图论与网络流理论

例1.1.3 设G是简单图，若,则G必有偶圈。
证明：设是G的最长路。
因为， 所以存在两个与相异的顶点与相邻。必都在路P上，否则会得到比P更长的路。无妨设。
若中有奇数，比如i是奇数，则路P上到的一段与边构成一个偶圈；
若都是偶数，则路P上到的一段与边及构成一个偶圈。证毕。
例1.1.4设G是简单图，若,则G中各个圈长的最大公因数是1或2。
（4）图G的直径(diameter): .
（5）简单图G中最短圈的长度称为图G的围长(girth)，最长圈的长度称为图G的周长(circumference)。
例1.1.2 设G是一个简单图，若，则G中必含有圈。
证明：设G中的最长路为。因，故存在与相异的顶点v与相邻。若，则得到比P更长的路，这与P的取法矛盾。因此必定，从而G中有圈。证毕。
[6] 王树禾，图论及其算法，中国科技大学出版社，1994。
[7] 殷剑宏，吴开亚，图论及其算法，中国科技大学出版社，2003。
考核方式：平时成绩＋期末闭卷笔试
第一章 图的基本概念
§1.1 图的基本概念
1. 图(graph)：一集元素及它们之间的某种关系。具体地说，图是一个二元组，其中集合V称为顶点集，集合E是的一个子集（无序对，元素可重复），称为边集。
证明：由上例知，G中有长分别为和的圈。若，三数有公因数，则，于是，这是不可能的。因此，三数的公因数必不超过2。从而各个圈长的最大公因数是1或2。证毕。
6. 二部图
二部图 (bipartite graph)：若图G的顶点集可划分为两个非空子集X和Y，使得任一条边都有一个端点在X中，另一个端点在Y中，则称G为二部图（或偶图），记为G＝，称为G的一个划分。
8. 图的同构
由前已知，同一个图有不同形状的图示。反过来，两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
可见和的顶点及边之间都一一对应，且连接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这样的两个图称为是同构的(isomorphic)。
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严格的数学定义如下。
定义1.1.1 两个图与，如果存在两个一一映射：
，，
使得对任意，都有且，则称图G与H同构。记为.
9. 图的矩阵表示
（1）关联矩阵
，
其中表示顶点与边关联的次数。
（2）邻接矩阵
，
其中表示顶点与相邻的次数。
例1.1.7
，。
可见：（1）M(G)和A(G)的元素是0，1或2。若G是简单图，则只有0和1；
第七章 网络流理论
有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割定理；求最大流的标号算法；最小费用流问题；最小费用最大流；网络流理论的应用。
主要参考书
[1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph theory with applications, 1976, 有中译本（吴望名等译）。
这便证明了G是一个二部图。 证毕。
7. 连通性
图中两点的连通：如果在图G中u，v两点有路相通，则称顶点u，v在图G中连通。
连通图（connected graph）：图G中任二顶点都连通。
图的连通分支（connected branch, component）：若图G的顶点集V(G)可划分为若干非空子集，使得两顶点属于同一子集当且仅当它们在G中连通，则称每个子图为图G的一个连通分支（）。
内容提要
第一章 图的基本概念
图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩阵与邻接矩阵。
路、圈与连通图；最短路问题。
树及其基本性质；生成树；最小生成树。
第二章 图的连通性
割点、割边和块；边连通与点连通；连通度；Whitney定理；可靠通信网络的设计。
第三章 匹配问题
匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配；指派问题与最大权匹配。
第四章 欧拉图与哈密尔顿图
欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问题。
第五章 支配集、独立集、覆盖集与团
支配集、点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念及其求法。
第六章 图的着色问题
点着色；边着色；平面图；四色猜想；色多项式；色数的应用。
三、Dijkstra算法
1. 算法思想
若路是从到的最短路，则必是到的最短路。基于这一原理，算法由近及远地逐次求出到其它各点的最短路。
下面通过例子说明具体做法。
பைடு நூலகம்
（1）令，，求到中最近点的最短路，结果找到。
（2）令，，求到中最近点的最短路。此时除了考虑到的直接连边外，还要考虑通过向的连边，即选取中一点使得
。(*)
结果找到。
一般地，若以及相应的最短路已找到。则可应用(*)式来选取新的，获得到的最短路。
2．算法实现－标号法
标号方法：
初始时，，，（）。然后算法逐步修改中顶点的标号。
第i步时，。
Dijkstra算法：
Step1. Let ，，（）， and 。
Step2. for every ，。Take such that 。Denote the vertex by , let 。
圈(cycle): 起点和终点相同的路。
注：
（1）途径（闭途径）、迹（闭迹）、路（圈）上所含的边的个数称为它的长度。
（2）简单图G中长度为奇数和偶数的圈分别称为奇圈(odd cycle)和偶圈(even cycle)。
（3）对任意，从x到y的具有最小长度的路称为x到y的最短路（shortest path），其长度称为x到y的距离(distance)，记为。
（13）图的补图(complement)：设G是一个图，以为顶点集，以为边集的图称为G的补图，记为。
定理1.1.1
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。
推论1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括0）。
4. 子图
子图(subgraph)：如果且，则称图H是G的子图，记为。
5. 路和圈
途径(walk)：图G中一个点边交替出现的序列。
迹(trail)：边不重的途径。
路(path): 顶点不重复的迹。
（注：简单图中的路可以完全用顶点来表示，）
闭途径（closed walk）：起点和终点相同的途径。
闭迹(closed trail)：起点和终点相同的迹，也称为回路（circuit）.
