反比例函数图象的图形变换
反比例函数的图象与性质(说课课件)
THANKS
谢谢
在实际生活中的应用
价格与销售量的关系
在市场经济中，价格与销售量通常成反比关系，价格上涨时，销售量通常会减少；反之，价格下降时，销售量通 常会增加。
人口密度与城市规模的关系
一般来说，大城市的人口密度较低，而小城市的人口密度较高。这是因为城市规模越大，人均占有的空间资源越 多，人口密度就越低。
05
CHAPTER
解析法
通过解析函数表达式，确定函数 图像在坐标系中的位置和形状。
描点法
选取一系列x值，计算对应的y值 ，然后在坐标系上描出对应的点 ，通过连接各点形成图像。
图像的特性分析
无限接近x轴与y轴
随着x的增大或减小，y值逐渐趋近于0，但永远不会等于0。
单调性
在各自象限内，随着x的增大或减小，y值分别单调递减或递增。
反比例函数的图象与性质（说 课课件)
目录
CONTENTS
• 反比例函数的概念 • 反比例函数的图像分析 • 反比例函数的性质研究 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
01
CHAPTER
反比例函数的概念
反比例函数的定义
01
反比例函数是指形如$f(x)
=
frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的
对称性
图像关于原点对称。
图像的变化规律
k值影响
随着k值的增大或减小，图像分别向右 上或左下方向移动。
渐近线
增减性
在第一象限和第三象限内，随着x的增 大，y值分别减小和增大；在第二象限 和第四象限内，随着x的增大，y值分 别增大和减小。
反比例函数的图像和性质的综合应用
解析
根据题意，将点 A（-2 ，3）和点 B（3，-2 ）分别代入两个函数中 ，得到关于 m、k、b 的方程组，解方程组求 得 m、k、b 的值，即 可得到两个函数的解析
式。
05
反比例函数在几何图形中应用
相似三角形判定定理推广
预备定理
平行于三角形的一边，并且和 其他两边相交的线段，所截得 的三角形的三边与原三角形三 边对应成比例。
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ，沿y轴方向平移，函数表达式不变， 图像沿y轴平移。
伸缩变换规律
01
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而减小；
02
当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而增大。
03
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数； k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3
平行四边形面积问题
通过已知相邻两边及其夹角求解面积，或已知面 积和一边长度及夹角求解另一边长度，应用反比 例函数进行求解。
速度、时间、距离关系分析
匀速直线运动问题
通过已知速度和时间求解距离，或已 知距离和时间求解速度，利用反比例 关系建立方程。
变速直线运动问题
曲线运动问题
通过已知速度和方向的变化规律，求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度及运动轨迹，结合反比例函数进 行综合分析。
解析
根据题意，将点（-2， -1）代入两个函数中， 得到关于 k、m、n 的 方程组，解方程组求得 k、m、n 的值，即可 得到两个函数的解析式 。再将 x = 3 代入两个 函数中，得到关于 k、 m、n 的另一个方程， 与前面的方程组联立求 解，即可得到最终的解
6.2反比例函数的图象与性质(教案)
一、教学内容
6.2反比例函数的图象与性质：本节课我们将学习反比例函数的图象特点及其性质。内容包括：
1.反比例函数的定义：y = k/x（k≠0）；
2.反比例质：
a.图象在第一、三象限；
b.图象关于原点对称；
c.当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0时，图象在第二、四象限；
3.提高学生的参与度，通过设立奖项、小组竞赛等形式，激发学生的学习兴趣。
4.加强课堂提问和反馈，及时了解学生的学习情况，帮助他们巩固所学知识。
在今后的教学中，我会不断总结经验，努力提高教学质量，让每一位学生都能在学习反比例函数的过程中，感受到数学的魅力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和图象性质这两个重点。对于难点部分，如反比例函数图象的走势和性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示反比例函数图象的绘制及其性质。
2.教学难点
-反比例函数图象的理解：学生需要理解反比例函数图象为双曲线，且曲线与坐标轴无交点。
-反比例函数性质的掌握：如何记住并理解在不同象限内，函数值的变化规律。
-图形变换的应用：将反比例函数图象进行平移、缩放等变换时，如何快速判断变换后的图象。
举例：
a.难点一：通过动态图象演示或手绘图象，帮助学生直观地理解反比例函数图象为双曲线，并解释为何曲线与坐标轴无交点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y = k/x（k≠0）的函数。它在描述现实生活中的反比关系方面具有重要意义。
反比例函数的图象与性质(2)
3 （4）已知点(x1,y1)，(x2,y2)都在反比例函数 y 的图 x 象上，且y ＜ y ，则x x 的大小关系是 .
