初三数学总复习圆的阴影部分面积专题复习
九年级数学求阴影部分的面积(有答案)
练习10
• 如图，正方形的边长 为a，分别以两个对角 顶点为圆心、以a为半 径画弧，则图中阴影 部分的面积为
1 a2 a2
2
测试1
1. 如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分 ∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE。
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
练习2
如图，已知平行四边形ABCD，∠A=45°， AD=4，以AD为直径的圆O与BC相切于点
B，则图中阴影部分面积为 4
练习3
• 边长为1的正方形 ABCD绕点A逆时针旋 转30 °到正方形 ABCD，图中阴影部
分的面积为 3
3
B
B' C
D D
A
C'
练习4
• 如图，在四边形 ABCD中，AB=2， CD=1，∠A=60°， ∠B=∠D=90°，则四 边形ABCD所在阴影
回顾与思考
反思自我
驶向胜利 的彼挑战
自我岸
•想一想,你有哪些新的收获?
•说出来,与同学们分享.
回顾与思考
反思自我
驶向胜利 的彼挑战
自我岸
• （1）学会了求不规则图形的面积的一般方法
• （2）深入的理解了化归的数学思想
• (3) 体会到数学的灵活性.多变性,以不变应万 变
结束寄语
下课了!
* 数学使人聪明,数学使 人陶醉,数学的美陶冶着 你,我，他.
8
练习7
• 在等腰直角三角形 ABC中，∠C=90°， 点D为AB的中点，已 知扇形EAD和扇形 FBD的圆心分别为点 A.、点B，且AC=2， 则图中阴影部分的面
积为 2
2
练习8
华师大版初中数学九年级下册类比归纳专题：圆中求阴影部分的面积
第 7 题图
第 8 题图
8．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C，D 是半圆 O 的三等分点，若弦 CD＝2，则图
中阴影部分的面积为_______．【方法 11】
【变式题】图变本质不变
如图，P 是半径为 2 的⊙O 外一点，PB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦 BC∥OA，且
BC＝2，则图中阴影部分的面积为________．【方法 11】
变式题图
第 9 题图
三、利用全等进行等积替换
9．如图，在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点 D 为 AB 的中点，以点
D 为圆心作圆心角为 90°的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为( )
π1
1 π1 π1
A. ＋ B．π－ C. ＋ D. －
22
4 42 42
BB′＝2tan∠B′OB＝2 3，易得△BO′B′的边 BB′上的高为 1，△OO′B 的边 OB 上的高为 3
1
60·π × 22 1
2π
.∴S 阴影＝S△B′OB′－(S 扇形 O′OB－S△OO′B)＝2×2 3×1－(
360
－ ×2× 3)＝2 3－ .
2
3
π 5.
4 6．D 解析：如图，连接 AB，由题意得阴影部分的面积为 2(S 扇形 AOB－S△AOB)＝2( 90π × 22 1
形，DM＝ .则扇形 FDE 的面积是
＝ .∵∠GDH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝
2
360 4
{ ) ∠DMG＝∠DNH，
∠HDN.在△DMG 和△DNH 中， ∠GDM＝∠HDN， DM＝DN，
1
π1
∴△DMG≌△DNH(AAS)，∴S 四边形 DGCH＝S 四边形 DMCN＝2.则阴影部分的面积是4－2.故选
2020年中考复习之圆的阴影部分面积相关计算(含答案解析)
2020 中考复习——之圆的阴影部分面积相关计算 （含答案解析）一．选择题（共 5 小题）1．（2018?抚顺）如图， AB 是⊙O 的直径， CD 是弦，∠ BCD ＝30°， OA ＝2，则阴影部分中阴影部分的面积之和为（ ） ABCD 中， O 为对角线交点，将扇形 AOD 绕点 O 顺时针 旋转一定角度得到扇形 EOF ，则在旋转过程中图中阴影部分的面积（A ．不变B ．由大变小C ．由小变大D ．先由小变大，后由大变小 4．（2017?重庆）如图，矩形 ABCD 的边 AB ＝1，BE 平分∠ ABC ，交 AD 于点 E ，若点 E 是AD 的中点，以点 B 为圆心， BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F ，则图中阴影部分的面积B ． 2．（2016?朝阳）如图，分别以五边形C ．π ABCDE 的顶点为圆心，以D ．2π 1 为半径作五个圆，则图A ．B ． 3πC ．D ．2π3．（ 2017?朝阳）如图，在正方形 A ．ABCD 内接于半径为 2 的 ⊙O ，则图中阴影部分的面积为D ．π﹣26．（ 2019?内江）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB <AD ，∠ A ＝ 150°， CD ＝ 4，以 CD 为 直径的⊙O 交 AD 于点 E ，则图中阴影部分的面积为．7．（ 2015?沈阳）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ ABC ＝2∠D ，连接 OA 、OB 、OC 、 AC ，OB 与 AC 相交于点 E ．1）求∠ OCA 的度数；2）若∠ COB ＝ 3∠AOB ，OC ＝2 ，求图中阴影部分面积（结果保留 π和根号）8．（2019?辽阳）如图， BE 是⊙O 的直径，点 A 和点 D 是⊙O 上的两点，连接 AE ，AD ，C ．C ． π﹣1 是（ ）A ．B ． D ． π+2．填空题（共 1 小题）DE，过点 A 作射线交BE 的延长线于点C，使∠ EAC＝∠ EDA ．8 的⊙O 上，过点 B 作 BD ∥AC ，交 OA 延长线于点 D ．连接 BC ，且∠ BCA ＝∠ OAC ＝ 30°．1）求证： AD 是⊙O 的切线；2）连接 OC ，交⊙O 于点 G ，若AB ＝4，求线段 CE 、CG 与 围成的阴影部分的面积11．（2017?新疆）如图， AC 为⊙O 的直径， B 为⊙ O 上一点，∠ ACB ＝30°，延长 CB 至点D ，使得 CB ＝BD ，过点 D 作 DE ⊥AC ，垂足 E 在 CA 的延长线上，连接 BE ． （ 1）求证： BE 是⊙O 的切线；（2）当 BE ＝3 时，求图中阴影部分的面积．1）求证： AC 是⊙O 的切线；1）求证： BD 是⊙O 的切线；AC ＝CD ，以 AB为直径作 ⊙ O ，分别交边 AC 、BC 于点 E 、点F12．（2013?本溪）如图， ⊙O 是△ACD 的外接圆， AB 是直径，过点 D 作直线 DE ∥AB ，过E ，如果∠ ACD ＝45°， ⊙O 的半径是 4cm13．（2015?丹东）如图， AB 是⊙O 的直径， ＝ ，连接 ED 、BD ，延长 AE 交 BD 的延长线于点 M ，过点 D 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 C ．（ 1）若 OA ＝CD ＝2 ，求阴影部分的面积；14．（2015?福州模拟）如图， AB 为⊙O 的直径，弦 AC ＝ 2，∠ ABC ＝ 30°，∠ ACB 的平分 线交⊙O 于点 D ，求：1）BC 、 AD 的长；点 B 作直线 BE ∥AD ，两直线交于点 并说明理由；1）请判断 DE 与 ⊙ O 的位置关系，π表示）．2）求证： DE ＝DM ．2）图中两阴影部分面积的和．D2020 中考复习——之圆的阴影部分面积相关计算 （含答案解析）参考答案与试题解析．选择题（共 5 小题）1．（2018?抚顺）如图， AB 是⊙O 的直径， CD 是弦，∠ BCD ＝30°， OA ＝2，则阴影部分考点】 M5 ：圆周角定理； MO ：扇形面积的计算．分析】根据圆周角定理可以求得∠ BOD 的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题． 解答】 解：∵∠ BCD ＝30°，∴∠ BOD ＝ 60°，故选： B ． 点评】 本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所 求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．2．（2016?朝阳）如图，分别以五边形 ABCDE 的顶点为圆心，以 1 为半径作五个圆，则图B ．C ．πD ．2π∵ AB 是 ⊙O 的直径，∴阴影部分的面积C ．D ．2π的面积是（ ）CD 是弦， OA ＝ 2， ）考点】L3 ：多边形内角与外角；MO ：扇形面积的计算．【分析】圆心角之和等于n 边形的内角和（n﹣2）×180°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S＝计算即可求出圆形中的空白面积，再用 5 个圆形的面积减去圆形中的空白面积可得阴影部分的面积．【解答】解：n 边形的内角和（．圆形的空白部分的面积之和S＝所以图中阴影部分的面积之和为：故选： C ．【点评】此题考查扇形的面积计算，正确记忆多边形的内角和公式，以及扇形的面积公式是解决本题的关键．3．（2017?朝阳）如图，在正方形ABCD 中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF ，则在旋转过程中图中阴影部分的面积（）A．不变B．由大变小C．由小变大D．先由小变大，后由大变小【考点】LE ：正方形的性质；MO ：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【分析】根据正方形的性质得出OA＝OD＝OC，∠AOD ＝90°，再根据图形判断即可．【解答】解：过O点作CD的垂线交CD于G，过O点作BC的垂线交BC于H，记扇形EOF 于正方形交点分别为M、N，如图，∴ OH＝OG＝CD，∵∠HOG ＝∠ HOM +∠ GOM ＝90°，∠NOM＝∠ NOG+∠ GOM ＝90°，∴∠HOM ＝∠ NOG，∴Rt△OHM ≌Rt△OGN，2∴S 四边形 CMON ＝ S 四边形 CMOG +S △OGN ＝ S 四边形 CMOG +S △OHM ＝ S 四边形 OHCG ＝OHABCD ，∴ S △AOD ＝ S 四边形 CMON ，∴在旋转过程中图中阴影部分的面积不变，点评】 本题考查了扇形的面积、旋转的性质、正方形的性质等知识点，能根据正方形 的性质和旋转的性质进行判断是解此题的关键．4．（2017?重庆）如图，矩形 ABCD 的边 AB ＝1，BE 平分∠ ABC ，交 AD 于点 E ，若点 E是AD 的中点，以点 B 为圆心， BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F ，则图中阴影部分的面积考点】 LB ：矩形的性质； MO ：扇形面积的计算．分析】 利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出 度数，进而利用图中阴影部分的面积＝ S 矩形 ABCD ﹣ S △ABE ﹣ S 扇形EBF ，求出答案． 【解答】 解：∵矩形 ABCD 的边 AB ＝1， BE 平分∠ ABC ，S 正方形正方形S△AOD ＝CD ?AD ＝ S正方形 ABCDC ．D ．AE ， BE 的长以及∠ EBF 的 S 扇形＝S 阴影+S △AOD ＝S ′阴影+S 四边形 CMONABCD ＝S 正方形 ABCD，S正方形 ABCD＝AD 2﹣ S 正方形故选： A ．∴∠ ABE ＝∠ EBF ＝ 45°， AD ∥BC ， ∴∠ AEB ＝∠ CBE ＝45°， ∴ AB ＝ AE ＝1，BE ＝ ， ∵点 E 是 AD 的中点， ∴AE ＝ED ＝1，∴图中阴影部分的面积＝ S 矩形 ABCD ﹣S △ABE ﹣ S 扇形EBF【考点】 MM ：正多边形和圆； MO ：扇形面积的计算．【分析】 根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的 方形的边长，即可求解． 解答】 解：连接 AO ， DO ， ∵ ABCD 是正方形， ∴∠ AOD ＝ 90°，AD ＝＝ 2 ，圆内接正方形的边长为 2 ，所以阴影部分的面积＝ [4π﹣（ 2 ）2]＝（π﹣2）cm 2． 故选： D ．故选： B ．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出 BE 的长以及∠EBC 的度数是解题关键．5．（2017?兰州）如图，正方形 ABCD 内接于半径为 2 的 ⊙O ，则图中阴影部分的面积为B ． π+2C ． π﹣1D ．π﹣2，求出圆内接正A ． π+1识，解题的关键是利用对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的 ，也可 以用扇形的面积减去三角形的面积计算，属于中考常考题型． ．填空题（共 1 小题）【分析】连接 OE ，作 OF ⊥DE ，先求出∠ COE ＝2∠D ＝60°、OF ＝ OD ＝1，DF ＝ODcos∠ODF ＝ ，DE ＝2DF ＝2 ，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得． 【解答】 解：如图，连接 OE ，作 OF ⊥DE 于点 F ，∴∠ D ＝30°，则∠ COE ＝ 2∠D ＝60°， ∵CD ＝4，点评】 本题考查正多边形与圆、正方形的性质、圆的面积公式、扇形的面积公式等知【考点】 L5 ：平行四边形的性质； MO ：扇形面积的计算．6．（ 2019?内江）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB < AD ，∠ A ＝ 150°， CD ＝ 4，以 CD 为直径的⊙O 交 AD 于点 E ，则图中阴影部分的面积为∵四边形 ABCD 是平行四边形，且∠ A ＝ 150°，∴CO ＝DO ＝2，OD ＝ 1， DF ＝ OD cos ∠ODF ＝2× ＝ ， ∴DE ＝2DF ＝2 ，∴图中阴影部分的面积为 + ×2 × 1＝ + ，故答案为： + ．【点评】本题考查的是扇形面积计算、 平行四边形的性质， 掌握扇形面积公式： S ＝ 是解题的关键． 三．解答题（共 8 小题）7．（ 2015?沈阳）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ ABC ＝2∠D ，连接 OA 、OB 、OC 、 AC ，OB 与 AC 相交于点 E ．（1）求∠ OCA 的度数；（2）若∠ COB ＝3∠AOB ，OC ＝2 ，求图中阴影部分面积（结果保留 π和根号）【考点】 M6 ：圆内接四边形的性质； MO ：扇形面积的计算； T7：解直角三角形． 【分析】（1）根据四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形得到∠ ABC+∠D ＝180°，根据∠ ABC ＝2∠D 得到∠ D +2∠ D ＝ 180°，从而求得∠ D ＝60°，最后根据 OA ＝OC 得到∠ OAC ＝∠ OCA ＝ 30°；（2）首先根据∠ COB ＝3∠ AOB 得到∠ AOB ＝30°，从而得到∠ COB 为直角，然后利用S 阴影＝S 扇形 OBC ﹣S △OEC 求解．