条件分布

fY ( y) f ( x, y)dx
y 0
1 1
x
dx
ln(1
y),
0,
已知边缘密度、 条件密度，求 联合密度
y y yx 1 y
o
x
y
0 y 1 其它
2、条件分布函数、条件概率与条件概率密度的关系：
称
x
f X Y
x y dx
x f x, y fY y dx 为在Y y
P{Y
1X
1}
P{ X 1,Y P{ X 1}
1}
0.010 , 0.045
P{Y
2
X
1}
P{ X 1,Y P{ X 1}
2}
0.005 , 0.045
即在 X 1的条件下,Y 的条件分布律为
Y k
012
P{Y k X 1} 6 2 1 999
同理可得在 Y 0 的条件下, X 的条件分布律为
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
P( A | B) P( AB) P(B)
推广到随机变量
设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值 的条件下，求X的概率分布.
这个分布就是条件分布.
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽
取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X 和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.
身高Y
体重X 的分布
体重X
身高Y 的分布
现在若限制 1.75<Y<1.8(米), 在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高 在1.75米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑 出的学生中求其体重的分布.
容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布 会不一样.
例如，在条件分布中体重取较大值的概率会显 著增加 .
P X m,Y n p 2 1 p n2 ( n=2,3, …; m=1,2, …, n-1)
(或者 m=1,2, …, n=m+1,…)
于是可求得：
当n=2,3, …时，
PX m Y n
联合分布
P{X m,Y n} P{Y n}
边缘分布
p2 (1 p)n2 (n 1) p2 (1 p)n2
01 2 3
P{ X k Y 0} 84 3
2
1
90 90 90 90
小结：离散型随机变量的条件分布律
1、求在 Y = yj条件下随机变量X的条件分布律. 先求 Y = yj边缘概率 再求在 Y = yj条件下，随机变量X在每一个取值的条件概率. 整理，列表表示.
2、在 Y = yj条件下随机变量X的条件分布律的表示形式： 3、在 Y = yj条件下随机变量X的条件分布律的性质。
一、离散型随机变量的条件分布
实际上是类第似一定章义讲在过X的=条xi 条件件概下率概念在另一种 形式下的重随复机. 变量Y 的条件分布律.
定义1 设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，对
于固定的 j，若 P{Y = yj } > 0，则称
P P{X= xi |Y= yj }=
X xi ,Y y j P Y yj
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
每次击中目标的概率为 p
不论m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都应等于 P{X=m,Y=n}=？
P X m,Y n p 2 1 p n2
由此得X和Y的联合分布律为
P X m,Y n p 2 1 p n2 ( n=2,3, …; m=1,2, …, n-1)
P X m,Y n p 2 1 p n2 ( n=2,3, …; m=1,2, …, n-1)
(或者 m=1,2, …, n=m+1,…)
Y的边缘分布律是：
n1
PY n P X m ,Y n m 1 n1 p2 (1 p)n2 m 1 (n 1) p2 (1 p)n2 ( n = 2,3, … )
0 y
oy
x
为此, 需求出 f X|Y ( x | y) 故对y >0, P{X>1|Y=y}
于是对 y>0,
f X |Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
ex y
y
,x
0
e x y 1y
dx
ex
y
1 e 1 y
P{X<1|Y=1／2}=？1 e2
设(X,Y)的概率密度是
YX 0 0 0.840 1 0.060 2 0.010
P{X i} 0.910
1 0.030 0.010 0.005 0.045
2 0.020 0.008 0.004 0.032
3 0.010 0.002 0.001 0.013
P{Y j}
0.900 0.080 0.020 1.000
(1) 求在 X 1的条件下,Y 的条件分布律 ; (2) 求在 Y 0 的条件下, X 的条件分布律 .
fY(y)
f (x, y)
x
类似地,可以定义
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
先找分母表达式 再找分子表达式 计算整理
分析：连续型随机变量的条件概率密度
f X|Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
y
确定在 Y = yj条件下随机变量X的条件概率密度.
1、先确定 Y = yj边缘概率密度 注意分母不能为0。
X k
01 2 3
P{ X k Y 0} 84 3
2
1
90 90 90 90
条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的
一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的 一切性质一样.
例如： P X xi Y y j 0 i=1,2, …
P X xi Y y j 1
i 1
检验： X k
2、在分母不为0的条件下，确定分子的表达式。
3、整理，统一表示出来.
fY(y)
f (x, y)
x
我们来解释一下定义的含义：
以
f X|Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
为例
PX xY y lim PX x y Y y 0PXxyYy
PX x, Py
yY Y y
y
x
x
y y
f
x, ydy dx
y y
fY ydy
f x, y 1 dx fY y 2
x
x
f x, y 1 dx
fY y 2
f x, ydx fY y
0
FX Y
x
y
PX
xY
y
x
f x, y fY y
dx
f
X
Y
x
y
d dx
FX
Y
x
y
f x, y fY y
例5 设(X,Y)的概率密度是
f
(x,
y)
ex
ye y
y
,
0 x ,0 y
0 ,
其它
求 P{X>1|Y=y}, P{X<1|Y=1／2}
由于
fY ( y)
f ( x, y)dx
e x y e y dx
y
0
ey
y [ ye x
y]
ey,
y
y
0
解 P X 1 Y y 1 f X |Y ( x | y)dx
1、条件概率密度
fX(x)
定义2 设 X 和 Y 的联合概率密度为 f x, y,
X ,Y 关于 Y 的边缘概率密度为 fY y ,若对于固定 y
的
y,
fY y 0, 则称
f x, y fY y
为在 Y
y
的条件下
X 的条件概率密度.记为
f X|Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
f
X
(
x)
1,
0,
0 x 1 其它
对于任意给定的值 x (0<x<1)，在X=x 的条件下，Y的 条件概率密度为
fY
|X
(
y
|
x)
1
1
x
,
0,
x y 1 其它
X 和Y 的联合密度为
f ( x, y) fX ( x) fY|X ( y | x)
1
1
x
,
0 x y 1
0, 其它
于是得Y的概率密度为
y
e
y,
x
0,
y
x
0, 其它
当 y 0 时,
fY y 0
fY
y
ye 0,
y
,
y y
0, 0.
y
y x
若 y 0或 y x,
fX Y
xy
0 ye y
0
y
综上 当 y 0 时,
fX Y
xy
e y,
0
第三节 条件分布
离散型随机变量的条件分布 连续型随机变量的条件分布 课堂练习
复习 边缘分布
1、已知联合分布函数，求边缘分布函数 FX ( x) F ( x, )
2、已知联合分布律，求边缘分布律
P{ X xi } Pi Pij j1
3、已知联合概率密度，求边缘概率密度
fX (x)
f (x, y)d y.
P{Y 0 X 1}
P{ X 1,Y 0} P{ X 1}