1 2 1、 2
k （5）已知点A(2,1) 在反比例函数 y 的图象上，当 x
1＜x＜ 4时 ，y的取值范围是
.
k (6)如果点（-2,y1)，(-1,y2)和(3,y3)都在反比例函数 y x 的图象上，那么y1、 y2 、y3的大小关系又如何呢？
图象与性质(2)
y
0
y
x
0
x
k 反比例函数 y (k 0)的图象 x
1.形状： 2.位置：
反比例函数的图象是双曲线 当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
3.对称性：
既是中心对称图形;又是轴对称图形.
2 4 6 观察反比例函数 y , y , y 的图象，回答下列 x x x 问题：
1、反比例函数的性质: 反比例函数y=k/x的图象是两支曲线； 当k>0时,图象位于第一、三象限，在每一象限内，y的值 随x的增大而减小； 当k<0时,图象位于第二、四象限，在每一象限内， y的值 随x的增大而增大. 2、双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交 . 3、反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对 称图形,又是关于直线y=x和y=-x的轴对称图形. 4、在反比例函数y=k/x的图象上任取一点，分别作坐标轴 的垂线（或平行线），与坐标轴所围成的S矩形=︱K ︱
1、 2
（2）已知点(2,y1)，(1,y2)，(-1,y3)，(-2,y4)都在反比例 1 函数 y 的图象上，则y1、 y2 、y3、y4的大小关系 x 是 y3＜y4 ＜ y1＜y2.
6.2 反比例函数的图像和性质(1)课件(共31张ppt)
对于一次函数 y = kx + b (k、b为常数， k ≠ 0 )，我们是如何研究的？
问题2：
对于反比例函数
y
k x
(
k是常数，k
≠
0
)
，我们能否像一次函数那样进行研究呢？
杭州育才中学 黄有宇
知识回顾
作一次函数图象的一般步骤：
y 6x
一条直线
描点法 列
描
连
表
点
线
反比例函数的图象是怎样的？
求m的取值范围．
5. 已知反比例函数
y k (k 0) x
与正比例函数
y＝－２x的图象的一个公共点的纵坐标为－４，
求这个反比例函数的解析式，
并求出另一个公共点的坐标．
适度拓展,用药熏消毒法进
行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的
含药量 y（mg）与时间x(min)成正比例，药物燃烧
（2）
杭州育才中学 黄有宇
观察反比例函数 y k ( k 0 )的图象,说出y与x之
间的变化关系:
x
k 0
k 0
y
O
( x3，y(3xC)4，yD4 )
A ( x1，y1 ) B ( x2，y2 )
x
y
( x1，y1 ) A
( x2，y2 ) B
O
x
D ( x4，y4 )
C ( x3，y3 )
当k>0时，在一、三象限； 当k<0时，在二、四象限
增
减 当k>0时，y随x的增大而增大 性 当k<0时，y随x的增大而减小
当k>0时，在每一象限内，y 随x的增大而减小
当k<0时，在每一象限内， y随x的增大而增大
考点05 反比例函数的图像和性质(解析版)
考点五反比例函数的图像和性质知识点整合一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y 的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．表达式ky x=（k 是常数，k ≠0）kk >0k <0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x 的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为-1典例引领变式拓展故答案为：2．考向二反比例函数的图象和性质当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引领根据图象可知，114x x>+的解集是-正确的有②③；故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键．2．如图，点(1,2)A 和点(,)B a b 是反比例函数右侧，则下列说法中，不正确的是（A ．该反比例函数解析式B ．矩形OCBD 的面积为C ．该反比例函数的另一个分支在第三象限，且【详解】解：根据题意，10k ->，解得1k <，∴0k =满足题意，故选：D ．变式拓展二、填空题三、解答题把上表中的坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的(1)请在该平面直角坐标系中作出(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测1y与x之间的函数关系，并求②求2y关于x的函数表达式；（2）①观察表格可知，1y 是x 设1k y x=，把()30,10代入得：1030k =，∴300k =，∴612x ≤≤．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式k y x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例引领【答案】30【分析】此题主要考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，题关键．利用平行四边形的面积公式得出得出k 的值．