2023高考数学全国甲卷原卷
2023年高考全国甲卷数学(理)真题
2023年高考全国甲卷数学(理)真题一、单选题1.设集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U为整数集, Cf(A∪B)=( )A.{x|x =3k,k∈Z}B.{x|x=3k-1,k∈ Z}C.{x| x=3k-2,k∈ Z}D.∅2.若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=( )A.-1B.0C.1D.23.执行下面的程序框遇，输出的B=( )A.21B.34C.55D.894.向量|a⃗ |=|b⃗|=−1,|c⃗ |=√2,且a⃗+b⃗+c⃗=0⃗,则cos⟨a⃗−c⃗,b⃗−c⃗ ⟩=()A.−15B.−25c.25D.455.已知正项等比数列{an}中，a₁=1,S n为{an}前n项和, S₅=5S₃-4, 则S₄=( )A.7B.9C.15D.306.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( )A.0.8B.0.4C.0.2D.0.17.“sin²α+sin²β =1” ”是“sinα+cosβ=0” 的( )A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件8.巳知双曲线xa2−yb2=1(a⟩0,b>0)的离心率为√5，其中一条渐近线与圆(x-2)²+( y-3)²=1交于A,B两点,则|AB|=( )A1 5B.√55C.2√55D.4√559.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )A.120B.60C.40D.3010.已知f(x)为函数y=cos(2x+π6)向左平移π6个单位所得函数，则y=f(x)与y=12x−12的交点个11.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC 的面积为( ) A.2√2 B 、3√2 C 、4√2 D 、5√212.己知椭圆x 29+y 26=1,F ₁,F ₂:为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点， cos∠F 1PF 2=35,则|PO|= ( )A 25B 、√30 2C 、35D 、√35 2方法1：焦三角形面积公式求P 点纵坐标；方法2：向量+定义 ，方法3：中线长公式二、填空题13.若y =(x −1)2+ax +sin (x +π2)为偶函数,则a= .14.设x ，y 满足约束条件{−2x +3y ≤33x −2y ≤3x +y ≥1,设z=3x+2y,则z 的最大值为 .15.在正方体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁中,E,F 分别为CD,A ₁B ₁的中点,则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 .16.在△ABC 中,AB=2,∠BAC=60°, BC=√6D 为BC 上一点,AD 为∠BAC 的平分线,则AD= .三、解答题17.已知数列{an}中, a ₂=1设Sn 为{an}前n 项和, 2S n =na n .(1)求{a ₙ}的通项公式;(2)求数列{a n +12n }的前n 项和T ₙ.18.在三棱柱ABC-A ₁B ₁C ₁中, AA ₁=2, A ₁C ⊥底面ABC,∠ACB=90°,A ₁到平面BCC ₁B ₁的距离为1.(1)求证:AC=A ₁C;(2)若直线AA ₁与BB ₁距离为2,求AB ₁与平面BCC ₁B ₁所成角的正弦值.19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物).(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)对照组:17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组:5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0(i)求40(ii)根据2.参考数据：(1)(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g).(已按从小到大排好)对照组:17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组:5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0(i)求402列联表：(ii)根据2×2.参考数据：20.已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y ²=2px( p>0) 交于A ，B 两点，且|AB|=4√15.(1)求p;(2)设C 的焦点为F,M,N 为C 上两点, MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求△MNF 面积的最小值.21.已知f (x )=ax −sinx cos 3x ,x ∈(0,π2)(1)若a=8,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)<sin2x 恒成立,求a 的取值范围.22.已知P(2,1),直线l:{x =2+tcosαy =1+tsinα(t 为参数)，α为l 的倾斜角，l 与x 轴，y 轴正半轴交于A,B 两点,|PA|·|PB|=4.(1)求α的值;(2)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程.23.已知f(x)=2|x-a|-a,a>0.(1)求不等式f(x)<x 的解集;(2)若曲线y=f(x)与x 轴所围成的图形的面积为2，求a.。
2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）＝（ ）A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z}D．∅【答案】A【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U（A⋃B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选：A．2．（5分）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】C【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．3．（5分）执行下面的程序框图，输出的B＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：根据程序框图列表如下：A13821B251334n1234故输出的B＝34．故选：B．4．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（ ）【答案】D【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos〈﹣，﹣〉＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（ ）A．7B．9C．15D．30【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，设公比为q，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1，（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），可得＝5•﹣4，解得q2＝4，即q＝2，S4＝＝＝15．故选：C．6．（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1【答案】A【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P（A）＝＝，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60﹣70＝40人，则P（AB）＝＝，则P（B|A）＝＝＝0.8．故选：A．7．（5分）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（ ）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解答】解：sin2α+sin2β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，所以“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．9．（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A．120B．60C．40D．30【答案】B【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有＝5种选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有＝12种选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．故选：B．10．（5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：把函数向左平移个单位可得函数f（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，而直线＝（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，且直线还经过点（，）、（﹣，﹣），0＜＜1，﹣1＜﹣＜0，如图，故y＝f（x）与的交点个数为3．