人教版必修5.3.4 基本不等式(一)
高一数学必修五基本不等式
豁
然 2、注意公式的正用、逆用、变形使用。
开 3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三 朗 “等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光
彩。
小结：运用 ab a(ba0,b0)时要注意下面三条： 2
（1）一正：各项均为正数。
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”， 否则会出现错误。
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
大值__14__S_2__；
定 积
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 最
小值__2___P__.
大 ，
注意：①各项皆为正数；
一“正”
积
②和为定值或积为定值；二“定”
定
③注意等号成立的条件. 三“相等”
sixn
所以函数的6.最小值是
错。s因 in x为9
sin x
三相等
例 2 、若 x ,y 满 正 x 足 y 1 数 ,求 8 x的 y 最
解法 x 一 0,y： 0
xy2x即 y 2x y18
xy81
当且x仅 y当 9时取等号。
两个正数的和为定值，积有最大值。
利a 用 b2ab
你还有其他的解法吗？
例1：(3)有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作 为花圃的一边，可以省一部分材料，请发挥你的聪明才 智，用这36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园 的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 x +2 y= 36 矩形菜园的面积为S=xy m2
人教高中 数学 必修五 3.4 基本不等式教学设计
人教高中数学必修五 3.4 基本不等式教学设计《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。
就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。
本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。
基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。
本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)+≥∈。
a b ab a b R在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。
其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。
这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。
二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。
教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。
三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。
根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些国际数学家大会被誉为是数学界的奥林匹克盛会，每次大会上都会宣布菲尔兹奖获奖名单。
2022年高中数学第三章不等式4基本不等式第1课时练习含解析人教版必修
第1课时一、选择题1．函数f(x)＝的最大值为( ) A. B．C. D．1[答案] B[解析] 令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝＝.当t＝0时，f(x)＝0；当t>0时，f(x)＝＝.∵t＋≥2，∴0<≤.∴f(x)的最大值为.2．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( ) A．ab≤ B．ab≥C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3[答案] C[解析] ∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴b＝2－a(0≤a≤2)，∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1.∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A、B错误；a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2.∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C.3．设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( ) A. B．a2＋b2C．2ab D．a[答案] B[解析] 解法一：∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜，又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，∵1＝a＋b＞2，∴ab＜，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－＝，即a2＋b2＞.故选B.解法二：特值检验法：取a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝，∵＞＞＞，∴a2＋b2最大．4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( ) A．8 B．4C．1 D．[答案] B[解析] 根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥4.当a＝b＝时“＝”成立．故选B.5．设a、b∈R＋，若a＋b＝2，则＋的最小值等于( )A．1 B．3C．2 D．4[答案] C[解析] ＋＝(a＋b)＝1＋≥2，等号在a＝b＝1时成立．6．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是( )A．0 B．1C．2 D．4[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.二、填空题7．若0<x<1，则x(1－x)的最大值为________．[答案] [解析] ∵0<x<1，∴1－x>0，∴x(1－x)≤[]2＝，等号在x＝1－x，即x＝时成立，∴所求最大值为.8．已知t>0，则函数y＝的最小值是________．[答案] －2[解析] ∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．三、解答题9．已知x>0，y>0.(1)若2x＋5y＝20，求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)若lg x＋lg y＝2，求5x＋2y的最小值．[解析] (1)∵x>0，y>0，由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·.又∵2x＋5y＝20，∴20≥2·，∴≤，∴xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．由，解得.∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.