云模型课件
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– 在云模型中,熵代表一个定性概念的可度量粒度,熵越大粒度越 大,可以用于粒度计算;同时,熵还表示在论域空间可以被定性概 念接受的取值范围,即模糊度,是定性概念亦此亦彼性的度量. – 云模型中的超熵是不确定性状态变化的度量,即熵的熵.云模型 既反映代表定性概念值的样本出现的随机性,又反映了隶属程 度的不确定性,揭示了模糊性和随机性之间的关联.
云方法的定量描述
• 云方法提出用3 个数字特征(期望值, 熵, 超熵) 来描述 整个云团, 实现定性和定量之间的转换。由于多方面的 随机因素(天气、心理等等) 的影响, 射手很难每一次都 击中靶心, 其多次射击的弹着点在靶纸上呈近似正态分 布。因此, 用二维正态云模型( Ex1 , Ex2 ; En1 ,En2 ; He1 , He2) 来描述总的射击情况:
云模型
-------定性定量转换模型 定性概念与定量描述的不确定转换模型
第1节 不确定性人工智能
一、不确定性的两种最基本的形式 随机性和模糊性 • 主要包括随机性、模糊性、不完全性、不稳定性和不一致性 这5 个方面。 1、随机性 随机性又称偶然性,是指因为事件发生的条件不充分,使 得条件与结果之间没有决定性的因果关系,在事件的出现与 否上表现出的不确定性质,可以用随机数学作为工具进行研 究. • 概率论：随机性真正为人类所认识,要归功于前苏联数学家 柯尔莫哥洛夫.他在测度论基础上,于1933 年在其《概率论的 基本概念》一文中,首次提出并建立了概率论的公理化方法, 使得人们可以用数学的方法研究随机性,将“随机性”用 “概率”予以量化表示.借助于随机变量的分布函数,人们可 以研究随机现象的全部统计特征。 • 不确定性人工智能*---李德毅--软 件 学 报--2004,15(11)
二、云的数字特征
正态云模型用相互独立的一组参数共同表达一个定性概 念的数字特征, 反映概念的不确定性。在正态分布函 数与正态隶属函数基础上, 这组参数用期望Ex , 熵En , 超熵He 这3 个数字特征来表征： • 期望Ex 在论域空间中最能够代表这个定性概念的 点, 是这个概念量化的最典型样本点。 • 熵En 代表一个定性概念的可度量粒度, 通常熵越大 概念越宏观。熵还反映了定性概念的不确定性, 表示 在论域空间可以被定性概念接受的取值范围大小, 即 模糊度, 是定性概念亦此亦彼性的度量。 • 超熵He 熵的不确定性的度量, 它反映代表定性概念 值的样本出现的随机性, 揭示了模糊性和随机性的关 联。
• 首先，所有x ∈U 到区间[0,1]的映射是一对多的转换， x 对于T 的隶属度是一个概率分布而非固定值，从而 产生了云，而不是一条明晰的隶属曲线。 • 第二，云由许许多多的云滴组成，一个云滴是定性概 念在数量上的一次实现，单个云滴可能无足轻重，在 不同的时刻产生的云的细节可能不尽相同，但云的整 体形状反映了定性概念的基本特征。云滴的分布类似 天上的云，远看有明确的形状，近看没有确定的边界。 这就是我们用云来命名它的原因。 • 第三，云的数学期望曲线(Mathematical Expected Curve， MEC)从模糊集理论的观点来看是其隶属曲 线。 • 第四，云的“厚度”是不均匀的。腰部最分散，“厚 度”最大，而顶部和底部汇聚性好，“厚度”小。云 的厚度反映了隶属度的随机性的大小。靠近概念中心 或远离概念中心处，隶属度的随机性较小，而离概念 中心不近不远的位置隶属度的随机性大，这与人的主 观感受相一致。
• 广义概率论-----证据理论 • 信任函数和似然函数来描述命题的不确定性：
– 在基于概率的不确定性知识表示研究方面,Shortliff 等 人提出了带可信度的不确定推理,之,Dempster 和 Shafer 又提出证据理论,引入信任函数和似然函数来 描述命题的不确定性.证据理论满足比概率论弱的公 理,又称为广义概率论. – 当先验知识很难获得时,证据理论可以区分不确定和 不知道的差异,比概率论更合适.而当先验概率已知时, 证据理论就变成了概率论.