故选：C．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：解法一：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝，∴在△PBD中，根据余弦定理可得：＝，又BC＝4，PC＝3，∴在△PBC中，由余弦定理可得：cos∠PCB＝＝，∴sin∠PCB＝，∴△PBC的面积为＝＝．解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，设∠PCH＝θ，∠ACH＝α，且α∈（0，），则∠HCD＝45°﹣α，或∠HCD＝45°+α，易知cos∠PCD＝，又∠PCA＝45°，则根据最小角定理（三余弦定理）可得：，∴或，∴或，∴或，∴tanα＝或tanα＝，又α∈（0，），∴tanα＝，∴cosα＝，sinα＝，∴，∴cosθ＝，再根据最小角定理可得：cos∠PCB＝cosθcos（45°+α）＝＝，∴sin∠PCB＝，又BC＝4，PC＝3，∴△PBC的面积为＝＝．故选：C．12．（5分）已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c＝，O为原点，P为椭圆上一点，，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，可得m+n＝6，4c2＝m2+n2﹣2mn cos∠F1PF2，即12＝m2+n2﹣mn，可得mn＝，m2+n2＝21，＝（），可得|PO|2＝＝（m2+n2+2mn cos∠F1PF2）＝（m2+n2+mn）＝（21+）＝．可得|PO|＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国甲卷2023高考理科数学试卷
全国甲卷2023高考理科数学试卷全国甲卷2023高考理科数学试卷(含答案)新高考数学各知识点所占比如下：一、分数占比1、集合5分2、三大函数5分3、立体几何初步12分+5分4、平面几何初步5分+12分5、算法初步5分6、统计5分7、概率5分+12分8、三角函数恒等变换5分+5分+12分9、平面向量5分10、解三角形5分+12分11、数列5分+12分12、不等式5分+12分13、常用逻辑用语5分14、圆锥曲线与方程5分+12分15、空间向量与立体几何5分+12分16、导数及应用5分+12分17、推理与证明12分18、数系扩充与复数的引入5分19、计数原理5分20、坐标系与参数方程10分二、题型1、选择+填空（8题单选+4题多选+4题填空）16道，每道5分，共80分。
占总分的大半。
送分题、基础题较多，以书上性质、公式的运用为主。
2、集合、复数：默认送分题。
平面向量：能建系尽量建系做。
计数原理：以二次项定理与分配问题居多。
统计与概率：可能会在读题上挖坑。
其他：命题、各章基本概念、计算（不等式或者比大小）3、中高档题会以几何或函数为主，可能会考新定义题。
几何：解三角形、立体几何、解析几何。
函数：函数（指对幂、正余切）的性质（单调奇偶对称周期）与图像（识别和变换）、简单求导、构造函数（常见于指对数比大小）。
4、新定义题：近年来高考的趋势，题干给出一个新的定义（高中课本里没学过的），然后让你利用其解题。
难度一般都不会太大，只要严格按照题干描述一步一步做就行。
高考数学为什么这么重要？数学是最好得分的科目，同时数学又是高考成败的关键。
多少学子因为数学成绩而走向不同的大学。
从某种意义上讲，高一高二的基础很重要，高一高二有没有“弄懂”将在很大程度上影响高三复习的进度，如果基础打得牢，高三可以向更高的层次冲一把，如果自认为基础有些薄弱，也不是完全没办法，一轮复习将在很大程度上弥补以前的弱势。
首先建议看看自己来年参加的考试的试卷题型分布，在复习方面，进入高三，哪些知识点只属于识记和基础理解层次，哪些知识点属于重难点。
2023全国高考甲卷理科数学试卷及解析
2023全国高考甲卷理科数学试卷及解析一、选择题1. ($\\frac{\\pi}{3}, \\frac{\\pi}{6}$)处的切线方程为：(A)$y=x\\sqrt{3}$(B)$y=-x\\sqrt{3}$(C)$y=\\frac{\\sqrt{3}}{2}x$(D)$y=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}x$【解析】导数为$f'(x)=\\sqrt{3}\\cos{\\frac{2x}{\\pi}}-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$，所以当$x=\\frac{\\pi}{3}$时，切线斜率为$f'(\\frac{\\pi}{3})=\\sqrt{3}\\cos{(\\frac{2}{3})}-\\frac{\\sqrt{3}}{2}=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$，同时过点$(\\frac{\\pi}{3}, \\frac{\\sqrt{3}}{2})$，即可得到切线方程$y=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}(x-\\frac{\\pi}{3})+\\frac{\\sqrt{3}}{2}x=\\frac{\\sqrt{3}}{2}(\\frac{\\pi}{3}-x)$，所以选(D)。
2. 设函数f(x)的反函数为f−1(x)，则$\\frac{\\text{d}}{\\text{d}x}f^{-1}(x)$等于：(A)$\\frac{1}{f'(x)}$(B)$\\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$(C)f′(f−1(x))(D)−f′(f−1(x))【解析】由反函数的定义知(f−1(x),x)在函数f(x)上，即f(f−1(x))=x，对x求导即可得到$f'(f^{-1}(x))\\cdot (f^{-1})'(x)=1$，故$(f^{-1})'(x)=\\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$，所以选(B)。
2023年高考全国甲卷数学题
2023年高考全国甲卷数学题2023年高考全国甲卷数学题一、选择题（共10小题，每题2分，共20分）1. 下列函数中，是偶函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 1C. y = sin(x)D. y = 3 - x2. 有一个5m长的绳子要剪成3段，第一段长2m，第三段长1m，那么第二段长多少米？（）A. 2mB. 1mC. 3mD. 4m3. 若 x + 2y = 3，2x - 3y = 5，则 x 的值为（）A. 4B. 2C. 5D. 34. 一个等差数列首项为3，公差为5，那么第6个数为（）A. 19B. 23C. 28D. 335. 已知集合 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则 A 与 B 的并集为（）A. {1, 2, 3, 4}B. {2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 3, 4}6. 设正方形的对角线长为d，则正方形的边长为（）A. d/2B. d√2C. d/√2D. 2d7. 若√3 + √5 = a + b√6，其中 a 和 b 是实数，则 a 的值为（）A. -√3 - √5B. -√3 + √5C. √3 - √5D. √3 + √58. 已知 3x + 2y = 6，x - 4y = 2，求 x 和 y 的值。
（）A. x = 2, y = 1B. x = 3, y = 1C. x = 1, y = 2D. x = 2, y = 39. 若一个等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为S_n，则 S_n 的表达式为（）A. n^2dB. n(n+1)d/2C. n(2a + nd)/2D. a(2a + (n-1)d)/210. 某种草原上有兔子和蜗牛两种动物，假设总数为n，兔子的数量是蜗牛数量的k倍，那么兔子和蜗牛的数量分别为（）A. 兔子：n/ (k + 1)，蜗牛：n/ (k - 1)B. 兔子：n/ (k - 1)，蜗牛：n/ (k + 1)C. 兔子：n/2，蜗牛：n/2D. 兔子：n/k，蜗牛：k/n二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）11. 已知在坐标平面上，线段AB的中点坐标为（2,5），点A的坐标为（3,1），则点B的坐标为（___, ___）。
2023年高考全国甲卷数学(理)答案
2023年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年
年年年年参考答案
一、选择题
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】C
【11题答案】
【答案】C
【12题答案】
【答案】B
二、填空题
【13题答案】
【答案】2
【14题答案】
【答案】15
【15题答案】
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第2页/共2页
【答案】12
【16题答案】
【答案】2
三、解答题
【17题答案】
【答案】（1）1n a n =-
（2）()1222n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）1313
【19题答案】
【答案】（1）分布列见解析，()1E X = （2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能
【20题答案】
【答案】（1）2p =
（2）1282-【21题答案】
【答案】（1）答案见解析.
