初中竞赛含绝对值问题解法
七年级数学竞赛题：绝对值
七年级数学竞赛题：绝对值绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1．去绝对值符号法则2．绝对值的几何意义从数轴上看，a 即表示数a 的点到原点的距离，即a 代表的是一个长度，故a 表示一个非负数．3．绝对值常用的性质例1 已知a =5，b =3，且b a -=b －a ，那么a ＋b= .(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路 由已知求出a 、b 的值，但要注意条件b a -=b －a 的制约，这是解本例的关键．例2 如果0＜p ＜15,那么代数式p x -＋15-x ＋15--p x 在p≤x ≤15的最小值是( )．(湖北省黄冈市竞赛题)(A)30 (B)0 (C)15 (D)一个与P 有关的代数式解题思路设法脱去绝对值符号是解绝对值有关问题的基本思路，就本例而言，应结合已知条件判断每一个绝对值符号内代数式值的正负性．例3 已知11-x ＋22-x ＋33-x ＋…＋20022002-x ＋20032003-x =0, 求代数式2003200232122222x x x x x +---- 的值.解题思路 运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出x 1、x 2、x 3…x 2002、x 2003的值，注意21+n －2n 的化简规律．例4 设a 、b 、c 是非零有理数，求a a +b b +c a +ab ab +ac ac +bc bc ＋abcabc 的值． (“希望杯”邀请赛试题)解题思路 根据a 、b 、c 的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键． 例5若a 、b 、c 为整数，且19ba -＋99ac -=1，试求a c -+b a -＋c b -的值．(北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路 1写成两个整数的和的形式有几种可能?l 写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解本例的突破口．1．若m 、n 为有理数，那么，下列判断中： (1)若∣m ∣=n ，则一定有m=n ；(2)若∣m ∣>n ，则一定有∣m ∣>∣n ∣； (3)若∣m ∣<∣n ∣，则一定有m<n ；(4)若∣m ∣=n ，则一定有m 2=(-n)2。
例谈绝对值问题的求解方法
例谈绝对值问题的求解方法在初中数学竞赛试题中常出现绝对值问题，这是初中生较难把握的一类问题，现介绍若干种常见的解题方法，供参考。
一、定义法----- x —X—1597 = 0例1 若方程^7' 只有负数解，则实数a的取值范围是：。
分析与解因为方程只有负数解，故'-■"!'，原方程可化为：-一+1 x = -199711997 丿+1> 0, ■ a >-1997即-厂说明绝对值的意义有两点。
其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。
利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的二、利用非负性例2 方程刪+1工7 + 1卜°的图象是((A)三条直线：■「―|■工.-f ；(B) ................................. 两条直线：「:■'(C)一点和一条直线：(0, 0), - 1 1 1(D)两个点：(0, 1), (- 1, 0)=叶闵啊-炖十血啊-问）=（同-01）（1 必 1+亦）=（卜卜怦）（70+处）=0说明 本题根据公式1I = H ，将原式化为含有同 的式子，再根据绝对值的定义求值。
四、分类讨论法分析与解 由已知，根据非负数的性质，得 矽二0.兀一尹+1 =解之得: 故原方程的图象为两个点(0, 1),(- 1 说明 利用非负数的性质，可以将绝对值符 题转化为其它的问题来解决。
0)。
去掉，从而将问 三、公式法例3 已知必V 。
，求邢卜『同+必也卜购分析与解 丫宀涉同牯圈， ...原式*冲|-甘巾|+必(同-同)的值或小” -1例4 实数a满足同+ "°且"-1，那么"1分析与解由1'1_，'可得心且】。
当-1 时，*卜1. ”1*+1| 一口十］一说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号, 这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。
解含绝对值的方程的四种方法
“解含绝对值的方程”例题解析绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。
解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。
下面举例说明解这类方程的几种常用方法。
一. 运用基本公式：若，则解方程例1. 解方程解：去掉第一重绝对值符号，得移项，得或所以所以原方程的解为：例2. 解方程所以即或解方程（1），得解方程（2），得又因为，所以所以原方程的解为二. 运用绝对值的代数意义解方程例3. 方程的解的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4或4以上解：方程可化为所以所以方程的解有无数个，故选（D）。
三. 运用绝对值的非负性解方程例4. 方程的图像是（）A. 三条直线：B. 两条直线：C. 一点和一条直线：（0，0），D. 两个点：（0，1），（-1，0）而所以所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）故选（D）。
四. 运用绝对值的几何意义解方程例5. 解方程解：设，由绝对值的几何意义知所以又因为所以从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。
五. 运用方程的图象研究方程的解例6. 若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。
故选（B）。
图1同时，我们还可以得到以下几个结论：（1）当时，方程没有解；（2）当或时，方程有两个解；（3）当时，方程有4个解。
数学竞赛专题讲座七年级第9讲_绝对值与一元一次方程(含答案)
绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中很多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段实行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存有的条件,对这个方程的解实行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,所以,探求这种关系是解本例的关键,•使用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存有6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、水平拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。
2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题《绝对值》原卷
专题2 绝对值一、绝对值的化简【学霸笔记】1. 一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，关系如下：；2. 绝对值可以与数轴结合起来，可用于表示距离，表示数a表示数a与数b间的距离；3. 绝对值的性质；②；③；⑤【典例】若a+b+c＝0，则|a|a +|b|b+|c|c+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc+|abc|abc的值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．7【解答】解：∵a+b+c＝0，∴a，b，c中两正一负或一正两负，假设a＞0，b＞0，c＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1；假设a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1，故选：B．【巩固】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|＝﹣a．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题．（1）当a＝1时，求|a|a =，当b＝﹣2时，求|b|b=．（2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求|a|a +|b|b+|c|c的值．（3）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，化简：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．