【解答】 解：（1）∵四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形， ∴∠ ABC+∠D ＝180°， ∵∠ ABC ＝2∠D ， ∴∠ D+2∠D ＝180°， ∴∠ D ＝60°，∴∠ AOC ＝ 2∠D ＝120°，∴ OF ＝∵OA＝OC，∴∠ OAC＝∠ OCA＝30°；2)∵∠ COB＝3∠AOB，∴∠ AOC ＝∠ AOB+3∠ AOB ＝ 120°， ∴∠ AOB ＝30°，∴∠ COB ＝∠ AOC ﹣∠ AOB ＝ 90°， 在 Rt △OCE 中， OC ＝2 ，∴OE ＝OC?tan ∠OCE ＝2 ?tan30°＝ 2 ×∴S 扇形OBC ＝∴S 阴影＝S 扇形 OBC ﹣ S △OEC ＝ 3π﹣ 2 ．点评】 本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在 求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差．8．（2019?辽阳）如图， BE 是⊙O 的直径，点 A 和点 D 是⊙O 上的两点，连接 AE ，AD ，DE ，过点 A 作射线交 BE 的延长线于点 C ，使∠ EAC ＝∠ EDA ． 1）求证： AC 是⊙O 的切线；2）若 CE ＝ AE ＝2 ，求阴影部分的面积．ME ：切线的判定与性质； MO ：扇形面积的计算．∴∠ AFO ＝90°，＝2，∴ S △ OEC ＝ OE ?OC ＝ × 2×2 ＝2 ，＝ 3 π，分析】（ 1）连接 OA ，过 O 作 OF ⊥AE 于 f ， 得到∠ EAO+∠AOF ＝ 90°，根据等腰三 角形的性质和圆周角定理得到∠ EDA ＝∠ AOF ， 推出 OA ⊥AC ，得到 AC 是⊙O 的切线；2）根据等腰三角形的性质得到∠ C ＝∠ EAC ，得到∠ AEO ＝ 2∠ EAC ，推出△ OAE 是等 边三角形，根据扇形的面积公式得到 S 扇形 AOE ＝ ＝ 2π，求得 S △ AOE ＝AE?OF ＝3＝ 3 ， 于是得到结论．解答】（ 1）证明：连接 OA ，过 O 作OF ⊥AE 于 F ，考点】 M5 ：圆周角定理；∴∠ EAO+∠AOF＝90°，∵OA＝OE，∴∠ EOF ＝∠ AOF＝AOE，∵∠ EDA＝AOE，∴∠ EDA ＝∠ AOF，∵∠ EAC＝∠ EDA，∴∠ EAC＝∠ AOF，∴∠ EAO+∠EAC＝90°，∵∠EAC+∠EAO＝∠ CAO，∴∠ CAO＝90°，∴OA⊥AC，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解：∵ CE＝AE＝2 ，∴∠C＝∠ EAC，∵∠EAC+∠C＝∠ AEO，∴∠ AEO ＝2∠EAC ，∵OA＝OE，∴∠ AEO＝∠ EAO，∴∠ EAO ＝2∠EAC ，∵∠ EAO+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠ EAO＝60°，∴△ OAE 是等边三角形，∴OA＝AE，∠ EOA ＝60°，∴ OA＝2 ，＝2π，扇形AOE＝在Rt△OAF 中，OF＝OA?sin∠ EAO＝∴阴影部分的面积＝ 2 π﹣3 ．2 ＝3，S△AOE＝AE?OF＝【点评】 本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周 角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（ 2019?衡阳）如图，点 A 、B 、C 在半径为 8的⊙O 上，过点 B 作 BD ∥AC ，交 OA 延长线于点 D ．连接 BC ，且∠ BCA ＝∠ OAC ＝ 30°．分析】（ 1）连接 OC ，根据圆周角定理求出∠ COA ，根据三角形内角和定理求出∠ OCA ， 根据切线的判定推出即可；（ 2）根据平行线的性质得到∠＝ 30°，解直角三角形求出 BD ，分别求出△ BOD 的面积 和扇形 AOB 的面积，即可得出答案．【解答】（ 1）证明：连接 OB ，交 CA 于 E ， ∵∠ C ＝30°，∠ C ＝ ∠BOA ， ∴∠ BOA ＝60°，∵∠ BCA ＝∠ OAC ＝30°， ∴∠ AEO ＝90°， 即 OB ⊥AC ， ∵BD ∥AC ，∴∠ DBE ＝∠ AEO ＝ 90 ∴BD 是⊙O 的切线；（ 2）解：∵ AC ∥BD ，∠OCA ＝90°，∴∠ D ＝∠ CAO ＝30°， ∵∠ OBD ＝ 90°， OB ＝8， ∴ BD ＝ OB ＝ 8 ，1）求证： BD 是⊙O 的切线；MO ：扇形面积的计算．三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．10．（2015?本溪）如图，点 D 是等边△ ABC 中BC 边的延长线上一点，且AC＝CD ，以AB 为直径作⊙ O，分别交边AC、BC于点E、点F（1）求证：AD 是⊙O 的切线；2）连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积考点】KM ：等边三角形的判定与性质；MD ：切线的判定；MO ：扇形面积的计算．分析】（1）求出∠ DAC＝30°，即可求出∠ DAB＝90°，根据切线的判定推出即可；2）连接OE，分别求出△ AOE、△ AOC，扇形OEG 的面积，即可求出答案．解答】（1）证明：∵△ ABC 为等边三角形，∴AC＝BC，又∵ AC＝CD，∴AC＝BC＝CD，∴△ ABD 为直角三角形，∴AB⊥AD，∵ AB 为直径，∴AD 是⊙O 的切线；∴△ OAE 是等边三角形，∴∠ AOE＝60°，∵CB＝BA，OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠ AOC＝90°，∴∠ EOC＝30°，∵△ABC 是边长为 4 的等边三角形，∴ AO＝2，由勾股定理得：OC＝＝ 2 ，同理等边三角形AOE 边AO 上高是＝，S 阴影＝S△AOC﹣S等边△ AOE﹣S扇形EOG＝＝．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形面积，扇形的面积，切线的判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．11．（2017?新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙ O上一点，∠ ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）当BE＝3 时，求图中阴影部分的面积．考点】ME ：切线的判定与性质；MO ：扇形面积的计算．分析】（1）连接BO，根据△ OBC 和△BCE 都是等腰三角形，即可得到∠ BEC＝∠ OBC ＝∠ OCB＝30°，再根据三角形内角和即可得到∠ EBO＝90°，进而得出BE 是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC 中，根据∠ ACB＝30°，BC＝3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图所示，连接BO，∵∠ ACB＝30°，∴∠ OBC＝∠ OCB＝30°，∵DE⊥AC，CB＝BD，∴Rt△DCE 中，BE＝CD＝BC，∴∠ BEC＝∠ BCE＝30°，∴△BCE 中，∠ EBC＝180°﹣∠ BEC ﹣∠ BCE ＝120°，∴∠ EBO＝∠ EBC﹣∠ OBC＝120°﹣30°＝90°，∴ BE 是⊙O 的切线；（2）当BE＝3 时，BC＝3，∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ ABC＝90°，又∵∠ ACB＝30°，∴ AB＝tan30°× BC＝，∴AC＝2AB＝2 ，AO＝，∴阴影部分的面积＝半圆的面积﹣AB×BC＝π×3Rt△ ABC 的面积＝2π× AO2【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．12．（2013?本溪）如图，⊙O 是△ACD 的外接圆，AB 是直径，过点 D 作直线DE∥AB，过点 B 作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ ACD ＝45°，⊙O 的半径是4cm （1）请判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；【分析】（1）连结OD ，根据圆周角定理得∠ ABD＝∠ ACD＝45°，∠ADB＝90°，可判断△ ADB 为等腰直角三角形，所以OD⊥AB，而DE∥AB，则有OD ⊥DE ，然后根据切线的判定定理得到DE 为⊙O 的切线；（2）先由BE∥AD，DE∥AB 得到四边形ABED 为平行四边形，则DE ＝AB＝8cm，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式利用S 阴影部分＝S 梯形BODE ﹣S 扇形OBD进行计算即可．【解答】解：（1）DE 与⊙O 相切．理由如下：连结OD，BD，则∠ ABD＝∠ ACD ＝45°，∵ AB 是直径，∴∠ ADB＝90°，∴△ ADB 为等腰直角三角形，∵点O 为AB 的中点，∴OD⊥AB，∵DE ∥AB ， ∴OD ⊥DE ， ∵ OD 是半径， ∴DE 为⊙O 的切线；（2）∵ BE ∥AD ，DE ∥AB ，∴四边形 ABED 为平行四边形，∴ DE ＝ AB ＝ 8cm ，∴S 阴影部分＝S 梯形 BODE ﹣ S 扇形 OBD13．（2015?丹东）如图， AB 是⊙O 的直径， ＝ ，连接 ED 、BD ，延长 AE 交 BD 的延 长线于点 M ，过点 D 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 C ．（ 1）若 OA ＝CD ＝2 ，求阴影部分的面积；（ 2）求证： DE ＝DM ．考点】 MC ：切线的性质； MO：扇形面积的计算．过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．＝ （4+8）× 4﹣考查了圆周角定理和扇形的面积公式．【分析】（1）连接 OD ，根据已知和切线的性质证明△ OCD 为等腰直角三角形，得到∠ DOC ＝45°，根据 S 阴影＝S △OCD ﹣S 扇OBD 计算即可；（2）连接 AD ，根据弦、弧之间的关系证明 DB ＝DE ，证明△ AMD ≌△ ABD ，得到 DM ＝BD ，得到答案．【解答】（1）解：如图，连接 OD ，∵CD 是⊙O 切线，∴OD ⊥CD ，∵OA ＝CD ＝2 ，OA ＝OD ，∴ OD ＝ CD ＝ 2 ，∴△ OCD 为等腰直角三角形，∴∠DOC ＝∠C ＝45°，∴S 阴影＝S △OCD ﹣S 扇OBD ＝﹣ （ 2）证明：如图，连接 AD ，∵ AB 是 ⊙O 直径，∴∠ ADB ＝∠ ADM ＝ 90°， 又∵ ＝ ， ∴ED ＝BD ，∠ MAD ＝∠ BAD ， 在△AMD 和△ ABD 中，，∴△AMD ≌△ ABD ， ∴DM ＝BD ，点评】 本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的＝4﹣π∴DE ＝DM ．性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．14．（2015?福州模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC＝2，∠ ABC ＝，∠ ACB 的平分30 线交⊙O于点D，求：（1）BC、AD 的长；（2）图中两阴影部分面积的和．【考点】KQ ：勾股定理；M5：圆周角定理；MO ：扇形面积的计BC，根据圆周角算．【分析】（1）根据直径得出∠ ACB＝∠ ADB＝90°，根据勾股定理求出定理求出AD＝BD ，求出AD 即可；（2）根据三角形的面积公式，求出△AOC 和△ AOD 的面积，再求出S 扇形COD ，即可求出答案．【解答】解：（1）∵ AB 是直径，∴∠ ACB＝∠ ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角），在Rt△ABC 中，∠ ABC ＝30°，AC＝2，∴ AB＝ 4 ，∴ BC＝＝2 ，∵∠ACB 的平分线交⊙O于点D，∴∠ DCA ＝∠ BCD∴＝，∴AD＝BD，∴在Rt△ ABD 中，AD＝BD＝AB＝ 2 ；（2）连接OC，OD ，∵∠ ABC＝30°，∴∠ AOC＝∠ 2∠ABC＝60°，∵OA＝OB，由（ 1）得∠ AOD＝ 90°，∴∠COD ＝150°，S △AOD ＝ ×AO ×OD ＝ ×22＝ 2，∴S 阴影＝S 扇形 COD ﹣S △AOC ﹣S △AOD ＝点评】 本题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形的面积等知识点的应用，关键是求 出∠ ACB ＝∠ ADB ＝90°，题型较好，通过做此题，培养了学生运用定理进行推理的能 力． S △AOC＝ S △ABC ＝ × × AC × BC ＝ ×。
专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)