这样u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u max＝1.(2)由已知，得x·y＝100，5x＋2y≥2＝2＝20.∴当且仅当5x＝2y＝，即当x＝2，y＝5时，等号成立．所以5x＋2y的最小值为20.10．求函数y＝的最小值，其中a>0.[解析] 当0<a≤1时，y＝＋≥2，当且仅当x＝±时，y min＝2.当a>1时，令＝t(t≥)，则有y＝f(t)＝t＋.设t2>t1≥>1，则f(t2)－f(t1)＝>0，∴f(t)在[，＋∞)上是增函数．∴y min＝f()＝，此时x＝0.综上，当0<a≤1，x＝±时，y min＝2；当a>1，x＝0时，y min＝.一、选择题1．设a、b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是( )A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2C.＋> D．＋≥2[答案] D[解析] a＝b时，A不成立；a、b<0时，B、C都不成立，故选D.2．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是( ) A．a2＋b2 B．2C．2ab D．a＋b[答案] D[解析] 解法一：∵0<a<1,0<b<1，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．3．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( ) A．x＝ B．x≤C．x＞ D．x≥[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤，等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B.4．(2013·山西忻州一中高二期中)a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是( )A. B．－C．1 D．－1[答案] A[解析] 由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.∴xy＝x(2－2x)＝≤×()2＝，等号成立时2x＝2－2x，即x＝，y＝1，∴xy的最大值为.二、填空题5．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．[答案] 6[解析] ＋≥2，∴2≤2，∴xy≥6.6．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是________．[答案] 1[解析] ∵x＜，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3＝3－≤3－2＝1，等号在5－4x＝，即x＝1时成立．三、解答题7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．[解析] 设一条直角边长为x cm，(0<x<10)，则另一条直角边长为(10－x)cm，面积s＝x(10－x)≤[]2＝(cm2)等号在x＝10－x即x＝5时成立，∴面积最大时斜边长L＝＝＝5(cm)．8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝×400＋k(2 000x)，依条件，当x＝400时，y＝43 600，可得k＝5%，故有y＝＋100x≥2＝24 000(元)．当且仅当＝100x，即x＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．。
人教版高中数学高二必修五 3.4.1利用基本不等式求最值
一、选择题1．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ≥4xyxy ＝4当且仅当x ＝y 时符号成立．答案：D2．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1解析：y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．答案：C3．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22ab ·2ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1且2ab ＝2ab 时，取等号．故1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4.答案：C4．(2011·重庆高考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是() A.72 B ．4C.92 D ．5解析：∵a ＋b ＝2，∴y ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2) ＝a ＋b 2a ＋4a ＋4b 2b ＝12＋b 2a ＋2a b＋2 ≥52＋2b 2a ·2a b ＝52＋2＝92当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立． 答案：C二、填空题5．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒定过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________． 解析：由题意得A (－2，－1)，∵A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0.即2m ＋n ＝1.又mn >0，∴m >0，n >0.1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2n m ·4m n ＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立． 答案：86．已知x ，y >0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为________． 解析：x ＋1x ＋y ＋1y ＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋y y＝3＋(y x ＋x y )≥3＋2＝5，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立． 答案：57．(2011·湖南高考)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)·(1x 2＋4y 2)的最小值为______． 解析：(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案：98．(2011·四川高考)若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋ xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．解析：x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝1，∴(x ＋y )2＝xy ＋1≤(x ＋y 2)2＋1. ∴34(x ＋y )2≤1. ∴x ＋y ≤23 3.当且仅当x ＝y ＝33时等号成立． 答案：233 三、解答题9．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x >－1，求y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值． 