高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件4 新人教A版选修1-1.ppt
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探究点2 椭圆的标准方程 1.在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 提示:不一定,只要a>b,a>c即可,b,c大小关系不定. 2.根据椭圆方程,如何确定焦点位置? 提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就 在相应的轴上.
15
【归纳总结】 对椭圆标准方程的两点认识 (1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点 在x轴或y轴上. (2)标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是关于 x
设所求椭圆方程为
x a
2 2
=by 221(a>b>0),因为过点(-3,2),
代入方程得
9 a2
a =2－4 15(a>b>0),
解得a2=15(a2=3舍去).
故方程为 x 2 =y 21. 15 10
22
2.(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为
y2 a2
=x 21(a>b>0). b2
11
2.确定椭圆的标准方程需要知道哪些量? 提示:a,b的值及焦点所在的位置.
12
【归纳总结】 对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件 不能忽视. (2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.
13
(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是 椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.
________ a2=b2+c2
5
【即时小测】 1.椭圆 x 2 y 2 =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭
94 圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________________.
6
【解析】由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=6, 所以|PF2|=6-|PF1|=6-4=2. 答案:2
27
特别提醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴 上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2+ny2 =1(m≠n,m>0,n>0).
28
【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上,且a=4,c=2. (2)经过点A(0,2)和 B ( 1 ， 3 )．
2
29
a 与 y 的平方和,并且分母为不相等的正值.
b
16
特别提醒:焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形式也 不同.
17
类型一 求椭圆的标准方程
【典例】1.(2016·武汉高二检测)过点(-3,2)且与 x 2 y 2 =1有相同焦点的椭圆的方程是 ( ) 94
A.x2 y2 1 15 10
B. x2 y2 1 225 100
a2 b2 因为2a=26,所以a=13,又c=5. 所以b2=a2-c2=144. 所以所求椭圆方程为 x 2 =y 12 .
169 144
26
【方法技巧】求椭圆标准方程的方法 利用待定系数法求椭圆的标准方程: (1)先确定焦点位置.(2)设出方程.(3)寻求a,b,c的等 量关系.(4)求a,b的值,代入所设方程.
x2 C.
y2
1
x2 D.
y2
1
10 15
100 225
18
2.根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到 两焦点的距离和为26.
(2)经过点 P ( 1 ，3 ) ， 两焦点间的距离为2,焦点在x轴上. 2
19
【解题探究】1.典例1中已知椭圆的焦点在哪个轴上? 提示:椭圆的焦点在x轴上,因为已知方程中x2项的分母 较大.
7
2.椭圆25x2+16y2=400的焦点坐标为________________, 焦距为________________.
8
【解析】把方程化为标准形式为 x 2 =y 21,可知焦点 16 25
在y轴上,则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9, 则c=3,所以焦点为(0,±3),焦距为2c=6. 答案:(0,±3) 6
9 1=1＋, 4 b2 1 b2
所以椭圆的标准方程为 x 2 ＋ =y 21. 43
Байду номын сангаас
24
【延伸探究】将典例2(1)改为两个焦点坐标分别是 (5,0),(-5,0),其他条件不变,求椭圆的标准方程.
25
【解析】因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方 程为 x 2 =y 2 1(a>b>0),
20
2.典例2(1)中焦点在y轴上的椭圆标准方程是怎样的?
典例2(2)中焦点在x轴上的椭圆标准方程是怎样的?
提示:(1)
y2 a2
x2 b2
=1(a>b>0).
(2) x 2 a2
y2 b2
=1(a>b>0).
21
【解析】1.选A.由方程 x 2 =y 21可知,其焦点的坐标 94
为(± ,50),即c= . 5
9
【知识探究】 探究点1 椭圆的定义 1.平面内动点M到两定点F1,F2的距离之和等于常数(2a) 且2a>|F1F2|,若2a=|F1F2|,则M的轨迹是什么?若2a< |F1F2|,则M的轨迹是什么?
10
提示:当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,点M的轨迹不存在.
3
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程 _xa_22___by_22__1__a__b__0__ _ay_22__xb_22__1__a__b___0_
图形
4
焦点坐标
a,b,c的 关系
焦点在x轴上 _(_-_c_,_0_)_,_(_c_,_0_)_
焦点在y轴上 _(_0_,_-_c_)_,_(_0_,_c_)_
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭 圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
1
【自主预习】 1.椭圆的定义 (1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_常__数__ (大于|F1F2|)的点的轨迹. (2)焦点:两个定点F1,F2.
2
(3)焦距:两焦点间的距离|F1F2|. (4)几何表示:|MF1|+|MF2|=_2_a_(常数)且2a_>_|F1F2|.
因为2a=26,所以a=13,又c=5.
所以b2=a2-c2=144. 所以所求椭圆方程为 y 2 ＋ =x 21.
169 144
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(2)设椭圆的标准方程为
x2 a2
=y 21(a>b>0), b2
因为焦点在x轴上,2c=2,所以a2=b2+1,
又椭圆经过点 P (1 ，3所) ，以 2
解得b2=3,所以a2=4.
