联合分布与边缘分布的关系

例2 一射手进行射击, 每次击中目标的概率为p(0<p<1), 射击到击中目标两次为止. 设以X 表示首次击中目标所进 行的射击次数, 以Y 表示总共进行的射击次数. 试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.
二、连续型随机变量的条件分布
【引言】在条件分布中,作为条件的随机变量的取值
是确定的数.但是当Y 是连续型r.v.时, 条件分布不能
( X ,Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , )
2 2
2 2 X ~ N ( 1 , 1 ), Y ~ N ( 2 , 2 )
【说明】 对于确定的1, 2, 1, 2, 当不同时, 对应了 不同的二维正态分布. 在下一章将指出, 对于二维正态 分布而言, 参数正好刻画了X和Y之间关系的密切程度.
P{Y y j X xi }
为在X xi条件下随机变量 Y 的条件分布律.
【说明】 ① 条件分布的本质是条件概率, 离散型r.v.X在{Y=yj}发 生的条件下的条件分布律, 就是在{Y=yj}发生条件下将 X每一个可能取值及取值的条件概率列出. ②条件分布律满足分布律的充要条件:
3.2 边缘分布
联合分布函数与边缘分布函数的关系
FX ( x) F ( x, ) ; FY ( y) F (, y).
由联合分布律求边缘分布函数
FX ( x ) F ( x , )
xi x j 1
p , F ( y ) F (, y ) p .
或
P{Y y j } P{ X xi Y y j }, P{Y y j } 0
i , j 1,2,
类似全概率公式(求边缘分布律)
P{ X xi } pij P{ X xi , Y y j }
j 1 j 1
P{ X xi Y y j } P{Y y j }, P{Y y j } 0, i 1, 2,
f ( x , y )d x.

fY ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y )


例5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
解
f X ( x)

f ( x, y) d y
1 2 1 2 1 2
e
( x ) ( y ) 2 ( y 2 )2 1 1 2 (1 2 ) 2 2 2 2(1 ) 2 1

1 2 1 2 1
2

( y 2 )2
1
2
1/28
0
0
求:Y=1时, X的条件分布律.
例1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子 中, 每盒可容球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为落入 2 号盒的球数，求 (1) 在Y = 0 的条件下，X 的条件分布律； (2) 在 X = 2 的条件下，Y 的条件分布律.
XY
存在, 则称此极限为在条件Y=y下, X的条件分布函数, 记作 P{ X x Y y } 或 F ( x y ).
P{ X x , y Y y } lim P{ X x y Y y } lim 0 0 P{ y Y y }
pi1
p• j
p•1

yj
pi•
p1 j
p11
p1•

pij

pi
•


p•
j

1


三、连续型随机变量的边缘概率密度
定义 对于连续型随机变量( X ,Y ), 设它的概率 密度为 f ( x , y ), 由于
FX ( x ) F ( x , ) [
6( y y ), 0 y 1, 得 fY ( y ) 0, 其他.
例6 设(X,Y)在区域 G {( x, y ) 0 x 1, y x} 上服从 均匀分布,求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度.
例7 设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y) 1 2σ1σ 2 1 ρ2
1 ( x μ1 )2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 )2 exp 2ρ 2 2 2 σ1 σ 2 σ2 2(1 ρ ) σ1
x , y ,
其中 μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ 都是常数, 且 σ1 0, σ 2 0, 1 ρ 1.
思考 边缘分布均为正态分布的随机变量, 其联合分布 一定是二维正态分布吗?
【结论】 联合分布
边缘分布
在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？
3.3 条件分布 问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人分别 , 用 X 和 Y 记此人的体重和身高则X 和 Y 都是随 , 机变量, 他们都有自己的分布 .
(1) P{ X xi Y y j }

pij p j
0, i 1, 2, ;

