管理统计学：第三章：样本数据特征

• 2.直方图：适用于大量不重复样本值的数 据集合。 • 在绘制直方图时，如何对数据分组， 如何确定区间长度、区间个数？如何确定 区间起点？参见教材。 • 今后软件可自动完成分组和绘图。 • 需要掌握的是：直方图与条形图的区别， 各适用于什么数据特点？
• 作直方图时，在区间长度确定后，如何确定区 间个数？ （数据集合中最大值-数据集合中的最小值）/区 间长度，其值4舍5入后加1为组的个数。 • 作直方图时，如何确定最左端区间的中心位置？ 取出样本数据集合中的最小值；确定备选 的起始区间的中心位置；在备选区间的中心位 置中，哪个与最小值接近，就确定为数据分组 的起始区间。
• 问：若以100cm为茎节宽？茎节是多少？对吗？ • 结论：样本数据集合中的“茎节”必须是有变化 的 • ∴茎节宽应为10cm • 把所有的数据都表达为“茎节· 叶”形式后，把相 同茎节的数据合并为“茎节· 叶1叶2……”形式 （叶，要从小到大排列），再把不同的茎节从小 到大纵向排列，就得到茎叶图：
第 3章 样本数据特征的初步 分析
第3章 样本数据特征的初步分析
• 第3.1节 样本数据结构的基本特征：频次 与频率 • 第3.2节 观察刻度级样本数据结构的茎叶 图与直方图方法 • 第3.3节 样本数据的位置特征：对数据中 心的描述 • 第3.4节 样本数据的离散特征 • 第3.5节 样本数据特征的综合表达：箱形 图
• 其中，R表示暗红色，Y表示淡黄褐色，G表示 浅绿色，W表示白色，B表示黑色。 • 统计出各个颜色出现的频率如下：
家具基 色 基色频 次 基色频 率
B 1 3.33
G 6 20.0
R 8 26.7
W 5 16.7
Y 10 33.3
合计 30 100
• 当然，也可以统计出顺序级数据集合的 频次与频率结构。
• 例如，可用茎叶法，把123表达为1.23 （此时，茎节宽=100） • 此时，123（样本值）=1.23（茎叶表达） ×100（茎节宽） • 问：若茎节宽度为10，如何表达123？
• 2.例题与茎叶图的作法 • 例3.2.1 某班级男生的身高（厘米）
• 171 182 175 177 178 181 185 168 170 175 177 • 180 176 172 165 160 178 186 190 176 163 183
• 某商品在30个商店的价格例（注意间距）
• 某科室职工文化程度例（有顺序，无间距）
• 家具基色调例（横坐标的色彩无顺序关系）
• 3.1.3 样本数据集合的基本特征的延伸： 累积频率（Cumulative Percentage）
• 1.累积频率的概念（简单） • 设X1＜X2＜…＜Xm，是样本数据集合中的不 重复的样本值（m≤n样本个数）。 • 若把样本值小于等于某个样本数据Xi的频率值， 都累加起来，就得到“小于等于Xi”的累积频 率。 • 2.表格法表示累积频率（以价格问题为例）：
• 某单位职工文化程度的结构（顺序级数据）
• • • •
2.表示频次与频率的条形图 图见下页。 非常简单： 1）横坐标：样本数据的不同值。
• 顺序级以上，横坐标上的样本数据应从小到大 排列。若是刻度级的，则在排序中，要注意长 度的刻度，保持一致的比例。 • 2）纵坐标：相应样本值出现的频次或频率。
3.4.1 对样本数据离散特征的点状描述： 极值、四分点与百分位点
• 1.极大值（Maximum）与极小值 （Minimum）
• 极大值与极小值，从一定Fra Baidu bibliotek角反映了样本 数据集合中样本的离散情况。 • 问：极大值、极小值适用于什么测度？ • 另一个位与数的问题：
• 2.下四分点（Lower quartile）与上四分点 （Upper quartile） • 1）上、下四分点的概念 • 下四分点使由小到大排序后的数据集合的左 边部分，包含25%的样本总个数，右边部分 包含75%的样本总个数。 • 上四分点使由小到大排序后的数据集合的左 边部分，包含75%的样本总个数，右边部分 包含25%的样本总个数。 • 上、下四分点在一定意义上反映了样本数据 的离散情况。