专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法（解析版）第一部分典例剖析+针对训练方法一公式法典例1 （2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（ ）A．12π米2B．14π米2C．18π米2D．116π米2思路引领：连结BC，AO，90°所对的弦是直径，根据⊙O的直径为1米，得到AO＝BO=12米，根据勾股定理得到AB的长，根据扇形面积公式即可得出答案．解：连结BC，AO，如图所示，∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵⊙O的直径为1米，∴AO＝BO=12（米），∴AB=AO2+BO2=22（米），∴扇形部件的面积=90360π×（22）2=π8（米2），故选：C．总结提升：本题考查了扇形面积的计算，掌握设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2是解题的关键．针对训练1．（2021•卧龙区二模）如图，△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交边BC 于点B，交边AC于点E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，则扇形BDE的面积为 ．思路引领：求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题．解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝180°﹣60°﹣100°＝20°，∵DE＝DC，∴∠C＝∠DEC＝20°，∴∠BDE＝∠C+∠DEC＝40°，∴S扇形DBE=40π×32360=π．故答案为：π．总结提升：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式．方法二和差法典例2（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）A．3―π4B．23―πC．(6―π)33D．3―π2思路引领：作AF⊥BC，由勾股定理求出AF，然后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE得出答案．解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，设切点为F，连接AF，则AF⊥BC．在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．在Rt△ACF中，AF=AB2―AF2=3，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE=12×2×3―60π×(3)2360=3―π2，故选：D．总结提升：本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积﹣扇形的面积是解题的关键．针对训练1．（2022•玉树市校级一模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ）A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣4D．π2―1思路引领：连接OC，求出∠AOC＝∠BOC＝45°，求出∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，求出CD＝OD，CE＝OE，根据勾股定理求出CD＝OD＝OE＝CE=2，再求出阴影部分的面积即可．解：连接OC，∵OA＝2，∴OC＝0A＝2，∵∠AOB＝90°，C为AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∴∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，∴CD＝OD，CE＝OE，∴2CD2＝22，2OE2＝22，即CD＝OD＝OE＝CE=2，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△CDO﹣S△CEO=90π×22360―2×12×2×2=π﹣2，故选：B．总结提升：本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，扇形面积的计算等知识点，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，半径为r，那么该扇形的面积为nπr2360．方法三等积变形法典例3（2020•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD ∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为 ．思路引领：由圆周角定理可得∠AOB的度数，由OD∥AB可得S△ABD＝S△ABO，进而可得S阴影＝S扇形AOB，然后根据扇形面积公式计算即可．解：∵∠ACB＝15°，∴∠AOB＝30°，∵OD∥AB，∴S△ABD＝S△ABO，∴S阴影＝S扇形AOB=30π×22360=π3．故答案为：π3．总结提升：本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．针对训练1．（2022秋•天桥区期末）如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是23，则图中阴影部分的面积是（ ）A．2πB．6πC．33πD．3π思路引领：根据四边形OABC是菱形，得BC＝OC＝OB，即△COB是等边三角形，根据S△ADB＝S△OCD，所以图中阴影部分的面积＝S扇形COB．解：∵四边形OABC是菱形，∴BC＝OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵S△ADB＝S△OCD，∴图中阴影部分的面积＝S扇形COB=60π×(23)2360=2π．故选：A．总结提升：本题考查的是扇形面积的计算和菱形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．方法四化零为整法（整体法）典例4（2021•天桥区二模）如图，已知正六边形的边长为4，分别以正六边形的6个顶点为圆心作半径是2的圆，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：先求出六边形的内角和，再根据扇形的面积公式即可求出．解：∵六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴阴影面积＝6×π×22―720π×22360=16π．故答案为：16π．总结提升：本题主要考查了扇形的面积公式，学会把图中不规则图形的面积由几何关系转化为规则图形的面积．针对训练1．如图，分别以五边形的各个顶点为圆心，1cm长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 π cm2．思路引领：根据多边形的外角和为360°可得阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，再利用圆的面积计算公式可得答案．解：图中阴影部分的面积为π×12＝π．故答案为：π．总结提升：此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形的外角和为360°．方法五割补法（拼接法）典例5（2022•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）A．9B．6C．3D．12思路引领：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE＝CE，得到弓形BE的面积＝弓形CE的面积，则S阴影=S△ABE=S△ABC―S△BCE=12×6×6―12×6×3=9．解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OCE＝45°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，∴S阴影=S△ABE=S△ABC―S△BCE=12×6×6―12×6×3=9，故选：A．总结提升：本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．针对训练1．（2021•郑州模拟）如图，在扇形CBA中，∠ACB＝90°，连接AB，以BC为直径作半圆，交AB于点D．若阴影部分的面积为（π﹣1），则阴影部分的周长为 ．思路引领：根据BC为直径可知∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，设AC＝BC＝m，则AB=2m，CD＝AD＝BD=22m，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差，据此求得直角三角形的边长，进而求得AB和CD的长，进一步求得阴影部分的周长．解：设BC的中点为O，连接OD，连接CD，∵以BC为直径作半圆，交AB于点D．∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AD＝BD，CD=12 AB，∴CD＝BD，∴CD=BD，∵AD＝BD，CO＝BO，∴OD∥AC，∴∠BOD＝90°，设AC＝BC＝m，则AB=2m，CD＝AD＝BD=22 m，∵阴影部分的面积为（π﹣1），∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=14π•m2―12×（22m）2＝π﹣1．∴14πm2―14m2＝π﹣1，∴14m2＝1，∴m＝2，∴AC＝BC＝2，AB＝22，OC＝OB＝1，∴AB的长为：90⋅π×2180=π，BD的长为：90⋅π×1180=12π，∴阴影部分的周长为：π+2×12π+22+2＝2π+22+2故答案为：2π+22+2．总结提升：本题考查了扇形的面积和弧长的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．方法6 图形变化法（旋转、平移、翻折）典例6（2022•武威模拟）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：解直角三角形得到AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′=90⋅π⋅22360―60⋅π⋅(3)2360―12×1×3=π―32，故答案为：π―32；总结提升：本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．针对训练1．（2022•西宁）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝23，则图中阴影部分的面积是 4π3 ．思路引领：根据内接于圆O的等边三角形的性质可得S△AOB＝S△AOC，∠AOC＝120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．解：∵△ABC为等边三角形，∴S△BOC＝S△AOC，∠AOC＝120°，在△OBC中，OB＝OC，∠BOC＝120°，BC＝23，∴OB＝OC＝2，∴S阴影＝S扇形AOC=120π×22360=4π3，故答案为：4π3．总结提升：本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．典例7（2022•九龙坡区自主招生）如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，4为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）思路引领：连接BD，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．解：连接BD，EF，如图，∵正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵点E，F分别为BC，AD的中点，∴FD＝FO＝EO＝EB＝2，∴OB=OD，OB＝OD．∴弓形OB＝弓形OD．∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD=90π×42360―12×4×4=4π﹣8．故答案为：4π﹣8．总结提升：本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．针对训练1．（2021•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）思路引领：理由圆周角定理得出AO⊥BD，利用正方形的性质性质和等腰直角三角形的性质得出OD＝OA ＝OB，结合转化思想得出阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC，进而得出答案．解：如图，∵AB是直径，∴∠AOB＝90°，∴AO⊥BD，∵AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，∴OD＝OA＝OB，∴S弓形OA＝S弓形OB，∴阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC=14π×42―12×4×4=4π﹣8，故答案为4π﹣8．总结提升：本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形，属于中考常考题型．典例8（2019•招远市一模）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将CE沿弦CE翻折，交CD于点F，图中阴影部分的面积＝ ．思路引领：根据AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8，可以求得⊙O的半径；要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．解：如图，连接AO，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，过点M作MN⊥CD于点N，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG=12AB＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×3 2，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC=120×π×25360―2534=25π3―2534，即图中阴影部分的面积是：25π3―2534．总结提升：本题考查翻折变换、扇形的面积、垂径定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．针对训练1．（如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，折痕为AB，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，根据轴对称的性质可以得出CO＝CD，由三角函数值就可以求出∠AOB的度数，由扇形的面积﹣三角形AOB的面积就可以得出结论．解：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，∴∠ACO＝90°．∵△AOB与△ADB关于AB对称，∴△AOB≌△ADB∴AO＝AD，∠ACO＝∠ACD＝90°，∴CO＝CD．∵OD＝AO＝4，∴OC＝2．在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝23．∵cos∠AOC=COAO=12，∴∠AOC＝60°．∵AO＝BO，OC⊥AB，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°．AB＝2AC＝43．∴S扇形AOBD=120π×16360=163π．∵S△AOB=43×22=43．阴影部分的面积为：（163π―43）cm2．故答案为：（163π―43）cm2．总结提升：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，扇形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．方法七重叠求余法例七（2022•鄂尔多斯二模）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 ．思路引领：根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：60π×62360=6π，故答案为：6π．总结提升：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积是解题的关键．针对训练1．