（2）(,3]-∞
四、选做题
【22题答案】
【答案】（1）3π4
（2）cos sin 30ραρα+-=
【23题答案】
【答案】（1）,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
（226。
2023年高考全国甲卷数学(理)真题
2023年高考全国甲卷数学(理)真题一、单选题1.设集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U为整数集, Cf(A∪B)=( )A.{x|x =3k,k∈Z}B.{x|x=3k-1,k∈ Z}C.{x| x=3k-2,k∈ Z}D.∅2.若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=( )A.-1B.0C.1D.23.执行下面的程序框遇，输出的B=( )A.21B.34C.55D.894.向量|a⃗ |=|b⃗|=−1,|c⃗ |=√2,且a⃗+b⃗+c⃗=0⃗,则cos⟨a⃗−c⃗,b⃗−c⃗ ⟩=()A.−15B.−25c.25D.455.已知正项等比数列{an}中，a₁=1,S n为{an}前n项和, S₅=5S₃-4, 则S₄=( )A.7B.9C.15D.306.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( )A.0.8B.0.4C.0.2D.0.17.“sin²α+sin²β =1” ”是“sinα+cosβ=0” 的( )A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件8.巳知双曲线xa2−yb2=1(a⟩0,b>0)的离心率为√5，其中一条渐近线与圆(x-2)²+( y-3)²=1交于A,B两点,则|AB|=( )A15B.√55C.2√55D.4√559.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )A.120B.60C.40D.3010.已知f(x)为函数y=cos(2x+π6)向左平移π6个单位所得函数，则y=f(x)与y=12x−12的交点个11.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC 的面积为( ) A.2√2 B 、3√2 C 、4√2 D 、5√212.己知椭圆x 29+y 26=1,F ₁,F ₂:为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点， cos∠F 1PF 2=35,则|PO|= ( )A 25B 、√30 2C 、35D 、√35 2方法1：焦三角形面积公式求P 点纵坐标；方法2：向量+定义 ，方法3：中线长公式二、填空题13.若y =(x −1)2+ax +sin (x +π2)为偶函数,则a= .14.设x ，y 满足约束条件{−2x +3y ≤33x −2y ≤3x +y ≥1,设z=3x+2y,则z 的最大值为 .15.在正方体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁中,E,F 分别为CD,A ₁B ₁的中点,则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 .16.在△ABC 中,AB=2,∠BAC=60°, BC=√6D 为BC 上一点,AD 为∠BAC 的平分线,则AD= .三、解答题17.已知数列{an}中, a ₂=1设Sn 为{an}前n 项和, 2S n =na n .(1)求{a ₙ}的通项公式;(2)求数列{a n +12n }的前n 项和T ₙ.18.在三棱柱ABC-A ₁B ₁C ₁中, AA ₁=2, A ₁C ⊥底面ABC,∠ACB=90°,A ₁到平面BCC ₁B ₁的距离为1.(1)求证:AC=A ₁C;(2)若直线AA ₁与BB ₁距离为2,求AB ₁与平面BCC ₁B ₁所成角的正弦值.19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物).(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)对照组:17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组:5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0(i)求40(ii)根据2.参考数据：(1)(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g).(已按从小到大排好)对照组:17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组:5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0(i)求402列联表：(ii)根据2×2.参考数据：20.已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y ²=2px( p>0) 交于A ，B 两点，且|AB|=4√15.(1)求p;(2)设C 的焦点为F,M,N 为C 上两点, MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求△MNF 面积的最小值.21.已知f (x )=ax −sinx cos 3x ,x ∈(0,π2)(1)若a=8,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)<sin2x 恒成立,求a 的取值范围.22.已知P(2,1),直线l:{x =2+tcosαy =1+tsinα(t 为参数)，α为l 的倾斜角，l 与x 轴，y 轴正半轴交于A,B 两点,|PA|·|PB|=4.(1)求α的值;(2)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程.23.已知f(x)=2|x-a|-a,a>0.(1)求不等式f(x)<x 的解集;(2)若曲线y=f(x)与x 轴所围成的图形的面积为2，求a.。
2023年高考全国甲卷数学(理)真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1. 设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，()U M N ⋃=ð（ ） A. {|3,}x x k k =∈Z B. {31,}x x k k Z =−∈∣ C. {32,}x x k k Z =−∈∣ D. ∅【答案】A 【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z U U ，U Z =，所以，(){}|3,U M N x x k k ==∈Z U ð． 故选：A ．2. 设()()R,i 1i 2,a a a ∈+−=，则=a （ ） A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a+−=−++=+−=，所以22210a a =⎧⎨−=⎩，解得：1a =． 故选：C.3. 执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A. 21B. 34C. 55D. 89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=； 当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=； 当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=； 当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =． 故选：B.4. 已知向量,,a b c r r r 满足1,2a b c ===r r r ，且0a b c ++=r r r r ，则cos ,a c b c 〈−−〉=r r r r （ ）A. 45−B. 25−C.25D.45【答案】D 【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为0a b c ++=rrrr,所以a b c +=-rrr,即2222a b a b c ++⋅=rrrr r,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅=rr .如图,设,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r ,由题知,1,2,OA OB OC OAB ===V 是等腰直角三角形,AB 边上的高22,22OD AD ==, 所以232222CD CO OD =+==, 1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=, 2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈−−〉=∠=∠=∠−r r r r2421510=⨯−=. 故选:D.5. 设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =−，则4S =（ ） A.158B.658C. 15D. 40【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出4S . 【详解】由题知()23421514q q q q q q++++=++−,即34244q q q q +=+,即32440q q q +−−=,即(2)(1)(2)0q q q −++=. 由题知0q >,所以2q =. 所以4124815S =+++=. 故选:C.6. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6C. 0.5D. 0.4【答案】A 【解析】【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为0.50.60.70.4+−=，记“该同学爱好滑雪”为事件A ,记“该同学爱好滑冰”为事件B ， 则()0.5,()0.4P A P AB ==，所以()0.4()0.8()0.5P AB P BA P A ===∣.故选:A .7. 设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠， 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=−+=， 即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B8. