苏教版数学高二-3.3素材《复数的几何意义》说课稿

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苏教版数学高二- 选修1-2教案 3.3复数的几何意义

3.3复数的几何意义1．复数z＝i，复平面内z的对应点的坐标为()A．(0,1)B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)答案 A2．复数z＝|z|的充要条件是()A．z为纯虚数B．z为实数C．z是正实数D．z是非负实数答案 D3．复数z＝3＋i2对应点在复平面()A．第一象限内 B．第四象限内C．实轴上D．虚轴上答案 C4．两个不相等的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为()A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－dC．a＝c，b＝－d D．a≠c，b≠d解析设z1＝a＋bi(a，b∈R)的对应点为P(a，b)，z2＝c＋di(c，d∈R)的对应点为Q(c，d)．∵P与Q关于y轴对称，∴a＝－c，b＝d.答案 A5．已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是()A．一个圆 B．两个圆C．两点D．线段解析由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)(|z|－2)＝0，∴|z|＝1，或|z|＝2，由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆．答案 B6．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是()A．z1>z2B．z1<z2C ．|z 1|>|z 2|D ．|z 1|<|z 2| 解析 |z 1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34，|z 2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41，∵34<41，∴|z 1|<|z 2|.答案 D7．已知复数z ＝x －2＋yi 的模为22，则点(x ，y)的轨迹方程为__________．解析依题意得x －22＋y 2＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝8.答案 (x －2)2＋y 2＝88．复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →所在直线的斜率为__________．解析由z ＝3＋4i 知OZ →＝(3,4)，∴直线的斜率为k ＝43. 答案 439．已知集合M ＝{1,2，m 2＋5m ＋6＋(m 2－2m －5)i}，N ＝{3i}，且M∩N≠∅，则实数m 的值为________．解析 ∵M∩N≠∅，∴m 2＋5m ＋6＋(m 2－2m －5)i ＝3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2－2m －5＝3.解得m ＝－2. 答案－210．当实数m 取何值时，在复平面内与复数z ＝(m 2－4m)＋(m 2－m －6)i 对应点满足下列条件？(1)在第三象限；(2)在虚轴上；(3)在直线x －y ＋3＝0上．解复数z ＝(m 2－4m)＋(m 2－m －6)i ，对应点的坐标为Z(m 2－4m ，m 2－m －6)．(1)点Z 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4m<0，m 2－m －6<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m<4，－2<m<3， ∴0<m<3.(2)点Z 在虚轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＝0，m 2－m －6≠0，解得m ＝0，或m ＝4. (3)点Z 在直线x －y ＋3＝0上，则(m 2－4m)－(m 2－m －6)＋3＝0，即－3m ＋9＝0，∴m ＝3.11．已知点集D ＝{z||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z|的最小值和最大值．解 ∵z ∈C ，可设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，又|z ＋1＋3i|＝1，∴(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.∴点(x ，y)在以(－1，－3)为圆心，半径为1的圆上．由|z|＝x 2＋y 2知，|z|的最小值为1，最大值为3.12．已知两个向量a ，b 对应的复数z 1＝3和z 2＝－5＋5i ，求向量a 与b 的夹角．解 ∵a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，∴a ·b ＝－15，|a |＝3，|b |＝5 2.设a 与b 的夹角为θ，则cosθ＝a ·b |a ||b |＝－153×52＝－22. ∵0≤θ≤π，∴θ＝3π4.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 3.3 复数的几何意义》

复数的几何意义
教学目标：1能够类比实数的几何意义说出复数几何意义；
2会用复数的几何意义解决有关问题
教学重点：复数的几何意义
教学难点：复数的几何意义及模的综合应用
一．小试牛刀
①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上；
②在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；
③在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数；
④在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数
2 设=abi和复平面内的a,b对应，当a,b满足什么条件时，点Z位于：〔1〕实轴上？
〔2〕虚轴上〔原点除外〕？
〔3〕实轴的上方？
〔4〕虚轴的左方？
3求以下复数的模：
11=－5i
22=－34i
33=5－5i
44=1mim∈R
55=4a－3aia＜0
,说明以下各式所表示的几何意义
1 |－12i|
2 |12i|
3 |－1|
4 |2i|
二．数学应用
=m2m-6m2m-2i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围
1=34i,2=－15i,试比拟它们模的大小
例3 设∈C，满足以下条件的点的集合是什么图形？
1 ||=2
2 2＜||＜3
三．课堂反应
12021江苏卷设＝2－i2i为虚数单位，那么复数的模为________．
2 假设复数=m2-m-2m2-3m2i在复平面内对应的点位于虚轴上，那么实数m的取值集合为_______
=2－3i,假设复数满足不等式|－m|=1,那么所对应的点的集合表示的图形是______ _
满足|-1-i|=2,那么|1i|的最大值是________
四．课堂小结
五．作业。

3.3 复数的几何意义学案(苏教版高中数学选修2-2)

