高中数学选修-练习题
高中数学选修一综合测试题重点易错题(带答案)
高中数学选修一综合测试题重点易错题单选题1、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±12x B．y=±2xC．y=±4x D．y=±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d=√b2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0.因为d=√b2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=±12x.故选：A2、已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为（）A．√2a B．√3a C．√23a D．√33a答案：D分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解由正方体的性质，AB1∥DC1,D1B1∥DB，AB1∩D1B1=B1，DC1∩DB=D，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a,a,0)，A 1(a,0,a )，C (0,a,0)，B 1(a,a,a )，D 1(0,0,a ) 所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−a,0)，AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,a,a )，B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,−a,0)．连接A 1C ，由CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(0,a,a )=0，CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(−a,−a,0)=0，且AB 1∩B 1D 1=B 1，可知A 1C ⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ⃑ =(1,−1,1)， 则两平面间的距离d =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑ |n ⃑ ||=√3=√33a ． 故选：D3、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0，这两圆的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得，圆C 1圆心(0,0)，半径为7；圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16，圆心(3,4)，半径为4， 两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B.4、已知直线斜率为k ，且−1≤k ≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[0,π3]∪[π2,3π4)B ．[0,π3]∪[3π4,π)C．[0,π6]∪[π2,3π4)D．[0,π6]∪[3π4,π)答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 解：直线l的斜率为k，且−1≤k≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.5、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为（）A．3x−y−4√3=0B．x−y−√3=0C．x+y−√3=0D．x+y+√3=0答案：D分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k=tan135°=−1，所以直线方程为y+2√3=−(x−√3)，即x+y+√3=0，故选：D6、如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN∥OP的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)， 对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，MN ∥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A7、已知直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则l 的方程为（ ） A ．x +3y −10=0B ．x −3y +8=0C ．3x +y −6=0D ．2x +3y −11=0 答案：A分析：直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切可知k l =−1k op，再使用点斜式即可.直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则k l =−1k op=−13−01−0=−13,故直线l 的方程为y −3=−13(x −1)，即x +3y −10=0. 故选：A.8、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB:DC =2:1，则三角形ABD 面积的最小值是（ ）A ．43(√3−1)B ．43(√3+1)C ．4√33D ．√33答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C 的坐标，利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式，可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ，代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B (−1,0)，C (1,0)， 设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169，所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD 面积的最小值为S △ABD =12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A多选题9、对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是（ ） A ．开口向上，准线方程为y ＝－116B ．开口向上，焦点为(0,116) C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，准线方程为y ＝－1 答案：AB分析：根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可. 由题设，抛物线可化为x 2=y4，∴开口向上，焦点为(0,116)，准线方程为y =−116. 故选：AB10、已知直线l 1：x −y −1=0，动直线l 2：(k +1)x +ky +k =0 (k ∈R )，则下列结论正确的是（ ） A ．存在k ，使得l 2的倾斜角为90∘B ．对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都不垂直答案：ABD分析：当k=0时可判断A；直线l1与l2均过点(0,−1)可判断B；当k=−12时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于−1可判断D，进而可得正确选项.对于A：当k=0时，直线l2：x=0，此时直线l2的倾斜角为90∘，故选项A正确；对于B，直线l1与l2均过点(0,−1)，所以对任意的k，l1与l2都有公共点，故选项B正确；对于C，当k=−12时，直线l2为12x−12y−12=0，即x−y−1=0与l1重合，故选项C错误；对于D，直线l1的斜率为1，若l2的斜率存在，则斜率为−k+1k≠−1，所以l1与l2不可能垂直，所以对任意的k，l1与l2都不垂直，故选项D不正确；故选：ABD.11、已知F为椭圆C：x24+y22=1的左焦点，直线l：y=kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A．1|AF|+4|BF|的最小值为2B．△ABE面积的最大值为√2C．直线BE的斜率为12k D．∠PAB为钝角答案：BC分析：A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，|AF|+|BF|=4，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值94，A项错误；B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值；C项，由对称性，可设A(x0,y0)，则B(−x0,−y0)，E(x0,0)，则可得直线BE的斜率与k的关系；D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得k PA⋅k PB=−b2a2=−12，又由C项可知k PB=k BE=12k，得k PA⋅k AB=−1，即∠PAB=90°，排除D项.对于A，设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AF′BF为平行四边形，∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=4，∴1|AF|+4|BF|=14(|AF|+|BF|)(1|AF|+4|BF|)=14(5+|BF||AF|+4|AF||BF|)≥94，当且仅当|BF|=2|AF|时等号成立，A 错误；对于B ，由{x 24+y 22=1y =kx 得x =√1+2k 2，∴|y A −y B |√1+2k 2，∴△ABE 的面积S =12|x A ||y A −y B |=4|k|1+2k 2=41|k|+2|k|≤√2，当且仅当k =±√22时等号成立，B 正确；对于C ，设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，E(x 0,0)， 故直线BE 的斜率k BE =0+y 0x 0+x 0=12⋅y 0x 0=12k ，C 正确；对于D ，设P(m,n)，直线PA 的斜率额为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ⋅k PB = n−y 0m−x 0⋅n+y 0m+x 0=n 2−y 02m 2−x 02，又点P 和点A 在椭圆C 上，∴m 24+n 22=1①，x 024+y 022=1②，①−②得n 2−y 02m 2−x 02=−12，易知k PB =k BE =12k ，则k PA ⋅12k =−12，得k PA =−1k ，∴k PA ⋅k AB =(−1k )⋅k =−1，∴∠PAB =90°，D 错误. 故选：BC.小提示：椭圆常用结论：已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，AB 为椭圆经过原点的一条弦，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，若k PA ,k PB 都存在，则k PA ⋅k PB =−b 2a 2. 填空题12、设a∈R，若直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，则直线l的斜率是___________.答案：1分析：利用直线的斜率公式求解.解：因为直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，=1，所以直线l的斜率是k=3−2a+1−a所以答案是：113、已知圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A､B两点，则公共弦AB的长是___________.答案：2分析：两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.解：由题意AB所在的直线方程为：(x2+y2+2x−4y−5)−(x2+y2+2x−1)=0，即y=−1，因为圆x2+y2+2x−1=0的圆心O(−1,0)，半径为r=√2，所以，圆心O(−1,0)到直线y=−1的距离为1，所以|AB|=2√2−12=2.所以答案是：214、直线y=kx+2(k>0)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为________．答案：60∘分析：由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．∵直线y=kx+2(k>0)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，所以，圆心O(0,0)到直线kx−y+2=0的距离d=√22−(√3)2=1，=1，解得k=√3(k>0)．即√k2+1设直线的倾斜角为θ(0∘≤θ<180∘)，则tanθ=√3，则θ=60∘．因此，直线y=kx+2(k>0)的倾斜角为60∘．所以答案是：60∘．解答题15、设直线l 的方程为(a +1)x +y −3+a =0（a ∈R ）. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第三象限，求a 的取值范围. 答案：(1)0或3 (2)[−1,3]分析：（1）通过讨论−3+a 是否为0，求出a 的值即可； （2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可.（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0； 若a ≠3，则3−a a+1=3−a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y −3=0， ∴a 的值为0或3.（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y =−(a +1)x +3−a ， 则{−(a +1)≤03−a ≥0 ，解得−1≤a ≤3，∴a 的取值范围是[−1,3].。
2023年人教版高中数学选修一经典大题例题
(名师选题)2023年人教版高中数学选修一经典大题例题单选题1、经过点(－√2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（）A．y＋√2=√33(x－2)B．y＋2＝√3(x－√2)C．y－2=√33(x＋√2)D．y－2＝√3(x＋√2)答案：C分析：根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.直线的斜率k=tan30°=√33，由直线的点斜式方程可得y－2＝√33(x＋√2)，故选：C．2、设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32答案：B分析：因为C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2√a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.∵C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=ba x，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=−ba x，解得{x=ay=−b故E(a,−b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.3、抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为√2，则p=（）A．1B．2C．2√2D．4答案：B分析：首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.抛物线的焦点坐标为(p2,0)，其到直线x−y+1=0的距离：d=|p2−0+1|√1+1=√2，解得：p=2(p=−6舍去).故选：B.4、已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx−2y+2=0外，则实数m的取值范围为（）A．(−3,−2)∪(2,+∞)B．(−3,−2)∪(3,+∞)C．(−2,+∞)D．(−3,+∞)答案：A分析：由x2+y2+mx−2y+2=0表示圆可得m2+(−2)2−4×2>0，点A（1，2）在圆C外可得12+22+ m−2×2+2>0，求解即可由题意，x2+y2+mx−2y+2=0表示圆故m2+(−2)2−4×2>0，即m>2或m<−2点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx−2y+2=0外故12+22+m−2×2+2>0，即m>−3故实数m的取值范围为m>2或−3<m<−2即m∈(−3,−2)∪(2,+∞)故选：A5、已知边长为2的等边三角形ABC，D是平面ABC内一点，且满足DB:DC=2:1，则三角形ABD面积的最小值是（）A．43(√3−1)B．43(√3+1)C．4√33D．√33答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C的坐标，利用DB:DC=2:1列式得关于x,y的等式，可得点D的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB的方程，计算|AB|和点D距离直线AB的最小距离d−r，代入三角形面积公式计算.以BC的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B(−1,0)，C(1,0)，设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169，所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD 面积的最小值为S △ABD =12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A6、设x 、y ∈R ，向量a ⃑=(x,1,1)，b ⃑⃑=(1,y,1)，c ⃑=(3,−6,3)且a ⃑⊥c ⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则|a ⃑+b ⃑⃑|=（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4D ．3 答案：D分析：利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a ⃑+b ⃑⃑的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.因为a ⃑⊥c ⃑，则a ⃑⋅c ⃑=3x −6+3=0，解得x =1，则a ⃑=(1,1,1)，因为b ⃑⃑//c ⃑，则13=y−6，解得y =−2，即b⃑⃑=(1,−2,1)， 所以，a ⃑+b ⃑⃑=(2,−1,2)，因此，|a ⃑+b ⃑⃑|=√4+1+4=3. 故选：D.7、若点P 在曲线C 1:x 216−y 29=1上，点Q 在曲线C 2:(x −5)2+y 2=1上，点R 在曲线C 3:(x +5)2+y 2=1上，则|PQ|−|PR|的最大值是（）A．9B．10C．11D．12答案：B分析：分析可知两圆圆心为双曲线C1的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得|PQ|−|PR|的最大值.在双曲线C1中，a=4，b=3，c=5，易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点，记点F1(−5,0)、F2(5,0)，当|PQ|−|PR|取最大值时，P在双曲线C1的左支上，所以，|PQ|−|PR|≤|PF2|+1−(|PF1|−1)=|PF2|−|PF1|+2=2a+2=10.故选：B.8、“a=1”是“直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直得到a∈R，再利用充分必要条件的定义判断得解.因为直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直，所以1×(a)+a×(−1)=0，所以a∈R.所以a =1时，直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直，所以“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的充分条件；当直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直时，a =1不一定成立，所以“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的非必要条件.所以“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A小提示：方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.9、已知空间向量a ⃑，b ⃑⃑，c ⃑满足a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=0⃑⃑，|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=2，|c ⃑|=√7，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：C分析：将a ⃑+b ⃑⃑=−c ⃑，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ．由a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=0，得a ⃑+b ⃑⃑=−c ⃑，两边平方，得a ⃑2+2a ⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=c ⃑2， 所以1+2×1×2cosθ+4=7，解得cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=60∘， 故选：C ．10、已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点分别是F 1，F 2，直线y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，且∠F 1AF 2=60°，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．716B ．√74C ．916D ．34答案：B分析：根据椭圆的对称性可知，|AF 2|=|BF 1|，设|AF 2|=m ，由|AF 1|=3|BF 1|以及椭圆定义可得|AF 1|=3a 2，|AF 2|=a2，在△AF 1F 2中再根据余弦定理即可得到4c 2=7a 24，从而可求出椭圆C 的离心率．由椭圆的对称性，得|AF2|=|BF1|.设|AF2|=m，则|AF1|=3m.由椭圆的定义，知|AF1|+|AF2|=2a，即m+3m=2a，解得m=a2，故|AF1|=3a2，|AF2|=a2.在△AF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1||AF2|cos∠F1AF2，即4c2=9a24+a24−2×3a2×a 2×12=7a24，则e2=c2a2=716，故e=√74.故选：B.11、直线y=k(x−1)+2恒过定点（）A．(−1,2)B．(1,2)C．(2,−1)D．(2,1)答案：B分析：由x=1时，y=2可得到定点坐标.当x−1=0，即x=1时，y=2，∴直线y=k(x−1)+2恒过定点(1,2).故选：B.12、已知从点(−5,3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：(x−1)2+(y−1)2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x−3y+1=0B．2x−3y−1=0C．3x−2y+1=0D．3x−2y−1=0答案：A分析：根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.设点A的坐标为(−5,3)，圆(x−1)2+(y−1)2=5的圆心坐标为B(1,1)，设C(x,0)是x 轴上一点，因为反射光线恰好平分圆(x −1)2+(y −1)2=5的圆周， 所以反射光线经过点B(1,1)， 由反射的性质可知：k AC +k BC =0⇒3−0−5−x+1−01−x=0⇒x =−12，于是k BC =1−01−(−12)=23，所以反射光线所在的直线方程为：y =23(x +12)⇒2x −3y +1=0， 故选：A 双空题13、历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l ′表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C 的中心在坐标原点，焦点为F 1(−c,0),F 2(c,0)(c >0)，由F 1发出的光经椭圆两次反射后回到F 1经过的路程为8c ．利用椭圆的光学性质解决以下问题：（1）椭圆C 的离心率为__________．（2）点P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，椭圆在点P 处的切线为l,F 2在l 上的射影H 在圆x 2+y 2=8上，则椭圆C 的方程为__________． 答案： 12##0.5x 28+y 26=1分析：(1)由题意得到关于a,c 的等式,然后结合离心率的定义即可确定椭圆的离心率; (2)由题意利用几何关系求得a,b 的值即可求得椭圆方程.设椭圆C 的长轴长为2a (a >0),则由F 1发出的光经椭圆两次反射后回到F 1，经过的路程为2a +2a =4a =8c ，从而e =12；如图示：延长F 2H,F 1P ,交于点F 0.在△PF 2F 0中,PH ⊥F 0F 2,由反射角等于入射角，可得：∠F 2PH =∠F 0PH ,则|PF 2|=|PF 0|且H 为F 2F 0中点. 在△F 1F 2F 0中OH =12|F 1F 0|=12(|PF 1|+|PF 0|)=12(|PF 1|+|PF 2|),则|PF 1|+|PF 2|=4√2=2a ,∴a =2√2,c =√2,b 2=a 2−c 2=8−2=6, 所以椭圆方程为x 28+y 26=1.所以答案是：12；x 28+y 26=1.14、过直线l:y =x −2上任意点P 作圆C:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A,B ，当切线长最小时，切线长为_________；同时△PAB 的面积为_______． 答案： 1 12##0.5分析：依据题意，作出图形，如图，由于PA =√OP 2−1,所以当OP 取最小值时，PA 最小，此时OP 与直线l 垂直，利用点到直线的距离公式可求出OP 的长，从而可得PA 的值，由圆的对称性和切线长定理可知PA =PB ，∠BPA =90°，从而可求出△PAB 的面积 解：依据题意，作出图形，如下图：因为直线l过点P且与圆x2+y2=1相切于点A，所以PA⊥OA，所以PA=√OP2−OA2=√OP2−1，要使得PA最小，则OP要最小，由题可得：OP的最小值就是点O到直线l:y=x−2的距离d=√12+12=√2．此时，PA min=√(OP min)2−1=√(√2)2−1=1，所以∠OPA=π4由切线的对称性可得：∠BPA=π2,PB=1所以△PAB的面积为S△PAB=12×1×1=12，所以答案是：1；12.15、在标准正交基{i⃑,j⃑,k⃑⃑}下，已知向量a⃑=−2i⃑+8j⃑+3k⃑⃑，b⃑⃑=−5i⃑+2k⃑⃑，则向量a⃑+2b⃑⃑在i⃑上的投影为______，在j⃑,k⃑⃑上的投影之积为______．答案： -12 56分析：根据向量的加法求得a⃑+2b⃑⃑=−12i⃑+8j⃑+7k⃑⃑，即可得a⃑+2b⃑⃑在i⃑，j⃑，k⃑⃑上的投影分别为-12，8，7，即可得答案.解：易得a⃑+2b⃑⃑=−12i⃑+8j⃑+7k⃑⃑，所以a⃑+2b⃑⃑在i⃑，j⃑，k⃑⃑上的投影分别为-12，8，7，其在j⃑，k⃑⃑上的投影之积为8×7=56．所以答案是：-12；56.16、已知空间向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°.点G 为△ABC 的重心，若PG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xPA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yPB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+zPC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，x ，y ，z ∈R ，则x +y +z =__________；|PG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=__________. 答案： 1; 53.解析：（1）把BG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑,BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)代入PG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑化简整理即可（2）|PG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√(13PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)2代入计算 解：取AC 的中点D ，PG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23×(PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23×[12(PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑)−PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑]=13PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 又PG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xPA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yPB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+zPC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，空间向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60° x =13，y =13，z =13，x +y +z =1 x +y +z =1|PG⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|13PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=13√(PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)2=13√PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+2PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13√12+22+32+2×1×2×12+2×3×2×12+2×1×3×12=53所以答案是：1 ；53小提示：考查空间向量的基本运算，基础题. 17、已知O 为坐标原点，椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1且斜率为k 的直线与圆x 2+y 2=a 2交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），线段F 1B 与椭圆交于点M ，MF 2延长线与椭圆交于点N ，且|AF 1|=|MB|,|MF 2|=2|F 2N |，则椭圆的离心率为___________，直线AF 1的斜率为___________． 答案： √5312分析：根据几何关系及椭圆的定义即可求解. 过原点O 作OH ⊥AB 于点H ,则H 为AB 的中点， 又∵|AF 1|=|MB |, ∴|F 1H |=|MH |, 即MF 1的中点， ∴OH ∥MF 2, ∴MF 1⊥MF 2,连接F 1N , 设|F 2N |=m ，则|MF 2|=2m ，|MF 1|=2a −2m ，|F 1N |=2a −m ， 在Rt △MF 1N 中，(2a −2m )2+(3m )2=(2a −m )2，解得m =a3，在Rt △MF 1F 2中，(2a −2a 3)2+(2a 3)2=(2c )2，整理得5a 29=c 2，解得e =√53， k AF 1=tan∠MF 1F 2=|MF 2||MF 1|=2a34a 3=12.所以答案是：√53；12.解答题18、已知椭圆C:x225+y2m2=1(0<m<5)的离心率为√154，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．答案：（1）x 225+16y225=1；（2）52.分析：（1）因为C:x 225+y2m2=1(0<m<5)，可得a=5，b=m，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）方法一：过点P作x轴垂线，垂足为M，设x=6与x轴交点为N，可得△PMB≅△BNQ，可求得P点坐标，从而求出直线AQ的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得△APQ的面积.（1）∵C:x 225+y2m2=1(0<m<5)∴a=5，b=m，根据离心率e=ca =√1−(ba)2=√1−(m5)2=√154，解得m=54或m=−54(舍)，∴C的方程为：x225+y2(54)2=1，即x225+16y225=1．（2）［方法一］：通性通法不妨设P,Q在x轴上方，过点P作x轴垂线，垂足为M，设直线x=6与x轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，∠PMB=∠QNB=90°，又∵∠PBM+∠QBN=90°，∠BQN+∠QBN=90°，∴∠PBM=∠BQN，根据三角形全等条件“AAS”，可得：△PMB≅△BNQ，∵x2 25+16y225=1，∴B(5,0)，∴|PM|=|BN|=6−5=1，设P点为(x P,y P)，可得P点纵坐标为y P=1，将其代入x225+16y225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P=3或x P=−3，∴P点为(3,1)或(−3,1)，①当P点为(3,1)时，故|MB|=5−3=2，∵△PMB≅△BNQ，∴|MB|=|NQ|=2，可得：Q点为(6,2)，画出图象，如图∵A(−5,0), Q(6,2)，可求得直线AQ的直线方程为：2x−11y+10=0，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为d=√22+112=√125=√55，根据两点间距离公式可得：|AQ|=√(6+5)2+(2−0)2=5√5，∴△APQ面积为：12×5√5×√55=52；②当P点为(−3,1)时，故|MB|=5+3=8，∵△PMB≅△BNQ，∴|MB|=|NQ|=8，可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图∵A(−5,0), Q(6,8)，可求得直线AQ的直线方程为：8x−11y+40=0，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为d=√82+112=√185=√185，根据两点间距离公式可得：|AQ|=√(6+5)2+(8−0)2=√185，∴△APQ面积为：12×√185×√185=52，综上所述，△APQ面积为：52.