高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件4 新人教A版选修1-1.ppt
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高中数学第2章圆锥曲线与方程211椭圆及其标准方程课件新人教A版选修1
解：设 P 点的坐标为(x，y)，M 点的坐标为(x0，y0)， ∵点 M 在椭圆上， ∴3x620 ＋y920＝1. ∵M 是线段 PP′的中点，
x0＝x， ∴y0＝2y，
代入3x620 ＋y920＝1，得3x62 ＋3y62 ＝1，
即 x2＋y2＝36. ∴P 点的轨迹方程为 x2＋y2＝36.
题型四 与椭圆有关的轨迹问题
平面内一动点到直线 x＝3 的距离与它到点 A(1,0)
的距离之比为 3，则动点的轨迹方程为( )
A.x32＋y22＝1
B．x32－y22＝1
C.x＋312＋y22＝1
D．x22＋y32＝1
【思路探索】 设动点坐标为(x，y)，利用条件建立 x，y
的关系式，可求出轨迹方程．
复习课件
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修 1
2021/4/17
高中数学第2章圆锥曲线与方程211椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修1
第二章 圆锥曲线与方程
2．1 椭 圆 2．1.1 椭圆及其标准方程
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．了解椭圆的实际背景、体验从具体情境中抽象出椭圆的 过程．
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
【解析】 若方程xm2＋2－y2m＝1 表示椭圆，
则m2－>0m，>0， m≠2－m，
∴0<m<1 或 1<m<2，
∴“0<m<2”是“方程xm2＋2－y2m＝1 表示椭圆”的必要不充分
条件，故选 C.
【答案】 C
[名 师 点 拨]
方程xm2＋yn2＝1
(2)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况求解，也可利用椭圆的一般方程求解．
《椭圆及其标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2课时)
PF1 PF2 16(2 3),
S
F1PF2
1 2
PF1
PF2 sin30 8 4
3.
巩固练习
例3:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程. 解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B､C两点的坐标分
别为(-4,0)､(4,0).
|PA|,由于圆P与圆C相内切, ∴|PC|=r-|PA|, 即|PA|+|PC|=r=6. 因此,动点P到两定点A(0,2)､C(0,-2)的距离之和为6, ∴P的轨迹是以A､C为焦点的椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,∴b2=5.
∴所求动圆圆心P的轨迹方程为 x2 y2 1. 59
巩固练习
例3.如图，已知点A（-5，0），B（5，0）.直线AM，BM交于点M,且它们的斜率之积是- 4/9，求 点M的轨迹方程.
y M
直译法
A
O
B
x
巩固练习
练习：已知x轴上一定点A 1, 0, Q为椭圆 x2 y2 1
4 上任一点, 求AQ的中点M的轨迹方程.
[解]设中点M的坐标为x, y,点Q的坐标为x0, y0 ,
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
2.2.1椭圆及其标准方程第二课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
定义
图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系
椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教B版选修11
焦距.
名师点拨在椭圆的定义中 ,当定长等于(děngyú)|F1F2|时,动点的轨迹是线段
F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
第三页，共18页。
【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的
轨迹是(
)
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上答案(dá àn)都不正确
5- > 0,
< 5,
正解由题意,得 -3 > 0, ⇒ > 3,
≠ 4.
5- ≠ -3
所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.
第十四页，共18页。
题型一
题型二
题型三
反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意:
①不要忽略定义中的条件(tiáojiàn)2a>|F1F2|;
所以 a>b,a>c,且 a2=c2+b2,其中 c 是焦距的一半,叫做半焦距.
第七页，共18页。
名师点拨方程 Ax +By =C(A,B,C 均不为
2
2
+
2
2
2
0)可化为
2
+
=1,即
=1.
