广州高考数列压轴题训练和分析

高考数列压轴题训练和分析

知识点：数列综合知识的整合；不等式的应用和证明

考点：高考数列压轴题

能力：逆向分析能力；知识积累

方法：启发式

难点重点：对不等式证明的感受，训练，积累

数列压轴题目：

一、通过递推公式,有的数列可以通过构造新数列的方法,构造出一个我们一个较熟悉的数列,从而求出通项公式。（这也是一种化归能力的体现）.

二、通过递推公式，有的数列题目虽不能求出通项公式,但我们可以研究其隐含的性质如单调性等来解决问题.

三、证明数列不等式的方法：

（1）放缩法：虽然技巧性较强,但多数均是一些常用的放缩手段.此类问题考查了学生的灵活性与分析问题及运用知识解决问题的能力.也正为此,这种类型的题目越来越受到高考命题者的青睐。

（2）数学归纳法

（3）反证法

（4）其他

四、不等式的放缩法证明：

（1）通过条件和结论感受放缩法的技巧和操作过程

（2）重点是方法和技巧的积累

（3）信心的积累也很重要

典型例题

例1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈ （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n

n

n b b b T a b +++==

21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n 对一切*N n ∈均成立的最大实数p .

例2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*

n N ∈，点,n S n n ⎛⎫ ⎪

⎝

⎭

都在函数()2n

a f x x x

=+

的图象上．

（Ⅰ）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；

（Ⅱ）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ），（4a ，5a ，6a ）

，（7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ，13a ），(14a ，15a ，16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）

；（21a ），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值；

（Ⅲ）设n A 为数列1n n a a ⎧⎫

-⎨⎬⎩⎭

的前n 项积，是否存在实数a ，使得不等式

31()2n n n a A a f a a

++<-

对一切*n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

例3、已知点列()0,n n x A 满足：1110-=∙+a A A A A n n ，其中N n ∈，又已知10-=x ，

111>=a x ，.

(1)若()()

*+∈=N n x f x n n 1，求()x f 的表达式； (2)已知点B

()0a ，，记()*∈=N n BA a

n n

，且n n a a <+1成立，

试求a 的取值范围； (3)设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求：a

a S n --<

21 。

例4、数列{}n a 满足11,2

a =11

2n n

a a +=

-． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；

（Ⅱ）设数列{n a }的前n 项和为n S ，证明2

ln()2

n n S n +<-．

例5、已知二次函数2()()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()f x ≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立，设数列｛n a ｝的前n 项和()n S f n =． （1）求函数()f x 的表达式；

(2) 设各项均不为0的数列｛n b ｝中，所有满足10i i b b +⋅<的整数i 的个数称为这个数列｛n b ｝的变号数，令1n n

a b a =-

（n N *

∈）,求数列｛n b ｝的变号数； （3）设数列｛n c ｝满足：1

1

1

n

n i i

i c a a

=+=

⋅∑，试探究数列｛n c ｝是否存在最小项？若存

在，求出该项，若不存在，说明理由．

例6、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1

n n a

S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21=

+n

n n

S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1

11

11n n n c a a +=

+

+-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：1

23

n T n >-．

例7、已知2

1

4)(x x f +

-=数列}{n a 的前n 项和为n S ，点)1,(1

+-n n n a a P 在曲线)(x f y =上)(*N n ∈且0,11>=n a a .

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）数列}{n b 的前n 项和为且n T 满足

381622

1

21--+=++n n a T a T n n

n n ，设定1b 的值使得数列}{n b 是等差数列；

（3）求证：*,1142

1

N n n S n ∈-+>.