3.3 复数的几何意义学案（苏教版高中数学选修2-2）3.3复数的几何意义复数的几何意义学习目标1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴.虚轴.模等概念.3.理解向量加法.减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对a，b一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义1复数与点.向量间的对应关系2复数的模复数zabia，bR，对应的向量为OZ，则向量OZ的模叫做复数zabi 的模或绝对值，记作|z|或|abi|.由模的定义可知|z||abi|a2b2.知识点三复数加.减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗答案如图，设OZ1，OZ2分别与复数abi，cdi对应，且OZ1，OZ2不共线，则OZ1a，b，OZ2c，d，由平面向量的坐标运算，得OZ1OZ2ac，bd，所以OZ1OZ2与复数acbdi对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量答案z1z2可以看作z1z2因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量如图图中OZ1对应复数z1，OZ2对应复数z2，则Z2Z1对应复数z1z2.梳理1复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数z1z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数2设z1abi，z2cdia，b，c，dR，则|z1z2|ac2bd2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上3在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数4复数的模一定是正实数类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数zx2x6x22x15i对应的点Z在1第三象限；2直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数1当实数x满足x2x60，x22x150，即当3x0，x22x150，即当2x0，m23m280，解得m5，7m4.即7m3.故当7m3时，复数z的对应点位于第四象限2由题意，知m28m150，m23m280，由得m7或m4.因为m7不适合不等式，m4适合不等式，所以m4.故当m4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上类型二复数模及其几何意义的应用例2已知复数z13i及z21232i.1求|z1|及|z2|的值；2设zC，满足|z2||z||z1|的点z的集合是什么图形解1|z1||3i|32122，|z2|1232i1223221.2由1知1|z|2，因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示反思与感悟1在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小2复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离跟踪训练2设z为复数，且|z||z1|1，求|z1|的值考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解设zabia，bRz1a1bi，且|z||z1|1，a2b21，a12b21，即a2b21，a12b21，即a2b21，a2b22a0，解得a12，b234，|z1||abi1|a12b21212343.类型三复数加.减法的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，32i，24i.求1AO表示的复数；2CA表示的复数；3OB表示的复数解因为A，C对应的复数分别为32i，24i，由复数的几何意义，知OA与OC表示的复数分别为32i，24i.1因为AOOA，所以AO表示的复数为32i.2因为CAOAOC，所以CA表示的复数为32i24i52i.3OBOAOC，所以OB表示的复数为32i24i16i.反思与感悟1常用技巧形转化为数利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形若|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为矩形若|z1||z2|，则四边形OACB为菱形若|z1||z2|且|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练31已知复平面内的平面向量OA，AB表示的复数分别是2i,32i，则|OB|________.2若z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________答案1102，1解析1OBOAAB，OB表示的复数为2i32i13i，|OB|123210.2z2z11a1i，由题意知a10，即a|xyi||y2i|解析由34ixyi，x3，y4.则|15i|26，|xyi||34i|5，|y2i||42i|25，|15i||xyi||y2i|.4设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于第________象限答案四解析z1z257i，z1z2在复平面内对应的点为5，7，其位于第四象限5设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是32i和24i，则点C对应的复数是__________答案52i解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为52，1，设点C坐标为x，y，则x5，y2，故点C对应的复数为52i.1复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决即数形结合法，增加了解决复数问题的途径1复数zabia，bR 的对应点的坐标为a，b，而不是a，bi2复数zabia，bR的对应向量OZ是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个2复数的模1复数zabia，bR的模|z|a2b2.2从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离。

苏教版选修2233复数的几何意义word学案精品教案.doc

第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义编写人：编:004学习目标1.理解复数与从原点出发的向量的对应关系，掌握复数的向量表示，复数模的概念及求法，复数模的几何意义.2.了解复数加减法运算的几何意义。

3.通过数形结合研究复数.学习过程：一、预习：1、思考：实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示，那么复数能否也能用点来表示呢？2、复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a. b^R)与有序实数对｛a, b)是对应关系•这是因为对于任何一个复数5bi(ci、由夏数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(。

，”惟一确定，如z=3+2,可以由有序实数对 ( ) 确定,又如z=~2+i可以由有序实数对( )来确定:又因为有序实数对(s人)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3, 2)它与平面直角坐标系中的点A,横坐标为3,纵坐标为2,建立了一一对应的关系.由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是s纵坐标是饥复数z=a+bi(a. b^R)可用点Z(o, 3)表示，这个建立了直角坐标系•来表示复数的平面叫做,也叫高斯平面，x轴叫做, y轴叫做.实轴上的点都表示.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0, 0),它所确定的复数是z=0+0/=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示.在复平面内的原点(0, 0)表示实数0，实轴上的点(2, 0)表示实数,虚轴上的点(0, 一1)表示纯虚数—，虚轴上的点(0, 5)表示纯虚数.非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(一2, 3)表示的复数是, z=—5 —3，对应的点( )在第三象限等等.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种儿何意义.也就是岌数的另一种表示方法，即儿何表示方法.3、复数的模:复数Z二a+bi,当b=0时z€R |Z| = |a|即a在实数意义上的绝对值,复数模可看作的距离.I z | = |a+bi | = yja2 +Z?24、复数加法的几何意义：为设复数z、=a+bi,z亓检di,在复平面上所对应的向量为花、止，即亥、匝的坐标形式为囱二3,力)，勿二(c,纨以花、宓^ —*为邻边作平行四边形OZK则对应的向量是0Z ,/. 0Z - 0Z, + (?Z9 = (z?, /?) + (c, l^d) = (a+c) + (/H^ i1 匕4.复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a—c) + (b—d)i,所以z—ZE 勿+NLZ,由复数加法几何意义，以元为一条对角线，花为一条边画平行四边形, 那么这个平行四边形的另一边滋所表示的向量宓就与复数Z-Z.的差(a—6 + (b—ct)i 对应•由于宓=本，所以，两个复数的差z—勿与连接这两个向量终点并指的被减数的向量对应.练习:1、在复平面内，分别用点和|何量表示下列复数：4, 2+i,-i,-l+3i,3-2i.2、已知复数zF3+4i, Z2=-l+5i,试比较它们模的大小。