解：(1)2x ＋y ＝3(2x ＋y )3＝13⎝⎛⎭⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y＋4 ≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4x y 时等号成立，即y 2＝4x 2.∴y ＝2x .又∵1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43. ∴当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83.(2)∵x >－1，∴x ＋1>0. 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t ＋5＝9， 当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值为9.10．(1)已知x <－2，求函数y ＝2x ＋1x ＋2的最大值； (2)求y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值． (3)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围． 解：(1)∵x <－2，∴x ＋2<0，－(x ＋2)>0.∴y ＝2(x ＋2)＋1x ＋2－4＝－[－2(x ＋2)＋－1x ＋2]－4≤－2 －2(x ＋2)·－1x ＋2－4＝－22－4.当且仅当－2(x ＋2)＝－1x ＋2(x <－2)，即x ＝－2－22时，y 取最大值－22－4. (2)令t ＝x 2＋4，则y ＝f (t )＝t ＋1t ，由f (t )＝t ＋1t (t ≥2)的单调性，知y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上是增函数，∴t ＝2时，f (t )min ＝2＋12＝52， 即当x 2＋4＝2，也就是x ＝0时，y min ＝52. (3)∵a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立 ∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0.∴(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.又a >0，b >0，∴a ＋b ≥6.即a ＋b 的取值范围为[6，＋∞]。
人教版高一数学必修5 第三章《不等式》1
必修5 不等式不等关系与不等式知识点：1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<； ②,a b b c a c >>⇒>； ③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<； ⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ⑦()0,1nna b a bn n >>⇒>∈N ≥；⑧()0,2n n a b a b n n >>⇒>∈N ≥．【基础练习】1、已知a b >，c d >，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是( )A ．ad bc >B ．ac bc >C ．a c b d ->-D ．a c b d +>+ 2、下列命题中正确的是( )A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b < D ．若a b >，c d <，则a b c d> 3、下列命题中正确命题的个数是( )①若x y z >>，则xy yz >； ②a b >，c d >，0abcd ≠，则a bc d>； ③若110a b <<，则2ab b <； ④若a b >，则11b b a a ->-． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44、如果0a <，0b >，则下列不等式中正确的是( ) A ．11a b< B ．a b -< C ．22a b < D ．a b >5、下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．()2lg 1lg 2x x +≥ B ．212x x +> C ．2111x ≤+ D ．12x x+≥ 6、若a 、b 是任意实数，且a b >，则( )A ．22a b > B ．1b a < C ．()lg 0a b -> D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7、如果a R ∈，且20a a +<，那么a ，2a ，a -，2a -的大小关系是( ) A ．22a a a a >>->- B ．22a a a a ->>-> C ．22a a a a ->>>-D ．22a a a a >->>-8、若231x x M =-+，22x x N =+，则( )A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ≥N9、若2x ≠或1y ≠-，2242x y x y M =+-+，5N =-，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >NB ．M <NC ．M =ND ．M ≥N10、不等式①222a a +>，②()2221a b a b +≥--，③22a b ab +>恒成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311、已知0a b +>，0b <，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是( ) A ．a b b a >>->- B ．a b a b >->-> C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-12、给出下列命题：①22a b ac bc >⇒>；②22a b a b >⇒>；③33a b a b >⇒>；④22a b a b >⇒>．其中正确的命题是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④13、已知实数a 和b 均为非负数，下面表达正确的是( )A ．0a >且0b >B ．0a >或0b >C ．0a ≥或0b ≥D ．0a ≥且0b ≥14、已知a ，b ，c ，d 均为实数，且0ab >，c da b -<-，则下列不等式中成立的是( ) A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a b c d >D ．a bc d<15、若()231f x x x =-+，()221g x x x =+-，则()f x ，()g x 的大小关系是( )A ．()()f x g x <B ．()()f x g x =C ．()()f x g x >D ．随x 值的变化而变化 16、某一天24小时内两艘船均须在某一码头停靠一次，为了卸货的方便，两艘船到达该码头的时间至少要相差两小时，设甲、乙两船到达码头的时间分别为x ，y 时，且两船互不影响，则x ，y 应满足的关系是( )A ．200y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩B ．200x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩C ．200y x x y ->⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ D ．2024024y x x y ⎧-≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩17. 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示. 盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半. 