定积分的定义71573

所0以f x
d表x 示 x1=0x,x=12d,yx=0,y2=22xx2围dx成. 的图形的面积，
0
1
所以
=答8案－0［:244=f 4x. －2x］dx
2
f
x dx－
2
2xdx
0
0
2
0 2xdx
2
0 2xdx 4.
［2 f 0
x
－2x］dx
2
0
f
x
dx－ 2 0
2xdx
【技法点拨】利用定积分的性质求定积分的策略 （1）利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于每一个积分都 可以利用定积分的几何意义求出, 从而得到所求定积分的值. （2）求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再相加. 提醒：要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解.
积分上限
积分下限
被积函数
2.定积分的几何意义 如果在区间［a,b］上函数f(x)连续且恒有________，那么定 积分 表示由直线____________和曲线_______所围 成的曲边梯形的面积.
f(x)≥0
b
a
f
x
dx
x=a,x=b,y=0
y=f(x)
3.定积分的性质
（1）
（k为常数).
（2）
（3） b kf xdx _k__a_bf__x__d_x__ a
a［b f1 x f2 x］dx _a_bf_1__x__d_x____ab_f2__x__d_x_.
b
a
f
x
dx
_ac_f__x__d_x____cb_f__x__d_x__其__中__a___c___b_.
二、定积分的运算性质 正确理解定积分的性质，思考下列问题： 探究1:定积分的性质（2）能推广到多个函数和或差的定积分 运算吗？ 提示:能.推广公式为
3.已知
则( )
2
0
f
x
dx
10,
【A解. 1析f 】x选dDx.由 5定积分的性质B可.知2f xdx 5
0
1
1
C.0
f
x
dx
1
10D.0 f
x
dx
2
1
f
x
dx
10
2
0
f
x
dx
1
0
f
x
dx
2
1
f
x
dx
10.
4.计算
【解析】 23x－1dx _______. 0
答案:4
23x－1dx
类型 三 定积分性质的应用
熟练根据定积分的性质进行相关的运算，并总结利用定
积分的性质求定积分的策略.
1.已知
则 ()
2.已知
f
x
x 1,0 x 1, 2x2,1 x 2,
2
0
f
x
dx
A. 2x 1dxB. 22x2dx
0
0
C. 1x 1dx 22x2dxD. 12x2dx 2x 1dx
a［b （f1 x） f（2 x） f（m x）］dx
b a
（f1 x）dx
b a
f（2 x）dx
b a
f（m x）dx.
探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和 吗？
提示:能.推广公式为
bf（x）dx c1 f（x）dx c2 f（x）dx b f（x）dx
a
a
c1
ck
（a c1 c2 ck b）.
【探究提升】定积分的运算性质的关注点 （1）线性运算：定积分的性质（1）（2）称为定积分的线性运算，等式两 边积分区间保持不变. (2)区间可加性：定积分的性质（3），称为定积分对积分区间的可加性， 等式右边任意两个积分区间的交集都是空集，各个积分区间的并集等于左 边的积分区间.
1.5.3 定积分的概念
1.定积分的概念 （1）定积分的定义式
(数2)_积__分__下,积限分__变，量积x分,被上积限式____b，f_（积__x分_）_区.d间x ___ln_i__m____i_n_1__b_，_n_被a_f_积（_函__i）_ . a
a
b
［a,b］
f(x)
积分号
f(x)dx
由定2 积f 分x的dx几何2意2义f 及x偶dx函. 数的图象特征可知
－2
0
所以
2 f xdx 0 f xdx 2f xdx，
－2
－2
0
0
－2
f
x
dx
2
0
f
x
dx，
2 f xdx 0 f xdx 2f xdx
－2
－2
0
2
20
f
x
dx.
1.若在区间［1,2］上,f(x)>0恒成立,则 的符号( )
3 9 x2dx 3
【互动探究】本题2若改为“求定积分
的值”，
结【果解怎题样指？南】根据定积分的几何意义，通过求规则33 图形9 的x面2 dx
积求定积分的值.
【解析】被积函数
的图象是以原点为圆心，半径
r几=何3的意圆义位可于知x，轴定下积方分的部y 分 （包表9 括示x与此2 x半轴圆的的交面点积）S.=由积分的
的几何意义是什么？
1
0 2dx ______________.
