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第五章 线性代数运算命令与例题

线性代数中常用的工具是矩阵

(向量 )和行列式。用这些工具可以表示工程技术，经济工

作中一些需要用若干个数量从整体上反映其数量关系的问题。 用这些工具可以简明凝练而准 确地把所要研究的问题描述出来， 以提高研究的效率。 在线性代数课程中我们看到了用这些

工具研究齐次和非齐次线性方程组解的理论和解的结构，

矩阵的对角化， 二次型化标准形等

问题的有力，便捷 .

5.1 向量与矩阵的定义

数学上矩阵是这样定义的

:

由 m n 个数排成 m 行 n 列的数表

a 11 a 12 a 1n

a 21 a 22 a 2n

a m1

a m2

a mn

称为 m 行 n 列矩阵，特别，当 m=1 时就是线性代数中的向量。

a 11 a 12

a 1n 记作: A

a

21

a

22

a

2n

a

m1

a

m2

a

mn

两个 m n 矩阵称为同型矩阵。

线性代数中的运算对象是向量和矩阵，因此首先介绍向量和矩阵的输入。 5.1.1 输入一个矩阵

命令形式 1:Table[f[i,j] ， {i ， m} ， {j ， n}] 功能 : 输入 m

n 矩阵，其中 f 是关于 i 和 j 的函数，给出 [i ， j] 项的值 .

命令形式 2:直接用表的形式来输入

功能 :用于矩阵元素表达式规律不易找到的矩阵的输入。 注意 :

1.Mathematica 是采用一个二重表的形式来表示矩阵的，即用

{{

},{

},

,{

}}

其中表中的每个表元素都是等长的一维表， 第一个表元素是矩阵的第一行， 第二个表元素是

矩阵的第二行，一般，第

n 个表元素是矩阵的第 n 行。要看通常的矩阵形式可以用命令

:

MatrixForm[%]

2. 对应上述命令形式，输入一个向量的命令为

Table[f[j] ， {j,n}] 或直接输入一个一维表

{ a1,a2,

,an}，这里 a1,a2,

,an 是数或字母。

例题

12 3 0 2 1

例 1.输入矩阵 A= 56 8 45 21 91 、向量b={1,4,7,-3}。

3 6 81 13 4

解 :Mathematica 命令

In[1]:= a={{12 ， -3， 0， 2， 1} ， {56 ， -8， -45， 21， 91}， {3 ， 6， 81， 13， 4}}

Out[1]:= {{12，-3，0，2，1}，{56，-8，-45，21，91}，{3，6，81，13，4}}

In[2]:= b={1, 4, 7, -3}

Out[2]:= {1, 4, 7, -3}

Sin 2 Sin 3 Sin 4

Sin 3 Sin 4 Sin 5

例 2. 输入一个 5 3 矩阵 Sin 4 Sin 5 Sin 6

Sin 5 Sin 6 Sin 7

Sin 6 Sin 7 Sin 8

解 :Mathematica 命令

In[3]:= Table[Sin[i+j] ， {i ， 5} ， {j ， 3}]

Out[3]:={{Sin[2] ， Sin[3] ，Sin[4]} ， {Sin[3] ， Sin[4] ， Sin[5]} ， {Sin[4] ，Sin[5] ，Sin[6]} ，{Sin[5] ，Sin[6] ， Sin[7]} ， {Sin[6] ， Sin[7] ， Sin[8]}}

In[4]:= MatrixForm[%]

Out[4]:=

Sin[2] Sin[3] Sin[4]

Sin[3] Sin[4] Sin[5]

Sin[4] Sin[5] Sin[6]

Sin[5] Sin[6] Sin[7]

Sin[6] Sin[7] Sin[8]

5.1.2 几个特殊矩阵的输入

1.生成 0矩阵

命令形式 : Table[0 ， {m} ， {n}]

功能 :产生一个m n 的0矩阵

2.生成随机数矩阵

命令形式 : Table[Random[ ]，{m}，{n}]

功能 : 产生一个m n 的随机数矩阵

3.生成上三角矩阵

命令形式 : Table[If[i<=j，a，0]，{i，m}，{j，n}]

功能 : 产生一个非0 元全为数 a 的上三角矩阵

4.生成下三角矩阵

命令形式 : Table[If[i>=j，a，0]，{i，m}，{j，n}]

功能 : 产生一个非0 元全为数 a 的m n 下三角矩阵

5.生成三对角矩阵

命令形式 : Table[Switch[i-j，-1，a[[i]]，0，b[[i]]，1，c[[i-1]]，-，0]，{i，m}，{j，n}] 功能 :产生一个m n 的三对角矩阵

6.生成对角矩阵

命令形式 :DiagonalMatrix[list]

功能 :使用列表中的元素生成一个对角矩阵.

7.生成单位矩阵

命令形式 :IdentityMatrix[n]

功能 :生成 n 阶单位阵

例题

例 3. 构造43的0矩阵。

解: Mathematica 命令

In[5]:= Table[0 ， {4} ，{3}]

Out[5]:= {{0，0，0}，{0，0，0}，{0，0，0}，{0，0，0}}

In[6]:= MatrixForm[%]

Out[6]:=

000

000

000

000

例 4. 构造一个25的随机数矩阵。

解: Mathematica 命令

In[7]:= Table[Random[ ] ， {2} ， {5}]

Out[7]:={{0.46223 ，0.545335，0.423938，0.635765， 0.792571} ，

{0.802126 ，0.372146，0.114424，0660867， 0.0163719}}

例 5. 构造非 0 元全为 2 的 4 5 上三角矩阵。

解:Mathematica 命令