设剩余酒的高度从左到右依次为1234,,,h h h h ，则它们的大小关系正确的是( ).(A )2h >1h >4h (B ) 1h >2h >3h (C ) 3h >2h >4h (D ) 2h >4h >1h 18. 右图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示(50，55；20，30；30，35)，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则 ( )(A )123x x x >> (B )1x >3x >2x (C )231x x x >> (D )231x x x >>19、某商场对顾客实行优惠活动，规定一次购物付款总额：①200元以内(包括200元)不予优惠；②超过200元不超过500元，按标价9折优惠；③超过500元其中500元按②优惠，超过部分按7折优惠，某人两次购物分别付款168元和423元，若他一次购物，应付款_______________元．20、某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是：语文不低于70分；数学应高于80分；语、数、英三科的成绩之和不少于230分．若张三被录取到该校，设该生的语、数、英的成绩分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 应满足的条件是____________________________． 21、用“>”“<”号填空：如果0a b c >>>，那么c a ________c b． 22、某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5％，蛋白质的含量p 应不少于2.3％，写成不等式组就是____________________．23、某中学对高一美术生划定录取控制分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 不低于380分，体育成绩z 不低于45分，写成不等式组就是____________________． 24、若0a b <<，且12a b +=，则12，a ，2ab ，22a b +中最大的是_______________． 25、a 克糖水中有b 克糖(0a b >>)，若再添进m 克糖(0m >)，则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式______________________．26、已知a 、b R +∈，且a b ≠，比较55a b +与3223a b a b +的大小．27、比较下列各组中两个数或代数式的大小： ⑴ 117+与153+； ⑵ ()()4422a b a b ++与()233a b +．28、已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--．29、若0,0a b >>，求证:22b a a b a b+≥+.30、已知a 、b 为正实数，试比较a b b a+与a b +的大小.31、已知22ππαβ-<<<，求αβ-的范围.32、已知 1260,1536a b <<<<，求a b -及ab的取值范围.33、若二次函数()y f x =的图象过原点，且()()112,314,f f ≤-≤≤≤求()2f -的取值范围.一元二次不等式及其解法知识点：1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x <有两个相等实数根122bx x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅ ∅【基础练习】1、不等式2654x x +<的解集为( ) A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭2、设集合{}12x x A =≤≤，{}0x x a B =-<，若A B ≠∅ ，那么实数a 的取值范围是( ) A ．()1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．[)1,+∞3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．R B ．()2,2- C ．()(),22,-∞-+∞ D ．[]2,2-4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是( )A ．6-B ．5-C ．6D ．55、不等式()221200x ax a a --<<的解集是( )A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a7、不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集是( )A ．[]1,10-B ．()[),110,-∞-+∞C ．RD ．(][),110,-∞-+∞8、不等式()()120x x --≥的解集是( )A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x x ≥≤或C ．{}12x x <<D ．{}12x x x ><或9、不等式()200ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么( )A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥10、设()21f x x bx =++，且()()13f f -=，则()0f x >的解集是( )A ．()(),13,-∞-+∞B ．RC ．{}1x x ≠ D ．{}1x x =11、若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是( ) A ．1a x a <<B ．1x a a <<C ．x a <或1x a >D ．1x a<或x a > 12、不等式()130x x ->的解集是( ) A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭13、二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：x3- 2- 1- 0 1 2 3 4y60 4- 6-6- 4- 06则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________．14、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________．15、不等式20a x b xc ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20a x b x c -+>的解集是________________________．16、不等式2230x x -->的解集是___________________________．17、不等式2560x x -++≥的解集是______________________________．18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________．19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________．20、不等式30x x +≥的解集为____________________． 21、求下列不等式的解集：⑴ ()()410x x +--<； ⑵ 232x x -+>； ⑶ 24410x x -+>．22、已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 、b 的值．23、已知集合{}290x x A =-≤，{}2430x x x B =-+>，求A B ，A B ．25、求函数()()124lg 2--+=x x x x f 的定义域.第 11 页 共 11 页 26、用一根长为m 100的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗? 当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大?27、已知0122>++mx mx 恒成立，求m 的范围.。
