3.1维随机变量的联合分布与边缘分布
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联合分布与边缘分布
变量 ( X ,Y )具有概率密度函数
z
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y)G
1 A
0, 其它
O
则称 ( X ,Y )在G上服从均匀分布.
x
z f ( x, y) y
G
边缘分布密度
fX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y)
f ( x, y)dx,
若对任意的 x, y, 有 f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
则称 X ,Y 相互独立.
y
y2
( x2 , y2 )
P{ x1 x x2 , y1 y y2 }
y1
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 )
O x1
x2 x
F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ).
图 2.
联合分布函数的性质：
(1) 0 F ( x, y) 1, 且 F (, y) 0, F ( x,) 0,
(3) 设 D 是 xOy 平面上的区域，点 ( X ,Y ) 落入 D 内
的概率为 P{( x, y) D} f ( x, y)dxdy D
(4) 若 f ( x, y) 在点( x, y) 连续，则有
2
F ( x, xy
y
)
f ( x, y).
注：
设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A.若二维随机
pij 满足下列性质：
(1) pij 0,1, j 1,2, ; (2)
pij 1.
ij
由 X 和 Y 的联合概率分布，
得边缘分布:
pi P{ X xi } pij ,i 1,2, j
概率论与数理统计第3章
试求常数a和b。
π F xlim F x a b 2 0 解： F lim F x a b π 1 x 2
1 1 a , b 2 π
P ( 2 4) P ( 2) P ( 2 4) 0.3 0.6 0.5 0.4
P ( 3) 1 P ( 3) 1 0.5 0.5
6
例3：设r.v. 的分布函数
F x a b arctan x
b a
因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。
5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征： ⑴ 曲线在x轴上方；
概率面积
y
f(x)分布曲线
⑵ 曲线于x轴之间的 面积是1。
x c o d
10
例4：设 的密度在[a,b]以外为0，在[a,b]内为
一常数 ，
， a x b f ( x) 0， 其它
x2 2
16
⑶ f(x)符合密度函数的两性质： ① f(x) > 0；②
f x d x 1。
x2 2
以标准正态分布为例， e
e d t e
t2 2 2 x2 2
d x 称为高斯积分。
dy
r2 2 0
从F(x)求f(x)： f x F x 从f(x)求F(x)： F x f t d t
x
9
4、对于连续型随机变量 ，
⑴ P a 0 ，即某指定点的概率为0； ⑵ Pa b Pa b
Pa b Pa b f x d x
《概率论》第2章§2.2 多维随机变量、联合分布列和边际分布列
则 X ,Y相互独立等价于 i, j 1有, 2,
P{X xi ,Y y j} P{X xi} P{Y y j}
甲袋中有 个红3 球 个白, 2球;乙袋中有 个红球4 5个白球.从 甲、乙两袋中各任取两球，记 X ,分Y 别表示取 到白球的个数，问 是X否,Y独立？
由于从两袋中取球是相互独立的过程，所以 X ,Y的取值是相互独立、互不相干的，故 X ,相Y 互独立.
§2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 12/13
设 (X ,的Y )分布律为
YX 1
23
1 1 / 8 a 1/ 24
2
b 1/ 4 1/8
a、b应满足什么条件？ 若 X ,独Y 立,求 a、. b
Q pij 1
i, j
a
b
1
(
1 8
1 24
1 4
18)
11 24
,
a
0, b
0
若 X ,相Y 互独立,则
2
0 1/ 8 1/12 1/16 13 / 48
3
0 0 1/12 1/16 7 / 48
4
0 0 0 1/16 3 / 48
pi. 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4
Q P{X 1,Y 1} 1 P{X 1} P{Y 1} 1 25
X ,Y不独立
4
4 48
第二章 离散型随机变量
2
34
pi 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 pj 第2二5 /章48离1散3型/ 4随8 机7变/ 4量8 3 / 48
§2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 9/13
A, B 相互独立
A, B 之间没有任何关系
P(AB) P(A)P(B)
P{X xi ,Y y j} P{X xi} P{Y y j}
甲袋中有 个红3 球 个白, 2球;乙袋中有 个红球4 5个白球.从 甲、乙两袋中各任取两球，记 X ,分Y 别表示取 到白球的个数，问 是X否,Y独立？
由于从两袋中取球是相互独立的过程，所以 X ,Y的取值是相互独立、互不相干的，故 X ,相Y 互独立.