二、绝对值的非负性【学霸笔记】不小于0的数（或大于等于0的数）称为非负数，具有以下性质：（1）非负数具有最小值0；（2）若几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0；（3）任何数的绝对值都大于等于0，即任何数的绝对值都是非负数.【典例】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：（1）abc＜0（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|（3）（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0（4）|a|＜1﹣bc其中正确的命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：由图可知c＜﹣1＜0，0＜a＜b＜1，（1）命题abc＜0正确；（2）在命题中a﹣b＜0，b﹣c＞0，所以|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（b﹣c）＝2b﹣a﹣c．又因为a﹣c＞0，所以|a﹣c|＝a﹣c．左边≠右边，故错误；（3）在该命题中，因为a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故正确；（4）在命题中，|a|＜1，bc＜0，∴1﹣bc＞1，所以|a|＜1﹣bc，故该命题正确．所以正确的有命题①③④这三个．故选：B．【巩固】如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求：1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2022)(b+2022)的值为．三、绝对值的最值【学霸笔记】1. a与数b两点间的距离；2. n为奇数，当n.【典例】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是；（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是；（4）当x在何范围，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并写出它的最大值．【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5．故答案为：5；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x+5|．故答案为：|x+5|；（3）在数轴上，|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣3的两点之间距离和，当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣3≤x≤1，最小值是4．故答案为：﹣3≤x≤1，4；（4）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和，∴x≥4时有最大值1+1＝2．【巩固】已知数轴上表示数a的A与表示数b的点B之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（1）当x＝时，|x﹣3|有最小值，这个最小值是．（2）当x＝时，5﹣|x﹣2|有最大值，这个最大值是．（3）当整数x＝时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，这个值是．（4）当整数x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，这个值是．（5）|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值，这个值是；|x﹣1|﹣|x﹣5|有最小值，这个最小值是；（6）已知|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，则（x+y）有最值（填“大”，“小”），这个值是．巩固练习1．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x的值使y取最小值C．有有限个（不止一个）x的值使y取最小值D．有无数多个x的值使y取最小值2．已知整数a1、a2、a3、a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（）A．﹣2021B．﹣1010C．﹣1011D．﹣10093．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（）A．2B．3C．4D．54．设有理数a、b、c满足a＞b＞c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，则|x−a+b2|+|x−b+c2|+|x+a+c2|的最小值是（）A．a−c2B．a+b+2c2C．2a+b+c2D．2a+b−c25．若有理数m，n，p满足|m|m +|n|n+|p|p=1，则2mnp|3mnp|=．6．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为．7．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x=|a|b+c +|b|c+a+|c|a+b，则代数式x2021+2021x﹣2021的值为．8．设abcd是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b ﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是．9．如果a，b，c是非零有理数，求a|a|+b|b|+c|c|的值．10．设x1，x2，x3，x4，x5，x6是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记S＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，求S的最小值．11．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|12．有一正整数列1，2，3，…，2n﹣1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，a n，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，b n．求|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|之所有可能的值．。
初中数学竞赛精品标准教程及练习62绝对值
初中数学竞赛精品标准教程及练习62绝对值绝对值是数学中一个重要的概念，它表示一个数距离0的距离。
在初中数学竞赛中，绝对值常常涉及一些特殊的性质和应用。
本文将为你介绍绝对值的定义、性质以及一些常见的解题方法，并提供一些练习供你练习。
一、绝对值的定义绝对值是一个数的非负实数。
对于一个实数a，绝对值记作，a，表示a距离0的距离。
如果a≥0，则，a，=a；如果a<0，则，a，=-a。
绝对值的符号由该数的正负决定，即，a，≥0。
当a=0时，0，=0。
二、绝对值的性质1.，a，≥0，即绝对值永远是一个非负数。
2.如果a≥0，则，a，=a；如果a<0，则，a，=-a。
3. ，ab，=，a，·，b，即绝对值的乘积等于两个实数的绝对值的乘积。
4.，a+b，≤，a，+，b，即绝对值的和不超过两个实数的绝对值之和。
5.，a-b，≥，a，-，b，即绝对值的差不小于两个实数的绝对值之差。
三、绝对值的应用1.求绝对值：对于一般的实数，我们可以直接将绝对值的定义应用上去。
例如，5，=5，-3，=-(-3)=32.求解绝对值不等式：绝对值不等式是指形如，a，<b或，a，>b的不等式。
当求解这类不等式时，我们需要根据绝对值的定义和性质进行推理。
例如，求解，2x-1，<5，我们可以通过考虑两种情况来求解：当2x-1≥0和2x-1<0时。
当2x-1≥0时，2x-1，=2x-1，所以原不等式转化为2x-1<5，解得x<3当2x-1<0时，2x-1，=-(2x-1)=1-2x，所以原不等式转化为1-2x<5，解得x>-2综合两种情况的解集，得到-2<x<3，即解集为(-2,3)。
3.求解含有绝对值的方程：求解含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的性质来考虑方程的两种情况。
一种是绝对值内的值大于等于0，另一种是绝对值内的值小于0。
例如，求解，2x-1，=5，我们可以考虑两种情况：当2x-1≥0和2x-1<0时。
七年级数学专题-绝对值问题的几种解法
小结：
• 这节课你有什么收获？
一、直接推理法
说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号
二、巧用数轴法
说明:本题是通过数轴，运用数形结合的方法确定字母的大小顺序， 从而达到去掉绝对值的目的.
