高考数学 二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值

二次函数在闭区间[]p,q 上的最值是函数中最常见、最基本、最重要的一类问题.它不完全由顶点的纵坐标决定，需要根据抛物线的对称轴与区间[]p,q 的位置关系采用分类讨论的方式解决。首先是弄清对称轴与区间的相互位置、进而利用图象，结合单调性求解。

若a>0时，观察二次函数的图像可以发现，当图像上的点离对称轴较近时，函数值较小；当图像上的点离对称轴较远时，函数值较大。

若a<0时，所得结论与上述结论相反。

结论：当0a >，f (x)在区间[]p,q 上的最大值为max f ，最小值为min f ，令区间中点01x (p q)2

=+。 （1）若b p 2a

-

<，则 min max f (p),f (q)f f ==； （2）若0b p x 2a ≤-≤，min max b f (),f (q)2f f a

=-=； （3）若0b x q 2a ≤-≤，则 min max b f (),f (p)2f f a

=-=； （4）若b q 2a

->，则 max min f (p),f (q)f f ==. 注意：1.若只要研究二次函数在区间[]p,q 上的最小值min f ， 则只需要讨论三种情形：

（1）若b p 2a

-

<，则 min f (p)f =；（在离对称轴近的端点处取得） （2）若b p q 2a ≤-≤，则min b f ()2f a

=-；（在顶点处取得） （3）若b q 2a ->，则 min f (q)f =.（在离对称轴近的端点处取得） 2.若只要研究二次函数在区间[]p,q 上的最大值max f ，则只需要讨论二种情形：（其中区间中点01

x (p q)2

=+） （1）若0b x 2a

-

≤，max f (q)f =；（在离对称轴远的端点处取得） （2）若0b

-，则 max f (p)f =；（在离对称轴远的端点处取得） 同理，可以得到0a <时，f (x)在区间[]p,q 上的最值情况. 一. “轴定区间变”型

例1. 已知函数2()22f x x x =-+，若[]2x t t ∈+，时，求函数f （x ）的最值。

分析：由于对称轴是确定的，故只要根据对称轴x=1与区间[t ，t+2]的三种位置关系进行讨论，就容易求出

最值。

解：函数f （x ）图象的对称轴为直线x=1

（1）当21t +<，即1t <-时，22max min ()()22,()(2)22f x f t t t f x f t t t ==-+=+=++

（2）当

2122

t t t ++≤≤+，即2max 10()()22t f x f t t t -≤≤==-+时，，min ()(1)1f x f == （3）当212

t t t ++≤<，即01t <≤，2max min ()(2)22,()(1)1f x f t t t f x f =+=++== （4）当t>1时，22max min ()(2)22,()()22f x f t t t f x f t t t =+=++==-+

设函数最大值记为()g t ，最小值记为()t ϕ，则有2

222(0)()22(0)t t t g t t t t ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，，，2222(1)()1(11)22(1)t t t t t t t t ϕ⎧++<-⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩，，， 注：先利用配方法确定抛物线的顶点坐标，然后对对称轴与区间的位置进行讨论，借助于二次函数的单调

性解题。这是常用的基本方法之一。

二. “轴变区间定”型

例2 已知2f (x)x x 3a a =++-，若[]x 2,2∈-时，f (x)0≥恒成立，求a 的取值范围。

分析：本题的题意就是要求当[]x 2,2∈-时f (x)的最小值非负。

解：设f (x)的最小值为g()a ，∵2

22f (x)x x 3(x )30,24

a a a a a =++-=++--≥恒成立，∴只需g()0a ≥ ⑴当22a -<-，即4a >时，g()f (2)730a a =-=-≥，得73

a ≤，又0a >，故此时a 不存在； ⑵当[]2,22

a -∈-，即44a -≤≤时，2g()34a a a =--，得62a -≤≤， 又44a -≤≤，故42a -≤≤； ⑶当22

a ->，即4a <-时，g()f (2)70a a ==+≥，得7a ≥-，又4a <-，故74a -≤≤-。 综上所述，使f (x)0≥恒成立的a 的取值范围是a [7,2].∈-

三、逆向思维

例3已知二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

上的最大值为3，求实数a 的值。 分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分0a >与0a <两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。

解：（1）令21()32a f a --

=，得12a =-，此时抛物线开口向下，对称轴为2x =-，且32,22⎡⎤-∉-⎢⎥⎣⎦， 故12

- 不合题意； （2）令(2)3f =，得12

a =，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远， 故12

a =符合题意； （3）若3()32f -=，得23

a =-，此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远， 故23

a =-符合题意。 综上，12a =或23

a =-