§2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 12/13
设 (X ,的Y )分布律为
YX 1
23
1 1 / 8 a 1/ 24
2
b 1/ 4 1/8
a、b应满足什么条件？ 若 X ,独Y 立,求 a、. b
Q pij 1
i, j
a
b
1
(
1 8
1 24
1 4
18)
11 24
,
a
0, b
0
若 X ,相Y 互独立,则
2
0 1/ 8 1/12 1/16 13 / 48
3
0 0 1/12 1/16 7 / 48
4
0 0 0 1/16 3 / 48
pi. 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4
Q P{X 1,Y 1} 1 P{X 1} P{Y 1} 1 25
X ,Y不独立
4
4 48
第二章 离散型随机变量
2
34
pi 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 pj 第2二5 /章48离1散3型/ 4随8 机7变/ 4量8 3 / 48
§2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 9/13
A, B 相互独立
A, B 之间没有任何关系
P(AB) P(A)P(B)
联合分布与边缘分布的关系
联合分布与边缘分布的关系
目录
• 联合分布与边缘分布的定义 • 联合分布与边缘分布的应用场景 • 联合分布与边缘分布的实例分析 • 总结与展望
01
联合分布与边缘分布的定义
联合分布的定义
1
联合分布描述了随机变量之间的共同概率分布， 表示多个随机变量同时发生的概率。
2
联合分布函数通常用大写字母表示，例如F(x,y)， 表示随机变量X和Y的联合分布函数。
感谢您的观看
THANKS
的影响。
联合分布与边缘分布的关系
• 联合分布和边缘分布在描述随机变量之间的关系时具有互补性。联合分布描述 了多个随机变量的共同概率特性，而边缘分布描述了单个随机变量的概率特性。
• 当一个随机变量是其他随机变量的函数时，该随机变量的边缘分布可以通过对 联合分布进行积分得到。例如，如果X和Y是两个随机变量，且Y=g(X)，那么X 的边缘分布可以通过对X和Y的联合分布积分得到。
联合分布和边缘分布在二维正态分布中具有以下关系：联合分布的概率 密度函数是边缘分布概率密度函数的乘积，即f(x, y)=f(x)f(y)。
多维正态分布的联合分布与边缘分布
01
多维正态分布的联合分布表示多个随机变量的概率分布情况，其概率密度函数 由均值向量和协方差矩阵决定。
02
对于多维正态分布，其边缘分布是低维正态分布。对于每个随机变量，其边缘 分布的概率密度函数由该变量的均值和标准差决定，与其他变量的取值无关。
联合分布与边缘分布在金融领域的应用
风险评估
联合分布和边缘分布在金融领域 中用于评估投资组合的风险，例 如计算投资组合的预期收益和风 险。
资产定价
联合分布和边缘分布在资产定价 中用于确定资产的合理价格，例 如通 结构中用于分析市场交易行为和 市场价格形成机制。
目录
• 联合分布与边缘分布的定义 • 联合分布与边缘分布的应用场景 • 联合分布与边缘分布的实例分析 • 总结与展望
01
联合分布与边缘分布的定义
联合分布的定义
1
联合分布描述了随机变量之间的共同概率分布， 表示多个随机变量同时发生的概率。
2
联合分布函数通常用大写字母表示，例如F(x,y)， 表示随机变量X和Y的联合分布函数。
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THANKS
的影响。
联合分布与边缘分布的关系
• 联合分布和边缘分布在描述随机变量之间的关系时具有互补性。联合分布描述 了多个随机变量的共同概率特性，而边缘分布描述了单个随机变量的概率特性。
• 当一个随机变量是其他随机变量的函数时，该随机变量的边缘分布可以通过对 联合分布进行积分得到。例如，如果X和Y是两个随机变量，且Y=g(X)，那么X 的边缘分布可以通过对X和Y的联合分布积分得到。
联合分布和边缘分布在二维正态分布中具有以下关系：联合分布的概率 密度函数是边缘分布概率密度函数的乘积，即f(x, y)=f(x)f(y)。
多维正态分布的联合分布与边缘分布
01
多维正态分布的联合分布表示多个随机变量的概率分布情况，其概率密度函数 由均值向量和协方差矩阵决定。
02
对于多维正态分布，其边缘分布是低维正态分布。对于每个随机变量，其边缘 分布的概率密度函数由该变量的均值和标准差决定，与其他变量的取值无关。
联合分布与边缘分布在金融领域的应用
风险评估
联合分布和边缘分布在金融领域 中用于评估投资组合的风险，例 如计算投资组合的预期收益和风 险。
资产定价
联合分布和边缘分布在资产定价 中用于确定资产的合理价格，例 如通 结构中用于分析市场交易行为和 市场价格形成机制。
维随机变量的联合分布与边缘分布
边缘分布的求解方法
针对连续型和离散型随机变量，分别提出了边缘分布的求解方法，包 括积分法、求和法等，并通过实例验证了方法的有效性。
联合分布与边缘分布在统计推断中的应用
将联合分布与边缘分布的理论应用于统计推断中，如参数估计、假设 检验等问题，提高了统计推断的准确性和效率。
对未来研究的展望
• 高维随机变量的联合分布与边缘分布：随着数据维度的增加，高维随机变量的 联合分布与边缘分布研究将成为未来的重要方向，需要探索新的理论和方法来 解决高维数据的挑战。
PART 07
总结与展望
REPORTING
WENKU DESIGN
研究成果总结
联合分布与边缘分布的理论体系
本文构建了多维随机变量联合分布与边缘分布的理论框架，明确了两 者之间的关系和转化方法。
联合分布的性质
深入探讨了联合分布的性质，如联合分布的对称性、可加性、连续性 等，为实际应用提供了理论支持。
维随机变量的联合分 布与边缘分布
https://
REPORTING
• 引言 • 二维随机变量及其联合分布 • 边缘分布及其性质 • 条件分布及其性质 • 二维随机变量的独立性 • 二维随机变量函数的分布 • 总结与展望
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
二维随机变量函数的分布求法