2
1 xdx ______________. 3 9 x2dx
3
【解题指南】1.根据定积分的几何意义,通过求相应图形的面 积求定积分的值. 2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答. 【解析】1.（1） 表示的是图（1）中阴影所示长方形的 面积，由于这个长方形的面积为2，所以 答案:2
x
3dx 1，2 41
2 3x3dx.
x3dx
15，2 41
x2dx
7，4 x2dx 32
56 . 3
0
4 6x 2dx.
1
（2 3x2 2x3）dx.
1
【解析】（1）
（2）
23x3dx 3( 1x3dx 2 x3dx)
0
0
1
（33）(1 15) 12.
44
46x2dx 6( 2 x2dx 4 x2dx) 6(7 56) 126.
【拓展延伸】奇函数、偶函数在对称区间上的积分 （1）若f（x）为偶函数，且在［-a,a］上图象连续不断， 则 （2）若f（x）为奇函数，且在［-a,a］上图象连续不断， 则
a f（x）dx 2 a f（x）dx.
a
0
a f（x）dx 0. a
【变式训练】已知函数f(x)为偶函数.证明
【证明】由定积分的性质可知
1
0 2dx
1
0 2dx 2.
(2) 表示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个
梯答形案的: 12面xd积x 为 所以
3, 2
2 xdx 3.
1
2
3
2
2.被积函数
的图象是以原点为圆心，半径r=3的圆
位义于 可x知轴，上定方积的分部y 分（9包表括x示2与此x半轴圆的的交面点积）.. 由积分的几何意
1
1
2
33
（2 3x2 2x3）dx 3 2 x2dx 2 2 x3dx
1
1
1
3 7 2 15 1 . 3 42
类型 一 利用定义求定积分
1.利用定积分的定义求
的值.
1 x2 2 dx 0
【技法点拨】用定义法求积分的步骤 （1）分割：将积分区间［a,b］n等分. （2）近似代替：取点ξi∈［xi-1,xi］，可取ξi=xi-1或者 ξi=xi. （3）求和：
（4）求极限：
n
i1
b
n
a
f（i）.
bf（x）dx a
0
1
0
1
2
0
f
x
dx
8,
则 ［2 f 0
x
－2x］dx
________
.
【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积分的 和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积分的差,然后再 根据定积分的几何意义求解.
【解析】1.选C.由定积分的性质可知,
2.
因2为
A.一定为正
B.一定为负
C.可能为正,也可能为负 D.不能判断
2
1
f
x
dx
【解析】选A.由定积分的概念可知, 的值为曲边梯形
的面积.而该曲边梯形始终在x轴的上方,故其值为正.
2
1
f
x
dx
2.求曲线y=ex,直线x=2,y=1围成的图形的面积时,若选择x为 积分变量,则积分区间为( ) A.［0,e2］ B.［0,2］ C.［1,2］ D.［0,1］ 【解析】选B.因为y=1时，由1=ex，所以x=0，所以根据围成 图形的形状及积分变量可知,积分区间为［0,2］.
的相反数，故
1 32 9
2
2
3
9 x2dx
3
3
9 x2dx 9.
3
2
【技法点拨】用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤 （1）准确画出各曲线围成的平面区域.Baidu Nhomakorabea（2）把平面区域分割成容易表示的几部分，同时注意x轴下方有没有区域. （3）解曲线组成的方程组确定积分的上、下限. （4）根据积分的性质写出结果.
lim
n
n i1
b
n
a
f（i）.
【变式训练】利用定积分的定义计算
【解析】把区间［1,2］分成n等份,
每个小区间的长度为
在
上取
的值.
2
1
x
1
dx
所以
作积求和
x 1 ,
n
所以[xi－1,
x
i
]
[1
i－1 n
,1
i n
]
i
xi－1
1
i－1 i
n
1, 2,, n ,
f
i
1
1
i－1 n
2
i－1. n
n
i1
f
i
x
n i1
(2
i－1)g1 nn
5n－1， 2n
2x 1dx lim 5n－1 5 .
1
n 2n 2
类型 二 定积分几何意义的应用
根据定积分的几何意义结合函数图象求解定积分的值，
并总结用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤.
1.利用定积分的几何意义填空.
(1)
(2)
2.定积分
2 3xdx－
2
1dx
0
0
0
1 2 6－2 1 4. 2
5.由
所围成的图形的面积写成定积
分【的解形析y式】为由si定_n_x积_,_x分__的_0.定, x义和2几, y何意0 义可知
答案:
2 sin xdx 0
S 2 sin xdx. 0
6.已知
求：（1） 1
（2） 0
（3）