(教师用书)高中数学 3.3 复数的几何意义同步备课课件苏教版选修2-2

设点 D 对应复数为 x＋yi(x，y∈
∵复数 i，1，4＋2i 的对应点分别为 A，B，C， ∴A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)，D(x，y)．设▱ABCD 的对角线的交点为 E，则 E 为 AC 与 BD 的中点．
x＋1＝4＋0， x＝3， ∴ ∴ y＋0＝2＋1， y＝3.
故 D 点对应的复数为 3＋3i.
法二由复数的向量表示知： → ＝(0，1)，OB → ＝(1，0)，OC → ＝(4，2)， OA → ＝BC → ＝OC → －OB → ＝(3，2)，在▱ABCD 中，AD → ＝OA → ＋AD → ＝(3，3)， ∴OD 因此点 D 对应的复数为 3＋3i.
课标解读
1.了解复数的几何意义，并能简单应用(重点)． 2．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系(易错点)． 3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(重点、难点).
复数的几何意义
【问题导思】 → 三者复数 z＝a＋bi、复平面内的点 Z(a，b)、向量OZ 有何关系？【提示】复数 z＝a＋bi，可以用复平面内的点 Z(a，
【自主解答】
(1)由复数模的定义： 1 3 |z1|＝| 3－i|＝2，|z2|＝|－＋ i|＝1. 2 2 ∴|z1|＞|z2|. (2)设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则 1≤|z|≤2. ∴1≤x2＋y2≤4.
邻边画平行四边形 OZ1ZZ2. 为______
→ 与复数 ________ z1＋z2 相对应；向量 Z→ 则向量 OZ 2Z1 与复数
z1－z2 相对应． __________
(2)|z1－z2|＝____________________，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．

苏教版高中数学选修复数的几何意义张PPT课件

一一对应
uuur 一一对应
平面向量 OZ
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
o
x
复数的模的几何意义
对应平面向量
uuur OZ
uuur 的模| OZ
|，即复数
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的
距离。
| z | = a2 b2
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
| z || z | a2 b2
z1+z2
B
三、复数加减法的几何意义的运用
练习:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|= 2, 求|z2-z1|
2
已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
练习:已知复数m=2－3i,若复数 z满足不等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?
新课讲解 1.复数加法运算的几何意义?
符合向量加法的平行四边形
法则.
Z1+ Z2=OZ1 +OZ2 = OZ
y
Z(a+c,b+d)
Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
x
2.复数减法运算的几何意义?
符合向量减法的三角形
法则.
复数z1－z2
y
Z2(c,d)

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 3.3 复数的几何意义》6

3.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标: 1理解数系的扩充，明白复数及其相关概念。

2理解复数的几何意义：一、复习准备：1 提问：N、Z、Q、R分别代表什么？2．判断下列方程在实数集中的解的个数（1）2340x x--=（2）2450x x++=（3）2210x x++=（4）210x+=二、学习过程：1 复数的概念：①定义复数：形如___________的数叫做复数，通常记为z a bi=+（复数的代数形式），其中i叫虚数单位，_____-叫实部，______叫虚部，数集{}|,C a bi a b R=+∈叫做复数集。

思考：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i+-+--③定义虚数：_______叫做虚数，________叫做纯虚数规定：a bi c di a c+=+⇔=且b=d，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

②讨论：复数的代数形式中规定,a b R∈，,a b取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？例1实数m取什么值时，复数immz)1(1-++=是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数例2已知2-11i=---i求实数,的值练习：1如果（）-1i=2321i,求,的值。

取什么值时，复数是1实数 2纯虚数 3零？2(34)z m m=--2复平面的定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做_____轴叫做____。

实轴上的点表示_____,除了原点外，虚轴上的点都表示______ 3复数的几何意义： 1 24复数的模例3在复平面内，若复数i m m m m z )23()2(22+-+--=对应点1在虚轴上（2）在第二象限（3）在=上，分别求实数m 的取值范围例4求复数i z i z 221,4321--=+=的模，并比较大小练习：1()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限，判断=i a a a a )22()42(22+--+-所对应的点在第几象限3已知复数i m m m m z )2()6(22-++-+=在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m 允许的取值范围。