人教版必修5第三章第4节5.3.4基本不等式及应用
解：(1)由 x>0，y>0，lgx＋lgy＝1， 可得 xy＝10. 2 5 2y＋5x 2 10xy 则 ＋ ＝ ≥ ＝2. 10 10 x y ∴zmin＝2. 当且仅当 2y＝5x，即 x＝2，y＝5 时等号成立． 12 12 (2)∵x>0，∴f(x)＝ ＋3x≥2 · 3x＝12， x x
基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“一 正”是指各项均为正数； “二定”就是若积为定值则和有最小 值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号 成立的条件，这也是最容易出错的最值．
基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化， 使用基本 不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式， 往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)， 构造出基本不等式的形式再进行求解．
基本不等式及应用
马瑜崇
1．基本不等式
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件 a＋b ab≤ 2
a＋b 其中 2 为 a，b 的算术平均数， ab为几何平均数，基 本不等式可叙述为： ．
2．常用的几个重要不等式 (1)a2＋b2≥ b a (2) ＋ ≥ a b (3)ab a2＋b2 (4) 2 (5) (a，b∈R) (a，b 同号且不为零)
【思路启迪】 (1)利用 a＋b＝1 将要证不等式中的 1 代换， 即可得证． (2)用好 abc＝1 的条件，注意本题应用充分性、必要性两 方面来证． 【解析】 (1)证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
1 1 a＋b a＋b b a ∴ ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ a b a b a b ≥2＋2 ba 1 ·＝4(当且仅当 a＝b＝2时等号成立)． ab
1 1 ∴ ＋ ≥4.∴原不等式成立． a b
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
人教版数学必修5第三章第四节基本不等式
y
分析：
A
x
B
2 x y） min （1）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短： 知xy, 求（
2 x y） , 求xymax （2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：知（
解：设长为 x m,宽为 y m, (1)由题知， xy 100 ，而篱笆长为 2( x y) 由基本不等式知 x y
归纳总结
2 2 a b 2ab，当且仅当 a b 1、重要不等式：一般地，
时，等号成立。
2.基本不等式：若 a 0, b 0 ，那么就有a b 2 ab a b ，等且仅当 a b 时，等号成立。 即 ab
2
例1：
（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆所围成一个矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
3.4 基本不等式
温宿二中 曾艳萍
问题引入 如图，这是在北京召开的 第24届国际数学大会的会标， 会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使 它看上去像一个风车，代表中 国人民热情好客。
问题探索
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,则正 2 2 a b 方形的面积为S=————， 问2：Rt△AGB,Rt△BFC,Rt△CED,Rt△AHD 2ab 是全等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得， s > s’,即 a 2 + b2 > 2ab
2.已知直角三角形的面积等于50，两直角边各为多少时，两 直角边的和最小，最小值是多少？
x x0
人教版高中数学必修五3.4基本不等式(1)
课本P100 习题3.4 A组 第2、3题
2012年4月17日星期二
2012年4月17日星期二
分 析 法 ① ②
基本不等式
适用范围：
文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数.
2012年4月17日星期二
思考7：你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
D
A
a OC b B E
几何意义：半径不小于弦长的一半
2012年4月17日星期二
适用范围 文字叙述 “=”成立 条件 两数的平方和 不小于它们积 的2倍 两个正数的算术 平均数不小于它 们的几何平均数
2012年4月17日星期二
小结
2012年4月17日星期二
2、利用基本不等式求最值时，要注意 ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正” 二“定” 三“相等”Leabharlann 2012年4月17日星期二
2012年4月17日星期二
基本不等式
理论
重要不等式 基本不等式 三相等
方法
一正、二定、 和定积最大 积定和最小
b
G A F E C
a
H
B
2012年4月17日星期二
D b G F a H E B C A
D a
A
b E(FGH)
C
B 思考3：通过上面的探究，你能得出什么事实呢？
思考4：你能证明这个结论么？
2012年4月17日星期二
作差比较法
注意 1、适用范围： 2、文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
§3.4 基本不等式
第一课时
2012年4月17日星期二
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会 标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的 明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
基本不等式教学设计(王世艳)
黑龙江省七台河市第二中学王世艳教材：人教版高中数学必修5第三章一、教学内容解析本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。
在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。
二、教学目标设置1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。
三、学生学情分析对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。
四、教学策略分析在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。
在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点五、教学过程：（一）情景引入下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。