［方法二］【最优解】：由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作PE⊥x轴，垂足为E．设D(6,0)，由题知，△PEB≌△BDQ．故BPQB =PEBD=PE1⇒PE=1⇒x p=±3，①因为P(3,1),A(−5,0),Q(6,2)，如图，所以，S△APQ=S△AQD−S PEDQ−S△PEA=52．②因为P(−3,1),A(−5,0),Q(6,8)，如图，所以S△APQ=S△AQD−S PEDQ−S△PEA=52．综上有S △APQ =52 ［方法三］：由已知可得B (5,0)，直线BP,BQ 的斜率一定存在，设直线BP 的方程为y =k (x −5)，由对称性可设k <0，联立方程{y =k(x −5),x 225+16y 225=1, 消去y 得(1+16k 2)x 2−160k 2x +16×25k 2−25=0， 由韦达定理得5x P =16×25k 2−251+16k 2，所以x P =80k 2−51+16k 2，将其代入直线BP 的方程得y P =−10k1+16k 2，所以P (80k 2−51+16k 2,−10k1+16k 2)， 则|BP|=√(80k 2−51+16k 2−5)2+(−10k1+16k 2)2=10√1+k 21+16k 2．因为BP ⊥BQ ，则直线BQ 的方程为y =−1k (x −5)， 则Q (6,−1k ),|BQ|=√1+(−1k )2=√1+k 2k 2．因为|BP|=|BQ|，所10√1+k 21+16k 2=√1+k 2k 2，256k 4−68k 2+1=0，即(64k 2−1)(4k 2−1)=0，故k 2=164或k 2=14，即k =−18或k =−12． 当k =−18时，点P ，Q 的坐标分别为P(−3,1),Q(6,8),|PQ|=√130， 直线PQ 的方程为y =79x +103，点A 到直线PQ 的距离为√13026，故△APQ 的面积为12×√13026×√130=52．当k =−12时，点P ，Q 的坐标分别为P(3,1),Q(6,2),|PQ|=√10，直线PQ 的方程为y =13x ，点A(−5,0)到直线PQ 的距离为√102， 故△APQ 的面积为12×√102×√10=52．综上所述，△APQ 的面积为52． ［方法四］：由（1）知椭圆的方程为x 225+16y 225=1，A(−5,0),B(5,0)．不妨设P (x 0,y 0)在x 轴上方，如图．设直线AP:y =k(x +5)(k >0)．因为|BP|=|BQ|,BP ⊥BQ ，所以y 0=|BN|=1,y Q =|BM|=5−x 0．由点P 在椭圆上得x 0225+1625=1，所以x 02=9．由点P 在直线AP 上得1=k (x 0+5)，所以x 0=1−5k k．所以(1−5k k)2=9，化简得16k 2=10k −1．所以5−x 0=5−(1k −5)=10k−1k=16k ，即Q(6,16k)．所以，点Q 到直线AP 的距离d =√k 2+1=√k 2+1．又|AP|=√(x 0+5)2+y 02=√k 2+1(x 0+5)=√k 2+1k．故S △APQ =12AP ⋅d =12⋅√k 2+1k√k 2+1=52．即△APQ 的面积为52．［方法五］：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设D(6,0)， 由题知△PCB ≌△BDQ ，所以BPQB=PC BD=PC 1⇒PC =1⇒x p =±3．（1）P(3,1),A(−5,0),Q(6,2)．则S △APQ =12√(|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅|AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|)2−(|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅|AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|)2=12|x 1y 2−x 2y 1|=12|8×2−11×1|=52． （其中AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(x 1,y 1),AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(x 2,y 2)）． （2）P(−3,1),A(−5,0),Q(6,8)．同理，S △APQ =12√(|AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑||AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|)2−(AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)2=12|x 1y 2−x 2y 1|=12|2×8−11×1|=52． （其中AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(x 1,y 1),AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(x 2,y 2)） 综上，△APQ 的面积为52．【整体点评】（2）方法一：根据平面几何知识可求得点P 的坐标，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，再根据距离公式即可求出三角形的面积，是通性通法；方法二：同方法一，最后通过面积分割法求△APQ 的面积，计算上有简化，是本题的最优解；方法三：通过设直线BP 的方程y =k (x −5)与椭圆的方程联立，求出点P 的坐标，再根据题目等量关系求出k 的值，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的面积，思想简单，但运算较繁琐；方法四：与法三相似，设直线AP 的方程AP:y =k(x +5)(k >0)，通过平面知识求出点P 的坐标，表示出点Q ，再根据距离公式即可求出三角形的面积；方法五：同法一，只是在三角形面积公式的选择上，利用三角形面积的正弦形式结合平面向量的数量积算出． 19、已知直线l:(m +2)x +(1−2m )y +4m −2=0与圆C:x 2−2x +y 2=0交于M,N 两点． （1）求出直线l 恒过定点的坐标 （2）求直线l 的斜率的取值范围（3）若O 为坐标原点，直线OM,ON 的斜率分别为k 1,k 2，试问k 1+k 2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．答案：（1）(0,2)；（2）(−∞,−34)；（3）k 1+k 2为定值1.分析：（1）将直线方程整理后可得方程组{x −2y +4=02x +y −2=0，解方程组可求得定点坐标；（2）设直线l 方程y −2=k (x −0)，利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果； （3）可设直线l 方程y =kx +2，与圆方程联立得到韦达定理的形式，由k 1+k 2=y 1x 1+y2x 2=(kx 1+2)x 2+(kx 2+2)x 1x 1x 2整理可得定值.（1）将直线l 方程整理为：(x −2y +4)m +(2x +y −2)=0， 令{x −2y +4=02x +y −2=0，解得：{x =0y =2 ，∴直线l 恒过定点(0,2)；（2）设直线l 斜率为k ，由（1）可知：直线l 方程可设为：y −2=k (x −0)，即kx −y +2=0； 圆C 方程可整理为(x −1)2+y 2=1，则其圆心C (1,0)，半径r =1， ∵直线l 与圆C 交于M,N 两点，∴圆心C 到直线l 距离d <r ， 即√k 2+1<1，解得：k <−34，即直线l 斜率的取值范围为(−∞,−34)； （3）设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)当m =12时，l:x =0与圆C 仅有一个交点，不合题意，∴m ≠12，则直线l:y =m+22m−1x +2，∴可设直线l 方程为y =kx +2，由{y =kx +2x 2−2x +y 2=0 得：(1+k 2)x 2+(4k −2)x +4=0，由（2）知：k <−34； ∴x 1+x 2=2−4k 1+k2，x 1x 2=41+k 2，∴k 1+k 2=y 1x 1+y 2x 2=y 1x 2+y 2x 1x 1x 2=(kx 1+2)x 2+(kx 2+2)x 1x 1x 2=2kx 1x 2+2(x 1+x 2)x 1x 2=2k +2×2−4k 1+k 241+k 2=2k +1−2k =1，∴k 1+k 2为定值1.小提示：思路点睛：本题考查直线与圆中的定值问题的求解，解题关键是能够将所求量表示成韦达定理的形式，通过韦达定理代入整理，消去变量即可得到定值.20、已知圆C 1：x 2+y 2=10与圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0． (1)求证：圆C 1与圆C 2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x +y −6=0上的圆的方程． 答案：(1)证明见解析 (2)x +y −2=0(3)x 2+y 2−6x −6y +2=0分析：（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明； （2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为P (6−n,n )，根据|AP |=|BP |得到方程，即可求出n ，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.（1）证明：圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0化为标准方程为(x +1)2+(y +1)2=16， ∴C 2(−1,−1)，r =4∵圆C 1:x 2+y 2=10的圆心坐标为C 1(0,0)，半径为R =√10， ∴|C 1C 2|=√2，∵4−√10<√2<4+√10，∴两圆相交；（2）解：由圆C 1:x 2+y 2=10与圆C 2:x 2+y 2+2x +2y −14=0， 将两圆方程相减，可得2x +2y −4=0， 即两圆公共弦所在直线的方程为x +y −2=0；（3）解：由{x 2+y 2+2x +2y −14=0x 2+y 2=10 ，解得{x =3y =−1 或{x =−1y =3，则交点为A (3,−1)，B (−1,3)，∵圆心在直线x +y −6=0上，设圆心为P (6−n,n )，则|AP |=|BP |，即√(6−n −3)2+(n +1)2=√(6−n +1)2+(n −3)2，解得n =3， 故圆心P (3,3)，半径r =|AP |=4， ∴所求圆的方程为(x −3)2+(y −3)2=16．。
人教A版高中数学选修第一册同步练习2.5.2 圆与圆的位置关系 A基础练(详细解析版)
人教A 版高中数学选修第一册同步练习2.5.2 圆与圆的位置关系（A 基础练）一、选择题1．（2020全国高课二时练）圆O 1: 2220x y x +-=和圆O 2: 2240x y y +-=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切【正确答案】B【详细解析】试题分析:由题意可知圆1O 的圆心()11,0O ,半径11r =,圆2O 的圆心()20,2O ,半径12r =,又211212r r OO r r -<<+,所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交,故选B ．2．（2020山东菏泽三中高二期中）两圆224210x y x y +-++=与224410x y x y ++--=的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【正确答案】C【详细解析】由题意,得两圆的标准方程分别为22(2)(1)4x y -++=和22(2)(2)9x y ++-=,则两圆的圆心距523d ===+,即两圆外切,所以两圆有3条公切线;故选C ．3．（2020山西师大附中高二期中）圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A,B,则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．10x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．10x y -+= 【正确答案】A【详细解析】圆22250x y x +--=的圆心为(1,0)M ,圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2)N -,两圆的相交弦AB 的垂直平分线即为直线MN ,其方程为020111y x --=---,即10x y +-=;故选A. 4.（2020山东泰安一中高二期中）已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相外切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝15D ．(x ＋5)2＋(y －7)2＝25【正确答案】A【详细解析】设动圆圆心为M ,且半径为1,又圆22(5)(7)16x y -++=的圆心为(5,7)N -,半径为4,由两圆相外切,得145MN =+=,即动圆圆心M 的轨迹是以(5,7)N -为圆心、半径为5的圆,其轨迹方程为22(5)(7)25x y -++=;故选A.5．（多选题）（2020河北正定中学高二期中）下列圆中与圆C :x 2+y 2+2x -4y+1=0相切的是( )A.(x+2)2+(y+2)2=9B.(x -2)2+(y+2)2=9C.(x -2)2+(y -2)2=25D.(x -2)2+(y+2)2=49 【正确答案】BCD【详细解析】由圆C :x 2+y 2+2x -4y+1=0,可知圆心C 的坐标为(-1,2),半径r=2.A 项,圆心C 1(-2,-2),半径r 1=3.∵|C 1C|=√17∈(r 1-r ,r 1+r ),∴两圆相交;B 项,圆心C 2(2,-2),半径r 2=3, ∵|C 2C|=5=r+r 2,∴两圆外切,满足条件;C 项,圆心C 3(2,2),半径r 3=5,∵|C 3C|=3=r 3-r ,∴两圆内切;D 项,圆心C 4(2,-2),半径r 4=7,∵|C 4C|=5=r 4-r ,∴两圆内切.6．（多选题）若圆C 1:x 2+y 2=1和圆C 2:x 2+y 2-6x -8y -k=0没有公共点,则实数k 的取值可能是( )A.-16B.-9C.11D.12 【正确答案】AD【详细解析】化圆C 2:x 2+y 2-6x -8y -k=0为(x -3)2+(y -4)2=25+k ,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为√25+k ; 圆C 1:x 2+y 2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.要使圆C 1和圆C 2没有公共点,则|C 1C 2|>√25+k +1或|C 1C 2|<√25+k -1,即5>√25+k +1或5<√25+k -1,解得-25<k<-9或k>11.∴实数k 的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞).满足这一范围的有A 和D.二、填空题7．（2020·辽河油田二中高二期中）已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -,若两圆圆心都在直线0x y b ++=上,则+a b 的值是 ________________ .【正确答案】1-【详细解析】由(),3A a ,()1,1B -,设AB 的中点为1,22a M -⎛⎫ ⎪⎝⎭,根据题意,可得1202a b -++=,且3111AB k a -==+,解得,1a =,2b =-,故1a b +=-.故正确答案为:1-. 8．半径长为6的圆与y 轴相切,且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切,则此圆的方程为______________ .【正确答案】(x －6)2＋(y ±4)2＝36【详细解析】设该圆的标准方程为22()()36x a y b -+-=,因为该圆与y 轴相切,且与圆22(3)1x y -+=内切,所以65a ⎧=⎪=,解得64a b =⎧⎨=±⎩,即该圆的标准方程为22(6)(4)36x y -+±=. 9．（2020全国高二课时练）若点P 在圆221x y +=上,点Q 在圆()()22344x y ++-=,则PQ 的最小值为_____________ .【正确答案】2【详细解析】由题意可知,圆221x y +=的圆心坐标为()0,0A ,半径1r =,圆()()22344x y ++-=的圆心坐标为()3,4B -,半径2R =.由512d AB R r ===>+=+,∴两圆的位置关系是外离.又点P 在圆A 上,点Q 在圆B 上,则PQ 的最小值为()()5122d R r -+=-+=10．（2020浙江嘉兴四中高二期中）已知相交两圆221:4C x y +=,圆222,(2)4C x y -+=,公共弦所在直线方程为___________,公共弦的长度为___________.【正确答案】1x =;【详细解析】联立2222(24)4x y x y ⎧+=⎨⎩-+=作差可得1x =,将1x =代入224x y +=可解得y =12l y y =-=故正确答案为:1x =;三、解答题11.（2020全国高二课时练）已知两圆C 1:x 2+y 2+4x -6y+12=0,C 2:x 2+y 2-2x -14y+k=0(k<50).当两圆有如下位置关系时:(1)外切; (2)内切; (3)相交; (4)内含; (5)外离.试确定上述条件下k 的取值范围.【详细解析】将两圆的方程化为标准方程:C 1:(x+2)2+(y -3)2=1;C 2:(x -1)2+(y -7)2=50-k.则圆C 1的圆心坐标C 1(-2,3),半径r 1=1, 圆C 2的圆心坐标C 2(1,7),半径r 2=√50-k . 从而圆心距d=√(-2-1)2+(3-7)2=5.(1)当两圆外切时,d=r 1+r 2,即1+√50-k =5,解得k=34.(2)当两圆内切时,d=|r 1-r 2|,即|1-√50-k |=5,解得k=14.(3)当两圆相交时,|r 1-r 2|<d<r 1+r 2,即|1-√50-k |<d<1+√50-k , 解得14<k<34.(4)当两圆内含时,d<|r 1-r 2|,即|1-√50-k |>5,解得k<14.(5)当两圆外离时,d>r 1+r 2,即1+√50-k <5,解得k>34. 12．（2020·太原市第六十六中高二期中）已知圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2﹣6x +m =0． （1）若圆C 1与圆C 2外切,求实数m 的值;（2）在（1）的条件下,若直线x +2y +n =0与圆C 2的相交弦长为求实数n 的值．【详细解析】（1）由题意,圆221:1C x y +=的圆心坐标为1(0,0)C ,半径为1r =,圆222:60C x y x m +-+=的圆心坐标为2(3,0)C ,半径为R =,因为圆1C 与2C 相外切,所以12C C r R =+,即31=解得5m =. （2）由（1）得5m =,圆2C 的方程为22(3)4x y -+=,可得圆心2(3,0)C ,半径为2R =,由题意可得圆心2C 到直线20x y n ++=的距离d =,又由圆的弦长公式,1==,即3n +=解得3n =-或3n =-。
高中数学选修试题及答案
高中数学选修试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)答案：C2. 函数f(x) = 2x + 1的反函数是：A. f^(-1)(x) = (x - 1) / 2B. f^(-1)(x) = (x + 1) / 2C. f^(-1)(x) = x / 2 + 1D. f^(-1)(x) = x / 2 - 1答案：A3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 若直线y = 2x + 1与直线y = -x + 4相交，则交点的横坐标是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 3答案：A6. 已知等差数列{an}的前三项依次为1，4，7，则该数列的第五项是：A. 10B. 11C. 12D. 13答案：C7. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25，则圆心坐标为：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)答案：A8. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是：A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (0, 0)答案：A9. 函数f(x) = x / (x^2 + 1)的值域是：A. (-1, 1)B. (0, 1)C. (-∞, 0)D. (0, +∞)答案：B10. 已知向量a = (3, -4)，b = (-2, 6)，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ = 1/5B. cosθ = 1/3C. cosθ = -1/5D. c osθ = -1/3答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = __________。
高中数学选修参数方程练习题(附答案)
高中数学选修参数方程练习题学校：_____姓名：___班级：___考号：___一．填空题1．直线l：（t为参数）的倾斜角为______．2．若P（m，n）为椭圆（θ为参数）上的点，则m+n的取值范围是______．3．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（其中t为参数），以Ox为极值的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则圆心到直线的距离为______．4．在直角坐标系xOy中，M是曲线C1：（t为参数）上任意一点，N是曲线C2：（θ为参数）上任意一点，则|MN|的最小值为______．5．（坐标系与参数方程选做题）过点A（2，3）的直线的参数方程（t为参数），若此直线与直线x-y+3=0相交于点B，则|AB|=______．6．已知曲线C的参数方程为（t为参数），若点P（m，2）在曲线C上，则m=______．7、A．将参数方程（e为参数）化为普通方程是______．B．不等式|x-1|+|2x+3|＞5的解集是______．C．如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，|DC|=|BE|，DG⊥CE于G，且|EC|=8，则|EG|=______．8．椭圆的离心率是______．三．简答题9．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．10．已知曲线C1：（t为参数，C2：（θ为参数）．（Ⅰ）C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．直线l经过点P（2，2），倾斜角．（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程．（2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．12．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：（α为参数）与极坐标下的点．（1）求点M与曲线C的位置关系；（2）在极坐标系下，将M绕极点逆时针旋转θ（θ∈[0，π]），得到点M‘，若点M'在曲线C上，求θ的值．13．选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为，（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程：（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值．14．设平面直角坐标系原点与极坐标极点重合，x轴正半轴与极轴重合，若已知曲线C的极坐标方程为ρ2=，点F1、F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求曲线C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线l的最大距离．15．过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线（t为参数）相交于A，B两点．求线段AB的长．参考答案一．填空题（共__小题）1．直线l：（t为参数）的倾斜角为。
(精选试题附答案)高中数学选修一真题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一真题单选题1、点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是（）A．(1,0)B．(0,1)C．(0,−1)D．(2,1)答案：B分析：设出对称点，根据对称关系列出式子即可求解.解：设点A(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是B(a,b)，则有{b−2a−1=1a+1 2+b+22−2=0，解得a=0，b=1，故点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是(0,1). 故选：B.小提示：方法点睛：关于轴对称问题：（1）点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0的对称点A′(m,n)，则有{n−bm−a×(−AB)=−1A⋅a+m2+B⋅b+n2+C=0；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.2、直线y=x−1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|=（）A．6B．8C．2D．4答案：B分析：联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点坐标为F(p2,0)，又直线y =x −1过抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点F ，所以p =2，抛物线C 的方程为y 2=4x ，由{y =x −1y 2=4x，得x 2−6x +1=0，所以x A +x B =6，所以|AB |=x A +x B +p =6+2=8． 故选：B3、如果AB >0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0，可得A,B 同号，B,C 异号，所以A,C 也是异号； 令x =0，得y =−CB >0；令y =0，得x =−CA >0； 所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限. 故选：C.4、已知正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为（ ） A ．16B ．23C ．√2121D ．4√2121答案：B分析：利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 设该正面体的棱长为1，因为M 为BC 中点，N 为AD 中点， 所以|BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√12−(12×1)2=√32， 因为M 为BC 中点，N 为AD 中点， 所以有BN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ， DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ , BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )(−AD⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =1×1×12−12×12−12×1×1×12−12×12+14×1×1×12+14×1×1×12=−12,cos〈BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 〉=BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=−12√32×√32=−23，根据异面直线所成角的定义可知直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为23， 故选：B5、若圆C 1:x 2+y 2−2ay =0(a >0)与圆C 2:x 2+y 2−4x +3=0相外切，则a 的值为（ ） A ．12B ．23C ．1D ．32 答案：D分析：确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.由x 2+y 2−2ay =0(a >0)可得x 2+(y −a )2=a 2，所以圆C 1的圆心为(0,a )，半径为a ， 由x 2+y 2−4x +3=0可得(x −2)2+y 2=1，所以圆C 2的圆心为(2,0)，半径为1， 因为两圆相外切，所以√4+a 2=a +1，解得a =32， 故选：D6、在直角坐标平面内，与点A(0,3)距离为2，且与点B(4,0)距离为3的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：C分析：根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可. 当直线不存在斜率时，设为x =a ，由题意可知：|a −0|=2且|a −4|=3， 没有实数a 使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：y =kx +b ⇒kx −y +b =0，点A(0,3)到该直线的距离为2，所以有√k 2+(−1)2=2(1)，点B(4,0)到该直线的距离为3，所以有√k 2+(−1)2=3(2)，由(1)(2)得：b =8k +9或b =9−8k 5，当b =8k +9时，代入(1)中，得15k 2+24k +8=0，该方程的判别式Δ=242−4×15×8=96>0，该方程有两个不相等的实数根， 当b =9−8k 5时，代入(1)中，得9k 2−24k +16=0，该方程的判别式Δ=(−24)2−4×9×16=0，该方程有两个相等的实数根， 所以这样的直线共有三条， 故选：C.小提示：关键点睛：本题的关键是解方程组.7、已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A(72，4)，则|PA |+|PM |的最小值是（ ） A ．5B ．92C ．4D ．32答案：B分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM 交准线于H 点推断出|PA |＝|PH |，进而表示出|PM |，问题转化为求|PF |+|PA |的最小值，由三角形两边长大于第三边得到|PF |+|PA |的最小值，则|PA |+|PM |的最小值可得．依题意可知焦点F (12,0)，准线 x =−12，延长PM 交准线于H 点．则|PF |＝|PH |，∴|PM |＝|PH |−12=|PF |−12∴|PM |+|PA |＝|PF |+|PA |−12，∴要使|PM |+|PA |当且仅当|PF |+|PA |最小． 由三角形两边长大于第三边可知，|PF |+|PA |≥|FA |，① 当P 与线段AF 与抛物线的交点P 0重合时取到最小值，．由A(72,4),可得|FA|=√(72−12)2+42=5．则所求为(|PM|+|PA|)min=5−12=92．故选：B．8、已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）与双曲线C2:x2a22−y2b22=1（a2>0，b2>0）有公共焦点F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P．若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，曲线C1，C2的离心率分别为e1和e2，则1 e1−1e2=（）A．1B．2C．3D．4答案：B分析：设曲线C1，C2的焦距为2c，则可得|PF2|=|F1F2|=2c，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出a1,a2,c的关系，变形后可得结果.设曲线C1，C2的焦距为2c．△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，则|PF2|=|F1F2|=2c．由点P在第一象限，知|PF1|=2a1−|PF2|=2a2+|PF2|，即2a1−2c=2a2+2c，即a1−a2=2c，即1e1−1e2=2．故选：B9、已知直线斜率为k，且−1≤k≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（）A．[0,π3]∪[π2,3π4)B．[0,π3]∪[3π4,π)C．[0,π6]∪[π2,3π4)D．[0,π6]∪[3π4,π)答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 解：直线l的斜率为k，且−1≤k≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.10、已知圆O1:x2+y2=4，圆O2:x2+y2−2mx−2my−4=0(m≠0)，则同时与圆O1和圆O2相切的直线有（）A．4条B．2条C．1条D．0条答案：B分析：利用已知条件判断圆O1与圆O2的关系，进而可以求解.由O1:x2+y2=4，得圆O1(0,0)，半径为r1=2，由O2:x2+y2−2mx−2my−4=0(m≠0)，得O2(m,m)，半径为r2=12√(−2m)2+(−2m)2−4×(−4)=√2m2+4所以|O1O2|=√(m−0)2+(m−0)2=√2m2>0，|r2−r1|=√2m2+4−2>0，r1+r2=2+√2m2+4，所以|r2−r1|<|O1O2|<r1+r2，所以圆O1与圆O2相交，所以圆O1与圆O2有两条公共的切线.故选：B.填空题11、已知向量a =(3,1),b ⃑ =(1,0),c =a +kb ⃑ ．若a ⊥c ，则k =________． 答案：−103.分析：利用向量的坐标运算法则求得向量c ⃗的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值 ∵a ⃗=(3,1),b ⃑⃗=(1,0),∴c ⃗=a ⃗+kb ⃑⃗=(3+k,1), ∵a ⃗⊥c ⃗,∴a ⃗⋅c ⃗=3(3+k )+1×1=0，解得k =−103,所以答案是：−103.