定积分的定义71573
定积分
定积分百科名片众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。
微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。
所以，微分与积分互为逆运算。
目录积分的分类定积分的定义黎曼积分定积分的分点问题微积分基本定理积分的分类定积分的定义黎曼积分定积分的分点问题微积分基本定理展开编辑本段积分的分类不定积分是一个函数，定积分是一个数值。
求一个函数的原函数定积分的几何意义，叫做求它的不定积分；把上下限代入不定积分，求出来的数值，叫做定积分。
不定积分就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。
这也就是说如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
定积分定积分就是求函数F(X)在区间（a,b）中图线下包围定积分的面积。
即定积分y=0 x=a x=b y=F(X)所包围的面积。
这个图形称为曲边梯形，定积分特例是曲边三角形定积分定积分。
编辑本段定积分的定义设一元函数y=f(x) ,在区间（a,b）内有定义。
将区间（a,b）分成n 个定积分小区定积分间 (a,x0) (x0,x1)(x1,x2) .....(xi,b) 。
设△xi=xi－x(i-1)，取区间△xi中曲线上任意一点记做f（ξi），做和式：和式若记λ为这些小区间中的最长者。
当λ → 0时，若此和式的极限定积分存在，定积分则称这个和式是函数f(x) 在区间(a,b)上的定积分。
记做：∫ _a^b (f(x)dx)（a在∫下方，b在∫上方）其中称a为积分下限，b为积分上限， f(x) 为被积函数，f(x)dx 为被积式，∫ 为积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的定积分值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
解释定积分的概念
解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。
a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
定积分的定义
定积分的定义定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中都有广泛的应用。
定积分的定义是通过求解函数的极限来得到，它描述了一个曲线下的面积。
本文将介绍定积分的定义及其相关概念，并解释如何使用定积分求解实际问题。
定积分的定义可以通过分割区间，然后求和极限来得到。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则称函数f(x)在[a,b]上的定积分为∫(a到b)f(x)dx其中，∫表示积分符号，被积函数f(x)是被积函数，dx表示关于自变量x的微元，a和b是积分的上下限。
积分符号∫起源于拉丁语"summa summum"，意思是“求和”。
定积分的基本思想是将区间[a,b]分割为n个小区间，然后在每个小区间中取一个点，记作ξi，将每个小区间的函数值乘以区间长度Δxi，然后求和。
当n趋于无穷大时，这些近似值的和趋于定积分的值。
数学上可以表示为：∫(a到b)f(x)dx = lim(n趋于无穷大)(Σf(ξi)Δxi)上式中，Σ表示求和，f(ξi)表示在区间[xi, xi+1]中某点ξi的函数值，Δxi表示区间[xi, xi+1]的长度。
定积分有很多重要的性质。
首先，如果函数f(x)在[a,b]上非负，则定积分的值表示曲线下的面积。
其次，如果在[a,b]上函数f(x)为负值，那么定积分的值表示曲线与x轴之间有向面积。
在实际应用中，定积分经常用于求解曲线下的面积、体积、质心以及众多概率统计问题。
比如，可以利用定积分计算圆的面积、球的体积，还可以求解质量分布、重心、平衡问题。
此外，在统计学中，定积分有着广泛的应用，例如在概率密度函数中计算概率、求解期望值等。
在计算定积分时，可以使用多种方法。
一种常见的方法是使用基本的积分法则，将被积函数进行重写、分解或代换，以方便求解。
另一种方法是使用数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则等。
这些数值方法可用于近似求解定积分，适用于无法解析求解的情况。
定积分的概念是微积分领域中的基础知识之一。
定积分的概念课件
y f ( x)
a
b
x
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a f (t)dt a
(3)
b
b
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
b
a
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y f ( x)
高中数学选修2-2第一章《定 积分》
温故知新 ＊ 曲边梯形的定义：
我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲 线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。 ＊ 求曲边梯形面积的步骤： 分割区间 过剩估计值 不足估计值
逼近所求面积
（一）、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
1
梯形 的面积。 成的图形的面积，即_______
2
容易知道，梯形的面积是 3 ，所以 y y 2 y=2
1
3 1 yxdx x 2
2
o
x
1
o
1
x
2
由图可知， y 1 x 2 表示的是单位圆在 x 轴上
方的半圆。 所以 1
积。
对于定积分的理解和认识
对于定积分的理解和认识一、什么是定积分定积分是微积分中的一个重要概念，它是一个数学工具，用于计算曲线下面的面积。
在数学上，定积分可以看作是一个区间内函数值的加权平均值。
它可以用来求解许多实际问题，如物理学中的速度、加速度、质心等问题。
二、定积分的定义定积分的定义可以通过极限来进行表述。
假设有一个函数f(x)，我们要求解它在[a,b]区间内的定积分，则可以将[a,b]区间划分成n个小区间，并假设每个小区间长度为Δx。
那么我们可以将[a,b]区间内f(x)函数所对应的曲线下面的面积近似地表示为：S ≈ f(x1)Δx + f(x2)Δx + ... + f(xn)Δx其中，xi表示每个小区间中任意一点。