三、零点分段法
说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时 去掉两个绝对值符号
四、分类讨论法
练习：
思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的 取值范围
绝对值问题几种解法
• 绝对值是初中代数中的一个基本概念， 在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号 的问题，同学们要注意知识的创新运 用， 掌握好方法，顺利解决这些问 题．
知识回顾
• 1．去绝对值的符号法则： • 2．绝对值基本性质 • ①非负性：
• 3．绝对值的几； |a-b|表示数a 、数 b的两点 间的距离．
七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程
七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如∣ax＋b∣＝c(c≥0)的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax＋b＝c或ax＋b＝一C2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例1 方程∣x一5∣＋2x＝一5的解是_______．(四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解．例2 适当∣2a＋7∣＋∣2a－1∣＝８的整数a的值的个数有( )．(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解．例3 已知关于x的方程|ｘ|＝ａｘ＋１同时有一个正根和一个负根，求整数a的值．(第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把x用a的代数式表示，首先确定a的取值范围．例4解下列方程：．(1)|x－|3x＋1∣∣＝4；(天津市竞赛题) (2)|x＋3|－|x－1|＝x＋1(北京市“迎春杯”竞赛题) (3|x－1|＋|x－5|＝4(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．例5讨论关于x的方程|x－2|＋|x－5|＝a的解的情况．(南京市竞赛题)解题思路方程解的情况取决于a的情况，口与方程中常数2，5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况．因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具．A 级1．若x=9是方程|31x －2|=a 的解，则a=_______；又若当a=l 时，则方程|31x －2|=a 的解是_______．2．方程|31y ＋2|－|2y －53|的解是_______，方程3(|x|一1)=5x ＋1的解是_______． 3．已知|3990x ＋1995|=1995，那么x=_______(北京市“迎春杯”竞赛题) 4．已知|x|=x ＋2，那么19x 99+3x ＋27的值为_______．(“希望杯”邀请赛试题)5．方程|||x|－2|－1|=2的解是_______．6．满足(a －b)2＋(b －a)|a －b|=ab(ab ≠0)的有理数a 和b ，一定不满足的关系是( )(A)ab<O (B)ab>O (C)a+b>O (D)a+b<O7．有理数a 、b 满足|a ＋b|<|a －b|，则( )．(A)a ＋b 6≥O (B)a ＋b<0 (C)ab<O (D)ab≥O8．若关于x 的方程|2x －3|＋m=0无解，|3x －4|＋n=0只有一个解，|4x －5|＋k=0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．(A)m>n>k (B)n>k>m (C)k>m>n (D)m>k>n9．方程|x －5|＋x 一5=O 的解的个数为( )．(A)不确定 (B)无数个 (C)2个 (D)3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)lO ．若关于x 的方程||x －2|－1|=a 有三个整数解，则a 的值是( )．(A)0 (B)2 (C)1 (D)3． (全国初中数学联赛试题)11．解下列方程：(1)4－2|21x ＋1|=3； (2)|21x －1|=x －3； (3)|x －|2x ＋11||=|x ＋1|；(五城市联赛题) (4) |2x －1|＋|x －2|=|x ＋1|(全国通讯赛试题)12．求关于x 的方程||x －2|－1|－a=0(0<口<1)的所有解的和． ．(陕西省竞赛题)B 级1．关于x 的方程|a|x=|a ＋1|－x 的解是x=0，则a 的值是_______；关于x 的方程|a|x=|a＋1|－x 的解是x=l ，则有理数a 的取值范围是_______．2．若O<x<10，则满足条件|x －3|的整数a 的值共有_______个，它们的和是_______．(第十届“希望杯”邀请赛试题)3．若a>0，b<0，则使|x －a|＋|x －b|=a －b 成立的x 的取值范围是_______．(武汉市选拔赛试题)4．已知|a|＋a=0且a ≠一l ，那么11+-a a =_______．5．若有理数x 满足方程|1－x|=1＋|x|，那么化简|x －1|的结果是( )．(A)1 (B)x (C)x 一1 (D)1一x6．适合关系式|3x －4|＋|3x ＋2|=6的整数x 的值有( )个．(A)0 (B)l (C)2 (D)大于2的自然数7．当a>0，且|x －2|＋|x －5|<以时，则以下结论正确的是( )．(A)0.001<a<3 (B)O<a<0.01 (C)0<a<3 (D)a>38．已知方程|x|=ax+l 有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是( )．(全国初中数学联赛试题)(A)a=1 (B)a>－1 (C)a ≥1 (D)a<19．设a 、b 为有理解，且|a|>O ，方程||x －a|－b|=3有三个不相等的解，求b 的值．(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x －2|－|x －5|=a 有一解?有无数多解?无解?(江苏省竞赛题)。
七年级奥数竞赛——绝对值
七年级奥数竞赛——绝对值1、绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数。
符号表示：|a|={a,a>0 0,a=0−a,a<0或者|a|={a,a≥0−a,a<0或者|a|={a,a>0−a,a≤0辨析：如果一个数的绝对值是它本身，则这个数是；如果一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是 .2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
显然，任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.想一想：有理数a,b,c的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（）A. a+b+c>0B. |a+b|<cC. |a−c|=|a|+cD. |b−c|>|c−a|3、化简含有绝对值是式子，关键是去绝对值符号。
而要去绝对值符号，关键是看绝对值符号内的数a的正负性，即a>0,a<0,还是a=0. 如果已知条件没有给出a的的正负性，那么就应该对a的正负进行分类讨论。
