2 , 或(ii) a u2 k 2 , 或(iii) a k 2 u2 .
数学分析
因此可分别设 (i) u k tan t; (ii) u k sec t; (iii) u k sin t. 把它们转化为三角函数有理式的不定积分. 方法2 (欧拉变换)
(a) 若a 0, 令 ax 2 bx c a x t; (b) 若c 0 , 令 ax 2 bx c xt c;
1) 2t
3)
t2 2(t
2t 3 1)2
dt
t
2
2
3
dt
2 arctan 3
t C 3
数学分析
2 arctan x2 2 x 3 x C.
3
3
注1 对于本题来说,方法 2 显然比方法 1 简捷.
注2 由以上两种方法所得的结果, 形式虽不相同 但实质上只相差某一常数而已.
数学分析
2)
(x
2)
3
x x
1 2
2
,
因此令t 3
x x
1 2
,
则x
1 2t3 1 t3
,
dx
9t 2 1 t3
dt.
2
dx
3 ( x 1)2( x 2)
3 1 t3
dt
1
1
t
1
t
2 t t2
dt
数学分析
ln 1 t
1 2
1 1t
2t t
2
dt
3 2
t
dt 1 2 2