【详解】∵将该函数图像向上平移x 【答案】52【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y 轴平行，()1,B m ，D【答案】8 yx =【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、正方形的性质等知识点，确定点是解题的关键．先根据坐标与图形得到A【答案】5 yx =-【分析】本题考查反比例函数图像的性质，键．变式拓展【答案】28【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点，即可得出答案．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴90DAB ABC ∠∠==【答案】24a <<【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用长．再由线段BC 与双曲线有交点且与点考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx=中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例引领A ．4-B ．6【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，题的关键．利用APC 与PBD 相似即可解决问题．【详解】解：PC x ⊥ 轴，PD ⊥PDB PCA ∴∠=∠，PD x 轴，BPD PAC ∴∠=∠，APC PBD ∴ ∽，∴AC PC PD BD=．二、填空题【答案】-3【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，的面积是是解答此题的关键．作AD OB ⊥OA =12OB ，然后通过证得AOD BOA ∽何意义即可求得k 的值．∵Rt OAB 中，30ABO ∠=︒，∴OA =12OB ，∵90ADO OAB ∠∠==︒，AOD BOA ∠∠=∴AOD BOA ∽，∴214AOD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，【答案】5-【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接AB y ∥轴，得ABC 和AB y ∥轴，ABC ∴ 和AOB ∆关于AB 边上的高相等，52ABC AOB S S ∆∆∴==，根据反比例函数比例系数的几何意义得：变式拓展（1）用含m 的代数式表示（2）若3OMN S =△，则【答案】24m k =90OAB ∠=︒，∴N 点的横坐标为m ，反比例函数()0k y x x=>的图象过点N ，∴N 点的纵坐标为4m ， OME OAN S S =△△，OMN OME OAN MEAN MEAN S S S S S=+-=△△△梯形梯形，3OMN S =△，三、解答题【答案】(2,4)C 或(8,1)C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形设点8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过点∵点A 、C 在反比例函数∴1842AOE COF S S ∆∆==⨯=，当04m <<时，则AOE S ∆∴6ACFE AOC S S ∆==梯形，k=【答案】6【分析】本题考查了反比例函数⊥轴，垂足为点E，连接等．作AE x到三角形AOB的面积，两个面积之和为⊥轴，垂足为点【详解】解：作AE x，AE x⊥轴，AB AC=∴=，BE CE，=5OC OB(1)求k和m的値；(2)当8x≥时，求函数值【答案】(1)10k=，m(2)5 04y<≤．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例引领（1）若2k =，4b =-，则（2）若CE DE =，则b 与【答案】12k +【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，系是解此题的关键．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．过点⊥轴于点E，过点CB作BE x()DE=---=，证明AD∥132联立43y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：1131x y =-⎧⎨=⎩，2113x y =-⎧⎨=⎩，∴()3,1A -，()1,3B -，二、解答题(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；(2)连接OA OB ，，求OAB 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式m kx b x+<【答案】(1)6y x =，y ＝x ＋1(2)52AOB S =对于1y x =+，当0y =时，=1x -；当0x =∴()1,0C -，()0,1D ∴1,OC =1,OD =∴111112*********AOB S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ （3）解：由图象可知：不等式m kx b x+<的解集为：(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点【答案】(1)反比例函数解析式为y =(2)点E 坐标为()2,3-．变式拓展(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式【答案】(1)y x =--(2)6(3)<4x -或02x <<【分析】（1）先把点A 代入反比例函数解析式，即可求出（2）先求出直线y =-（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．