文科立体几何知识点方法总结高三复习
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（3）用 表示截面 和侧面 所成的锐二面角的大小，求 ．
例1四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
例2如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，
C点到AB1的距离为CE= ，D为AB的中点.
方法二：计算所成二面角为直角。
3.线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
方法二：三垂线定理及其逆定理。
方法三：用向量方法：
若向量 和向量 的数量积为0，则 。
三．夹角问题。
(一)异面直线所成的角：
(1)范围：
(2)求法：
方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
P—ABC所成两部分的体积比．
例4如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且
D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1)求证PQ∥平面CDD1C1；
(2)求证PQ⊥AD；
(3)求线段PQ的长.
余弦定理：
(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)：
(二)线面角
(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO 于O,连结AO，则AO为斜线PA在面 内的射影， (图中 )为直线l与面 所成的角。
(2)范围：
当 时， 或
当 时，
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
(三)二面角及其平面角
(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角 为二面角 —l— 的平面角。
(2)范围：
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间的距离
方法一：转化为线面距离。
如图，m和n为两条异面直线， 且 ，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面 之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：公式法。
如图，AD是异面直线m和n的公垂线段， ，则异面直线m和n之间的距离为：
（1）求证：AB1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.
例3已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥
（Ⅰ）证明 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的大小．
考点6二面角
例6．如图，已知直二面角 ， ， ， ， ， ，直线 和平面 所成的角为 ．（I）证明
（II）求二面角 的大小．
考点7利用空间向量求空间距离和角
例7．如图，已知 是棱长为 的正方体，
点面；
（2）若点 在 上， ，点 在 上， ，垂足为 ，求证： 平面 ；
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面 ，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一：计算
步骤二：判断 与 的关系，可能相等或者互补。
四．距离问题。
1．点面距。
方法一：几何法。
步骤1：过点P作PO 于O，线段PO即为所求。
立体几何知识点整理（文科 ）
一．直线和平面的三种位置关系：
1.线面平行
符号表示：
2.线面相交
符号表示：
3.线在面内
符号表示：
二．平行关系：
1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。
方法二：用面面平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
若 ，则 。
方法四：用向量方法：
若向量 和向量 共线且l、m不重合，则 。
例3．如图，在棱长为2的正方体 中，G是 的中点，求BD到平面 的距离
考点4异面直线所成的角
例4如图，在 中， ，斜边 ． 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且二面角 的直二面角． 是 的中点．
（I）求证：平面 平面 ；
（II）求异面直线 与 所成角的大小．
考点5直线和平面所成的角
例5. 四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面 ．已知 ， ， ， ．
2.线面平行：
方法一：用线线平行实现。
方法二：用面面平行实现。
方法三：用平面法向量实现。
若 为平面 的一个法向量， 且 ,则 。
3.面面平行：
方法一：用线线平行实现。
方法二：用线面平行实现。
三．垂直关系：
1.线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
方法二：用面面垂直实现。
2.面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
高考题典例
考点1点到平面的距离
例1如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
考点2异面直线的距离
例2已知三棱锥 ，底面是边长为 的正三角形，棱 的长为2，且垂直于底面. 分别为 的中点，求CD与SE间的距离.
考点3直线到平面的距离
例1四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
例2如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，
C点到AB1的距离为CE= ，D为AB的中点.
方法二：计算所成二面角为直角。
3.线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
方法二：三垂线定理及其逆定理。
方法三：用向量方法：
若向量 和向量 的数量积为0，则 。
三．夹角问题。
(一)异面直线所成的角：
(1)范围：
(2)求法：
方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
P—ABC所成两部分的体积比．
例4如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且
D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1)求证PQ∥平面CDD1C1；
(2)求证PQ⊥AD；
(3)求线段PQ的长.
余弦定理：
(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)：
(二)线面角
(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO 于O,连结AO，则AO为斜线PA在面 内的射影， (图中 )为直线l与面 所成的角。
(2)范围：
当 时， 或
当 时，
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
(三)二面角及其平面角
(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角 为二面角 —l— 的平面角。
(2)范围：
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间的距离
方法一：转化为线面距离。
如图，m和n为两条异面直线， 且 ，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面 之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：公式法。
如图，AD是异面直线m和n的公垂线段， ，则异面直线m和n之间的距离为：
（1）求证：AB1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.
例3已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥
（Ⅰ）证明 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的大小．
考点6二面角
例6．如图，已知直二面角 ， ， ， ， ， ，直线 和平面 所成的角为 ．（I）证明
（II）求二面角 的大小．
考点7利用空间向量求空间距离和角
例7．如图，已知 是棱长为 的正方体，
点面；
（2）若点 在 上， ，点 在 上， ，垂足为 ，求证： 平面 ；
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面 ，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一：计算
步骤二：判断 与 的关系，可能相等或者互补。
四．距离问题。
1．点面距。
方法一：几何法。
步骤1：过点P作PO 于O，线段PO即为所求。
立体几何知识点整理（文科 ）
一．直线和平面的三种位置关系：
1.线面平行
符号表示：
2.线面相交
符号表示：
3.线在面内
符号表示：
二．平行关系：
1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。
方法二：用面面平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
若 ，则 。
方法四：用向量方法：
若向量 和向量 共线且l、m不重合，则 。
例3．如图，在棱长为2的正方体 中，G是 的中点，求BD到平面 的距离
考点4异面直线所成的角
例4如图，在 中， ，斜边 ． 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且二面角 的直二面角． 是 的中点．
（I）求证：平面 平面 ；
（II）求异面直线 与 所成角的大小．
考点5直线和平面所成的角
例5. 四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面 ．已知 ， ， ， ．
2.线面平行：
方法一：用线线平行实现。
方法二：用面面平行实现。
方法三：用平面法向量实现。
若 为平面 的一个法向量， 且 ,则 。
3.面面平行：
方法一：用线线平行实现。
方法二：用线面平行实现。
三．垂直关系：
1.线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
方法二：用面面垂直实现。
2.面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
高考题典例
考点1点到平面的距离
例1如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
考点2异面直线的距离
例2已知三棱锥 ，底面是边长为 的正三角形，棱 的长为2，且垂直于底面. 分别为 的中点，求CD与SE间的距离.
考点3直线到平面的距离