结论的评价
• 不确定性有两种: 随机性和模糊性。统计学和模糊学用 各自的方法认识客观世界, 形成不同的评价结果。 • 通常, 人们更习惯于用自然语言值而不是精确数值来评 价射手水平。-----云模型的提出 • 云模型的观点：----云理论研究者提出的云方法
– 射手射中或射不中带有随机性, – 射中的程度又带有模糊性, – 每次射击的弹着点可以看作是一个云滴, 射击若干次后形成的 云团的整体特征反映了射手总体水平。 – 用定性的语言来描述这些云团, 例如对上述三位射手的射击情 况, 可认为“射手甲略偏右上且不够稳定, 射手乙略偏右下但 较稳定, 丙的射点靠近靶心但不稳定”
熵
• 熵：熵反映定性概念的不确定性，这种不确定 性表现在三个方面。 • 一方面，熵反映了在数域空间可以被语言值接 受的云滴群的范围的大小，即模糊度，是定性 概念亦此亦彼性的度量； • 另一方面，熵还反映了在数域空间的云滴群能 够代表这个语言值的概率密度，表示代表定性 概念的云滴出现的随机性； • 此外，熵还揭示了模糊性和随机性的关联性。 熵还可以用来代表一个定性概念的粒度。通常， 熵越大，概念越宏观，模糊性和随机性也越大， 确定性量化越难。
2、模糊性
• 模糊性又称非明晰性.它的出现是由于概念 本身模糊,一个对象是否符合这个概念难以 确定,在质上没有明确含义,在量上没有明确 界限.这种边界不清的性质,不是由人的主观 认识造成的,而是事物的一种客观属性.概念 外延的不确定性质。 • 研究工具-----模糊数学
•模糊集合论
• 1965 年,美国学者L.A. Zadeh 创建了模糊集合论, 提出了模糊信息的处理方法.模糊集合论的贡献在 于引入了集合中元素对该集合的“隶属度”,从而 将经典集合论里的特征函数取值范围由二值{0,1} 推广到区间[0,1],将经典二值逻辑推广至多值逻辑, 使得模糊性可以用[0,1]上的区间来度量。 • 模糊集的扩充------粗糙集理论、 Vague 集理论 • 由Pawlak 提出的粗糙集理论,Gau和Buehrer 提出 的Vague 集理论,都是对模糊集的扩充.粗糙集通 过上下边界,Vague 集通过对模糊对象赋予真、假 隶属函数,来处理模糊性.
二、随机性和模糊性的关联性
• 随机数学、模糊数学各有特点。
– 例如,通过概率分布函数,随机数学可以很好地刻画随机现象的 统计特性,但是常用概率分布的前提条件过于严格。例如,常常 要求影响随机现象结果的因素是几乎均匀而且独立的,随机变 量之间是不相关的,基本事件概率之和为1,样本趋于无穷等等. – 模糊理论利用隶属函数精确刻画模糊现象的亦此亦彼性,却忽 略了隶属函数本身的不确定性. – 这两种理论可以分别处理随机性和模糊性,没有考虑二者之间 的关联性.更何况,研究客观世界和主观世界中的不确定性也并 非总是要从这样的角度切入.
评价比较
云方法评价分析
• 云方法通过逆向云发生器计算原靶图的数字特征, 再利用正向云发生器模拟生成不同数量的云滴, 大致还原出3 位射手的水平,数字特征更容易反映 出3 位射手的水平.图5(b)和图5(c)分别模拟还原 各射手10 个和100个弹着点的射击情况.