高中数学苏教版必修第二册第十二章《复数的几何意义》示范公开课教学课件

你能从几何角度解释的模的意义吗？
两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：，，，，．
解：如图，点，，，，分别表示复数，，，，．向量，，，，分别表示复数，，，，．
解：因为，．所以．
复数的模：．
已知复数，试比较它们模的大小．
在复平面内，表示下列复数的点的集合是什么图形？（1）；（2）．
如图所示，平行四边形的顶点，，分别对应的复数为求、、表示的复数．
解：∵，对应的复数分别为，由复数的几何意义，知与表示的复数分别为．∵，∴表示的复数为．∵，∴表示的复数为．∵，∴表示的复ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为．
结构框图
教材第123-124页练习第1，3，4题．
为了方便，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一复数．
实数的绝对值和向量的模的几何意义分别是什么？通过类比，你能说出复数的模的几何意义吗？
数轴上表示数的点到原点的距离，就叫做这个数的绝对值．而向量的大小称为向量的长度，也称为向量的模．类比可得，复数的模：．
从几何上来看复数（，）的模表示点到原点的距离．
虽然两个复数一般不能比较大小，但是它们的模是非负实数，可以比较大小．
，互为共轭复数．
，有怎样的关系？
解：，．所以．
关于实轴对称．
在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；互为共轭复数的两个复数的模相等；任意一个实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然．
我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量有一一对应的关系.而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
设向量，分别与复数对应，且，不共线，以，为两条邻边画▱，则对角线所表示的向量就是与复数对应的向量．这就是复数加法的几何意义．

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 3.3 复数的几何意义》7

复数的几何意义
教学目标
1．了解复数的几何意义．
2．会用复平面内的点和向量来表示复数． 3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
教学重点复数的几何意义．
教学难点
复数与向量的关系,复数模的几何意义．
教学过程
活动一复习引入
问题1 在数轴上描出以下实数所对应的点： 2,4,1,3--．
问题2 请作出与复数12z i =+所对应的点．活动二知识生成
1．复平面
问题 ①是不是任何一个复数都可以和复平面内的一个点相对应？
②是不是复平面内的任何一个点都可以和一个复数相对应？
2．复数的三种表示形式
3．复数的模
例1 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数,并比较这些复数的模的大小．
5,5,34,43,43i i i i -+-+-
活动三复数的模的几何意义
例2 1满足2z =的复数z 对应的点在复平面上的轨迹是什么图形？
2满足23z <<的复数z 对应的点在复平面上的轨迹是什么图形？
问题复数
12,z a bi z =+在
复平面上分别与点12,Z Z 相对应．
1．写出与复数12z z +相对应的点Z 的坐标．
2．已知复数12,z a bi z c di =+=+相对应的点12,Z Z ，作出12z z +对应的点Z ．
变式满足下列条件的复数对应的点的轨迹是什么？
活动四课堂小结
活动五课后作业
1．教材第123页练习4,5,6．
Z 2
Z 1
(1)15;
(2)(12)3z z i -=-+=。

