定积分的定义1
高数定积分定义
高数定积分定义
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一定区间上的
积分结果的确定。
在数学中，积分是微积分中的一种基本概念，定义
了一种反向操作，即由导数得到原函数。
定积分的定义是指在函数y=f(x)的x轴某一区间[a,b]上，将其分割成许多小的矩形，并将这些矩形的面积分别求出。
当分割的小矩形
数趋向于无穷大时，这些小矩形组成的面积总和即为该函数在区间[a, b]上的定积分，用符号∫abf(x)dx表示。
其中dx代表自变量的微元，f(x)代表被积函数，而a和b是积分
的上下限。
上述式子也可以看作是在曲线y=f(x)与x轴之间的面积之
积分。
为了方便计算，往往将上述区间分割成等分的若干小区间，其中
小区间的个数记作n，区间长为Δx。
于是有Δx=(b-a)/n，而小矩形
面积为f(xi)Δx，其中xi为小区间的中点。
将这些面积相加，即可得到该函数在区间[a, b]上的近似定积分。
在极限n趋向于无穷大的情况下，上述近似定积分将趋近于函数
在区间[a, b]上的定积分，即∫abf(x)dx。
因此，定积分又可以描述为曲线y=f(x)在区间[a, b]上与x轴之
间面积大小的确定。
而由于定积分的值只与积分区间及被积函数有关，因此在定积分的计算中，被积函数函数的表达式及积分区间的范围就
成为了最为重要的关键。
定积分在实际问题中的应用非常广泛，例如可以用于求曲线与坐标轴的面积，求函数在某个区间上的平均值，以及求物体在某一时间间隔内的位移等问题。
同时，定积分也是微积分中重要的积分概念之一，有较高的理论和实际应用价值。
1 定积分概念
.1 定积分概念定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a,b]的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有成立，则称I是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。
接下来的问题是：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？以下给出两个充分条件。
定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。
.2 牛顿－莱步尼兹公式及实例定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则。
(1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。
于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即。
(2)在上式中令x = a，得。
又由Φ (x)的定义式及上节定积分的补充规定知Φ (a) = 0，因此，C = F(a)。
以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的Φ (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。
由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。
为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。
公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。
例1 计算定积分。
解。
例2计算。
解。
例3计算。
解。
例4计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。
1.5.3《定积分的概念》课件-(1)
5 S v(t )dt (t 2)dt 0 0 3
1 1 2
O
1 1 2 3 j n - 1
t
n n n n
n
注：
1 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
i 1 i
n
i
y y=f ( x)
b
c
b
f (x)dx。
f )( dx x)dx f (x f )( dx x) dx f (x )f dx (x f )( dx x dx f (。 x)dx a fa(x a)。 a a a c c c
b
b
c
c
b
b
b
c
b
f (x)dx。
0
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
2
④
（2）在图②中，被积函数 f ( x) x 在[1 ， 2] 解： 上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面 积为 A 2 x 2 dx
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 a
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1 定积分的概念
高等数学（上）
定理3 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上有界，
且只有有限个间断点，则 f ( x ) 在
区间[a , b]上可积.
定理4 设函数
则
f ( x ) 在区间 [a , b] 上有界且单调，
2
n
2
1 n 2 3 i n i 1
1 n( n 1)(2n 1) 3 n 6
1 1 1 1 2 6 n n
1 因为 max{x1 , x2 , xn } n
高等数学（上）
所以 0 n ，
故有
[a , b ]
上可积。
f ( x)
在区间
例1 设 R, 则
b
a
dx (b a ).
高等数学（上）
例2 利用定义计算定积分
0 x
1
2
dx .
解 由于 f (x) = x2 在 [ 0 , 1 ] 上连续 , 因此可积 .