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y −+−=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A.55B.55C.355D.55【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由5e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=， 所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离25521d ==+， 所以弦长22145||22155AB r d =−=−=. 故选：D9. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60C. 30D. 20【答案】B 【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种. 故选：B.10. 函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =−的交点个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =−，再作出()f x 与1122y x =−的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =−的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =−，而1122y x =−显然过10,2⎛⎫− ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =−的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =−==，即3π3π7π,,444x x x =−==处()f x 与1122y x =−的大小关系，当3π4x =−时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫−=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯−−=−<− ⎪⎝⎭； 当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，13π13π412428y −=⨯−=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，17π17π412428y −=⨯−=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =−的交点个数为3. 故选：C.11. 已知四棱锥P ABCD −的底面是边长为4的正方形，3,45PC PD PCA ==∠=︒，则PBC V 的面积为（ ）A. 22B. 32C. 2D. 2【答案】C 【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO ≅V V ，PDB PCA ≅V V ，从而得到PA PB =，再在PAC △中利用余弦定理求得17PA =，从而求得17PB 由此在PBC V 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在PAC △中利用余弦定理求得17PA =1cos 3PCB ∠=，从而求得3PA PC ⋅=−u u u r u u u r ，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于,PB BPD ∠的方程组，从而求得17PB 由此在PBC V 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】法一：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以42AC BD ==22DO CO ==， 又3PC PD ==，PO OP =，所以PDO PCO ≅V V ，则PDO PCO ∠=∠， 又3PC PD ==，42AC BD ==PDB PCA ≅V V ，则PA PB =， 在PAC △中，3,42,45PC AC PCA ==∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 329223172PA AC PC AC PC PCA =+−⋅∠=+−⨯⨯=， 故17PA =，则17PB故在PBC V 中，7,43,1P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +−+−∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以222sin 1cos 3PCB PCB ∠=−∠=， 所以PBC V 的面积为1122sin 342223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯= 法二：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以42AC BD == 在PAC △中，3,45PC PCA =∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 329223172PA AC PC AC PC PCA =+−⋅∠=+−⨯⨯=，故17PA =，所以22217cos 2172173PA PC AC APC PA PC +−∠===−⋅⨯⨯，则17cos 173317PA PC PA PC APC ⎛⋅=∠=⨯−=− ⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()()1122PO PA PC PB PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以()()22PA PC PB PD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则()217923923cos m m θ++⨯−=++⨯⨯，整理得26cos 110m m θ+−=①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD =+−⋅∠，即23296cos m m θ=+−，则26cos 230m m θ−−=②，两式相加得22340m −=，故17PB m ==故在PBC V 中，7,43,1P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +−+−∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以222sin 1cos 3PCB PCB ∠=−∠=， 所以PBC V 的面积为1122sin 342223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯= 故选：C.12. 设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=两个焦点，点 P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（ ）A.135B.302C.145D.352【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可得到点P 的坐标，从而得出OP 的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出221212,PF PF PF PF +，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出2212PF PF +，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设12π2,02F PF θθ∠=<<，所以122212tantan 2PF F F PF S b b θ∠==V ， 由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ−−∠====+，解得：1tan 2θ=， 由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ===−=， 所以，1212111236222PF F p p S F F y y =⨯⨯=⨯=⨯V ，解得：23p y =， 即2399162p x ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭，因此22930322p p OP x y =+=+=． 的故选：B ．方法二：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +−∠=，即2212126125PF PF PF PF +−=②，联立①②， 解得：22121215,212PF PF PF PF =+=， 而()1212PO PF PF =+u u u r u u u r u u u u r ，所以1212OP PO PF PF ==+u u u r u u u r u u u u r， 即22121122111315302212222522PO PF PF PF PF PF PF =+=+⋅+=+⨯⨯=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ． 故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +−∠=， 即2212126125PF PF PF PF +−=②，联立①②，解得：221221PF PF +=， 由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，易知1223F F =302OP =．故选：B ．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．二、填空题13. 若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=−+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________． 