01
分布函数法
首先求出(X,Y)的联合分布函数F(x,y)，然后通过Z=g(X,Y)的关系式求出
Z的分布函数G(z)。
02
概率密度函数法
若(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)ห้องสมุดไป่ตู้则可以通过Z=g(X,Y)的关系式求
出Z的概率密度函数h(z)。
针对连续型和离散型随机变量，分别提出了边缘分布的求解方法，包 括积分法、求和法等，并通过实例验证了方法的有效性。
联合分布与边缘分布在统计推断中的应用
将联合分布与边缘分布的理论应用于统计推断中，如参数估计、假设 检验等问题，提高了统计推断的准确性和效率。
对未来研究的展望
• 高维随机变量的联合分布与边缘分布：随着数据维度的增加，高维随机变量的 联合分布与边缘分布研究将成为未来的重要方向，需要探索新的理论和方法来 解决高维数据的挑战。
PART 07
总结与展望
REPORTING
WENKU DESIGN
研究成果总结
联合分布与边缘分布的理论体系
本文构建了多维随机变量联合分布与边缘分布的理论框架，明确了两 者之间的关系和转化方法。
联合分布的性质
深入探讨了联合分布的性质，如联合分布的对称性、可加性、连续性 等，为实际应用提供了理论支持。
维随机变量的联合分 布与边缘分布
https://
REPORTING
• 引言 • 二维随机变量及其联合分布 • 边缘分布及其性质 • 条件分布及其性质 • 二维随机变量的独立性 • 二维随机变量函数的分布 • 总结与展望
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
二维随机变量函数的分布求法
01
分布函数法
首先求出(X,Y)的联合分布函数F(x,y)，然后通过Z=g(X,Y)的关系式求出
Z的分布函数G(z)。
02
概率密度函数法
若(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)ห้องสมุดไป่ตู้则可以通过Z=g(X,Y)的关系式求
出Z的概率密度函数h(z)。
概率论第三章
若二维随机变量（ 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 ） 1 1 x − µ1 2 f (x, y) = exp{− ) 2 [( 2 2(1− ρ ) σ1 2πσ1σ2 1− ρ x − µ1 y − µ2 y − µ2 2 )( ) +( ) ]} − 2ρ( 其中
µ1, µ2,σ1,σ2, ρ
3.1.2、二维随机变量的联合分布函数 、 维随机变量的联合 联合分布函数
二维随机变量（ 二维随机变量（X,Y） ） ( X , Y )的联合分布函数 )的联合分布函数
一维随机变量X 一维随机变量 X的分布函数 的分布函数
F(x, y) = P(X≤ x,Y ≤ y) − ∞ < x, y < ∞
xi ≤3yj ≤2
求：F(3,2) = P(X≤ 3,Y ≤ 2) = ∑∑pij
1 1 1 1 = + 0+ 0+ + + 0 = 4 8 8 2
例２ 设随机变量 Y ~ E (1) ，随机变量
0 , 若Y ≤ k ( k = 1，） 2 Xk = 1 , 若Y > k 的联合概率分布列。 求 X 1 和 X 2 的联合概率分布列。
第三章 多维随机变量及其分布
到现在为止， 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量 及其分布. 及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来 描述还不够， 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述 在打靶时, 在打靶时,命中点的位置是由一 对随机变量(两个坐标)来确定的. 对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空 中的位置是由三个随 机变量(三个坐标） 机变量(三个坐标）来 确定的等等. 确定的等等.
1/ 4 x 1 1 解: (3)P( X < ,Y < ) = ∫0 [∫0 3xdy]dx 4 2
3_1随机向量的联合分布
x 0, y 0 其它
求 (1)k; (2)F(x,y); (3)P{0<X<1,0<Y<1}; (4) P{X+Y≤1}
解:（1）因为
0
f ( x, y )dxdy 1
所以
1
0
k e ( x y ) dxdy
0
) 2 k k e x dx e y dy k (e x |0 0
D
o
a
bx
(4) 点(X，Y)落在xoy的平面区域D内的概率为
P{( X , Y ) D} f ( x, y )dxdy
D
《概率统计》 返回 下页 结束
例3. 已知二维连续型随机向量（X, Y）的联合概率密度，
ke ( x y ) , f ( x, y ) 0,
1 F (2, 3) F (0, 3) F (2, 0) F (0, 0) 16
《概率统计》 返回 下页 结束
二、 二维离散型随机向量及其分布
1.定义 若随机向量（X，Y）所有可能取值为有限对或可列多对 时，则称（X，Y）为二维离散型随机向量. 2.（X，Y）的联合分布列(律) 若（X，Y）的所有可能取值为（xi , yj），i,j =1,2,…；且 取这些值时的概率表示为 pij=P { X = xi ,Y = yj }, (i,j =1,2,…) 则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律. 3.（X，Y）的联合分布律 pij 的性质 （1）pij≥0；i,j=1,2,…; (2)
x
下页 结束
一、二维随机向量的联合分布函数
1.定义 设(X，Y)为二维随机向量，x、y为两个任意实数，则称
【学习】第三章多维随机变量
fX(x)f(x,y)dy,
fY(y)f(x,y)dx
结 束
19
例1: 设 (X, Y) 的分布函数为：
F (x ,y ) a ( b arx ) c c (a ta ry n ) c,( t a x ,y n ) ,
2
2
试求 (1) a 、 b、c , (2) (X, Y ) 的概率密度.