当a>0时，|a|a =；当a<0时，|a|a= .例1 计算：（1）|13−12|+|14−13|−|14−12|=;(2) 已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a>b>c, 那么a+b−c= .练习1（1）|12004−12003|+|12003−12002|+|12002−12001|+|12001−12004||=;（2）已知|a|=3,|b|=5,那么|a+b|−|a−b|的绝对值等于 .（3）已知a的相反数是最大的负整数，b的绝对值是最小的正整数，则a+b= .（4）设a,b,c 分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且a≤b≤c, 则|a−b|+|b−c|+|c−a|可能取得的最大值是 .例2 若x<−2, 则y=|1−|1+x||等于（）A. 2+xB. −2−xC. xD. −x练习2：若0<a<1,−2<b<−1, 则|a−1|a−1−|b+2|b+2+|a+b|a+b的值是（）A. 0B. -1C. -2D. -3练习3：已知x=|a|a +|b|b+|c|c+|abc|abc，且a,b,c都不等于0，则x的所有可能值有 .练习3‘：已知a,b,c都不等于0，a+b+c=0, x=|a|a +|b|b+|c|c+|abc|abc，那么x的所有可能值有 .练习4：已知三个数a,b,c的积为负数，和为正数，且x=|a|a +|b|b+|c|c+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc,则ax3+bx2+cx+1的值为 .例3 (1) 如果|m−3|+(n+2)2=0,那么方程3mx+1=x+n的解是 . (2) 已知a,b,c是整数，且|a−b|+|c−a|=1, 则|c−a|+|a−b|+|b−c|= . 练习5：（1）若|a+b+1|与(a−b+1)2互为相反数，则a与b的大小关系是 . （2）求满足|a−b|+ab=1的非负整数对（a, b）的值.（3）已知|ab−2|+|a−2|=0, 求1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2006)(b+2006)的值.例4 (1)已知y=|x+1|+|x−1|，则y的最小值是（）A. 2B. 0C. 1D. -1变式：已知y=|2x+1|+|x−1|，则y的最小值是(2) y=|x+1|+|x−2|+|x−3|的最小值是, 此时x= .一般化：设a≤b≤c,则y=|x−a|+|x−b|+|x−c|在x= 时取到最小值 .练习6：已知y=|x−b|+|x−20|+|x−b−20|, 其中0<b<20, b≤x≤20, 那么y的最小值为 .练习7：已知(|x+1|+|x−2|)(|y−2|+|y+1|)(|z−3|+|z+1|)=36，求x+2y+ 3z的最大值和最小值.【参考答案】1、辨析：正数和0 负数和02、想一想：C3、1 ；-1例1（1）0（2）2或0练习1（1）32005002（2）6（3）2或0（4）16例2 B练习2：D练习3：±4、0练习4：1例3（1）−38(2) 2练习5（1）a<b（2）(1,0), (0,1), (1,1)（3）20072008例4（1）A变式：1.5(2) 4, 2一般化：b；c-a练习6：20练习7：最大值是15，最小值是-6。
初一奥数竞赛绝对值
初一奥数竞赛第2讲绝对值例1 a，b为实数，以下各式对吗？假设不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)假设｜a｜=b，那么a=b；(5)假设｜a｜＜｜b｜，那么a＜b；(6)若a＞b，那么｜a｜＞｜b｜．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．例5假设｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该知足的条件及此常数的值．练习二1．x是什么实数时，以劣等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜； ( 2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简以下各式： (2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．假设a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，关于知足p≤x≤15的x来讲，求T的最小值6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点别离为A，B，C，若是｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左侧；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情形都有可能答案解析：例1解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．( 2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．6)不对．当a＋b＞0时成立．例2解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．依照有理数加减运算的符号法那么，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再依照绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x例4解因为 abc≠0，因此a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情形加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很经常使用．例5解因为｜x-y｜≥0，因此y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．因此x+y的值为-1或-5．例6解 a，b，c均为整数，那么a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，因此只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．不管①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，因此｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．例7解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，因此必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得 2y=2002， y=1001，因此例8分析此题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．假设别离去掉每一个绝对值符号，那么是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．那个地址咱们为三个部份(如图1－2所示)，即如此咱们就能够够分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这种题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，如此就将数轴分成几个部份，依照变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方式又称为“零点分段法”．