重载复数的四则运算
《复数四则运算》课件
复数的表示方法
总结词
复数可以用平面坐标系上的点来表示。
详细描述
每个复数$a + bi$都可以表示为平面坐标系上的一个点$(a, b)$。实部是x坐标 ，虚部是y坐标。
复数的几何意义
总结词
复数在几何上表示平面上的向量。
详细描述
实部表示向量的水平分量，虚部表示向量的垂直分量。复数的模表示向量的长度 。
减法
复数的减法通过加上相反数的 形式转化为加法。
乘法
复数的乘法通过分配律和结合 律进行计算，结果实部和虚部
分别进行计算。
除法
复数的除法通过乘以倒数的方 式进行，结果实部和虚部分别
进行计算。
运算的几何意义
加法
表示两个复数对应的向量进行向量加法。
乘法
表示一个复数对应的向量绕原点旋转或伸缩 。
减法
表示两个复数对应的向量进行向量减法。
除法运算
总结词
复数除法运算规则是将除数的共轭复数与被除数 相乘，再取结果的倒数。
举例
$frac{2+3i}{1-4i} = frac{(2+3i)(1+4i)}{(14i)(1+4i)} = frac{5i}{5} = i$。
详细描述
复数除法运算的规则是将除数的共轭复数与被除 数相乘，再取结果的倒数，即 $frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
注意事项
在进行复数除法运算时，需要注意除数为零的情 况，即分母不能为零。
03
重载复数的四则运算
C++课程设计题目: 重载复数的四则运算日期：2008年6月15日题目: 重载复数的四则运算摘要:运算符重载是构成计算机语言的基础之一，而C++语言进一步拓展了运算符重载的概念。
熟练掌握运算符重载的概念，并熟练应用各类运算符的重载，程序设计者就可以进一步重载某个特定的运算符，赋予它新的含义，就像对语言本身进行扩充一样。
关键词：运算符重载两个复数一、简介算符重载是构成计算机语言的基础之一，C++提供的运算符只能用于C++的标准类型数据的运算。
本题主要是用C++编程来实现重载复数的四则运算，运算符重载就是赋予C++中已有的运算符多重含义。
通过重新定义运算符，使它能够用于特定类的对象执行特定的功能，这便增强了C++语言的扩充能力。
使用重载后的运算符还会使程序更加易于理解，符合人们的日常思维习惯。
本题是对两个复数进行四则运算，输入两个复数后，自动运行出结果，一目了能，当除数为零时，机器自己出示出错信息，提示你除数不能为零。
这样就可以达到进行复数的四则运算时不会出现运算的错误。
二、算法开始：定义一个基类complex{受保护成员变量：real 为double型,复数的实部imag 为double型,复数的虚部公有成员方法：定义一个无参数的构造函数complex{对成员变量grade 和Name进行赋值，初始值为0}重载构造函数complex，参数为(double rpart,double ipart) {rpart⇒realipart⇒imag}重载操作符“+”，参数为(const complex &com{实现两个复数的相加}重载操作符“－”，参数为(const complex &com){实现两个复数的相减}重载操作符“×”，参数为(const complex &com){实现两个复数的相乘}重载操作符“÷”，参数为(const complex &com){实现两个复数的相除}定义一个无参数无返回值的成员函数display{输出复数的标准形式：（a+bi）或（a-bi）}};返回值为整型的主函数{定义四个double型变量a ,b,c,d,即复数A＝a+bi,复数B＝c+di输入变量a ,b,c,d的值调用两个参数的构造函数complex，初始化对象n1(a,b),n2(c,d)输出复数A的值输出复数B的值n1+n2⇒result1输出两个复数的相加，及结果n1-n2⇒result2输出两个复数的相减，及结果n1*n2⇒result3输出两个复数的相乘，及结果if 复数n2中c=d=0给出出错信息，除数不能为0else{n1/n2⇒result4输出两个复数的相除，及结果}返回0值end}三、程序#include<iostream.h> //头文件class complex //定义了一个complex的类{private:double real; //复数的实部double imag; //复数的虚部public:complex() //定义无参数的构造函数{real=imag=0;}complex(double rpart,double ipart) //重载并定义两个参数的构造函数{real=rpart;imag=ipart;}complex operator+(const complex &com) //重载操作符“+”{complex temp;temp.real=real+com.real;temp.imag=imag+com.imag;return temp;}complex operator-(const complex &com) //重载操作符“－”{complex temp;temp.real=real-com.real;temp.imag=imag-com.imag;return temp;}complex operator*(const complex &com) //重载操作符“×”{complex temp;temp.real=real*com.real-imag*com.imag;temp.imag=real*com.imag+imag*com.real;return temp;}complex operator/(const complex &com) //重载操作符“÷”{complex temp;temp.real=(real*com.real+imag*com.imag)/(com.real*com.real+com.imag*com.i mag);temp.imag=(imag*com.real-real*com.imag)/(com.real*com.real+com.imag*com. imag);return temp;}void display() //定义成员函数display，输出复数的标准形式{if(imag>=0)cout<<"("<<real<<"+"<<imag<<"i)";elsecout<<"("<<real<<imag<<"i)";}};int main(void){double a,b,c,d;cout<<"输入两个复数，即a,b,c,d的值：";cin>>a>>b>>c>>d;complex