• 故意增加了“9.94元”这个刻度 • 排成一行，看清楚了频率结构特征。 • 今后，统计频次、频率，都由机器完成。
• 上例是刻度级的数据，下面看一个名义级数据 的例子。 • 例3.1.3 抽样调查后，得到客户家具的基色调 的数据：
• R、Y、R、G、Y、Y、W、Y、G、G、R、Y、Y、R、W • G、Y、R、W、Y、G、G、B、R、Y、Y、W、R、R、W • R、Y、R、G、Y、Y、W、Y、G、G、R、Y、Y、R、W • G、Y、R、W、Y、G、G、B、R、Y、Y、W、R、R、W
第3节 样本数据的位置特征 对数据中心的描述
• 样本数据的测度级别的不同，需要不同的表示 “数据集合中心”的概念。
• 本节将介绍“样本中位数”、“样本众数”和 “样本均值”三个重要的描述数据集合中心位 置的基本概念。
• 3.3.1 样本众数（Sample mode）
• 样本众数定义1：样本数据集合中出现频次最 高的那个样本值，称为样本众数。在一般情况 下，“样本众数”被简称为“众数”。 • 单一众数：P.67。复众数：P.67。无众数： P.68 • 从条形图，或者频率表、频次表来判断。
• 样本均值（Sample Mean） • 样本均值仅适用于刻度级的数据。 • 样本数据集合的样本均值定义为：
• 式中，Xi为样本观察值。
第3.4节 样本数据的离散特征
• 描述数据集合的离散特征的两种方法： • 一、点状描述，如明确样本数据集合中的最小 值和最大值等； • 二、区间描述（基于差值的描述），如样本数 据集合中的最大值与最小值之差。
第3.1节 样本数据结构的基本 特征：频次与频率
• 一个误区：聚焦于数据值（样本值）及其变化
• 另一个重要问题：相同值出现的频次、频率。 这是数据集合的最基本的结构特征。 • 本节讨论这一结构特征：频次（Frequency） 与频率（Percentage，或Relative Frequency） • 两个紧密相关的不同的概念： • 1）样本数据自身（不论什么测度级的数据） • 2）同一个数据值（样本值）出现的次数（频 次）。
• • • • • • • •
价格（元）9.93 9.94 9.95 9.96 9.97 9.98 9.99 10.00 次数： 1 0 1 1 2 3 4 4 频率% 3.33 0 3.33 3.33 6.67 10.00 13.33 13.33 累积频率% 3.33 3.33 6.67 10.00 16.67 26.67 40.00 53.33 价格（元）10.01 10.02 10.03 10.04 10.05 10.06 次数： 4 2 3 2 2 1 频率% 13.33 6.67 10.0 6.67 6.67 3.33 累积频率% 66.67 73.33 83.33 90.00 96.67 100.00
• 3.1.2 观察样本数据基本特征（频次与 频率）的图形方法 • 1.表示频次与频率的饼图（Pie Chart） • 每个不同的样本值所占据的圆心角的大 小由下式计算： • 在圆圈中，给每个不同的样本值一个与 其频次（或频率）相当的圆心角： • 某样本值对应的圆心角=该样本值的 频率×360º
• 家具基色调（名义级数据）
• “茎节长度”的概念：茎节长度=允许覆盖最 大值-允许覆盖最小值+1 • 上例中的茎节长度为5（cm）：0~4,5~9 • 上例中的L、H可以省略。 • 事实上，上例的茎节是不必砍短的， • ∵叶并不多 • 注意：茎节砍短时，要注意茎节等长的原则
3.2.2 直方图（Histogram）的 概念与作法
• 这就是身高数据集合的茎叶图。 • 问：如果有的茎节右边的叶子太多了，怎么办？
• 把“茎节”砍短一点。 • 例如，把每个茎节分成两段（L、H），有
• 频次 茎 节 • 2 16L ·03 • 2 16H ·58 • 3 17L · 012 • 8 17H ·55667788 • 4 18L · 0123 • 2 18H ·56 • 1 19L · 0
• 基于排序，能够简单统计频次：