所以取如下划分:
将
[0,1] 分成 n 等分，分点为
0
1
xdx
n n n (2) lim 2 2 2 2 2 n n 1 n 2 n n n 1 dx 1 1 lim 2 n 0 1 x2 n i i 1 1 n
高等数学（上）
用和式极限表示定积分： ba ba 2(b a ) n(b a ) lim ) f (a ) f (a ) f (a n n n n n
i b a lim f a (b a ) n n n i 1 b 1 n i f a (b a ) f ( x )dx n i 1 n a
定积分与极限的转化公式
定积分与极限的转化公式定积分与极限的转化公式是数学中常见的高级概念，它能够帮助我们更好地理解数学的规律性。
下面，就由我们来详细解释一下定积分与极限的转化公式及其应用。
一、定积分与极限的转化公式：1. 定积分及极限：（1）定积分的定义：定积分又称Riemann积分，它既可以用来表达近似应用，也可以用来进行函数逼近计算。
定积分主要是指把一个积分中可变量的不断变化和类椭圆的不断变化看做闭合的加法运算，形成一系列概率事件的加法和减法。
（2）极限的定义：极限是指在某个点的函数的值的取值范围非常窄，可以做到近似等于无穷小，这个点叫做极限。
极限主要用于求解某种自变量改变后，因变量取值范围的大小或变化趋势。
2. 定积分与极限转换公式：定积分I和极限L的转换公式为：I = L - ε，其中ε是小正数。
这个公式指出：当定积分的函数值趋于极限时，定积分的值就会等于极限减去小正数ε（ε> 0）。
因此，当积分中变量的值逐渐变化，极限的值也可以通过定积分来计算。
二、定积分与极限的转化公式的应用：1. 非正确函数的应用：把定积分的转换公式应用到非正确函数上，也就是说：把一个不是正确函数，但其它参数符合一定条件的函数以定积分的形式去算，得到不同时间点上函数的不同值，并且得出积分函数总体上趋向于极限。
2. 曲线积分的应用：定积分与极限的转化公式可以用于计算曲线积分，即把曲线上点到形成的矩形区域，通过极限来计算曲线的积分，从而算出曲线下面积的大小。
三、总结概括起来，定积分与极限的转换公式I=L-ε(ε>0)能够帮助我们更精准地计算出某个积分时变量取值限制范围，以及从而可以从定积分极限来计算出各变量取值和改变趋势；更加方便我们计算非正确函数的极限点和曲线积分，将大量的变量运算问题转化成极限的计算，从而获得更精准的结果。
第一节 定积分的概念和性质_1
∫a g( x)dx − ∫a f ( x)dx ≥ 0,
是 于
∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx.
b
b
性质5的推论： 性质5的推论： （2） ） 证
∫a f ( x)dx ≤ ∫a
b
b
b
f ( x)dx. (a < b)
Q − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,
3 当 数 （ ） 函 f (x) 在 间 a, b]上 定 分 在 ， 区 [ 的 积 存 时
b
b
b
称 f (x)在 间 a, b]上 积 区 [ 可 .
存在定理
函 间 ， 定理1 定理1 当 数 f (x)在区 [a, b]上连续时
称 f (x)在区 [a, b]上可积 间 .
[ 数 ， 定理2 定理2 设函 f (x)在区间 a, b]上有界
y
y = f (x)
A=?