只有当 A,B,C 同号,且 A≠B 时,方程表示椭圆.当 > 时,椭圆的
焦点在 x
2
的标准方程为 2
+
2
2
= 1(a>b>0),焦点为 F1(0,-c),F2(0,c),
且 a,b,c 满足 a2=c2+b2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,
名师点拨在椭圆的定义中 ,当定长等于(děngyú)|F1F2|时,动点的轨迹是线段
F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
第三页，共18页。
【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的
轨迹是(
)
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上答案(dá àn)都不正确
5- > 0,
< 5,
正解由题意,得 -3 > 0, ⇒ > 3,
≠ 4.
5- ≠ -3
所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.
第十四页，共18页。
题型一
题型二
题型三
反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意:
①不要忽略定义中的条件(tiáojiàn)2a>|F1F2|;
所以 a>b,a>c,且 a2=c2+b2,其中 c 是焦距的一半,叫做半焦距.
第七页，共18页。
名师点拨方程 Ax +By =C(A,B,C 均不为
2
2
+
2
2
2
0)可化为
2
+
=1,即
=1.
只有当 A,B,C 同号,且 A≠B 时,方程表示椭圆.当 > 时,椭圆的
焦点在 x
2
的标准方程为 2
+
2
2
= 1(a>b>0),焦点为 F1(0,-c),F2(0,c),
且 a,b,c 满足 a2=c2+b2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1
合作探究 课堂互动
由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画 图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)． 由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆 的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
类型一：椭圆定义
【典例1】(1)椭圆 x2 y2 1 上一点M到一个焦点距离为4，则M到另 25 16
一个焦点距离为 ( )
A.4
B.6
C.8
D.2
(2)已知定点A(0，-1)，点B在圆F：x2+(y-1)2=16上运动，F为圆心，
线段AB垂直平分线交BF于P.则点P轨迹是__________.
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2.对椭圆标准方程两点说明 (1)标准含义: 所谓“标准”,就是椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上. (2)用待定系数法求标准方程时注意点: 应从“定位”与“定量”两个方面去考虑,首先要“定位”,即确定焦 点所在坐标轴,从而确定椭圆方程类型;其次是“定量”,即利用条件 确定方程中a,b值.
21/62
所以所求椭圆标准方程为 y2 x2 ＝1． 169 144
19/62
【归纳总结】 1.对椭圆定义了解 椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件,即对椭圆上任一点M有 |MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|;不然,若2a=|F1F2|,则轨迹是线段F1F2;若 2a<|F1F2|,则轨迹不存在.
得|MF2|=10-|MF1|=10-4=6.
(2)由题意得|PA|=|PB|.
所以|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4>|AF|=2，
所以动点P轨迹是以A，F为焦点椭圆.
答案：以A，F为焦点椭圆
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【规律总结】椭圆定义双向利用 (1)判断：符合定义中到两定点距离之和为常数(大于两定点距离)这 一条件点轨迹为椭圆. (2)求值：椭圆上点一定满足定义中条件即到两定点距离之和为2a. 提醒：在判断点轨迹时，易出现只注意到距离之和为常数，而忽略此 常数要大于两定点距离条件作犯错误判断.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程-1公开课PPT课件
(0，－c)，(0，c)
a，b，c 的关系
b2＝________
【答案】 ax22＋by22＝1(a>b>0) ay22＋bx22＝1(a>b>0) a2－c2
求椭圆的标准方程
[小组合作型]
写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a＝4，c＝3，焦点在 y 轴上； (2)a＋b＝8，c＝4； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1).
25＝100－3|PF1||PF2|.
∴|PF1||PF2|＝25.
∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin
60°＝12×25×
23＝254
3 .
1．椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角形， 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义．
2．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用 S＝12absin C，把 |PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及 余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
[再练一题] 1．求适合下列条件的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)； (2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和 为 26.