n1(a,b),n2(c,d);cout<<"两个复数值为：";cout<<"A="; //输出复数A的值n1.display();cout<<" B=";n2.display(); //输出复数B值cout<<endl;cout<<endl<<endl<<"两个复数的加法："<<endl;complex result1;result1=n1+n2; //实现两个复数的加法运算n1.display();cout<<"+";n2.display();cout<<"=";result1.display(); //输出两个复数相加的结果cout<<endl<<endl<<"两个复数的减法："<<endl;complex result2;result2=n1-n2; //实现两个复数的减法运算n1.display();cout<<"-";n2.display();cout<<"=";result2.display(); //输出两个复数相减的结果cout<<endl<<endl<<"两个复数的乘法："<<endl;complex result3;result3=n1*n2; //实现两个复数的乘法运算n1.display();cout<<"×";n2.display();cout<<"=";result3.display(); //输出两个复数相乘的结果cout<<endl<<endl<<"两个复数的除法："<<endl;if(c==0&&d==0)//判断除数是否为0，若为0则给出错误信息，不为0则进行相除运算cout<<"不能进行运算，除数不能为0"<<endl;else{complex result4;result4=n1/n2; //实现两个复数的除法运算n1.display();cout<<"÷";n2.display();cout<<"=";result4.display(); //输出两个复数相除的结果}cout<<endl;return 0;}四、结果及分析1. 除数不为零时：2.除数为零时：通过以上两组数据结果可知，该程序可以进行任意复数的四则运算，而且当除数为零时，会给出出错信息，可以更好的方便我们对复数的四则运算。
3.2复数的四则运算
Z x2 y2
一.复数的加法与减法
1.复数加法的运算法则
(a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
很明显，两个复数的和仍然是一个复数
2. 加法的运算律
1. z1 z2 z2 z1(交换律); 2. (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3)(结合律)
高中数学 选修2-2
3.2复数的四则运算
复数a+bi(a,b∈R)
a—实部
b—虚部
复数 a+bi
实数a (b=0) 纯虚数bi(a=0)
虚数 (b‡0) 非纯虚数a+bi(ab‡0)
两个复数相等
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，
a c
则 z1=z2 b d ， 即实部等于实部，虚部等于虚部
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离
(4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
另外不难证明: z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
例题选讲
复数的乘法也可大胆运 用乘法公式来展开运算.
例4：计算 ① (1+i)2
复数的四则运算
複數的除法運算
設 Z1 = a +bi，Z2 = c + di ， 、、 其中 a b c、d為實數，則
Z1 ÷ Z 2 = ( a + bi ) ÷ (c + di ) a + bi = (a + bi )(c di ) = c + di (c + di )(c di ) (ac + bd ) + (bc ad )i = c2 + d 2
共軛複數的性質
共軛複數具有下列性質：
(1) Z1 ± Z 2 = Z1 ± Z 2 (2) Z1 × Z 2 = Z1 × Z 2 Z1 Z1 (3) = Z2 Z2 (4) Z1 = Z1
第二章 複
數
2－1 複數的四則運算
2-1 複數四則運算
1.i之運算性質 2.複數的定義 2.複數的定義 3.共軛複數 3.共軛複數 4.複數的運算 4.複數的運算 5.共軛複數的性質 5.共軛複數的性質
i之運算性質
設n為自然數， (1) i4n = 1 (2) i4n+1 = i (3) i4n+2 = –1 (4) i4n+3 = – i
Z = a + bi = a bi
複數的加法運算
設 Z1 = a +bi， Z2 = c + di， 其中 a b c、d 為實數，則 、、
Z1+ Z2 = (a +bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i
複數的減法運算
設 Z1 = a +bi， Z2 = c &#數除以4餘數為0）
（指數除以4餘數為1） （指數除以4餘數為2） （指數除以4餘數為3）
c++运算符重载复数加减乘除
c++运算符重载复数加减乘除C++中的运算符重载可以让我们自定义数据类型的加、减、乘、除等操作，使得代码更加简洁易懂。
在这篇文章中，我们将介绍如何重载复数类型的加、减、乘、除运算符。
首先，我们需要定义一个复数类，包含实部和虚部两个私有成员变量。
然后，我们可以定义+、-、*、/四个运算符重载函数，分别实现复数的加、减、乘、除操作。
这里需要注意的是，在实现除法运算符重载函数时，要对除数是否为零进行判断，避免程序崩溃。