o
a b x
x = b所围 . 成
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形） 四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形） 九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多， 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
o a
x1
x i −1 i x i ξ
xn−1 b
x
为底， f 以[ xi−1, xi ]为底， (ξi ) 为高的小矩形面积为
Ai = f (ξi )∆xi
定积分的概念和基本思想
定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。
(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。
2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
定积分的定义
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数f()在区间[a,b]上的积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系，一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。
定积分的分类
不定积分
即已知导数求原函数。
若F’()=f()，那么[F()+C]'=f()，（C∈R，c属于常数）也就是说，把f()积分，不一定能得到F()，因为F()+C的导数也是f()（C是任意常数）。
所以f()积分的结果有无数个，是不确定的。
所以一律用F()+C代替，这就称为不定积分。
即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
定积分
定积分就是求函数f()在区间[a,b]中的图像包围的面积。
即由
y=0,=a,=b,y=f()所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
定积分的常用积分法
换元积分法
如果f（）∈c（[a，b]）；=ψ（t）在[a，β]上单值可导；当
a≤t≤β时，a≤ψ（t）≤b，且ψ（a）=a，ψ（β）=b,则∫ba f（）d=∫βa f（ψ（t））ψ’（t）dt
定积分的分点问题
定积分是把函数在一些区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴
的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。
习惯上，人们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δ是相等的。
但是
必须指出，即使Δ不相等，积分值仍然相同。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
1定积分的定义
§積分的意義1.我們把區間[],a b 分割成等長度的n 等分且限制函數值()0f x ≥，黎曼和是圖形下區域面積的近似值﹐而n 趨近於∞的極限值是這區域的面積。
(1) 分割出來的區間可以不等寬﹐定∆j x ＝1j j x x --（j ＝1,2,,n ），黎曼和nj 1＝Σ*()j f x x ∆﹐取極限=0lim →∆x nj 1＝Σ*()j f x j x ∆，x ∆是12,,,n x x x ∆∆∆中的最大值。
但這個方法有時並不方便﹐我們不採用這種不等寬度的分割而回到原來的等寬度分割。
(2) 函數()f x 的值有正有負。
對於上面(2)的放寬是有必要的，至少可運用到多項式或一些我們熟知的函數。
不管是等寬分割或不等寬分割，對任意區間[],a b 上的連續函數﹐極限值0lim →∆x nj 1＝Σ*()j f x j x ∆存在且唯一，這時黎曼和的極限值就是這函數的定積分。
2.定積分的定義：若函數()f x 是定義在[],a b 的連續函數﹐設01n a x x x b =<<<=是區間[],a b 的一等寬分割，x ∆＝na b －﹐在區間1,j j x x -⎡⎤⎣⎦任取一點*j x ﹐稱為參考點，則()f x 從a 到b 的定積分是∞→n lim nj 1＝Σ*()jf x x ∆，而以符號⎰b ax f ）（dx 表示。
※(1) 符號⎰是萊布尼茲首先引用的稱為積分符號。
(2) 函數()f x 稱為被積分函數。
(3) a 是積分的下限，b 是積分的上限，當a ＝b 時﹐積分值規定為0，即⎰b ax f ）（dx ＝0。
規定：⎰b ax f ）（dx ＝－⎰b ax f ）（dx 。
(4) 符號dx 本身沒有獨特的意義，⎰b ax f ）（dx 代表一極限值，⎰b at f ）（dt ﹐⎰b ay f ）（dy ﹐⎰b az f ）（dz 表示同一定積分。
定积分1