x2 … xi … p21 … pi 1 … ┇…┇…
yj p1 j p2 j … pi j … ┇ ┇ ┇ …┇ …
( X, Y ) 的分布律的性质: (1) 非负性 pi j 0,
(2) 归一性 pi j 1
ij
结 束
10
( X, Y ) 的分布律
P {X x i,Y yj} p ij,i,j 1 ,2 ,
第三章 多维随机变量及其分布
结 束
1
到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述.
如: 在打靶时, 命中点的位置是由 一对随机变量(两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由 三个随机变量(三个坐标）来确定 的等等.
因而需进一步讨论由多个随机变量构成的随机向量. 其处理思路及方法与一维情形相同, 但形式较一维 复杂; 学习时应注意与一维情形的对照.
D的可能取值 为1, 2, 3, 4; F 的可能取值 为0, 1, 2 ;
再确定取值的概率,如: P{D1,F0}P{N1} 1/ 6,
P{D2,F1} P ( { N 2 }{ N 3 }{ N 5 } 3 / 6
等等.
可得D 和 F 的 联合分布律及 边缘分布律为:
FD 1 2 0 1/6 0 1 0 3/6
3_1多维随机变量的联合分布
1 1 0 1
(x,y)
0
1
4 xy , f ( x, y ) 0,
.
(2) 当0≤x≤1, y>1时,
F ( x, y )
x ;
2
F ( x, y )
x
f ( u , v ) dudv
0
x
1
4 uvdudv
0
(1) 当0≤x≤1, 0≤y≤1时,
F ( x, y )
《概率统计》 返回 下页 结束
三、二维连续型随机变量的联合密度 1.定义 设（X,Y）的分布函数为F(x, y)，如果存在非负可积函数 f(x, y)，使得对于任意实数x, y有
F ( x , y ) P{ X x , Y y}
f(x, y)
x y
f (u , v ) d u d v
①pij≥0，i,j=1,2,…;
《概率统计》 返回
②
p
i 1 j 1
ij
1.
下页
结束
4.（X,Y）的联合分布列常用表示形式 X Y
y1 p11
y2 … p12
yj …
x1
… p 1j …
x2
：
p21
：
p22
：
… p 2j …
：
xi
：
pi1
：
pi2 … pij …
： ：
5.（X,Y）的联合分布函数为
s2
2
]} ,
其中m1, m2, s1, s2, r均为常数，且s1＞0, s2 ＞0，|r|＜1，则称 (X,Y)服从参数为m1, m2, s1, s2, r的二维正态分布，记作
3-2连续型随机变量的联合分布和边际分布
0
x
1,
fX (x)
2x, 0 x 1 0, 其它.
当0 x 1,
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
1 2x
,
0,
x y x, 其它。
(3)
P(X
1 |Y
0)
P(X
1 ,Y 2
0)
2
P(Y 0) y
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
0
2
yx
11
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
G
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
例2 设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度
2e(2 x y) , x 0, y 0,
f (x, y) 0,
4o 对于任意 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 , 有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 ) 0.
y
(x1, y2) (x2, y2)
(x1, y1) (x2, y1)
x
证明 P{ x1 X x2 , y1 Y y2 } P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1, y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1} P{ X x1,Y y2 } P{ X x1,Y y1} 0, 故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 ) 0.
f (x, y)d y
联合分布函数与边缘分布函数的关系解读
yj}
pij , p• j
i 1, 2,L
,
为在Y
y
条件下随机变量
j
X
的条件分布律.
对于固定的 i, 若 P{ X xi } pij 0, 则称
j1
P{Y
yj
X
xi }
P{X xi ,Y yj } P{X xi }
pij , pi•
j 1, 2,L
分布, 并且都不依赖于参数.
即
(X
,Y
)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2
2
,
)
X
~
N
(
1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2Hale Waihona Puke ,2 2)
【说明】 对于确定的1, 2, 1, 2, 当不同时, 对应了
不同的二维正态分布. 在下一章将指出, 对于二维正态
分布而言, 参数正好刻画了X和Y之间关系的密切程度.
f (x, y)
1
2σ1σ2 1 ρ2
1
exp
2(1
ρ2
)
(
x
μ1 )2 σ12
2
ρ
(
x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
x , y , 其中 μ1, μ2 ,σ1,σ2 , ρ 都是常数,且 σ1 0, σ2 0, 1 ρ 1. 试求二维正态随机变量的边缘概率密度 .
