三角函数应用举例(1)仰角俯角

当堂反馈
3.如图，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰 角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=(4_0__3___1_.5_)_m （结果保留根号）．
4.如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角 是30∘,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是 45∘,已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是 _4_0__3_m(结果保留根号)
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处
A
观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角 为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
B
解：在△BCD中∠ACD=90° ,∠BDC=45°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
tan ADC AC DC
AC tan ADC DC
∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精
确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
AB 140°
C
E
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
∴△BDE 是RT△
∵ cos BDE DE
50°
BD
D
∴ DE=COS∠BDE×BD
cos50 520 0.64520 332.8
a
(3)边角之间的关系:
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3
（2）若∠B=60°，AC=3，则BC= 3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3tan
（4）若∠A=α°，BC=m，则AC= m
解：在图中，设∠POQ=a FQ是⊙O的切线，△FOQ是直
角三角形．
∵
COS a = OQ
OF
6400 = 6400+343
≈ 0.9491
a 18.36
F
∴ 弧PQ的长为 18.36 6400 2051 180
P Q
α
O·
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的 最远点距离P点约2051km
解决问题）
变式2： 站在一栋楼的顶端A处，看另一栋楼楼 顶的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60° ，这两栋楼间的水平距离为240m，楼BC有多高 ？（注：此题可以转化为变式1的解法）
当堂反馈
1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处， 观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为 45°，则船与观测者之间的水平距离BC=__10_0__米. 2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30 米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯 角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
3、选择合适三角函数值，使计算尽可能简单； 4、根据题目中的对精确度的要求保留，并注
明单位。
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
下课了!
28．2.2 应用举例（1） 仰角、俯角与解直角三角形
靳卯升 初三数学组
一复习引入
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
Ｂ
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
120 3 40 3 3
CD AD tan 120 tan 60
B
αD Aβ
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
C
160 3 277
答：这栋楼高约为277m
变式1：热气球的探测器显示，从热气球看一 栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯 角为60°，这栋楼高160 3m， 热气球与楼的 水平距离为多少米 ？ （注：至少用两种方法
A
C
从D看B的仰角是 ∠BDE .
水平线
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部
的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气
球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果
取整数）
分析：我们知道，在视线与水平线所
仰角
水平线
成的角中视线在水平线上方的是仰角
B
，视线在水平线下方的是俯角，因此
5.如图,某高速公路设计中需要测量某条江的宽度 AB,测量人员使用无人机测量,在C处测得A,B两点 的俯角分别为45∘和30∘.若无人机离地面的高度CD 为1200米,且点A,B,D在同一水平直线上,求这条江
的宽度AB长为___1_2_0_0（____3_-m1）(结果保留根号).
图3
6.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角 分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD 上，则树高AB=100( 3 1)m（结果保留根号）．
tan
B
┌
A
C
例题
例3： 2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫一号”
目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫一号”
在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行
到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球上表面
最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？（地球半
二、学习新知 （一）仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
如图，BCA=DEB=90，
FB//AC // DE，
F
B
从A看B的仰角是_∠__B_A_C_；
从B看A的俯角是 ∠FBA .
DE
从B看D的俯角是 ∠FBD ；
54°45°
D 40m
C
tan 54 40 1.38 40 55.2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：棋杆的高度为15.2m.
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另 一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，
径约为6 400km，π取3.142，结果取整数） 分析：从组合体中能直接看
到的地球上的点，应是视线
F
与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是 组合体的位置，FQ是⊙O的切 线，切点Q是从组合体中观测
P Q
α O·
地球时的 最远点． 的
长就是地面上P、Q两点间的距
离，为计算 的长需先求出
∠POQ（即a）的度数.
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
我的收获
模型一
模型二
A
B
模型三
C
A
D
Hale Waihona Puke Baidu
C

D
B
模型四
总结
1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示 意图中的什么元素对应，只有明确这些概念， 才能恰当地把实际问题转化为数学问题；
2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角 形；
，在图中，a=30°,β=60°
αD
Aβ
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求 俯角
出BD；类似地可以求出CD，进而
求出BC．
C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
tan a BD , tan CD
AD
AD
BD AD tan a 120 tan30