定积分1．不定积分在区间I 内，若则称F (x ) 为f (x ) 在区间I 内的一个原函数，称F (x ) +C (C 为任意常数) 为f (x )在区间I 内的不定积分，记为()()F x f x ′=()f x dx∫一、积分概念2、定积分定义设函数f (x ) 在[a ,b ]上有界, 将[a ,b ]任意分成n 个子区间, 分点为bx x x x x a n n =<<<<<=−1210 在每个子区间[x i-1, x i ]上任取一点ξi , ξi ∈[x i-1, x i ],,)(lim1存在如果极限∑=→Δni i i x f ξλ),max ,(11i ni i i i x x x x Δ=−=Δ≤≤−λ其中函数f (x )在[a ,b ]上的定积分.记成∑∫=→Δ=ni ii bax f dx x f 1)(lim )(ξλ则称函数f (x )在[a ,b ]上可积, 这个极限值就称为()d ()()d .bbbaaaf x x f t dt f u u ==∫∫∫•定积分是积分和式的极限，是一个数值，x x f b ad )(∫注意：•在定积分的定义中的两个任意性，函数可积即意味着极限值与对区间的分割方式及在区间[]1,i i x x +上点iξ的取法无关；定积分值只与被积函数f (x )及积分区间[a,b ]有关，而与积分变量的记法无关.即有•不定积分与积分变量是否有关？()f x dx ∫2. 可积的充分条件.定理1: 设f (x )在区间[a ,b ]上连续, 则f (x )在[a ,b ]可积.定理2: 设f (x )在区间[a ,b ]上有界, 且只有限个间断点,则f (x )在[a ,b ]上可积.1()lim ()nbi iai f x dx f x λξ→==Δ∑∫题型一.用定积分计算极限1lim ()nn i b a b af a i n n →∞=−−=+∑定义：（可积）已知求极限1lim ()n i f a i n n →∞=+∑或11lim ()nn i i f n n →∞=∑()a f x dx =∫1()f x dx=∫例.用定积分表示下列极限:∑=∞→+ni n ni n 111lim )1(解:∑=∞→+ni n n i n 111lim )1(nn i n i n 11lim 1⋅+=∑=∞→iξix Δxx d 11∫+=x1n i 1−ni求极限1lim ()n i f a i n n →∞=+∑或11lim ()nn i i f a n n →∞=+∑()a f x dx =∫10()f x dx =∫例.用定积分表示下列极限:121lim )2(+∞→+++p pppn nn )n n i p n 1lim 1∑=∞→=n i xx pd 1∫=iξix Δ∑=∞→+ni n nin 111lim )1(121lim )2(+∞→+++p pp p n nn解:例. 数列极限222222lim ()12x n n nn n n n→+∞+++=+++"（ ）（A ）2π（B ）4π（C ）3π（D ）6πb o xya3. 定积分的几何意义.(1) 若当x ∈[a ,b ]时, Adx x f ba曲边梯形面积=∫)(A y=f (x )连续函数f (x ) ≥0(2) 若当x ∈[a ,b ]时, 连续函数Adx x f ba−=∫)(oxy a by=f (x )A f (x ) ≤0,o xy 一般，曲边梯形的面积|()|ba f x dx ∫；而()baf x dx∫的几何意义则是曲边梯形面积的代数和。
1的定积分
1的定积分1的定积分是一个重要的数学概念，也是微积分中的一个重要内容。
它是由著名的微积分学家、微分几何学家、力学学家狄拉克首先提出来的。
他发现，积分可以用来表达一个函数的空间变化。
对于同一个函数，不同的被积分区域是不同的，因此，对于不同的被积分区域，可以求出不同的积分值。
1的定积分就是这样一个积分，它可以用来研究函数的变化率，从而确定函数的行为。
1的定积分定义如下：给定一个函数f(x)，它的1的定积分为：∫f(x)dx,其中a∈[a,b]，这里的定积分被称为狄拉克积分。
1的定积分有一个重要的性质，即它可以有效地表示一个函数在某一个区域内的变化率。
通常情况下，当函数的积分值大于0时，函数在该区域内是增加的，而当函数的积分值小于0时，函数在该区域内是减少的。
1的定积分的计算方法有多种。
其中，最简单的是采用梯形法，即将被积分区域分成若干小矩形，然后分别求其下面的矩形的面积，最后把这些面积相加求和，得出1的定积分的值。
另外，也可以采用更复杂的数值积分方法，如Simpson积分法，Gauss-Kronrod求积法，Trapezoidal积分法等，以计算出更精确的定积分结果。
1的定积分在数学，物理，化学和工程学等多个领域有着广泛的应用。
在物理学中，它可以用来求解微分方程，即求解物理系统中的动态变化；在数学中，它可以用来求解定积分和无穷级数的值；在化学和工程学中，它可以用来求解复杂的物理和化学过程的传递系数等等。
总之，1的定积分在数学、物理、化学和工程等各个领域均有着重要的作用，它可以有效地帮助我们了解函数的变化规律，研究物理和化学等复杂过程的传递系数，甚至可以应用在定积分和无穷级数的求解中。
因此，1的定积分是一个非常重要的概念，并且可以应用到很多不同领域中。
高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
4(1)定积分的概念与性质
一元函数积分
定积分和不定积分是积分学的两个 主要组成部分.