【解】 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22＋by22＝ 1(a>b>0)．
[再练一题] 2.已知椭圆的方程为x42＋y32＝1，椭圆上有一点 P 满足∠PF1F2＝90°(如图 2-1-1)．求△PF1F2 的面积．
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件3 新人教A版选修1-1.ppt
x b
2 2
＝1
表示焦点在y轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就
大．
17
【过关小练】 1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )
x2 A.
y2
1
36 20
x2 y2 C. 1
36 16
x2 B.
y2
1
20 36
x2 y2 D. 1
16 36
【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,
13
➡根据以上探究过程，试着写出椭圆的标准方程：
1.焦点在x轴上：_xa_22___by_22__1__(a>b>0). 2.焦点在y轴上：__ay_22 __xb_22___1_(a>b>0).
14
【合作探究】 1.在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|=2c，常数为2a？为何令a2c2=b2？ 提示：在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两 个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐 标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令a2-c2=b2 是为了使方程的形式整齐而便于记忆.
8
【过关小练】 1.已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a，其中 a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
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【解析】选B.若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0，为常 数).所以甲是乙的必要条件.反过来，若|PA|+|PB|=2a(a>0，为常数)， 当2a>|AB|时，P点轨迹是椭圆；当2a=|AB|时，P点轨迹是线段AB；当 2a<|AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件.综上，甲 是乙的必要不充分条件.
2.1.1椭圆及其标准方程课件人教新课标2
[分析] (1)由焦点坐标知椭圆的焦点在 x 轴上，且可知 c 的值，由 P 到两焦点距离和可求出 a，进而可求出 b2.
(2)由两焦点坐标可知 c 值及焦点在 y 轴上，结合 a2＝b2＋ c2 可设出椭圆的标准方程，再结合椭圆经过点( 3，－ 5)，可 确定 a、b 的值．
[解析] (1)椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为ax22＋by22 ＝1(a>b>0)．
[解析] (1)由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，且 c＝4,2a＝ 10，
∴a＝5，b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
(2)解法一：∵椭圆的焦点在 y 轴上， ∴可设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 由 椭 圆 的 定 义 知 2a ＝ 4－02＋3 2＋22 ＋ 4－02＋3 2－22＝12， 所以 a＝6. 又 c＝2，所以 b2＝a2－c2＝32. ∴椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
第二章
2.1 椭圆
椭圆及其标准方程
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中 抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与 化简过程．
• 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形， 会用待定系数法求椭圆的标准方程.
①
因为点( 3，－ 5)在椭圆上，
所以－a252＋ b322＝1，即a52＋b32＝1.
将①式代入②，得b2＋5 16＋b32＝1， 解得 b2＝4(b2＝－12 舍去)． 由①得 a2＝4＋16＝20. 因此，所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 第1课时 椭圆课件 新人教A版选修1-1.pptx
10
练一练
1．已知命题甲：动点 P 到两定点 A，B 的距离之和|PA|＋|PB|
＝2a，其中 a 为大于 0 的常数；命题乙要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11
解析：若点 P 的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0， 为常数)． 所以甲是乙的必要条件． 反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，当 2a>|AB|时，点 P 的轨迹是椭圆；当 2a＝|AB|时，点 P 的轨迹是线段 AB；当 2a<|AB|时，点 P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综 上可知，甲是乙的必要不充分条件． 答案：B
12
2．已知定点 F1，F2，且|F1F2|＝8，动点 P 满足|PF1|＋|PF2|
＝8，则动点 P 的轨迹是
()
A．椭圆
B．圆
C．直线
D．线段
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以动点 P 的轨迹是线 段 F1F2. 答案：D
13
讲一讲
2．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并 且经过点52，－32，求它的标准方程； (2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程． [尝试解答] (1)法一：∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)．
第 1 课时 椭圆及其标准方程
1
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P32～P36 的内容，回答下列问题． (1)阅读教材 P32“探究”的内容，思考下列问题：
①移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？ 提示： 椭圆. ②笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点 F1 和 F2 的距离之 和是一个定值吗？ 提示： 是．其距离之和始终等于线段的长度.