【详解】（1）解：∵(A(1)求一次函数和反比例函数的关系式；(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求【答案】(1)一次函数解析式1y x 4=-(2)32ABE S =△【分析】（1）利用点A 的坐标，代入可求出反比例函数解析式，进而求出点待定系数法可求出一次函数的解析式；当点P在BC上运动时，则PB∵2sin ==2PH B PB ，即PH =∴(1132822y DB PH =⋅=⨯⋅()304;x x ⎧≤≤由图像可得，函数图像有最大值为（3）解：根据函数图像可得：当【点睛】本题主要考查了函数图像与性质、求函数解析式、画函数图像、三角形面积、运用函数图像解不等式等知识点，求得函数解析式以及数形结合思想是解题的关键．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求a ，k 的值．(2)利用图像信息，直接写出不等式1102k x x+-≥的解集(3)如图2，直线CD 过点A ，与反比例函数图像交于点C ，与x 轴交于点,OA OC ，求OAC 的面积．【答案】(1)4a =，12k =；(2)4x ≥(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在y轴上取一点N，当(3)将直线1y向下平移2围．根据函数图象可得：当11．如图，在平面直角坐标系例函数2myx=（m为常数，且(1)求反比例函数与一次函数的解析式．(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，坐标．【答案】(1)8 yx =(2)()4,2 C90∠=∠=∠=ABO BOE AEO∴四边形ABOE是矩形，∴==，OB AE2OE AB==45，∠=︒ADO∴ 是等腰直角三角形，AED∴==，DE AE4。
反比例函数、一次函数及二次函数性质及图像
反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以为对称中心的中心对称的反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与相交（K≠0）。
2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
为x≠0；为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的，与坐标轴围成的面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是，又是，它有两条y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），是坐标原点。
6.若设y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于。
7.设在内有反比例函数y=k/x和y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的：x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
反比例函数图象及性质
2x
2x
4x
800x
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( B )
3
21k3(A) y (B)y (C) y (D) y
x
x
x
x
4、函数 y 1 a2 的图象在第 二、四 象限.
x
例题讲解
2 例1：在反比例函数 y x 的图象上有两点（x1，y1）、
（x2，y2）,若x1>x2 ，则y1>y2吗？
x 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而减小.
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而增大.
y
6
y=
6 x
5 4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
观察y 6 和y 6 的图象
x
x
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
1、在每一个象限内 2、在整个自变量的取值范围内
如图xB< xA 但yB< yA
y
6
6
5
y x
4
· 3
A
y
· C 6
6
5
y
x
4
3
2
2
xB
1
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
A
· -2
B
-3
-4 -5
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3
-1
-2
专题13反比例函数与图形变换(四)旋转
专题13反比例函数与图形变换（四）旋转
1、函数（x＞0）的图像上一点A（2，a），将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线
段OA1，点A1在函数（x＜0）的图像上，求k的值。
2、如图A（-3,5），B（-3,0），C（2,0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度后使点A落在y轴上，与此同时顶点C落在的图像上，求k 值。
3、如图点A、B分别在x轴、y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于C，OA=CD=2，
，反比例函数（k＞0）的图像过CD的中点E。
