九年级数学教学大纲

第二十一章 一元二次方程

1. 一元二次方程的定义及一般形式:

（1） 等号两边都就是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数式2(二次)

的方程,

叫做一元二次方程。

（2） 一元二次方程的一般形式: 2

0(0)

ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数,b 为一

次项系数

,c 为常数项。

注意:三个要点,①只含有一个未知数;②所含未知数的最高次数就是2;③就是整式方程。 2. 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:

形如2

()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解,两边直接开平方得x a +=或者x a +=∴x a =-

注意:若b<0,方程无解 (2)因式分解法:

一般步骤如下:

①将方程右边得各项移到方程左边,使方程右边为0; ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式; ③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程; ④解这两个一元一次方程,她们的解就就是原方程的解。

（3） 配方法:

用配方法解一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤

①二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数; ②移项:使方程左边为二次项与一次项,右边为常数项; ③配方:方程两边都加上一次项系数一般的平方,把方程化为

2()(0)x m n n +=≥的形式;

④用直接开平方法解变形后的方程。

注意:当0n <时,方程无解 （4） 公式法:

一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式:2

4b ac ∆=-

0∆>⇔方程有两个不相等的实根:x =

(2

40b ac -≥)⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点

0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点

0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点

3. 韦达定理(根与系数关系)

我们将一元二次方程化成一般式ax 2

+bx+c ＝0之后,设它的两个根就是1x 与2x ,则1x 与2x 与

方程的系数a,b,c 之间有如下关系:

1x +2x ＝b a -

; 1x •2x ＝c a

4、一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题,其步骤与二元一次方程组解应用题类似 ①“审”,弄清楚已知量,未知量以及她们之间的等量关系; ②“设”指设元,即设未知数,可分为直接设元与间接设元;

③“列”指列方程,找出题目中的等量关系,再根据这个关系列出含有未知数的等式,即方程。 ④“解”就就是求出说列方程的解;

⑤“答”就就是书写答案,检验得出的方程解,舍去不符合实际意义的方程。 注意:一元二次方程考点:定义的考察;解方程及一元二次方程的应用。

第二十二章 二次函数

一、二次函数概念:

1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ，，就是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。

强调:与一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零.二次函数的定义域就是全体实数.

2、 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:

⑴ 等号左边就是函数,右边就是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数就是2. ⑵ a b c ，，就是常数,a 就是二次项系数,b 就是一次项系数,c 就是常数项. 二、二次函数的基本形式

1、 二次函数基本形式:2y ax =的性质:

2. 2y ax c =+的性质:

上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质:

左加右减

4. ()2

y a x h k =-+的性质:

5.二次函数的图象与性质附图如下:

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a > 向上

()h k ，

X=h

x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x

的增大而减小;x h =时,y 有最小值k .

0a < 向下

()h k ，

X=h

x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x

的增大而增大;x h =时,y 有最大值k .

函数的图象

图象特点

函数性质

①当a>O 时向上无限伸展; 当a

②a>O 时开口向上; a

顶点为(－a

b 2,a b a

c 442

-).

②a>O 时,当x=－

a

b

2时, y 有最小值为a

b a

c 442

-;

a

a

b

2时, y 有最大值为a

b a

c 442

-.

③对称轴为x=－

a

b 2, a>O 时, 对称轴左侧图象从左到右下降,

对称轴右侧图象从左到右上升;

③a>O 时,当x<－

a

b

2时, y 随x 的增大而减小;

当x>－a

b 2时,y 随x 的增大而增大;

a

a

b

2时,