• 价格（元）9.93 9.94 9.95 9.96 9.97 9.98 9.99 10.00 • 次数： 1 0 1 1 2 3 4 4 • 频率% 3.33 0 3.33 3.33 6.67 10.00 13.33 13.33 • 价格（元）10.01 10.02 10.03 10.04 10.05 10.06 • 次数： 4 2 3 2 2 1 • 频率% 13.33 6.67 10.0 6.67 6.67 3.33
• 讨论：顺序级数据能够计算累积频率吗？ • 名义级数据能够计算累积频率吗？ • 为什么？（答案见教材第72页）
• 3.累积频率的条形图表示 • 把条形图的纵坐标改成累积频率即可。 • 商品价格例：
第3.2节 观察刻度级样本数 据结构的茎叶图与直方图方法
• 3.2.1茎叶图（Stem-and-Leaf Plot）的概 念与作法 • 1.概念 • “茎-叶”的含义：按照某规则，把所有的样 本值分成“茎节”和“叶”两个部分。表达为： “茎节· 叶”的形式。 • “茎节”末位上的1所代表的实际值，就是 “茎节”的宽度。
• 众数定义2：对刻度级的数据，在等区间分组 的直方图中，最高的矩形（即峰Peak）所表示 的数据区间，称为该数据集合的众数区间，简 称众数。如：
• 众数区间，也有单一众数和复众数之分。 • 问：众数适用于什么测度？广义与侠义
• 3.3.2 样本中位数（Sample median） • 样本中位数： • 设，样本数据集合中的所有数据的排序结 果为X1≤X2≤……≤Xn，n为样本容量。样本中 位数，就是上述序列中，处于“正中间位置” 上的数据。 • 两个要素：位与数。 • 正中间位置“号码”=（n+1）×0.5
• 3.1.1 频次与频率的基本概念 • 频次：在一个数据集合中，同一个数据 值（样本值）出现的次数。 • 频率：某样本值的频率=该样本值出现的 频次/n（该数据集合的数据总个数） • 一个例子（下页）
• 例3.1.1从某城市抽出来的30个商店中，查 出某商品的价格数据： • 9.98 10.02 10.00 10.04 10.01 9.99 10.05 10.04 10.06 10.01 • 10.03 9.99 9.97 9.93 10.01 10.03 10.03 10.02 10.05 9.99 • 9.95 9.96 9.98 10.00 9.97 10.01 10.00 9.99 9.98 10.00 • （感觉如何？乱！）
• 1.条形图的弱点，当刻度级的数据的精度相对高，使 得不重复的数据量非常大时，反而让人看不清数据集 合的结构。例如，身高问题
•
看不清分布的规律
• 如果我们对数据适当分组，再用矩形的高度来表示 各组的数据的个数或频率，就有（可看到清楚的分 布规律）：
• 这就是直方图。各区间长度是5cm，起点是 157.5cm，终点时192.5cm。
• • • • •
• 进一步策略（并注明频次）为：
• 频次 茎 叶 • 4 16 ·0,3,5,8 • 11 17 ·0,1,2,5,5,6,6,7,7,8,8 • 6 18 ·0,1,2,3,5,6 • 1 19 ·0
茎 16 17 18 19
叶 ·0,3,5,8 ·0,1,2,5,5,6,6,7,7,8,8 ·0,1,2,3,5,6 ·0
• 例1:17.0 17.1 17.2 17.5 17.5 17.6 17.6 • Me=17.5 • 例2:16.8 17.0 17.1 17.2 17.5 • 17.5 17.6 17.6 • Me=17.35
• 问：中位数适用于什么测度？ • 分奇偶个数。
• 3.3.3 样本均值（Sample Mean）
• 排序：最基本的整理。 • 9.93 9.95 9.96 9.97 9.97 9.98 9.98 9.98 9.99 9.99 9.99 9.99 10.00 10.00 10.00 10.00 10.01 10.01 10.01 10.01 10.02 10.02 10.03 10.03 10.03 10.04 10.04 10.05 10.05 10.06 • 简单之至？ • 认为容易的，可以试试手工对300个数据排序 • 简单：基于软件。