第二节边缘分布3-2-课件

P{X=1,
Y=1}
Hale Waihona Puke Baidu
3 1
1 2
1 2
2
=3/8
XY 0
P{X=2,
Y=1}
3 2
1 2
2
1 2
=3/8
1 2
P{X=3, Y=0} 1 23 1 8 .
3
13
0 18 38 0 38 0 0 18
P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8,
P{X=1}=P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8,
2
3
由以上三 A式 12， B 可 2得 ， C ， 2．
⑵．X 的边缘分布函数为
FXxyl im Fx，y
yl im 122arct2xan2arct3yan 1 2 arc 2 x t, a xn ，
同理，Y 的边缘分布函数为
FY y
lim Fx，
x
y
1
lim
x
2
例 1设二维X 随 ， Y机 的变 联量 合分
Fx， yABarcxtaCn arcytan
2
3
x ， y
试求：⑴．A常 、数 B、C； ⑵．X 及Y 的边缘分布函数．
解 ： ⑴ ． 由 分 性布 质函 ，数 的
得1F，ABC
2 2
0Fx，ABarctaxnC
2 2
0F，yABCarctayn
第二节边缘分布3-2
精品jin
二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
这一节里,我们就来探求这个问题 .
一、边缘分布函数
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 Fx, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FXx,F Yy, 依次称为二维随机
1x
0[0cy(2x)dy]dx
c 1[x2(2x)/2]dx 0
0 x1 x
=5c/24=1,
c =24/5
f(x,y)dxdy1
例2 设(X,Y)的概率密度是
c(y 2x),0x1,0yx
f(x,y)
0,
其它 暂时固定
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .
当解x (1 2或 ) xf X0 时x, y f ,x , y,dyy
P{X=2}= P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8,
P{X=3}=P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8.
3
P{Y=1}= PXk,Y 1=3/8+3/8=6/8,
k0 3
P{Y=3}=PXk,Y3=1/8+1/8=2/8.
k0
XY
13
0
0 18
1
38 0
2
38 0
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
F X x P X x P X x ,Y Fx, F Y y P Y y P X , Y y F , y
由 此 可 知 ： F X ( x ) l y i m F （ x ,y ) ,F Y y l x i m F （ x ,y )
i1
P{ ({Xxi} {Yyj})}
j1
P{{Xxi} {Yyj}} p ij
j1
j1
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
PYyj PX x i,Yyj p ijp .j
i 1
i 1
j1,2,
令pi. pij P{X xi}, (i 1,2,...)
j1
p.j pij P{Y yj}, (j1,2,...)
3
0 18
PY yj 6 8 2 8
PXxi
18 38 38 18
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
联合分布与边缘分布的关系
XY 0 1 2 3
PY yj
13 0 18 38 0 38 0
0 18 68 28
PXxi
18 38 38 18
由联合分布可以确定边缘分布;
fX x F X x fx ,y d y
( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为
fY(y)
f(x,y)d
xy
例2 设(X,Y)的概率密度是
f(x,y) c(y 20 x,),0x1,其 0y 它 x
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。
解：(1)
f(x, y)dxdy
y
yx
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
三、连续型随机变量的边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y ) ， X 和Y 的联合概率密度为 f (x, y)
则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为
fX(x)
f(x,y)dy
x
事实上 , F X x F x , x d x fx ,y dy
P Xx i PXxi,Yyj pij
j1
j1
p i . i 1 ,2 ,
X，Y的联合分布下 律表 也表 可示 以
Y X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1 j
…
x2
p 21
p22
p2 j
…
xi
p i1
…
P { X x i} P { X x i,Y }
P{{Xxi} { yj}}
2
arctan
x 2
2
arctan
y 3
1 arctan y , y ，
2
2
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
P (X x i,Y y j) p i,j i,j 1 ,2 ,
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为
yx
都 有 fx ,y0,故 fX x0.
当 0x1时,
fXx0fx,ydy
x
x 0 x1 x x
x
0
fx,ydyxfx,ydy.
当 0x1时,
fXx0fx,ydy
x
0
fx,ydyxfx,ydy.
x24y(2x)dy
05
y
yx
1 2x2(2 x) ,
x
综上 ,
5
x 0 x1 x x
fXx152x22x,0x1, 注意取值范围
i1
这就叫
边缘分
布律
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .
解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
P{X=0, Y=3} 1 23 1 8
0, ,其它 .
例 2 设(X,Y)的概率密度是
f(x,y) c(y 20 x,),0x1,其 0y 它 暂x时固定