一个整数的约数个数与约数和的计算方法

一个整数的约数个数与约数和的计算方法 , 两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系, 分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．

1.数360 的约数有多少个?这些约数的和是多少?

【分析与解】360 分解质因数 :360=2 × 2 × 2× 3 × 3 × 5=23×32×5；

360 的约数可以且只能是 2a×3 b×5c,(其中 a,b,c 均是整数 , 且 a 为 0 ～ 3,6 为 0 ～2,c 为 0 ～ 1) ．

因为 a、b、c 的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)

×(1+1)=24．

我们先只改动关于质因数 3 的约数 , 可以是 l,3,32, 它们的和为(1+3+32), 所以所有 360 约数的和为(1+3+32)×2y×5w；

我们再来确定关于质因数 2 的约数 , 可以是 l,2,22,23, 它们的和为 (1+2+22+23) ，所以所

有 360 约数的和为 (1+3+32) × (1+2+22+23)×5 w；

最后确定关于质因数 5 的约数, 可以是 1,5, 它们的和为 (1+5), 所以所有 360 的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．

于是,我们计算出值:13×15×6=1170．

所以,360 所有约数的和为 1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法 . 下面我们给出一般结论：

I. 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后 , 将每个质因数的指数( 次数 ) 加 1 后所得的乘积 . 如 :1400 严格分解质因数后为 23×52×7, 所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24 个.(包括 1 和它自身)

Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将 M 的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如： 21000=23×3×53×7,所以21000 所有约数的和为(1+2+22+23) ×

(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．

2.一个数是5 个 2,3 个3,6 个 5,1 个 7 的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?

【分析与解】设这个数为 A,有 A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97 均不是 A 的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．

3.写出从 360 到 630的自然数中有奇数个约数的数．

【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后 ,将每个质因数的指数 (次数)加1 后所得的乘积.如:1400 严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24 个.(包括 1 和它自身)

如果某个自然数有奇数个约数, 那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个. 这样它们加 1 后均是奇数 , 所得的乘积才能是奇数 . 而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．

由以上分析知,我们所求的为360～630 之间有多少个完全平方数? 18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630 之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．

即 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数为 361,400,441,484,529,576,625．

4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?

【分析与解】显然堆数是 42 的约数 ,是 112 的约数 , 是 70 的约数 .即为 42,112,70 的公约数,有(42,112,70)=14．

所以,最多可以分成 14 堆．

5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成 6 个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?

【分析与解】为了使生产均衡 ,则每道工序每小时生产的零件个数应相等 ,设第一、二、三道工序上分别有 A、B、C 个工人,有 6A=10B=15C=k,那么 k 的最小值为 6,10,15 的最小公倍数,即[6,10,15]=30．

所以 A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．

6.有甲、乙、丙 3 人,甲每分钟行走 120 米,乙每分钟行走 100 米,丙每分钟行走 70 米.如果 3 个人同时同向 ,从同地出发 , 沿周长是 300 米的圆形跑道行走 , 那么多少分钟之后 ,3 人又可以相聚?

【分析与解】设在 x 分钟后 3 人再次相聚 , 甲走了 120x 米 , 乙走了 lOOx 米 , 丙走了 70x 米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．

即 120x-100x,120x-70x,lOOx-70x 均是 300 的倍数 ,那么 300 就是 20x,50x,30x 的公约

数．

有 (20x,50x,30x):300, 而 (20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以 x=30 ．

7.3 条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内 3 人分别在里圈、中圈、外圈沿同样 的方向跑步.开始时,3 人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长1千米,中圈跑道长1 千米,外圈 54 31 跑道长3千米.甲每小时跑3 1 千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发, 82 几小时后,3 人第一次同时回到出发点?

【分析与解】 甲跑完一圈需 3 =小时, 乙跑一圈需 4 = 小时, 丙跑一圈需 5 2 35 4 16

33 2 1 3 3 5 = 3则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为 2 , 1 , 3 的倍数 ,即 8 40 35 16 40

它们的公倍数． 而 2 ,1 , 3 = 2,1,3 =6 =6.

35,16,40= (35,16,4) =1 =6 所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点. 评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为 新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小 公倍数；

求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分 数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约 数.

8. 甲数和乙数的最大公约数是 6最小公倍数是 90.如果甲数是 18,那么乙数是多少？ 【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积 .有它们的 最大公约数与最小公倍数的乘积为 6×90=540，则乙数为 540÷18=30．

9. A,B 两数都仅含有质因数 3 和 5,它们的最大公约数是 75.已知数 A 有 12个约数，数 B

有 10 个约数，那么 A,B 两数的和等于多少? 【分析与解】 方法一:由题意知 A 可以写成 3×52 × a ，B 可以写成 3 × 52 ×6 , 其中

a 、

b 为整数且只含质因子 3、5.

即 A:31+x ×52+y ,B=31+m×52+n

,其中 x 、Y 、m 、n 均为自然数(可以为 0)

由 A 有 12 个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，

对应

A 为

31+2×52=675,31+1×52+1

=1125, 或 31+0×52+4=46875； m = 0

由B 有 10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以 .对应B

x =2 x =1 x =0 所以 ,x =1或 y =0 y =1 y =4 即在30分钟后,3人又可以相聚．