小提示：本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量p ⃗=(x 1,y 1),q ⃗=(x 2,y 2)垂直的充分必要条件是其数量积x 1x 2+y 1y 2=0.12、设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，左，右顶点分别为A ，B ，以AB 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，若△PAF 2为等腰三角形，则直线PF 2的倾斜角的大小为________． 答案：5π6##150∘分析：由题意求得点P 的坐标，再根据△PAF 2为等腰三角形，得到x P =c−a 2，从而得到a ，b ，c 的关系，再利用斜率公式求解.解：以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=a 2， 双曲线过第一象限的渐近线方程为y =ba x ．由{x 2+y 2=a 2y =ba x，得P (a 2c ,ab c )． 由△PAF 2为等腰三角形，得点P 在线段AF 2的中垂线上，即x P =c−a 2．由a 2c =c−a 2，得c 2−ac −2a 2=0，即e 2−e −2=0，得e =2，所以c =2a ．而b =√c 2−a 2=√3a ，则k PB=abca2c−c=−ab=−√33，故直线PE2倾斜角为5π6，所以答案是：5π6．13、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x1,y1)，Q(－x1,−y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，|QF1PF1|≥√33，则椭圆C的离心率的取值范围为_____．答案：(√22，√3−1]分析：设PF1=n，PF2=m，由已知得到mn的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e 的范围.设PF1=n，PF2=m，由x1>0，y1>0，知m<n，因为P，Q在椭圆C上，|PQ|=2|OF2|，所以四边形PF1QF2为矩形，QF1=PF2；由|QF1||PF1|≥√33，可得√33≤mn<1，由椭圆的定义可得m+n=2a，n2+m2=4c2①，平方相减可得mn=2(a2－c2)②，由①②得4c 22(a2−c2)=m2+n2mn=mn+nm；令t=mn +nm，令v=mn ∈[√33，1)，所以t=v+1v ∈(2，4√33]，即2<4c22(a2−c2)≤4√33，所以a2－c2<c2≤2√33(a2－c2)，所以1－e2<e2≤2√33(1－e2)，所以12<e 2≤4−2√3，解得√22<e ≤√3−1.所以答案是：(√22，√3−1] .14、已知向量n =(2,0,1)为平面α的法向量，点A(−1,2,1)在α内，则点P(1,2,2)到平面α的距离为________________ 答案：√5分析：把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解． 解： PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2，0，−1)，点P 到平面α的距离为|n ⃑⃑⃑⃑ ⋅PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||n⃑⃗|=√5=√5．所以答案是：√5.15、已知直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0相交于点P ，点A (4,0)，O 为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为_____________. 答案：√33##13√3 分析：根据给定条件，求出点P 的轨迹，结合图形利用几何意义求解作答. 直线kx −y +2k =0恒过定点M(−2,0)，直线x +ky −2=0恒过定点N(2,0)， 显然直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0垂直，当k ≠0时，PM ⊥PN ， 点P 在以MN 为直径的圆x 2+y 2=4（除点M ，N 外）上，当k =0时，点P(2,0), 因此，点P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆（除点M(−2,0)外），如图，观察图形知，点A 在圆O ：x 2+y 2=4(x ≠−2)外，当直线AP 与圆O 相切时，∠OAP 为锐角且最大，tan∠OAP 最大，所以(tan∠OAP)max=√42−22=√33.所以答案是：√33解答题16、已知圆C:x2+y2−4x−2y+m=0与直线l:3x−4y−7=0相交于M,N两点且|MN|=2√3；（1）求m的值；（2）过点P作圆C的切线，切点为Q，再过P作圆C′:(x+2)2+(y+2)2=1的切线，切点为R，若|PQ|=|PR|，求|OP|的最小值(其中O为坐标原点).答案：（1）m=1；（2）35.分析：(1)写出圆C的圆心坐标，半径，利用半径、半弦、弦心距的关系列式求解即得；(2)设点P(x，y)，借助切线长定理探求出点P的轨迹即可作答.（1）C:(x−2)2+(y−1)2=5−m>0的圆心C(2,1)，半径R=√5−m，圆心到直线距离l的距离d=√32+42=1，则弦MN长|MN|=2√R2−d2=2√5−m−1=2√3，得m=1，所以m的值为1；（2）由(1)知圆C的圆心C(2,1)，半径R=2，设P(x,y)，由切线的性质得|PQ|=√|PC|2−R2=√(x−2)2+(y−1)2−4，圆C′:(x+2)2+(y+2)2=1的圆心C′(−2,−2)，半径r=1，同理：|PR|=√|PC′|2−r2=√(x+2)2+(y+2)2−1，而|PQ|=|PR|，即√(x−2)2+(y−1)2−4=√(x+2)2+(y+2)2−1，化简得到：4x+3y+3=0，又点C(2,1)到直线4x+3y+3=0距离为145>2，点C′(−2,−2)到直线4x+3y+3=0距离为115>1，即直线4x+3y+3=0与两圆都无公共点，点P的轨迹为直线4x+3y+3=0，所以|OP|最小值即为原点到直线4x+3y+3=0距离d=√42+32=35.17、已知定点F1(−4,0)、F2(4,0)和动点M(x,y)．(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程．条件①：|MF1|+|MF2|=12条件②：|MF1|+|MF2|=8(2)|MF1|+|MF2|=2a(a>0)，求：动点M的轨迹及其方程．答案：(1)答案见解析；(2)答案见解析.分析：（1）根据不同的选择，结合椭圆的定义，即可求得动点M的轨迹及其方程；（2）对a的取值范围进行分类讨论，结合不同情况求得对应的轨迹及方程即可.（1）选择条件①：|MF1|+|MF2|=12，因为12>|F1F2|=8，故点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则c=4,a=6，b2=a2−c2=20，故其方程为：x236+y220=1.即选择条件①，点M的轨迹是椭圆，其方程为x 236+y220=1；选择条件②：|MF1|+|MF2|=8，因为8=|F1F2|，故点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y=0,(−4≤x≤4).（2）因为|MF1|+|MF2|=2a(a>0)，当0<a<4时，此时动点M不存在，没有轨迹和方程；当a=4时，此时2a=|F1F2|，由（1）可知，此时动点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y=0,(−4≤x≤4)；当a>4时，此时2a>|F1F2|，此时点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，其方程为x2a2+y2a2−16=1.综上所述：当0<a<4时，动点M没有轨迹和方程；当a=4时，动点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y=0,(−4≤x≤4)；当a>4时，动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，其方程为x2a2+y2a2−16=1.18、已知△ABC的顶点B(5,1)，AB边上的高所在的直线方程为x−2y−5=0．(1)求直线AB的方程；(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．①角A的平分线所在直线方程为x+2y−13=0②BC边上的中线所在的直线方程为2x−y−5=0______，求直线AC的方程．答案：(1)2x+y−11=0；(2)若选①：直线AC的方程为2x−11y+49=0；若选②：直线AC的方程为6x−5y−9=0.分析：（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线AB的斜率为k，再由直线的点斜式方程可求得答案；（2）若选①：由{2x+y−11=0x+2y−13=0，求得点A(3，5)，再求得点B关于x+2y−13=0的对称点B′(x0，y0)，由此可求得直线AC的方程；若选②：由{2x+y−11=02x−y−5=0，求得点A(4，3)，设点C(x1，y1)，由BC的中点在直线2x−y−5=0上，和点C 在直线x−2y−5=0上，求得点C(−1，−3)，由此可求得直线AC的方程.（1）解：因为AB边上的高所在的直线方程为x−2y−5=0，所以直线AB的斜率为k=−2，又因为△ABC的顶点B(5,1)，所以直线AB的方程为：y−1=−2(x−5)，所以直线AB的方程为：2x+y−11=0；（2）解：若选①：角A的平分线所在直线方程为x+2y−13=0，由{2x+y−11=0x+2y−13=0，解得{x=3y=5，所以点A(3，5)，设点B 关于x +2y −13=0的对称点B ′(x 0，y 0)，则{y 0−1x 0−5×(−12)=−1x 0+52+2×y 0+12−13=0 ，解得{x 0=375y 0=295，所以B ′(375，295)，又点B ′(375，295)在直线AC 上，所以k AC =5−2953−375=211， 所以直线AC 的方程为y −5=211(x −3)，所以直线AC 的方程为2x −11y +49=0；若选②：BC 边上的中线所在的直线方程为2x −y −5=0，由{2x +y −11=02x −y −5=0，解得{x =4y =3 ，所以点A(4，3)， 设点C(x 1，y 1)，则BC 的中点在直线2x −y −5=0上，所以2×5+x 12−1+y 12−5=0，即2x 1−y 1−1=0，所以点C 在直线2x −y −1=0上，又点C 在直线x −2y −5=0上，由{x −2y −5=02x −y −1=0解得{x =−1y =−3 ，即C(−1，−3)， 所以k AC =−3−3−1−4=65， 所以直线AC 的方程为y −3=65(x −4)，所以直线AC 的方程为6x −5y −9=0.19、求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)经过点(√6,0)，(3,2)；(2)焦点为(0,−5)，(0,5)，经过点(4√33,2√3)； (3)a =b ，经过点(3,−1)；(4)经过(3,−4√2)和(94,5)两点．答案：(1)x 26−y 28=1； (2)y 29−x 216=1；(3)x 28−y 28=1； (4)y 216−x 29=1.分析：(1)根据题意，由双曲线经过点(√6，0)，分析可得双曲线的焦点为x 轴上，且a =√6，设双曲线的标准方程为：x 26−y 2b 2=1，将点(3,2)代入计算可得b 2的值，将b 2的值代入双曲线的方程，即可得答案；(2)根据题意，分析可得双曲线的焦点在y 轴上，且c =5，由双曲线的定义计算可得a 的值，结合双曲线的几何性质可得b 2的值，将a 2、b 2的值代入双曲线的方程，即可得答案．(3)根据题意，设双曲线的方程为：x 2−y 2=t ，将点(3,−1)代入其中计算可得t 的值，即可得双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案；(4)根据题意，设双曲线的方程为mx 2−ny 2=1，将(3,−4√2)和(94，5)两点坐标代入双曲线方程可得{9m −32n =18116m −25n =1 ，解可得：m 、n 的值，将m 、n 的值代入双曲线方程即可得答案．（1）根据题意，双曲线经过点(√6，0)，则双曲线的焦点在x 轴上，且a =√6，设双曲线的标准方程为：x 26−y 2b 2=1，双曲线经过(3,2)，则有96−4b 2=1，解可得b 2=8，则双曲线的标准方程为：x 26−y 28=1；（2）根据题意，焦点为(0,−5)，(0,5)，则双曲线的焦点在y 轴上，且c =5，∵双曲线过点(4√33,2√3)，故根据双曲线的定义可知： 2a =|√(4√33)2+(2√3+5)2−√(4√33)2+(2√3−5)2|=6，则a =3，则b 2=c 2−a 2=16，则双曲线的标准方程为：y 29−x 216=1；（3）根据题意，双曲线中a =b ，设双曲线的方程为：x 2−y 2=t ， 又由双曲线经过点(3,−1)，则有t = 32−(−1)2=8， 则双曲线的方程为x 2−y 2=8，则双曲线的标准方程为：x 28−y 28=1； （4）根据题意，设双曲线的方程为mx 2−ny 2=1(mn >0)，双曲线经过(3,−4√2)和(94，5)两点，则有{9m −32n =18116m −25n =1 ， 解可得：m =−19，n =−116，则双曲线的标准方程为：y 216−x 29=1．。
人教版高中数学选修 练习题及参考答案
人教版高中数学选修-练习题及参考答案(附参考答案)一、选择题1．命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A．如果x<a2+b2,那么x<2abB．如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C．如果x<2ab,那么x<a2+b2D．如果x≥a2+b2,那么x<2ab2．三角形全等是三角形面积相等的( )A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．下列四个命题中，真命题是( )A．是偶数且是无理数B．8≥10C．有些梯形内接于圆D．xR,x2x+1≠04．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( )A．所有奇数的立方不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数二、填空题5．命题“若a=1,则a2=1”的逆否命题是______________________．?? 6．b=0是函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数的______________________．7．全称命题“aZ,a有一个正因数”的否定是________________________．??8．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是______________________．条件．的______ ___，则非p是非q9．设p：|5x1|>4；?三、解答题10．求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件．11．已知集合A={x|x23x+2=0}，B={x|x2mx+2=0}，若A是B的必要不充分条件，求实数m范围．??12．给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中求实数的取值范围．有且仅有一个为真命题，常用逻辑用语答案14 CACC?5．如果a2≠1,那么a≠1 6．充分必要条件7．a0Z,a0没有正因数???8．每个三角形的三条中线不相等9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k1=,k2=,由a+2b=0,k1k2=()()=1,两直线互相垂直．??????必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k1k2=()()=1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0．????11、A={1，2}，A是B的必要不充分条件，即BA．所以B=、B={1}或{2}，?，∴．=m28<0B=φ时，△当?无解．综上所述．时，，m当B={1}或{2}a<4;≤a=0或012．解：P真：对任意实数都有恒成立??≤；0a14a≥q真：关于的方程有实数根???如果P正确，且Q不正确，有0≤a<4,且a>,∴<a<4；如果Q正确，且P不正确，有a<0或a≥4,且a≤,∴a<0．所以(,0)∪(,4)．???常用逻辑用语答案14 CACC?5．如果a2≠1,那么a≠1 6．充分必要条件7．a0Z,a0没有正因数???8．每个三角形的三条中线不相等9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k1=,k2=,由a+2b=0,k1k2=()()=1,两直线互相垂直．??????必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k1k2=()()=1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0．????11、A={1，2}，A是B的必要不充分条件，即BA．所以B=、B={1}或{2}，?，∴．=m28<0B=φ时，△当?无解．综上所述．时，，m当B={1}或{2}a<4;≤或0．解：12P真：对任意实数都有恒成立a=0??≤；0a14a≥q真：关于的方程有实数根???如果P正确，且Q不正确，有0≤a<4,且a>,∴<a<4；如果Q正确，且P不正确，有a<0或a≥4,且a≤,∴a<0．所以(,0)∪(,4)．???圆锥曲线练习题一．选择题若椭圆经过原点，且焦点分别为，则其离心率为（） 1.1A.B. C. D.4y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，过抛物线B两点，若线段AB中点的横坐标2.为3，则|AB|等于（）A.10B.8C.6D.4若双曲线＋＝1的离心率，则k的取值范围是（） 3.A. B. C. D.与y轴相切且和半圆x2+y2=4(0≤x≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是（）4. B. A. C. D.过点M(2,0)的直线L与椭圆交于两点，设线段的中点为P，若直线l的斜率为，5.的斜率为，则等于（）直线OP?1－A. B. C. D.2．如果方程＋＝1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（）6. A. B. C. D.二．填空题椭圆＋＝1的焦点分别是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么是的7.倍．椭圆＋＝1的焦点分别是，过原点O做直线与椭圆交于A，B两点，若ABF2的面积8.是20，则直线AB的方程是．?与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是9.已知直线y=kx+2与双曲线x2y2=6的右支相交于不同的两点，则k的取值范围10.是．三．解答题?抛物线y=－x2与过点M(0,1)的直线L相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB11.的斜率之和为１，求直线L的方程．?已知中心在原点，一焦点为F(0,)的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此12.椭圆的方程．13．是椭圆＋＝1的两个焦点，为椭圆上一点，且AF1F2=45，求的面积．???圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD二．填空题：7. 7倍8.y=x 9. －＝1 10.－,3)<k<－1?三．解答题解：斜率不存在不合题意，设直线代入抛物线得11.有kR 设点则＋＝1,?由根与系数关系，解得直线方程．=50，则1解：设所求的椭圆为＋＝12.椭圆与直线联立有，由已知＝，．1a2=75,b2=25．所以所求椭圆方程为＋＝根与系数关系带入得解得．解：13．圆锥曲线练习题答案CBCADD 一．选择题：二．填空题：1,3)<k<－－＝7. 7倍8.y=x 9. 1 10.－?三．解答题解：斜率不存在不合题意，设直线代入抛物线得13.有kR 设点则＋＝1,?由根与系数关系，解得直线方程．=50，则解：设所求的椭圆为＋＝114.椭圆与直线联立有，由已知＝，．1a2=75,b2=25．所以所求椭圆方程为＋＝根与系数关系带入得解得．解：13．空间向量练习题一．选择题1．直棱柱ABCA1B1C1中，若＝,=,=,则=( )?→→+++D．+B．+C．A．b?c????2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与A，B，C一定共面的是( )→→→A．=++C．=2OA?OB?OC1→C．=++D．=++OC 33．若向量同时垂直向量和,向量=+(,R, ,≠0)，则（）???????A．∥B．C.与不平行也不垂直D．以上均有可能?4．以下四个命题中，正确的是( )A．若=+,则P，A，B三点共线B．若{,,}为空间一个基底，则{+,+,+}构成空间的另一个基底C．|()|=||||||???D．ABC为直角三角形的充要条件是＝0??5．已知=(+1,0,2),=(6,21,2),∥,则和的值分别为( )??????A．,B．5,2C．,D．5,2????二．填空题6．若=(2,3,1),=(2,0,3),=(0,2,2),则(+)=________.??7．已知G是ABC的重心，O是空间任一点，若++＝，则的值为_______.??? 8．已知||=1,||=2,<,>=60,则|(+2)|=________.??三．解答题9．若向量(+3)(75)，(4)(72)，求与的夹角．?????10．设，试求实数，使成立．求与侧面所成的角．正三棱柱的底面边长为，11．侧棱长为，小大的角面二，时值何于等问，动移上棱在点，，，中体方长在．12．为．空间向量练习题答案 DDBBA一．选择题6．3 83 7．二．填空题6．5三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得2=2=2,∴cos<,>=,∴与夹角为60．?? 10．由成立，可建立方程组，解得．11．以A为原点，分别以，，为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1(,2)a,a,a),由于=(1,0,0)是面的法向量，??计算得cos<,>=,∴<,>=60．故与侧面所成的角为30．??12．设，以为原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，．依题意．=(2x,1,2)可求得平面的法向量为?．．（舍去）空间向量练习题答案 DDBBA一．选择题6．3 8二．填空题6．3 7．5三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得2=2=2,∴cos<,>=,∴与夹角为60．?? 10．由成立，可建立方程组，解得．11．以A为原点，分别以，，为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1(,2)a,a,a),由于=(1,0,0)是面的法向量，??计算得cos<,>=,∴<,>=60．故与侧面所成的角为30．??12．设，以为原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，．依题意．可求得平面的法向量为=(2x,1,2)?．．（舍去）。
人教A版高中数学选修一第一章测试题
第一章测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“a >0”是“|a |>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 本题考查充要条件的判断，∵a >0⇒|a |>0，|a |>0D ⇒/a >0，∴“a >0”是“|a |>0”的充分不必要条件．答案 A2．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0”的否定为( )A ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≥0B ．∀x ∉R ，x 2－2x ＋4≤0C ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋4>0D ．∃x ∉R ，x 2－2x ＋4>0答案 C3．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 tan(2k π＋π4)＝tan π4＝1，所以充分；但反之不成立，如tan 5π4＝1.答案 A4．下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析对于B选项x＝1时，(x－1)2＝0，故选B.答案 B5．如果命题“綈p”为真，命题“p∧q”为假，那么()A．q为假B．q为真C．p或q为真D．p或q不一定为真解析∵命题“綈p”为真，∴命题“p”为假，又“p∧q”为假，∴q可真也可以假．∴p或q可真也可以假，故应选D.答案 D6．下列说法正确的是()①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．A．①②B．②③C．③④D．②③④答案 B7．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C8．下列命题中的假命题是()A. ∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x >2B. ∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1,0)C. ∀φ∈R ，函数y ＝sin(x ＋φ)都不是偶函数D ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减解析 A ．当x >0时，x ＋1x ≥2 x ·1x ＝2，∵x ≠1，∴x ＋1x >2，故A 为真命题．B ．将(1,0)代入直线ax ＋y ＝a 成立，B 为真命题．C ．当φ＝π2时，函数y ＝sin(x ＋π2)是偶函数，C 为假命题．D ．当m ＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴D 为真命题，故选C.答案 C9．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b ，且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限C. p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数答案 A10．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x30>x0”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析∵“负数的平方是正数”即∀x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确；∵对全称命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x30≤x0”，∴B不正确；∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，当最小正周期为π时，有2π|2a|＝π.∴|a|＝1D⇒a＝1，∴a＝1是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，故C不正确；D正确．答案 D11．下列四个命题中，其中真命题是()①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④解析①逆命题：“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”为真命题．②逆命题：“若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c”为真命题，根据逆命题与否命题的等价性，则否命题也为真命题．③当b≤0时，Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．④真命题．答案 B12．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎨⎧ a ≤1，a ≤－2，或a ≥1.∴a ≤－2，或a ＝1.答案 A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．写出命题：“若方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根均大于0，则ac >0”的一个等价命题是________．解析 一个命题与其逆否命题等价，因此只要写出原命题的逆否命题即可．答案 若ac ≤0，则方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根不都大于014．已知p ：x 2－x ≥2，q ：|x －2|≤1，且p ∧q 与綈q 同时为假命题，则实数x 的取值范围为________．解析 由x 2－x ≥2，得x ≥2，或x ≤－1，|x －2|≤1，得1≤x ≤3，∵p ∧q 与綈q 同时为假命题，∴q 为真命题，p 为假命题，∴1≤x <2.答案 1≤x <215．已知直线l 1：2x －my ＋1＝0与l 2：x ＋(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是l 1⊥l 2的________条件．解析 若l 1⊥l 2，只需2×1＋(－m )(m －1)＝0，即m 2－m －2＝0，即m ＝2，或m ＝－1，∴m ＝2是l 1⊥l 2的充分不必要条件．答案 充分不必要16．下列四种说法：①命题“∀x ∈R ，都有x 2－2<3x ”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2－2≥3x ”；②若a ，b ∈R ，则2a <2b 是log 12a >log 12b 的必要不充分条件；③把函数y ＝sin(－3x )(x ∈R )的图象上所有的点向右平移π4个单位即可得到函数y ＝sin(－3x －π4)(x ∈R )的图象；④若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，则|a＋b |＝ 3.其中正确的说法是________．解析 ①正确．②若2a <2b ，则a <b ，当a 或b 为负数时，log 12a >log 12b 不成立，若log 12a >log 12b ，∴0<a <b ，∴2a <2b .故②正确．③把y ＝sin(－3x )的图象上所有点向右平移π4，得到y ＝sin[－3(x－π4)]＝sin(－3x ＋3π4)，故③不正确．④由题可知，a ·b ＝1×2cos 2π3＝－1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3，∴|a ＋b |＝3，故④正确．答案 ①②④三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)平面内，凸多边形的外角和等于360°；(2)有一些奇函数的图象过原点；(3)∃x 0∈R,2x 20＋x 0＋1<0；(4)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.解 (1)可以改写为“平面内，所有凸多边形的外角和等于360°”，故是全称命题，且为真命题．(2)“有一些”是存在量词，故该命题为特称命题，显然是真命题．(3)是特称命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0，故该命题为假命题．(4)是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意的实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题．18．(12分)写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题，并判断其真假．解 逆命题为：“已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集”．由a 2≥4b 知，Δ＝a 2－4b ≥0.这说明抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴有交点，那么x 2＋ax ＋b ≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．19．(12分)设集合M ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，P ＝{x |y ＝3－x }，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？解 由题设知，M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x ≤3}．∴M ∩P ＝(2,3]，M ∪P ＝R当x ∈M ，或x ∈P 时x ∈(M ∪P )＝RD ⇒/x ∈(2,3]＝M ∩P .而x ∈(M ∩P )⇒x ∈R∴x∈(M∩P)⇒x∈M，或x∈P.故“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．20．(12分)写出下列各命题的否定形式并分别判断它们的真假．(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)有些质数是奇数；(3)所有的方程都不是不等式；(4)自然数的平方是正数．解原命题的否定形式：(1)面积相等的三角形不一定是全等三角形，为真命题．(2)所有质数都不是奇数，为假命题．(3)至少存在一个方程是不等式，为假命题．(4)自然数的平方不都是正数，为真命题．21．(12分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝log a(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．解对于命题p：当0<a<1时，函数y＝log a(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减．当a>1时，函数y＝log a(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p为真命题，那么0<a<1.如果p为假命题，那么a>1.对于命题q：如果函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，那么Δ＝(2a －3)2－4>0，即4a 2－12a ＋5>0⇔a <12，或a >52.又∵a >0，所以如果q 为真命题，那么0<a <12或a >52.如果q 为假命题，那么12≤a <1，或1<a ≤52.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假．如果p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12≤a <1，或1<a ≤52，⇔12≤a <1. 如果p 假q 真，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，0<a <12，或a >52，⇔a >52.∴a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)． 22．(12分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0.命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)当a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得a <x <3a (a >0)．当a ＝1时，1<x <3，所以p ：1<x <3.由⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}．(2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}＝{x |a <x <3a ，a >0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x 2－x －6<0，x 2＋2x －8>0＝{x |2<x ≤3}．根据题意可得B A ，则0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 故实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．。