练一练
1．已知命题甲：动点 P 到两定点 A，B 的距离之和|PA|＋|PB|
＝2a，其中 a 为大于 0 的常数；命题乙要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11
解析：若点 P 的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0， 为常数)． 所以甲是乙的必要条件． 反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，当 2a>|AB|时，点 P 的轨迹是椭圆；当 2a＝|AB|时，点 P 的轨迹是线段 AB；当 2a<|AB|时，点 P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综 上可知，甲是乙的必要不充分条件． 答案：B
12
2．已知定点 F1，F2，且|F1F2|＝8，动点 P 满足|PF1|＋|PF2|
＝8，则动点 P 的轨迹是
()
A．椭圆
B．圆
C．直线
D．线段
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以动点 P 的轨迹是线 段 F1F2. 答案：D
13
讲一讲
2．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并 且经过点52，－32，求它的标准方程； (2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程． [尝试解答] (1)法一：∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)．
第 1 课时 椭圆及其标准方程
1
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P32～P36 的内容，回答下列问题． (1)阅读教材 P32“探究”的内容，思考下列问题：
①移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？ 提示： 椭圆. ②笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点 F1 和 F2 的距离之 和是一个定值吗？ 提示： 是．其距离之和始终等于线段的长度.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修1_1
迹是( B )
A．一个椭圆
B．线段AB
C．线段AB的垂直平分线
D．直线AB
[解析] ∵|MA|＋|MB|＝2＝|AB|，
∴点M在线 的值是( C )
A．5
B．3 或 8
C．3 或 5
D．20
[解析] 2c＝2，c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1， ∴m＝5或m＝3，故选C．
_____a_x22_＋__by_22_＝__1_(a_>__b_>_0_) __
图形
焦点在 y 轴上 ____ay_22＋__bx_22_＝__1_(_a_>_b_>_0_)____
焦点坐标 _____F__1(_－__c_,0_)_、__F_2_(_c_,0_)______ _____F_1_(_0_，__－__c_)、__F__2(_0_，__c_)___
[思路分析] 根据题意画出图形，利用中位线及椭圆的定义求解．
[解析] 如图，OM 是△F1F2P 的中位线， 由|OM|＝1 得|PF2|＝2. 由椭圆x92＋y42＝1 得 a2＝9，即 a＝3， 又|PF2|＋|PF1|＝2a＝6. ∴|PF1|＝4.
『规律方法』 当问题中涉及椭圆上的点到焦点距离时，注意考虑利用椭 圆的定义求解．
[思路分析] (1)由已知可得a、c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位 置写出椭圆的方程．
(2)利用两点间的距离公式求出2a，再写方程；也可用待定系数法． (3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋ By2＝1(A>0，B>0，A≠B)直接求A，B的方程．
1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为__连__接__这__两__点__的__线__段__的__ _垂__直__平__分__线___.也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形．那
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件4 新人教B版选修1-1
例2：已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且椭圆经过点P（2,0）
求椭圆的标准方程。
解：因为椭圆的焦点在x轴上，x2 y2 所以设椭圆的标准方程是 a2 + b2
=1
(a > b > 0)
待定系数法
又因为焦距是2，所以2c=2，即c=1
所以 a2 - b2 = c2 = 1
因为椭圆经过点P（2,0）
由题可知，焦点在x轴上，
因此焦点为 F1(-6,0), F2 (6,0) 焦距为12
K12课件
12
强化训练
1.判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，写出焦点坐标。
1） x 2 25
+
y2 16
= 1 答:在 x 轴上，(-3,0)和(3,0）
2） x 2 + y 2 = 1 答:在 y 轴上，(0,-5)和(0,5） 144 169
14
2.椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4, 0 )、( 4 , 0 )， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 ,求椭圆的标准 方程。
3.两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2） 并且椭圆经过点（-3/2，5/2）,求椭圆的方程。
K12课件
15
2、椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4, 0 )、( 4 , 0 )， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 ,求椭圆的标准方程。
4
椭圆的定义： 焦点
2a
平面上与两个定点F1，F2距离之和是常数
（大于| F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆。
焦距 2c
K12课件
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• (1)改变两图钉之间的距离， 使其与绳长相等，画出的图形 还是椭圆吗？
(2)绳长能小于两图钉之间的距离吗？
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程备课省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
【解析】|PF1|+|PF2|=2a=20,又|F1F2|=2c=12.由余 弦
定理知:(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°, 256
即144=(|PF1|+|PF23|)2-3|PF1|·|PF2|.
