第二节边缘分布3-2-课件
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3-2边缘分布.
且都不依赖于参数.
这意味着对于给定的1,2
,
2 1
,
2 2
,
不同的对应不同的二维正态分布. 如N
1
,
2 1
;
2
,
2 2
;
0.3
与N
1,
2 1
;
2
,
2 2
;
0.7
对应不同的二维正态分布，而它们的
边缘分布却是相同的. 这一事实表明:仅由边缘分布,一般来说
不能确定随机变量X ,Y的联合分布.也再次说明了联合分布中
i 1
分别称 pi (i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y )
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
Y X
x1 x2 xi
y1 y2
p11 p12 p21 p22
pi1 pi 2
yj
p1 j p2 j
pij
2
e dy,
1 2(1 ρ2
)
y μ2 σ2
ρ
x μ1 σ1
2
令 t 1 y μ2 ρ x μ1 ,
1 ρ2 σ2
σ1
则有
f X
(x)
1 2πσ1
e
(
x μ1 2σ12
)2
t2
e 2 dt,
即
二、离散型随机变量的边缘分布律
定义 设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.
记
《边缘分布》课件
边缘计算在智能制造中的应用
1 2
智能制造系统
工业自动化、工业物联网、智能工厂等。
边缘计算在智能制造中的作用
实时监测和优化生产过程，提高生产效率和产品 质量。
3
边缘计算在智能制造中的优势
减少数据传输延迟，提高生产过程的实时性和可 控性，降低生产成本。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
边缘计算的发展趋势与未来展望
边缘计算的发展趋势
边缘计算技术的普及
与云计算的协同发展
随着5G、物联网等技术的快速发展，越来 越多的设备将接入到边缘计算网络中，实 现更高效的数据处理和实时响应。
边缘计算将与云计算形成互补，共同构建 更加智能、高效的数据处理体系。
安全性和隐私保护的重视
垂直行业的深度融合
平台，就近提供最近端服务。
边缘计算发展历程
从云计算到边缘计算，随着物联网 、5G等技术的快速发展，数据处 理和分析的需求逐渐向设备端转移 。
边缘计算应用场景
智能制造、智慧城市、智能交通、 智能家居等众多领域，实现高效、 低延迟的数据处理和分析。
边缘计算的关键技术
01
02
03
04
分布式存储技术
实现数据的分布式存储和管理 ，确保数据的安全性和可靠性
通过传感器、控制器等设备实现车辆自主驾驶的技术。
02
边缘计算在自动驾驶中的作用
在自动驾驶过程中，边缘计算能够实时处理车辆传感器采集的数据，提
供快速响应和决策支持。
03
自动驾驶技术的应用场景
包括智能交通、物流运输、共享出行等领域。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布
边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。
3.2边缘分布
f ( x, t )dx dt
y
y
fY (t )dt
例4：设G是平面上的有界区 域，其面积为A，若二维随机变 量(X,Y)具有概率密度
1 A , ( x, y ) G f ( x, y ) 0 , 其他
则称(X,Y)在G上服从均匀分布。
0.2 b
已知：P(Y 1| X 1) 0.5
求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) P( X 1| Y 1)
0.2 又P(Y 1| X 1) 0.3 a 0.2 1 b=0.3 a 0.1， 0.3 a 2
(2) X
解：(1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4
f ( x, y )dy f ( x, y)dx
从而X，Y的边缘分布函数为
FX ( x) F ( x, ) x f (t , y )dy dt
f X (t )dt
x
同理：
FY ( y) F (, y)
解：样本空间S及D,F的取值如下 样本点 1 D F 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 7 8 9 10 4 2 4 3 4
0
1
1
1
1
2 1 1 1
2
D所有可能取值：1,2,3,4
F所有可能取值：0,1,2
求（D,F)取 (i,j),i=1,2,3,4,j=0,1,2的概率
如
P{D=1,F=0}=1/10, P{D=2,F=1}=4/10
从而可求出D和F的联合分 布律及边缘分布律
第二节 边缘分布
y
dy
0 0
cxe
y
x
dx
c 2
0
y e
2
y
dy
c 2
xe y f x， y 0
0 x y 其它
2 c
所以，
⑵．当 x 0 时，
f X x
c 1
f x ， y dy
x>0,y>0 其它
求边缘分布函数 解： FX(x)= F(x, +∞)
1 e x 0,
x>0, 其它
FY(y)＝
1 e y F(+∞,y) 0,
y>0 其它
2、边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y )， X和Y的联合概率密度为 f ( x, y ) 则( X,Y )关于X的边缘概率密度为
3 2 2y y
2
0
x
24 5
0 y 1
),
2
注意取值范围
即
12 2 x ( 2 x ), f X (x) 5 0,
0 y ), fY ( y ) 5 2 2 0,
0 y 1 其它
X
y1 p 11
p 21
p i1
y2 p 12
p 22
pi2
„ „ „
yj p1 j
p2 j
„
x)
i
x1
x2
xi
„ p „ p
1j
2 j
„
p ij
„p
ij
第二节边缘分布
当-1<x<1时
1 x 2
f X ( x) f ( x, y)dy
1
1 x 2
dy
x 1 其他
2 1 x2
2 1 x2 f X ( x) 0
当 1 y 1时 同理 fY ( y )
1 y 2
2
1
1 y
即为 F(x，y)=Fx(x)FY(y) 反之，若X与Y满足F(x，y)=Fx(x)FY(y) ，则有 P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2} =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1)
= Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1)
若x与y相互独立则在fxydfdx一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟112小时的概率
第二节 边缘分布
引言
边缘分布
随机变量独立性
一、边缘分布的定义
1．边缘分布 设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分 布函数分别记为Fx(x)和FY(y), 依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y) 关于X和关于Y的边缘分布函数. 2.公式. 由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y<+∞})=P{X≤x,Y<+∞} =F(x,+∞) 同理有 FY(y)=F(+∞, y).