高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】 （1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。
(精选试题附答案)高中数学选修一必练题总结
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一必练题总结单选题1、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB:DC =2:1，则三角形ABD 面积的最小值是（ ）A ．43(√3−1)B ．43(√3+1)C ．4√33D ．√33答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C 的坐标，利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式，可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ，代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B (−1,0)，C (1,0)， 设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169，所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD 面积的最小值为S △ABD =12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A2、已知A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等，则a =（ ） A ．2B ． 92C ．2或−8D ．2或92 答案：D分析：利用点到直线距离公式进行求解即可.因为A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等， 所以有√32+(−4)2=√32+(−4)2⇒|13−4a |=5⇒a =2，或a =92，故选：D3、如果复数z 满足|z +1−i |=2，那么|z −2+i |的最大值是（ ） A ．√13+2B ．2+√3 C ．√13+√2D ．√13+4 答案：A分析：复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆． |z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离． ∵|CM|=√32+22=√13．∴|z −2+i|的最大值是√13+2． 故选：A ．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z +1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2． 4、在矩形ABCD 中，O 为BD 中点且AD =2AB ，将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A −BD −C 为90°，则直线AO 与CD 所成角余弦值为（ ）A ．√55B ．√54C ．3√525D ．4√225 答案：C分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO 与CD 所成角余弦值. 在平面ABD 中过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ； 在平面CBD 中过C 作CF ⊥BD ，垂足为F . 由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ， 所以AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD ， 设AB =1,AD =2，12×BD ×AE =12×AB ×AD ⇒AE =√5OE =√OA 2−AE 2=2√5， 同理可得CF =√5OF =2√5，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2√5√5),√52√50),D(−√52,0,0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√510,2√50)， 设AO 与CD 所成角为θ，则cosθ=|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=320√52×12=3√525.故选：C5、已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是（ ） A ．(－∞，－1) B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(−32,+∞) 答案：A分析：把圆的方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0化为标准型，利用r 2>0，解出k 的取值范围.方程可化为(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2＞0，即k ＜－1时才能表示圆． 故选：A.6、点(1,2)关于直线x +y −2=0的对称点是（ ） A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(0,−1)D ．(2,1) 答案：B分析：设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.解：设点A (1,2)关于直线x +y −2=0的对称点是B (a,b )，则有{b−2a−1=1a+12+b+22−2=0，解得a =0，b =1，故点(1,2)关于直线x +y −2=0的对称点是(0,1). 故选：B.小提示：方法点睛：关于轴对称问题：（1）点A (a,b )关于直线Ax +By +C =0的对称点A ′(m,n )，则有{n−bm−a×(−AB )=−1A ⋅a+m2+B ⋅b+n2+C =0 ； （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 7、动点P 在抛物线x 2=4y 上，则点P 到点C (0,4)的距离的最小值为（ ） A ．√3B ．2√3C ．12√3D ．12 答案：B分析：设出点P 坐标，用两点间距离公式表达出点P 到点C (0,4)的距离，配方后求出最小值.设P (x,x 24)，则|PC |=√x 2+(x 24−4)2=√116(x 2−8)2+12，当x 2=8时，|PC |取得最小值，最小值为2√3 故选：B8、圆x 2+y 2+2x −4y −6=0的圆心和半径分别是（ ） A ．(−1,−2)，11B ．(−1,2)，11C ．(−1,−2)，√11D ．(−1,2)，√11 答案：D分析：先化为标准方程，再求圆心半径即可.先化为标准方程可得(x +1)2+(y −2)2=11，故圆心为(−1,2)，半径为√11. 故选：D.9、如图，ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AE⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 到AB 的距离为（ ）A ．34B ．45C ．56D ．35答案：C分析：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式d =√|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−(|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗||AB⃗⃗⃗⃗⃗ |)2即可求解. 解：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AE⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(34,12,23)，|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=34，|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(34)2+(12)2+(23)2=181144,所以点P 到AB 的距离d =√|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2−(|AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |)2=√181144−916=56．故选：C.10、已知⊙M ：x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l ：2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA,PB ，切点为A,B ，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．2x −y −1=0B ．2x +y −1=0C ．2x −y +1=0D ．2x +y +1=0 答案：D分析：由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M 共圆，且AB ⊥MP ，根据 |PM |⋅|AB |=4S △PAM =4|PA |可知，当直线MP ⊥l 时，|PM |⋅|AB |最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．圆的方程可化为(x −1)2+(y −1)2=4，点 M 到直线l 的距离为d =√22+12=√5>2，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点A,P,B,M 四点共圆，且AB ⊥MP ，所以|PM |⋅|AB |=4S △PAM =4×12×|PA |×|AM |=4|PA |，而 |PA |=√|MP|2−4，当直线MP ⊥l 时，|MP |min =√5， |PA |min =1，此时|PM |⋅|AB |最小． ∴MP:y −1=12(x −1)即 y =12x +12，由{y =12x +122x +y +2=0解得， {x =−1y =0 ．所以以MP 为直径的圆的方程为(x −1)(x +1)+y (y −1)=0，即 x 2+y 2−y −1=0， 两圆的方程相减可得：2x +y +1=0，即为直线AB 的方程． 故选：D.小提示：本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 填空题11、若方程4x 2+ky 2=4k 表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于______． 答案：2√−k分析：首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚抽长.显然k≠0，将4x2+ky2=4k化为x2k +y24=1，若该方程表示双曲线，则k<0，且双曲线的标准方程为y 24−x2−k=1，即b2=−k，虚轴长2b=2√−k.所以答案是：2√−k.12、已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是___________.答案：[−1,1]分析：首先根据题意画出图形，根据题意得到符合条件的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆与直线交于P，P1两点之间，再联立方程组求解即可.如图圆C(1,0)，P在直线x−y+1=0上，若圆存在点Q，使得∠CPQ=30∘，当P在直线x−y+1=0上运动，极端情况，PQ与圆C相切，∠CPQ=30∘.在RT△CPQ中，|CQ|=1，所以|CP|=2.所以以(1,0)为圆心，2为半径的圆与直线交于P，P1两点.符合条件的点在线段PP1之间.所以{x −y +1=0(x −1)2+y 2=4 ⇒{x =1y =2 或{x =−1y =0.故x 0的取值范围为[−1,1]. 所以答案是：[−1,1]13、已知直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0相交于点P ，点A (4,0)，O 为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为_____________. 答案：√33##13√3分析：根据给定条件，求出点P 的轨迹，结合图形利用几何意义求解作答. 直线kx −y +2k =0恒过定点M(−2,0)，直线x +ky −2=0恒过定点N(2,0)， 显然直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0垂直，当k ≠0时，PM ⊥PN ， 点P 在以MN 为直径的圆x 2+y 2=4（除点M ，N 外）上，当k =0时，点P(2,0), 因此，点P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆（除点M(−2,0)外），如图，观察图形知，点A 在圆O ：x 2+y 2=4(x ≠−2)外，当直线AP 与圆O 相切时，∠OAP 为锐角且最大，tan∠OAP 最大，所以(tan∠OAP)max =√42−22=√33. 所以答案是：√3314、长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =2，DD 1=4，则点B 到平面A 1C 1D 的距离为________． 答案：83分析：建立空间直角坐标系，求平面A 1C 1D 的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，因为AB =AD =2，AA 1=4，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)， C(2,2,0)，D(0,2,0)，A 1(0,0,4)，C 1(2,2,4)， 设平面A 1C 1D 的法向量为：n ⃗ =(x,y,z) A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−4) ∴{n ⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ⇒{2x +2y =02y −4z =0 ，令z =1得：n ⃗ =(−2,2,1)又BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0) 点B 到平面A 1C 1D 的距离为：|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n ⃗ |=√(−2)2+22+12=83.所以答案是：83.15、与圆x 2+y 2−4x +6y +7=0同圆心且过点P(−1,1)的圆的方程是_____________． 答案：(x −2)2+(y +3)2=25分析：先求出同心圆的圆心，在利用两点间的距离公式的应用求出所求圆的半径，由此即可求出结果． 圆x 2+y 2−4x +6y +7=0，即(x −2)2+(y +3)2=6所以所求圆的圆心坐标为(2，−3)，半径为R =√(2+1)2+(−3−1)2=5所以圆的方程为(x −2)2+(y +3)2=25． 所以答案是：(x −2)2+(y +3)2=25． 解答题16、已知椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程. 答案：（1）12；（2）C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x .分析：（1）求出|AB |、|CD |，利用|CD |=43|AB |可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆C 1的离心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出C 1的方程为x 24c2+y 23c2=1，联立曲线C 1与C 2的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合|MF |=5可求得c 的值，进而可得出C 1与C 2的标准方程. （1）∵F (c,0)，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点， 则直线AB 的方程为x =c ，联立{x =cx 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c2，解得{x =c y =±b 2a ，则|AB |=2b 2a，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立{x =cy 2=4cx ， 解得{x =cy =±2c ，∴|CD |=4c ，∵|CD |=43|AB |，即4c =8b 23a，2b 2=3ac ， 即2c 2+3ac −2a 2=0，即2e 2+3e −2=0， ∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12； （2）[方法一]：椭圆的第二定义 由椭圆的第二定义知|MF|a 2c−x 0=e ，则有|MF|=e (a 2c−x 0)=a −ex 0，所以a −12x 0=5，即x 0=2a −10．又由|MF|=x 0+c =5，得x 0=5−a2． 从而2a −10=5−a2，解得a =6．所以c =3,a =6,b =3√3,p =6．故椭圆C 1与抛物线C 2的标准方程分别是x 236+y 227=1,y 2=12x ． [方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式以F(c,0)为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．由（Ⅰ）知a =2c ，又由圆锥曲线统一的极坐标公式|MF|=2c1−cosθ，得2c =5−5cosθ，由|MF|=12×3c 1+12cosθ，得3c =10+5cosθ，两式联立解得c =3． 故C 1的标准方程为x 236+y 227=1，C 2的标准方程为y 2=12x ．[方法三]：参数方程由（1）知a =2c,b =√3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，所以C 1的参数方程为{x =2c ⋅cosθ,y =√3c ⋅sinθ（θ为参数），将它代入抛物线C 2:y 2=4cx 的方程并化简得3cos 2θ+8cosθ−3=0， 解得cosθ=13或cosθ=−3（舍去），所以sinθ=2√23，即点M 的坐标为(2c 3,2√6c3)． 又|MF|=5，所以由抛物线焦半径公式有x M +c =5，即2c 3+c =5，解得c =3．故C 1的标准方程为x 236+y 227=1，C 2的标准方程为y 2=12x ．[方法四]【最优解】：利用韦达定理由（1）知a =2c ，b =√3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立{y 2=4cxx 24c 2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx −12c 2=0，解得x =23c 或x =−6c （舍去）， 由抛物线的定义可得|MF |=23c +c =5c 3=5，解得c =3.因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x .【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.17、已知圆C 1：x 2+y 2+2x +2y −8=0与C 2：x 2+y 2−2x +10y −24=0相交于A 、B 两点． (1)求公共弦AB 所在的直线方程；(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A 、B 两点的圆的方程； (3)求经过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．答案：(1)x－2y＋4＝0(2)x2+y2+6x−6y+8=0(3)(x+2)2+(y−1)2=5分析：（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程；（2）首先设圆系方程x2+y2+2x+2y−8+λ(x2+y2−2x+10y−24)=0（λ为常数），根据圆心在直线y=−x上，求λ，即可求得圆的方程；（3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径.（1）将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．（2）设经过A、B两点的圆的方程为x2+y2+2x+2y−8+λ(x2+y2−2x+10y−24)=0（λ为常数），则圆心坐标为(λ−11+λ,−1−5λ1+λ)；又圆心在直线y＝－x上，故λ−11+λ+−1−5λ1+λ=0，解得λ=−12，故所求方程为x2+y2+6x−6y+8=0．（3）由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，与直线AB方程联立得所求圆心坐标为(−2,1)，由弦长公式可知所求圆的半径为√5．故面积最小的圆的方程为(x+2)2+(y−1)2=5．18、已知△ABC的顶点B(5,1)，AB边上的高所在的直线方程为x−2y−5=0．(1)求直线AB的方程；(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．①角A的平分线所在直线方程为x+2y−13=0②BC边上的中线所在的直线方程为2x−y−5=0______，求直线AC的方程．答案：(1)2x+y−11=0；(2)若选①：直线AC的方程为2x−11y+49=0；若选②：直线AC的方程为6x−5y−9=0.分析：（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线AB的斜率为k，再由直线的点斜式方程可求得答案；（2）若选①：由{2x+y−11=0x+2y−13=0，求得点A(3，5)，再求得点B关于x+2y−13=0的对称点B′(x0，y0)，由此可求得直线AC的方程；若选②：由{2x+y−11=02x−y−5=0，求得点A(4，3)，设点C(x1，y1)，由BC的中点在直线2x−y−5=0上，和点C 在直线x−2y−5=0上，求得点C(−1，−3)，由此可求得直线AC的方程.（1）解：因为AB边上的高所在的直线方程为x−2y−5=0，所以直线AB的斜率为k=−2，又因为△ABC的顶点B(5,1)，所以直线AB的方程为：y−1=−2(x−5)，所以直线AB的方程为：2x+y−11=0；（2）解：若选①：角A的平分线所在直线方程为x+2y−13=0，由{2x+y−11=0x+2y−13=0，解得{x=3y=5，所以点A(3，5)，设点B关于x+2y−13=0的对称点B′(x0，y0)，则{y0−1x0−5×(−12)=−1x0+5 2+2×y0+12−13=0，解得{x0=375y0=295，所以B′(375，295 )，又点B′(375，295)在直线AC上，所以k AC=5−2953−375=211，所以直线AC的方程为y−5=211(x−3)，所以直线AC的方程为2x−11y+49=0；若选②：BC边上的中线所在的直线方程为2x−y−5=0，由{2x+y−11=02x−y−5=0，解得{x=4y=3，所以点A(4，3)，设点C(x 1，y 1)，则BC 的中点在直线2x −y −5=0上，所以2×5+x 12−1+y 12−5=0，即2x 1−y 1−1=0，所以点C 在直线2x −y −1=0上，又点C 在直线x −2y −5=0上，由{x −2y −5=02x −y −1=0 解得{x =−1y =−3，即C(−1，−3)，所以k AC =−3−3−1−4=65，所以直线AC 的方程为y −3=65(x −4)，所以直线AC 的方程为6x −5y −9=0. 19、已知x 21−k −y 2|k|−3=−1，当k 为何值时： (1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x 轴上的双曲线； (3)表示焦点在y 轴上的双曲线． 答案：(1)k ＜－3或1＜k ＜3； (2)1＜k ＜3； (3)k ＜－3.分析：利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论． （1）∵x 21−k −y 2|k|−3=−1，即x 2k−1+y 2|k |−3=1，方程表示双曲线，∴(k －1)(|k |－3)＜0， 可得k ＜－3或1＜k ＜3； （2）∵x 21−k −y 2|k|−3=−1，即x 2k−1+y 2|k |−3=1，焦点在x 轴上的双曲线， 则{k −1＞03−|k|＞0，∴1＜k ＜3； （3） ∵x 21−k−y 2|k|−3=−1，即x 2k−1+y 2|k |−3=1，焦点在y 轴上的双曲线，则{|k|−3＞01−k ＞0 ，∴k ＜－3．。
新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(有答案解析)
一、选择题1．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A．B ．C ．D ．2．若圆222(3)(5)x y r -+-=上有且只有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(,4)-∞D ．(6,)+∞3．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --=4．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝05．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．6．已知圆1C ：224470x y x y ++-+=与圆2C ：()()222516x y -+-=的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切C ．相交D ．内切7．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ）A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=08．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．49．已知圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,32⎡-⎣ B ．(2,32⎡-⎣C ．2,32⎡⎡-⎣⎣D ．((2,32-10．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎤⎥⎝⎦C ．53,124D ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭11．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．(2,)+∞C ．[2,D ．12．过点(0,2)P 的直线l 与以(1,1)A ，(2,3)B -为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．5[,3]2- B ．5(,][3,)2-∞-⋃+∞ C ．3[,1]2-D ．1(,1][,)2-∞-⋃-+∞ 二、填空题13．在平面直角坐标系中，已知点()2,0A 、()4,0B ．若直线:0l x y m -+=上存在点P使得PB PA =，则实数m 的取值范围是___________．14．点P (－3，1)在动直线mx ＋ny ＝m ＋n 上的投影为点M ，若点N (3，3)那么|MN |的最小值为__________.15．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 16．已知方程：22(42)20,()x y m x my m m R +-+--=∈ ①该方程表示圆，且圆心在直线210x y --=上； ②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；③当1m =-时，该方程表示的曲线关于直线:10l x y -+=的对称曲线为C ，则曲线C上的点到直线l 的最大距离为22； ④若m 1≥，过点(1,0)-作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 所在的直线方程为420x y +-=．以上四个命题中，是正确的有_______________（填序号）17．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个18．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 19．已知：()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E -，()1,0F ，一束光线从F 点出发发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为____________.20．曲线1y =与直线()35y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是______．三、解答题21．已知以点C 为圆心的圆经过点A (-1，0)和B (3，4)，且圆心C 在直线3150x y +-=上 （1）求圆C 的方程；（2）设点Q (-1，m )(m >0)在圆C 上，求△QAB 的面积.22．已知圆C ：22870x y y +-+=，直线l ：()20x my m m R +-=∈. （1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判定直线与圆的位置关系；（2）若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且42AB =时，求直线l 的方程.23．光线从(1,1)A 点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,7)D . （1）求BC 所在直线的方程；（2）过点(2,2)E 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x ，y 轴分别交于,P Q ，过,P Q 作直线BC 的垂线，垂足为,R S ，求线段||RS 长度的最小值.24．已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点()2,22B --，顶点C 在x 轴上.（1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点(0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围.25．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．26．已知圆C ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝16，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m －2)y －3m －4＝0(m ∈R ). （1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为211m 的值；（2）若圆C 与直线l 相离，设MN 为圆C 的动直径，作MP ⊥l ，NQ ⊥l ，垂足分别为P ，Q ，当m 变化时，求四边形MPQN 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r+≥-即可求解. 【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --， 由图得AC BC AP r +≥-52242=-=.故选：C. 【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.2．D解析：D 【分析】首先求圆心到直线的距离d ，再根据条件，列式1d +和半径r 比较大小，求r 的取值范围. 【详解】圆心()3,5到直线432x y +=的距离2243352543d ⨯+⨯-==+，若圆上有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则51r >+，即6r >. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线432x y +=距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.3．A解析：A 【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可. 【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --， 点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ， 则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程， 由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.4．D解析：D【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.5．B解析：B 【分析】首先利用题中所给的点N (－1，，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】易知NF 的斜率kNF 的方程为y(x －1)，＋y＝0. 所以M 到NF.故选：B. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.6．B解析：B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，圆1C ：224470x y x y ++-+=，可得圆心坐标为1(2,2)C -，半径为11r =，圆2C ：()()222516x y -+-=，可得圆心坐标为1(2,5)C ，半径为14r =，又由125C C ==，且12145r r =+=+，即1212C C r r =+，所以圆12,C C 相外切. 故选：B. 【点睛】圆与圆的位置关系问题的解题策略：判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.7．D解析：D 【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程. 