追及问题的分类

追及问题的分类分析“追及”“相碰”问题时应注意： （1）分析“追及”、“相碰”问题时，一定要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．两个关系是时间关系和位移关系．其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。

因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有裨益．（2）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意被追上前该物体是否停止运动． （3）仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件4、解决追及和相碰问题大致分为两种方法，即数学方法和物理方法．求解过程中可以有不同的思路，例如考虑图象法等等． 例1、汽车正以10 m ／s 的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m ／s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m ／s 的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远?分析：汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车的速度，因此汽车和自行车之间的距离在不断缩小，当这个距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足题设的汽车恰好不碰上自行车的条件，所以本题要求的汽车关闭油门时离自行车的距离S ，应是汽车从关闭油门减速运动，直到速度与自行车速度相等时发生的位移。

汽车与自行车在这段时间内发生的位移自S 之差，如图所示．解法I ：汽车减速到4 m ／s 时发生的位移和运动的时间分别为m 76216100a 2v v S 22=⨯-=-=自汽汽 s a v v t 16410=-=-=自汽这段时间内自行车发生的位移 S 自 = v 自t= 4×l = 4 m ，汽车关闭油门时离自行车的距离 S=S 汽－S 自 = 7－4 = 3 m ．解法Ⅱ：利用v —t 图进行求解，如图所示，直线I 、Ⅱ分别是汽车与自行车的运动图线，其中划斜线部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多发生的位移，即为汽车关闭油门时离自行车的距离为图线I 的斜率即为汽车减速运动的加速度，所以应有m 362)410(a )v v (2)v v (2t)v v (S 2=⨯-=-⨯-=-=自汽自汽自汽评注：追及问题是运动学中较为综合且有实际意义的一类习题，它往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同．对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟悉运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景。

借助于v —t 图象来分析和求解往往可使解题过程简捷明了．例2、一小汽车从静止开始以3 m ／s 的加速度行驶，恰有一自行车以6 m ／s 的速度从车边匀速驶过．（1）汽车从开动后在追上自行车之前经多长时间后两者相距最远?此时距离是多少? （2）汽车什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少? 对设问（1）解法I ：汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车速度是定值，当汽车的速度还小于自行车的速度时，两者距离越来越大，当汽车的速度大于自行车的速度时，两者距离越来越小．所以当两车的速度相等时，两车之间距离最大．有 .)s (2av t ,v t a v ===⋅=自自汽 ).m (6432126at 21t v s 2=⨯⨯-⨯=-⋅=∆自解法Ⅱ：利用相对运动求解．以自行车为参考系，汽车追上自行车之前初速)/(6600s m v v v -=-=-=自汽，加速度)/(32s m v v a =-=自汽汽车远离自行车减速运动（与自行车对地运动方向相反），当末速为v t =0时，相对自行车最远．.)(236,00s a v t at v v t ==-==- ).(62,220202m av s as v v t -=-==- 负号表示汽车比自行车落后． 解法Ⅲ：极值法．设汽车在追上自行车之前经时间t 相距最远． .t 23t 6at 21t v s s s 22-=-⋅=-=∆自汽自 利用二次函数求极值条件知 当)s (2)23(26a2bt =--=-=时，△s 最大).(6223262max m s =⨯-⨯=∆ 解法Ⅳ：如图1所示，作出 v －t 图 设相遇前ts 两车速度相等， 6t a v =⋅=汽 即 3t =6 解得t =2s 时两车相距最远两车的位移差△s =⨯216×2 = 6 m图1对设问（2）解法I ：汽车追上自行车时，两车位移相等．2t a 21t v '='⋅自，代入数值得s t 4='， .s /m 1243t a v =⨯='⋅='汽解法II ：由图1知，t =2s 以后，若两车位移相等，即 v －t 图线与时间轴所夹的“面积”相等．由几何关系知，相遇时间为 t ′=4s ，此时s m v v /122==自汽例3、甲、乙两车相距s ，同时同向运动，乙在前面做加速度为1a 、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为2a 、初速度为0v 的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系．解法I ：由于2122021,21t a s t a t v s =+=乙甲，相遇时有s s s =-乙甲 则s t a t a t v =-+212202121，0)(210221=+--s t v t a a所以2121200)(2a a sa a v v t ---±=①①当21a a <时，①式t 只有一个正解，则相遇一次．②当21a a =时，甲v －乙v s t v t a t a t v ==-+=0212202121． 所以t v st 0⋅=只有一个解，则相遇一次． ③当21a a >时，若s a a v )(22120-<①式t 无解，即不相遇．若s a a v )(22120-=，①式t 只有一个解，即相遇一次，若s a a v )(22120->，①式t 有两个正解，即相遇两次．补充例题例1 汽车以10m/s运动,前方有一自行车以4m/s同向运动,汽车关闭油门做加速度大小6m/s2的减速,恰好不碰上自行车,求关闭油门时两车相距例2 甲,乙两车同时同地出发,甲以初速度16m/s,2m/s2匀减速,乙以初速度4m/s,1m/s2匀加速. （1)两车相距最远为多少(再次相遇前)（2)再次相遇时间例3 相距20m两小球A,B向同一直线向右运动,,A球以2m/s匀速直线,B球以-2.5m/s2加速度匀减速,问B球速度至少为多少时,恰好赶上A球例4 汽车以1m/s2加速度做匀加速直线运动,车后25m处有人同时以6m/s匀速追赶,问能否追上若追不上,人车间最小距离为多少课后练习1.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。

