人教版必修5.3.4 基本不等式(一)
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§3.4 基本不等式：ab≤a＋b
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(一)课时目标
1．理解基本不等式的内容及其证明；2．能利用基本不等式证明简单不等式．
1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”号)．
2．若a ，b 都为正数，那么当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中a ＋b 2
称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数． 3．基本不等式的常用推论
(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )；
(2)当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x
≤－2. (3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b
≤－2. (4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．
一、选择题 1．已知a >0，b >0，则a ＋b 2，ab ， a 2＋b 22，2ab a ＋b
中最小的是( )
A.a ＋b 2
B.ab
C. a 2＋b 22
D.2ab a ＋b
答案 D
解析 方法一 特殊值法．
令a ＝4，b ＝2，则a ＋b 2＝3，ab ＝8， a 2＋b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2ab a ＋b
最小． 方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b
≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22，可知2ab a ＋b 最小． 2．已知m ＝a ＋1a －2
(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m 答案 A 解析 ∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)1a －2 ＋2＝4， n ＝22－x 2<22＝4.∴m >n . 3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab <1 2 C ．ab 2 解析 ∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ≠b ，∴ab <1， 又∵a 2＋b 22>a ＋b 2 >0， ∴a 2＋b 22>1，∴ab <1 2 . 4．已知正数0 ( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案 D 解析 因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)，又0