【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， ∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =-.:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-=故选：D 【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.8．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上 代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c +=本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.9．D解析：D 【分析】先判断圆心到直线的距离()1,3d ∈，再利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆C ：224x y +=的圆心是()0,0C ，半径2r，而圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，所以圆心()0,0C 到直线l ：0x y m -+=的距离()1,3d ∈，即()1,3d ==，解得m -<<m <<.故选：D. 【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离问题和点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】 曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论．【详解】 曲线214y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，PD2=，解得512k =，即512PD k =， (2,1)A -，4132(2)4PA k -==--，∴53,124k ⎛⎤∈⎥⎝⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．11．C解析：C 【分析】设AB 的中点为C ，由||||OA OB AB +，可得||||OC AC ，则222||||2()24AC OC =≤+，再结合直线与圆相交列不等式，即可求出实数a 的取值范围． 【详解】设AB 的中点为C ， 因为||||OA OB AB +，所以||||OC AC ，因为||2OC =，所以222||||2(24AC OC =≤+，所以2a -或2a ，22<，所以2222a -<< 因为0a >，所以实数a 的取值范围是[2，2)， 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的加法运算，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．D解析：D 【分析】画出图形，设直线l 的斜率为k ，求出PA k 和PB k ，由直线l 与线段AB 有交点，可知PA k k ≤或PB k k ≥，即可得出答案.【详解】直线过定点(0,2)P ，设直线l 的斜率为k ， ∵12110PA k -==--，321202PB k -==---， ∴要使直线l 与线段AB 有交点，则k 的取值范围是1k ≤-或12k ≥-， 即1(,1][,)2k ∈-∞-⋃-+∞.故选：D. 【点睛】方法点睛：求直线的斜率（或取值范围）的方法：（1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且90α︒≠，则斜率tan k α=； （2）公式法：若直线过两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x ≠，则斜率2121y y k x x -=-； （3）数形结合方法：该法常用于解决下面一种题型：已知线段AB 的两端点及线段外一点P ，求过点P 且与线段AB 有交点的直线l 斜率的取值范围.若直线,PA PB 的斜率都存在，解题步骤如下： ①连接,PA PB ； ②由2121y y k x x -=-，求出PA k 和PB k ； ③结合图形写出满足条件的直线l 斜率的取值范围.二、填空题13．【分析】设点利用条件可求得点的轨迹方程进而可转化为直线与点的轨迹曲线有公共点可得出关于实数的不等式由此可解得实数的取值范围【详解】设点由于则化简可得由题意可知直线与圆有公共点则解得因此实数的取值范围 解析：[]4,4-【分析】设点(),P x y，利用条件PB PA =可求得点P 的轨迹方程，进而可转化为直线l 与点P 的轨迹曲线有公共点，可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】设点(),P x y，由于PB PA ==，化简可得228x y +=，由题意可知，直线l 与圆228x y +=≤44m -≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]4,4-. 故答案为：[]4,4-. 【点睛】方法点睛：利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，方法如下：（1）代数法：将直线l 的方程和圆的方程联立，消去一个元（x 或y ），得到关于另外一个元的一元二次方程.①若0∆>，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交； ②若0∆=，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切； ③若∆<0，则直线与圆没有交点，直线与圆相离；（2）几何法：计算圆心到直线的距离d ，并比较d 与圆的半径r 的大小关系. ①若d r <，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交； ②若d r =，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切； ③若dr ，则直线与圆没有交点，直线与圆相离.14．【分析】由动直线方程可得动直线经过定点从而得到的轨迹为以线段为直径的圆然后判断点N 在圆外进而得到所求最小值【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n显然经过定点的轨迹为以线段为直径的圆圆心坐标为半径为2在圆 解析：2【分析】由动直线方程可得动直线经过定点()A 1,1,从而得到M 的轨迹为以线段PA 为直径的圆，然后判断点N 在圆外，进而得到所求最小值. 【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n 显然经过定点()A 1,1,M ∴的轨迹为以线段PA 为直径的圆，圆心坐标为()1,1C -,半径为2，2242252CN =+=>,N ∴在圆外， 252min MN ∴=-,故答案为：25 2.- 【点睛】本题关键要分析出动直线经过定点，从而判定M 的轨迹，然后判定N 在圆的外部是不可缺少的.15．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直 解析：)1,2⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线2x 1y =--有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12=，求得2b =，或2b =-（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <， 故答案为：)1,2⎡⎣易错点睛：本题在把方程x =化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.16．③④【分析】先将方程：化为：确定出圆心半径判断选项①②；将代入得圆方程可转化为该圆上的点到直线的最大距离问题求解；先求出以圆外点与圆心连线为直径的圆方程再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程【详解析：③④ 【分析】先将方程：22(42)20x y m x my m +-+--=化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，确定出圆心，半径判断选项①②；将1m =-代入得圆方程，可转化为该圆上的点到直线l 的最大距离问题求解；先求出以圆外点(1,0)-与圆心连线为直径的圆方程，再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程.【详解】方程：22(42)20x y m x my m +-+--=可化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，当25510m m ++>即m >或m <时，方程表示圆，故①错；由①知，当m >或m <时，该方程表示圆，且圆心()21,M m m +在直线210x y --=上移动，且半径不定，故②显然不正确；当1m =-时，方程表示圆M ：()()22111x y +++=,由条件知曲线C 上的点到直线l 的最大距离即为圆M 上的点到直线l 212+=，所以③正确；当m 1≥时，22211551524r m m m ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，所以当1m =时，圆面积最小，此时圆心为()3,1M ，圆M 方程为：()()223111x y -+-=，设()1,0P -，则PM 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，217PM =，所以PM 为直径的圆方程为()22117124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，两圆方程相减即得AB 所在的直线方程为420x y +-=，故④正确. 故答案为：③④方法点睛：已知圆外一点引圆的两条切线，求解切点连线的直线方程，通常先求出以圆外一点与圆心连线为直径的圆方程，然后将两圆方程相减，即可得切点连线的直线方程.17．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点解析：7 【分析】根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个． 【详解】解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，222:(2)1O x y -+=是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即229x y +=；与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b ，则22(02)423b b -+=⇒=±，∴22(23)9x y +±=，同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；分别为22315()()92x y ++±=和22315()()92x y -+±=，共7个， 故答案为：7． 【点睛】由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.18．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可． 试题 因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；19．【分析】先作出关于的对称点再作关于的对称点因为光线从点出发射到上的点经反射后反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点又因为再经反射反射光线经过关于直线的对称点所以只需连接交与点连接分别交为点则之间 解析：()4,+∞【分析】先作出F 关于BC 的对称点P ，再作P 关于AC 的对称点M ，因为光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，反射光线的反向延长线经过F 关于直线BC 的对称点P 点，又因为再经AC 反射，反射光线经过P 关于直线AC 的对称点，所以只需连接,MA ME 交AC 与点N ，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则,G H 之间即为点D 的变动范围．再求出直线,FG FH 的斜率即可． 【详解】∵(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，∴直线BC 方程为20x y +-=，直线AC 方程为20x y -+=,如图， 作F 关于BC 的对称点P ，则(2,1)P ， 再作P 关于AC 的对称点M ，则(1,4)M -,连接,MA ME 交AC 与点N ，则直线ME 方程为1x =-, ∴(1,1)N -，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则直线PN 方程为1y =，直线PA 方程为420x y -+=， ∴64(1,1),,55G H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接,GF HF ， 则,G H 之间即为点D 的变动范围．∵直线FG 方程为1x =，直线FH 的斜率为 454615=-∴FD 斜率的范围为(4,)+∞故答案为：(4,)+∞.【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.20．【分析】化简式子可得作出图形然后求出直线与该半圆相切时的依据图形简单计算和判断可得结果【详解】由题可知：所以如图又直线即过定点当直线与半圆相切时则当直线过点时所以故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的解析：72 ,243⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简式子可得()()22191+-=≥x y y，作出图形，然后求出直线与该半圆相切时的k，依据图形，简单计算和判断可得结果.【详解】由题可知：219y x=+-，所以()()22191+-=≥x y y如图又直线()35y k x=-+，即350kx y k过定点()A3,5213573241--+=⇒=+kkk当直线过点()3,1B-时，()512333-==--k所以72,243⎛⎤∈⎥⎝⎦k 故答案为：72,243⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查直线与圆的应用，数形结合形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题.三、解答题21．（1）22(3)(6)40x y ++-=；（2）24. 【分析】（1）求出AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；（2）求出点()1,12Q -，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案； 【详解】（1）依题意知所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点．AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1，AB ∴的垂直平分线的方程为()21y x -=--，即3y x =-+．由33150y x x y =-+⎧⎨+-=⎩，得36x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()3,6C -． ∴半径r ==．故所求圆C 的标准方程为()()223640x y ++-=． （2）点()()1,0Q m m ->在圆C 上，12m =∴或0m =(舍去)，()1,12Q ∴-，12AQ ==，直线AQ 的方程为：1x =-，点B 到直线AQ 的距离为4，QAB ∴的面积1141242422S AQ =⨯⨯=⨯⨯=．【点睛】利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B ，其圆心必在线段的中垂线上.22．（1）直线与圆相交；（2）30x +-=或30x +=. 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可判定直线与圆的位置关系；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数m 的值，进而可得出直线l 的方程.【详解】解：（1）由题设知圆C ：()2249x y +-=.所以圆C 的圆心坐标为()0,4，半径为3.又l ：()20x m y +-=恒过()0,2M ，()2202449+-=<所以点M 在圆C 内，故直线必定与圆相交. （2）圆心C 到直线l的距离记为d =3r =，2AB= 又2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，代入解得：3m =±. 所以直线l的方程为：30x -=或30x +=. 【点睛】关键点睛：利用圆心C 到直线l 的距离，在利用公式2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出m ，最后求出直线l 的方程，属于中档题 23．（1）430x y +-=；（2）17. 【分析】（1）点(1,1)A 关于x 轴对称点()1,1E -，点D 关于y 轴对称点为()1,7F -，则其对称点,E F 在反射线上，即可求出反射线的直线方程；（2）写出直线l 的方程，求出()22,0,0,22P Q m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，得到直线PR 和QS 的方程，转化为平行线的距离问题. 【详解】解：（1）点(1,1)A 关于x 轴对称为()1,1E - 点D 关于y 轴对称点为()1,7F -， 又直线BC 经过,F E 两点， 故直线BC ：430x y +-=； （2）设l 的方程为()22y m x -=--， 则()22,0,0,22P Q m m ⎛⎫++⎪⎝⎭， 可得直线PR 和QS 的方程分别为24(2)0x y m--+=和()44220x y m -++=， 又//PR QS ，∴RS =≥，当且仅当12m =取等号，∴线段RS 长度的最小值为181717. 【点睛】 三种距离公式：（1）两点间的距离公式：平面上任意两点111222(,),(,),P x y P x y 间的距离公式为22122121||()()PP x x y y =-+-； （2）点到直线的距离公式：点111(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离1122d A B=+;（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离2122d A B=+.24．（1）220x y --=；（2）()2219x y ++=；（3）422213422213,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）设AC 中点M 为(),0t ，则()42,0C t +，得到BM MC =，求出t ，利用点斜式写方程即可；（2）利用（1）得到圆心坐标以及半径即可得解；（3）先求AB k ，再求直线DE 的方程，点M 到直线DE 的距离，则三角形PDE 的高263,263h ⎡⎤∈-+⎣⎦，最后利用12PDESDE h =求解即可. 【详解】（1）设AC 中点M 为(),0t ，又()4,0A -， 则()42,0C t +，90ABC ∠=︒，则BM MC =,又(2,B --，424t t t =+-=+，则1t =-， 所以()2,0C ，故0222BC k -==--，则BC 边所在的直线方程为：)02202y x x -=-⇒--=；所以BC 边所在的直线方程为：20x --=； （2）由M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心， 则M 为AC 的中点坐标为()1,0-， 又3MC r ==,则圆M 的方程为：()2219x y ++=；（3）由()4,0A -，(2,B --，得024AB k -==-+，直线AB 与直线DE 平行，又(0,E -，则直线DE 的方程为：y =- 则()7,0D -，所以点M 到直线DE 的距离d ==，则三角形PDE 的高3h ⎡⎤∈⎣⎦，DE ==则12222PDESDE h ⎡==∈⎢⎣⎦，三角形PDE 面积的取值范围为22⎡⎢⎣⎦.【点睛】方法点睛：圆上的点到直线的距离的范围问题，转化为圆心到直线的距离加半径最大，减半径最小.25．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=．【分析】（1）联立直线方程可解得结果；（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程.【详解】（1）联立6590250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ； （2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则0000659015502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得(1,3)B --， 又23145AC k -==--，所以AC 边上的高所在直线的斜率12k =， 所以AC 边上的高所在直线方程为13(1)2y x +=+，即250x y --=. 【点睛】 关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标.26．（1）43m =-；（2）. 【分析】（1）先利用弦长和半径求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式建立关系即可求解； （2）求出直线定点D ，作CE l ⊥，垂足为E ，可得四边形MPQN 面积为CE PQ ⋅，当//MN l 且CD l ⊥时面积可得最大.【详解】解：（1）圆C 的圆心()3,4C -，半径4r =，由弦AB的长为，得点C 到直线l 的距离为d === 又d ==，∴=解得：43m =-； （2）把直线l 方程()()212340m x m y m ++---=化为()23240x y m x y +-+--=由230240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩∴直线l 过定点()2,1D -，当m 变化时，l 绕点D 转动， 作CE l ⊥，垂足为E ，由已知得，四边形MPQN 为梯形（或矩形），PQ 为高，CE 为中位线， ∴()1884022MPQN S MP NQ PQ CE PQ CE MN CE CD =+⋅=⋅≤⋅=≤= 当且仅当//MN l 且CD l ⊥时等号全部成立， 由CD l ⊥得1l CD k k ⋅=-，即2112m m +=--，解得13m =， ∴当13m =时，四边形MPQN 的面积取得最大值402. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及四边形面积问题，解题的关键是巧妙表示出四边形面积，转化为点到直线距离的最值问题.。
高中数学选修一综合测试题专项训练(带答案)
高中数学选修一综合测试题专项训练单选题1、设圆C 1:x 2+y 2−2x +4y =4，圆C 2:x 2+y 2+6x −8y =0，则圆C 1，C 2的公切线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：B分析：先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．由题意，得圆C 1:(x −1)2+(y +2)2=32，圆心C 1(1,−2)，圆C 2:(x +3)2+(y −4)2=52，圆心C 2(−3,4)，∴5−3<|C 1C 2|=2√13<5+3，∴C 1与C 2相交，有2条公切线． 故选：B ．2、经过点(－√2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ） A ．y ＋√2 =√33(x －2)B ．y ＋2＝√3(x －√2) C ．y －2=√33(x ＋√2)D ．y －2＝√3(x ＋√2) 答案：C分析：根据k =tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解. 直线的斜率k =tan30°=√33，由直线的点斜式方程可得y －2＝√33(x ＋√2)， 故选：C ．3、已知点P(x ，y)在直线x −y −1=0上的运动，则(x −2)2+(y −2)2的最小值是（ ） A ．12B ．√22C ．14D ．√34 答案：A分析：(x −2)2+(y −2)2表示点P(x ，y)与(2，2)距离的平方，求出(2，2)到直线x −y −1=0的距离，即可得到答案.(x −2)2+(y −2)2表示点P(x ，y)与(2,2)距离的平方，因为点(2,2)到直线x −y −1=0的距离d =√2=√22， 所以(2,2)的最小值为d 2=12． 故选：A4、动点P ，Q 分别在抛物线x 2=4y 和圆x 2+y 2−8y +13=0上，则|PQ|的最小值为（ ） A ．2√3B ．√3C ．12√3D ．32√3 答案：B分析：设P (x 0,14x 02)，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案. 设P (x 0,14x 02)，圆化简为x 2+(y −4)2=3，即圆心为（0,4），半径为√3，所以点P 到圆心的距离d =√(x 0−0)2+(14x 02−4)2=√116(x 02)2−x 02+16，令t =x 02，则t ≥0，令f(t)=116t 2−t +16，t ≥0，为开口向上，对称轴为t =8的抛物线，所以f(t)的最小值为f (8)=12， 所以d min =√12=2√3，所以|PQ|的最小值为d min −√3=2√3−√3=√3. 故选：B5、已知圆C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0，C 2:(x +32)2+(y −32)2=112，则这两圆的公共弦长为（ ）A ．4B ．2√2C ．2D ．1 答案：C分析：先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.由题意知C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0，C 2:x 2+y 2+3x −3y −1=0，将两圆的方程相减，得x +y −3=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x +y −3=0.又因为圆C 1的圆心为(−2,1)，半径r =3，所以圆C 1的圆心到直线x +y −3=0的距离d =√2=2√2.所以这两圆的公共弦的弦长为2√r2−d2=2√32−(2√2)2=2. 故选：C.6、设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（）A．[√22,1)B．[12,1)C．(0,√22]D．(0,12]答案：C分析：设P(x0,y0)，由B(0,b)，根据两点间的距离公式表示出|PB|，分类讨论求出|PB|的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为x02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以|PB|2=x02+(y0−b)2=a2(1−y02b2)+(y0−b)2=−c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2，因为−b≤y0≤b，当−b3c2≤−b，即b2≥c2时，|PB|max2=4b2，即|PB|max=2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤√22；当−b3c2>−b，即b2<c2时，|PB|max2=b4c2+a2+b2，即b4c2+a2+b2≤4b2，化简得，(c2−b2)2≤0，显然该不等式不成立．故选：C．小提示：本题解题关键是如何求出|PB|的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．7、如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC=−35，AB⊥BD，则E的离心率为（）A ．√52B ．√173C ．√102D ．√5 答案：B分析：利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用|BF 2|表示|BF 1|,|AF 1|,|AB|，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.依题意，直线CA,DB 都过点F 1，如图，有AB ⊥BF 1，cos∠BAF 1=35，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=2a +m ，显然有tan∠BAF 1=43，|AB|=34|BF 1|=34(2a +m)，|AF 2|=32a −14m ，因此，|AF 1|=2a +|AF 2|=72a −14m ，在Rt △ABF 1，|AB|2+|BF 1|2=|AF 1|2，即916(2a +m)2+(2a +m)2=(72a −14m)2，解得m =23a ，即|BF 1|=83a,|BF 2|=23a ，令双曲线半焦距为c ，在Rt △BF 1F 2中，|BF 2|2+|BF 1|2=|F 1F 2|2，即(23a)2+(83a)2=(2c)2，解得ca =√173， 所以E 的离心率为√173. 故选：B小提示：方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法，由已知条件得出关于a,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8、已知直线l 1:√3x +y =0与直线l 2:kx −y +1=0，若直线l 1与直线l 2的夹角是60°，则k 的值为（ ） A ．√3或0B ．−√3或0 C ．√3D ．−√3 答案：A分析：先求出l 1的倾斜角为120°，再求出直线l 2的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k . 直线l 1:√3x +y =0的斜率为k 1=−√3，所以倾斜角为120°. 要使直线l 1与直线l 2的夹角是60°， 只需直线l 2的倾斜角为0°或60°， 所以k 的值为0或√3. 故选：A 多选题9、下列四个命题中，错误的有（ ） A ．若直线的倾斜角为θ，则sinθ>0 B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0≤θ≤πC ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tanθD ．若一条直线的斜率为tanθ，则此直线的倾斜角为θ 答案：ABCD分析：根据倾斜角与斜率的定义判断即可；解：因为直线的倾斜角的取值范围是[0,π)，即θ∈[0,π)，所以sinθ≥0， 当θ≠π2时直线的斜率k =tanθ，故A 、B 、C 均错误； 对于D ：若直线的斜率k =tan 4π3=√3，此时直线的倾斜角为π3，故D 错误；故选：ABCD10、(多选)已知三条直线x －2y ＝1，2x ＋ky ＝3，3kx ＋4y ＝5相交于一点，则k 的值为（ ） A ．－163B ．－1C ．1D ．163分析：由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k 的值 解：由{x −2y =12x +ky =3，得{x =6+k4+ky =14+k ，所以三条直线的交点为(6+k4+k ,14+k)，所以3k ⋅6+k 4+k+4⋅14+k =5，化简得3k 2+13k −16=0，解得k =1或k =−163， 故选：AC11、已知直线l 经过点P(3,1)，且被两条平行直线l 1：x +y +1=0和l 2：x +y +6=0截得的线段长为5，则直线l 的方程为（ ） A ．x =2B ．x =3 C ．y =1D ．y =2 答案：BC分析：先分析当直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3，符合题意；再分析直线l 的斜率存在时，先求出A,B 的坐标，解方程(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52求出k 的值，综合即得解.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3， 此时与l 1、l 2的交点分别为A(3,−4)，B(3,−9)， 截得的线段AB 的长|AB|=|−4+9|=5，符合题意， 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x −3)+1， 解{y =k(x −3)+1x +y +1=0 得A(3k−2k+1,−4k−1k+1)，解{y =k(x −3)+1x +y +6=0 得B(3k−7k+1,−9k−1k+1)，由|AB|=5，得(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52，解得k =0，即所求的直线方程为y =1，综上可知，所求直线l 的方程为x =3或y =1，填空题12、已知抛物线y 2=2px (p >0)，圆(x −p 2)2+y 2=1与y 轴相切，斜率为k 的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A ，D 两点，与圆交于B ，C 两点(A ，B 两点在x 轴的同一侧)，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，λ∈[2,4]，则k 2的取值范围为___________. 答案：[8,16+12√2]分析：先求出p ，然后设出直线，让直线与抛物线联立，再根据向量之间的关系及韦达定理求出x A ,x D ，再利用抛物线的定义及条件建立等式，再转化为不等式求解即可.由圆的方程可知，其圆心坐标为(p2,0)，当圆与y 轴相切可知p2=1，得p =2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，抛物线方程为y 2=4x ，设斜率为k 的直线方程为y =k(x −1)，设A(x A ,y A ),D(x D ,y D )，直线与抛物线联立， {y =k(x −1)y 2=4x，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 所以x A +x D =2k 2+4k 2①，x A x D =1②所以|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AF ⃑⃑⃑⃑⃑ |−1=x A +1−1=x A ，|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DF ⃑⃑⃑⃑⃑ |−1=x D +1−1=x D ， 而AB⃑⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则有|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=λ|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |，λ∈[2,4]， 所以x A =λx D ③，由①，③解得x A =λ(2k 2+4)(λ+1)k 2,x D =2k 2+4(λ+1)k 2，代入②有λ(λ+1)2⋅(2k 2+4)2k 4=1，变形得(2k 2+4)2k 4=(λ+1)2λ，因为λ∈[2,4]，所以(λ+1)2λ=λ+1λ+2∈[92,254]，所以92≤(2k 2+4)2k 4≤254，变形得√2≤2k 2+4k 2≤52，解得8≤k 2≤16+12√2. 所以答案是：[8,16+12√2].小提示：关键点睛：解决本题的关键一是先求出抛物线方程，二是运用抛物线的定义，三是解不等式. 13、设m ∈R ，圆M:x 2+y 2−2x −6y =0，若动直线l 1:x +my −2−m =0与圆M 交于点A 、C ，动直线l2:mx−y−2m+1=0与圆M交于点B、D，则|AC|+|BD|的最大值是________．答案：2√30分析：求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出|AC|+|BD|，利用基本不等式即可求出其最大值.x2+y2−2x−6y=0⇒(x−1)2+(y−3)2=10，圆心M(1，3)，半径r＝√10，x+my−2−m=0⇒x−2+m(y−1)=0⇒l1过定点E(2,1)，mx−y−2m+1=0⇒m(x−2)−y+1=0⇒l2过定点E(2,1)，且l1⊥l2，如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形，设|MF|=d，0≤d≤|ME|=√5，则|MG|=√|ME|2−|EG|2=√|ME|2−|MF|2=√5−d2，则|AC|+|BD|＝2√10−d2+2√10−(5−d2)=2(√10−d2+√5+d2)⩽2√2(10−d2+5+d2)=2√30，当且仅当10−d2=5+d2即d=√102时取等号.所以答案是：2√30.14、已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|−|MF1|的最小值为___________. 答案：2√2−5分析：首先根据椭圆的定义将|MN|−|MF1|的最小值转化为|MN|+|MF2|−4，再根据|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据|ME|+|MF2|≥|EF2|求得|MN|−|MF1|的最小值.如图，由M为椭圆C上任意一点，则|MF1|+|MF2|=4又N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴|MN|−|MF1|=|MN|−(4−|MF2|)=|MN|+|MF2|−4≥|ME|+|MF2|−5≥|EF2|−5，当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立.∵F2(1,0)，E(3,2)，则|EF2|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，∴|MN|−|MF1|的最小值为2√2−5．所以答案是：2√2−5．小提示：思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.解答题15、如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD为6√3m，行车道总宽度BC为2√11m，侧墙高EA，FD为2m，弧顶高MN为5m.（1）以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1m为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为0.5m ，问车辆通过隧道的限制高度是多少？答案：（1）x 2+(y +3)2=36；（2）3.5m . 分析：（1）设出圆的方程，代入F,M 即可求解；（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，求出点P 的坐标，即可得出答案. （1）由题意，有E(−3√3,0)，F(3√3,0)，M(0,3).∵所求圆的圆心在y 轴上，∴设圆的方程为(x −0)2+(y −b)2=r 2（b ∈R ，r >0）， ∵F(3√3,0)，M(0,3)都在圆上， ∴{(3√3)2+b 2=r 202+(3−b )2=r 2，解得{b =−3r 2=36 .∴圆的标准方程是x 2+(y +3)2=36.（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ， 则CP =ℎ+0.5.将点P 的横坐标x =√11代入圆的方程，得(√11)2+(y +3)2=36， 得y =2或y =−8（舍去）.∴ℎ=CP −0.5=(2+2)−0.5=3.5(m ). 故车辆通过隧道的限制高度为3.5m .。