例9分析第一用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时， y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，因此y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时， y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，因此-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时， y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，因此0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时， y =(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，因此1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10分析此题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．假设能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得加倍简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点别离为A，B，C，D，X，那么｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜别离表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，确实是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，因此A，B，C，D的排列应如图1－3所示：因此当X在B，C之间时，距离和最小，那个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11分析与解要使原式对任何数x恒为常数，那么去掉绝对值符号，化简归并时，必需使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故此题只有2x-5x+3x=0一种情形．因此必需有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应知足的条件是现在原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．。
(人教版数学)七年级竞赛专题讲解：第五讲 解读绝对值
第五讲 解读绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l ．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 3．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．例题【例1】(1)已知321===c b a ，，，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)已知d c b a 、、、是有理数，169≤-≤-d c b a ，，且25=+--d c b a ， 那么=---c d a b ．( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)由已知条件求出c b a 、、的值，注意条件c b a >>的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解．【例2】 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或一lC ．2或一2D ．0或一2(山东省竞赛题)思路点拨 根据b a 、的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键【例3】已知12--b •ab 与互为相反数，试求代数式：)2002)(2002(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值． (“五羊杯”竞赛题)思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出b a 、的值．【例4】化简(1)12-x ； (2)31-+-x x ； (3)121++--x x ．思路点拨 (1)就012012<-≥-x x ，两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3在同一数轴上表示出来，就1<x ，1≤x<3，x ≥3三种情况进行讨论；(3)由02101=--=+x x ，，得3,11==-=x x x ，．【例5】已知a 为有理数，那么代数式4321-+-+-+-a a a a 的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．思路点拨 a 在有理数范围变化，4321----a a a a 、、、的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对a 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．注：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段a 、n a 2是非负数的两种重要形式，非负数有如下常用性质：(1) a ≥0，即非负敷有最小值为0；(2)若0=+++h b a ，则0====h b a②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤．学力训练1．若有理数x 、y 满足2002(x 一1)2 +0112=+-y x ，则=+22y x ．2．已知3,5==b a ，且a b b a -=-，那么b a += ．3．已知有理数c b a 、、在数轴上的对应位置如图所示： 则b a c a c -+-+-1化简后的结果是 ．湖北省选拔赛题)4．若b a 、为有理数，那么，下列判断中：(1)若b a =，则一定有b a =； (2)若b a >，则一定有b a >； (3)若b a >，则一定有b a >；(4)若b a =，则一定有22)(b a -=．正确的是 (填序号)5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，一l ，那么1+a 表示( )．A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题)6．已知a 是任意有理数，则a a --的值是( )．A ．必大于零B ．必小于零C 必不大于零D ．必不小于零7．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥8．如图，有理数b a 、在数轴上的位置如图所示，则在4,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 中，负数共有（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个9．化简：(1)3223++-x x ； (2)1331++--x x ．10．求满足1=+-ab b a 的非负整数对(a ，b)的值．(全国初中联赛题)11．若2-<x ，则=+-x 11 ；若a a -=，则=---21a a ．12．能够使不等式0)1)((<+-x x x 成立的x 的取值范围是 ．l3．a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么12+++-ab a b ab a ＝ ． 14．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c b a ≤≤，则a c c b b a -+-+-可能取得的最大值是 ．(江苏省竞赛题) ．15．