第2节 概念不确定的描述
• 一、云与云滴 • 设U是一个用精确数值表示的定量论域（一维的、 二维的或多维的），C是U上的定性概念，对于 论域中的任意一个元素x，且x是定性概念C的一 次随机实现，x对C的确定度μ(x)∈[0,1]是有稳定 倾向的随机数 μ：U[0,1] ∨X∈U X μ(X) 则x在论域U上的分布称为云模型，简称为云。 每一个x称为一个云滴。
•人工智能对模糊性的研究方法
• 人工智能对模糊性的研究方法,通常是将原 有的精确知识的处理方法以各种方式模糊 化,如模糊谓词、模糊规则、模糊框架、模 糊语义网、模糊逻辑等等.模糊逻辑后来又 发展成为一种可能性推理方法,借助于可能 性度量与必然性度量,更好地处理模糊性。
隶属函数概念的动摇
• 为了处理广泛存在的模糊现象，L. A. Zadeh于 1965 年引入了模糊集概念。 • 伴随而来的模糊数学也不停地遭到责难，最突出的 问题是：作为模糊集理论基石的隶属函数概念的实 质以及具体确定方法始终没有说清楚，连Zadeh 自己也只是用定性推理方法近似指定隶属函数。 • 隶属函数一旦通过人为假定硬化成精确数值表达后， 就被强行纳入到精确数学王国。从此在概念的定义、 定理的塑述以及定理的证明等数学思维环节中，就 再有丝毫的模糊性了。 • 因此在这个方向上发展着的模糊学本质上仍然是精 确数学的一个组成部分，我们不妨称之为模糊学的 精确理论。这正是当前模糊理论的不彻底性。
云的性质
1. 论域U可以是一维的，也可以是多维的。 2. 定义中提及的随机实现，是概率意义下的实现；定 义中提及的确定度，是模糊集意义下的隶属度，同 时又具有概率意义下的分布。所有这些都体现了模 糊性和随机性的关联性。 3. 对于任意一个x∈U,x到[0，1]上的映射是一对多的 变换，x对C的确定度是一个概率分布，而不是一 个固定的数值。 4. 云由云滴组成，云滴之间的无次序性，一个云滴是 定性概念在数量上的一次实现，云滴越多，越能反 映这个定性概念的整体特征。 5. 云滴出现的概率大，云滴的确定度大，则云滴对概 念的贡献大。
模糊学家观点及结论：
• 模糊学家认为, 中与不中的是相对的, 取决于弹着点离靶心的距离, 难以明确一个边界对中与不中进行精确的划分, 这种亦此亦彼的 事件中所包含的不确定性, 称为模糊性。 • 如果样本空间s =( e) 中的元素e 代表不同的弹着点, 把“肯定射 中”用数字1 表示, ―肯定不中”用数字0 表示,则对样本空间中的 部分元素来说, 它们属于射中的程度可能不同, 用0 和1 之间的数 值来反映这种中介过渡性。 • 射中与射不中可以用弹着点对目标靶的隶属度表示。将目标从靶 心开始分为十个等级表示击中目标的程度, 依次为10 环、9 环、 ⋯、1 环, 跑靶为0 环, 对应的隶属度分别为1 ,0.9 , ⋯, 0.1 , 0 , 用 弹着点在靶纸上所处环数作为射击的成绩。射手的总体水平, 还 可以借助统计学, 采用公式S COR E = 环数之和。 • 借助统计学的模糊学方法给出他们的总成绩分别为53 分、65 分 和68 分, 射手丙的成绩最优, 射手乙的成绩优于甲。这里的53 分、 65 分以及68 分与统计学家所给的90 分、100 分是不同的概念。
• 随机性和模糊性常常是连在一起难以区分和独立存在, 作为人类思维和认知载体的语言,表现得尤为明显.
三、云模型的提出
• 基础-----随机数学和模糊Байду номын сангаас学 • 作用-----用云模型来统一刻画语言值中大量存在的随机 性、模糊性以及两者之间的关联性。 • 云模型：作为用语言值描述的某个定性概念与其数值表 示之间的不确定性转换模型。 • 以云模型表示自然语言中的基元——语言值, • 用云的数字特征——期望Ex,熵En 和超熵He表示语言值 的数学性质. • ―熵”------度量不确定的程度
四、云模型的一个射击实例
• 知识表示中的不确定性-------李德毅-中国工程科学2000 年10 月
三位学者: 统计学家、模糊学家和云理论研究者参加射击评判 • 统计学家观点及结论：