p
i xi x , y j y
p
p j
xi x
概率论3-2、3
…
pi P{X xi} pij
关于Y的边缘分布
j
第i列之和
Y
y1
y2
y3
…
概率 P.1
P.2
P.3
…
p j P{Y y j} pij
i
第j行之和
二维离散型R.v.的边缘分布
例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
X
Y
0
1
1/3
-1
0
1/3 1/12
0
1/6
0
0
2 5/12 0
——边缘分布问题
边缘分布 marginal distribution
设二维随机变量 (X ,Y ) 的分布函数为 F(x, y) ，
FX (x) P{X x} P{X x,Y } F (x, )
FY ( y) P{Y y} P{X ,Y y} F (, y)
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
F X
(x)
F
(x,
)
pij
xi x j1
与一维离散型随机变量X的分布函数FX (x)
P{X xi}比较，得X的分布律
xi x
记为
P{X xi} pij pi
j 1
记为
同样，Y的分布律P{Y y j} pij p j
i 1
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P22
p32
…
P.2
Y3
P13
p23
p33
…
P.3
…………… …
pi. p1. p2. p3. …
关于X的边缘分布 关于Y的边缘分布
3-2连续型随机变量的联合分布和边际分布
一多维随机变量的联合分布函数二二维连续型随机变量及其密度函数三边际密度函数四条件密度函数五两种常用分布一多维随机变量的联合分布函数机变量或称为随的分布函数称为二维随机变量二元函数对于任意实数是二维随机变量域内的概率在如图所示区的函数值就是随机点落意固定的即对于任的不减函数也右连续关于右连续关于说明上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质
fY y
1
y2 2
e 2
2 2
2 2
y
因此，对任意的 y，fY y 0，
f X Y
xy
f x， y fY y
2
1
2 1
1r2
exp
2
2 1
1 1
r2
x
1
r
1 2
y
2
2
x
结论：二维正态分布的条件分布是一维正态分布,即
N
1
r
1 2
y 2
.
XY
fY ( y)
同理，
fY X y x
f x， y fX x
称为随机变量Y 在 X x的条件下的 条件密度函数.
目 录 前一页 后一页 退 出
例 4 设随机变量 ( X ,Y )的概率密度为
f
(
x,
y)
1, 0,
| y | x, 0 x 1, 其它.
试求（ ：1）f X ( x), fY ( y) ; (2) f X|Y ( x | y), fY|X ( y | x) ;
，
2 1
1r2
目 录 前一页
后一页
退出
五、两种常用的分布
1.均匀分布
定义 设G 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二 维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
fY y
1
y2 2
e 2
2 2
2 2
y
因此，对任意的 y，fY y 0，
f X Y
xy
f x， y fY y
2
1
2 1
1r2
exp
2
2 1
1 1
r2
x
1
r
1 2
y
2
2
x
结论：二维正态分布的条件分布是一维正态分布,即
N
1
r
1 2
y 2
.
XY
fY ( y)
同理，
fY X y x
f x， y fX x
称为随机变量Y 在 X x的条件下的 条件密度函数.
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例 4 设随机变量 ( X ,Y )的概率密度为
f
(
x,
y)
1, 0,
| y | x, 0 x 1, 其它.