【答案】2 【解析】【分析】利用偶函数性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解. 【详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==−+++=−++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ， 所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−+ ⎪ −⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⎝+⎭，的则22πππ2π1212a −⎛⎫⎛⎫=+− ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =−++=++，所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x −=−++++−==， 又定义域为R ，故()f x 为偶函数， 所以2a =. 故答案为：2.14. 若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y −≤⎧⎪−+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为____________．【答案】15 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可. 【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322zy x =−+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y −+=⎧⎨−=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=. 故答案为：1515. 在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点． 【答案】12 【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取CD ，1CC 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中，22222222EF FG EG =+=+=即2R =，则球心O 到1CC 的距离为2222112OM ON MN =+=+=，所以球O 与棱1CC 相切，球面与棱1CC 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 故答案为：1216. 在ABC V 中，60,2,6BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________． 【答案】2 【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos606b b +−⨯⨯⨯=o ，因为0b >，解得：13b =+ 由ABC ABD ACD S S S =+V V V 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯o o o ， 解得：2313323312b AD b +===++． 故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos606b b +−⨯⨯⨯=o ，因为0b >，解得：13b =+ 由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==o，解得：62sin 4B =，2sin 2C =， 因为1362+>>45C =o ，180604575B =−−=o o o o ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠=o ，即2AD AB ==． 故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题17. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）1n a n =−（2）()1222nn T n ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n −=⎧=⎨−≥⎩即可求出；（2）根据错位相减法即可解出． 【小问1详解】因为2n n S na =，当1n =时，112a a =，即10a =； 当3n =时，()33213a a +=，即32a =，当2n ≥时，()1121n n S n a −−=−，所以()()11221n n n n n S S a na n a −−−==−−， 化简得：()()121n n n a n a −−=−，当3n ≥时，131122n n a a an n −====−−L ，即1n a n =−， 当1,2,3n =时都满足上式，所以()*1N n a n n =−∈．【小问2详解】因为122n n n a n +=，所以12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，2311111112(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++−⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，两式相减得，123111111111222222111222211n n nn n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+−⎝=−⎭⨯−⨯L ， 11122n n ⎛⎫⎛⎫=−+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()1222nn T n ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，*N n ∈．18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）证明：1AC AC =； （2）已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）1313【解析】【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得1AO ⊥平面11BCC B ，再由勾股定理求出O 为中点，即可得证；（2）利用直角三角形求出1AB 的长及点A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 【小问1详解】 如图，1A C ⊥Q 底面ABC ，BC ⊂面ABC ，1AC BC ∴⊥，又BC AC ⊥，1,AC AC ⊂平面11ACC A ，1AC AC C ⋂=, BC ∴⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，过1A 作11AO CC ⊥交1CC 于O ，又平面11ACC A I 平面111BCC B CC =，1A O ⊂平面11ACC A ， 1A O ∴⊥平面11BCC B1A Q 到平面11BCC B 的距离为1，11∴=AO ， 在11Rt ACC △中，111112,AC AC CC AA ⊥==，设CO x =，则12C O x =−，11111,,AOC AOC ACC Q △△△为直角三角形，且12CC =，22211CO AO AC +=，2221111AO OC C A +=，2221111AC AC C C +=，2211(2)4x x ∴+++−=，解得1x =，1112AC AC AC ∴=== 1A C AC ∴=小问2详解】111,,AC AC BC AC BC AC =⊥⊥Q ， 1Rt Rt ACB ACB ∴△≌△ 1BA BA ∴=，过B 作1BD AA ⊥，交1AA 于D ，则D 为1AA 中点， 由直线1AA 与1BB 距离为2，所以2BD =11A D =Q ，2BD =，15A B AB ∴==，在Rt ABC △，223BC AB AC ∴=−=，延长AC ，使AC CM =，连接1C M ，由1111,CM AC CM AC =∥知四边形11ACMC 为平行四边形， 11C M A C ∴∥，1C M ∴⊥平面ABC ，又AM ⊂平面ABC ，1C M AM ∴⊥则在1Rt AC M △中，112,AM AC C M AC ==，2211(2)AC AC AC ∴=+ 在11Rt AB C △中，2211(2)AC AC AC =+，113B C BC == 2221(22)(2)(3)13AB ∴=++=又A 到平面11BCC B 距离也为1， 所以1AB 与平面11BCC B 131313=. 19. 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.（1）设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；【（2）实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m <m ≥对照组 实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d −=++++ 0k0.100 0.050 0.010()20P k k ≥2.7063.841 6.635【答案】（1）分布列见解析，()1E X = （2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能 【解析】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望； （2）（i ）根据中位数的定义即可求得23.4m =，从而求得列联表； （ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 【小问1详解】依题意，X 的可能取值为0,1,2，则022020240C C 19(0)C 78P X ===，120224010C C 20(1)C 39P X ===，202020240C C 19(2)C 78P X ===， 所以X 分布列为：X12P1978 20391978故192019()0121783978E X =⨯+⨯+⨯=. 