概率论与数理统计第3章
22
y
(2)
{Y X } {( X ,Y ) G },
YX
G
O
P{Y X } P{( X ,Y ) G }
x
f ( x , y ) d x d y
G
0
( 2 x y ) d x y 2e d y
1 . 3
2e ( 2 x y ) , f ( x, y) 0,
(2)
p
i j
ij
1
二维离散型随机向量的联合分布函数为
xi x y j y
p
13
例1
一袋中装有2只白球 则( X , Y )的联合概率分布为 和3只黑球,进行有放 回取球 Y 0 1
X 0 1
1 第一次取出白球 X 0 第一次取出黑球 1 第二次取出白球 Y 0 第二次取出黑球
Y 的边缘概率密度.
25
3 x 3 e x0 边缘密度函数为 例6 求随机向量 (X,Y)的边缘分布函数和边缘密度函数， ( x) f X ( x ) FX x0 已知其联合分布函数为 0
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
9
三、边缘分布函数
( X , Y )为二维随机向量, 联合分布函数为F ( x, y)
X和Y分别也是随机变量 X , Y的分布函数分别记为 FX ( x)和FY ( y) FX ( x) P{ X x} P{ X x, Y } lim F ( x , y ) F ( x , )
4
二、联合分布函数的性质
设 ( X , Y ) 是二维随机向量, 对于任意实数 x , y , 二元函数 : F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P { X x , Y y } 称为二维随机向量 ( X , Y ) 的分布函数, 或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
y
(2)
{Y X } {( X ,Y ) G },
YX
G
O
P{Y X } P{( X ,Y ) G }
x
f ( x , y ) d x d y
G
0
( 2 x y ) d x y 2e d y
1 . 3
2e ( 2 x y ) , f ( x, y) 0,
(2)
p
i j
ij
1
二维离散型随机向量的联合分布函数为
xi x y j y
p
13
例1
一袋中装有2只白球 则( X , Y )的联合概率分布为 和3只黑球,进行有放 回取球 Y 0 1
X 0 1
1 第一次取出白球 X 0 第一次取出黑球 1 第二次取出白球 Y 0 第二次取出黑球
Y 的边缘概率密度.
25
3 x 3 e x0 边缘密度函数为 例6 求随机向量 (X,Y)的边缘分布函数和边缘密度函数， ( x) f X ( x ) FX x0 已知其联合分布函数为 0
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
9
三、边缘分布函数
( X , Y )为二维随机向量, 联合分布函数为F ( x, y)
X和Y分别也是随机变量 X , Y的分布函数分别记为 FX ( x)和FY ( y) FX ( x) P{ X x} P{ X x, Y } lim F ( x , y ) F ( x , )
4
二、联合分布函数的性质
设 ( X , Y ) 是二维随机向量, 对于任意实数 x , y , 二元函数 : F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P { X x , Y y } 称为二维随机向量 ( X , Y ) 的分布函数, 或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
3-1 离散型随机变量联合分布列和边际分布列
其联合分布与边缘分布如下表所示
X Y 0
1 2
0
1 27 1 9 1 9 1 27 8 27
1
1 9 2 9 1 9
2
1 9 1 9
3
1 27
p• j
8 27 4 9 2 9 1 27
0 0 0
1 27
0 0
2 9
3 pi•
0
4 9
1
解 (2)
P( X i,Y j ) P( X i) P(Y j X i)
3 2 3 8 3 P { X 1,Y 1} , 1 1 0 2 14 3 2 3 8 1 P { X 0,Y 2} , 0 2 0 2 28 3 2 3 8 9 P { X 1,Y 0} , 1 0 1 2 28 3 2 3 8 3 P { X 2, Y 0} . 2 0 0 2 28
i j i j
3 P ( X
xi ) pij pi . , P (Y yi ) pij p. j .
j 1 i 1
二、边际（边缘）分布列
定义 设二维离散型随机变量 ( X ,Y )的联合分布 P { X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,L . 律为
P( X i,Y j ) P( X i) P(Y j X i)
1 2 C j 1 C 3i 3 3 2
i 3 i 3i j
1 1 2
3i j
j 0,L,3 i; i 0,1,2,3;
X Y 0
1 2
0
1 27 1 9 1 9 1 27 8 27
1
1 9 2 9 1 9
2
1 9 1 9
3
1 27
p• j
8 27 4 9 2 9 1 27
0 0 0
1 27
0 0
2 9
3 pi•
0
4 9
1
解 (2)
P( X i,Y j ) P( X i) P(Y j X i)
3 2 3 8 3 P { X 1,Y 1} , 1 1 0 2 14 3 2 3 8 1 P { X 0,Y 2} , 0 2 0 2 28 3 2 3 8 9 P { X 1,Y 0} , 1 0 1 2 28 3 2 3 8 3 P { X 2, Y 0} . 2 0 0 2 28
i j i j
3 P ( X
xi ) pij pi . , P (Y yi ) pij p. j .