下面是一个简单的示例代码，演示如何实现复数的加、减、乘、除运算符重载：```c++#include <iostream>using namespace std;class Complex {public:Complex(double r = 0, double i = 0) : real(r), imag(i) {} Complex operator+(const Complex &c) const {return Complex(real + c.real, imag + c.imag);}Complex operator-(const Complex &c) const {return Complex(real - c.real, imag - c.imag);}Complex operator*(const Complex &c) const {return Complex(real * c.real - imag * c.imag, real * c.imag + imag * c.real);}Complex operator/(const Complex &c) const {double denominator = c.real * c.real + c.imag * c.imag; if (denominator == 0) {throw 'Division by zero';}return Complex((real * c.real + imag * c.imag) / denominator, (imag * c.real - real * c.imag) / denominator); }friend ostream& operator<<(ostream &out, const Complex &c) {out << '(' << c.real << ', ' << c.imag << ')';return out;}private:double real, imag;};int main() {Complex a(1, 2);Complex b(3, 4);cout << 'a = ' << a << endl;cout << 'b = ' << b << endl;cout << 'a + b = ' << a + b << endl;cout << 'a - b = ' << a - b << endl;cout << 'a * b = ' << a * b << endl;cout << 'a / b = ' << a / b << endl;return 0;}```上述代码中，我们定义了Complex类，并重载了+、-、*、/四个运算符，使用时可以直接对两个复数进行操作，得到新的复数。
复 数 的 运 算 法 则
【复数的四则运算（C++）】------------------------------------------------------------------------------------------------------**复数x被定义为二元有序实数对(a,b)，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。
**在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。
当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；**当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
**复数的四则运算规定为：**加法法则：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；**减法法则：（a+bi）－（c+di）=（a－c）+（b－d）i；**乘法法则：（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i；**除法法则：（a+bi）÷（c+di）=[（ac+bd）-（c2+d2）]+[（bc-ad）-（c2+d2）]i.**当复数的实部和虚部都相等时，两个复数相等**只有当复数的虚部等于零的时候两个复数才可以比较大小------------------------------------------------------------------------------------------------------C++代码：-------------------------------------------头文件-----------------------------------------------------#?ifndef?__COMPLEX_H__?#?define?__COMPLEX_H__#?define?_CRT_SECURE_NO_WARNINGS?1#?include?iostream#?include?stdlib.husing?namespace?std;--声明复数类class?Complexpublic:voidComplex::Print();public:Complex(doublereal,doublep_w_picpath); Complex(constComplexZ);~Complex();boolComplex::operator(constComplexZ); boolComplex::operator(constComplexZ); boolComplex::operator==(constComplexZ); public:ComplexComplexAdd(constComplexZ); ComplexComplexSub(constComplexZ); ComplexComplexMul(constComplexZ); ComplexComplexDiv(constComplexZ);private:double_real;double_p_w_picpath;#?endif?--__COMPLEX_H__----------------------------------------------函数---------------------------------------------------- #?include?"Complex.h"--打印函数void?Complex::Print()if(!this-_p_w_picpath)if(!this-_real)cout0endl;coutthis-_realendl;elseif(!this-_real)coutthis-_p_w_picpath'i'endl;if(this-_p_w_picpath0)coutthis-_realthis-_p_w_picpath'i'endl;coutthis-_real'+'this-_p_w_picpath'i'endl;--构造函数Complex::Complex(double?real,?double?p_w_picpath)_real=real;_p_w_picpath=p_w_picpath;--拷贝构造函数Complex::Complex(const?Complex?Z)_real=Z._real;_p_w_picpath=Z._p_w_picpath;--析构函数Complex::~Complex()--这里的析构函数不需要做任何操作--操作符重载-*小于*-bool?Complex::operator?