– 统计学方法认为, 射中与射不中有明确的定义, 是非此 即彼的, 不存在亦此亦彼的中间状态。用中与不中来衡 量每一次射击结果, 统计射手射击若干次后中靶的次数 (频数) 来反映射手的总体水平。 – 例如, 射手甲经过10 次射击, 9 次上靶, 一次跑靶, 则射 手的击中概率为0. 9 , 按照百分制计总成绩, 可为90 分, 射手乙和丙的十次射击全部上靶, 成绩都为100 分。因 此, 射手乙和丙的水平相当, 都优于甲。
– 期望值( Ex1 , Ex2) 是所有云滴(弹着点) 在靶纸上的平均点 的坐标, 反映了射手对准心的把握, 是最能代表射手水平的靶 位置; – 熵( En1 , En2) 一方面反映弹着点的随机性, 即分别在水平和 垂直方向上相对于期望值的离散程度, 另一方面又体现了射 中的模糊性———隶属度; – 超熵( He1 , He2) 反映了熵的离散程度, 可以称为二次熵(熵 的熵) , 体现了隶属度的不确定性。
云方法的定量描述
• 云方法提出用3 个数字特征(期望值, 熵, 超熵) 来描述 整个云团, 实现定性和定量之间的转换。由于多方面的 随机因素(天气、心理等等) 的影响, 射手很难每一次都 击中靶心, 其多次射击的弹着点在靶纸上呈近似正态分 布。因此, 用二维正态云模型( Ex1 , Ex2 ; En1 ,En2 ; He1 , He2) 来描述总的射击情况:
云模型
-------定性定量转换模型 定性概念与定量描述的不确定转换模型
第1节 不确定性人工智能
一、不确定性的两种最基本的形式 随机性和模糊性 • 主要包括随机性、模糊性、不完全性、不稳定性和不一致性 这5 个方面。 1、随机性 随机性又称偶然性,是指因为事件发生的条件不充分,使 得条件与结果之间没有决定性的因果关系,在事件的出现与 否上表现出的不确定性质,可以用随机数学作为工具进行研 究. • 概率论：随机性真正为人类所认识,要归功于前苏联数学家 柯尔莫哥洛夫.他在测度论基础上,于1933 年在其《概率论的 基本概念》一文中,首次提出并建立了概率论的公理化方法, 使得人们可以用数学的方法研究随机性,将“随机性”用 “概率”予以量化表示.借助于随机变量的分布函数,人们可 以研究随机现象的全部统计特征。 • 不确定性人工智能*---李德毅--软 件 学 报--2004,15(11)
二、云的数字特征
正态云模型用相互独立的一组参数共同表达一个定性概 念的数字特征, 反映概念的不确定性。在正态分布函 数与正态隶属函数基础上, 这组参数用期望Ex , 熵En , 超熵He 这3 个数字特征来表征： • 期望Ex 在论域空间中最能够代表这个定性概念的 点, 是这个概念量化的最典型样本点。 • 熵En 代表一个定性概念的可度量粒度, 通常熵越大 概念越宏观。熵还反映了定性概念的不确定性, 表示 在论域空间可以被定性概念接受的取值范围大小, 即 模糊度, 是定性概念亦此亦彼性的度量。 • 超熵He 熵的不确定性的度量, 它反映代表定性概念 值的样本出现的随机性, 揭示了模糊性和随机性的关 联。
• 首先，所有x ∈U 到区间[0,1]的映射是一对多的转换， x 对于T 的隶属度是一个概率分布而非固定值，从而 产生了云，而不是一条明晰的隶属曲线。 • 第二，云由许许多多的云滴组成，一个云滴是定性概 念在数量上的一次实现，单个云滴可能无足轻重，在 不同的时刻产生的云的细节可能不尽相同，但云的整 体形状反映了定性概念的基本特征。云滴的分布类似 天上的云，远看有明确的形状，近看没有确定的边界。 这就是我们用云来命名它的原因。 • 第三，云的数学期望曲线(Mathematical Expected Curve， MEC)从模糊集理论的观点来看是其隶属曲 线。 • 第四，云的“厚度”是不均匀的。腰部最分散，“厚 度”最大，而顶部和底部汇聚性好，“厚度”小。云 的厚度反映了隶属度的随机性的大小。靠近概念中心 或远离概念中心处，隶属度的随机性较小，而离概念 中心不近不远的位置隶属度的随机性大，这与人的主 观感受相一致。
• 广义概率论-----证据理论 • 信任函数和似然函数来描述命题的不确定性：
– 在基于概率的不确定性知识表示研究方面,Shortliff 等 人提出了带可信度的不确定推理,之,Dempster 和 Shafer 又提出证据理论,引入信任函数和似然函数来 描述命题的不确定性.证据理论满足比概率论弱的公 理,又称为广义概率论. – 当先验知识很难获得时,证据理论可以区分不确定和 不知道的差异,比概率论更合适.而当先验概率已知时, 证据理论就变成了概率论.