当n趋向于无穷大时，这个近似值就会越来越接近真实值。
因此，我们可以用极限来表示这个面积：S = lim(Δx→0) Σf(xi)Δx这里，lim表示取极限。
三、定积分与不定积分不同于定积分需要具有上下限和被积函数，不定积分只需要被积函数即可。
不定积分的结果是一个函数，而定积分的结果是一个数值。
不定积分可以看作是对原函数的求解，而定积分则是对曲线下面的面积进行求解。
四、定积分的性质1. 反比例如果将被积函数f(x)乘以一个常数k，则其定积分也会乘以k。
∫kf(x)dx = k∫f(x)dx2. 线性性如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的和或差的定积分等于它们各自的定积分之和或差。
∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx∫[f(x)-g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx3. 区间可加性如果将一个区间[a,b]划分成两个子区间[a,c]和[c,b]，则整个区间[a,b]上的定积分等于两个子区间上的定积分之和。
∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx五、如何计算定积分在实际计算中，我们通常使用牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等方法来计算定积分。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分的概念及性质课件
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
定积分的定义
定积分的定义定积分是微积分中的一种重要概念，它广泛应用于物理、计算机科学、经济学、统计学等领域。
在本文中，我们将探讨定积分的定义及其相关概念、定理和应用。
一、定积分的定义定积分的定义是通过限定积分上下限，计算函数在给定区间上的面积的方法。
具体地说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上关于x轴的面积为：∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx其中∫表示积分符号，f(x)dx表示微元，最终结果为面积。
二、交错积分的概念定积分有时会被定义为交错积分的形式，按照这样的定义，定积分是将区间[a,b]分成n等份后，将每等份映射到默区间[a,b]，计算总面积面积的方法。
三、定积分的性质定积分具有一个重要的性质，即可加性。
也就是说，如果f(x)连续，则对于[a,b]和[b,c]的任意选取，有：∫<sub>c</sub><sup>b</sup>f(x)dx+∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f (x)dx=∫<sub>c</sub><sup>a</sup>f(x)dx这个性质对于求复杂函数的面积非常有用，因为它允许我们将求和区间划分成更小的部分，并在不同部分上执行计算，从而得到总面积。
四、定积分的定理除了性质外，定积分还有一些定理，它们可以更简单地求出某些函数的积分。
其中最著名的是牛顿-莱布尼茨公式，它指出：∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)d x=F(b)-F(a)其中F(x)是f(x)的原函数。
另外两个常见的定理是平均值定理和拉格朗日中值定理。
平均值定理指出，如果f(x)在区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上的平均值等于1/(b-a)∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx；拉格朗日中值定理指出，如果f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上存在一个数c，使得：f(c)=(1/(b-a))∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx这两个定理为找出区间[a,b]上函数值的平均值或最大值提供了帮助。
高数定积分知识点总结
高数定积分知识点总结一、定积分的定义定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数在一个区间上的积分结果进行计算的过程。
在数学上，定积分是用来计算曲线下面的面积或者函数在某一区间上的平均值的方法。
定积分可以写成以下形式：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \]其中，\( f(x) \)是被积函数，\( a \)和\( b \)是积分区间的端点。
定积分的计算过程就是求解被积函数在给定区间上的曲线下面的面积。
定积分在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用，是微积分中不可或缺的重要工具。
二、定积分的性质1. 定积分的可加性如果函数\( f(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么对于任意的\( c \)满足\( a \leq c \leq b \)，都有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx \]这个性质表明了定积分的可加性，即在一个区间上进行积分的结果可以根据任意划分点\( c \)进行分割。
2. 定积分的线性性对于任意的实数\( \alpha, \beta \)和函数\( f(x), g(x) \)，如果\( f(x), g(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么有：\[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx \]这个性质表明了定积分的线性性，即在一个区间上进行线性组合的函数的积分等于线性组合的函数的积分的线性组合。
3. 定积分的保号性如果在区间\([a, b]\)上有\( f(x) \geq 0 \)，那么有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0 \]这个性质表明了定积分的保号性，即当被积函数在一个区间上非负时，其积分结果也是非负的。