试求（ ：1）f X ( x), fY ( y) ; (2) f X|Y ( x | y), fY|X ( y | x) ;
，
2 1
1r2
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五、两种常用的分布
1.均匀分布
定义 设G 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二 维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
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i1
P{ ({Xxi} {Yyj})}
j1
P{{Xxi} {Yyj}} p ij
j1
j1
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
PYyj PX x i,Yyj p ijp .j
i 1
i 1
j1,2,
令pi. pij P{X xi}, (i 1,2,...)
j1
p.j pij P{Y yj}, (j1,2,...)
1x
0[0cy(2x)dy]dx
c 1[x2(2x)/2]dx 0
0 x1 x
=5c/24=1,
c =24/5
f(x,y)dxdy1
例2 设(X,Y)的概率密度是
c(y 2x),0x1,0yx
f(x,y)
0,
其它 暂时固定
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .
当解x (1 2或 ) xf X0 时x, y f ,x , y,dyy
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
三、连续型随机变量的边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y ) ， X 和Y 的联合概率密度为 f (x, y)
则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为
fX(x)
f(x,y)dy
x
事实上 , F X x F x , x d x fx ,y dy
fX x F X x fx ,y d y
( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为
fY(y)
f(x,y)d
xy
例2 设(X,Y)的概率密度是
f(x,y) c(y 20 x,),0x1,其 0y 它 x
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。
解：(1)
f(x, y)dxdy
y
yx
第二节边缘分布3-2
精品jin
二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
这一节里,我们就来探求这个问题 .
一、边缘分布函数
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 Fx, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FXx,F Yy, 依次称为二维随机
3
0 18
PY yj 6 8 2 8
PXxi
18 38 38 18
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
联合分布与边缘分布的关系
XY 0 1 2 3
PY yj
13 0 18 38 0 38 0
0 18 68 28
PXxi
18 38 38 18
由联合分布可以确定边缘分布;
P{X=2}= P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8,
P{X=3}=P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8.
P{Y=1}= PXk,Y 1=3/8+3/8=6/8,
k0 3
P{Y=3}=PXk,Y3=1/8+1/8=2/8.
k0
XY
13
0
0 18
1
38 0
2
38 0
P{X=1,
Y=1}
3 1
1 2
1 2
2
=3/8
XY 0
P{X=2,
Y=1}
3 2
1 2
2
1 2
=3/8
1 2
P{X=3, Y=0} 1 23 1 8 .
3
13
0 18 38 0 38 0 0 18
P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8,
P{X=1}=P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8,
0, ,其它 .
例 2 设(X,Y)的概率密度是
f(x,y) c(y 20 x,),0x1,其 0y 它 暂x时固定
例 1设二维X 随 ， Y机 的变 联量 合分
Fx， yABarcxtaCn arcytan
2
3
x ， y
试求：⑴．A常 、数 B、C； ⑵．X 及Y 的边缘分布函数．
解 ： ⑴ ． 由 分 性布 质函 ，数 的
得1F，ABC
2 2
0Fx，ABarctaxnC
2 2
0F，yABCarctayn
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
F X x P X x P X x ,Y Fx, F Y y P Y y P X , Y y F , y
由 此 可 知 ： F X ( x ) l y i m F （ x ,y ) ,F Y y l x i m F （ x ,y )
2
3
由以上三 A式 12， B 可 2得 ， C ， 2．
⑵．X 的边缘分布函数为
FXxyl im Fx，y
yl im 122arct2xan2arct3yan 1 2 arc 2 x t, a xn ，
同理，Y 的边缘分布函数为
FY y
lim Fx，
x
y
1
lim
x
2
yx
都 有 fx ,y0,故 fX x0.
当 0x1时,
fXx0fx,ydy
x
x 0 x1 x x
x
0
fx,ydyxfx,ydy.
当 0x1时,
fXx0fx,ydy
x
0
fx,ydyxfx,ydy.
x24y(2x)dy
05
y
yx
1 2x2(2 x) ,
x
综上 ,
5
x 0 x1 x x
fXx152x22x,0x1, 注意取值范围
i1
这就叫
边缘分
布律
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .
解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
P{X=0, Y=3} 1 23 1 8
P Xx i PXxi,Yyj pij
j1
j1
p i . i 1 ,2 ,
X，Y的联合分布下 律表 也表 可示 以
Y X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1 j
…
x2
p 21
p22
p2 j
…
xi
p i1
…
P { X x i} P { X x i,Y }
P{{Xxi} { yj}}
2
arctan
x 2
2
arctan
y 3
1 arctan y , y ，
2
2
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
P (X x i,Y y j) p i,j i,j 1 ,2 ,
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为