结论的评价
• 不确定性有两种: 随机性和模糊性。统计学和模糊学用 各自的方法认识客观世界, 形成不同的评价结果。 • 通常, 人们更习惯于用自然语言值而不是精确数值来评 价射手水平。-----云模型的提出 • 云模型的观点：----云理论研究者提出的云方法
– 射手射中或射不中带有随机性, – 射中的程度又带有模糊性, – 每次射击的弹着点可以看作是一个云滴, 射击若干次后形成的 云团的整体特征反映了射手总体水平。 – 用定性的语言来描述这些云团, 例如对上述三位射手的射击情 况, 可认为“射手甲略偏右上且不够稳定, 射手乙略偏右下但 较稳定, 丙的射点靠近靶心但不稳定”
熵
• 熵：熵反映定性概念的不确定性，这种不确定 性表现在三个方面。 • 一方面，熵反映了在数域空间可以被语言值接 受的云滴群的范围的大小，即模糊度，是定性 概念亦此亦彼性的度量； • 另一方面，熵还反映了在数域空间的云滴群能 够代表这个语言值的概率密度，表示代表定性 概念的云滴出现的随机性； • 此外，熵还揭示了模糊性和随机性的关联性。 熵还可以用来代表一个定性概念的粒度。通常， 熵越大，概念越宏观，模糊性和随机性也越大， 确定性量化越难。
2、模糊性
• 模糊性又称非明晰性.它的出现是由于概念 本身模糊,一个对象是否符合这个概念难以 确定,在质上没有明确含义,在量上没有明确 界限.这种边界不清的性质,不是由人的主观 认识造成的,而是事物的一种客观属性.概念 外延的不确定性质。 • 研究工具-----模糊数学
•模糊集合论
• 1965 年,美国学者L.A. Zadeh 创建了模糊集合论, 提出了模糊信息的处理方法.模糊集合论的贡献在 于引入了集合中元素对该集合的“隶属度”,从而 将经典集合论里的特征函数取值范围由二值{0,1} 推广到区间[0,1],将经典二值逻辑推广至多值逻辑, 使得模糊性可以用[0,1]上的区间来度量。 • 模糊集的扩充------粗糙集理论、 Vague 集理论 • 由Pawlak 提出的粗糙集理论,Gau和Buehrer 提出 的Vague 集理论,都是对模糊集的扩充.粗糙集通 过上下边界,Vague 集通过对模糊对象赋予真、假 隶属函数,来处理模糊性.
二、随机性和模糊性的关联性
• 随机数学、模糊数学各有特点。
– 例如,通过概率分布函数,随机数学可以很好地刻画随机现象的 统计特性,但是常用概率分布的前提条件过于严格。例如,常常 要求影响随机现象结果的因素是几乎均匀而且独立的,随机变 量之间是不相关的,基本事件概率之和为1,样本趋于无穷等等. – 模糊理论利用隶属函数精确刻画模糊现象的亦此亦彼性,却忽 略了隶属函数本身的不确定性. – 这两种理论可以分别处理随机性和模糊性,没有考虑二者之间 的关联性.更何况,研究客观世界和主观世界中的不确定性也并 非总是要从这样的角度切入.
评价比较
云方法评价分析
• 云方法通过逆向云发生器计算原靶图的数字特征, 再利用正向云发生器模拟生成不同数量的云滴, 大致还原出3 位射手的水平,数字特征更容易反映 出3 位射手的水平.图5(b)和图5(c)分别模拟还原 各射手10 个和100个弹着点的射击情况.