定积分的定义
0
1
0
1
2.已知
2
0 f
x dx
8,则 ［2 f 0
x －2x］dx
________ .
【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成 两个定积分的和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积 分的差,然后再根据定积分的几何意义求解.
【解析】1.选C.由定积分的性质可知,
b a
（f1 x）dx
b a
f（2 x）dx
b a
f（m x）dx.
探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和
吗？
提示:能.推广公式为
b f（x）dx c1 f（x）dx c2 f（x）dx b f（x）dx
a
a
c1
ck
（a c1 c2 ck b）.
2
分的形式为_______.
【解析】由定积分的定义和几何意义可知
S
2 0
sin
xdx.
答案: 2 sin xdx 0
6.已知 1x3dx 1，2 x3dx 15，2 x2dx 7，4 x2dx 56 .
0
41
41
32
3
求：（1） 2 3x3dx. 0
2
0 f
x dx
2
2
0
f
x
dx.
1.若在区间［1,2］上,f(x)>0恒成立,则
2
1 f
xdx 的符号(
)
A.一定为正
定积分的概念课件
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。
定积分的概念 课件
被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,
由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,
所以
2 4 x2 dx 22 2 .
2
2
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
(2)
2
sinxdx;
2
y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
f(x)=sinx
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa 0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
y
f(x)=x2
y
2
sin xdx 0
2）.
sin xdx 2
2 sin xdx
0
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
练习4（2）:
计算积分 1 1 x2 dx 0
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：
第二节 定积分的定义
第二节 定积分的定义一、 定义：如果()x f y =在[]b a ,上有定义（连续），用1-n 个分点将[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-，其长度1--=∆i i i x x x ，在每个小区间[]i i x x ,1-上，任取[]i i i x x ,1-∈ξ，如果(){}i i ni i x Max Sx f ∆==∆∑=→λξλ1lim []i i i x x ,1-∈ξ1--=∆i i i x x x则()()ini i bax f dx x f ∆=∑⎰=→1lim ξλ注： （1）()()dxx f dx x f ba⎰⎰,的关系？（2）()()dx x f dx x f b a ba⎰⎰++11,的关系？()()dt t f dx x f baba⎰⎰,的关系？结论：定积分是一个常数，只与函数()x f y =，区间[]b a ,有关，与积分变量无关。
（3）dxx dx x⎰⎰21101,1的关系？（4）“三个不一样，一个一样”？ 注：①0→∀λ分割，只要②[]i i i x x ,1-∈∀ξ取点，只要③近似求和可能不一样()ini ix f ∆∑=1ξ④极限一样()()ini i bax f dx x f ∆=∑⎰=→1lim ξλ(5) 定积分存在定理：有限区间上的连续函数可积有限区间上的只有有限个间断点的有界函数也可积。
（6）()()dxxfdxxf abba⎰⎰-=()0=⎰a a dxxf作业：P266/1（2）。
定积分的概念
把一个大曲边梯形分割成n个小曲边梯形
分割 在区间[a,b]内任意插入(n-1)个分点,称为区间[a,b]的一个分法(分割)，记为T.
2.代替
（化曲为直）
在每个小区间[ xi-1, xi ] 上任取一点ξi ，于是，以 为底， 为高的小矩形面积 应为小曲边梯形面积的近似值，即
注：显然函数 f (x) 在 [a, b] 的积分和 与分法(割)T 有关，也与一组= { }(i Δi , i=1, … , n )的取法有关.
取法任意
记
如果不论对[a,b]怎样的分法(分割)；
也不论在小区间 上，点 怎样的取法，
只要 时，积分和 存在确定的有限极限
根据定积分的定义，可以看出，前面所举的两个实例，都是定积分.