(const?Complex?Z)if(!this-_p_w_picpath!Z._p_w_picpath)if(this-_realZ._real)returntrue;returnfalse;-*大于*-bool?Complex::operator?(const?Complex?Z)if(!this-_p_w_picpath!Z._p_w_picpath)if(this-_realZ._real)returntrue;returnfalse;-*等于*-bool?Complex::operator==?(const?Complex?Z)if(!this-_p_w_picpath!Z._p_w_picpath)if(this-_real==Z._real)returntrue;elseif(this-_p_w_picpath==Z._p_w_picpath) if(this-_real==Z._real)returntrue;returnfalse;--四则运算-*加法*-Complex?Complex::ComplexAdd(const?Complex?Z) Complextmp(*this);tmp._real?+=?Z._real;tmp._p_w_picpath?+=?Z._p_w_picpath;return?tmp;-*减法*-Complex?Complex::ComplexSub(const?Complex?Z) Complextmp(*this);tmp._real-=Z._real;tmp._p_w_picpath-=Z._p_w_picpath; returntmp;-*乘法*-Complex?Complex::ComplexMul(const?Complex?Z)Complextmp(*this);tmp._real=(this-_real*Z._real)-(this-_p_w_picpath *Z._p_w_picpath);tmp._p_w_picpath=(this-_p_w_picpath*Z._real)+(thi s-_real?*?Z._p_w_picpath);returntmp;-*除法*-Complex?Complex::ComplexDiv(const?Complex?Z)Complextmp(*this);tmp._real=((this-_real*Z._real)+(this-_p_w_picpat h?*?Z._p_w_picpath))?-((Z._real*Z._real)+(Z._p_w_picpath*Z._p_w_picpa th));tmp._p_w_picpath=((this-_p_w_picpath*Z._real)-(th is-_real?*?Z._p_w_picpath))-((Z._real*Z._real)+(Z._p_w_picpath*Z._p_w_picpa th));returntmp;------------------------------------------ 测试用例-------------------------------------------------- #?include?"Complex.h"--测试四则运算-*测试加法*--*ComplexZ1(1,2);ComplexZ2(1,2);Complexret=plexAdd(Z2); ret.Print();*--*测试减法*--*ComplexZ1(-1,2);ComplexZ2(1,1);Complexret=plexSub(Z2); ret.Print();*--*测试乘法*--*ComplexZ1(1,-2);ComplexZ2(1,2);Complexret=pleMul(Z2); ret.Print();*--*测试除法*-ComplexZ1(1,2);ComplexZ2(1,1);Complexret=plexDiv(Z2); ret.Print();*---测试操作符重载boolRET;-*测试“”*---ComplexZ1(1,4); --ComplexZ2(1,4); --RET=Z1Z2;--coutRETendl;--ComplexZ3(1,0); --ComplexZ4(2,0); --RET=Z3Z4;--coutRETendl;-*测试“”*--*ComplexZ1(1,0); ComplexZ2(2,0); RET=Z1Z2; coutRETendl; ComplexZ3(3,0); ComplexZ4(2,0); RET=Z3Z4; coutRETendl;*--*测试“==”*- ComplexZ1(1,4);ComplexZ2(1,4); RET=Z1==Z2; coutRETendl; ComplexZ3(1,1); ComplexZ4(1,3); RET=Z3==Z4; coutRETendl; ComplexZ5(1,0); ComplexZ6(1,0); RET=Z5==Z6; coutRETendl;--测试拷贝构造函数void?Test2() ComplexZ1(1,3); Z1.Print(); ComplexZ2(Z1);Z2.Print();--测试构造函数void?Test1() ComplexZ1(1,3); Z1.Print();int?main()--Test1();--Test2();--Test3();Test4();system("pause");return0;----------------------------------------------------------------------------------------------------- ?C++中的空类，默认产生六个默认成员函数，分别是：构造函数，拷贝（赋值）构造函数，析构函数，赋值操作符重载，取地址操作符重载，const修饰的取地址操作符重载。
复数的四则运算
例1、 计算:
• (1) (2-3i)(4+2i) • (2) (1+2i)(3+4i)(-2+i) • (3) (a+bi)(a-bi)
zz | z |2 | z |2 特别地,当| z | 1时, zz 1
例2 、 计算:(1+2i)2
例3、当n N *时,计算i n (i)n 所有可能的取值.