【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为23.2，第21位数据为23.6， 所以23.223.623.42m +==，故列联表为：m <m ≥合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计202040（ii ）由（i ）可得，2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯−⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 20. 已知直线210x y −+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||415AB =（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，求MFN △面积的最小值． 【答案】（1）2p = （2）1282−【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；的（2）设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,,M x y N x y 利用0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，找到,m n 的关系，以及MFN △的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px−+=⎧⎨=⎩可得，2420y py p −+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==， 所以()()()222554415A B A B A B A B A B AB x x y y y y y y y =−+−=−=+−=即2260p p −−=，因为0p >，解得：2p =．【小问2详解】因为()1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零， 设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n⎧=⎨=+⎩可得，2440y my n −−=，所以，12124,4y y m y y n +==−， 22161600m n m n ∆=+>⇒+>，因为0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，所以()()1212110x x y y −−+=， 即()()1212110my n my n y y +−+−+=，亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++−++−=，将12124,4y y m y y n +==−代入得，22461m n n =−+，()()22410m n n +=−>，所以1n ≠，且2610n n −+≥，解得322n ≥+或322n ≤−． 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以211n d m−=+()()22222121212111616MN x x y y m y y m m n =−+−=+−=++()2222146116211m n n n m =+−++=+−，所以MFN △的面积()2221112111221n S MN d m n m −=⨯⨯=+−=−+，而322n ≥+322n ≤−，所以，当322n =−MFN △的面积(2min 2221282S =−=−．【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,m n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 21. 已知函数3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭（1）当8a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析. （2）(,3]−∞ 【解析】【分析】（1）求导,然后令2cos t x =,讨论导数的符号即可;（2）构造()()sin 2g x f x x =−,计算()g x '的最大值,然后与0比较大小,得出a 的分界点,再对a 讨论即可. 【小问1详解】326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x xf x a x'+=− 22244cos 3sin 32cos cos cos x x xa a x x+−=−=−令2cos x t =,则(0,1)t ∈则2223223()()t at t f x g t a t t'−+−==−= 当222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t'+−−+==== 当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即ππ,,()042x f x '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭. 当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即π0,,()04x f x '⎛⎫∈> ⎪⎝⎭.所以()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 【小问2详解】设()()sin 2g x f x x =−()22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t ''+−=−=−−=−−=+−+−设223()24t a t t t ϕ=+−+− 322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t tϕ'−−+−+=−−+==−> 所以()(1)3t a ϕϕ<=−. 1︒若(,3]a ∈−∞,()()30g x t a ϕ'=<−≤即()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()(0)0g x g <=. 所以当(,3],()sin 2a f x x ∈−∞<,符合题意.2︒若(3,)a ∈+∞ 当22231110,333t t t t ⎛⎫→−=−−+→−∞ ⎪⎝⎭,所以()t ϕ→−∞. (1)30a ϕ=−>.所以0(0,1)t ∃∈,使得()00t ϕ=,即00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x '=. 当()0,1,()0t t t ϕ∈>,即当()00,,()0,()x x g x g x '∈>单调递增.所以当()00,,()(0)0x x g x g ∈>=,不合题意.综上,a 的取值范围为(,3]−∞.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性cos t x =在定义域内是减函数,若00cos t x =,当()0,1,()0t t t ϕ∈>,对应当()00,,()0x x g x '∈>. 四、选做题在22. 已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ρθρθ+−=【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<， 令0x =，12cos t α=−，令0y =，21sin t α=−， 所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±， 即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ， 因为ππ2α<<，所以3π4α=． 【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=−，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x −=−−，即30x y +−=，由cos ,sin x y ρθρθ==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+−=． 23. 设0a >，函数()2f x x a a =−−．（1）求不等式()f x x <的解集；（2）若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】（1）,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）2【解析】【分析】（1）分x a ≤和x a >讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x a ≤,则()22f x a x a x =−−<,即3x a >,解得3a x >,即3a x a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x =−−<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【小问2详解】 2,()23,x a x a f x x a x a −+≤⎧=⎨−>⎩. 画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC V ,ABC V 的高为3,,0,,022a a a A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a , 所以211||222ABC S AB a a =⋅==V ,解得2a =.。
2023全国高考甲卷数学试题
2023全国高考甲卷数学试题2023全国高考甲卷数学试题一、选择题（共50小题，每小题4分）1. 设函数f(x)=3x^2-2x+1，则f(2)的值为多少？2. 若正整数a、b满足a+b=9，且a^2+b^2=45，求a和b的值。
3. 已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，则A∩B的元素个数为多少？4. 给定等差数列{an}，已知a1=1，d=3，an=25，则n的值为多少？5. 若a、b是正实数，且满足a/b=3/4，则a+b的值为多少？...二、填空题（共20小题，每小题4分）1. 锐角三角函数tanθ的定义域为（）。
2. 设等比数列{an}满足a1=2，r=3，则a3的值为（）。
3. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)与点B(1,-2)的连线所在直线的斜率为（）。