物体运动的路程s是速度函数v(t)在时间间隔 的定积分，即
黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）19世纪富有创造性的德国数学家、物理学家。对数学分析和微分几何做出了重要贡献 。
与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关
a
b
x
y
o
a
b
x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然，小矩形越多，矩形总面积 越接近曲边梯形面积．
（四个小矩形）
（九个小矩形）
基本思想(以直代曲)
具体做法(如下)
（化整为零）
”
分法任意
分法T将区间[a,b]分成n个小区间，
过每个分点作x轴的垂线，这些垂线与曲线f(x)相交，相应地把大曲边梯形分为 n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔAi ( i=1, 2, …, n )
定积分的定义
如何求出 A 的精确值？
o a x1
b xi1 xi xn1
x
i
（4）取极限
令 maxx1, x2,, xn
曲边梯形面积为
n
A lim f 0 i1
i
xi
y
o a x1
b xi1 xi xn1
x
整体等于部分之和
二. 定积分的概念
定义 设函数 f (x) 在 [a,b] 上有定义且有界，
在 a,b 任意插入 n 1 个分点 a x0 x1 xi1 xi
xn1 xn b , 将a,b分成n个小区间xi1, xi
i 1, 2, , n，用 xi xi xi1 i 1, 2, , n表示每个
小区间的长度,在每个小区间上任取一点 i xi1 , xi .
被 积 函 数
n
dx lim
被 0 i1 积积 表分 达变 式量
f
i xi
[a,b] 积分区间
注意：
（1）ab f xdx是一个常数.
（2）ab f xdx 只与 a,b 和 f x有关，而与区间
的分法和点 i 的取法以及积分变量用什么字母
表示无关.
b
n
作积的和式 f i xi. i 1
n
记
maxx1,
x2
,,
xn，若极限
lim
0
i 1
f
i xi
存在,则称此极限值为函数 f ( x)在区间[a, b]上的定积分，
记为
b
a
f
xdx，即
积分上限
积分下限
b a
定积分的概念和计算方法
定积分的概念和计算方法定积分是微积分的重要概念之一，它不仅有着广泛的应用，而且对于深入掌握微积分知识也具有极其重要的作用。
本文将介绍定积分的概念和计算方法。
一、定积分的概念首先，我们需要了解什么是定积分。
在数学上，定积分可以用来计算曲线下的面积。
它是从a到b之间的函数f(x)在x轴上方所围成的面积。
具体来说，定积分是指将积分区间[a, b]分成若干个小区间，对于每个小区间，在区间内部任意选取一个点，计算出该点处函数值f(x)，然后将所有小区间内的函数值乘以它所对应的区间长度 dx，再将所有小区间的面积加起来，就可以得到整个积分区间[a, b]内的曲线下面积S。
即：$ \int\limits_a^b f(x)dx=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\sum\limits_{i=1}^nf(x_i)\Delta x $其中，$ \Delta x=\frac{b-a}{n} $ ，$ x_i=a+i\Delta x $。
需要注意的是，定积分的计算结果既有正值，也有负值，具体取决于f(x)在x轴的上下位置关系。
二、定积分的计算方法在计算定积分时，我们需要选取合适的积分区间，确立精确的函数模型，然后根据积分公式进行计算。
下面将介绍三种常见的定积分计算方法。
1. 几何意义法几何意义法是指通过将函数图像与x轴围成的面积分为若干个几何图形，分别计算每个几何图形的面积，然后加起来得到定积分的值。
例如，计算 $ \int\limits_1^2 xdx $ 时，我们可以将积分区间[a, b]分成若干个小区间，对每个小区间用梯形的面积近似代替曲线下的面积。
这样，整个定积分就被转化为梯形的面积之和。
2. 牛顿-莱布尼茨公式法牛顿-莱布尼茨公式法是通过积分的导数来计算定积分的值。
如果一个函数f(x)在[a, b]区间内可积、连续，那么它的原函数F(x)就存在，即：$ \int\limits_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $这个公式被称为牛顿-莱布尼茨公式。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分（Definite Integral）是一种积分形式，它可以用来求解一部分定义域上函数的积分。
它的定义域一般以闭区间[a,b]表示，其中a和b都是定义域内的定点，也就是说，它是定义在 [a,b] 上的函数f(x)的积分。
定积分的计算公式是：
∫a b f (x)dx=F(b)-F(a)
其中F(x)是以f(x)为基础的任何可求得的积分函数，a和b分别是定义域的两个端点。
定积分可以用来计算函数在某一定义域上的积分，也可以用来求解函数在某一定义域上的导数。
举例来说，令f(x)=2x，定义域为[1,2]，则定积分计算公式就可以写为：
∫1 2 2x dx=F(2)-F(1)=F(2)-5
于是得出定积分值：
∫1 2 2x dx=F(2)-5=7
定积分也可以用来求解函数的导数，例如，令f(x)=2x，定义域为[1,2]，则定积分的偏导数可以写为：
∫1 2 d/dx(2x)dx=F'(2)-F'(1)=f(2)-f(1)=4-2=2
同样也可以得出偏导数：
d/dx(2x)=2
因此，定积分可以用来计算函数在某一定义域上的积分，也可以
用来求解函数在某一定义域上的导数。
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1
0 2dx
1
0 2dx 2.