2、减法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di)
两个复数的差依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的差，它的虚部是原来的两个复数虚部的差
例1、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-I)-(3+4i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a、b的值。
练习: 1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( A ) (A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) i
四、复数的除法
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
记做(a bi) (c di)或 a bi . c di
复数的四则运算
一、复数的加、减法
1、加法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di)
C++ 29复数的四则运算
本案例知识要点●复数类的定义●+、-、*、/运算符重载●输出函数的设计一、案例需求1．案例描述复数a=x1+y1i和a=x2+y2i的四则运算公式如下：，，试编写程序对输入的两个复数进行加减乘除四则运算，并在屏幕上输出计算结果。
2．案例效果图图29-1 案例效果图3．功能说明（1）进行加“＋”，减“－”，乘“*”，除“/”运算符重载，对输入的两个复数对象输出其运算结果。
（2）当第二个复数b的实部和虚部同时为0时，除法不能运算，需要提示。
（3）设计输出函数，对于计算结果的虚部为负数的情况能进行处理。
如2-2i不要输出为2+-2i。
二、案例分析根据案例需求，需要利用MFC环境定义了一个菜单；一个输入对话框类,提供个两个复数的输入界面；另外定义一个complex类，在complex类中定义了数据成员：实部值和虚部值，定义了成员函数：声明了友元加号运算符重载函数、友元减号运算符重载函数、友元乘号运算符重载函数、友元除号运算符重载函数、实部值获取函数和虚部值获取函数。
最后在视图区输出了两个复数的运算结果。
本案例的重点是如何使用运算符重载函数来进行复数对象的四则运算，因为在MFC环境中不能重载输入和输出运算符，需要独立设计复数输出函数。
本案例的难点在于复数的虚部计算结果为负数时的输出函数设计。
三、案例设计1．类的设计本案例需要设计一个类complex。
图29-2 complex类图●数据成员double real;复数实部。
double imag;复数虚部。
●函数成员complex();默认构造函数。
complex(double,double);带参构造函数。
friend complex operator + (complex &c1,complex&c2);友元运算符重载函数＋。
friend complex operator - (complex &c1,complex&c2);友元运算符重载函数－。
复数四则运算的公式
复数四则运算的公式
复数四则运算公式是指对两个复数进行加、减、乘、除的运算。
复数是由实数和虚数构成的数，其中虚数单位i满足i²=-1。
加法公式：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，即实部相加，虚部相加。
例如，(2+3i)+(4+5i)=(2+4)+(3+5)i=6+8i。
减法公式：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，即实部相减，虚部相减。
例如，(2+3i)-(4+5i)=(2-4)+(3-5)i=-2-2i。
乘法公式：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，即实部相乘减虚部相乘。
例如，(2+3i)×(4+5i)=(2×4-3×5)+(2×5+3×4)i=-7+22i。
除法公式：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i，即分子分母同乘分母的共轭复数，再化简。
例如，(2+3i)/(4+5i)=((2×4+3×5)/(4²+5²))+((3×4-2×5)/(4²+5²))i=23/41-2/41i。
复数四则运算公式是复数运算的基础，掌握了这些公式，就能够进行复数的加减乘除运算。
在实际应用中，复数广泛应用于电路分析、信号处理、量子力学等领域。
复数四则运算
复数四则运算复数是由实数和虚数的叠加组成的，它的应用范围极为广泛，并且与实数运算同样重要。
关于复数的运算，其核心就是复数四则运算。
首先，让我们来了解一下什么是复数四则运算。
一般来说，复数四则运算就是指给定两个复数，通过加、减、乘、除运算来求出一个新的复数。
具体而言，复数四则运算可以总结为下面几条规则。
一、复数的加法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其和$c=c_1+ic_2$是：$c_1=a_1+b_1$，$c_2=a_2+b_2$二、复数的减法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其差$d=d_1+id_2$是：$d_1=a_1-b_1$， $d_2=a_2-b_2$三、复数的乘法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其积$e=e_1+ie_2$是：$e_1=a_1b_1-a_2b_2$，$e_2=a_1b_2+a_2b_1$四、复数的除法运算：对于两个复数$a=a_1+ia_2$和$b=b_1+ib_2$，其商$f=f_1+if_2$是：$f_1=dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{b_1^2+b_2^2}$，$f_2=dfrac{a_2b_1-a_1b_2}{b_1^2+b_2^2}$以上就是复数四则运算的基本规则，即加减乘除。
在实际应用中，我们可以根据需要，运用这些四则运算，来解决一系列复数问题。
接下来，我们来看几个实例，这些实例有助于我们加深对复数四则运算的理解。
例一：$(2+3i) + (4+5i)$解：根据复数的加法运算，我们可以得出$ (2+3i) + (4+5i) = 6+8i$例二：$(2+3i) - (4+5i)$解：根据复数的减法运算，我们可以得出$ (2+3i) - (4+5i) = -2-2i$例三：$(2+3i) (4+5i)$解：根据复数的乘法运算，我们可以得出$ (2+3i) (4+5i) = -7+22i$例四：$dfrac{2+3i}{4+5i}$解：根据复数的除法运算，我们可以得出$ dfrac{2+3i}{4+5i} = dfrac{13}{41}+dfrac{2}{41}i$ 以上只是复数四则运算的简单介绍，在实际应用中，我们还可以运用复数的平方、立方、n次方等操作，来解决一些复杂的问题。
复数的四则运算
5.有关正整数指数幂的运算结论： （1）i1 =i (2)i4k = 1 i2 = −1 i4k+1 = i i3 = −i i4k+2 = −1 i4 = 1 i4k+3 = −i (k ∈ N) 1+i = i 1−i 1−i = −i 1+i
(3)(1 + i)2 = 2i
6. 复数的除法：
2.复数的乘法： 设z 1 = a + bi,z2 = c + di (a,b,c,d ∈ R) z1 * z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc) i 两个复数的积仍然是一个复数； 复数的乘法与多项式的乘法是类似的（即两个二项式相乘） 其中i2 = −1，要把i2换成-1。
(1 − i)2 = −2i
令z1 = a + bi, z2 = c + di.(a,b,c,d ∈ R) z1 a + bi (a + bi)(c − di) (ac + bd) + (bc − ad) i = = = z2 c + di (c + di)(c − di) c2 + d 2 ac + bd bc − ad = 2 + 2 i (其中c,d不全为0） 2 2 c +d c +d 分式中的分子、分母都乘上分母的共轭复数，使分母实数化， 分子上就成了两复数的相乘。
7. 模与共轭复数的相关性质： （1）zz = z
2
= z
2
≠ z2;
(2) z = z ; (3) z1z2 = z1 z2 ; z1 n z1 n = (z2 ≠ 0); z = z ； z2 z2
§6-2 复数的四则运算
L ( a + c, b + d )
N (c , d )
uuur uuur 复数 c + di 用向量 ON 表示，则 ON = (c, d ) ； uuuu uuur r 所以 OM + ON = (a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d ). o
= −20 + 15i
对于任意复数 z = a + bi ,有
z z = ( a + bi )(a − bi ) = a 2 + b 2 即 z z=|z|2 =|z|2 .