人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，1BC α⊥，点E 、F 分别为1AA 、1CC 的中点，112C G GD =，若α平面ABCD m =，α平面EFG n =，则直线m 与直线n 所成角的正切值为（ ） A ．227B ．327C ．427D ．6272．如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（ ）A ．12B ．22C ．3 D ．553．若(),,0OA m n =，40,,OB p n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,4,0F ，1AF m =+，1BF p =+，则m p +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．64．直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AA ==，90ACB ∠=，则直线1A C 与平面11A BC 所成的角的大小为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．1205．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时,AM MN ⋅=（ ） A ．43-B ．43C ．13-D ．136．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A 6B 3C 6D ．237．正方体1111ABCD A B C D -中,动点M 在线段1A C 上,E ，F 分别为1DD ，AD 的中点.若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为（ ） A ．[,]63ππB ．[,]43ππC ．[,]62ππD ．[,]42ππ8．已知在平行六面体中,3,4,5,120,60,60ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA '''''''-===∠=︒∠=︒∠=︒，则AC '的长为（ ）A ．52B ．9C 85D 739．在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ） A ．2123,θθθθ<<B ．2123 ,θθθθ><C ．2123 ,θθθθD ．2123 ,θθθθ>>10．如图，在三棱柱11ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，侧棱垂直于底面，14,6AB AA ==.若E 是棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1313B ．21313C ．31313D ．132611．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若4AB AC BD ===，则线段CD 的长为（ ）A ．43B ．16C ．8D ．4212．如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，D ,E 分别为 BB 1,A 1C 1 的中点，则异面直线 AD ,CE 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．32C ．15D ．4513．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1二、填空题14．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为______．15．正四面体ABCD 的棱长为a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____________.16．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，则11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为______________．17．已知向量()()0,1,1,4,1,0,29a b a b λ=-=+=，且0λ>，则λ=____________．18．已知(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________.19．如图，已知平面α⊥平面β，l αβ=，∈A l ，B l ∈，AC α⊂，BD β⊂，AC l ⊥，BD l ⊥，且4AB =，3AC =，12BD =，则CD =_________________.20．如图，点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ABCD PD AD 底面，⊥=，则PA 与BD 所成角的度数为____________.21．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，13AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC =___________．22．设平面α的法向量为(1,2,2)-，平面β的法向量为(2,,4)λ，若α∥β，则λ的值为______23．已知()1,1,2AB =-，()1,1,BC z =-，()1,,1BP x y =--.若BP ⊥平面ABC ，则||CP 的最小值为___________.24．在棱长为9的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ，F 分别在棱AB ，DD '上，满足2AE D E DFB F '==，点P 是DD '上一点，且//PB 平面CEF ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为______.25．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心E 是BD 上一点，3,BE ED =以,,AB AC AD 为基底，则GE =__________．26．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】以1D 为原点，11D A 为x 轴，11DC 为y 轴，1D D 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法计算即可. 【详解】不妨设AB =2, 以1D 为原点，11D A 为x 轴，11DC 为y 轴，1D D 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,02,0,02,0,22,0,10,2,00,2,20,2,1D A A E C C F ，，，，，，， ()()()12,2,22,2,0,2,0,2,B EF C B =-=-，112420,,00,,133C G GD G GF ⎛⎫⎛⎫=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面EFG 的一个法向量()1,,n x y z =，则11·2204·03n EF x y n GF y z ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，不妨令x =1，则141,1,3n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 易知平面ABCD 的一个法向量为()20,0,1n =，设直线m ，n 的方向向量分别为()0000,,m x y z =，()0222,,n x y z = 因为α平面ABCD m =，1BC α⊥，所以0100020·220·0m C B x z m n z ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩不妨令0y =1，则()00,1,0m =同理可求071,,13n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设直线m 与直线n 所成角为θ，则0000007||||7673cos |cos ,|||||491114m n m n m n θ-====⨯⨯++所以227673134sin 1cos 16767θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭3134sin 3267tan cos 7767θθθ===故选：B 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．D解析：D 【分析】取AC 的中点E ，连接BE,DE,证明BE 垂直于平面ACD ，以点E 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD 和平面CDA 的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦. 【详解】如图示，取AC 中点E ，连结BE 、DE ，在正三角形ACB 与正三角形ACD 中， BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，因为面ACB ⊥面ACD ，面ACB 面=ACD AC ，所以BE ⊥面ADC ,以E 为原点，ED 为x 轴正方向，EC 为y 轴正方向，EB 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC =2，则())()()(0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,0,3E DC A B -,平面ACD 的一个法向量为(3EB = 而()()0,1,3,3,1,0CB CD =-=-，设(),,n x y z =为面BCD 的一个法向量，则：·0·0n CB n DC ⎧=⎨=⎩即 3030y z y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令x =1，则()1,3,1n =设二面角B CD A --的平面角为θ，则θ为锐角，所以cos |cos ,||||5||||3EB n EB n EB n θ⋅====. 故选：D 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.3．C解析：C 【分析】根据空间向量模的坐标表示，由题中条件，得到11m p =+=+，推出22163282230m p n n n n-+-++=，配方整理，即可求出最小值. 【详解】因为(),,0OA m n =，40,,OB p n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,4,0F，1AF m =+，1BF p =+，所以11m p =+=+，则()2222224214421m n m m p p p n ⎧+-=++⎪⎨⎛⎫-+=++⎪ ⎪⎝⎭⎩，即()224214421n m p n⎧-=+⎪⎨⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎩， 所以22221632164812261628822n n n m p n n n n n ⎛⎫⎛⎫-++-+-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=22444822466n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=+-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当44n n+=，即2n =时，22m p +取得最小值3，则m p +的最小值为3. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于利用空间向量模的坐标表示，用n 表示出22m p +，即22164882222n n n m n p ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，配方整理，即可求解.4．A解析：A 【分析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1A C 与平面11A BC 所成的角. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， 又90ACB ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：设11AC BC AA ===，则()11,0,1A 、()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,1C ， ()111,0,0A C =-，()10,1,1=-BC ，()11,0,1=--AC ， 设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =， 由11100n AC x n BC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可得0x y z =⎧⎨=⎩，令1y =，可得0x =，1z =，所以，平面11A BC 的一个法向量为()0,1,1n =，1111cos ,222n A C n A C n A C⋅<>==-⨯⋅，所以，直线1A C 与平面11A BC 所成角的正弦值为12，则直线1A C 与平面11A BC 所成角为30.故选：A. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.5．A解析：A 【分析】根据题意可知M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，根据题意知，当M 为BCD ∆的中心、N 为线段AC 的中点时，AM 、BN 最短，然后利用MC 、MA 表示MN ，利用空间向量数量积的运算律和定义可求出AM MN ⋅的值. 【详解】由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知，M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ， 当AM 、BN 最短时，AM ⊥平面BCD ，BN AC ⊥， 所以，M 为BCD ∆的中心，N 为AC 的中点，此时，242sin 603MC ==，233MC ∴=， AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，AM MC ∴⊥，2223MA AC MC ∴=-==. 又()12MN MC MA =+，()2114223AM MN AM MC AM MA MA ∴⋅=⋅+⋅=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量数量积的计算，同时也涉及了利用共面向量和共线向量来判断四点共面和三点共线，确定动点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a ，a,0)，F(a,0,0)，AG ＝(a ，a,0)，AC ＝(0,2a,2a)，BG ＝(a ，－a ，0)，BC ＝(0,0,2a)，设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)， 由110{AG n AC n ⋅=⋅=⇒⇒111{1x y ==-⇒n 1＝(1，－1,1)．sinθ＝11BGn BG n ⋅⋅＝23a ⨯＝63. 7．A解析：A 【详解】以D 点为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 如图设DA 2=，易得()1,0,1EF=-,设()()()12,2,20122,2,2CM CA BM λλλλλλλλ==-≤≤=--，，则cos θcos ,?BM EF =，即()()222201122321222823()33cos θλλλλλλ===≤≤-+-+-+.当13λ=时，cos θ取到最大值32，当1λ=时，cos θ取到最小值12，所以θ的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.8．D解析：D 【分析】直接利用AC AB BC CC AB AD AA '''=++=++，然后利用平面向量的数量积进行计算. 【详解】 如图，可得AC AB BC CC AB AD AA '''=++=++，故22||()AC AB AD AA ''=++222=|||||2()+|AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''++⋅+⋅+⋅222111345234-+35+45222⎡⎤⎛⎫=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=73.∴=73AC '故选：D. 【点睛】本题考查了几何体的对角线长的求解，根据已知条件，构造向量，将几何体的对角线长的求解转化为向量模的运算，是解答本题的关键，属于中档题.9．A解析：A 【分析】以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出直线的方向向量以及平面的法向量，通过向量法即可求得各个角度的余弦值，再结合余弦函数的单调性即可判断. 【详解】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)A ，1(3,1,2)B ，(0,2,0)C ，33,022D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,0)A ， (0,2,0)AC =，131,222B D ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，11(3,1,0)A B =，因为直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111||cos ||||25θ⋅∴==⋅B D AC B D AC ，因为直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，121||sin ||5∣θ⋅∴==⋅B D n B D n ，222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭， 设平面11A B D 的法向量(,,)m a b c =，则1113031202m A B ab m B D bc ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 取a =33,3,2m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为二面角111C A B D --的平面角为3θ， 由图可知，其为锐角，33||2cos ||57m n m n θ⋅∴===⋅∣，231cos cos cos θθθ>>， 由于cos y θ=在区间(0,)π上单调递减，故231θθθ<<， 则2123,θθθθ<<. 故选：A . 【点睛】本题考查利用向量法研究空间中的线面角以及二面角，属综合基础题.10．A解析：A 【分析】以{},,a b c 为基底表示出11,A E AC ，利用向量夹角公式计算出异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值. 【详解】设1,,AB a AC b AA c===，则{},,a b c 构成空间的一个基底， 111112A E AB B E a c =+=-，11AC AC CC b c =+=+，111111cos ,||||A E AC A E AC A E AC ⋅〈〉=⋅1()21||2a cbc a c b c ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭=-⋅+()222112212a b b c a c c a c b c ⋅-⋅+⋅-=⎛⎫-⋅+ ⎪22222144cos600062124a a c c b b c c ⨯⨯︒-+-⨯=-⋅+⋅+⋅+ =135213==-⨯. 所以异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为1313. 故选：A 【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.11．D解析：D 【分析】分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ，则由题意可知ACE ∆为等边三角形，CDE ∆为直角三角形，求解CD 即可. 【详解】分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ， 则四边形ABDE 为平行四边形.线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .AC AB ∴⊥，AE AB ⊥则CAE ∠为二面角的平面角，即60CAE ∠= 4AB AC BD ===4AC BD AE AB DE ∴=====，如图所示.ACE ∴∆为等边三角形，4CE =AC DE ⊥，AE DE ⊥，AC AE A ⋂=，AC ⊂平面ACE ，AE ⊂平面ACEDE ∴⊥平面ACE 又CE ⊂平面ACE∴DE CE ⊥在Rt CDE ∆中22224442CD CE DE =+=+=故选：D 【点睛】本题考查空间的距离问题，属于中档题.12．C解析：C 【分析】取AC 的中点O ，以,,OB OC OE 为,,x y z 轴建立坐标系，求得向量,AD CE 的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题意，取AC 的中点O ，以,,OB OC OE 为,,x y z 轴建立坐标系，则(0,,0),(,0,),(0,,0),(0,0,)2222a a a A D C E a ， 则3(,,),(0,,)2222a a aAD aCE a ==-， 设AD 与CE 成的角为θ，则01cos 5a a aaθ-⨯+⨯==， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，以及异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．D解析：D 【分析】根据平面向量运算法则可知2i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=，从而得到21i AB AP AB ⋅==，进而得到结果. 【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅AB ⊥平面286BP P P i AB BP ∴⊥ 0i AB BP ∴⋅= 21i AB AP AB ∴⋅== 则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个 故选：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.二、填空题14．【分析】本题首先可结合题意绘出空间直角坐标系然后根据空间直角坐标系得出以及最后根据即可得出结果【详解】因为四棱柱使直四棱柱为直角所以可以以为坐标原点以所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系解析：31717【分析】本题首先可结合题意绘出空间直角坐标系，然后根据空间直角坐标系得出()0,1,0DC =以及()12,3,2BC =--，最后根据111cos ,DC BC DC BC DC BC ⋅=⋅即可得出结果.【详解】因为四棱柱1111ABCD A B C D -使直四棱柱，A ∠为直角，//AB CD ，所以可以以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,4,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ， 故()0,1,0DC =，()12,3,2BC =--， 因为1DC =，222123217BC =++=，所以1113317cos ,1717DC BC DC BC D BC C ⋅-===⋅， 故异面直线DC 与1BC 所成的角的余弦值为31717， 故答案为：31717. 【点睛】方法点睛：求空间中两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式求出两向量的夹角的大小，从而得出结果.15．【分析】结合由数量积定义计算【详解】正四面体中点EF 分别是BCAD 的中点连接则而所以平面又平面所以即所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计解析：2 4 a【分析】AE AB BE=+，结合AD BC⊥，由数量积定义计算．【详解】正四面体ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点，连接,AE DE，则,BC AE BC DE⊥⊥，而AE DE E=，所以BC⊥平面ADE，又AD⊂平面ADE，所以AD BC⊥，即AF BE⊥，所以21()cos6024a AE AF AB BE AF AB AF BE AF a a⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯︒=．故答案为：24a．【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算，解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计算的向量，然后由数量积定义计算，是基本方法，实质上也可以应用空间向量基本定理表示向量，把向量的运算转化为空间向量的基底进行运算．16．【详解】如图建立空间直角坐标系则所以设平面的一个法向量为由题可得令可得设与平面所成角为则故直线与平面所成角的正弦值为故答案为：解析：13【详解】如图，建立空间直角坐标系D xyz-，则1(0,0,1)D，1(0,2,1)C，1(1,0,1)A，(1,2,0)B，所以11(0,2,0)DC=，设平面11A BC的一个法向量为(,,)n x y z=，由题可得111(,,)(1,2,0)20(,,)(0,2,1)20n AC x y z x yn A B x y z y z⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1y=，可得(2,1,2)n=，设11D C 与平面11A BC 所成角为θ， 则11111121sin cos ,233D C n D C n D C nθ⋅====⨯⋅， 故直线11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为13． 故答案为：13．17．3【分析】利用向量的坐标运算求得求出根据空间向量模的公式列方程求解即可【详解】因为所以可得因为解得故答案为3解析：3 【分析】利用向量的坐标运算求得求出()4,1,a b λλλ+=-，根据空间向量模的公式列方程求解即可. 【详解】因为()()0,1,1,4,1,0,29a b a b λ=-=+=， 所以()4,1,a b λλλ+=-， 可得()2216129λλ+-+=， 因为0λ>，解得3λ=，故答案为3.18．【分析】由根据与的夹角为钝角由且求解【详解】因为所以因为与的夹角为钝角所以且由得所以若与的夹角为则存在使即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】由(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据a 与b 的夹角为钝角，由0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠求解.【详解】因为(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以2525(2)31355a b t t ⎛⎫⋅=⨯-++⨯-=- ⎪⎝⎭， 因为a 与b 的夹角为钝角，所以0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠，由0a b ⋅<，得52305t -<， 所以5215t <. 若a 与b 的夹角为180︒，则存在0λ<，使a b λ=， 即2(5,3,1)2,,5t λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以523215t λλλ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩， 解得65t =-， 故答案为： 6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．13【分析】根据面面垂直得线面垂直进而得再根据向量模的平方求得结果【详解】因为平面平面所以因为所以故答案为：13【点睛】本题考查面面垂直性质定理利用空间向量求线段长考查基本分析论证与求解能力属中档题 解析：13【分析】根据面面垂直得线面垂直，进而得AC BD ⊥,再根据向量模的平方求得结果.【详解】因为平面α⊥平面β，l αβ=，AC α⊂,AC l ⊥，所以AC β⊥，因为BD β⊂，所以AC BD ⊥，CD CA AB BD =++2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD ∴=+++⋅+⋅+⋅2222341200013||13CD =+++++=∴=故答案为：13【点睛】本题考查面面垂直性质定理、利用空间向量求线段长，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20．【分析】以D 为坐标原点DA 所在的直线为轴DC 所在的直线为轴DP 所在的直线为轴建立空间直角坐标系令求得利用向量的夹角公式即可求解【详解】如图所示以D 为坐标原点DA 所在的直线为轴DC 所在的直线为轴DP 所 解析：60【分析】以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，令1PD AD ==，求得()()1,0,1,1,1,0PA BD =-=--，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面,ABCD PD AD =，令1PD AD ==，所以()()()()1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0A P B D ，所以()()1,0,1,1,1,0PA BD =-=--, 所以1cos 222PA BDPA BD θ⋅===⨯⋅，所以060θ=， 即异面直线PA 与BD 所成的角为060【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．【解析】【分析】首先画出图形然后结合=两边平方同时结合数量积的运算法则进行计算即可【详解】平行六面体如图所示：∵∠BAA1=∠DAA1=60°∴A1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上∴平面ACC 解析：23【解析】【分析】首先，画出图形，然后，结合11AC AC CC =+=1AB AD AA ++，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可．