小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解
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模型三 蝴蝶模型
(任意四边形模型)
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”): ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC 、BD 分成四个部
分,△AOB 面积为1平方千米,△BOC 面积为2平方千米,△COD 的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?
【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米,公园四边形ABCD 的面积是
123 1.57.5+++=平方千米,所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,
求:⑴三角形BGC 的面积;⑵:AG GC =?
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,123BGC S ⨯=⨯V ,那么6BGC S =V ;
⑵根据蝴蝶定理,()():12:361:3AG GC =++=. (???)
【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角
形BCD 的面积的1
3
,且2AO =,3DO =,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
【解析】 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:
⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH 垂直BD 于H ,CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==, ∴236OC =⨯=,
∴:6:32:1OC OD ==.
解法二:作AH BD ⊥于H ,CG BD ⊥于G . ∵13
ABD BCD S S ∆∆=, ∴13
AH CG =, ∴13
AOD DOC S S ∆∆=,
∴13
AO CO =,
∴236OC =⨯=,
∴:6:32:1OC OD ==.
【例 3】 如图,平行四边形ABCD 的对角线交于O 点,CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面
积依次是2、4、4和6。求:⑴求OCF △的面积;⑵求GCE △的面积。
【解析】 ⑴根据题意可知,BCD △的面积为244616+++=,那么BCO △和CDO ∆的面积都是
1628÷=,所以OCF △的面积为844-=;
任意四边形、梯形与相似模
型
⑵由于BCO △的面积为8,BOE △的面积为6,所以OCE △的面积为862-=,
根据蝴蝶定理,::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===,所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==, 那么11221233
GCE CEF S S ∆∆=
=⨯=+. 【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小
三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
【解析】 在ABE V ,CDE V 中有AEB CED ∠=∠,所以ABE V ,CDE V 的面积比为
()AE EB ⨯:()CE DE ⨯。同理有ADE V ,BCE V 的面积比为():()AE DE BE EC ⨯⨯。所以
有ABE S V ×CDE S V =ADE S V ×BCE S V ,也就是说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即6ABE S ⨯V =7ADE S ⨯V ,所以有ABE V
与ADE V 的面积比为7:6,ABE S V =
7392167⨯=+公顷,ADE S V =6
391867
⨯=+公顷。 显然,最大的三角形的面积为21公顷。
【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积
为 。
【解析】 连接AD 、CD 、BC 。
则可根据格点面积公式,可以得到ABC ∆的面积为:4
1122
+
-=,ACD ∆的面积为:331 3.52+
-=,ABD ∆的面积为:4
2132
+-=. 所以::2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ∆∆===,所以4412
3471111
ABO ABD S S ∆∆=
⨯=⨯=+. 【巩固】如图,每个小方格的边长都是1,求三角形ABC 的面积。
【解析】 因为:2:5BD CE =,且BD ∥CE ,所以:2:5DA AC =,525ABC S ∆=
+,510
277
DBC S ∆=⨯=. 【例 6】 (2007年人大附中考题)如图,边长为1的正方形ABCD 中,2BE EC =,CF FD =,求三
角形AEG 的面积.
【解析】 连接EF .
因为2BE EC =,CF FD =,所以1111
()23212
DEF ABCD ABCD S S S ∆=⨯⨯=W W .
因为12AED ABCD S S ∆=W ,根据蝴蝶定理,11
::6:1212
AG GF ==,
所以6613
677414
AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S ∆∆∆===⨯=W W .
所以1322
21477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S ∆∆∆=-=-==W W W ,
即三角形AEG 的面积是2
7
.
【例 7】 如图,长方形ABCD 中,:2:3BE EC =,:1:2DF FC =,三角形DFG 的面积为2平方厘
米,求长方形ABCD 的面积.
【解析】 连接AE ,FE .
因为:2:3BE EC =,:1:2DF FC =,所以3111
()53210
DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形.
因为12AED ABCD S S =V 长方形,11
::5:1210
AG GF ==,所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米,所以
12AFD S =V 平方厘米.因为1
6
AFD ABCD S S =V 长方形,所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米.
【例 8】 如图,已知正方形ABCD 的边长为10厘米,E 为AD 中点,F 为CE 中点,G 为BF 中点,
求三角形BDG 的面积.
【解析】 设BD 与CE 的交点为O ,连接BE 、DF .