高考总复习北师大版数学文第八章 第五节椭圆

第五节椭__圆

错误!

１．椭圆的定义

（１）满足以下条件的点的轨迹是椭圆：

１在平面内；

２与两个定点F１、F２的距离之和等于常数；

３常数大于|F１F２|.

（２）焦点：两定点．

（３）焦距：两焦点间的距离．

２．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

错误!＋错误!＝１

（a>b>0）

错误!＋错误!＝１

（a>b>0）

图形

性

质

范围

—a≤x≤a

—b≤y≤b

—b≤x≤b

—a≤y≤a

对称性

对称轴：x轴、y轴

对称中心：（0,0）

顶点

A１（—a,0），A２（a,0）

B１（0，—b），B２（0，

b）

A１（0，—a），A２（0，

a）

B１（—b,0），B２（b,0）

轴长轴A１A２的长为２a

短轴B１B２的长为２b

焦距|F１F２|＝２c

离心率e＝错误!，e∈（0,１）

a，b，c的关系c２＝a２—b２

１．椭圆的定义中易忽视２a＞|F１F２|这一条件，当２a＝|F１F２|其轨迹为线段F１F２，当２a＜|F１F２|不存在轨迹．

２．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．３．注意椭圆的范围，在设椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）上点的坐标为P（x，y）时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[试一试]

若直线x—２y＋２＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）

Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１

Ｃ．错误!＋y２＝１或错误!＋错误!＝１Ｄ．以上答案都不对

解析：选C 直线与坐标轴的交点为（0,１），（—２,0），由题意知当焦点在x轴上时，c＝２，b＝１，∴a２＝５，所求椭圆的标准方程为错误!＋y２＝１．

当焦点在y轴上时，b＝２，c＝１，

∴a２＝５，所求椭圆标准方程为错误!＋错误!＝１．故选Ｃ．

１．求椭圆标准方程的方法

（１）定义法：根据椭圆定义，确定a２，b２的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．

（２）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a２，b２，从而写出椭圆的标准方程．

２．椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a—c.

３．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b２＝a２—c２就可求得e（0＜e

＜１）．

[练一练]

１．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）与双曲线错误!—错误!＝１（m＞0，n＞0）有相同的焦点（—c,0）和（c,0），若c是a、m的等比中项，n２是２m２与c２的等差中项，则椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!

Ｃ．错误!Ｄ．错误!

解析：选D 在双曲线中m２＋n２＝c２，又２n２＝２m２＋c２，解得m＝错误!，又c２＝am，故椭圆的离心率e＝错误!＝错误!.

２．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是错误!，则这个椭圆方程为________．

解析：由题意知错误!解得错误!

∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．

答案：错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１

错误!

考点一椭圆的定义及标准方程

１．（２0１２|PF１|∶|PF２|＝４∶３，则△PF１F２的面积为（）

Ａ．３0 Ｂ．２５

Ｃ．２４Ｄ．４0

解析：选C ∵|PF１|＋|PF２|＝１４，

又|PF１|∶|PF２|＝４∶３，

∴|PF１|＝8，|PF２|＝6．

∵|F１F２|＝１0，∴PF１⊥PF２.

＝错误!|PF１|·|PF２|＝错误!×8×6＝２４．

∴S

△PF１F２

２．（２0１４·烟台质检）一个椭圆中心在原点，焦点F１，F２在x轴上，P（２, 错误!）是椭圆上一

点，且|PF１|，|F１F２|，|PF２|成等差数列，则椭圆方程为（）

Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１

Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１

解析：选A 设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．由点P（２, 错误!）在椭圆上知错误!＋错误!＝１．又|PF１|，|F１F２|，|PF２|成等差数列，则|PF１|＋|PF２|＝２|F１F２|，即２a＝２·２c，错误!＝错误!，又c２＝a２—b２，联立得a２＝8，b２＝6．

３．已知两圆C１：（x—４）２＋y２＝１69，C２：（x＋４）２＋y２＝9，动圆在圆C１内部且和圆C１相内切，和圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１

Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１

解析：选D 设圆M的半径为r，则|MC１|＋|MC２|＝（１３—r）＋（３＋r）＝１6，

∴M的轨迹是以C１、C２为焦点的椭圆，且２a＝１6,２c＝8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．[类题通法]

１．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．

２．利用定义和余弦定理可求得|PF１|·|PF２|，再结合|PF１|２＋|PF２|２＝（|PF１|＋|PF２|）２—２|PF１|·|PF

| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．

２

３．当椭圆焦点位置不明确时，可设为错误!＋错误!＝１（m＞0，n＞0，m≠n），也可设为Ax２＋By２＝１（A＞0，B＞0，且A≠B）．

考点二椭圆的几何性质

[典例] （２0F１，F２，焦距为２c，若直线y＝错误!（x＋c）与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF１F２＝２∠MF２F１，则该椭圆的离心率等于________．

[解析] 直线y＝错误!（x＋c）过点F１，且倾斜角为60°，所以∠MF１F２＝60°，从而∠MF２F１＝３0°，所以MF１⊥MF２.在Rt△MF１F２中，|MF１|＝c，|MF２|＝错误!c，所以该椭圆的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!—１．