（2022•市南区校级一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将三角形绕着BC的中点O逆时针旋转60°，点A的对应点为E，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：如图，连接OE，OA．根据S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE，求解即可．解：如图，连接OE，OA．由题意可知△BOF为等边三角形．∴OB＝OF＝BF＝1，∴S△BOF=3 4，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝4，AC＝DE＝23，∴S△EOF=12•OF•DE=3，∵OF＝OD，∴S△EOF＝S△DEO=3，∵∠AOE＝60°，AO=AC2+OC2=(23)2+12=13，∴S扇形EOA=60⋅π⋅(13)2360=13π6，由题意，△BPE为直角三角形，BE＝EF﹣BF＝4﹣1＝3，∴BP=12BE=32，PE=32―(32)2=332，∴S△PBE=12×32×332=938，∴S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE=13π6+3―34―3―938=13π6―1138．解法二：可以根据S阴＝S△APE+（S扇形AOE﹣S△AOE）计算．总结提升：本题考查扇形的面积，旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．第二部分专题提优训练一．选择题（共15小题）1．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2思路引领：根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC=120π×9360―120π×94360＝2.25πm2．故选：D．总结提升：本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=nπR2360是解题的关键．2．（2022秋•西华县期末）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）A．π﹣1B．π﹣2C．12π﹣1D．12π+1思路引领：已知BC为直径，则∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．解：在Rt△ACB中，AB=22+22=22，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD=2，∴D为半圆的中点，∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=12π×22―12×（2）2＝π﹣1．故选：A．总结提升：本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．3．（2022•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）A．6π﹣93B．12π﹣93C．6π―932D．12π―932思路引领：根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，∵∠GDE＝30°，DE＝6，∴GE＝3，DG＝33，∴DF＝63，阴影部分的面积=120π×36360―12×63×3＝12π﹣93，故选：B．总结提升：本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的关键．4．（2022•达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作BC，AC，AB，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（ ）A．2π﹣23B．2π―3C．2πD．π―3思路引领：此三角形是由三段弧组成，如果周长为2π，则其中的一段弧长为2π3，所以根据弧长公式可得60πr 180=2π3，解得r＝2，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就＝三角形的面积+三个弓形的面积．解：设等边三角形ABC的边长为r，∴60πr180=2π3，解得r＝2，即正三角形的边长为2，∴这个曲边三角形的面积＝2×3×12+（60π×4360―3）×3＝2π﹣23，故选：A．总结提升：本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积就＝三角形的面积+三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．5．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB和CD 平行且相等（如图②），小华用皮尺量出BD＝1米，BC＝0.5米，则阴影部分的面积为（ ）A．（π12―38）平方米B．（π6―38）平方米C．（π12―34）平方米D．（π6―34）平方米思路引领：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，进而得出CD，EO的长以及∠COD的度数，进而由S弓形CD面积＝S扇形COD﹣S△COD得出弓形CD的面积，进一步即可求得阴影部分的面积．解：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，由题意可得出：∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵BD＝1米，BC＝0.5米，∴BC=12BD，CD=BD2―CD2=32米，∴∠BDC＝30°，∴OE=12OD=14米，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠BDC＝30°，∴∠COD＝120°，∴S弓形CD面积＝S扇形COD﹣S△COD=120π×(12)2360―12×14×32，＝（π12―316）平方米，∴阴影部分的面积为：2×（π12―316）＝（π6―38）平方米．∴故选：B．总结提升：此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．6．（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）A．π3B．3π5C．2π3D．3π4思路引领：解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝BE＝2，BC=3，∴cos∠CBE=CBBE=32，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=2π3，故选：C．总结提升：本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．7．（2022•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D 落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）A．2πB．22C．2π﹣4D．2π﹣22思路引领：连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．解：连接OE，OC，BC，由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC为等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝22，∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC=90π×(22)2360―12×22×22=2π﹣4，故选：C．总结提升：本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．8．（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD 的长为30cm，则扇面的面积是（ ）A．375πcm2B．450πcm2C．600πcm2D．750πcm2思路引领：先求出AD的长，再根据扇形的面积公式求出扇形BAC和扇形DAE的面积即可．解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，∴AD＝AB﹣BD＝15cm，∵∠BAC＝120°，∴扇面的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE=120π×452360―120π×152360＝600π（cm2），故选：C．总结提升：本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积S=nπr2 360．9．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）A．3π﹣33B．3π―932C．2π﹣33D．6π―932思路引领：根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO＝BO，∴四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AC＝3，∴OC＝3，AD=32AC=332，∴AB＝2AD＝33，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC=120π×32360―12×3×33=3π―932，故选：B．总结提升：本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．10．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）A．23π―32B．23π―3C．43π﹣23D．43π―3思路引领：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB=3，进而求出阴影部分的面积．解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，由题意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝2∴S扇形AOB=60π×22360=23π，∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC=3，∴S△AOB=12×2×3=3，∴阴影部分的面积为：23π―3；故选：B．总结提升：本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．二．填空题11．（2020•巩义市二模）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：连接OB，交CA于E，根据圆周角定理得到∠BOA＝60°，根据平行线的性质得到∠D＝∠OAC ＝30°，即可得出∠OBD＝90°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．解：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C=12∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵BD∥AC，∴∠D＝∠OAC＝30°，∴∠OBD＝90°，∴BD=3OB＝83，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB=12×8×83―60π×82360=323―32π3，故答案为323―32π3．总结提升：本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．12．（2021•宛城区一模）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，长为2的线段CD的两个端点分别在线段OA、OB上滑动，E为CD的中点，点F在AB上，连接EF、BE．若AF的长是π3，则线段EF的最小值是 ，此时图中阴影部分的面积是 ．思路引领：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．根据弧长求得∠AOF＝30°，jk证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝1，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，然后根据S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT求得阴影的面积．解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．∵AF的长是π3，OA＝2，∴π3=nπ×2180，∴n＝30，∴∠AOF＝30°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOF＝60°，∵CE＝DE，∴OE=12CD=12×2=1，∵OF＝2，∴EF≥OF﹣OE＝1，∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，∴此时EF＝1，∵OF＝OB，∠BOF＝60°，∴△BOF是等边三角形，∵OT＝TF，∴BT⊥OF，∴BE＝BT=32OB=3，∴此时S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT=60π×22360―12×3×1=23π―32．故答案为：1，23π―32．总结提升：本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，明确当O，E，F共线时，EF的值最小是解题的关键．13．（2022•贵港）如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝32，则图中阴影部分的面积是 ．思路引领：过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．解：过点D作DF⊥AB于点F，∵AD=23AB，∠BAD＝45°，AB＝32，∴AD=23×32=22，∴DF＝AD sin45°＝22×22=2，∵AE＝AD＝22，∴EB＝AB−AE=2，∴S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC＝32×2―45π×(22)2360―12×2×2＝52―π，故答案为：52―π．总结提升：本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，准确添加辅助线是解题关键．14．（2020春•亭湖区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝6，则阴影部分的面积是 ．思路引领：根据扇形的面积公式计算即可．