4. 设函数f(x)=ax^2+bx+1是奇函数，则a的值为（）。
5. 若根据某线性规律，6个螺母需要15分钟制作完成，则10个螺母需要（）分钟。
三、解答题（共6小题，每小题20分）1. 已知函数f(x)=2x^2-4x+3，求函数f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。
（此处为解答题的具体解法及计算步骤，文字描述和计算过程需清晰明了）2. 已知等差数列{an}满足a1=2，d=4，an=18，求n的值。
解：（此处为解答题的具体解法及计算步骤，文字描述和计算过程需清晰明了）3. 已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，求集合A与集合B的并集与交集分别是哪些元素。
解：（此处为解答题的具体解法及计算步骤，文字描述和计算过程需清晰明了）4. 已知函数f(x)=3x^2+2x-1，求函数f(x)的对称轴方程和顶点坐标。
解：（此处为解答题的具体解法及计算步骤，文字描述和计算过程需清晰明了）5. 汽车在一段平直路上行驶，开始时速度为20m/s，加速度恒定为2m/s^2。
求汽车行驶了多少时间后速度达到30m/s。
2023年全国甲卷数学高考试卷
选择题：1. 转动一个半径为3米的圆的角速度是3弧度/秒，求其线速度是多少？a) 3米/秒b) 6米/秒c) 9米/秒d) 18米/秒2. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长度是多少？a) 5b) 6c) 7d) 83. 以下哪个选项是对数函数的图像？a) 抛物线b) 直线c) 指数曲线d) 正弦曲线4. 以下哪个选项是二次函数的图像？a) 抛物线b) 直线c) 指数曲线d) 正弦曲线填空题：1. 解方程组：2x + 3y = 74x - 2y = 8答案：x = 2，y = 12. 求等差数列的前n项和：3, 6, 9, 12, ...答案：Sn = 1.5n^23. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 2 的极值点。
答案：极值点为(-1, 6) 和(2, -4)。
4. 已知正方形的边长为a，求其对角线的长度。
答案：对角线长度为a√2。
应用题：1. 在圆形花坛的周围铺一圈石板，石板的宽度为0.5米，圆形花坛的半径为2米。
求石板的总面积。
答案：石板的总面积为9.42 平方米。
2. 一个容器中有一定数量的水，每小时通过自动排水装置排水5升。
如果每小时供水8升，容器初始时满，问多久后容器将变为空？答案：容器将在8 小时后变为空。
3. 一个球从10米的高度自由落下，每反弹一次，都会回弹到原高度的一半。
求球总共经过的路程。
答案：球总共经过的路程为30 米。
4. 小明的父亲今年35岁，小明今年9岁。
每年，小明的父亲都比他大10岁。
问，几年后，小明的父亲年龄是小明年龄的两倍？答案：几年后，小明的父亲年龄是小明年龄的两倍是在3 年后。
2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)含答案解析
绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|x=3k+1,k∈Z}，B={x|x=3k+2,k∈Z}，U为整数集，则∁U(A⋃B)=( )A. {x|x=3k,k∈Z}B. {x|x=3k−1,k∈Z}C. {x|x=3k−2,k∈Z}D. ⌀2.若复数(a+i)(1−ai)=2，a∈R，则a=( )A. −1B. 0C. 1D. 23.执行下面的程序框图，输出的B=( )A. 21B. 34C. 55D. 89第1页，共18页4.向量|a⃗|=|b⃗⃗|=1，|c⃗⃗|=√ 2，且a⃗⃗+b⃗⃗+c⃗⃗=0⃗⃗，则cos〈a⃗⃗−c⃗⃗，b⃗⃗−c⃗⃗〉=( )A. −15B. −25C. 25D. 455.已知等比数列{a n}中，a1=1，S n为{a n}前n项和，S5=5S3−4，则S4=( )A. 7B. 9C. 15D. 306.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( )A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.17.“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的( )A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√ 5，其中一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，则|AB|=( )A. 15B. √ 55C. 2√ 55D. 4√ 559.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )A. 120B. 60C. 40D. 3010.已知f(x)为函数y=cos(2x+π6)向左平移π6个单位所得函数，则y=f(x)与y=12x−12的交点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 411.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，则△PBC的面积为( )A. 2√ 2B. 3√ 2C. 4√ 2D. 5√ 212.已知椭圆x29+y26=1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2=35，则|PO|=( )A. 25B. √ 302C. 35D. √ 352第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案学好高考数学的技巧高考数学题目的总结比较。
建立自己的题库。
多做。
主要是指做高考数学习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。
养成好的学习习惯，做好预习，把预习没看懂的东西，第二天上课着重听。
抓住课堂。
高考数学理科学习重在平日功夫，不适于突击复习。
高质量完成作业。
所谓高质量是指高正确率和高速度。
翻译：把中文翻译成为数学语言，包括：字母表示未知数、图像表示函数式或几何题目、概率语言等等。
该方法常用于函数，几何以及不等式等题目。
特殊化：在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目。
该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论。
盯住目标：把高考数学目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法。
在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用!各省高考用卷情况1、新高考一卷(8个省份)适用省份：山东、河北、湖北、福建、湖南、广东、江苏，浙江考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息技术等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省是综合改革3+3省份。
2、新高考二卷(3个省份)适用省份：海南、辽宁、重庆考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中辽宁、重庆两省市是3+1+2省份，海南是综合改革3+3省份。
3、全国甲卷(5个省份)适用省份：云南、贵州、四川、西藏、广西考试科目：语文、数学、外语、文综、理综特点：语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。
2023高考全国甲卷理科数学试题及解析(完整版)
2023高考全国甲卷理科数学试题及解析（完整版）高中必考重点知识点●不等式1、不等式你会解么?你会解么?如果是写解集不要忘记写成集合形式!2、的解集是(1，3)，那么的解集是什么?3、两类恒成立问题图象法——恒成立，则=?★★★★分离变量法——在[1，3]恒成立，则=?(必考题)4、线性规划问题(1)可行域怎么作(一定要用直尺和铅笔)定界——定域——边界(2)目标函数改写：(注意分析截距与z的关系)(3)平行直线系去画5、基本不等式的形式和变形形式如a，b为正数，a，b满足，则ab的范围是6、运用基本不等式求最值要注意：一正二定三相等!如的最小值是的最小值(不要忘记交代是什么时候取到=!!)一个非常重要的函数——对勾函数的图象是什么?运用对勾函数来处理下面问题的最小值是7、★★两种题型：和——倒数和(1的代换)，如x，y为正数，且，求的最小值?和——积(直接用基本不等式)，如x，y为正数，则的范围是?不要忘记x，xy，x2+y2这三者的关系!如x，y为正数，则的范围是?高中数学要怎么来学课前预习一个老生常谈的话题，也是提到学习方法必将的一个，话虽老，虽旧，但仍然是不得不提。
虽然大家都明白该这样做，但是真正能够做到课前预习的能有几人，课前预习可以使我们提前了解将要学习的知识，不至于到课上手足无措，加深我们听课时的理解，从而能够很快的吸收新知识。
记笔记这里主要指的是课堂笔记，因为每节课的时间有限，所以老师将的东西一般都是精华部分，因此很有必要把它们记录下来，一来可以加深我们的理解，好记性不如烂笔头吗，二来可以方便我们以后复习查看。
如果对课堂讲述的知识不理解的同学更应该做笔记，以便课下细细琢磨，直到理解为止。
课后复习同预习一样，是个老生常谈的话题，但也是行之有效的方法，课堂的几十分钟不足以使我们学习和消化所学知识，需要我们在课下进行大量的练习与巩固，才能真正掌握所学知识。
涉猎课外习题想要在数学中有所建树，取得好成绩，光靠课本上的知识是远远不够的，因此我们需要多多涉猎一些课外习题，学习它们的解题思路和方法，如果实在不能理解，可以问问老师或者同学。
2023高考全国甲卷数学试题