不定积分侧重于基本积分法的训练,
而定积分则完整地体现了积分思想 — 一种认识问题、分析问题、解决问题的 思想方法.
1
基本要求
理解定积分的定义和性质,微积分基 本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积 分表达一些几何量与物理量(如面积、体 积、弧长、功、引力等）的方法.
三、定积分的基本性质
对定积分的补充规定
(1) 当a b时, (2) 当a b时,
a f ( x )dx 0
b
a f ( x )dx b
b
a
f ( x )dx
说明 在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小．
18
定积分的概念与性质
性质1 设f (x)和g(x)在a, b上可积, 则f (x) g(x)也在a, b上可积.
性质5 设f ( x)在[a, b]上可积,且f ( x) 0, (保序性) 则
a f ( x )dx 0
n i 1
b
(a b)
证 f ( x) 0
f ( i ) 0
i 1,2,, n
xi 0
n
f ( i )xi 0
b
max{x1 , x2 ,, xn }
第五章
定积分
2
第一节
*
定积分的概念与性质
definite integral
定积分的定义 可积函数类
*
定积分的性质 小结 思考题 作业
定 积 分
3
定积分的概念与性质
一、定积分的定义
1. 实例
定积分概念也是由大量的实际问题 抽象出来的, 现举两例. (1).曲边梯形的面积 求由连续曲线y f ( x ) 0及
定积分的名词解释(一)
定积分的名词解释(一)
定积分
名词解释
•定积分：定积分是微积分中的一个重要概念，表示函数在某个区间上的“累计变化量”，通常用符号∫f(x)dx 表示。
–示例：假设函数 f(x) = x^2，要计算函数 f(x) 在区间[0, 1] 上的定积分。
首先，我们可以通过求不定积分来得
到函数 F(x) = (1/3)x^3 + C。
然后，应用定积分的定义，
我们可以计算出定积分的结果为∫(0 to 1) x^2 dx =
F(1) - F(0) = (1/3) - 0 = 1/3。
•区间：定积分通常在一个区间上进行计算，区间由上下界限定。
–示例：在上述例子中，区间为 [0, 1]。
•上限和下限：区间的上限和下限分别确定定积分的起点和终点。
–示例：在上述例子中，上限为 1，下限为 0。
•被积函数：定积分中的被积函数是需要进行积分的函数。
–示例：在上述例子中，被积函数为 f(x) = x^2。
•微元：对区间进行微分划分后，每个微小的子区间称为微元。
–示例：对区间 [0, 1] 进行微分划分后，可以得到 n 个微元。
•∫ 符号：积分符号，表示对函数进行积分。
–示例：∫(0 to 1) x^2 dx 表示对函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上进行积分。
结论
定积分是微积分中的一个重要概念，通过对被积函数在给定区间
上的累计变化量的计算，可以得到定积分的结果。
在定积分的计算中，需要明确区间的上下限，确定被积函数，进行微分划分，最后应用积
分符号求解。
2013考研第一讲：积分及其等式、不等式问题(数学三)
∫ g(t ) f (t )dt
a
x
∫ g(t )dt
a
x
在 (a , b]上单调增加 ]
解 对于 x ∈(a,b]
F'( x) = g( x) f ( x)∫ g(t )dt − g( x)∫ g(t ) f (t )dt
a a x x x
(∫ g(t )dt )2
a
=
g( x) (∫ g(t )dt )2
b a
∫ f ( x) g( x)dx = f (ξ)∫ g( x)dx
a
b
(7)定积分值与变量的名称无关 定积分值与变量的名称无关: 定积分值与变量的名称无关 若 y= f (x)在 [a, b] 上连续 , 则 在 ]
b a
∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt
a
b
(8)微积分第一基本定理 若 f (x) 在 [a, b]上连续 , 则变 微积分第一基本定理: 微积分第一基本定理 ] 上限积分函数 F( x) = ∫ f (t )dt 在[a, b]上可微 且有 ]上可微,