所以|SPFF1P1F2|·1|2PF2|= , 所以 = |PF1|·|PF2|·sin 60°=
②-①,得(2+ 3)|PF1|·|PF2|=75,
所以|PF1|·|PF2|=75(2- 3),
所以
S
=
F1PF2
|P1F1|·|PF2|·sin 30°= 2
(2-75 ). 4
3
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2.将典例中椭圆方程改为“ 不变,求△F1PF2面积.
x2 ＋ y=21”,其余条件 100 64
40/66
M N =1.
1， 1. 4
4
31/66
类型二 椭圆定义及应用
【典例】(·潍坊高二检测)设P是椭圆
x2 ＋=1y2 25 75
4 上一点,F1,F2是椭圆焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2
面积.
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【解题探究】(1)你能写出|PF1|+|PF2|与|F1F2|大小吗? 提醒:(1)依据椭圆定义即可写出.
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【赔偿训练】如图所表示,已知椭圆方程为 x2 ＋y2 =1,若点P是椭圆上第二象限内点,且∠PF1F2=4120°3 , 求△PF1F2面积.
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【解题指南】由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边 长. 【解析】由已知a=2,b= 3 ,所以c= a2 b2＝=41,3 |F1F2|=2c=2,
高中数学人教A版选修(1-1) 2.1 教学课件 《2.1.1 椭圆及其标准方程》(人民教育出版社)
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
【自主解答】 (1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于 F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.
(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a， ∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝ 20， ∴△ABF1的周长为20. 【答案】 (1)线段F1F2 (2)20
(1)已知 F1(－4,0)，F2(4,0)，则到 F1、F2 两点的距 离之和等于 8 的点的轨迹是________；
(2)椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 的两焦点分别为 F1、F2，过 F2 的直线交 椭圆于 A、B 两点，则△ABF1 的周长为________．
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆 的定义求△ABF1的周长？
【解】 设P(x0，y0)，AP的中点M(x，y)，则
x＝x0－2 5， y＝y20，
即xy00＝ ＝22xy＋ ，5， 代入椭圆方程2x52 ＋1y62 ＝1，
得2x2＋552＋y42＝1， 所以AP中点M的轨迹方程是2x2＋552＋y42＝1.
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
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【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)， ∴2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10， ∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
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1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆 的定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0， c＞0，且 a、c 为常数．
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9 1=1＋, 4 b2 1 b2
所以椭圆的标准方程为 x 2 ＋ =y 21. 43
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【延伸探究】将典例2(1)改为两个焦点坐标分别是 (5,0),(-5,0),其他条件不变,求椭圆的标准方程.
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【解析】因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方 程为 x 2 =y 2 1(a>b>0),
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探究点2 椭圆的标准方程 1.在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 提示:不一定,只要a>b,a>c即可,b,c大小关系不定. 2.根据椭圆方程,如何确定焦点位置? 提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就 在相应的轴上.
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【归纳总结】 对椭圆标准方程的两点认识 (1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点 在x轴或y轴上. (2)标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是关于 x
x2 C.
y2
1
x2 D.
y2
1
10 15
100 225
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2.根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到 两焦点的距离和为26.
(2)经过点 P ( 1 ，3 ) ， 两焦点间的距离为2,焦点在x轴上. 2
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【解题探究】1.典例1中已知椭圆的焦点在哪个轴上? 提示:椭圆的焦点在x轴上,因为已知方程中x2项的分母 较大.