（1）求k的值；（2）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，判断点G是否在反比例函数的图像上，并说明理由。
4、如图已知OA=OB=2，∠AOB=30°。
（1）点A的坐标为（，）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转α度（0°＜α＜90°）。
①当α=30°时，点B恰好落在反比例函数（x＞0）的图像上，求k的值；
②在旋转过程中，点A、B能否同时落在上述反比例函数的图像上？若能求出α的值；若不能，请说明理由。
专题10反比例函数与图形变换(一)平移
专题10反比例函数与图形变换（一）平移
1、已知反比例函数。
（1）若该反比例函数图像与直线y=kx+4（k≠0）只有一个公共点，求k的值。
（2）如图反比例函数（1≤x≤4）的图像记为曲线C1，将C1向左平移2个单位长度，得曲线C2，请在图中画出曲线C2，并直接写出C1平移至C2处扫描的面积。
2、直线y=kx+5（k≠0）与双曲线交于点A（-2，b）。
（1）求直线的解析式；
（2）若直线向下平移m（m＞0）个单位后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求m的值。
3、我们知道图像通过平移、旋转、翻折变换后，不盖板图形的形状大小，只改变图形的位置。
（1）一次函数y=x-1的图像是由正比例函数y=x图像向＿＿＿平移＿＿＿＿个单位长度得到；（2）已知函数（x＞0）图像如图1，在图1中的坐标系中画出函数（x＞-1）的图像，并观察函数的图像是由函数图像经过怎样的变换得到的？
（3）矩形ABCD位置如图2，A（-1，-1），B（1，-2），C（4，-2），现将反比例函数图像沿x轴正方向平移，若平移速度为每秒1个单位长度。
①设函数图像平移时间t秒，求函数图像与矩形ABCD有公共点时t的取值范围；
②在平移过程中，当函数图像与矩形ABCD有公共点时，直接写出函数图像扫过的区域夹在直线AD、BC之间的图形的面积＿＿＿＿＿＿＿。
反比例函数的图象与性质
反比例函数在数学学科中有着 重要的地位，是中考和高考的 重要内容之一。
02
反比例函数的图象特 征
反比例函数在坐标系中的位置
当k>0时，图象分别位于第一、三象限；
当k<0时，图象分别位于第二、四象限。
反比例函数的增减性
当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
反比例函数的极值
当k>0时，函数无极值；
当k<0时，在x轴上存在两个极值点，当x取这两个极值点对 应的横坐标时，y的值为无穷大。
03
反比例函数的性质
反比例函数的奇偶性
01
02
03
奇函数
反比例函数是奇函数，因 为对于所有实数x，都有 f(-x)=-f(x)。
图像对称
由于反比例函数是奇函数 ，所以它的图像关于原点 对称。
05
反比例函数与其他知 识点的联系
与一次函数的联系
斜率
反比例函数的斜率是常数，而一 次函数的斜率是变量。
截距
反比例函数没有截距，而一次函 数有截距。
函数性质
反比例函数具有单调性，而一次 函数没有单调性。
与二次函数的联系
表达式
二次函数的表达式是二次多项式，而反比例函数 的表达式是分式。
极值
二次函数有极值，而反比例函数没有极值。
图形
二次函数图像是抛物线，而反比例函数的图像是 双曲线。
在数学竞赛中的应用
代数问题
反比例函数在数学竞赛的代数问题中经常出现，如解方程、求最 值等。
几何问题
反比例函数与几何图形的结合也是数学竞赛的热点之一，如与圆、 三角形等结合。
反比例函数图象和性质(3)
图像与性质
设 P ( m , n ) 是双曲线 y
k x
( k 0 ) 上任意一点
,有 :
(1 ) 过 P 作 x 轴的垂线 , 垂足为 A , 则
S OAP 1 2 OA AP 1 2 | m | | n | 1 2
面积性质 | k | （一）
y P(m,n) o A x
1 | 1 | 2m | | 2n | 2 | k | ( 如图所示 S | AP A P 2 ΔPA P 2
).
y
面积性质（三）
P(m,n)
o
x
P/ A
y
y
P(m,n)
P(m,n)
o x
P/ P/
o x
以上几点揭示了双曲线上的点构成的几 何图形的一类性质.掌握好这些性质,对 解题十分有益.(上面图仅以P点在第一象 限为例).
x
图 象
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
性 质
1.已知k<0,则函数 y1=kx, y2= 在同一坐标系中的图象大致是
y
y
k x
( D)
x
(A)
S AOA 1 S OOC
1
C
o
1 2 | k | 1 2 ,
S2 S3 A1 B1 C1
x
1 2 1 2
| k | | k |
1 2 1 2
, S BOB 1
, 即 S 1 S 2 S 3 , 故选 A .
9.正比例函数y=x与反比例函数y= x 的图象相 交于A、C两点.AB⊥x轴于B,CD⊥y轴于D(如图), 则四边形ABCD的面积为( ) y （A）1 （C）2 （B） 2 5 （D）
反比例函数几个基本图形及结论
练习
2.如图，反比例函数 y k (k>0)的图象与矩形ABCO的两边相 x
交于E、F两点。若E是AB的中点，S△BEF=2,则k=____________.
练习
3.如图，已知直线 y= ﹣x+2，分别于x轴，y轴交于A、B两点，
与双曲线 y k 交于E、F 两点，若AB=2EF ，则k的值是 x
反比例函数 几个基本图形及结论
k的几何意义
斜△化梯形
比例结论
平行结论
学习目标
1.逐步探索反比例函数几个基本图形及结论（重点）. 2.熟悉反比例函数几个基本图形及结论，并能应用基本 图形的性质解决相关问题（难点）.