解：∵∠BOD＝2∠DCB，∠DCB＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形OBD=60⋅π⋅62360=6π，故答案为6π．总结提升：本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是计算扇形的面积公式，属于中考常考题型．15．（2022•黔西南州）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 ．思路引领：证明△OBE≌△OCG（SAS），推出S△OBE＝S△OCG，推出S四边形OECG＝S△OBC＝4，再根据S 阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG，求解即可．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC=14S四边形ABCD＝4，∵∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠COG，在△BOE和△COG中，∠BOE=∠COGOB=OC∠OBE=∠OCG，∴△OBE≌△OCG（SAS），∴S△OBE＝S△OCG，∴S四边形OECG＝S△OBC＝4，∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，∴OB＝OC＝22，∴S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG=90π⋅(22)2360―4＝2π﹣4，故答案为：2π﹣4．总结提升：本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．（2020•康巴什一模）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：先根据正方形的边长，求得CB1＝OB1＝AC﹣AB1=2―1，进而得到S△OB1C=12（2―1）2，再根据S△AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．解：连接DC1，∵∠CAC1＝∠DCA＝∠COB1＝∠DOC1＝45°，∴∠AC1B1＝45°，∵∠ADC＝90°，∴A，D，C1在一条直线上，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=2，∠OCB1＝45°，∴CB1＝OB1∵AB1＝1，∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1=2―1，∴S△OB1C=12•OB1•CB1=12（2―1）2，∵S△AB1C1=12AB1•B1C1=12×1×1=12，∴图中阴影部分的面积=45⋅π⋅(2)2360―12（2―1）2―12=π4―2+2．故答案为π4―2+2．总结提升：本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．17．（2021秋•招远市期末）如图，在扇形OAB中，点C在AB上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC 于点D，连接AC，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：连接OC，作CM⊥OB于M，根据等腰直角三角形的性质得出∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝42，进而得出∠OCB＝OBC＝75°，即可得到∠BOC＝30°，解直角三角形求得AD、BD、CM，然后根据S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）计算即可求得．解：连接OC，作CM⊥OB于M，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB=42，∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，∴AD=12AB=22，BD=32AB=26，∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，∴∠OBC＝75°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝75°，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝60°，CM=12OC=12×4=2，∴S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAC﹣S△BOC=12×22×26+12×4×4―12×4×2―60π×42360=4+43―8π3．故答案为：4+43―8π3．总结提升：此题考查了运用切割法求图形的面积．解决本题的关键是把所求的面积转化为容易算出的面积的和或差的形式．。
2023年人教版九年级上册数学第二十四章圆 方法技巧专题求圆中阴影部分的面积
类型3 利用割补法求面积
5．[2021·枣庄中考]如图，正方形ABCD的边长为2，
O为对角线的交点，E，F分别为BC，AD的中
点．以点C为圆心、2为半径作圆弧BD，再分别以
点E，F为圆心、1为半径作圆弧BO，OD，则图中
阴影部分的面积为( C )
A．π－1
B．π－3
C．π－2
D．4－π
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【方法技巧专题】 求圆中阴影部分的面积
∴OC＝2，∴S扇形OBD＝603π6·022 ＝ 23π， ∴阴影部分的面积为23π．
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【方法技巧专题】 求圆中阴影部分的面积
(3)同底等高等积替换 11．如图，AB是☉O的直径，C为半径OA的中点， CD⊥AB交☉O于点D和点E，DF∥AB交☉O于点F， 连接AF，AD．
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【方法技巧专题】 求圆中阴影部分的面积
类型5 利用整体思想求面积 12．[2021·盘锦中考]如图，☉A，☉B，☉C两两不 相交，且半径都等于2，则图中三个扇形(即阴影部 分)的面积之和为 2π ．(结果保留π)
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【方法技巧专题】 求圆中阴影部分的面积
∵∠A＝∠B＝30°， ∴∠AOG＝∠BOH＝60°，∴∠AOB＝150°， ∴S阴影＝S扇形＋S△AOM＋S△BOM＝1503π6×0 42＋ 2×12×(2＋2 3)×2＝203π＋4 3＋4．
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【方法技巧专题】 求圆中阴影部分的面积
类型4 利用等积法求面积 (1)旋转变换图形面积不变 7．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°， BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A逆时针旋转 9为0°π－得2 到3△．AB'C'，则图中阴影部分的面积
圆-阴影部分面积(含标准答案)
求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法01和差法对于不规则图形实施分割、叠合后，把所求的图形面积用规则图形面积的和、差表示，再求面积．贵港中考如图1，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与弧AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作弧CE交OB于点E，若OA= 4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为( 结果保留π) ．图1解析: 图形中的阴影部分是不规则图形，较难直接计算．注意到阴影部分是环形BECA的一部分，因此阴影部分面积等于环形BECA的面积减去图形DCA的面积，又图形DCA的面积等于扇形DOA 的面积减去△ODC的面积．图2如图2，连接OD交弧CE于M．因为OA=4，C是OA的中点，CD⊥OA，所以OD=4，OC=2，DC=2√3，所以∠ODC=30°，∠DOC=60°02割补法对图形合理分割，把不规则图形补、拼成规则图形会，再求面积.吉林中考如图3，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是( 结果保留π) ．图3解析: 观察图形可以发现: 下方树叶形阴影部分的面积分成左右两块后，可以补到上方两个空白的新月形的位置．是否能够完全重合，通过计算验证即可．图4如图4，过点O作OD⊥AB于D，连接OA、OC、OB．由折叠性质知OD=1/2r=1/2AO，03等积变形法运用平行线性质或其他几何图形性质把不规则图形面积转化为与它等面积的规则图形来进行计算.天水中考如图5，以AD为直径的半圆O经过Ｒt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E 是半圆弧的三等分点，弧BE的长为2π/3，则阴影部分的面积为图5解析: 阴影部分是Ｒt△ABC的一部分，运用平行线的性质可将图形ABE面积转化成扇形BOE面积．连接BD、BE、BO、OE，如图6．图6因为点E、B是半圆弧的三等分点，所以∠DOB=∠BOE=∠EOA=60°，所以∠BAD=∠EBA=∠BAE=30°，所以BE∥AD．04平移法一些图形看似不规则，将某一个图形进行平移变换后，利用平移的性质，把不规则的图形的面积转化为规则图形的面积来计算．2019年黄石中考模拟如图7，从大半圆中剪去一个小半圆( 小半圆的直径在大半圆的直径MN上)，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB∥MN，已知AB=12cm，则阴影部分的面积是．图7解析: 因为AB∥MN，由平行线间的距离处处相等，可以平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，这样不规则的阴影图形就变成一个环形.图8如图8．过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OB，设大半圆的半径为Ｒ，小半圆的半径为r.05旋转法一些图形看似不规则，把某个图形进行旋转变换后，利用旋转的性质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再进行计算．安顺中考如图9，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB 为直径的⊙O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为图9解析: 若直接利用弓形面积公式求解相当繁琐，根据已知条件及圆的旋转不变性，利用图形的旋转可实现解题．图10如图10，连接OE 交BD于M．因为CD 是⊙O 的切线，所以OE⊥CD，又AB∥CD，则OE⊥AB，而OE=OB，易知△OBM ≌△EDM，把△OBM绕点M旋转180°就会转到△EDM，阴影部分就转化为扇形BOE，恰好是半径为2的圆的四分之一，06对称法一些图形看似不规则，利用轴对称和中心对称的性质，把不规则图形进行轴对称和中心对称变换，转化为规则图形的面积，再进行计算．赤峰中考如图11，反比例函数y=k/x( k＞0) 的图象与以原点(0,0)为圆心的圆交A、B两点，且A( 1,√3) ，图中阴影部分的面积等于 (结果保留π) ．图11解析: 根据反比例函数图象及圆的对称性———既是轴对称图形，又是中心对称图形，可知图中两个阴影面积的和等于扇形AOB的面积．过点A作AD⊥x轴于D，如图12．图12因为A( 1，√3) ，所以∠AOD=60°，OA=2，又因为点A、B关于直线y=x对称，所以∠AOB=2×( 60°－45°)=30°．07整体法当已知条件不能或不足以直接求解时，可整体思考，化单一、分散为整体，把所求的未知量整体转换为已知量，再将问题整体化求解．安徽中考如图13，半径均为1的⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E两两外离，A、B、C、D、E分别为五边形的五个顶点，则图中阴影部分的面积是图13解析: 由已知条件，分别求阴影部分的圆心角不易求得，但将五个扇形的圆心角合为一整体，它们的圆心角的和也是五边形的外角之和360°，所以阴影部分面积是一个整圆的面积，所以S阴影=π．08方程法有些图形的局部可以看成某个规则图形，或某些图形具有等面积的性质，这时可以把它们的关系用方程( 组) 来表示，再解方程( 组) ，求出图形的面积．2019年武汉模拟如图14，在边长为2的正方形ABCD 中，分别以2为半径，A、B、C、D 为圆心作弧，则阴影部分的面积是 ( 结果保留π) ．图14解析: 仔细观察图形，有两种相同特征的图形在正方形内部，一起围成所求的阴影部分．设弧AC与弧BD交于点G，连接BE、EC，如图15．图15设形如AED 图形的面积为x，形如DEG 图形的面积为y，那么S阴影= S正-4 ( x+y) ，只需求出(x+y)的结果即可．09推算法某些题目运用已知条件，和图形的性质或定理进行推理，可把阴影部分面积用某个式子表示，从而求得不规则图形的面积．南宁中考如图16，Ｒt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC 为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为平方单位．图16解析: 设左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，整个图形的面积可以表示成: 以AC 为直径的半圆+ 以BC为直径的半圆+△ABC．也可以表示成: S1+S2+以AB为直径的半圆。
中考数学专题复习和训练--求阴影部分的面积
合 .在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分析和组合图形，常常借助
阴影部分（不规则图形）转化为规则的易求的图形求解
.
转化化归 思想，将
典例精析：
例 1.如图 , AB 是⊙ O 的直径，弦 CD AB, C 30 ,CD 2 3 ,则 S 阴影 =
A.
B. 2
2 C. 3
3
分析： 本题的阴影部分是不规则的，要可以转化到规则的阴影部分，比
形中心的对角线长为 2，间隔一个顶点的对角线长为 3 ，则 CE 4 ；若 △AEC 和 △BEC 都以 CE 为求其面积的底边 ,则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢？ 解：（由同学们自我完成解答过程）
师生互动练习：
1.如图已知网格中每个小正方形的边长为 2，图中阴影部分的
每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为
小圆⊙ O′向右 平移 至大圆⊙ O 使圆心重合（见 图① 的第二个图） ，这样来求圆环的面积更容易O；
图② 虽然是半圆也可以采用相同的方法求阴影部分半圆环的面积
.