高考数学试卷一、单选题1.命题：00x ∃≤，20010x x -->的否定是（ ） A ．0x ∀>，210x x --≤ B ．00x ∃>，20010x x --> C ．00x ∃≤，20010x x --≤D ．0x ∀≤，210x x --≤ 2.已知函数2()24,()2x x f x e x g x x e -=+-=-，若12()()0f x g x +=，则12x x +=（ ）A.4B.3C.2D.13.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.255± B.255 C.55 D.55± 4．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（ ） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]5．下列函数中，既是偶函数又在区间(0),-∞上单调递增的是（ ）A ．2(1)f x x =B ．()21f x x =+C ．()2f x x =D ．()2x f x -= 6.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（ ）A ．向右平移4π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位7.定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ）8．设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ）A ．14 ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12 ,1⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3) 二、填空题 10.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°12.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_______三、解答题 13.已知函数()()21log 01+=>-ax f x a x 是奇函数 （1）求a 的值与函数()f x 的定义域；（2）若()232log g x x =-对于任意[]1,4x ∈都有()()22log >⋅g x g x k x ，求k 的取值范围.14.已知α、β是方程24420x mx m -++=的两个实根，设()22f m a β=+（1）求函数()f m 的解析式；（2）当m 为何值时，()f m 取得最小值？15.已知函数2()2sin cos 23sin 3(0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值。
2023年高考全国甲卷数学(理)真题
一、单选题二、多选题1. 已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是A ．6∶5B ．5∶4C ．4∶3D ．3∶22. 设正数，，满足，则下列关系中正确的是（ ）A．B．C．D．3. 已知实数,，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，则不等式的解集是（ ）A．B．C．D．6.已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）A．B．C．D．7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．是偶函数B ．1是的极小值点C ．3是的极大值点D．在区间内单调递增8. 已知，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）A．B．C．D．9. 已知双曲线的方程为，，分别为双曲线的左､右焦点，过且与x轴垂直的直线交双曲线于M ，N 两点，又，则（ ）A ．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方C ．双曲线的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列D ．双曲线上存在点，满足10. 在正方体中，分别为的中点，若过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面图形为三角形，则直线可以是（ ）A．B ．CE C．D．11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则函数的单调递减区间为B ．若，则函数在区间上的最大值为0C ．若，则2023年高考全国甲卷数学(理)真题2023年高考全国甲卷数学(理)真题三、填空题四、解答题D ．若，则12. 正三棱台中，，分别是和的中心，且，则（ ）A ．直线与所成的角为B ．平面与平面所成的角为C ．正三棱台的体积为D ．四棱锥与的体积之比为13. 若对任意，恒成立，则实数a 的取值集合为____________．14. 若的二项展开式中所有项的二项式系数和为64，则常数项为 ____（用数字作答）15. 若直线是曲线在处的切线，则实数______．16.已知等差数列的前n 项和为，且满足.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足，求数列的前项和.17. 已知具有相关关系的两个变量，之间的几组数据如下表所示：23456457109(1)求，；(2)根据上表中的数据，求出关于的线性回归方程；并估计当时的值.附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的.最小二乘估计公式分别为：，.注：根据上表所给数据可算出.18. 已知椭圆：的左、右顶点分别是双曲线：的左、右焦点，且与相交于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.19. 从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）：，记样本均值为，样本标准差为.(1)求；(2)将质量在区间内的零件定为一等品.①估计这台机器生产的零件的一等品率；②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P .20.在中，D为上一点，．(1)求；(2)求的面积．21.已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求周长的最大值.。
2023年全国高考数学甲卷试题
2023年全国高考数学甲卷试题2023年全国高考数学甲卷试题第一部分：选择题（共40分）1. 下列选项哪一个不是偶函数？A. $y = \sin x$B. $y = \cos x$C. $y = \tan x$D. $y = x^2$2. 已知 $\tan\alpha = \frac{3}{4}$，则 $\sin\alpha$ 的值为？A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{6}{7}$D. $\frac{8}{9}$3. 平面内一条直线的斜率为 $2$，与 $x$ 轴正方向成 $60^\circ$ 的角度，则它的解析式为？A. $y = -x\sqrt{3}+1$B. $y = x\sqrt{3}+1$C. $y = -2x\sqrt{3}+1$D. $y = 2x\sqrt{3}+1$4. 若 $a+b=3$，$a-b=1$，则 $2a^2+3ab-2b^2$ 的值为？A. $5$B. $6$C. $7$D. $8$5. 已知三边长分别为 $a,b,c$ 的三角形的周长为 $2$，则$\sin^2\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\sin^2\frac{C}{2}$ 的值为？A. $\frac{2}{3}$B. $\frac{3}{4}$C. $\frac{4}{5}$D. $\frac{5}{6}$第二部分：填空题（共25分）6. 若 $\alpha$ 为正角，则 $\sin\frac{\pi}{2}+\cos\alpha=$ _________。
7. 若 $\alpha$ 为锐角，则 $\sin\alpha >$ _________。
8. 已知 $\tan x = -\frac{1}{2}$，则 $\sin x\cos x =$ _________。
9. 若 $\sin\theta+\cos\theta=1$，则$\sin^2\theta+\cos^2\theta=$ _________。
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2023高考数学全国甲卷原卷
2023高考数学全国甲卷原卷
一、选择题（共40分，每小题2分，共20小题）
1. 设集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{2，4，6，8}，则集合A与集
合B的并集是（）
(A) {1,2,3,4,6,8} (B) {1,2,3,4} (C) {2,4} (D) {1,3,6,8}
2. 已知圆的半径为5cm，过圆心O作一条弦PQ，则弦PQ的长为（）
(A) 10cm (B) 5cm (C) 7.5cm (D) 8cm
3. 已知函数f（x）=a·x²+b·x+c，当x＝1时，f（x）＝4；当x＝2时，f （x）＝9；则常数a，b，c中的最大值为（）
(A) 3 (B) 4 (C) 2 (D) 1
...
二、填空题（共25分，每小题5分，共5小题）
1. 已知几何体的体积为120cm³，底面积为40cm²，求该几何体的高度
为__________cm。
2. 定义域为（-∞，+∞），当x<1时，f（x）=x²+3x；当x≥1时，f（x）=3x-2，则函数f（x）的解析式为__________。
...
三、解答题（共55分，共5小题）
1. 某商店原价100元的商品进行8折特价销售，若一天销售出去15件，销售额为多少元？
解：原价100元的商品进行8折特价销售，则售价为100×(1-0.8)=20元。
因此，销售额为15×20＝300元。
...
四、证明题（共30分，共2小题）
1. 设甲、乙两车同时从A地出发，朝B地行驶。
甲车时速为50km/h，
乙车时速为60km/h。
已知两车相距300km，若甲车比乙车出发时间晚
2小时，则乙车到达B地的时间是甲车到达B地时间的1.5倍。
求乙车
离B地还有多少公里时，甲车刚好到达B地？
证明：
设甲车到达B地的时间为t小时，则乙车到达B地的时间为1.5t小时。
...
五、应用题（共50分，共两个小题）
1. 某公司共有A、B、C三个部门，根据人数占比，划分奖金。
已知A
部门占总人数的1/3，B部门占总人数的1/4，C部门占总人数的3/10。
某次全公司的奖金总额为100万，根据人数占比，请帮助计算A、B、
C三个部门获得的奖金各是多少？
解：A部门获得的奖金为100万×（1/3）＝33.33万；
B部门获得的奖金为100万×（1/4）＝25万；
C部门获得的奖金为100万×（3/10）＝30万。
...
总结：本次2023高考数学全国甲卷原卷共有选择题、填空题、解答题、证明题和应用题五个部分，分别涵盖了基础知识、计算能力、解题能
力和综合应用能力。
希望考生们通过认真准备，能够在高考中取得优
异的成绩！。