【详解】平行六面体1111ABCD A B C D -，如图所示：∵∠BAA 1=∠DAA 1=60°∴A 1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上，∴平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，∵AB=1，AD=2，AA 1=3，∵11AC AC CC =+=1AB AD AA ++∴|1AC |2=（1AB AD AA ++）2 =|AB |2+|AD |2+|1AA |2+2AB AD ⋅+21AB AA ⋅+21AD AA ⋅ =1+9+4+0+2×1×3×12+2×2×3×12=23， ∴|1AC 23∴AC 12323【点睛】本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．22．-4【解析】分析：设平面的法向量平面的法向量由∥可得因此存在实数使得再利用向量共线定理的坐标运算即可求得结果详解：设平面的法向量平面的法向量因为∥所以所以存在实数使得所以有解得故答案为点睛：该题考查 解析：-4【解析】分析：设平面α的法向量m ，平面β的法向量n ，由α∥β，可得m n ∥，因此存在实数k ，使得m kn =，再利用向量共线定理的坐标运算即可求得结果.详解：设平面α的法向量(1,2,2)m =-，平面β的法向量(2,,4)n λ=，因为α∥β，所以m n ∥，所以存在实数k ，使得m kn =，所以有12224k k k λ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得4λ=-，故答案为4-. 点睛：该题考查的是向量平行的条件，以及向量平行时坐标所满足的关系，在解题的过程中，首先需要利用两个平面平行的条件，得到其法向量共线的结论，之后根据坐标的关系求得结果.23．【分析】利用平面得到两个向量垂直从而利用坐标运算得到之间的关系然后再利用模的坐标表示求解最值即可【详解】因为平面都在平面内所以所以又因为所以解得所以所以所以的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：解答【分析】利用BP ⊥平面ABC ，得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到y ，x ，z 之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可．【详解】因为BP ⊥平面ABC ，,AB BC 都在平面ABC 内，所以,BP AB BP BC ⊥⊥，所以,BP AB BP BC ⊥⊥，又因为()1,1,2AB =-，()1,1,BC z =-，()1,,1BP x y =--，所以(1)20(1)0BP AB x y BP BC x y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=---=⎩，解得1y x =--，2x z = 所以(2,1,1)CP BP BC x y z =-=-+--，所以2222||(2)(1)(1)CP x y z =-+++--()()()222212x x x =-+-+--2655x =+，所以||CP【点睛】方法点睛：解答立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 24．【分析】以为原点分别为轴建立空间直角坐标系设由平面可得P 点的坐标根据四棱锥的特点可得外接球的直径可得答案【详解】以为原点分别为轴建立空间直角坐标系由则设设平面的法向量为则即不妨令则得因为平面所以即解 解析：178π【分析】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P t ，由//PB 平面CEF 可得P 点的坐标，根据四棱锥P ABCD -的特点可得外接球的直径可得答案.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，由2AE D E DF B F '==， 则(9,6,0),(0,9,0)E C ，(0,0,3)F ，(9,9,0)B ，设(0,0,)P t ，∴()9,3,0EC =-， ()0,9,3CF =-，()9,9,PB t =-设平面FEC 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n EC n CF ⎧=⎨=⎩，即930930x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令3z =，则11,3y x ==， 得1,1,33n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为//PB 平面CEF ， 所以0PB n ⋅=，即1919303t ⨯+⨯-=，解得4t =， 所以(0,0,4)P ，由PD ⊥平面ABCD ，且底面是正方形，所以四棱锥P ABCD -外接球的直径就是PB ，由()9,9,4PB =-，得29PB ==所以外接球的表面积241782PB S ππ⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭. 故答案为：178π.【点睛】本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算能力.25．【解析】由题意连接则故答案为 解析：1131234AB AC AD --+ 【解析】 由题意，连接AE ，则32 43GE AE AG AB BD AM =-=+- 321432AB AD AB AB AC =+--⨯+（）（）． 1131234AB AC AD =--+ . 故答案为1131234AB AC AD --+. 26．【分析】设建立空间直角坐标系由向量的垂直可得进而可得由基本不等式即可得解【详解】设如图建立空间直角坐标系则所以又所以所以所以当且仅当时等号成立所以当的面积取得最小值时其棱故答案为：【点睛】本题考查了 解析：322【分析】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得1m n n -=，进而可得1221452MAD S n n=++△，由基本不等式即可得解. 【详解】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，则()10,0,D m ，()0,1,M n ，()3,0,0A ， 所以()10,1,M n m D =-，()3,1,AM n =-，又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-=，所以1m n n -=， 所以()122122111113114222MAD S M AM m n n n nD =⋅=+-++=++△()2222221114143415522222n n n n n n ⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当2n =322m =时，等号成立， 所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱1322AA =. 故答案为：322. 【点睛】 本题考查了空间向量及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.。
高中数学选修1-1各章节作业练习题(附答 案解析)
第一章常用逻辑用语§1.1 命题及其关系1.1.1命题课时目标 1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的__________叫做命题．其中判断为______的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题．2．在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句中，能作为命题的是()A．3比5大B．太阳和月亮C．高年级的学生D．x2＋y2＝03．下列命题中，是真命题的是()A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然数4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．45．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数6．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行题号123456答案7．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2>bc 2，则a >b .其中真命题的序号是________．8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p 是__________________________，结论q 是________________________________．9．下列语句是命题的是________． ①求证3是无理数； ②x 2＋4x ＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数； ⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋7>0. 三、解答题10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)偶数能被2整除．(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根．11．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．能力提升12．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题． 2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．3．在判断命题的条件和结论时，可以先将命题改写成“若p 则q ”的形式，改法不一定唯一．第一章 常用逻辑用语 §1.1 命题及其关系1．1.1 命题答案知识梳理1．真假 陈述句 真 假 2．条件 结论 作业设计1．B [A 、D 是疑问句，不是命题，C 中语句不能判断真假．]2．A [判断一个语句是不是命题，关键在于能否判断其真假．“3比5大”是一个假命题．]3．D [A 中方程在实数范围内无解，故是假命题；B 中若x 2＝1，则x ＝±1，故B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C 是假命题；所以选D.]4．B [命题②④为真命题．]5．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]6．D 7．①④解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形． 8．若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称 9．②④⑤解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x ＋7＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．10．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实数根，真命题．11．解 若命题p 为真命题，可知m ≤1； 若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m <2.故m 的取值范围是1<m <2.12．D [①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确．]13．B [①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m 、n 相交于一点这一条件，故不正确； ③由线面平行判定定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确． 综上所述知，③，④正确．]1.1.2四种命题课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：________________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数题号123456答案二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________________；逆命题是______________________；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．能力提升12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数13．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1．1.2四种命题答案知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．11．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．12．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]13．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．1.1.3四种命题间的相互关系课时目标1．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．2．会利用命题的等价性解决问题．1．四种命题的相互关系2．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．一、选择题1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确2．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是()A．能被2整除的整数，一定能被6整除B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除4．命题：“若a 2＋b 2＝0 (a ，b ∈R )，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0 B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠05．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( )A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是______________________________________，它是______(填“真”“或”“假”)命题．8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”或“假”)9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．三、解答题10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.能力提升12．给出下列三个命题：①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．其中假命题的个数为() A．0B．1C．2D．313．a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．1．1.3四种命题间的相互关系答案知识梳理1．若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2．(2)①相同②没有关系作业设计1．D[原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．] 2．D 3.D4．D[a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]5．D[原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]6．D7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A真解析“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁U A”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A”．它为真命题．8．假9.①②10．解逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．11．证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．∴a＋b≥0.12．B[①用“分部分式”判断，具体：a1＋a≥b1＋b⇔1－11＋a≥1－11＋b⇔11＋a≤11＋b，又a≥b>－1⇔a＋1≥b＋1>0知本命题为真命题．②用基本不等式：2xy≤x2＋y2 (x>0，y>0)，取x＝m，y＝n－m，知本命题为真．③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．]13．解能确定．理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．§1.2充分条件与必要条件课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的____________，q是p 的____________．2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________________条件．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件题号123456答案7．用符号“⇒”或“⇒”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)ab≠0________a≠0.8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．三、解答题10．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件： (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y .(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．11.已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．能力提升12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ，则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对 于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．§1.2 充分条件与必要条件 答案知识梳理1．充分条件 必要条件2．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．] 2．A [∵q ⇒p ，∴綈p ⇒綈q ，反之不一定成立，因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1) ⇒ (2)⇒ 8．a >2解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a解析 由二次函数的图象可知当－b2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ， 但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形． △ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形． ∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件． (3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形． 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分． ∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件． 11．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．12．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1.∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ca .又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ac，即a b ＝a c 或b c ＝a c， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．] 13．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n≥2时，S n－1＝n2＋c，∴a n＝S n－S n－1＝2n＋1，∴a n＋1－a n＝2为常数．又a1＝S1＝4＋c，∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，∵{a n}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.∴c＝－1，反之，当c＝－1时，S n＝n2＋2n，可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.§1.3简单的逻辑联结词课时目标 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作________或____________．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是()A．“p∨q”为真，“綈q”为假B．“p∧q”为假，“綈p”为真C．“p∧q”为假，“綈p”为假D．“p∨q”为真，“綈p”为真2．已知p：∅{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p∧q”，“p∨q”中，真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是() A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为假D．p为真，q为假5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则()A．p假q真B．p真q假C．p∨q为假D．p∧q为真6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是()A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形题号123456答案二、填空题7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________(填“真”，“假”)命题．8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．9．已知a、b∈R，设p：|a|＋|b|>|a＋b|，q：函数y＝x2－x＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p∨q、p∧q、綈p中的真命题是________．三、解答题10．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是质数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：0∈∅；q：{x|x2－3x－5<0}⊆R；(4)p：5≤5；q：27不是质数．11．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．能力提升12．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y ＝|x－1|－2 的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则()A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真13．设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p∧q⇔x∈A且x∈B⇔x∈A∩B；p∨q⇔x∈A或x∈B ⇔x∈A∪B；綈p⇔x∉A⇔x∈∁U A.2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断当p、q都为真，p∧q才为真；当p、q有一个为真，p∨q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．3．含有逻辑联结词的命题否定“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)”．§1.3简单的逻辑联结词答案知识梳理1．(1)p∧q“p且q”(2)p∨q“p或q”(3)綈p“非p”“p的否定”作业设计1．C[p假q真，根据真值表判断“p∧q”为假，“綈p”为真．]2．B[∵p真，q假，∴綈q真，p∨q真．]3．C[①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．]4．C[因为命题“綈(p∨q)”为假命题，所以p∨q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．又因为p∧q为假，所以p、q一真一假或都是假命题，所以p、q中有且只有一个为假．] 5．C[命题p、q均为假命题，∴p∨q为假．]6．D[A中的命题是p∨q型命题，B中的命题是假命题，C中的命题是綈p的形式，D中的命题为p∧q型，且为真命题．]7．或真8．[1,2)解析x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x<2，即x∈[1,2)．9．綈p解析对于p，当a>0，b>0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，故p假，綈p为真；对于q，抛物线y＝x2－x＋1的对称轴为x＝12，故q假，所以p∨q假，p∧q假．这里綈p应理解成|a|＋|b|>|a＋b|不恒成立，而不是|a|＋|b|≤|a＋b|.10．解(1)p为假命题，q为真命题．p或q：1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．p且q：1既是质数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．綈p：1不是质数．真命题．(2)p为假命题，q为假命题．p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题． p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题． 綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题． (3)∵0∉∅，∴p 为假命题，又∵x 2－3x －5<0，∴3－292<x <3＋292，∴{x |x 2－3x －5<0} ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3－292<x <3＋292⊆R 成立． ∴q 为真命题．∴p 或q ：0∈∅或{x |x 2－3x －5<0}⊆R ，真命题， p 且q ：0∈∅且{x |x 2－3x －5<0}⊆R ，假命题，綈p ：0∉∅，真命题．(4)显然p ：5≤5为真命题，q ：27不是质数为真命题，∴p 或q ：5≤5或27不是质数，真命题，p 且q ：5≤5且27不是质数，真命题，綈p ：5>5，假命题．11．解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，解得m >2，即p ：m >2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1<m <3，即q ：1<m <3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真． 又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真．所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2.12．D [当a ＝－2，b ＝2时，从|a |＋|b |>1不能推出|a ＋b |>1，所以p 假，q 显然为真．] 13．解 对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．§1.4 全称量词与存在量词课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．全称量词和全称命题(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．(2)含有______________的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有______________的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为____________．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：____________.4．命题的否定与否命题命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20>0C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>25．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则()A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1B．綈p：∀x∈R，sin x≥1C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1D．綈p：∀x∈R，sin x>16．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是()A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011D．以上都不对题号123456答案。
全国通用版高中数学选修一必练题总结