使代数式x xx 43-的值为正整数的x 值是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ． 不存在的16．如果02=+b a ，则21-+-ba b a 等于（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．517．如果150<<p ，那么代数式1515--+-+-p x x p x 在15≤≤x p 的最小值是（ ）．A ．30B ．0C ．15D ．一个与p 有关的代数式18．设0=++c b a ，0>abc ，则cb a b ac a c b +++++的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或119．有理数c b a 、、均不为零，且0=++c b a ，设b a ca c bc b ax +++++=，试求代数式20029919+-x x 的值．20．若c b a 、、为整数，且19919=-+-a c b a ，求c b b a a c -+-+-的值．21．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．22．已知02003200232120032002321=-+-++-+-+-x x x x x ， 求代数式20032002212222x x x x +--- 的值．参考答案。
含绝对值竞赛题的求解策略
含绝对值竞赛题求解策略浙江上虞春晖中学 王启东（312353）有关含绝对值试题，尤其是绝对值与不等式综合试题在各级各类数学竞赛中频频出现，本文就此介绍一些常见求解策略。
1、凑配策略该策略是根据题设条件或结论进行凑配，如：分组、添项、裂项等方法，以达到解决问题目。
例1、函数)(x f 在]1,0[上连续，)1()0(f f =，且对任意不同]1,0[,21∈x x ， 都有|||)()(|2121x x x f x f -<-，求证：21|)()(|12<-x f x f （1983年全国联赛试题）解：Θ)(x f 在]1,0[上连续，∴)(x f 在]1,0[上有最大值和最小值。
不妨设最大值]1,0[,),(),(2121∈==t t t f m t f M 最小值（1）当21||21≤-t t 时，||||)()(||)()(212112t t t f t f x f x f -<-≤- 即：21|)()(|12<-x f x f（2）当21||21>-t t 时，设21t t < 即：2112>-t t|)()(||)()(|2112t f t f x f x f -≤-|)()1()0()(|21t f f f t f -+-= |)()1(||)0()(|21t f f f t f -+-≤ |1||0|21t t -+-< 21)(112<--=t t 若12t t <，同理可得：21|)()(|12<-x f x f ∴对任意]1,0[,21∈x x ，都有21|)()(|12<-x f x f2、裂项求和策略本策略是运用数列求和方法，巧妙地拆项、裂项，再相互抵消，以达到化简求解目。
例2、已知)2,,,2,1(≥=∈n n i R x i Λ满足1||1=∑=n i i x ，01=∑=ni i x ，求证：ni x ni i 21211-≤∑= （1989全国联赛试题） 证明：设k k x x x S +++=Λ21，Θ01=∑=ni ix，1||1=∑=ni i x∴0=n S ，且21||≤i S （)1,,2,1(-=n i Λ不妨设00=S ，则1--=i i i S S x ),1(N i n i ∈≤≤于是)111(1)(11111111+-=+-=-=∑∑∑∑∑=-==-==i i S i S i S S S i i x n i i n i i n i i i i n i ni i ∴)11(21)111(21)111(||11111n i i i i S i x n i n i i ni i -=+-≤+-≤∑∑∑-=-==∴n ix ni i 21211-≤∑=3、特殊化策略本策略思想是从特殊点、特殊图形、特殊值出发，借以问题部分与整体内在联系来考虑问题，以寻找解决问题突破口。
数学竞赛中含绝对值问题
竞赛中含绝对值的问题绝对值是初中代数中的一个基本概念,在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要注意知识的创新运用, 掌握好方法,顺利解决这些问题．一、直接推理法例1：已知0,>-<b a b a ,a b a b ab -+++则等于 A ab b a ++22.B ab -.C ab b a +--22.D ab a +-2.解：因为0>ba ,所以b a ,同号.又因为b a -<,即0<+b a ,所以b a ,必须同为负. 所以()()ab a ab b a b a ab b a b a +-=++----=+++-2.答案为D.说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号.二、巧用数轴法例2:设有理数c b a ,,在数轴上的对应点如图1-1所示,化简b c c a a b -+++-. 解: 由图可知,0,0,0<<>c b a ,且0>>>b a c .所以 0,0,0<-<+<-b c c a a b ．可得()c b b c c a c a a b a b -=-+-=+-=-,,．所以 原式=()()()c c b c a b a c b c a b a 2-=-+---=-++--.说明:本题是通过数轴,运用数形结合的方法确定字母的大小顺序,从而达到去掉绝对值的目的.三、零点分段法例3:已知40≤≤a ,那么a a -+-32的最大值等于A1.B5.C8.D3.解：1当20≤≤a 时, a a a a a 253232-=-+-=-+-a a a a a 253232-=-+-=-+-,在这一段内,当0=a 时a a -+-32取得最大值,最大值是5;2当32<<a 时, 13232=-+-=-+-a a a a ;3当43≤≤a 时, ()523232-=---=-+-a a a a a ,在这一段内,当4=a 时a a -+-32取得最大值,最大值是3;综上可知,当40≤≤a 时, a a -+-32的最大值是5.答案为B.说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事．解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的字母的值,这几个字母的值就是用以确定如何将字母的取值范围分段的零点.四、分类讨论法例4:如果d c b a ,,,为互不相等的有理数,且1=-=-=-b d c b c a ,那么d a -等于 A1.B2.C3.D4.解:已知c b ≠,可设c b <,由于c b c a -=-,所以c a -与c b -必互为相反数否则b a =,不合题意,即()c b a c b c a 2,=+--=-.又因为c b <,所以c a >. 由于b d c b -=-,所以c b -与b d -必相等否则d c =,不合题意,即b d c b -=-,从而得d c b +=2.因为c b <,所以d b >.因此有a c b d <<<. 所以()()()3111=++=-+-+-=-=-d b b c c a d a d a .若设c b >,同理可得3=-d a .答案为C.说明:本例的解法是采取把b,c 分为c b <和c b >两种情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用．本题还可以分为b a <和b a >两种情况进行讨论,同学们不妨试一试.。
活跃在竞赛中的含绝对值不等式问题
Ｆ （ ） ＝ Ｊ ｓ ｉ ｎ ２ ＋ ） Ｉ ， 只 要 取 ＝ 詈 ， 。 ＝ ５ ， ｇ － ￣ ， ， ： ， 使 得 Ｆ （ ） 取 得 最 大 值 以 下 用 反 证 法 证 明 它 就 是 要 求 的 最 小 的 Ｍ 值 ． 若 设 Ｆ （ ） ≤ （ ０ ≤ ≤ ） ， 则 有 （ 詈 ） ≤ ， Ｆ （ ） ≤ ， Ｆ （ ） ≤ ， 即