(2) 表示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个
梯答形案的: 12面xd积x 为 所以
3, 2
2 xdx 3.
1
2
3
2
2.被积函数
的图象是以原点为圆心，半径r=3的圆
位义于 可x知轴，上定方积的分部y 分（9包表括x示2与此x半轴圆的的交面点积）.. 由积分的几何意
【拓展延伸】奇函数、偶函数在对称区间上的积分 （1）若f（x）为偶函数，且在［-a,a］上图象连续不断， 则 （2）若f（x）为奇函数，且在［-a,a］上图象连续不断， 则
a f（x）dx 2 a f（x）dx.
a
0
a f（x）dx 0. a
【变式训练】已知函数f(x)为偶函数.证明
【证明】由定积分的性质可知
积分上限
积分下限
被积函数
2.定积分的几何意义 如果在区间［a,b］上函数f(x)连续且恒有________，那么定 积分 表示由直线____________和曲线_______所围 成的曲边梯形的面积.
f(x)≥0
b
a
f
x
dx
x=a,x=b,y=0
y=f(x)
3.定积分的性质
（1）
（k为常数).
0
1
0
1
2
0
f
x
dx
8,
则 ［2 f 0
x
－2x］dx
________
.
【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积分的 和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积分的差,然后再 根据定积分的几何意义求解.
【解析】1.选C.由定积分的性质可知,
2.
因2为
由定2 积f 分x的dx几何2意2义f 及x偶dx函. 数的图象特征可知
－2
0
所以
2 f xdx 0 f xdx 2f xdx，
－2
－2
0
0
－2fxdx20f
x
dx，
2 f xdx 0 f xdx 2f xdx
－2
－2
0
2
20
f
x
dx.
1.若在区间［1,2］上,f(x)>0恒成立,则 的符号( )
类型 一 利用定义求定积分
1.利用定积分的定义求
的值.
1 x2 2 dx 0
【技法点拨】用定义法求积分的步骤 （1）分割：将积分区间［a,b］n等分. （2）近似代替：取点ξi∈［xi-1,xi］，可取ξi=xi-1或者 ξi=xi. （3）求和：
（4）求极限：
n
i1
b
n
a
f（i）.
bf（x）dx a
3 9 x2dx 3
【互动探究】本题2若改为“求定积分
的值”，
结【果解怎题样指？南】根据定积分的几何意义，通过求规则33 图形9 的x面2 dx
积求定积分的值.
【解析】被积函数
的图象是以原点为圆心，半径
r几=何3的意圆义位可于知x，轴定下积方分的部y 分 （包表9 括示x与此2 x半轴圆的的交面点积）S.=由积分的
1.5.3 定积分的概念
1.定积分的概念 （1）定积分的定义式
(数2)_积__分__下,积限分__变，量积x分,被上积限式____b，f_（积__x分_）_区.d间x ___ln_i__m____i_n_1__b_，_n_被a_f_积（_函__i）_ . a
a
b
［a,b］
f(x)
积分号
f(x)dx
a［b （f1 x） f（2 x） f（m x）］dx
b a
（f1 x）dx
b a
f（2 x）dx
b a
f（m x）dx.