§1.2 最短路问题
一、赋权图
对图G的每条边e，赋以一个实数w(e)，称为边e的权。每个边都赋有权的图称为赋权图。
权在不同的问题中会有不同的含义。例如交通网络中，权可能表示运费、里程或道路的造价等。
设H是赋权图G的一个子图，H的权定义为＝，特别地，对G中一条路P，P的权为＝。
（7） 简单图(simple graph)
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）、边数
（10） 顶点v的度(degree)：d(v) = 顶点v所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图G的最大度：
图G的最小度：
（12）正则图(regular graph)：每个顶点的度都相等的图。
图论与网络流理论
（Graph Theory and Network Flow Theory）
讲授：高随祥
中科院研究生院专业基础课
学时/学分：60/3
本课程适合基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、概率论与数理统计各专业的硕士学位研究生作为专业基础课，也可供物理学、化学、天文学、地学、生物科学、计算机科学与技术、计算机软件、管理科学与工程以及通信、信号等学科专业的硕士研究生选修。主要讲授图论与网络流理论的基本概念、方法和定理，介绍该领域重要的问题以及典型的算法，展示图论与网络流模型及方法的广泛应用。为学习者将来从事有关方面的理论研究打下基础，也为进行应用性研究提供一种有力的工具。
完全二部图(complete bipartite graph)：在二部图中，若X的每个顶点与Y的每个顶点有边连接，则称G为完全二部图；若，，则记此完全二部图为。
定理1.1.2一个图是二部图当且仅当它不含奇圈。
证明： 必要性：设是二部图的一个圈。无妨设，由二部图的定义知，，，，一般地，，，（）。又因，故，因而k是奇数。注意到圈C上共有条边，因此是偶圈。
（2）A(G)是对称矩阵；
（3）M(G)中每列之和＝2；M(G)中第i行之和＝vi的度；
若G中无环边，则A(G)中第i行（列）之和＝M(G)中第i行之和＝vi的度。
图在计算机上处理时，可以以关联矩阵或邻接矩阵的形式存于计算机中。因邻接矩阵比关联矩阵小又是对称矩阵，故通常使用邻接矩阵的上三角部分。
注：（1）图G的连通分支是G的一个极大连通子图。
（2）图G连通当且仅当。
例1.1.5设有2n个电话交换台，每个台与至少n个台有直通线路，则该交换系统中任二台均可实现通话。
证明：构造图G如下：以交换台作为顶点，两顶点间连边当且仅当对应的两台间有直通线路。问题化为：已知图G有2n个顶点，且，求证G连通。
二、最短路问题
给定赋权图G及G中两点u, v，求u到v的具有最小权的路（称为u到v的最短路）。
注：赋权图中路的权也称为路的长，最短(u,v)路的长也称为u,v间的距离，记为d(u,v)。
最短路问题是一个优化问题，属于网络优化和组合优化的范畴。对这种优化问题的解答一般是一个算法。最短路问题有很多算法，其中最基本的一个是Dijkstra算法。
生成子图(spanning subgraph): 若H是G的子图且，则称H是G的生成子图。