(名师选题)全国通用版高中数学选修一必练题总结单选题1、已知圆C：x2+y2=4，直线L：y=kx+m，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（）A．±2B．±√2C．±√3D．±3答案：C分析：由直线L过定点M(0,m)，结合圆的对称性以及勾股定理得出m的取值.直线L：y=kx+m恒过点M(0,m)，由于直线被圆C所截的弦长的最小值为2，即当直线L与直线OM垂直时（O为原点），弦长取得最小值，于是22=(12×2)2+|OM|2=1+m2，解得m=±√3.故选：C2、如果AB>0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB>0且BC<0，可得A,B同号，B,C异号，所以A,C也是异号；令x=0，得y=−CB >0；令y=0，得x=−CA>0；所以直线Ax+By+C=0不经过第三象限. 故选：C.3、已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．6答案：C分析：本题通过利用椭圆定义得到|MF1|+|MF2|=2a=6，借助基本不等式|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2即可得到答案．由题，a2=9,b2=4，则|MF1|+|MF2|=2a=6，所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9（当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立）．故选：C．小提示：4、双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过焦点F1的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为（）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m答案：C分析：由双曲线定义得到|BF2|−|BF1|=2a，|AF2|−|AF1|=2a，两式相加得到|BF2|+|AF2|=4a+m，进而求出周长.由双曲线的定义得：|BF2|−|BF1|=2a①，|AF2|−|AF1|=2a②，两式相加得：|BF2|−|BF1|+|AF2|−|AF1|=4a，即|BF2|+|AF2|−|AB|=|BF2|+|AF2|−m=4a，所以|BF2|+|AF2|=4a+m，故△ABF2的周长为|BF2|+|AF2|+|AB|=4a+2m.故选：C5、椭圆x2100+y264=1的焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°，则点P到x轴的距离为（）A．64√33B．91√33C．32√39D．643答案：C分析：利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得|PF1|⋅|PF2|，一方面S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|sin60°，另一方面设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2=12×|F1F2|×d，所以12|PF1|⋅|PF2|sin60°=12×|F1F2|×d，即可求解易得c=√a2−b2=6．设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则r1+r2=20．在△PF1F2中，由余弦定理得(2c)2=r12+r22−2r1r2cos60°，即144=r12+r22−r1r2=(r1+r2)2−3r1r2=400−3r1r2，则r1r2=2563，所以S△PF1F2=12r1r2sin60°=12×2563×√32=64√33．设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2=12×|F1F2|×d=6d，故6d=64√33，解得d=32√39．故选：C．6、已知两圆分别为圆C1:x2+y2=49和圆C2:x2+y2−6x−8y+9=0，这两圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得，圆C1圆心(0,0)，半径为7；圆C2:(x−3)2+(y−4)2=16，圆心(3,4)，半径为4，两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.7、在直角坐标平面内，与点A(0,3)距离为2，且与点B(4,0)距离为3的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：C分析：根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.当直线不存在斜率时，设为x=a，由题意可知：|a−0|=2且|a−4|=3，没有实数a使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：y=kx+b⇒kx−y+b=0，点A(0,3)到该直线的距离为2，所以有√k 2+(−1)2=2(1)，点B(4,0)到该直线的距离为3，所以有√k 2+(−1)2=3(2)，由(1)(2)得：b =8k +9或b =9−8k 5，当b =8k +9时，代入(1)中，得15k 2+24k +8=0，该方程的判别式Δ=242−4×15×8=96>0，该方程有两个不相等的实数根， 当b =9−8k 5时，代入(1)中，得9k 2−24k +16=0，该方程的判别式Δ=(−24)2−4×9×16=0，该方程有两个相等的实数根， 所以这样的直线共有三条， 故选：C.小提示：关键点睛：本题的关键是解方程组. 8、设B 是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足|PB|≤2b ，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．[√22,1)B ．[12,1)C ．(0,√22]D ．(0,12] 答案：C分析：设P (x 0,y 0)，由B (0,b )，根据两点间的距离公式表示出 |PB |，分类讨论求出|PB |的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．设P (x 0,y 0)，由B (0,b )，因为 x 02a 2+y 02b 2=1，a 2=b 2+c 2，所以|PB |2=x 02+(y 0−b )2=a 2(1−y 02b 2)+(y 0−b )2=−c 2b 2(y 0+b 3c 2)2+b 4c2+a 2+b 2， 因为−b ≤y 0≤b ，当−b 3c 2≤−b ，即 b 2≥c 2时，|PB |max 2=4b 2，即 |PB |max =2b ，符合题意，由b 2≥c 2可得a 2≥2c 2，即 0<e ≤√22； 当−b 3c 2>−b ，即b 2<c 2时， |PB |max 2=b 4c 2+a 2+b 2，即b 4c 2+a 2+b 2≤4b 2，化简得， (c 2−b 2)2≤0，显然该不等式不成立．故选：C ．小提示：本题解题关键是如何求出|PB |的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．9、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A ．5√24B ．7√24C ．9√24D ．11√24答案：B分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (12,4),B (-32,2)，直线AB:y-42-4=x-12-32-12，整理为x-y+72=0，原点O到直线距离为|7 2 |√1+17√24，故选：B10、已知直线l的倾斜角为60∘，且经过点(0,1)，则直线l的方程为（）A．y=√3x B．y=√3x−2C．y=√3x+1D．y=√3x+3答案：C分析：先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.由题意知：直线l的斜率为√3，则直线l的方程为y=√3x+1.故选：C.11、椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1，F2，与y轴的一个交点为A，若∠F1AF2=π3，则m=（）A．1B．√2C．√3D．2答案：C分析：由椭圆的定义结合已知得|AF1|=|F1F2|，进而求出m即可.在椭圆x 2m2+1+y2m2=1(m>0)中，a=√m2+1，b=m，c=1.易知|AF1|=|AF2|=a.又∠F1AF2=π3，所以△F1AF2为等边三角形，即|AF1|=|F1F2|，所以√m2+1=2，即m=√3. 故选：C.12、已知圆O1:x2+y2=4，圆O2:x2+y2−2mx−2my−4=0(m≠0)，则同时与圆O1和圆O2相切的直线有（）A．4条B．2条C．1条D．0条答案：B分析：利用已知条件判断圆O1与圆O2的关系，进而可以求解.由O1:x2+y2=4，得圆O1(0,0)，半径为r1=2，由O2:x2+y2−2mx−2my−4=0(m≠0)，得O2(m,m)，半径为r2=12√(−2m)2+(−2m)2−4×(−4)=√2m2+4所以|O1O2|=√(m−0)2+(m−0)2=√2m2>0，|r2−r1|=√2m2+4−2>0，r1+r2=2+√2m2+4，所以|r2−r1|<|O1O2|<r1+r2，所以圆O1与圆O2相交，所以圆O1与圆O2有两条公共的切线.故选：B.填空题13、已知A(2,0)､B(8,0)､C(4,2)，且动点P满足|PA||PB|=12，则2|PC|+|PB|取得最小值时，点P的坐标是___________.答案：(√7+1,√7−1)分析：设P(x,y)，由(|PA||PB|)2=14得P点轨迹为x2+y2=16；由2|PC|+|PB|=2(|PC|+|PA|)可知当A,P,C三点共线且P在线段AC上时取得最小值，联立圆的方程和直线AC方程即可求得结果.设P(x,y)，则(|PA||PB|)2=(x−2)2+y2(x−8)2+y2=14，整理可得：x2+y2=16；∵2|PC |+|PB |=2|PC |+2|PA |=2(|PC |+|PA |)，∴当A,P,C 三点共线且P 在线段AC 上时，2|PC |+|PB |取得最小值， 又直线AC 方程为：y−20−2=x−42−4，即y =x −2， 由{x 2+y 2=16y =x −2得：{x =√7+1y =√7−1 或{x =1−√7y =−1−√7 ，又P 在线段AC 上，∴P(√7+1,√7−1). 所以答案是：(√7+1,√7−1).14、已知向量a ⃑=(3,1),b ⃑⃑=(1,0),c ⃑=a ⃑+kb ⃑⃑．若a ⃑⊥c ⃑，则k =________． 答案：−103.分析：利用向量的坐标运算法则求得向量c ⃗的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值 ∵a ⃗=(3,1),b ⃑⃗=(1,0),∴c ⃗=a ⃗+kb ⃑⃗=(3+k,1), ∵a ⃗⊥c ⃗,∴a ⃗⋅c ⃗=3(3+k )+1×1=0，解得k =−103,所以答案是：−103.小提示：本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量p ⃗=(x 1,y 1),q ⃗=(x 2,y 2)垂直的充分必要条件是其数量积x 1x 2+y 1y 2=0.15、在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃗，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃗，AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=c ⃗，用a ⃗、b ⃑⃗、c ⃗作为基底向量表示D 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=________．答案：a ⃗−b ⃑⃗−c ⃗分析：根据空间图形，根据向量加，减法的规则计算结果.有图形可知D 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−(AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =a ⃗−b ⃑⃗−c ⃗.所以答案是：a ⃗−b ⃑⃗−c ⃗16、设空间向量a ⃑=(−1,2,m )，b ⃑⃑=(2,n,−4)，若a ⃑//b ⃑⃑，则|a ⃑−b ⃑⃑|= ___． 答案：9分析：先利用空间向量共线的坐标表示列方程求出m 和n 的值，进而可得a ⃑−b ⃑⃑的坐标，再由模长公式即可求解. 因为空间向量a ⃑=(−1,2,m )，b ⃑⃑=(2,n,−4)，且a ⃑//b ⃑⃑， 所以b ⃑⃑=λa ⃑，即(2,n,−4)=λ(−1,2,m )，可得{2=−λn =2λ−4=λm ，解得：m =2，n =−4，所以a ⃑=(−1,2,2)，b ⃑⃑=(2,−4,−4)， 则a ⃑−b⃑⃑=(−3,6,6)， 所以|a ⃑−b ⃑⃑|=√(−3)2+62+62=9． 所以答案是：9．17、已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2GN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，现用基底{OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑}表示向量OG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，有OG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=x OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+y OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+z OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则x ，y ，z 的值分别为____． 答案：x=16，y=13，z=13．分析：利用向量的加法公式得出OG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+MG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再用OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示出MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即可求出x ，y ，z 的值.∵OG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+MG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =12OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23[12(OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)−12OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑]=16OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∴x=16，y=13，z=13．所以答案是：x=16，y=13，z=13．解答题18、椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，直线AB 的斜率为−12，△OAB 的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上有两点M ，N （异于椭圆顶点，且MN 与x 轴不垂直），证明：当△OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积为定值．答案：（1）x 24+y 2=1；（2）证明见解析.分析：（1）由题知A(a,0)，B(0,b)，利用直线AB 的斜率结合三角形△OAB 的面积，求出a,b ，即可得到椭圆方程.（2）设直线MN 方程为y =kx +t ，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，与椭圆方程联立整理得(4k 2+1)x 2+8ktx +4t 2−4=0，结合韦达定理，利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出S △OMN ，并且利用基本不等式求得其最大值得到2t 2=4k 2+1，再利用两点连线的斜率公式求得k OM ⋅k ON 化简可得其为定值.（1）椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点A(a,0)，上顶点B(0,b)，由题知{k AB =b−00−a =−12S △OAB =1 ⇒{a =2b 12ab =1 ，解得{a =2b =1 所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1（2）由已知MN 与x 轴不垂直，可知直线MN 的斜率存在，设直线MN 方程为y =kx +t ，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{y =kx +tx 24+y 2=1 ，整理得：(4k 2+1)x 2+8ktx +4t 2−4=0,其中Δ=(8kt )2−4(4k 2+1)(4t 2−4)=16(4k 2−t 2+1)>0，即4k 2+1>t 2且x 1+x 2=−8kt4k 2+1，x 1x 2=4t 2−44k 2+1∴|MN |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√1+k 2√4k 2−t 2+14k 2+1 又原点O 到直线MN 的距离d =√1+k 2 所以S △OMN =12⋅|MN |⋅d =12⋅4√1+k 2√4k 2−t 2+14k 2+1√1+k 2=2√t 2⋅(4k 2−t 2+1)4k 2+1 ≤t 2+(4k 2−t 2+1)4k 2+1=1，当且仅当t 2=4k 2−t 2+1，即2t 2=4k 2+1时，等号成立，所以k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=(kx 1+t )(kx 2+t )x 1x 2=k 2x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2x 1x 2=k 2+−kt ⋅8kt 4k 2+1+t 24t 2−44k 2+1=k 2+−8k 2t 2+t 2(4k 2+1)4t 2−4=−4k 2+t 24t 2−4 又2t 2=4k 2+1，可得k OM ⋅k ON =−14所以当△OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积为定值．小提示：思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19、如图，在四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥S−ABCD的体积为2√3．3(1)若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面PEF//平面SCD．(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为√30若存在，指出点M的位置；10若不存在，请说明理由．答案：(1)证明见解析(2)存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处分析：（1）由题可得EP//SD，EF//CD，即证；⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝λAS⃑⃑⃑⃑⃑⃑，利用条件列方程，（2）由题可得SP⊥平面ABCD，结合条件可得AD的长，建立空间直角坐标系，设AM即可解得.（1）因为E、F分别是SA、SB的中点，所以EF//AB，在矩形ABCD中，AB//CD，所以EF//CD，CD⊂平面SCD，EF⊄平面SCD，∴EF//平面SCD，又因为E、P分别是SA、AD的中点，所以EP//SD，SD⊂平面SCD，EP⊄平面SCD，∴EP //平面SCD ，又EF ∩EP ＝E ，EF ，EP ⊂平面PEF ，所以平面PEF //平面SCD ．（2）假设在棱SA 上存在点M 满足题意，在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点，所以SP ⊥AD ，又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SP ⊂平面SAD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥S −ABCD 的高．设AD =m (m >0)，则SP =√32m ，S 矩形ABCD =m ， 所以V 四棱锥S−ABCD =13S 矩形ABCD ⋅SP =13m ×√32m =2√33，所以m ＝2．以点P 为原点，PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PS ⃑⃑⃑⃑⃑的方向分别为x ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，S(0,0,√3)，所以PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1,0,0)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1,1,0)，AS ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−1,0,√3)．设AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAS ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−λ,0,√3λ)(0≤λ≤1)，所以PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1−λ,0,√3λ)． 设平面PMB 的一个法向量为n 1⃑⃑⃑⃑⃑=(x,y,z )，则{n 1⃑⃑⃑⃑⃑⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1−λ)x +√3λz =0n 1⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=x +y =0 ， 所以取n 1⃑⃑⃑⃑⃑=(√3λ,−√3λ,λ−1)．易知平面SAD 的一个法向量为n 2⃑⃑⃑⃑⃑=(0,1,0)，所以|cos ⟨n 1⃑⃑⃑⃑⃑,n 2⃑⃑⃑⃑⃑⟩|=|n 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅n 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑||n 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑||n 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√3λ|√7λ2−2λ+1=√3010， 因为0≤λ≤1，所以λ=13，所以存在点M ，位于AS 的靠近点A 的三等分点处满足题意．20、已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，且|FA |=2+√5，F 到C 的渐近线的距离为1，过点B (4,0)的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点.(1)求双曲线C 的标准方程.(2)若直线MB ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，判断k 1k 2是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 答案：(1)x 24−y 2=1(2)是定值，−148分析：（1）由题意可得|FA |=a +c =2+√5，b =1，再结合c 2=a 2+b 2可求出a ，从而可求出双曲线方程，（2）设直线l ：x =my +4，−2<m <2，P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，将直线方程代入双曲线方程消去x ，利用根与系数的关系，表示出直线AP 的方程，可表示出点M 的坐标，同理可表示出点N 的坐标，从而可表示k 1，k 2，然后计算化简k 1k 2即可（1）由题意得|FA |=a +c =2+√5，F(c,0)，渐近线方程为y =±b a x ，则F(c,0)到渐近线的距离为√a 2+b 2=bc c =b =1，又因为c 2=a 2+b 2，所以a =2，b =1，c =√5，故双曲线C 的标准方程为x 24−y 2=1.（2）设直线l ：x =my +4，−2<m <2，P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，联立方程组{x =my +4,x 24−y 2=1, 得(m 2−4)y 2+8my +12=0， 所以y 1+y 2=−8m m 2−4，y 1y 2=12m 2−4.因为直线AP 的方程为y =y 1x1+2(x +2)， 所以M 的坐标为(0,2y 1x 1+2)，同理可得N 的坐标为(0,2y 2x 2+2).因为k1=2y1x1+2−4=−y12(x1+2)，k2=2y2x2+2−4=−y22(x2+2)，所以k1k2=y1y24(x1+2)(x2+2)=y1y24(my1+6)(my2+6)=y1y24[m2y1y2+6m(y1+y2)+36]=12m2−44(12m2m2−4−48m2m2−4+36)=312m2−48m2+36m2−144=−148，即k1k2为定值−148.。
高中数学选修--《导数》提高练习
1．设曲线b ax x y ++=4在x =1处的切线方程是x y =，则=a ，=b .2．设函数)(3x x a y -=的递减区间为)33,33(-，则a 的取值范围是 .；3．下列函数存在极值的是（ ）A ．y =x1B ．y =32x C ．y =2 D ．y =x 34．函数y =f(x )=x 3+ax 2+bx +a 2，在x =1时，有极值10，那么a ，b 的值为_______.5．函数y =10,)1(2323≤≤-+x x x 的最小值为_____.5．已知函数2)7215()14(31)(223+--+--=x m m x m x x f 在（－∞，+∞）上是增函数， 则m 的取值范围是 A ．m ＜－4或m ＞－2 B ．－4＜m ＜－2 C ．2＜m ＜4 D ．m ＜2或m ＞46．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)和(1,4)-- D ．(2,8)和(1,4)--7．函数xx y 142+=单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),21(+∞ D ．),1(+∞6．函数xxy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．3109若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程是 。
11.已知函数32321y x x =+-在区间(,0)m 上为减函数, 则m 的取值范围是 。
12.函数3125y x x =-+在x = 时取得极大值 ，在x = 时取得极小值 。
13.函数32()23f x x x =-+在[1,1]-上的最大值是 ，与最小值是 。
14.函数)0(≥-=x x x y 的最大值为 。
1.满足f (x )＝f ′(x )的函数是（ ）A f (x )＝1－xB f (x )＝xC f (x )＝0D f (x )＝12.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是 （ ）A 74y x =+B 72y x =+C 4y x =-D 2y x =-3．已知函数y = f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则000()()limh f x h f x h h→+--=( )A f ′(x 0)B 2f ′(x 0)C －2f ′(x 0)D 04．函数f (x )＝x 3－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ）A 1，－1B 3，-17C 1，－17D 9，－195．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则 ( ) A f (x )=g (x ) B f (x )－g (x )为常数函数 C f (x )=g (x )=0 D f (x )+g (x )为常数函数6.函数)(x f的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个7．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f '(x)可能为 （ ）ABCD8．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是（ ）A (－3，0)∪(3，+∞)B (－3，0)∪(0，3)C (－∞，－3)∪(3，+∞)D (－∞，－3)∪(0，3)9、求函数1y x =-在1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程。
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常用逻辑用语含答案一、选择题1．命题“如果x≥a 2+b 2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A ．如果x<a 2+b 2,那么x<2ab B ．如果x≥2ab,那么x≥a 2+b 2 C ．如果x<2ab,那么x<a 2+b 2 D ．如果x≥a 2+b 2,那么x<2ab 2．三角形全等是三角形面积相等的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．下列四个命题中，真命题是( ) A ．2是偶数且是无理数 B ．8≥10 C ．有些梯形内接于圆 D ．∀x ∈R,x 2-x+1≠0 4．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 二、填空题5．命题“若a=-1,则a 2=-1”的逆否命题是______________________． 6．b=0是函数f(x)=ax 2+bx+c 为偶函数的______________________．7．全称命题“∀a ∈Z,a 有一个正因数”的否定是________________________． 8．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是______________________．9．设p ：|5x -1|>4；2210231x x x x ++³-+，则非p 是非q 的______ ___条件．三、解答题10．求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件．11．已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 范围．12．给定两个命题,P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}， 当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-．当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4;q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}， 当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-．当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4;q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．圆锥曲线练习题一．选择题1.若椭圆经过原点，且焦点分别为12(1,0),(3,0)F F ，则其离心率为（ ） A.34 B.23 C.12 D.142.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）A.10B.8C.6D.43.若双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）A.(),0-∞B.()3,0-C.()12,0-D.()60,12-- 4.与y 轴相切且和半圆x 2+y 2=4(0≤x ≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ） A.()()24101y x x =--<≤ B.()()24101y x x =-<≤C.()()24101y x x =+<≤D.()()22101y x x =--<≤5.过点M(-2,0)的直线L 与椭圆2222x y +=交于12,P P 两点，设线段12PP 的中点为P ，若直线l 的斜率为11(0)k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于（ ）A.2-B.2C.12D.－126.如果方程x 2-p ＋y2q＝1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）A.2212x y q p q +=+B.2212x y q p p +=-+C.2212x y p q q +=+D.2212x y p q p+=-+二．填空题 7.椭圆x 212＋y 23＝1的焦点分别是12F ,F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的 倍．8.椭圆x 245＋y 220＝1的焦点分别是12F ,F ，过原点O 做直线与椭圆交于A ，B 两点，若∆ABF 2的面积是20，则直线AB 的方程是 ．9.与双曲线2244x y -=有共同的渐近线，并且经过点（2的双曲线方程是10.已知直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支相交于不同的两点，则k 的取值范围是 ． 三．解答题11.抛物线y=－12x 2与过点M(0,-1)的直线L 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为１，求直线L 的方程．12.已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．13．21,F F 是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=45︒，求∆12AF F 的面积．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24－x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题11. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．12. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y 2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2AF AF AF AF -=-+=177222S =⨯⨯=．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24－x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题13. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．14. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y 2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6FF AF AF AF AF =+==-222022112112112cos4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2AF AF AF AF -=-+=1772222S =⨯⨯=．空间向量练习题一．选择题1．直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a →,CB →=b →,CC 1→=c →,则A 1B →=( )A ．a →+b →-c →B ．a →-b →+c →C ．-a →+b →+c →D ．-a →+b →-c →2．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任意一点O ，下列条件中能确定点M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →=OA →+OB →+OC → C ．OM →=2OA →-OB →-OC →C ．OM →=OA →+12OB →+13OC →D ．OM →=13OA →+13OB →+13OC →3．若向量m →同时垂直向量a →和b →,向量n →=λa →+μb →(λ,μ∈R, λ,μ≠0)，则（ ）A ．m →∥n →B ．m →⊥n → C.m →与n →不平行也不垂直 D ．以上均有可能 4．以下四个命题中，正确的是( )A ．若OP →=12OA →+13OB →,则P ，A ，B 三点共线B ．若{a →,b →,c →}为空间一个基底，则{a →+b →,b →+c →,c →+a →}构成空间的另一个基底 C ．|(a →⋅b →)c →|=|a →|⋅|b →|⋅|c →|D ．∆ABC 为直角三角形的充要条件是AB →⋅AC →＝05．已知a →=(λ+1,0,2λ),b →=(6,2μ-1,2),a →∥b →,则λ和μ的值分别为( )A ．15,12B ．5,2C ．-15,-12D ．-5,-2二．填空题6．若a →=(2,-3,1),b →=(2,0,3),c →=(0,2,2),则a →⋅(b →+c →)=________.7．已知G 是∆ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →+OB →+OC →＝λOG →，则λ的值为_______.8．已知|a →|=1,|b →|=2,<a →,b →>=60︒,则|a →-25(a →+2b →)|=________.三．解答题9．若向量(a →+3b →)⊥(7a →-5b →)，(a →-4b →)⊥(7a →-2b →)，求a →与b →的夹角．10．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试求实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立．11．正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角． 12．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，问AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4．空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，． 11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设AE x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x ,1,2)．依题意πcos 4=2x =∴（2x =．2AE =∴空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，． 11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设AE x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x,1,2)．依题意πcos 422==．2x =∴（2x =．2AE =∴。