11
2.确定椭圆的标准方程需要知道哪些量? 提示:a,b的值及焦点所在的位置.
12
【归纳总结】 对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件 不能忽视. (2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.
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(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是 椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.
20
2.典例2(1)中焦点在y轴上的椭圆标准方程是怎样的?
典例2(2)中焦点在x轴上的椭圆标准方程是怎样的?
提示:(1)
y2 a2
x2 b2
=1(a>b>0).
(2) x 2 a2
y2 b2
=1(a>b>0).
21
【解析】1.选A.由方程 x 2 =y 21可知,其焦点的坐标 94
为(± ,50),即c= . 5
27
特别提醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴 上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2+ny2 =1(m≠n,m>0,n>0).
28
【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上,且a=4,c=2. (2)经过点A(0,2)和 B ( 1 ， 3 )．
2
29
因为2a=26,所以a=13,又c=5.
所以b2=a2-c2=144. 所以所求椭圆方程为 y 2 ＋ =x 21.
169 144
23
(2)设椭圆的标准方程为
x2 a2
=y 21(a>b>0), b2
因为焦点在x轴上,2c=2,所以a2=b2+1,
又椭圆经过点 P (1 ，3所) ，以 2
解得b2=3,所以a2=4.
7
2.椭圆25x2+16y2=400的焦点坐标为________________, 焦距为________________.
8
【解析】把方程化为标准形式为 x 2 =y 21,可知焦点 16 25
在y轴上,则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9, 则c=3,所以焦点为(0,±3),焦距为2c=6. 答案:(0,±3) 6
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭 圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
1
【自主预习】 1.椭圆的定义 (1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_常__数__ (大于|F1F2|)的点的轨迹. (2)焦点:两个定点F1,F2.
2
(3)焦距:两焦点间的距离|F1F2|. (4)几何表示:|MF1|+|MF2|=_2_a_(常数)且2a_>_|F1F2|.
a 与 y 的平方和,并且分母为不相等的正值.
b
16
特别提醒:焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形式也 不同.
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类型一 求椭圆的标准方程
【典例】1.(2016·武汉高二检测)过点(-3,2)且与 x 2 y 2 =1有相同焦点的椭圆的方程是 ( ) 94Biblioteka A.x2 y2 1 15 10
B. x2 y2 1 225 100
________ a2=b2+c2
5
【即时小测】 1.椭圆 x 2 y 2 =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭
94 圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________________.
6
【解析】由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=6, 所以|PF2|=6-|PF1|=6-4=2. 答案:2
a2 b2 因为2a=26,所以a=13,又c=5. 所以b2=a2-c2=144. 所以所求椭圆方程为 x 2 =y 12 .
169 144
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【方法技巧】求椭圆标准方程的方法 利用待定系数法求椭圆的标准方程: (1)先确定焦点位置.(2)设出方程.(3)寻求a,b,c的等 量关系.(4)求a,b的值,代入所设方程.
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2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程 _xa_22___by_22__1__a__b__0__ _ay_22__xb_22__1__a__b___0_
图形
4
焦点坐标
a,b,c的 关系
焦点在x轴上 _(_-_c_,_0_)_,_(_c_,_0_)_
焦点在y轴上 _(_0_,_-_c_)_,_(_0_,_c_)_
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【知识探究】 探究点1 椭圆的定义 1.平面内动点M到两定点F1,F2的距离之和等于常数(2a) 且2a>|F1F2|,若2a=|F1F2|,则M的轨迹是什么?若2a< |F1F2|,则M的轨迹是什么?
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提示:当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,点M的轨迹不存在.
设所求椭圆方程为
x a
2 2
=by 221(a>b>0),因为过点(-3,2),
代入方程得
9 a2
a =2－4 15(a>b>0),
解得a2=15(a2=3舍去).
故方程为 x 2 =y 21. 15 10
22
2.(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为
y2 a2
=x 21(a>b>0). b2