探究点2 椭圆的标准方程 1.在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 提示:不一定,只要a>b,a>c即可,b,c大小关系不定. 2.根据椭圆方程,如何确定焦点位置? 提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就 在相应的轴上.
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【归纳总结】 对椭圆标准方程的两点认识 (1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点 在x轴或y轴上. (2)标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是关于 x
设所求椭圆方程为
x a
2 2
=by 221(a>b>0),因为过点(-3,2),
代入方程得
9 a2
a =2－4 15(a>b>0),
解得a2=15(a2=3舍去).
故方程为 x 2 =y 21. 15 10
22
2.(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为
y2 a2
=x 21(a>b>0). b2
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2.确定椭圆的标准方程需要知道哪些量? 提示:a,b的值及焦点所在的位置.
12
【归纳总结】 对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件 不能忽视. (2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.
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(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是 椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.
________ a2=b2+c2
5
【即时小测】 1.椭圆 x 2 y 2 =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭
94 圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________________.
6
【解析】由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=6, 所以|PF2|=6-|PF1|=6-4=2. 答案:2
27
特别提醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴 上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2+ny2 =1(m≠n,m>0,n>0).
28
【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上,且a=4,c=2. (2)经过点A(0,2)和 B ( 1 ， 3 )．
2
29
a 与 y 的平方和,并且分母为不相等的正值.
b
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特别提醒:焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形式也 不同.
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类型一 求椭圆的标准方程
【典例】1.(2016·武汉高二检测)过点(-3,2)且与 x 2 y 2 =1有相同焦点的椭圆的方程是 ( ) 94
A.x2 y2 1 15 10
B. x2 y2 1 225 100
a2 b2 因为2a=26,所以a=13,又c=5. 所以b2=a2-c2=144. 所以所求椭圆方程为 x 2 =y 12 .
169 144
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【方法技巧】求椭圆标准方程的方法 利用待定系数法求椭圆的标准方程: (1)先确定焦点位置.(2)设出方程.(3)寻求a,b,c的等 量关系.(4)求a,b的值,代入所设方程.
x2 C.
y2
1
x2 D.
y2
1
10 15
100 225
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2.根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到 两焦点的距离和为26.
(2)经过点 P ( 1 ，3 ) ， 两焦点间的距离为2,焦点在x轴上. 2
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【解题探究】1.典例1中已知椭圆的焦点在哪个轴上? 提示:椭圆的焦点在x轴上,因为已知方程中x2项的分母 较大.
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2.椭圆25x2+16y2=400的焦点坐标为________________, 焦距为________________.
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【解析】把方程化为标准形式为 x 2 =y 21,可知焦点 16 25
在y轴上,则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9, 则c=3,所以焦点为(0,±3),焦距为2c=6. 答案:(0,±3) 6
9 1=1＋, 4 b2 1 b2
所以椭圆的标准方程为 x 2 ＋ =y 21. 43
Байду номын сангаас
24
【延伸探究】将典例2(1)改为两个焦点坐标分别是 (5,0),(-5,0),其他条件不变,求椭圆的标准方程.
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【解析】因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方 程为 x 2 =y 2 1(a>b>0),
20
2.典例2(1)中焦点在y轴上的椭圆标准方程是怎样的?
典例2(2)中焦点在x轴上的椭圆标准方程是怎样的?
提示:(1)
y2 a2
x2 b2
=1(a>b>0).
(2) x 2 a2
y2 b2
=1(a>b>0).
21
【解析】1.选A.由方程 x 2 =y 21可知,其焦点的坐标 94
为(± ,50),即c= . 5
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【知识探究】 探究点1 椭圆的定义 1.平面内动点M到两定点F1,F2的距离之和等于常数(2a) 且2a>|F1F2|,若2a=|F1F2|,则M的轨迹是什么?若2a< |F1F2|,则M的轨迹是什么?
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提示:当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,点M的轨迹不存在.
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2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程 _xa_22___by_22__1__a__b__0__ _ay_22__xb_22__1__a__b___0_
图形
4
焦点坐标
a,b,c的 关系
焦点在x轴上 _(_-_c_,_0_)_,_(_c_,_0_)_
焦点在y轴上 _(_0_,_-_c_)_,_(_0_,_c_)_
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭 圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
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【自主预习】 1.椭圆的定义 (1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_常__数__ (大于|F1F2|)的点的轨迹. (2)焦点:两个定点F1,F2.
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(3)焦距:两焦点间的距离|F1F2|. (4)几何表示:|MF1|+|MF2|=_2_a_(常数)且2a_>_|F1F2|.
因为2a=26,所以a=13,又c=5.
所以b2=a2-c2=144. 所以所求椭圆方程为 y 2 ＋ =x 21.
169 144
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(2)设椭圆的标准方程为
x2 a2
=y 21(a>b>0), b2
因为焦点在x轴上,2c=2,所以a2=b2+1,
又椭圆经过点 P (1 ，3所) ，以 2
解得b2=3,所以a2=4.