A
B
A
C B
O O'
O
O' O
O
A
B
A
B
C
图① 三 .补转化为一个整体：
图②
如图第一个图是以等腰 Rt△AOB 的直角顶点 O 为圆心画出的直角扇形 OAB 和以 OA 、 OB 为
如转化为扇形 AOD 的面积来求；利用垂径定理和三角函数计算可以得出
C
EC ED,EO EA ,由此可以证明⊿ AEC ≌⊿ DEO ; 所以阴影部分等于
扇形 AOD 的面积，利用扇形面积的计算公式求出结果为
2 . 选D
与圆有关的计算求阴影部分面积-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
与圆有关的计算求阴影部分面积 题型解读｜模型构建｜通关试练模型01 阴影部分面积计算求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度.一般考试中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形性质是解题的关键． 模型02 阴影部分周长计算求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n °，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形=n 360πR 2或S 扇形=12lR （其中l 为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键. 模型03 与最值相关的计算阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.求阴影部分面积方法总结 方法一 直接利用公式法求阴影部分面积方法二 直接或构造和差法求阴影部分面积 方法三 利用等积转换法求阴影部分面积方法四 利用容斥原理求阴影部分面积模型01 阴影部分面积计算 考｜向｜预｜测阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.答｜题｜技｜巧 第一步： 确定弧所对的圆心，（找圆心）第二步： 连接圆心与弧上的点；（连半径） 第三步： 确定圆心角度数（有提示角度的话注意求解相应角，没有提示角度的话一般为特殊角，大胆假设小心论证）第四步： 把不规则图形面积转化为规则图形面积进行求解例1．（2023·四川）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．2(4π4)cm +B ．2(4π8)cm +C ．2(8π4)cm +D ．2(4π16)cm −【答案】A 【详解】解：由题意知4cm AF AD BC ===，10cm BF AF AB =+=，阴影部分的面积211π42S AB BC AD BF BC =⋅+−⋅ 21164π410442=⨯+⨯−⨯⨯244π20=+−4π4=+，故选A ．例2．（2023·湖北）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，3,6,AB AC O ==是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，则图中两个阴影部分面积的和为 ．【答案】5π−/5π−+【详解】解：如图，连接OD ，OE ，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，∴OD AB ⊥，OE AC ⊥，90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形， 又OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴AD DO OE AD ===，90DOE ∠=︒，90A OEC ∠=∠=︒，A C B E C O ∠=∠，∴ACB ECO ∠∽， ∴AC AB EC EO =，设AD DO OE AD r ====，则6EC AC AE r =−=−， ∴636r r =−，解得2r =，∴2AD DO OE AD ====， 90DOE ∠=︒，∴DOB 和EOC △所包含扇形的面积之和为：22180901ππ2π3604r ︒−︒⨯=⨯=︒，∴图中两个阴影部分面积的和为：21π362π5π2ABC ADOE S S −−=⨯⨯−−=−正方形，故答案为：5π−．模型02 阴影部分周长计算考｜向｜预｜测阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求规则图形的长度问题.答｜题｜技｜巧第一步： 观察图形特点，确定弧长和线段长；第二步： 利用弧长公式求长度；第三步： 求图形中其它边的长度；例1．（2023·河北）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点P ，那么图中阴影部分①的周长为 ，阴影部分①②的总面积为 ．【答案】 2π+ 2233π【详解】解：连接PB 、PC ，作PF BC ⊥于F ，2PB PC BC ===，PBC ∴△为等边三角形，60PBC PCB ∴∠=∠=︒，30PBA ∠=︒，∴sin602PF PB =⋅︒=∴阴影部分①的周长AP BP l l AB =++ 3026022180180ππ⨯⨯=++2π=+阴影部分①②的总面积()2BPC ABP BPC S S S ⎡⎤=−−⨯⎣⎦扇形扇形223026021223603602ππ⎡⎤⎛⨯⨯=−−⨯⨯⎢⎥ ⎝⎣⎦ 23π=，，故答案为：2π+；23π．例2．（2023·浙江）如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为 ．【答案】a π 【详解】解：四边形ABCD 是正方形，边长为a ，AB CB AD CD a ∴====，90B D ∠=∠=︒，∴树叶形图案的周长902180a a ππ⋅=⨯=．故答案为：a π． 模型03 与最值相关的计算 考｜向｜预｜测圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最值问题. 答｜题｜技｜巧 第一步： 观察图形特点，确定变量和不变的量（一般情况下弧长固定，线段长变化）第二步： 利用将军饮马或者“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等知识点进行转化 第三步： 牢记弧长公式，求对弧长和线段长；第四步： 利用数形结合思想注意确定最值；例1．（2023·江苏）如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若1OA =，则阴影部分面积的最小值为（ ）A ．3144πB ．142π−C ．24πD ．184π− 【答案】C【详解】解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足ABC 的面积最大即可， 从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，ABC 的面积最大，连接OC '，则OC AB '⊥于D ，12OD AB ∴===，1DC OC OD ''∴=−=，1111122AOB ABC AOBC S S S ''⎛∴=+=⨯⨯+⎝⎭四边形， 扇形AOB 的面积29013604ππ⨯==， ∴阴影部分面积的最小值42π=−，故选：C ． 例2．（2022·浙江）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π−【答案】D【详解】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴，∵OA'=OB'=∴=，∴tan ∠A'OP=tan ∠，∴∠A'OP=∠B'OP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ−=− ，故答案为：D ． 例3．（2023·吉林）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，以AB 直径作圆，P 为BC 边的垂直平分线DE上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为．【答案】483π+【详解】解：如图，连接CE ，连接BP∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴CP BP =,∴AP CP AP BP +=+∴当动点P 与点E 重合时AP BP +最小，此时AP CP +最小，∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，∴28AB AC ==，4AE =,∴CP AP AC ==，∴ACP △是等边三角形，∴60APC ∠=︒，∵8AP CP AP BP AB +=+==， ∴阴影部分的周长最小值为6044881803ππ︒⨯⨯+=+︒. 故答案为483π+.1．（2023·江苏）如图，在Rt ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==,,，以O 为圆心的半圆分别与AB AC 、边相切于D E 、两点，且O 点在BC 边上，则图中阴影部分面积S =阴（ ）A ．12B ．π3C ．35π4−D ．15036π4949− 【答案】D 【详解】解：连接,OD OE ，设O 与BC 交于M 、N 两点，∵AB AC 、分别切O 于D 、E 两点，∴90ADO AEO ∠=∠=︒，又∵90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，∵OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴90DOE ∠=︒，∴90DOM EON ∠+∠=︒，设OE x =，则AE AD OD x ===，4EC AC AE x =−=−． ∵,90C C CEO A ∠=∠∠=∠=︒，∴COE CBA ∽， ∴CE OE CA AB = ， ∴443x x −= ， 解得127x = ，∴()ABC ADOE DOM EON S S S S S =−−+阴影正方形扇形扇形 22129011273427360π⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯⨯−− ⎪⎝⎭ 150364949π=−．故选D ．2．（2022·湖北）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．A ．13πB ．43πC ．23π D3− 【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB ＝∠DAC ，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°，∴S △AFD ＝S △OFA ，∴S 阴＝S 扇形OFA ，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OFA＝2 6022= 3603 p p.故选：C．3．（2023·安徽）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且AB BC=，则阴影部分面积与圆的面积之比为（）A B C D【答案】B【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC设正六边形的边长为1，则1OA =，60AOB ∠=︒，OA OB =∴AOB 为等边三角形，则60BOA OBA ∠=∠=︒，1OA OB AB ===，2AC =，∴BCO BOC ∠=∠，又∵ABO BCO BOC ∠=∠+∠，∴30BCO BOC ∠=∠=︒，则=90AOC ∠︒，∴OC所以圆的面积为3π，正六边形的面积为1166sin 6061122AOB S AB OA =⨯⋅⋅︒=⨯⨯⨯△，则阴影部分面积与圆的面积之比为23π=， 故选：B ．4．（2022·广西）如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值等于（ ）A ．2π﹣4B ．4π﹣8 CD【答案】D 【详解】由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小，∵P），∴OP=2，∵OA=OB=4，∴∴tan ∠AOP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∴S 阴=S 扇形OAB ﹣S △AOB=2120·41-23602π⨯= ，故选D ．5．（2023·山东）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB 、两点，分别以AB 、两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（ ）A ．12πB ．14πC ．πD ．4π【答案】C【详解】解：∵点A 的坐标为（2，1），且⊙A 与x 轴相切，∴⊙A 的半径为1，∵点A 和点B 是正比例函数与反比例函数的图象的交点，∴点B 的坐标为（-2，-1），同理得到⊙B 的半径为1，∴⊙A 与⊙B 关于原点中心对称，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分完全重合，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分的面积相等，∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．故选C ．6．（2023·山西）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点O 在AB 上，以O 为圆心作圆与BC 相切于点D ，与AB 、AC 相交于点E 、F ；连接AD 、FD ，若O 的半径为2．则阴影部分面积为（ ）A ．13πB ．43πC ．23πD ．23π【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵O 与BC 相切，∴90ODB ∠=︒.∵90C ∠=︒，∴ODB C ∠=∠，∴OD AC ∥，∴.AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴影扇形，∵30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵OF OA =，∴AOF 是等边三角形，∴60AOF ∠=︒， ∴260223603OFA S S ππ⋅⋅===阴影扇形．故选C ．7．（2023·黑龙江）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，分别以点A ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径作圆，分别交AB 于点DE ，则弧CD 弧CE 和线段DE 围成的封闭图形（图阴影部分）的面积 （结果保留π）【答案】4π8−【详解】解：∵904ACB AC BC ∠=︒==，， ∴14482ABC S =⨯⨯=△，4542CAD S ππ⨯==扇形，()282164S ππ=⨯−=−空白， ∴()816448ABC S S S ππ=−=−−=−阴影空白，故答案为：48π−．8．（2022·河南）在矩形ABCD 中，4,AB AD ==，以BC 为直径作半圆（如图1），点P 为边CD 上一点．将矩形沿BP 折叠，使得点C 的对应点E 恰好落在边AD 上（如图2），则阴影部分周长是 ．4+/4【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O ，如图，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠A=90°，由折叠得，BE BC ==∵4,AB =∴4AE ==∴,AB AE = ∴1(18090)452ABE AEB ∠=∠=︒−︒=︒∴90904545,OBE ABE ∠=︒−∠=︒−︒=︒∵OB OF =∴45OBF OFB ∠=∠=︒∴180454590BOF ∠=︒−︒−︒=︒∴BF 的长==，4BF ==，∴ 阴影部分周长4+4+．9．（2022·内蒙古）如图，在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，以O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边AB 于点D ，点C 在边OA 上且CD AC =，延长CD 交OB 的延长线于点E ．(1)求证：CD 是圆的切线；(2)已知4sin 5OCD ∠=，AB =AC 长度及阴影部分面积． 【答案】(1)证明见详解；(2)AC=3，阴影部分面积为50-43π．【详解】（1）证明：连接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC=∠BDE∴∠A=∠EDB∵∠AOB=90°∴∠A+∠ABO=90°∴∠ODB+∠BDE=90°即OD ⊥CE ，又D 在o 上∴CD 是圆的切线；（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°在Rt △OCD 中，4sin 5OD OCD OC ∠==∴设OD=OB=4x ，则OC=5x ，∴3CD x∴AC=3x∴OA=OC+AC=8x在Rt △OAB 中：222OB OA AB +=即：()()(22248x x += 解得1x =，（-1舍去）∴AC=3，OC=5，OB=OD=4在Rt △OCE 中，4sin 5OE OCD ∠==∴设OE=4y ，则CE=5y ，∵222OE OC CE +=()()222455y y += 解得53y =，（53−舍去） ∴2043OE y ==219012050-5-4-42360233OB S OE OC πππ⋅=⋅=⨯⨯=阴影 ∴阴影部分面积为50-43π．1．