１
＋
１
＋
１
＋
１
．
，
矛 盾． 因此 ， 存 在 ０ ， Ｙ ｏ ， 使０ ≤ ｏ ≤１ ， ０≤） ， ห้องสมุดไป่ตู้ ≤１ ， 且Ｉ ｘ ｏ ｙ ０ － ｆ （ ｏ ）一 ｇ （ Ｙ ｏ ） Ｉ ≥－ ２ － ．
若 ， … 满 足条件 ｎ
＝
。，
砉 Ｉ Ｘ ｉ ｌ ＝ １ ， 试 证 ： ｆ ｘ ＿ Ｌ ｆ ≤ １ 一 １ ．
（ １ ９ ８ ９年 全 国高 中数 学联 赛试 题 ）
３ 正 难则 反
对 于有 些 含绝对 值 的不 等 式 问题 ， 当我们 直接 去解 决有 困难 时 ， 不妨 换 一个 角度 ， 从其 反 面去思 考 ， 得 出矛 盾后 否定 假设 从 而证 明原命 题 的正 确性 ， 这就 是正难 则 反思 想 ， 体 现在解 题 方法 上就是 反证 法． 例 ３ 设厂 （ ） ， ｇ （ ） 是定义在 ［ ０ ， １ ］ 上 的 函数 ， 求证 ： 存 在 。 ， Ｙ ｏ ， 使 ０≤ ≤１ ， ０ Ｙ ｏ ≤１ ， 且Ｊ ． Ｘ ０ Ｙ ｏ 一
一 — ≤ ≤ ｝ 了 （ １ ≤ ≤ ｎ ） ． ・
一 —
１
≤
≤
一
由 Ａ ｂ ｅ ｌ 变 换 ， 得
初中数学竞赛专题选讲绝对值(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.18）绝对值一、内容提要1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧=<->=)0(0)0()0(a a a a a a2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如：（1）化简 )2(-x x解：当x=0, x=2时, )2(-x x =0；当x<0或x>2时, )2(-x x =x(x －2)=x 2－2x ；当0<x<2时，)2(-x x =－x(x －2)=－x 2+x.（2）解方程2-+x x =6.解：当x<0时，x=－2；当0≤x ≤2时，方程无解；当x>2时，x=4.∴原方程的解是：x=－2， x=4..（3）作函数y=2-+x x 的图象.解：化去绝对值符号，得y=－2x+2 (x<0)；y=2 (0≤x ≤2) ；y=2x －2 (x>2).分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=2-+x x 的图象. 0 2X<0 0<x<2 x>23. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如： ①解方程3=x ； ②解不等式3<x ； ③解不等式32>＋x . 解：①∵3=x 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和－3，∴方程3=x 的解是x=3, x=－3.②∵3<x 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式3<x 的解集是 －3＜x ＜3.③∵2+x 的零点是x=－2,∴32>＋x 的几何意义是：x 是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数，∴32>＋x 的解集是x<－5或x>1.（如下图）4. 绝对值的简单性质：①绝对值是非负数； ②两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x 轴向上翻折作函数图象：①y=1-x ②y=22--x x1-2 0 --5（2） 当f （－x ）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象.例如：y=x 2－2x －3的图象， 可先作y=x 2+2x －3自变量x<0时的图象（左半图） 再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.（3） 把y=x 的图象向上平移a 个单位，所得图象解析式是y=a x +；把y=x 的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=3－x .（4） 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.二、例题例1. 已知方程x ＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a 的值.（1987年全国初中数学联赛题）解：当x<0时，原方程为－x=ax+1, x=011<+a －, ∴ a+1>0. ∴a>－1；当x>0时，原方程为x=ax+1, x=011>a－, ∴1－a>0. ∴a<1.∵方程有一个负根并且没有正根，∴a>－1且a ≮1，∴a 的取值范围是a ≥1.例2. 求函数y=2x x -3－的最小、最大值. 解：当x<0时， y=－x+6； 当0≤x<3时，y=－3x+6；当x ≥3时， y=x －6 .根据图象有最低点而没有最高点∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时).例3. 解方程：①x x -=+42； ②421=-++x x .解：①∵点（x ）到点A （－2）和点B （4）的距离相等（如下图），∴x=1.②∵点（x ）到点A （－1）与到点B （2）的距离的和等于4，AB ＝3∴x=2.5, x=-1.5.例4. 解不等式: ①1≤2+x ≤3； ②121>--+x x .解：①点（x ）到点A （－2）的距离大于或等于1而小于或等于3在数轴上表示如图，∴不等式的解集是： －5≤x ≤－3 或－1≤x ≤1②点(x) 到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.在数轴上表示，如图：∴不等式的解集是x>1.例5. a 取什么值时，方程a x =--12 有三个整数解？ (1986年全国初中数学联赛题)解：化去绝对值符号，得12--x =±a, 2-x =1±a , x －2=±(1±a)，∴x=2±(1±a) .当a=1时，x 恰好是三个解4，2，0.用图象解答更直观；（1）先作函数 y=12--x 图象，（2）再作y=a(平行于横轴的直线 )与y=12--x 图象相交，恰好是三个交点时，y=1,即a=1.本题若改为：有四个解，则0<a<1；两个解，则 a=0 或a>1；一个解，则a 不存在；无解，则a<0.三、练习1. 方程3+x =4的解是＿＿＿＿＿＿＿.2. 方程6-2-+x x =0的解是________.3. 方程21-++x x =3的解是________.4. 方程x x +-3=5的解是＿＿＿＿＿＿＿.5. 不等式2≤3 -x ≤5的解集是___________________.6. 不等式21-++x x <5的解集是_______________________.7. 不等式21-++x x <3的解集是_______________________.8. 不等式11-2-<x x 的解集是_______________________.9. 已知=-2)3(x 3-x, 那么 =+-x x 1_______________.10. 关于x 的方程x =ax+2有根且只有负根，求a 取值范围.11. a 取什么值时，方程a x =--12无解？有解？有最多解？12. 作函数y=312-+-++x x x 的图象；并求在－3≤x ≤3中函数的最大、最小值.13. 解方程451=-+-x x .14. 作函数y=12+-x x 的图象.15. 选择题：①.对于实数x ，不等式1≤｜x －2｜≤7等价于（ ）（A ） x ≤1或x ≥3 （B ）1≤x ≤3 （C ）－5≤x ≤0（D ）－5≤x ≤1或3≤x ≤9 （E ）－6≤x ≤1或3≤x ≤10②不等式｜x －1｜+｜x+2｜<5的所有的实数解的集合是（ ）（A ）{}23<<-x x ：(B) {}21<<-x x ： (C) {}12<<-x x ： (D) {}5.35.1<<-x x ：(E) φ（空集）参考答案1. －7，1.2. .2. –2.3. 3. –1≤x ≤2.4. 4. –1，4.5. 5.－2≤x ≤0， 5≤x ≤86. –2<x<37.空集.28. 0<x<39.当x<1时，原式=1；当1≤x≤3时，原式=2x－1.10.仿例1.11.仿例512. 函数的最大值是11，最小值是5.13. 1≤x≤5.15.(D),(A).。
