第8章 无穷级数练习题解析
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第8章 无穷级数练习题
习题8.1
1．判断题（对的划“√”，错的划“×”）
（1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散． （ ）
（2）若级数
∑∞
=±1
)(n n n
v u
收敛，则级数∑∞=1
n n u 与级数∑∞
=1
n n v 都收敛．
（ ） （3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（ ） （4）当0lim =∞
→n n u 时，级数
∑∞
=1
n n
u
不一定收敛.（ ）
2．用级数的“∑”形式填空
（1）,!3!2!1 +++ 即 ． （2）,7
1
51311 +-+-
即 ． （3）
+++4
ln 313ln 212ln 1即 ． （4）,6
3
524101 ++++
+-即 ． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和
（1） -+-33227
47474． （2） +++πππ5
43ln ln ln ．
（3） +⋅+⋅+⋅751531311． （4） ++++7
4
53321．
（5）∑∞
=
-+
1
)
1
(
n
n n．
4．级数∑∞
=+
1
)
3
1 2
1
(
n
n
n
是否收敛？若收敛，求其和.
5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空气，设灯泡中原有空气的质量m，在多次抽气时，每一次抽出的空气质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空气质量最多是多少？
习题8.2
1．用“收敛”或“发散”填空
（1）∑∞
=13 1
n n
．（）（2）∑∞
=1
2
2
2
ln
n
n
．（）
（3）∑∞
=1!
n n．（）（4）∑∞
=1
2.1
1
n
n
．（）
2．判断下列正项级数的收敛性
（1）∑∞
=+
1
1 9.0
1
n n
．（2）∑∞
=
+
+
1
26
5
8
n
n
n
．
（3）∑∞
=+
1
5 2
3
n n
．
3．判断下列级数是否收敛
（1）∑∞
=
--
1
)1 (
n
n
nπ． (2) ∑∞
=
-
-
1
3
1
1
)1
(
n
n
n
．
(3) ∑∞
=-
1
2
2
sin
)1
(
n n
n
n
．(4) ∑∞
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡-
+
1
2
)1
(
1
n
n
n
．
4．判断下列级数的收敛性
（1）∑∞
=++1)2(1n n n n ． （2）∑∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+11n n
n n ．
（3）
∑∞
=--1
1
31arcsin )
1(n n n ． （4）∑∞
=+-1
321)1(n n n n ．
（5）∑∞
=12n n n
． （6）∑∞
=166n n n
．
（7）)0,(,31211>++++++b a b a b a b a ． （8）∑∞=+++1)
3)(2)(1(n n n n n
．
（9） ++++++
n
n 1
34232． （10） +-+-2227151311．
习题8.3
1．求下列幂级数的收敛区间
（1） ------n x x x x n 3232． （2） -++++n n
nx x x x 3
333233322．
（3） +⋅++⋅+⋅+⋅+n
n
n x x x x x 3
3433323443322．
（4） ++++++n
n
x n x x x 3
3
2
2
321．
（5） +⋅⋅++⋅⋅+⋅+)
2(64264242232n x x x x n
．
（6）∑∞
=++-1
1
212)1(n n n
n x ． (7) ∑∞
=--122212n n n
x n ．
(8) ∑∞
=⋅+13)1(n n
n n x ． (9) ∑∑∞=∞
=++-11221
2)1(n n n n n n n x n x ．
(10) ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．