j 1 i 1
二、边际（边缘）分布列
定义 设二维离散型随机变量 ( X ,Y )的联合分布 P { X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,L . 律为
P( X i,Y j ) P( X i) P(Y j X i)
1 2 C j 1 C 3i 3 3 2
i 3 i 3i j
1 1 2
3i j
j 0,L,3 i; i 0,1,2,3;
§3.1 二维随机变量及其分布§3.2 边 缘 分 布
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第12页
例2 设连续型随机变量(X, Y)的概率密度函数为
ke ( x y ) , x 0, y 0 f ( x, y) 其它 0, 求(1) 常数k; (2) (X,Y)的分布函数F(x,y); (3) P{X>1,Y<1}
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第1页
多 维 分 布
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第2页
第3章
多维随机变量及其分布
引例: 1.炮弹落点的位置必须用两个坐标X和Y来描述； 2. 遗传学家在研究儿子的身高X与父亲身高Y、母 亲身高Z之间的关系时，需要同时考虑三个随机变量 X、Y和 Z 。 特点: 试验结果需要用两个或两个以上的随机变量 才能描述 。 定义 设E：Ω={ω} ，X1，X2，…，Xn是定义在Ω上 的n个随机变量，称随机变量组（X1，X2，…，Xn）为 定义在Ω上的n维随机变量或n维随机向量。
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第5页
3 . 二维分布函数F(x, y)的基本性质 (1) 0≤F(x,y)≤1； 对于任意固定的y，F(-∞, y)=0 ;
对于任意固定的x，F(x, -∞)=0 ;
F(-∞, -∞)=0，F(+∞, +∞)=1
(2) F(x, y)关于变量x和y均单调非减，且右连续；
1
2 3 4
1/4 1/8
0 0 0 1/8 0 0
1/12
1/12 1/12 0
1/16
1/16 1/16 1/16
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第9页
3.1.3 二维连续型随机变量(X, Y)及其分布 定义 设(X, Y)的分布函数为F(x, y)，如果存在非
[课件]概率与统计 3.1 二维随机变量及其分布
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d c (c , d )的长度 P {c X d } b a (a , b )的长度
借助于几何度量指标(长度, 面积, 体积等)
计算概率, 可建立 “几何概型” .
例3.1.6 例3.1.7
电子科技大学
联合分布
五.二维正态分布 定义 二维随机变量( X ,Y )的联合概率密 度为
1 e 2 x x 0 FX (x ) 其他 0
1 e FY ( y ) 0
3 y
y0 其他
电子科技大学
联合分布
联合分布函数的性质
1.单调不减性 F(x, y)分别对x , y单调不减.
当x1 x2 , F ( x1 , y ) F ( x2 , y ), y R；
(X , Y )的联合概率密度.
电子科技大学
联合分布
密度性质 1) f ( x , y ) 0;
这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准
2) f ( x , y )dxdy 1.
3) 若f ( x , y )在( x , y )处连续, 则 F ( x, y) f ( x, y) xy 4) 若G R 2 , 有
电子科技大学
联合分布
三.联合概率密度
定义 二维随机变量( X , Y )的联合分布函
数为F(x , y)，如果存在非负的函数f (x , y)使
得对任意实数对(x , y)，有
F ( x, y )
y
x
f (u, v )dudv
称(X ,Y )是连续型随机变量，称f (x , y ) 为
联合分布函数为
F ( x , y ) P{ X x ,Y y }
联合分布与边缘分布
fX (x)
f (x, y)d y
当 0 x 1时,
y y x
fX ( x)
f (x, y)d y
O
x
6d y 6( x x2 ). x2
(1,1)
y x2 x
四、边缘分布
当 x 0 或 x 1时,
y
(1,1)
y x
fX ( x)
记
一维随机变量X 离散型
X 的分布律为
k=1,2, … k=1,2, …
称之为二维离散型随机变量
的分布律,
或随机变量X和Y 的联合分布律.
二、二维离散型随机变量
也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.
二、二维离散型随机变量
二维离散型随机变量
的分布律具有性质
二维离散型随机变量
的联合分布函数为：
四、边缘分布
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为:
四、边缘分布
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为:
离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为:
四、边缘分布
X Y
x1 x2 xi
y1
f ( x, y)d y 0.
O
y x2 x
因而得
6( x x2 ), 0 x 1,
fX (x)
0,
其他.
四、边缘分布
当 0 y 1时,
y
(1,1)
fY ( y)
f (x, y)d x
y
维随机变量联合及边缘分布
y(3 2
2y
y2 ), 0
2
y
1,
0,
其他 .
例5：设 (X, Y) N (1, 2,1, 2, ) ,
求X和Y 的边缘概率密度。
解： 由
得
fX
( x)
f
( x,
y)dy，
fX (x)
1
e .
(
x 1
2
2 1
)
2
2 1
这说明： X
~
N
(
1,
2 1
)
；同理，
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
。
J 说明
概率论与数理统计 第八讲
主讲教师：张冬梅副教授 浙江工业大学理学院
第三章 随机向量
有些随机现象只用一个随机变量来描 述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。
例如：
1. 某人体检数据——血压X和心律Y；
2. 钢的基本指标——含碳量 X，含硫量 Y
和
3. 导硬弹度在空Z 中；位置——坐标 (X, Y, Z)。
布函数 (又称“联合分布函数”)F( x, y)，
其分量 X与Y 都是随机变量，有各自的分 布函数，分别记成 FX(x) 和 FY(y)，
分别称为X和Y的边缘分布函数。
注意:
X与Y的边缘分布函数实质上就是一维 随机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函 数是相对于 (X,Y) 的联合分布而言的。
求法:
pk 1.
k
离散型随机向量
(X, Y) 的联合
概 率分布:
P(X xi ,Y y j ) pij ,
i, j 1,2, ...