定积分及其等式、 第一讲 定积分及其等式、不等式问题
1°定积分的概念 °
b
(1) 定积分的定义 定积分的定义:
∫ f ( x)dx = lim ∑ f (ξi )∆xi
n λ→0 i =0
其中极限值与区间 [a , b] 的划分 , ξi ∈[ xi −1, xi ] 的 ] 选取无关 . (2) 定积分的几何意义 定积分的几何意义: 曲边梯形的面积: 曲边梯形的面积
0
1
试证: 试证 在 (0 , 1) 内至少存在一点 ξ , 使
f (ξ) + ∫ f ( x)dx = 0
5.2.1 定积分的概念与可积条件
n
若极限
lim ∑ f (ξ i ) ∆ x i 存在，且极限值与分割 T 和 ξ i T →0
i =1
n
的取法无关，则称函数 f (x) 在 [a, b]上可积（或黎曼可积）， 极限值 J 称为 f (x) 在 [a, b]上的定积分，记为 积分上限
∫a
积分下限
b
f ( x) d x =
被积函数 被积表达式
b
b
b
（3）一般不能用 n → ∞ 来代替 T → 0 , 因为 n → ∞ 时未必有 T → 0 , 但 T → 0 时必定同时有
n → ∞.
19
（4） 积分和的极限
与普通函数极限 (i) 积分和
n i =1 n
||T ||→ 0
lim
∑ f (ξ )∆x
i =1 i
n
i
= J
x → x0
lim h( x ) = A 的区别：
n
i
= b − a,
当 ξ i 取无理数时
i i = i 1= i 1
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x =
i
0,
||T ||→ 0
lim
∑ D(ξ )∆x
i
0 =
所以该函数在区间 [a , b] 上不可积.
21
注：（5）可积性是函数的又一分析性质. 稍后(推论5.2.2) 就会知道连续函数是可积的.于是开头的两个实例都可用 定积分记号表示：
(1)分割：把 [a, b] 任意分为n个小段: [ xi −1 , xi ]( i = 1, 2, , n). (2)近似：在 [ xi −1 , xi ] 上任取一点 ξi , 物体从 xi −1 移到 xi 时 F ( x) 作的功 ∆Wi ≈ F (ξ i )( xi − = xi −1 ) F (ξ i )∆xi (3)求和：物体从 a 移到 b 时 F ( x)作的功近似为: W ≈ ∑ F (ξ i ) ∆xi
北师大版高中数学选修2-2《定积分》定积分的概念-(1)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
2 近似代替，求和
取 i
=
i n
(i
= 1, 2,...n) 则
1 x3dx
0
Sn
=
n i =1
f ( i ) Dx n
=
n ( i )3 1 = i=1 n n
1 n4
n
i3
i =1
=
1 n4
1 4
n2 (n
1)2
= 1 (1 1 )2 4n
3 取极限
1 x3dx
0
=
lim
n
Sn
=
积分 b f (x)dx 在几何上表示 y a
上述曲边梯形面积旳负值。
y=-f (x)
b
S = a[- f (x)]dx
b
S = a [- f (x)]dx
=- b f(x ) d．， x O a a
b
c
f (x)dx ==-S f (x)dx
b f (x)dx。
a
a
c
bx
b
c
b
a f (x)dx =-Sa f (x)dx c f (x
c1
c2
例 1：利用定积分的定义，计算 1 x3dx 的值。 0
解：1 分割：在区间0 ,1上等间隔地插入 n -1个点，
将 区 间 0 ,1 等 分 成 n 个 小 区 间 ， 记 第 i 个 区 间 为
i
-1 n
,
i n
(i
=1,
2
,
, n) ，其长度为 Dx = i - i -1 = 1 。 nn n
学习目 的：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积旳关系．
高中数学同步教学 第4章 §1 定积分的概念
因此1x3dx＝14. 0
• 『规律总结』 用定义法求积分的步骤 • (1)分割：将积分区间[a,b]n等分． • (2()3近)求似和：代i＝n替1 b：－n a取f(ξi点)．ξi∈[xi－1,xi],可取ξi＝xi－1或者ξi＝xi.