13
例2 求证：两个共轭复数之和与积都是一个实数。 证明 : 设z = a + bi, a, b ∈ R, 则 z = a − bi,
所以,当n ∉ N ∗时, 有
i4n+1 = i, i4n+2 = −1, i4n+3 = −i, i4n =1.
规定 : i 0 = 1
12
例1 计算 (1 − 2i )(3 + 4i )(−2 + i ) 解： (1 − 2i )(3 + 4i )(−2 + i ) = (11 − 2i )(−2 + i )
i
4n
= (i
4 n
)
= 1n = 1， i 4 n +1 = i 4 n ⋅ i = i，
i 4 n + 2 = i 4 n ⋅ i 2 = −1， i 4 n +3 = i 4 n ⋅ i 3 = −i。
复数代数形式的四则运算-知识讲解
复数代数形式的四则运算【要点梳理】要点一、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则： 设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定：12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。
2.复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)要点二、复数的加减运算的几何意义1. 复数的表示形式：代数形式：z a bi =+（,a b R ∈）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）； ②向量表示：以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+.要点诠释：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2．复数加、减法的几何意义：如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP 、2OP ，那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS 就是12z z +的和所对应的向量.对角线21P P 表示的向量21P P 就是两个复数的差12z z -所对应的向量.设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ =1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i对应的向量类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b －d )i 对应的向量要点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（1）利用几何意义可以把几何图形的变 换转化成复数运算去处理（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。
3.2复数的四则运算
_ _
原式 (1 1 i ) (1 i ) ( 2 i ) (1 i )
2 2i i i 2 2 i 1 3i
2009浙江（理）
2 2 例4.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
巩固练习：
3.计算：(1) (-2-i)(3-2i)(-1+3i) (2) (1＋2i)(2－3i)(1－2i)
(3) (a＋bi)(a-bi)
共轭复数：实部相等而虚部互为相反数 的两个数. 复数z的共轭复数用
z
表示.
若z＝a＋bi，则z ＝a－bi (a，b∈R)
注:(1)当b不为0时，共轭复数称为共轭虚数；
巩固练习：
1.计算：(1) (4＋3i)＋(2－i)
(2) (3i－2)＋(3＋2i)
四则运算
二、复数的减法：(加法的逆运算) 复数a＋bi减去复数c＋di的差是指满 足 (c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi 的复数x＋yi，记作(a＋bi)－(c＋di)
复数的差仍然是一个复数，其实部为两个 复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。
例3 计算: （1+2i)(3-4i)
1+2i 解：（1+2i)(3-4i)= 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
= -5+10i 25
1 2 =- + i . 5 5
2011浙江（理）
例3.把复数z的共轭复数记作z, i为虚数单位， 若z 1 i则（ 1 z） z A A.3 i B.3 i C.1 3i D.3
复数的四则与运算(成员函数的重载)
//重载复数的四则运算程序#include <iostream.h>class complex{private:fioat r; fioat i; public:complex(){}void input(){ cin >>r>>i;}void output();complex operator+(complex t); complex operator-(complex t); complex operator*(complex t); complex operator/(complex t); };//输出复数void complex::output(){if(i>0)cout<<r<<"+"<<i<<"i"<<endl;else if(i==0)cout<<r<<endl;elsecout<<r<<"-"<<(-1)*i<<"i"<<endl;}//复数+操作符的重载complex complex::operator+(complex t) {complex z;z.r = r+t.r;z.i = i+t.i;return z;}//复数-操作符的重载complex complex::operator-(complex t) {complex z;z.r = r-t.r;z.i = i-t.i;return z;}//复数*操作符的重载complex complex::operator*(complex t) {complex z;z.r = r*t.r-i*t.i;z.i =i*t.r+r*t.i;return z;}//复数/操作符的重载complex complex::operator/(complex t) {complex z;if(t.i==0&&t.i==0)cout<<"除数不可以是0"<<endl;else{z.r = (r*t.r+i*t.i)/(t.r*t.r+t.i*t.i);z.i = (i*t.r-r*t.i)/(t.r*t.r+t.i*t.i); }return z;}# include<iostream.h># include"complex.h"int main(){ complex a,b,c;a.input();b.input();cout << "两个源操作数是："<<endl;a.output();b.output();cout << "两个数相加为："<<endl;c = a+b;c.output();cout << "两个数相减为："<<endl;c = a-b;c.output();cout << "两个数相乘为："<<endl;c= a*b;c.output();cout << "两个数相除为："<<endl;c = a/b;c.output();return 0;}。
运算符重载+重载复数四则运算
实验报告第页题目：1）基本要求：•设计一个Complex（复数）类，完成如下要求：•（1）该类具有实部（Real_Part）和虚部（Image_Part）•（2）输入两个复数•（3）通过重载运算符“+”实现两个复数的相加•（4）输出相加的结果•输出时注意对齐，整齐美观2）扩展要求：•（A）重载“-”运算符，实现复数的减法。
•（B）重载“++”运算符，实现复数实部的自增源码#include<iostream.h>class Complex{public:void Complex::f_cin();//用于录入复数的函数void Complex::f_cout();//用于输出复数的函数Complex Complex::operator+(Complex c);Complex Complex::operator-(Complex c);Complex Complex::operator*(Complex c);Complex Complex::operator/(Complex c);Complex Complex::operator++(void);private:float Real_Part;float Image_Part;};//*************************************int extern a=1;//在后面用于判断是否输出结果，问：是否可以用更好的方法来判断？void main(){char ch[10];Complex c2,c1,c3;do{cout<<"输入复数c1*****************"<<endl;c1.f_cin();cout<<"输入复数c2*****************"<<endl;c2.f_cin();cout<<"加，减，乘。
7.2复数的四则运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
【变式】 2 +2x+2=0
【课后探究】在复数范围内，实系数一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式你能总结出来吗？
高中数学---复数的四则运
5
课堂小结：
（1）复数的四则运算法则；
（2）复数加法、减法的几何意义；
（3）复数的加法运算律、乘法运算律。
高中数学---复数的四则运
的几何意义吗？动手画一画吧！
y
Z2（c,d）
Байду номын сангаас
Z1（a,b）
o
x
高中数学---复数的四则运
因此，复数的减法可以按照向量的
减法来进行，这就是复数减法的几
何意义。
学习过程
【类比猜想】在实数中，加法存在两个运算律，你还记得
吗？在复数中，该运算律还成立吗？
（3）复数的加法运算律：（同学们自己动手证明）
z1 z2 z2 z1
那么我们规定：
(a bi) (c di) (a c) (b d )i
高中数学---复数的四则运
学习过程
【探究学习】复数有它的几何意义，那么复数的加法
有什么几何意义呢？
z1 a bi ，z2 c di(a ，
b ，，
c d R)
y
Z2（c,d）
o
Z（a+b,c+d）因此，复数的加法可以按照向量的
++(−) + (−)
b ，，
c d R且
=
= + (a ，
+
+
+
a bi
c di 0)
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C++课程设计题目: 重载复数的四则运算日期：2008年6月15日题目: 重载复数的四则运算摘要:运算符重载是构成计算机语言的基础之一，而C++语言进一步拓展了运算符重载的概念。
熟练掌握运算符重载的概念，并熟练应用各类运算符的重载，程序设计者就可以进一步重载某个特定的运算符，赋予它新的含义，就像对语言本身进行扩充一样。
关键词：运算符重载两个复数一、简介算符重载是构成计算机语言的基础之一，C++提供的运算符只能用于C++的标准类型数据的运算。
本题主要是用C++编程来实现重载复数的四则运算，运算符重载就是赋予C++中已有的运算符多重含义。
通过重新定义运算符，使它能够用于特定类的对象执行特定的功能，这便增强了C++语言的扩充能力。
使用重载后的运算符还会使程序更加易于理解，符合人们的日常思维习惯。
本题是对两个复数进行四则运算，输入两个复数后，自动运行出结果，一目了能，当除数为零时，机器自己出示出错信息，提示你除数不能为零。
这样就可以达到进行复数的四则运算时不会出现运算的错误。