联合分布函数与边缘分布函数的关系解读.
例2 一射手进行射击, 每次击中目标的概率为p(0<p<1), 射击到击中目标两次为止. 设以X 表示首次击中目标所进 行的射击次数, 以Y 表示总共进行的射击次数. 试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.
二、连续型随机变量的条件分布
【引言】在条件分布中,作为条件的随机变量的取值
是确定的数.但是当Y 是连续型r.v.时, 条件分布不能
P{ X xi ,Y y j } pij pi• , i 1, 2, ...
j 1
j 1
P{Y y j } P{ U( X xi ),Y y j } i 1
P{ X xi ,Y y j } pij p• j , j 1, 2, ...
i 1
i 1
联合分布律及边缘分布律
或
P{Y yj } P{X xi Y yj }, P{Y yj } 0
i, j 1,2,L
类似全概率公式(求边缘分布律)
P{ X xi } pij P{ X xi ,Y y j }
j 1
j 1
P{ X xi Y y j } P{Y y j }, P{Y y j } 0, i 1, 2,L j1
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其他.
求边缘概率密度 fX ( x), fY ( y).
解
fX (x)
f (x, y)d y
当 0 x 1时,
y y x●
fX ( x)
f (x, y)d y
●
O
x
6d y x2
(1,1)
y x2
x
6( x x2 ).
当 x 0 或 x 1时,
联合分布、边缘分布、条件分布的关系
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第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量的联合分布与边缘分布 第二节 二维离散型随机变量 第三节 二维连续型随机变量 第四节 两个随机变量函数的分布 第五节 n维随机变量
引入
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
在实际应用中, 有些随机现象需要同时用两个或两个以上 的随机变量来描述.
F(,) 0; F(,) 1. 3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即
F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.
4) F( x2 , y2 ) F x2 , y1) F( x1, y1) F( x1, y2 ) 0.
x 2 2
arctan
y 5
1 arctan x 1 arctan y
2
2 2
5
FX xFY y
所以X 与Y 是相互独立的随机变量
四、小 结
一 二维随机变量的定义 二 二维随机变量的分布函数 三 边缘（概率）分布
即 FX ( x) F ( x, ) 同理可得 FY ( x) F(，y)
定义 设 F( x, y)及 FX ( x) , FY ( y) 分别是二维随机变 量 ( X, Y ) 的分布函数及边缘分布函数。若对
于所有 x, y 有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y} 即 F( x, y) FX ( x)FY ( y)
定义：X和Y的概率分布分别称为（X,Y）关于X 或Y 的边缘（概率）分布
思考:
二者之间有什么关系呢?
可以相互确定吗？
先看如何由联合分布来确定两个边缘分布
边缘分布函数可以由 (X,Y) 的分布函数 F( x, y) 确定。 事实上，FX ( x) P{X x} P{X x,Y } F( x, )
2 2
arctan
y 5
1 arctan x
2
2
x ，
Y 的边缘分布函数为
FY y
lim Fx，
x
y
1
lim
x
2
2
arctan
x
2 2
arctan
y 5
1
2
arctan
y 5
y ，
所以，对于任意的实数x， y，有
F x，
y
1 2
2
arctan
Fx， y PX x， Y y
是 x， y的函数．我们称此函数为二维随机变 量X， Y 的分布函数.
2.二元分布函数的几何意义
二 元 分 布 函 数 的 几 何 意义 是 ：
F x， y 表 示 平 面 上 的 随 机 点X， Y 落 在 以 x， y 为 右
上 顶 点 的 无 穷 矩 形 中 的概 率 ．
第一节 二维随机变量的联合分布与边缘分布
一 二维随机变量的定义 二 二维随机变量的分布函数 三 边缘（概率）分布 四 小结 思考题
一、二维随机变量的定义
1.定义:
设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 ()
设 X X () 和 Y Y () 是定义在 上的随机变
量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ,叫做二维随 机向量，或二维随机变量。
上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何 二维随机变量的分布函数都具有这四条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数具有这四条性 质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）．
三、边缘（概率）分布
二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值 及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率 分布. 1.边缘（概率）分布
例如：在打靶时,命中点的位置是由一 对r.v(两个坐标)来确定的.
例如： 研究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要同时 抽查儿童的身高X, 体重Y, 这里, X和Y是定义在同一个 样本空间S={某地区全部学龄前儿童}上的两个随机变量.
在这种情况下, 我们不但要研究多个随机变量各自的统 计规律, 而且还要研究它们之间的统计相依关系, 因而 还需考察它们联合取值的统计规律, 即多维随机变量的 分布.