探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和 吗？
提示:能.推广公式为
bf（x）dx c1 f（x）dx c2 f（x）dx b f（x）dx
a
a
所0以f x
d表x 示 x1=0x,x=12d,yx=0,y2=22xx2围dx成. 的图形的面积，
0
1
所以
=答8案－0［:244=f 4x. －2x］dx
2
f
x dx－
2
2xdx
0
0
2
0 2xdx
2
0 2xdx 4.
［2 f 0
x
－2x］dx
2
0
f
x
dx－ 2 0
2xdx
【技法点拨】利用定积分的性质求定积分的策略 （1）利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于每一个积分都 可以利用定积分的几何意义求出, 从而得到所求定积分的值. （2）求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再相加. 提醒：要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解.
类型 三 定积分性质的应用
熟练根据定积分的性质进行相关的运算，并总结利用定
积分的性质求定积分的策略.
1.已知
则 ()
2.已知
f
x
x 1,0 x 1, 2x2,1 x 2,
2
0
f
x
dx
A. 2x 1dxB. 22x2dx
0
0
C. 1x 1dx 22x2dxD. 12x2dx 2x 1dx
c1
ck
（a c1 c2 ck b）.
【探究提升】定积分的运算性质的关注点 （1）线性运算：定积分的性质（1）（2）称为定积分的线性运算，等式两 边积分区间保持不变. (2)区间可加性：定积分的性质（3），称为定积分对积分区间的可加性， 等式右边任意两个积分区间的交集都是空集，各个积分区间的并集等于左 边的积分区间.
的相反数，故
1 32 9
2
2
3
9 x2dx
3
3
9 x2dx 9.
3
2
【技法点拨】用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤 （1）准确画出各曲线围成的平面区域. （2）把平面区域分割成容易表示的几部分，同时注意x轴下方有没有区域. （3）解曲线组成的方程组确定积分的上、下限. （4）根据积分的性质写出结果.
A.一定为正
B.一定为负
C.可能为正,也可能为负 D.不能判断
2
1
f
x
dx
【解析】选A.由定积分的概念可知, 的值为曲边梯形
的面积.而该曲边梯形始终在x轴的上方,故其值为正.
2
1
f
x
dx
2.求曲线y=ex,直线x=2,y=1围成的图形的面积时,若选择x为 积分变量,则积分区间为( ) A.［0,e2］ B.［0,2］ C.［1,2］ D.［0,1］ 【解析】选B.因为y=1时，由1=ex，所以x=0，所以根据围成 图形的形状及积分变量可知,积分区间为［0,2］.
lim
n
n i1
b
n
a
f（i）.
【变式训练】利用定积分的定义计算
【解析】把区间［1,2］分成n等份,
每个小区间的长度为
在
上取
的值.
2
1
x
1
dx
所以
作积求和
x 1 ,
n
所以[xi－1,
x
i
]
[1
i－1 n
,1
i n
]
i
xi－1
1
i－1 i
n
1, 2,, n ,
f
i
1
1
i－1 n
2
i－1. n
3.已知
则( )
2
0
f
x
dx
10,
【A解. 1析f 】x选dDx.由 5定积分的性质B可.知2f xdx 5
0
1
1
C.0
f
x
dx
1
10D.0 f
x
dx
2
1
f
x
dx
10
2
0
f
x
dx
1
0
f
x
dx
2
1
f
x
dx
10.
4.计算
【解析】 23x－1dx _______. 0
答案:4
23x－1dx
2 3xdx－
2
1dx
0
0
0
1 2 6－2 1 4. 2
5.由
所围成的图形的面积写成定积
分【的解形析y式】为由si定_n_x积_,_x分__的_0.定, x义和2几, y何意0 义可知
答案:
2 sin xdx 0
S 2 sin xdx. 0
6.已知
求：（1） 1
（2） 0
（3）
n
i1
f
i
x
n i1
(2
i－1)g1 nn
5n－1， 2n
2x 1dx lim 5n－1 5 .
1
n 2n 2
类型 二 定积分几何意义的应用
根据定积分的几何意义结合函数图象求解定积分的值，
并总结用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤.
1.利用定积分的几何意义填空.
(1)
(2)
2.定积分
1
1
2
33
（2 3x2 2x3）dx 3 2 x2dx 2 2 x3dx
1
1
1
3 7 2 15 1 . 3 42
（2）
（3） b kf xdx _k__a_bf__x__d_x__ a
a［b f1 x f2 x］dx _a_bf_1__x__d_x____ab_f2__x__d_x_.