(2) P{ X xi Y y j }
i 1 i 1
1 p j p j
pij
p
i 1

ij

p j p j
1.
类似乘法公式(求联合分布律)
P{ X xi , Y y j } P{ X xi } P{Y y j X xi }, P{ X xi } 0
现在如果限制 Y 取值为1.5m , 在这个 限制下求 X 的分布 .
一、离散型随机变量的条件分布
定义 设 ( X , Y ) 是二维离散型随机变量, 对于固定
的 j , 若 P{Y y j } pij 0, 则称
i 1
P { X xi Y y j }
P { X xi , Y y j } P{Y y j }
用 P{ X x Y y }直接定义, 因为P{Y y} 0, 我们 只能讨论Y取值在y附近的条件下，X的条件分布. 定义 给定y, 对于任意固定的 0, P{ y Y y } 0. 若对于任意实数x, 极限
P{ X x , y Y y } lim P{ X x y Y y } lim 0 0 P{ y Y y }
ij
Y y j y i 1 ij


由联合概率密度求连续型r.v.的边缘分布函数
F ( x ) F ( x , ) x dx f ( x , y )dy X y FY ( y ) F ( , y ) dy f ( x , y )dx
j 1


P{Y y j } P{ ( X xi ), Y y j }
i 1

j 1
P{ X xi , Y y j } pij p j , j 1, 2, ...
i 1 i 1


联合分布律及边缘分布律
Y y1
X
x1
xi
2 2 2
e
e
( x 1 ) ( y 2 ) 1 2 2 (1 2 )
2
f ( x, y )
1 2 1 2 1
2

( y 2 )2
2 2 2
e

e
( x 1 ) ( y 2 ) 1 2 2 (1 2 )
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
由(X,Y)的联合分布律P{X＝xi,Y＝yj}＝pij，i,j＝1,2,…

P{ X xi } P{ X xi , (Y y j )}
j 1
P{ X xi , Y y j } pij pi , i 1, 2, ...
y y x
(1,1)
y x2
O
x
当 0 y 1 时,
y y x
● ●
(1,1)
fY ( y )

f ( x, y ) d x
y
y

y x2
O

6d x
x
6( y y ).
当 y 0 或 y 1时, fY ( y )

f ( x , y ) d x 0.


pij p j
, i 1, 2, ,
为在Y y j条件下随机变量 X 的条件分布律.
j 1
对于固定的 i , 若 P{ X xi } pij 0, 则称 P { X xi , Y y j } P { X xi } pij pi , j 1, 2, ,
y y x●
●
(1,1)
当 0 x 1 时,
f X ( x)

x x

f ( x, y) d y
O
y x
2
2 6d y
x
6( x x 2 ).
当 x 0 或 x 1时,
因而得
f X ( x)


f ( x , y ) d y 0.
6( x x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 其他. 0,
试求二维正态随机变量 的边缘概率密度.
f ( x, y )
1 2 1 2 1
2
e
( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 2 2 2 1 2 2(1 ) 1 2 1

j 1

P{Y y j } pij P{ X xi , Y y j }
i 1 i 1


P{Y y j X xi } P{ X xi },
i 1

P{ X xi } 0, j 1, 2,
类似逆概公式(求条件分布律)
t2 2
dt dt dx dx
1
dt
2 Y ~ N ( 2 , 2 )
1 1
2
dx
fY ( y )
1 2 2

( y 2 )2
2 2 2
dx 1 1 2 dt
【结论】二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态 分布, 并且都不依赖于参数. 即
x
f ( x , y ) d y ]d x ,
记
f X ( x)


f ( x, y ) d y,
称其为随机变量( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度 . 同理可得Y 的边缘概率密度
FY ( y ) F (, y )
y

f ( x, y ) d x d y,
2
2

1 2 1 2 1

2
( y 2 )2
2 2 2
e
e

t 2
令
( x 1 )
t

1

( y 2 ) 2
fY ( y )
1 2 2
f ( x , y ) dx
2 2 2
2
1 2

( y 2 )2
e

e


e
F ( x , y ) F ( x, y ) F ( x, y ) / y lim 0 FY ( y ) FY ( y ) / dFY ( y ) dy x
F ( x, y ) F ( x, y) lim 0 FY ( y ) FY ( y )
P { X xi Y y j } i 1, 2,
P{Y y j X xi } P{ X xi }
P{Y y
k 1

,
j
X xk } P { X xk }
【练习】已知(X,Y)的联合分布律
Y
X
0
0 3/28 1/14
1 9/28 5/14
2 3/28 0