则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。
例i 设二维随机变量X， Y 的联合分布函数为
F x，
y
1
2
2
arctan
x
2 2
arctan
y 5
x ， y
试判断X 与Y 是否相互独立？
解：X 的边缘分布函数为
FX x
lim Fx，
y
y
1
lim
y
2
2
arctan
x
3.分布函数具有以下的基本性质：
1) F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y , 当 x1 x2 时，F(x1, y) F(x2, y); 对于任意固定的 x , 当 y1 y2 时，F(x, y1) F(x, y2 );
2) 0 F( x, y) 1, 且 对于任意固定的 Y , F (, y) 0; 对于任意固定的 X , F( x,) 0;
注:
⑴ 二维随机变量也称为二维随机向量；
⑵ 我们应把二维随机变量
X， Y X ， Y
看作一个整体，因为X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在 几 何 上 ， 二 维 随 机 变量 X， Y 可 看 作 平 面 上
的随机点．
二、二维随机变量的分布函数
1.定义
设X， Y 是一个二维随机变量，则对于任意一对 实数x， y，
第一节 二维随机变量的联合分布与边缘分布 第二节 二维离散型随机变量 第三节 二维连续型随机变量 第四节 两个随机变量函数的分布 第五节 n维随机变量
引入
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
在实际应用中, 有些随机现象需要同时用两个或两个以上 的随机变量来描述.
F(,) 0; F(,) 1. 3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即
F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.
4) F( x2 , y2 ) F x2 , y1) F( x1, y1) F( x1, y2 ) 0.
x 2 2
arctan
y 5
1 arctan x 1 arctan y
2
2 2
5
FX xFY y
所以X 与Y 是相互独立的随机变量
四、小 结
一 二维随机变量的定义 二 二维随机变量的分布函数 三 边缘（概率）分布
即 FX ( x) F ( x, ) 同理可得 FY ( x) F(，y)
定义 设 F( x, y)及 FX ( x) , FY ( y) 分别是二维随机变 量 ( X, Y ) 的分布函数及边缘分布函数。若对
于所有 x, y 有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y} 即 F( x, y) FX ( x)FY ( y)
定义：X和Y的概率分布分别称为（X,Y）关于X 或Y 的边缘（概率）分布
思考:
二者之间有什么关系呢?
可以相互确定吗？
先看如何由联合分布来确定两个边缘分布
边缘分布函数可以由 (X,Y) 的分布函数 F( x, y) 确定。 事实上，FX ( x) P{X x} P{X x,Y } F( x, )
2 2
arctan
y 5
1 arctan x
2
2
x ，
Y 的边缘分布函数为
FY y
lim Fx，
x
y
1
lim
x
2
2
arctan
x
2 2
arctan
y 5
1
2
arctan
y 5
y ，
所以，对于任意的实数x， y，有
F x，
y
1 2
2
arctan
Fx， y PX x， Y y
是 x， y的函数．我们称此函数为二维随机变 量X， Y 的分布函数.
2.二元分布函数的几何意义
二 元 分 布 函 数 的 几 何 意义 是 ：
F x， y 表 示 平 面 上 的 随 机 点X， Y 落 在 以 x， y 为 右
上 顶 点 的 无 穷 矩 形 中 的概 率 ．
第一节 二维随机变量的联合分布与边缘分布
一 二维随机变量的定义 二 二维随机变量的分布函数 三 边缘（概率）分布 四 小结 思考题
一、二维随机变量的定义
1.定义:
设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 ()
设 X X () 和 Y Y () 是定义在 上的随机变
量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ,叫做二维随 机向量，或二维随机变量。
上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何 二维随机变量的分布函数都具有这四条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数具有这四条性 质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）．
三、边缘（概率）分布
二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值 及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率 分布. 1.边缘（概率）分布
例如：在打靶时,命中点的位置是由一 对r.v(两个坐标)来确定的.
例如： 研究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要同时 抽查儿童的身高X, 体重Y, 这里, X和Y是定义在同一个 样本空间S={某地区全部学龄前儿童}上的两个随机变量.
在这种情况下, 我们不但要研究多个随机变量各自的统 计规律, 而且还要研究它们之间的统计相依关系, 因而 还需考察它们联合取值的统计规律, 即多维随机变量的 分布.
则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。
例i 设二维随机变量X， Y 的联合分布函数为
F x，
y
1
2
2
arctan
x
2 2
arctan
y 5
x ， y
试判断X 与Y 是否相互独立？
解：X 的边缘分布函数为
FX x
lim Fx，
y
y
1
lim
y
2
2
arctan
x
3.分布函数具有以下的基本性质：
1) F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y , 当 x1 x2 时，F(x1, y) F(x2, y); 对于任意固定的 x , 当 y1 y2 时，F(x, y1) F(x, y2 );
2) 0 F( x, y) 1, 且 对于任意固定的 Y , F (, y) 0; 对于任意固定的 X , F( x,) 0;
注:
⑴ 二维随机变量也称为二维随机向量；
⑵ 我们应把二维随机变量
X， Y X ， Y
看作一个整体，因为X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在 几 何 上 ， 二 维 随 机 变量 X， Y 可 看 作 平 面 上
的随机点．
二、二维随机变量的分布函数
1.定义
设X， Y 是一个二维随机变量，则对于任意一对 实数x， y，