第2节 概念不确定的描述
• 一、云与云滴 • 设U是一个用精确数值表示的定量论域（一维的、 二维的或多维的），C是U上的定性概念，对于 论域中的任意一个元素x，且x是定性概念C的一 次随机实现，x对C的确定度μ(x)∈[0,1]是有稳定 倾向的随机数 μ：U[0,1] ∨X∈U X μ(X) 则x在论域U上的分布称为云模型，简称为云。 每一个x称为一个云滴。
•人工智能对模糊性的研究方法
• 人工智能对模糊性的研究方法,通常是将原 有的精确知识的处理方法以各种方式模糊 化,如模糊谓词、模糊规则、模糊框架、模 糊语义网、模糊逻辑等等.模糊逻辑后来又 发展成为一种可能性推理方法,借助于可能 性度量与必然性度量,更好地处理模糊性。
隶属函数概念的动摇
• 为了处理广泛存在的模糊现象，L. A. Zadeh于 1965 年引入了模糊集概念。 • 伴随而来的模糊数学也不停地遭到责难，最突出的 问题是：作为模糊集理论基石的隶属函数概念的实 质以及具体确定方法始终没有说清楚，连Zadeh 自己也只是用定性推理方法近似指定隶属函数。 • 隶属函数一旦通过人为假定硬化成精确数值表达后， 就被强行纳入到精确数学王国。从此在概念的定义、 定理的塑述以及定理的证明等数学思维环节中，就 再有丝毫的模糊性了。 • 因此在这个方向上发展着的模糊学本质上仍然是精 确数学的一个组成部分，我们不妨称之为模糊学的 精确理论。这正是当前模糊理论的不彻底性。
云的性质
1. 论域U可以是一维的，也可以是多维的。 2. 定义中提及的随机实现，是概率意义下的实现；定 义中提及的确定度，是模糊集意义下的隶属度，同 时又具有概率意义下的分布。所有这些都体现了模 糊性和随机性的关联性。 3. 对于任意一个x∈U,x到[0，1]上的映射是一对多的 变换，x对C的确定度是一个概率分布，而不是一 个固定的数值。 4. 云由云滴组成，云滴之间的无次序性，一个云滴是 定性概念在数量上的一次实现，云滴越多，越能反 映这个定性概念的整体特征。 5. 云滴出现的概率大，云滴的确定度大，则云滴对概 念的贡献大。
模糊学家观点及结论：
• 模糊学家认为, 中与不中的是相对的, 取决于弹着点离靶心的距离, 难以明确一个边界对中与不中进行精确的划分, 这种亦此亦彼的 事件中所包含的不确定性, 称为模糊性。 • 如果样本空间s =( e) 中的元素e 代表不同的弹着点, 把“肯定射 中”用数字1 表示, ―肯定不中”用数字0 表示,则对样本空间中的 部分元素来说, 它们属于射中的程度可能不同, 用0 和1 之间的数 值来反映这种中介过渡性。 • 射中与射不中可以用弹着点对目标靶的隶属度表示。将目标从靶 心开始分为十个等级表示击中目标的程度, 依次为10 环、9 环、 ⋯、1 环, 跑靶为0 环, 对应的隶属度分别为1 ,0.9 , ⋯, 0.1 , 0 , 用 弹着点在靶纸上所处环数作为射击的成绩。射手的总体水平, 还 可以借助统计学, 采用公式S COR E = 环数之和。 • 借助统计学的模糊学方法给出他们的总成绩分别为53 分、65 分 和68 分, 射手丙的成绩最优, 射手乙的成绩优于甲。这里的53 分、 65 分以及68 分与统计学家所给的90 分、100 分是不同的概念。
• 随机性和模糊性常常是连在一起难以区分和独立存在, 作为人类思维和认知载体的语言,表现得尤为明显.
三、云模型的提出
• 基础-----随机数学和模糊Байду номын сангаас学 • 作用-----用云模型来统一刻画语言值中大量存在的随机 性、模糊性以及两者之间的关联性。 • 云模型：作为用语言值描述的某个定性概念与其数值表 示之间的不确定性转换模型。 • 以云模型表示自然语言中的基元——语言值, • 用云的数字特征——期望Ex,熵En 和超熵He表示语言值 的数学性质. • ―熵”------度量不确定的程度
四、云模型的一个射击实例
• 知识表示中的不确定性-------李德毅-中国工程科学2000 年10 月
三位学者: 统计学家、模糊学家和云理论研究者参加射击评判 • 统计学家观点及结论：
– 统计学方法认为, 射中与射不中有明确的定义, 是非此 即彼的, 不存在亦此亦彼的中间状态。用中与不中来衡 量每一次射击结果, 统计射手射击若干次后中靶的次数 (频数) 来反映射手的总体水平。 – 例如, 射手甲经过10 次射击, 9 次上靶, 一次跑靶, 则射 手的击中概率为0. 9 , 按照百分制计总成绩, 可为90 分, 射手乙和丙的十次射击全部上靶, 成绩都为100 分。因 此, 射手乙和丙的水平相当, 都优于甲。
– 期望值( Ex1 , Ex2) 是所有云滴(弹着点) 在靶纸上的平均点 的坐标, 反映了射手对准心的把握, 是最能代表射手水平的靶 位置; – 熵( En1 , En2) 一方面反映弹着点的随机性, 即分别在水平和 垂直方向上相对于期望值的离散程度, 另一方面又体现了射 中的模糊性———隶属度; – 超熵( He1 , He2) 反映了熵的离散程度, 可以称为二次熵(熵 的熵) , 体现了隶属度的不确定性。