如图，在以点O 为圆心的半圆中，AB 为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，则图中阴影部分面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．3πD ．23π 【答案】D 【详解】∵AB 是直径，且AB=4，∴OA=OE=2，∵使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，∴△EOF 是等边三角形，∴∠EOF=60°，S 半圆=21222=ππ⨯，S 长方形CDFE=2∴S 阴=S 长方形CDFE -(S 半圆-S 长方形CDFE)+2（S 扇形OEF -S △EOF ）=212232+（-ππ⨯=23π 故选D.2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 是AB 中点，在AD 上取一点G ，以点G 为圆心，GD 的长为半径作圆，该圆与BC 边相切于点F ，连接DE ，EF ，则图中阴影部分面积为（ ）A．3πB．4πC．2π+6D．5π+2【答案】B【详解】如图，连接GF，∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4∵点E是AB中点∴AE＝BE＝2∵BC与圆相切∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°∴四边形GFCD是矩形，又∵GD＝DF∴四边形GFCD是正方形∴GD＝GF＝CD＝CF＝4∴BF＝BC﹣FC＝2∵S阴影＝（S四边形ABFD﹣S△AED﹣S△BEF）+（S扇形GDF﹣S△GDF）∴S阴影＝（(26)4116222222+⨯−⨯⨯−⨯⨯）+（4π﹣1442⨯⨯）＝4π.故选B．3．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画AB，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )A ．4π−B ．6πC ．42π−−D ．43π−−【答案】C【详解】过E 点作EM ⊥BC 于M 点，作EN ⊥AB 于N 点，如图，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴∠EBC=60°，∵EM ⊥BC ，∴在Rt △EMC 中，∴tan ∠ECM=EM MC =tan30°=，∴，∴∴在Rt △EBM 中，∴tan ∠EBM=EMBM∴BM=，∵BM+MC=BC=4，∴=4，∴EM =∴BM=1==，∵NE ⊥AB ，EM ⊥BC ，且∠ABC=90°，∴四边形BMEN 是矩形，∴NE=BM=1，∵AB=BC=4，∠ABC=90°，∴1141222ABE S AB NE =⨯⨯=⨯⨯=△，11422BEC S BC EM =⨯⨯=⨯=△22901443604ABCS AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=扇形o o∴42ABE BEC ABC S S S S π=−−=−−△△阴影扇形故选：C ．4．如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）A ．（π）cm 2B ．（πcm 2C ．（2π）cm 2D ．（2π-cm 2【答案】C【详解】连接AD ，∵△ABC 是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴=∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF=1226023360π⨯⨯2π)cm2，故选C ．5．如图，在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，将Rt AOB △绕点O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE △，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．πB ．5π+C ．524π−D ．724π− 【答案】C 【详解】解：作DH AE ⊥于H ，∵90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，∴AB 由旋转，得EOF BOA ≌，∴OAB EFO ∠=∠，∵90FEO EFO FEO HED ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFO HED ∠=∠，∴HED OAB ∠=∠，∵90DHE AOB ∠=∠=︒，DE AB =，∴()AAS DHE BOA ≌，∴1DH OB ==，阴影部分面积ADE =V 的面积EOF +V 的面积+扇形AOF 的面积−扇形DEF 的面积211902905311222360360ππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+−5124π=−故选：C ．6．如图，在半径为2、圆心角为90︒的扇形OAB 中，2BC AC =，点D 从点O 出发，沿O A →的方向运动到点A 停止．在点D 运动的过程中，线段BD ，CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）A ．23πB ．213π−C ．3πD ．132π− 【答案】B【详解】当点D 在线段OA 上时，易得当点D 与点A 重合时，阴影部分面积最小，连接OC 、BC ，过点C 作CH OA ⊥于点H ，如图，190303AOC ︒︒∠=⨯=，112CH OC ∴==， ∵290603BOC ︒︒=⨯=∠， ∴260223603BOC S =⨯⨯=扇形ππ．∴ 2112212213223BOC AOC AOB S S S S ππ=+−=+⨯⨯−⨯⨯=−△△阴扇形；∴线段BD 、CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为213π−．故答案为B ．7．如图，矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差12S S −为（ ）A ．13124π−B ．9124π−C ．1364π+D ．6【答案】A 【详解】解：∵在矩形ABCD 4,3AB BC ==，F 是AB 中点，∴2BF BG ==，∴12ABCD ADE BGF S S S S S −+=−矩形扇形扇形， ∴22129039021343123603604S S πππ⋅⨯⋅⨯−=⨯−−=−， 故选A ．8．如图，在半径为4的扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，点C 是AB 上一动点，点D 是OC 的中点，连结AD 并延长交OB 于点E ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A ．44π−B ．4πC ．24π−D ．2π【答案】B 【详解】∵点D 是OC 的中点，2OD =，∴点D 在以O 为圆心2为半径的圆弧上，∴可知当AE 与小圆O 相切于D 时，OE 最大，即△AOE 的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值， ∵24OA OD ==， ∴1sin =2OD OAE OA =∠,则30OAE ∠=︒，∵∠AOB=90°，∴tan OE OA OAE =⋅∠=，∴4OAE OAB S S S π=−=阴影扇形， 故选B ．9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、.F 若圆半径为2.则阴影部分面积= ．【答案】23π/23π【详解】解：连接OD ，OF ．AD 是BAC ∠的平分线，DAB DAC ∴∠=∠，OD OA =，ODA OAD ∴∠=∠，ODA DAC ∴∠=∠，OD ∴∥AC ，90ODB C ∴∠=∠=︒，∴AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴扇形，2OD OA ==，6AB =，4OB ∴=，2OB OD ∴=，30B ∴∠=︒，60A ∴∠=︒，OF OA =，AOF ∴是等边三角形，60AOF ∴∠=︒，260π22π3603OFA S S ⋅∴===阴影部分扇形，故答案为：2π3．10．如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =点O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的圆与AB 相切于点D ，交AC 于另一点E ，点F 为优弧DCE 上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ．【答案】223π+ 【详解】解：连接DE ，OD ，∵Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =∴6tan 30BC AC ===︒，∵AB 为O 的切线，∴90ADO ∠=︒，∴2AO OD =，60AOD ∠=︒，∵OD OE OC ==，∴36AC AO OC OD =+==，△ODE 为等边三角形，∴2DE OE OD OC ====，∵S 阴影=S 弓形DGE+S △DEF∴当OF ⊥DE 时，阴影部分面积最大，此时OF 与DE 交于G ，∴∠DOG=∠EOG=30°，∠DGO=90°，∴cos302OG OD =⋅︒==，2GF OG OF =+=，∴S 阴影= S 扇形ODE - S △DEO +S △DEF=260211222(22360223ππ⨯⨯−⨯⨯⨯=+．11．如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若OA ＝1，则阴影部分面积的最小值为 ．【答案】42π−【详解】取弧AB 的中点C′，连接AB 、OC '、AC '、BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，△ABC 的面积最大，则OC AB '⊥于D1222OD AB ∴===12DC OC OD ''∴=−=−1111(122AOB ABC AOBC S S S D D ''∴=+=⨯⨯+=四边形扇形AOB 的面积29013604ππ⨯== ∴阴影部分面积的最小值为4π=故答案为：4π．12．如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值= ．【答案】【详解】解：由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小．∵P，∴OP=2．∵OA'=OB'=4，∴∴tan ∠A'OP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB'=2120π4360⋅⋅﹣122⋅．故答案为：．13．如图，扇形OAB 中，OA R =，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，点D 为OB 上一动点，连接AD DC 、，当阴影部分周长最小时，tan ADC ∠等于 ．【答案】【详解】解：如图，作点C 关于OB 的对称点E ，连接AE 交OB 于点F ，连接FA 、OC ， 由对称可知，DC DE =，FC FE =，∵AD CD AD DE AE AF EF +=+≥=+，当点D 移动到点F 时，取等号，此时AD CD +最小， ∵C 为弧AB 的中点，∴AC BC =，则30AOC COB BOE ∠=∠=∠=︒，90AOE ∴∠=︒， 又OA OE =，∴45OEF ∠=︒，∴304575EFB BOE OEA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，由轴对称可知，75CFB EFB ∠=∠=︒，∴30AFC ∠=︒，∴当阴影部分周长最小时，30ADC AFC ∠=∠=︒，则tan ADC ∠= ．故答案为：．14．如图，扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，M 切弧AB 于点C ，切OA ，OB 分别于点D ，E ，若1OA =，则阴影部分面积的周长为 ．【答案】13π16−+【详解】∵⊙M 内切于扇形AOB ，∴C 、M 、O 三点共线，连接C 、M 、O ，连接ME 、MD ，如图所示，根据相切的性质可知DM ⊥AO ，ME ⊥OB ，设⊙M 的半径为R ，∴ME=MD=MC=R ，∠MDO=∠MEO=90°，结合MO=MO ，可得t t R MDO R MEO ≅△△，∴∠MOD=∠MOE=12∠AOB=120°×12=60°，∴在Rt △MOE 中，∠OME=90°-∠MOE=30°，∴OE=ME=R ，OM=2OE=R ，又∵OA=OC=OB=1，∴OM+MC=1，即R+R=1，解得R=3，∴OE=2BE=OB -1，∵∠MOE=60°，∴»60123603BC OA ππ=⨯⨯=o o ，∵∠OME=30°，∴∠CME=180°-∠OME=180°-30°=150°，15015015223603606EC ME R πππ=⨯⨯=⨯⨯=−，则阴影部分的周长为：BE+BC +EC 1+13π+156π−=1316π−，故答案为：1316π−．15．如图，在AOB 中，2OA =，3OB =，32AB =．将AOB 绕点O 逆时针旋转45︒后得到COD △，则图中阴影部分（边AB 扫过的图形）的周长为 ．【答案】534π+ 【详解】解：∵32CD AB ==，AC 的长为4521801802n OA πππ⋅⨯==，BD 的长为45331801804n OB πππ⋅⨯==，∴阴影部分的周长为533534224AC BD AB CD ππ+++=++=+． 故答案为534π+． 16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ．(1)若25B ∠=︒，求AD 的度数；(2)若D 是AB 的中点，且4AB =，求阴影部分（弓形）的面积．【答案】(1)50°(2)23π【详解】（1）解：连接CD ，如图，90ACB ∠=︒，25B ∠=︒，902565BAC ∴∠=︒−︒=︒，CA CD =，65CDA CAD ∴∠=∠=︒，180656550ACD ∴∠=︒−︒−︒=︒，∴AD 的度数为50︒；（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，D 是AB 的中点，90ACB ∠=︒，122CD AD BD AB ∴====，CD CA =， ACD ∴为等边三角形，60ADC ∴∠=︒，sin 60CH CD =⋅︒=∴阴影部分的面积260212236023ACD ACD S S ππ⋅⋅=−=−⨯=扇形17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC , 以AB 为直径作圆O ，分别交AC , BC 于点D 、E ．(1)求证：BE ＝CE ;(2)当∠BAC ＝40°时，求∠ADE 的度数；(3)过点E 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点F ,当AO ＝BE ＝2时,求图中阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)110︒(3)23π【详解】（1）证明：如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴AE ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BE=CE ；（2）∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∠BAC ＝40° ∴1==20°,2BAE BAC ∠∠∴∠ABE=90°-∠BAE=70°，∵四边形ABED 是圆内接四边形,∴∠ADE=180°-∠ABE=110°，（3）连接OE ，∵EF 是O 的切线，∴OE EC ⊥，∵22AO BE OB OE AO =====，，∴BOE 是等边三角形，∴60BOE ∠=︒，30F ∠=︒∴EF ==∴160××42==223603OEF OBE S S S ππ−⨯⨯阴影部分扇形． 18．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）163π−【详解】解：（1）证明：过O 作OD AB ⊥于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒OC AC ∴⊥， OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=， OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB=90°，∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，∴∵∠AOC=90°-30°=60°，∴∠COD=2∠AOC=120°，由（1）得：AB 是⊙O 的切线，OC ⊥AC ，∴AC 为⊙O 的切线，∴∴阴影部分面积=△AOC的面积+△AOD的面积-扇形OCD的面积2 1112044422360π⨯=⨯+⨯−163π=．。
2019-2020上学期九年级数学专题复习资料十：求与圆有关的的阴影部分的面积例析
,则图中阴影部分面积是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，正六边形 中，阴影部分的面积为 ，则此正六
边形的边长为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在 ⊿ 中， ；以点 为圆
心， 为半径画弧，交 于点 ,交 于点 ,连接 , 则图中的
阴影部分的面积为（ ）
10.如图，正方形 的边长为4，点 在 上，四边形
也是正方形，以点 为圆心， 长为半径画 ,连接 ，则
图形阴影部分面积为.
