正弦定理和余弦定理教案

正弦定理和余弦定理教案

会昌中学 兰鹏

第一课时 正弦定理 (一) 课题引入

如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B (图1.1-1) (二) 探索新知

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角

三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c

C c

==,

A

则

sin sin sin a

b

c

c A

B

C

=

=

= b c 从而在直角三角形ABC 中，

sin sin sin a

b

c

A

B

C

=

=

C a B

(图1.1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （让学生进行讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1.1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a

b

A

B

=

， C

同理可得sin sin c

b

C B =

， b a 从而

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

A D B

(图1.1-3)

让学生思考：是否可以用其它方法证明这一等式？ 证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2

1sin 2

1sin 2

1

==

两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C

c sin

证明三：（外接圆法）

a b

O

B C

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

∴R CD D a A a 2sin sin === (R 为外接圆的半径) 同理

B b sin =2R ，C

c

sin ＝2R 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

证明四：（向量法） 过A 作单位向量j 垂直于AC →

由 AC →

+ CB →

= AB →

两边同乘以单位向量j 得 j •(AC →

+CB →

)=j •AB →

则j •AC →

+j •CB →

=j •AB →

∴|j |•|AC →

|cos90︒+|j |•|CB →

|cos(90︒-C)=|j |•| AB →

|cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴

A a sin =C

c

sin 同理，若过C 作j 垂直于CB →

得： C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =C

c

sin 从而

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（让学生课后自己推导）

从上面的研究过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

(三) 理解定理

(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；

(2）

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

等价于

sin sin a

b

A

B

=

，

sin sin c

b

C

B

=

，

sin a

A

=

sin c

C

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A

a B

=

； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如

sin sin a A B b

=。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

(四) 例题剖析

例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。(课本p3，例1)

解：根据三角形内角和定理，

0180()=-+C A B

000180(32.081.8)=-+

066.2=；

根据正弦定理，

00

sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，

sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A

例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）

。(课本p4，例4) 解：根据正弦定理，

0sin 28sin40sin 0.8999.20

==≈b A B a

因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B (1) 当064≈B 时，

00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，

sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A (2) 当0116≈B 时，

00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，

sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 评述：例1，例2都使用正弦定理来解三角形，在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 (五) 课堂练习

第5页练习第1(1)、2(1)题。 (六) 课时小结(让学生归纳总结)