例1 已知 点P是反比例函数 y k 在第一象限内图象上的一动点. x
（1）如图，作PA⊥x 轴于点A，连接OA，△POA的面积为 ______________（用含k的代数式表示）.
y
A
O
C
x
B
D
例2 如图，A、B是反比例函数
yk x
在第一象限内图象上的
一两个不重合的动点，AC⊥x 轴于点C， BD⊥x 轴于点D，求证：
S△OAB=S梯ACDB .
y A B
O CD
x
y
A
B
S1 S2
O CD
x
例3 A、B是反比例函数 y k 在第一象限内图象上的一两个不 x
重合的动点， AC⊥y 轴于点C， BD⊥x 轴于点D，AC与BD相交
x
（3）如图3，若 轴于点M，N为 轴上任意一点，连接MN，PN， 则△PMN的面积为_________
y P
M
反比例函数的图像和性质课件1
xp(m,n)是反比例函数 上任意 一点，过P作X轴、Y轴的垂线，垂足为A、B， 求S矩形OAPB （用K的绝对值表示）
y
面积性质（一）
k 设P(m, n )是 双 曲 线 y (k 0)上 任 意 一 点 ,有 : x (1)过P作x轴 的 垂 线 ,垂 足 为 A, 则 1 1 1 SOAP OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
上，则n等于（
A ）
A、10
B、5
C、2
D、-6
2 3、下列各点在此曲线 y x 上的是（ B ）
4 3 A、（ ， ） 3 2 4 3 C、（ ， ） 3 4
3 4 B、（ ， ） 2 3 3 8 D、（ ， ） 4 3
例4：如图是反比例函数 的图象一支， 根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值 范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a， b）和b（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎 样的大小关系？
A. 面积分别为S1 , S2 , S3 , 则有 __ A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
y
A S1 B
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
本节收获
1、进一步巩固复习了作函数图象的一般方法和步骤 2、亲手画出函数的图象，用类比的方法，数形结合的思想， 有了对图形进行观察、分析和归纳的体验，掌握了反比例函 数的图象和性质 k 3、反比例函数 y （k为常数，k≠0)的图象是双曲线 x 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象 限内y值随x值的增大而减小。 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而增大。
26.2.4反比例函数图像和性质
不可能，请说明理由.
(08义乌市)已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置
如图，点A的坐标为（3 3,3 ），点B的坐标为（－6，0）
如图点A在双曲线y=5/x上，点B在双曲线y=8/x 上，且AB//x轴，则△OAB的面积= 3/2 。
如图，A，B两点在反比例函数y=K1/x的图象上， C，D两点在反比例函数y=k2/x的图象上，AC⊥y 轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，
则k1-k2的值是（ ）
2
-k2 k1
如图1，已知双曲线
y
k x
(k
0)与直线
y
kx
交于A,B两点，点A在第一象限.试解答下列问题:
（1）若点A的坐标为（4,2）,则点B的坐标
y A
为
；若点A的横坐标为m, 则点B的坐
O
x
标可表示为
；
B
图1
（2）如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲 线 y k (k 0) 于P,Q两点,点P在第一象限.
OB//AD
E
如图直线y=k1x+b与x、y轴相交于P,Q两点，与
y连③的=接 S解k△2/O集AxAOP的是,=OS图XB△<，B像-O2下Q相;或列④交0结<不于x论<等A1（：,式其-①2中，kk1正km1x2）确<0B的;b（有②1，kx2nm）②两③12 n点④。0，
如图正比例函数y=2x和反比例函数的图像交于点 A（m,-2）. （1）求反比例函数解析式； （2）观察图像，直接写出正比例函数值大于反 比例函数值时自变量x的取值范围； （3）若反比例函数的图像 上点C（2，n）沿OA方向平 移 5 个单位长度得到 点B，判断四边形OABC的 形状并证明你的结论。
反比例函数图象与性质
k y= x
在每一支 函数图象的 曲线上， 两支分支分 y 都随 x 别位于第一、 的增大而 三象限 减小
k＜0