复数的几何意义说课稿教案教学设计

复数的几何意义整体设计教材分析教材通过一个思考问题引入，运用类比的方法，即类比实数的几何意义和向量的几何意义得出了复数的几何意义，也就是复数的几何表示和向量表示，并借助于向量的模定义了复数的模．本节课是学习复数概念的继续，是从“形”的角度研究复数特征的，也是数学中数形结合重要思想的又一体现．复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，所以理解掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标能准确用点和向量表示一个复数，理解复平面及其相关的概念以及复平面内的点、向量与复数对应的特点．掌握复数的代数形式表示、点表示和向量表示以及它们之间的联系．2．过程与方法目标通过类比实数可用数轴上的点来表示，认识复数用点和向量表示的合理性，体会数形结合思想在理解复数中的作用．3．情感、态度和价值观通过创设问题情景，让学生体验数学活动中充满了探索性和创造性，感悟数学的奇妙及魅力，并通过交流培养学生敢于发表自己的观点，勇于探索的精神．重点难点教学重点：复数与复平面内点的对应关系．教学难点：复数的几何意义．教学过程引入新课提出问题：复数a＋bi与复数b＋ai相等吗？复数z＝a＋bi(a，b∈R)由什么唯一确定？活动设计：学生举例验证，师生讨论交流．活动结果：不一定相等．只有a＝b时，才有a＋bi＝b＋ai，如3＋2i≠2＋3i，1－i≠－1＋i等．复数a＋bi由实部a、虚部b确定，即由有序数对(a，b)唯一确定．设计意图回忆旧知，吸引学生的注意力；让学生进一步认识复数代数形式的特征，揭示确定一个复数的条件，为探究新知作铺垫．提出问题：在初中我们学习过实数，知道所有实数与数轴上的所有点是一一对应的，因此实数可用数轴上的点来表示，那么复数是不是也能用点来表示？用什么样的点来表示才准确呢？活动设计：学生猜测，讨论，形成一些共识．活动成果：复数z＝a＋bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系．这是因为对于任何一个复数z＝a＋bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，由一个有序实数对(a，b)唯一确定，如复数z＝3＋2i由有序实数对(3,2)确定，复数z＝－2＋i由有序实数对(－2,1)来确定．因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3,2)，它与平面直角坐标系中横坐标为3，纵坐标为2的点A建立了一一对应的关系，由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．设计意图以学生熟悉的知识为载体，采用类比的方法，引导学生对比、思考，调动学生的积极性和主动性，活跃课堂气氛，拓展思维宽度，从而使新课更加顺理成章地展开．探究新知提出问题：在坐标平面内描出复数1＋4i，3－2i，－2＋i，6，i，－1＋i，5i，0，－i 分别对应的点，观察所描出的点，从中可以得出什么结论？活动设计：让一名学生在黑板上描点演示，教师点评引入复平面，实轴，虚轴概念．活动成果：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，在复平面内都有唯一的点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，也都有唯一的复数和它对应．由此可知，复数集C 和复平面内所有点构成的集合是一一对应关系，即复数z ＝a ＋bi 复平面内的点Z(a ，b)这是复数的一种几何意义，也是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．设计意图通过具体问题情境，激发学生的思维，让学生体验任意一个复数都可以用复平面内唯一的点来表示的合理性，促使认知结构的正向迁移，自然引出复数的几何意义．提出问题：(1)我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的知识还有哪些？(2)复数能用平面向量来表示吗？活动设计：学生思考，联想平面向量的几何意义，讨论用向量表示复数的合理性，教师总结．活动成果：在平面直角坐标系中，可以将平面向量的起点移至坐标原点O ，所以平面内任意一向量OA →，都与坐标平面上的点A 一一对应，且向量OA →的坐标就是其终点A 的坐标．由于复数与复平面内的点一一对应，所以复数也可以用向量表示．如图，设复平面内的点Z 表示复数z ＝a ＋bi ，连接OZ ，显然向量OZ →由点Z 唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ →唯一确定．因此，复数集C 与复平面内的向量所构成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z ＝a ＋bi 平面向量O Z →这是复数的另一种几何意义，即复数的向量表示法．所以，复数z ＝a ＋bi 可以用点Z(a ，b)(复数的几何形式)表示，也可以用向量OZ →(复数的向量形式)表示．规定：相等的向量表示同一个复数．三者的关系如下：设计意图通过类比、联想，发现复平面内的点、向量与复数三者之间的联系，探究出复数的向量表示，同时，让学生感知复数与平面解析几何的关系，进而激发学习复数的热情．提出问题：任何实数都有绝对值，任何向量都有模(绝对值)，类比它们，可以给出复数z ＝a ＋bi 的模的概念吗？它有什么几何意义？活动设计：请学生讨论后发言，教师点评，并引入复数的模的概念，导出复数模的公式．活动结果：由于复数可以用向量表示，因此可以类比向量模的定义，给出复数模的定义．即向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi 的模(或绝对值)，记作|z|或|a ＋bi|.如果b ＝0，那么z ＝a ＋bi 就是实数a ，它的模等于|a|(即实数a 的绝对值)．由模的定义可知，复数的模表示复平面上复数对应的点Z 到原点的距离，因此|z|＝|a ＋bi|＝a 2＋b 2.设计意图运用类比思想，与向量模的定义类比，引出复数模的定义，进而引出复数模的公式，复数模的几何意义．理解新知提出问题：判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上．( )③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数．()④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．()活动设计：小组讨论，小组代表发言，相互交流，达成共识．