n
(4)求极限：bf(x)dx＝lim
a
n→∞i＝1
b－n af(ξi)．,
• 〔跟踪练习1〕
• 用定积分的定义求由y＝3x,x＝0,x＝1,y＝0围成的图形的面
积．
[解析]
①分割：把区间[0,1]等分成 n 个小区间[i－n 1，ni ](i＝1,2，…，n)，其
长度为 Δx＝1n，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，其面积记为 ΔSi＝(i＝1,2,3，…，
n)．
②近似代替：用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，ΔSi f(i－n 1)Δx＝
积时，把区间[1,2]等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为( B )
A．[i－n 1，ni ]
B．[n＋ni－1，n＋n i]
C．[i－1，i]
D．[ni ，i＋n 1]
[解析] 把区间[1,2]等分成 n 个小区间后，每个小区间的长度为1n，且第 i 个
小区间的左端点不小于 1.故选 B.
3．下列值等于 1 的是( C )
0
0
互动探究学案
命题方向1 ⇨定积分的定义
典例 1 求1x3dx. 0
[思路分析] 这里的被积函数 f(x)＝x3 显然是连续函数．现按定义中包含的几 个步骤来求1x3dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n＜2n＜…＜n－n 1＜nn＝1.
(2)近似代替：作和 1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.
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d表x 示 x1=0x,x=12d,yx=0,y2=22xx2围dx成. 的图形的面积，
0
1
所以
=答8案－0［:244=f 4x. －2x］dx
2
f
x dx－
2
2xdx
0
0
2
0 2xdx
2
0 2xdx 4.
［2 f 0
x
－2x］dx
2
0
f
x
dx－ 2 0
2xdx
【技法点拨】利用定积分的性质求定积分的策略 （1）利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于每一个积分都 可以利用定积分的几何意义求出, 从而得到所求定积分的值. （2）求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再相加. 提醒：要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解.
lim
n
n i1
b
n
a
f（i）.
【变式训练】利用定积分的定义计算
【解析】把区间［1,2］分成n等份,
每个小区间的长度为
在
上取
的值.
2
1
x
1
dx
所以
作积求和
x 1 ,
n
所以[xi－1,
x
i
]
[1
i－1 n
,1
i n
]
i
xi－1
1
i－1 i
n
1, 2,, n ,
f
i
1
1
i－1 n
2
i－1. n
0
1
0
1
2
0
f
x
dx
8,
则 ［2 f 0
x
－2x］dx
________
.
【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积分的 和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积分的差,然后再 根据定积分的几何意义求解.
【解析】1.选C.由定积分的性质可知,
2.
因2为
c1
ck
（a c1 c2 ck b）.
【探究提升】定积分的运算性质的关注点 （1）线性运算：定积分的性质（1）（2）称为定积分的线性运算，等式两 边积分区间保持不变. (2)区间可加性：定积分的性质（3），称为定积分对积分区间的可加性， 等式右边任意两个积分区间的交集都是空集，各个积分区间的并集等于左 边的积分区间.
的几何意义是什么？
1
0 2dx ______________.
2
1 xdx ______________. 3 9 x2dx
3
【解题指南】1.根据定积分的几何意义,通过求相应图形的面 积求定积分的值. 2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答. 【解析】1.（1） 表示的是图（1）中阴影所示长方形的 面积，由于这个长方形的面积为2，所以 答案:2
类型 三 定积分性质的应用
熟练根据定积分的性质进行相关的运算，并总结利用定
积分的性质求定积分的策略.