在每一支 函数图象的 曲线上， 两支分支分 y 都随 x 别位于第二、 的增大而 四象限 增大
1．下列图象中是反比例函数图象的是（ C ）
A
B
C
D
2．已知反比例函数的图象如图所示，则 k ＜ 0，且 在图象的每一支上，y 随 x 的增大而 增大 ．
反思小结
（1）反比例函数的图象是怎样得到的？画图时要 注意什么问题？ （2）在探究反比例函数的性质时，我们研究了哪 几类反比例函数的图象？它们能代表所有反比例函数吗？ （3）反比例函数的性质是怎样的？为什么要强调 在每一个象限内的性质？结合图形，你是如何理解的？
k 3．已知反比例函数 y = 的图象过点（2，1）， x 则它的图象在________ 一、三 象限，k___0 ＞ ． k 4．若反比例函数 y = （k＜0）的图象上有两点 x A（x1，y1），B（x2，y2），且 x1＜x2＜0，则 y1-y2 的值 是（ B ）. A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
问题2
画出反比例函数
y=
6 x
和
y=
6 x
的图象． 描 点 连 线
函数图象画法
描点法
列 表
x
6 y= x
y= 6 x
…
-2
-3
ห้องสมุดไป่ตู้
-1.5
-4
-1
-6
-0.5 0.5
-12 12
1
6
1.5
4
2
3
… … …
… …
3
4
6
反比例函数的图形和性质
y= 6 x
的图象
函数图象画法
描点法
列 表
描 点
连 线
x
y= 6 x
注意：①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。
y= 6 x … y= 6 x
x
… -6 1
-5 -4
1.2 1.5
-3 -2 2 3
-1 6
1
2
3
4
5
6
… …
-6 -3
-2 -1.5 -1.2 -1
y
6 5
由分母不能为零，得x不能为零。 由k≠0，得y必不为零，从而验证了反比例函数的图象。 当两个分支无限延伸时，可以无限地逼近x轴、y轴， 但永远不会与两轴相交。
归纳总结：
名称 解析式 图像 图象分布 函数变化情况
k>0 反比例函数 Y=
k x
k<0 二、四 象限
k>0 在各自的象 限内y随x的 增大而减小
x
… -6 1
-5 -4
1.2 1.5
-3 -2 2 3
-1 -6 6
1 6
2 3
3 2
4
5
6 1
… … …
-1 -1.2 -1.5 -2 -3
1.5 1.2
-6 -3
-2 -1.5 -1.2 -1
y
y= 6 x
6 y= x
4 3 2 1
双曲线
0 1 2 3 4 5 6
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
-1
问题：类比正比例函数图象中 Y随 X 的变化情况，那反比例函数的图象 中又怎样呢？
必须限定在每一个象限内， 才有以上性质成立。
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专题：反比例函数图象的图形变换
点知归类：
反比例函数图象的三种基本变换：1.平移；2.轴对称(翻折)；3.旋转重点：双曲线的平移、旋转
教学过程
基本知识点讲解
1.将反比例函数y=3
x
向上平移2个单位，再向右平移1
个单位，所得到的图象的解析式为.
2.将反比例函数y=−2
x
沿直线y=3翻折，所得图象的
解析式为.
3.将反比例函数y=1
x
绕点P(-1，2)顺时针旋转90°，所
得图象的解析式为. 实践运用
1. (1)函数y=3
x−2
+1的图象可由函数y=3
x
的图象向单位，再向单位得到，其对称中心坐标为.
(2)在平面直角坐标系xoy中，请根据所给的
y=−4
x
的图象画出函数y=−4
x−2
−2的图象，并
根据图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥−1？
变式练习：新图象上当x在什么范围时，y<0？
2.如图，在平面直角坐标系中P(-2，3)，将函数y=2
x
的图象绕点P顺时针旋转90°，得到新图象.
(1)求新图象的解析式，并画出新图象.
(2)结合图象，直接写出x在什么范围时，y<2?
(3)直线AB：y=2x−1与新图象交于点
A、点B，
求线段AB的长.
课后检测
1.如图已知反比例函数y=4
x
的图象C与正比例函数y=ax(a≠0)的图象L相较于点A(2，2)和点B.
(1)写出点B的坐标，a的值.
(2)将函数y=4
x
的图象和直线AB同时向右平移n(n>0)个单位长度，得到图象分别记为C′和L′.已知图象C′经过M(2，4).
①求n的值；
②分别写出平移后的图象C′和L′对应的函数关系式；
③直接写出不等式4
x−1≤ax−1的解集.
2.已知反比例函数y=−4
x
(x≤−1).点A是此函数图象上任意一点，点A关于原点
的对称点为B.以AB为斜边作等腰Rt△ABP(点A、P、B逆时针摆放).求点P所在
图象的解析式，并写出x的取值范围.
变式练习：若以AB为边作等边△ABP呢？。