活动成果：根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y 轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以④是假命题；对于非纯虚数数z＝a＋bi，由于a≠0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上，但当b＝0时，z所对应的点在实轴上，故⑤是假命题．设计意图通过具体问题的是非判断，让学生明确实轴和虚轴的特点，理解复数与复平面内点的对应关系．巩固练习设z＝a＋bi和复平面内的点Z(a，b)对应，(1)若点Z位于实轴上，则a、b应满足______；(2)若点Z位于虚轴上(原点除外)，则a、b应满足______；(3)若点Z位于实轴的上方，则a、b应满足__________；(4)若点Z位于虚轴的左方，则a、b应满足__________．参考答案：(1)a∈R，b＝0；(2)a＝0，b≠0；(3)a∈R，b>0；(4)a<0，b∈R.提出问题：(1)复数的模能否比较大小？(2)满足|z|＝5(z∈R)的z值有几个？(3)满足|z|＝5(z∈C)的z值有几个？这些复数z对应的点在复平面上构成怎样的图形？活动设计：教师提出问题，学生思考，小组交流讨论，教师点拨．学情预测：对问题(1)、(2)容易回答，问题(3)可能考虑不全，教师引导完善．由于复数的模是一非负实数，因此两个复数的模可以比较大小，如|1＋i|＝2，|1－2i|＝5，由于5>2，所以|1－2i|>|1＋i|.若z∈R，根据实数绝对值的意义知，满足|z|＝5的z 值有2个，即z＝±5；若z∈C，由复数模的几何意义知，|z|＝5表示复平面内复数z对应的点Z到原点O的距离等于5，显然满足|z|＝5(z∈C)的z值有无数个，根据圆的定义可知，这些复数z 对应的点Z 形成了一个以原点为圆心，以5为半径的圆．运用新知例1已知复数z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m 的取值范围．思路分析：先确定复数z 对应点的坐标，然后依据第二象限内点的坐标的符号，列出关于m 的不等式组，即可求出实数m 的取值范围．解：复数z 对应点的坐标是(m 2＋m －6，m 2＋m －2)，若复数z 对应的点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6<0，m 2＋m －2>0，解得－3<m<－2或1<m<2. 所以实数m 的取值范围是(－3，－2)∪(1,2)．点评：本题主要考查复数的几何意义，即复数与复平面内的点一一对应．若复数对应的点在第二象限，则点的横坐标小于零，且纵坐标大于零．解决此类问题的关键是先确定复数对应点的坐标，然后根据点所满足的条件列出相应的不等式或等式，求出相应参数的值或取值范围．设计意图训练学生对复数几何意义的理解，渗透数形结合思想，培养学生严谨的思维．变式练习：(1)当23<m<1时，复数z ＝(m －1)＋(3m －2)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)证明复数z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i 对应的点不可能位于第四象限．提示：(1)若23<m<1，则－13<m －1<0,0<3m －2<1，所以复数z ＝(m －1)＋(3m －2)i 在复平面上对应的点位于第二象限，故选B.(2)反证法：假设复数对应的点在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6>0，m 2＋m －2<0，此不等式组无解，所以假设不成立，因此复数对应的点不可能在第四象限．例2若z ＝a ＋3i(a ∈R )，且|z|＝2，则a ＝________.思路分析：利用复数模的定义，建立关于实数a 的方程，然后求解．解：因为z ＝a ＋3i(a ∈R )，且|z|＝2，则a 2＋3＝2，解得a ＝±1.点评：有关复数模的问题，基本解法是根据模的公式求解．本题也可以利用复数的几何意义求解．对于本题，即求圆x 2＋y 2＝4与直线y ＝3交点的横坐标．变式训练：已知0<a<2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z|的取值范围是( )A ．(1,5)B ．(1,3)C ．(1，5)D ．(1，3)答案：C变练演编1．已知复数z ＝(m 2－m －6)＋(m ＋2)i ，(1)添加条件________，可以求实数m 的值．(2)添加条件________，可以求数m 的取值范围．解析：本题属于开放式题，添加条件不唯一．(1)可以添加条件“所对应的点在直线y ＝x 上”，由于复数z 对应的点的坐标是(m 2－m －6，m ＋2)，则m 2－m －6＝m ＋2，即m 2－2m －8＝0，解得m ＝4或m ＝－2.也可以添加条件：对应的点在虚轴上，此时，应有m 2－m －6＝0，解得m ＝3或m ＝－2.还可以添加条件：对应的点在实轴上，对应的点位于抛物线y 2＝x 上等等．(2)可以添加条件：对应点位于第一象限，此时⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6>0，m ＋2>0，解得m>3. 还可以添加条件：对应点位于虚轴的右侧等．2．已知复数z ＝cosθ＋isinθ，θ∈R ，你能求解哪些问题？写出两个，并尝试解决．提示：可以解决如下问题：(1)若复数对应的点在实轴上，则θ＝______；(2)若复数对应的点在直线y ＝3x 上，则θ＝______；(3)复数z 的模|z|＝__________；(4)在复平面上复数z 对应的点Z 构成什么图形．等等．解析：(1)由sinθ＝0，得θ＝kπ(k ∈Z )；(2)由sinθ＝3cosθ，得tanθ＝3，所以θ＝kπ＋π3(k ∈Z )； (3)|z|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1；(4)由|z|＝1知，复数z对应的点在复平面上的图形是以原点为圆心的单位圆．达标检测1．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1C．a＝0 D．a＝2或a＝02．复数z满足条件|z|＝2，那么z对应的点的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线3．若复数z＝cosθ－sinθi所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．4．已知z＝3＋ai(a∈R)，则|z|的取值范围是__________．答案或提示：1.D 2.A 3.一 4.[3，＋∞)课堂小结可以先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律等．1．内容知识：2．解题规律方法：3．思想方法：。