11.如图，在边长为4的正方形 中，以 为直径的半圆与对角
线 交于点 .
⑴.求弧 所对的圆心角的度数；
⑵.求图中阴影部分的面积（结果保留 ）.
12.如图，在 △ 中， ,点 在 上，以点 为圆心， 为半径的圆与 分别交于点 ，且 .
追踪练习：
1.如图，⊙ 、⊙ 、⊙ 、⊙ 、⊙ 的半径都是1，顺次连接这些
圆心得到五边形 ,则图中的阴影部分的面积之和为（ ）
A. B. C. D.
2.如图，分别以 边形的顶点为圆心，以2为半径画圆，则其中阴影部分
的面积之和为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，已知任意一五边形 .现分别以五边形 的五个顶点
略解：
阴影=
点评：
割补就是要就是要涉及求问的分散的、不规则的图形转化到一个“规则”的整体图形来解决. 割补法在很多涉及到几何图形的题中都有运用.
追踪练习：
在 △ 中， ,以 为直径作圆交 于
点 ,则图中阴影部分的面积是.
4.作差法求叠合图中形的阴影
例1.图①是教材114页的第3题，可以用四个半圆的面积之和减去正方形
⑴.求证： ∥ ;
圆求阴影部分面积方法
学生姓名：年级：课时数：辅导科目：数学学科教师：课题求阴影部分面积方法专题授课日期及其时段教学内容一、阴影部分面积的求法（一）、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
（二）、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
（三）、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。
（四）、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
（五）、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，右图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米，求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
（六）、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.（七）、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
2019-2020上学期九年级数学专题复习资料十：求与圆有关的的阴影部分的面积例析
C. 2 3 2
D. 2 3 2 3
B
E
D
F
O
C
A
B
E
the 3.如图的阴影部分是一商标图案（图中阴影部分），它以正方形 ABCD D
C
的顶点 A 为圆心， AB 为半径作弧 BD ,再以 B 为圆心， BD 为半径作弧，
in 交 BC 的延长线与 E ,弧 BD 、弧 DE 和 DE 就围成了这个图案，若正方
容易；图②虽然是半圆也可以采用相同的方法求阴影部分半圆环的面积.
.
E
C
tim B
6. 已知直角扇形 AOB 的半径 OA 2cm ，以 OB 为直径在扇形内作半
t a 圆⊙ M ，过 M 引 MP ∥ AO 交 »AB 于 P ,求 »AB 与半圆弧及 MP 围成的
M
N
P
a 阴影部分的面积为
.
O
A
y one thing 九数上期专题复习资料十
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的面积之和为
（）
E D
A.
B. 2
C. 3
D. 4 A
C
3.如图，已知任意一五边形 ABCDE .现分别以五边形 ABCDE 的五个顶点
B
为圆心，均以 2 半径画圆，则这些圆被每一个内角的两边相交所截得的弧
A
长之和为
，在五边形内部所构成的扇形（见图中阴影部分）的面
积之和为
.
C B
4.如图，分别以⊿ ABC 的是三个顶点为圆心，以 3 为本经画圆，则阴影
in 简便（见图②的第二个图）
th A
A
B
B
ll D
EC
D
EC
初中考数学专题总复习《圆》四种方法求与圆有关的阴影部分面积
方法应用 11. (2019重庆B卷)如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2 2，以点A为圆心， AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长 线于点F，则图中阴影部分的面积是__8__2___8_．
第11题图
12. (2020攀枝花改编)如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此 时点A到了点A′，则图中阴影部分的面积是___3_____．
第4题图
5. (2020乐山改编)在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如图 所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积
3 为____2____．
第5题图
二、构造和差法 方法解读
所求阴影部分面积需要添加辅助线构造扇形、三角形或特殊四边形，再利用公式 法进行和差计算．
三、对称转化法(点D为AB的中点)
方法应用
9. (2020毕节)如图，已知点C, D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长
为 1π，则图中阴影部分的面积为( A )
3
A. 1
6
B. 3
16
C. 1
24
D. 1 3
12 4
第9题图
10. 如图，在半径为4的O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点
第7题图
8. 如图，正方形ABCD的边长为4，分别以正方形的三边为直径在正方形内部 作半圆，则阴影部分的面积之和是___8_____．
第8题图
方法 等积转化法
方法解读
通过对图形的转换，为利用公式法或和差法求解创造条件． 一、直接等面积转化(CD∥AB)
二、平移转化法(E、F分别为AB、CD的中点)
四种方法求与圆有关的阴影部分 面积
2025年沪科版九年级下册数学第24章专题6 求与圆有关的阴影部分面积的技巧
AO＝CO，
专题
∴∠ADB＝∠CDB＝12∠ADC＝30°. ∴AB＝12BD，BC＝12BD， 又∵CO＝DO＝12BD.∴AB＝OD，BC＝OC.
AB＝OD， 在△ABC 和△DOC 中，BC＝OC，∴△ABC≌△DOC(SSS).
∴S 阴影＝S 扇形 AOC－S△AOC－S△ABC
90π×
＝ 360
52－12OA·OC－12×1·AB
＝54π－12× 5× 5－12×1×2＝54π－52－1＝54π－72.故选 D.
【答案】D
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专题
4．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于 点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点 D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F.
的为中__π4点_－__，18_m则2花. 窗的面积
返回
专题
2．[2024·重庆九龙坡一模]如图，已知四边形 ABCD 内接于 ⊙O，连接 AC，BD.若△ACD 为等边三角形，AC＝4 3，
点 B，O，D 共线，则阴影部分的面积为___13_6_π___．
专题
【点拨】连接 OA，OC.设 AC 与 BD 交于点 M. 易知 BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°. ∵△ACD 是等边三角形.∴AD＝CD＝AC＝4 3，∠ADC＝60°.
B.52π－72 D.54π－72
专题
【点拨】如图，作AB的垂 直平分线MN，作BC的垂直 平分线PQ，设MN与PQ相 交于点O，连接OA，OB， OC，则点O是△ABC外接圆 的圆心.
专题
由题意，得 OA2＝5，OC2＝5，AC2＝10，
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初中数学复习（圆）
1、已知：如图，AB为半圆⊙O的直径，C、D为半圆⊙O的三等分点，若AB=12，求阴影部分的面积。
2、如图，已知：∠AOB=90°，AC∥OB，AO=3，分别以O点，A点为圆心，AO、AB为半径画弧，交OB、AC于B、C，求阴影部分的周长和面积。
3、如图，已知半径分别为1和3的⊙O1和⊙O2外切于P，AB切二圆于A、B两点，求图中阴影部分的面积。
4、如图，已知：⊙O1与⊙O2相交于B、D，AB为⊙O1直径，BC=AD，若AB=12,DE=30，求圆中阴影部分的面积。
6、一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，如果这个扇形的面积与圆的面积相等，则这个扇形的圆心角等于( ) A.180° B.90° C.45° D.22.5°
π，则大圆的面积为，小圆的面积为7、两圆的半径之比为3∶5，面积相差32
；正三角形的内切圆与外接圆的面积之比为。
8、圆心角为40°，半径为6的扇形的面积为；
半径为3，弧长为4的扇形的面积为；
弧长为2π，面积为4π的扇形的半径为，圆心角为；
圆心角为60°，弧长为6π的扇形的半径为，面积为。
9、如图，四个等圆两两外切，半径均为2cm ，且∠O 2O 1O 4=90°，求图中的阴影部分的面
积为S 。
10、已知扇形的圆心角为60°，面积为6π，求这个扇形的周长。
11、如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=4，34BD
=，以B 为圆心，BO 为
半径画弧交AB 于E ，交BC 于F ，以D 为圆心，DO 为半径画弧交AD 于G ，交DC 于H ，求阴影部分的面积S 。
12、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，∠P=60°，AB=12，求阴影部分的面积。
13如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，M 为AB 的中点，分别以A 、B 为圆心，AM 为 半径画弧交AC 于D ，交BC 于E ，求阴影部分的面积。
一、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，
∵四边形ABCD 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠
二、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
三、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ 四、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅ （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2
CE AE BE =⋅
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2
PA PC PB =⋅
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅ 五、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的
的公共弦。
如图：12O O 垂直平分AB 。
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B ∴12O O 垂直平分AB 六、圆的公切线
D
B
A
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：12Rt O O C ∆
中，221AB CO ==；
（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。
七、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆
中进行：
::2OD BD OB =；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆
中进行，::OE AE OA =
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆
中进行，::2AB OB OA =.
八、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180
n R
l π=
； （2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
l
O
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=2
22rh r ππ+
（2）圆柱的体积：2
V r h π=
（2）圆锥侧面展开图
（1）S S S =+侧表底=2
Rr r ππ+
（2）圆锥的体积：213
V r h π=
C 1
D 1。