不定积分的概念

例 5 若 f(x)dx x2e2x c,则f (x) _____
例6 : 若f (ex ) 1 e2x ,且f (0) 1,求f (x)
例7 设f(x)的导数为sinx,则下列有可能为f(x) 的 原 函 数 的 是(____) (A) 1 sinx; (B)1 - sinx; (C)1 cosx;(D) 1 - cosx
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
例 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x 1
1
C
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
2
4.不定积分的性质
(1) [f (x) g(x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln | x | C.
例10
求积分
1
1 cos
2
x
dx.
解
1
1 cos
2x
dx
1
1 2 cos 2
x
dx 1
1 2
1 cos2
x
dx
1 2
tan
x
C
.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
练习:求积分
1 x 2 (1
2x2 x2
c(x) c(x)dx exdx ex c
由c(0) 20 c 19
c(x) ex 19
3.基本积分公式
实例
x1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
3、 x sin x C ； 2
5、4( x 2 7) C ； 74 x
5(2) x 2、2x 3 C ；
ln 2 ln 3 4. (cot x tan x) C ；
6、tan x arc cot x C .
三、 y ln x C .
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（C 为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
9、 ( x 1)( x 3 1)dx _____________；
10、
(1
x)2 x
dx
=____________________
.
二、求下列不定积分：
1、
x2 dx
1 x2
2、
23x 52x dx
3x
3、 cos2
x 2
dx
4、
cos 2x cos2 x sin2 x dx
5、
(1) kdx kx C (k是常数);
基
本 (2) 积
xdx x1 C ( 1); 1
分 (3) 表
dx x
ln
|
x
|
C;
1
(4) 1 x2dx arctan x C arc cot x C;
(5)
1 dx arcsin x C arccos x C; 1 x2
（2）若F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数， 则 G( x) F( x) C(C为某常数)。
注 : 设F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则称F(x) C为 f(x)在I上的所有原函数.(C为任意常数)
(二)不定积分的定义：
1.定义5.2 设F(x)为f (x)的一个原函数,则F(x) C
f
( x)dx
g( x)dx
f
( x)dx
g( x)dx
f ( x) g( x).
(2) a 0 af (x)dx a f (x)dx
例
求积分
( 1
3 x2
2 )dx.
1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx
1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
3、把 f ( x) 的一个原函数F ( x) 的图形叫做函数 f ( x)
的________，它的方程是y F ( x) ，这样不定积
f ( x)dx 在几何上就表示________，它的方程是
y F(x) C ；
4、由 F ' ( x) f ( x) 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族 y F ( x) C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点
称为f (x)的 不定积分，记为 f ( x)dx .
f(x)的不定积分就是f(x)的全体原函数，即：
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
验证：( x2 C)' x5 6
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
2.几何意义 函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
不定积分在几何上表示一积分曲线族.
曲线族中每一条积分曲线横坐标相同点处的切线 相互平行。
由不定积分的定义，可知有如下性质:
d
dx
f
(x)dx
f
(x),
d[ f (x)dx] f (x)dx,
F(x)dx F(x) C, dF(x) F(x) C
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
在实际应用中, 已知F( x), 求F( x)
计算公式 : F(x) F(x)dx 还可能相差一个常数.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的倒数，求此曲线方程.
第一节 不定积分的概念及其 性质
• 原函数与不定积分的概念 • 基本积分表 • 不定积分的计算方法概述 • 小结
一、原函数与不定积分的概念
(一)原函数
1. 定义5.1： 如果在区间I 内，x I 都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，
则称F(x)为f (x)在I内的一个原函数.
处作切线，这些切线彼此是______的； 5、若 f ( x)在某区间上______，则在该区间上 f ( x)的
原函数一定存在；
6、 x xdx ______________________；
7、
dx x2 x
_______________________；
8、 ( x 2 3x 2)dx _________________；
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 y 2x,
y 2xdx x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
练习题答案
一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数；
3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续；
6、2
x
5 2
C；
7、
2
x
3 2
C；
5
3
8、 x 3 3 x 2 2 x C ； 32
9、 x 3
2
5
x2
2
3
x2
x
C、
35 3
10、2
x
4
3
x2
2
5
x2
C.
35
二、1、 x arctan x C ；
但F ( x)在x 0处不可微， 故假设错误
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
一、填空题：
练习题
1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意
两个的差是一个______；
2、 f ( x)的________称为 f ( x)的不定积分；
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系
不定积分的性质
思考题
1, x 0 符号函数 f ( x) sgn x 0, x 0
1, x 0
在 (, ) 内是否存在原函数？为什么？
思考题解答
不存在.
假设有原函数 F ( x)
x C, x 0
F ( x) C ,
x0
x C , x 0
1
2.
dx
sin2 x cos2 x
22
4. sin2 xFra Baidu bibliotekx
5. secx(tan x secx)dx
6.
(x
- 1)3 x
dx
7. 2x (e x 1)dx
8.
x x 3 23 x dx
x
四、 小结
原函数的概念：F( x) f ( x)
不定积分的概念： f ( x)dx F ( x) C
(1
1 x2
)
x
xdx
6、
x 2 sin2 x2 1
x
sec2
xdx
三、一曲线通过点( e 2 , 3 ) ，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
四、证明函数1 e2x , e x sinh x 和 e x cosh x都是
ex
2
cosh x sinh x
的原函数 .
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
2.原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间 I 内连续，
则 f(x)在区间 I 内存在原函数F ( x) ，
使x I ，都有F ( x) f ( x).
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 y 1 ,
x
y
1 x
dx
ln
|
x
|
C,
由曲线通过点（1，2） C 2,
所求曲线方程为 y ln | x | 2.
例4 设生产某产品x单位的总成本为c(x),固定成本 c(0) 20,边际成本为ex ,求c(x)
解 : c(x) ex ,c(0) 20
例8 若[ f(x)dx] F(x),则 F(x)dx ___
5、计算不定积分的方法一:分项积分法,将复杂函数分解 成几个较简单的函数之和
例9
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x2
x(1 x2 )dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
dx. )
解
1 x2 (1
2x2 x2
dx )
1 x2 x2
x2 (1
x2
dx )
1
1
x2dx 1 x2dx
1 arctan x C. x
例11
设f(x)
x2
sinx
x x
0 ,
0
求
f ( x)dx
求下列不定积分:
cos 2 x
1. 1 sin x dx
3. tan2 xdx