通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。
探究一：观察上面的会标。
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
高中数学 3.4基本不等式ab≤a+b2(一)导学案(无答案)新人教版必修5 学案
3.4 基本不等式ab ≤a ＋b 2（一） 学习目标理解基本不等式及证明；熟练运用基本不等式来比较大小；能运用基本不等式证明简单的不等式． 预习篇1．如果a ，b ∈R ，那么a2＋b22ab(当且仅当时取“＝”)．2．若a ，b 都为数，那么a ＋b 2ab(当且仅当ab 时，等号成立)，称上述不等式为不等式，其中称为a ，b 的算术平均数，称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a2＋b22 (a ，b ∈R)；(2)当x>0时，x ＋1x ≥；当x<0时，x ＋1x ≤. (3)当ab>0时，b a ＋a b ≥；当ab<0时，b a ＋a b≤.(4)a2＋b2＋c2ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R)． 4．当a>0，b>0且a≠b 时，a ＋b 2，ab ，21a ＋1b ，a2＋b22按从小到大的顺序排列为. 课堂篇探究点一 基本不等式的证明问题1 利用作差法证明：a ∈R ，b ∈R ，a2＋b2≥2ab.问题2 当a>0，b>0时，a ＝(a)2，b ＝(b)2.据此证明：a>0，b>0时，a ＋b≥2ab.探究 下面是基本不等式ab ≤a ＋b 2的一种几何解释，请你补充完整． 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于点D ，连接AD ，BD.由射影定理可知，CD ＝，而OD ＝，因为ODCD ，所以 a ＋b 2ab,当且仅当C 与O ，即时,等号成立．探究点二 当a>0，b>0时，21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a2＋b22这是一条重要的基本不等式链，请证明．典型例题例1 已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a2＋b2，其中最大的一个是( ) A ．a2＋b2 B ．2abC ．2ab D ．a ＋b例2 设a ，b ，c 都是正数，求证：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.例3 a>b>c ，n ∈M 且1a －b ＋1b －c ≥na －c ，求n 的最大值巩固篇1．若0<a<b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a>a ＋b 2>ab>bB ．b>ab>a ＋b2>aC ．b>a ＋b 2>ab>a D ．b>a>a ＋b 2>ab2．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．42C ．26D ．83．若不等式x2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值X 围是________．4．a ，b ，c ∈R ，求证：a2＋b2＋c2≥ab ＋bc ＋ca.。
3.4 基本不等式教案(14)2020-2021学年高一数学人教A版必修五第三章
§3.4 基本不等式（第一课时）【教材分析】基本不等式是人教版必修 5 第 3 章 第 4 节第一课时内容。
本节课的主要学习任务是通过研究赵爽“弦图”中的面积关系，寻找相等关系和不等关系为思路启发研究不等关系，培养学生直观想象能力。
并从重要不等式中观察、抽象出基本不等式, 多角度探究、理解与证明基本不等式。
探究基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,不等式的证明是本节课的核心部分,也是本节课的重点，其中利用基本不等式解决最值问题为本节课的难点。
【学情分析】网课期间，停课不停学，使用万彩动画制作和钉钉平台直播授课。
本节课的情感目标为培养学生的数学学习兴趣，也利用了几何画板动态演示，学生可以从中直观感知猜想出不等关系。
通过基本不等式的证明中让学生感受数形统一的辩证性。
对于应用基本不等式解决最值问题中引发学生思考，及知识应用的升华。
【设计思想】基本不等式是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。
因此对于本节课的教学内容，我从在北京召开的第24届国际数学家大会的会标引入新课，告诉学生会标源于中国古代数学家赵爽的“弦图”作出的设计，以个别提问为主研究基本不等式，引导学生观察“弦图”的构成，思考利用面积关系研究问题。
多角度证明重要不等式。
通过重要不等式，学生类比得到基本不等式。
引导学生分析基本不等式的几何解释，感受几何直观与代数证明的紧密结合时，让学生在探究学习的过程中体会获取知识的成功，享受学习的乐趣。
【教学目标】 一、知识与技能1.2a b+的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题； 2.通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；3.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题、解决问题的能力，并能进行简单应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.4 基本不等式：ab≤a＋b
2
(一)课时目标
1．理解基本不等式的内容及其证明；2．能利用基本不等式证明简单不等式．
1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”号)．
2．若a ，b 都为正数，那么当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中a ＋b 2
称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数． 3．基本不等式的常用推论
(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )；
(2)当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x
≤－2. (3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b
≤－2. (4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．
一、选择题 1．已知a >0，b >0，则a ＋b 2，ab ， a 2＋b 22，2ab a ＋b
中最小的是( )
A.a ＋b 2
B.ab
C. a 2＋b 22
D.2ab a ＋b
答案 D
解析 方法一 特殊值法．
令a ＝4，b ＝2，则a ＋b 2＝3，ab ＝8， a 2＋b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2ab a ＋b
最小． 方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b
≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22，可知2ab a ＋b 最小． 2．已知m ＝a ＋1a －2
(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．m ≤n
答案 A
解析 ∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)1a －2
＋2＝4， n ＝22－x 2<22＝4.∴m >n .