二、算法开始：定义一个基类complex{受保护成员变量：real 为double型,复数的实部imag 为double型,复数的虚部公有成员方法：定义一个无参数的构造函数complex{对成员变量grade 和Name进行赋值，初始值为0}重载构造函数complex，参数为(double rpart,double ipart) {rpart⇒realipart⇒imag}重载操作符“+”，参数为(const complex &com{实现两个复数的相加}重载操作符“－”，参数为(const complex &com){实现两个复数的相减}重载操作符“×”，参数为(const complex &com){实现两个复数的相乘}重载操作符“÷”，参数为(const complex &com){实现两个复数的相除}定义一个无参数无返回值的成员函数display{输出复数的标准形式：（a+bi）或（a-bi）}};返回值为整型的主函数{定义四个double型变量a ,b,c,d,即复数A＝a+bi,复数B＝c+di输入变量a ,b,c,d的值调用两个参数的构造函数complex，初始化对象n1(a,b),n2(c,d)输出复数A的值输出复数B的值n1+n2⇒result1输出两个复数的相加，及结果n1-n2⇒result2输出两个复数的相减，及结果n1*n2⇒result3输出两个复数的相乘，及结果if 复数n2中c=d=0给出出错信息，除数不能为0else{n1/n2⇒result4输出两个复数的相除，及结果}返回0值end}三、程序#include<iostream.h> //头文件class complex //定义了一个complex的类{private:double real; //复数的实部double imag; //复数的虚部public:complex() //定义无参数的构造函数{real=imag=0;}complex(double rpart,double ipart) //重载并定义两个参数的构造函数{real=rpart;imag=ipart;}complex operator+(const complex &com) //重载操作符“+”{complex temp;temp.real=real+com.real;temp.imag=imag+com.imag;return temp;}complex operator-(const complex &com) //重载操作符“－”{complex temp;temp.real=real-com.real;temp.imag=imag-com.imag;return temp;}complex operator*(const complex &com) //重载操作符“×”{complex temp;temp.real=real*com.real-imag*com.imag;temp.imag=real*com.imag+imag*com.real;return temp;}complex operator/(const complex &com) //重载操作符“÷”{complex temp;temp.real=(real*com.real+imag*com.imag)/(com.real*com.real+com.imag*com.i mag);temp.imag=(imag*com.real-real*com.imag)/(com.real*com.real+com.imag*com. imag);return temp;}void display() //定义成员函数display，输出复数的标准形式{if(imag>=0)cout<<"("<<real<<"+"<<imag<<"i)";elsecout<<"("<<real<<imag<<"i)";}};int main(void){double a,b,c,d;cout<<"输入两个复数，即a,b,c,d的值：";cin>>a>>b>>c>>d;complex n1(a,b),n2(c,d);cout<<"两个复数值为：";cout<<"A="; //输出复数A的值n1.display();cout<<" B=";n2.display(); //输出复数B值cout<<endl;cout<<endl<<endl<<"两个复数的加法："<<endl;complex result1;result1=n1+n2; //实现两个复数的加法运算n1.display();cout<<"+";n2.display();cout<<"=";result1.display(); //输出两个复数相加的结果cout<<endl<<endl<<"两个复数的减法："<<endl;complex result2;result2=n1-n2; //实现两个复数的减法运算n1.display();cout<<"-";n2.display();cout<<"=";result2.display(); //输出两个复数相减的结果cout<<endl<<endl<<"两个复数的乘法："<<endl;complex result3;result3=n1*n2; //实现两个复数的乘法运算n1.display();cout<<"×";n2.display();cout<<"=";result3.display(); //输出两个复数相乘的结果cout<<endl<<endl<<"两个复数的除法："<<endl;if(c==0&&d==0)//判断除数是否为0，若为0则给出错误信息，不为0则进行相除运算cout<<"不能进行运算，除数不能为0"<<endl;else{complex result4;result4=n1/n2; //实现两个复数的除法运算n1.display();cout<<"÷";n2.display();cout<<"=";result4.display(); //输出两个复数相除的结果}cout<<endl;return 0;}四、结果及分析1. 除数不为零时：2.除数为零时：通过以上两组数据结果可知，该程序可以进行任意复数的四则运算，而且当除数为零时，会给出出错信息，可以更好的方便我们对复数的四则运算。
五、总结C++语言是一种优秀的面向对象的程序设计语言，它是在C语言的基础上发展起来的一种新型的编程语言。
通过对C++语言的学习，我们可以解决很多的实际问题，就拿本题来说，C++语言进一步拓展了运算符重载的概念：它不但提供固有的重载，而且还提供重载的手段。
这样，程序设计者可以进一步重载某个特定的运算符，赋予它新的含义，就像对语言本身进行扩充一样，使得用户程序所用的语言是面向问题而不是面向机器。
这只是它其中的一个小小的用途，我们还可以用它来设计各种窗口，网页等方面的问题。
经过一个学期的C++学习，我感觉自己学到了很多，当然了，要学得更好，就得花更多的时间来研究它，而且它在日后的学习中将会有更大的用途。
C++语言学的好与不好，很大程序上取决于上机编程，因此，我们应该在这方面加强，从而提高自己的C++语言的水平。