试求：（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？（2）什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？2.为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速为v=120 km/h,假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（反应时间）t=0.50 s，刹车时汽车受到的阻力大小Ff为汽车重力的0.40倍.该高速公路上汽车的间距s至少应为多少？取重力加速度g=10 m/s2.3.一列货车以28.8 km/h的速度在平直铁路上运行，由于调度失误，在后面600 m处有一列快车以72 km/h的速度向它靠近.快车司机发觉后立即合上制动器，但快车要滑行2000 m才停止.试判断两车是否会相碰.4.公共汽车从车站开出以4 m/s的速度沿平直公路行驶，2 s后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追赶，加速度为2 m/s2，试问：（1）摩托车出发后，经多少时间追上汽车？（2）摩托车追上汽车时，离出发处多远？（3）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少？参考答案：1.解析：解法一：汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度是定值。

当汽车的速度还小于自行车速度时，两者的距离将越来越大，而一旦汽车速度增加到超过自行车速度时，两车距离就将缩小。

因此两者速度相等时两车相距最大，有自汽v at v ==，所以，s a v t 2==自 m at t v s 622=-=∆自2.【解析】 本题中前方车辆突然停止，后车先做匀速运动（反应时间内），后做匀减速运动，若后车速度减为零时恰好运动到前车处，这种情况对应两车行驶时的最小距离，该最小距离就是前车停止后，后车匀速运动和匀减速运动的总位移. 根据牛顿第二定律求得后车刹车时的加速度大小为 a= =4 m/s2该高速公路上汽车间距至少为 s=vt+ =1.6×102 m3.两车速度相等恰追及前车，这是恰不相碰的临界情况，因此只要比较两车等速时的位移关系，即可明确是否相碰.因快车减速运动的加速度大小为： a= m/s2=0.1 m/s2.故快车刹车至两车等速历时： t= s=120 s.该时间内两车位移分别是：s 快=v 快t- at2=20×120 m- ×0.1×1202 m=1680 m s 货=v 货t=8×120 m=960 m因为s 快＞s 货+s0=1560 m,故两车会发生相撞.4.【解析】 开始一段时间内汽车的速度大，摩托车的速度小，汽车和摩托车的距离逐渐增大，当摩托车的速度大于汽车的速度后，汽车和摩托车的距离逐渐减小，直到追上.显然，在上述过程中，摩托车的速度等于汽车的速度时，它们间的距离最大. （1）摩托车追上汽车时，两者位移相等，即 v(t+2)= at2解得摩托车追上汽车经历的时间为 t=5.46 s（2）摩托车追上汽车时通过的位移为 s= at2=29.9 m（3）摩托车追上汽车前，两车速度相等时相距最远，即： v=at′ t′= =2 s 最大距离为 Δs=v(t ′＋2)- a t′2=12 m。