3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )
A ．1≤ab ≤a 2＋b 22
B ．ab <1<a 2＋b 2
2
C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 2
2
<ab <1 答案 B
解析 ∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ≠b ，∴ab <1，
又∵a 2＋b 22>a ＋b 2
>0， ∴a 2＋b 22>1，∴ab <1<a 2＋b 2
2
. 4．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是
( )
A ．a 2＋b 2
B ．2ab
C ．2ab
D ．a ＋b
答案 D
解析 因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)，又0<a <1,0<b <1，所以a －1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大．
5．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )
A.12
B ．b
C ．2ab
D ．a 2＋b 2 答案 B
解析 ∵ab <⎝⎛⎭
⎫a ＋b 22，∴ab <14，∴2ab <12. ∵a 2＋b 22>a ＋b 2>0，∴ a 2＋b 22>12
， ∴a 2＋b 2>12
. ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2
＝ab －a 2＝a (b －a )>0，∴b >a 2＋b 2，∴b 最大．
6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( )
A ．0
B ．－2
C ．－52
D ．－3 答案 B
解析 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立
⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎡⎦
⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x
≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2.
二、填空题
7．若a <1，则a ＋1a －1
有最______值，为________． 答案 大 －1
解析 ∵a <1，∴a －1<0，
∴－⎝⎛⎭
⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1
≤－1. 8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y
的最小值为________． 答案 2
解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x >0，y >0，
∴2x ＋5y ＝2x ＋x 2
≥2(x ＝2时取等号)． 9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4
＝1，则xy 的最大值为________． 答案 3
解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12
， ∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4
时取等号． 10．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞
解析 ∵x >0，∴x x 2＋3x ＋1
>0，易知a >0. ∴x 2＋3x ＋1x ≥1a
， ∴1a ≤x ＋1x
＋3. ∵x >0，x ＋1x ＋3≥2x ·1x
＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15
. 三、解答题
11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c
≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c 也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c
≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，
即bc a ＋ca b ＋ab c
≥a ＋b ＋c . 12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥n a －c
，求n 的最大值． 解 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. ∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c
， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c
. ∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，
∴n ≤
(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c
， ∴n ≤b －c a －b ＋a －b b －c ＋2. ∵
b －
c a －b ＋a －b b －c ≥2 (b －c a －b )·(a －b b －c
) ＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)．
∴n ≤4.∴n 的最大值是4. 能力提升
13．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2 答案 C
解析 只需求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，
又(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2 a ·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝y x
即可，所以(a )2＋2 a ＋1≥9，
即(a )2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4.
14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1.
求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c
. 证明 ∵1a ＋1b ≥2 1ab
＝2c ， 1b ＋1c ≥2 1bc
＝2a ， 1c ＋1a ≥2 1ac
＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，
即1a ＋1b ＋1c
≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，
∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c
.。