高中数学新苏教版精品教案《3.3 复数的几何意义》

复数的几何意义【教学目标】掌握复平面、复数的模的定义，理解复数的两种几何意义，会求复数的模并掌握复数模的几何意义。

【教学重点】复平面与复数的模的定义、复数的两种几何意义。

【教学难点】复数的两种几何意义、复数的模及其几何意义的应用。

【教学过程】一、情境导入1 实数与________________________对应；2 有序数对),(y x 与________________________对应。

类比上面两种情况，则复数),(R b a bi a z ∈+=是否可以用点来表示呢？二、自主学习，探究新知探究1：怎样用平面内的点来表示复数呢？探究2：复数能用平面向量来表示吗？探究3：任何实数都有绝对值，任何向量都有模（绝对值），类比它们，可以给出复数),(R b a bi a z ∈+=的模的概念吗？它又有什么几何意义呢？探究4：既然复数可以用复平面内向量来表示，则复数的加法有什么几何意义呢？能用作图的方法得到吗？探究5：类比向量的减法，你能发现复数减法的几何意义吗？两个复数的差的模又有什么几何意义？三、例题讲解例1．在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：i i 31,,42,4+--+，i i 23,23+-。

例2．已知复数i z 431+=，i z 512+-=，试比较它们模的大小？例3设C Z ∈，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ 12=Z 232<<Z例4．已知复数z 对应点A ，说明下列各式所表示的几何意义。

1 |)21(|i z ++2 |2|i z +四、随堂练习：1．已知i z 561+=，i z 432+-=，则||21z z +=________。

2．设C z z ∈21,，1||||21==z z 且2||12=+z z ，则||12z z -=_____。

3．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为。

4已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，则复数z =5．设复数满足i i z 46)32(+=-⋅（其中i 为虚数单位），则的模为。

苏教版选修1《复数的几何意义》教案及教学反思

苏教版选修1《复数的几何意义》教案及教学反思教学背景复数是高中数学中的重要内容，难度较大。

在教学过程中，为了让学生更好地理解复数，需要加强对其几何意义的讲解。

教学目标1.熟练掌握复数的定义、四则运算规则和共轭复数的性质；2.理解复数在平面直角坐标系上的几何表示方法以及它的几何意义；3.熟练掌握复数的模和论。

教学内容复数的定义1.什么是复数？复数是由实数部分和虚数部分组成的数，形如 a+bi （a、b 为实数）2.复数的四则运算（1）加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（3）乘法：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2)+((bc-ad)/(c2+d2))i3.共轭复数的性质（1）一个复数与它的共轭复数的乘积是实数。

（2）如果一个复数的虚部为非零实数，那么这个复数与它的共轭复数的积是负的实数。

复数的几何意义1.复数在平面直角坐标系上的几何表示方法对于复平面上任何一个点 P(x,y)，都可以用复数表示为 P=a+bi，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分。

2.复数的几何意义在复平面上，复数 a+bi 表示点(x,y)，其实部 a表示点在 x 轴上的坐标，虚部 b 表示点在 y 轴上的坐标。

复数 a+bi 表示的点与原点之间的距离称为该复数的模，记作 |a+bi|，也称为绝对值，模的平方为复数的模的平方，记作 |a+bi|2=a2+b^2。

复数 a+bi 的辐角称为该复数的论，记作Arg(a+bi)，且 -π<Arg(a+bi)≤π。

复数的模和论1.复数的模复数的模是复数与原点之间的距离，记作 |z|。

对于 z=a+bi 来说，它的模等于模长，即|z|=\sqrt{a2+b2}。

复数的模可以用勾股定理来计算，即模长 = （实数部分的平方 + 虚数部分的平方）的平方根。

高中数学3.3复数的几何意义教案(苏教版选修2-2)

在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i
非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
5.复数的加(减)法(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).
4.复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
扬州中学西区高二数学教案（）
主备人