1.已知
则 ()
2.已知
f
x
x 1,0 x 1, 2x2,1 x 2,
2
0
f
x
dx
A. 2x 1dxB. 22x2dx
0
0
C. 1x 1dx 22x2dxD. 12x2dx 2x 1dx
a［b （f1 x） f（2 x） f（m x）］dx
b a
（f1 x）dx
b a
f（2 x）dx
b a
f（m x）dx.
探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和 吗？
提示:能.推广公式为
bf（x）dx c1 f（x）dx c2 f（x）dx b f（x）dx
a
a
积分上限
积分下限
被积函数
2.定积分的几何意义 如果在区间［a,b］上函数f(x)连续且恒有________，那么定 积分 表示由直线____________和曲线_______所围 成的曲边梯形的面积.
f(x)≥0
b
a
f
x
dx
x=a,x=b,y=0
y=f(x)
3.定积分的性质
（1）
（k为常数).
1
0 2dx
1
0 2dx 2.
(2) 表示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个
梯答形案的: 12面xd积x 为 所以
3, 2
2 xdx 3.
1
2
3
2
2.被积函数
的图象是以原点为圆心，半径r=3的圆
位义于 可x知轴，上定方积的分部y 分（9包表括x示2与此x半轴圆的的交面点积）.. 由积分的几何意
（2）
（3） b kf xdx _k__a_bf__x__d_x__ a
a［b f1 x f2 x］dx _a_bf_1__x__d_x____ab_f2__x__d_x_.ba来自fxdx
_ac_f__x__d_x____cb_f__x__d_x__其__中__a___c___b_.
二、定积分的运算性质 正确理解定积分的性质，思考下列问题： 探究1:定积分的性质（2）能推广到多个函数和或差的定积分 运算吗？ 提示:能.推广公式为
类型 一 利用定义求定积分
1.利用定积分的定义求
的值.
1 x2 2 dx 0
【技法点拨】用定义法求积分的步骤 （1）分割：将积分区间［a,b］n等分. （2）近似代替：取点ξi∈［xi-1,xi］，可取ξi=xi-1或者 ξi=xi. （3）求和：
（4）求极限：
n
i1
b
n
a
f（i）.
bf（x）dx a
的相反数，故
1 32 9
2
2
3
9 x2dx
3
3
9 x2dx 9.
3
2
【技法点拨】用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤 （1）准确画出各曲线围成的平面区域. （2）把平面区域分割成容易表示的几部分，同时注意x轴下方有没有区域. （3）解曲线组成的方程组确定积分的上、下限. （4）根据积分的性质写出结果.
3 9 x2dx 3
【互动探究】本题2若改为“求定积分
的值”，
结【果解怎题样指？南】根据定积分的几何意义，通过求规则33 图形9 的x面2 dx
积求定积分的值.
【解析】被积函数
的图象是以原点为圆心，半径
r几=何3的意圆义位可于知x，轴定下积方分的部y 分 （包表9 括示x与此2 x半轴圆的的交面点积）S.=由积分的
1.5.3 定积分的概念
1.定积分的概念 （1）定积分的定义式
(数2)_积__分__下,积限分__变，量积x分,被上积限式____b，f_（积__x分_）_区.d间x ___ln_i__m____i_n_1__b_，_n_被a_f_积（_函__i）_ . a
a
b
［a,b］
f(x)
积分号
f(x)dx
n
i1
f
i
x
n i1
(2
i－1)g1 nn
5n－1， 2n
2x 1dx lim 5n－1 5 .
1
n 2n 2
类型 二 定积分几何意义的应用
根据定积分的几何意义结合函数图象求解定积分的值，
并总结用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤.
1.利用定积分的几何意义填空.
(1)
(2)
2.定积分