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 3.3 复数的几何意义》

§3．3复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与平面坐标系内的点及从原点出发的向量的对应关系；理解复数的模的定义，能利用定义求复数的模；过程与方法：了解复数加减法运算的几何意义；能类比点与向量知识理解模的相关内容；情感、态度与价值观：数与形的关系，看图得结论，不是论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用．教学重点：复数与的几何表示，直角坐标系内的点与从原点出发的向量．教学难点：复数加减法运算的几何意义及模的意义．教学过程：一、问题导引实数与数轴上的点是一一对应的，即实数可以用数轴上的点来表示；类比实数的表示，复数能否也用平面内的点来表示？二、数学建构一复数的点表示1、复数的几何表示：平面内的点指导学生阅读课本然后交流对“复平面〞、“实轴〞、“虚轴〞相关概念的理解．复平面、实轴、虚轴：复数=abia、b∈R与有序实数对a，b是一一对应关系这是因为对于任何一个复数=abia、b∈R，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对a，b惟一确定，如=32i可以由有序实数对3，2确定，又如=－2i可以由有序实数对－2，1来确定；又因为有序实数对a，b与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对3，2它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数=abia、b∈R可用点Za，b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0，0，它所确定的复数是=00i=0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点0，0表示实数0，实轴上的点2，0表示实数2，虚轴上的点0，－1表示纯虚数－i，虚轴上的点0，5表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点－2，3表示的复数是－23i，=－5－3i对应的点－5，－3在第三象限等等．复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．2、完成概念辨析：以下说法错误的选项是：〔1〕在复平面内，任意一点都对应于唯一复数；〔2〕在复平面内，假设两点关于实轴对称，那么这两点对应的复数共轭；〔3〕在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；〔4〕在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．此题组的目的，加强对复平面、实轴、虚轴的概念的理解，注意虚轴上的点未必都是纯虚数．3、复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．三、数学建构二复数的向量表示回忆：在直角坐标系内，点Z与向量是一一对应，那么复数与向量的关系如何？１．复平面内的点平面向量2．复数平面向量3．向量的模，即为复数的模，类比向量模的定义，给出练一练：求以下复数对应的点及它的模：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕思考：〔1〕，与之间有什么关系？〔2〕满足的的值有多少个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？〔3〕那么满足的对应的点在复平面上构成怎样的图形？〔4〕那么满足的对应的点在复平面上构成怎样的图形？四、数学应用：复数加减法的几何意义1．复数的加减法abi±cdi=a±cb±di．与多项式加减法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚局部别相加减．2．复数加法的几何意义：设复数1=abi，2=cdi，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=a，b，=c，d以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，那么对角线OZ对应的向量是，∴= =a，bc，d=ac，bd＝acbdi3．复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设=a－cb－di，所以－1=2，21=，由复数加法几何意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量就与复数－1的差a－cb－di对应由于，所以，两个复数的差－1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．探究：表示的几何意义是什么？练一练：1．复数对应点A，说明以下各式所表示的几何意义：〔1〕〔2〕〔3〕方程表示〔4〕方程表示〔5〕表示2．复数，假设复数满足等式，那么复数所对应的点的集合是什么图形？继续研究：此题中的最大值与最小值如何求？此类问题与所学的知识中哪局部相类似？五、课堂回忆知识层面方法层面学生层面。

【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第3章 3.3 复数的几何意义 (含答案)

3．3复数的几何意义[对应学生用书P43]复平面的定义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．问题1：在复平面内作出复数z 所对应的点Z . 提示：如图所示．问题2：向量OZ u u u r和点Z 有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z ＝a ＋b i 与OZ u u u r有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ u u u r ，则OZ u u u r的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.复数加减法的几何意义如图1OZ u u u r 、2OZ u u u u r分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ u u u r 、2OZ u u u u r 及1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 、1OZ u u u r －2OZ u u u u r的坐标．提示：1OZ u u u r ＝(a ，b )，2OZ u u u u r＝(c ，d )，1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ u u u r －2OZ u u u u r＝(a －c ，b －d )．问题2：向量1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 及1OZ u u u r －2OZ u u u u r所对应的复数分别是什么？提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ u u u r 和2OZ u u u u r不共线．如图，以1OZ u u u r ，2OZ u u u u r为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ所表示的向量OZ u u u r OZ u u u r就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ u u u r，2OZ u u u u r不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ u u u r －2OZ u u u u r (等于21Z Z u u u u r)对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[对应学生用书P44]复数的几何意义[例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限；当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①， m ＝4适合不等式①，所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．复数模及其几何意义的应用[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________．解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i (－1＋i )(－1－i )＝－1－i2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________．解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ， ∴|z －2|＝1＋a 2<2，即1＋a 2<4，∴a 2<3，即－3<a < 3. 答案：(－3，3)5．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？解：法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ u u u r的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆．法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．[例3] 已知▱OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) AO u u u r 表示的复数；(2) CA u u r表示的复数；(3)点B 对应的复数．[思路点拨] 点O ，A ，C 对应的复数――――――→向量的坐标表示AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r 对应的复数[精解详析] (1)AO u u u r ＝－OA u u r ，故AO u u u r表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)CA u u r ＝OA u u r －OC u u u r ，故CA u u r表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB u u u r ＝OA u u r ＋AB u u u r ＝OA u u r ＋OC u u ur ，故OB u u u r 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB u u u r对应的复数z ，z 在平面内对应的点在第几象限？解：z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ， ∵z 的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A 、B 、C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i.以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．解：如图，由复数加减法的几何意义， AD u u u r ＝AB u u u r ＋AC u u ur ，即z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)．所以z 4＝z 2＋z 3－z 1＝7＋3i.|AD |＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ u u u r是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ u u u r相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．[对应学生用书P45]一、填空题1．若OA u u r 、OB u u u r 对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB u u u r|＝________.解析：∵OA u u r ＝(7,1)，OB u u u r＝(3，－2)， ∴AB u u u r ＝OB u uu r －OA u u r ＝(－4，－3)，∴|AB u u u r|＝5.答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限．解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2,1)，位于第一象限．答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________. 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________. 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________.解析：11＋i ＋i ＝1－i(1＋i )·(1－i )＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32. 7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB u u u r ，BC u u ur ，AC u u u r 对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解：(1)AB u u u r对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i. BC u u u r对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC u u u r对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB u u u r|＝|1＋i|＝2，|BC u u u r |＝|－3＋i|＝10，|AC u u u r |＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB u u u r|2＋|AC u u u r |2＝|BC u u u r |2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB u uu r |·|AC u u u r |＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z－(－2＋2i)|＝1中，z的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.。