七年级数学竞赛 第6讲 绝对值
知能概述： 从数轴上看，|a|表示数 a 的点到原点的距离，|a−b|表示数 a，数 b 的两点间的距离。解与绝对值相关最
值问题，借助数轴形象而直观。 去掉绝对值符号是解绝对值问题的出发点，分类讨论法是去掉绝对值符号的关键，而分类讨论法有丰富
内涵，常随着问题不同(如多元、多个绝对值等)呈现不同的讨论方式。
11．已知 a，b，c 均为整数，且满足|a−b|10+|a−c|10 =1，则|a−b|+|b−c|+|c−a|=(
A．1
B．2
C．3
D．4
). (全国初中数学联赛题)
12． 已知 x，y 都不等于 0，若|x +y|=||x|−|y||，则( ).
A．x>0，y>0
B．x<0，y<0
C．xy<0
17．已知 a，b，c，d 是有理数，|a −b|≤9，|c−d|≤16，且|a−b−c+d|=25，求|b−a|−|d−c|的值。 (“希望杯”邀请赛试题)
18．将 1，2，…，200 这 200 个数任意分为两组，每组 100 个数，将一组按由小到大的顺序排列(记为 a1<a2 <…<a100)，另一组按由大到小的顺序排列(记为 b1>b2>…>b100)，试求|a1−bl|+|a2−b2|+…+|a100−bl00|的值。
A．0
B．−4，0，4
C．−4，−2，0，2，4
D．−4，−2，2，4
解题思路：根据 a，b，c 的符号的所有可能情况讨论。
)。 (美国数学竞赛题)
例 3．（1）巳知|ab−2|与|b−1|互为相反数，试求代数式
初中数学重点梳理：含绝对值的方程及方程组
含绝对值方程知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中含绝对值方程的常见题型及其求解方法，本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=． （2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+． （4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=． （5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =； ②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．例题精讲【试题来源】【题目】若关于x 的方程｜｜x-2｜-1｜=a 有三个整数解．则a 的值是多少？【答案】a=1【解析】 解： 若a ＜0，原方程无解，所以a ≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a ，所以 ｜x-2｜=1±a ．(1) 若a ＞1，则｜x-2｜=1-a ＜0，无解｜x-2｜=1＋a ，x 只能有两个解x=3+a 和x=1-a ．(2) 若0≤a ≤1，则由｜x-2｜=1+a ，求得x=1-a 或x=3+a ；由｜x-2｜=1-a ，求得x=1+a 或x=3-a ．原方程的解为x=3+a ，3-a ，1+a ，1-a ，为使方程有三个整数解，a 必为整数，所以a 只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a ≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．综上可知，a=1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围【答案】a≥1【解析】解：设x为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a＞-1，反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即所以a＜1，反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？【答案】a≥3【解析】解：(1)当x≤-2时，｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．(2)当-2＜x＜1时，｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．(3)当x≥1时，｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．所以，只有当a≥3时，原方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是【答案】0【解析】解：根据关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，可得出：a＞0，由|4x﹣3|+b=0有两个解，可得出：b＜0，由|3x﹣2|+c=0只有一个解，可得出：c=0，故|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|可化简为：|a|+|b|﹣|a﹣b|=a﹣b﹣a+b=0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】(北京市“迎春杯”竞赛题)【题目】│x+3│-│x-1│=x+1;【答案】为x=-5,-1,3【解析】解：当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】(第15届江苏省竞赛题)【题目】已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.【答案】-3，6【解析】解：|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|，∴|x+2|+|1-x|+|y-5|+|1+y|=9，（1）当x≥1，y≥5时，x+2+x-1+y-5+y+1=9，2x+2y=12，x+y=6，（2）当-2≤x＜1，-1≤y＜5时，x+2+1-x+5-y+y+1=9，但-3≤x+y＜6，（3）当x＜-2，y＜-1时，-x-2+1-x+5-y-1-y=9，-2x-2y=6，x+y=-3，故x+y最小值为-3，最大值为6．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况【答案】如下解析【解析】解：（1）当k<0时,原方程无解（2）当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;（3）当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k此时原方程有四解:x=-3±(2±k);（4）当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;（5）当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】(“华杯赛”邀请赛试题)【题目】设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.【答案】b=±3【解析】解：由题意得|x-a|=b±3，x-a=±(b±3)x-a=b+3,b-3,-b+3,-b-3有三个则其中两个相等，b+3和b-3,-b+3和-b-3不会相等所以b+3=-b+3，即b=0此时只有两个3和-3所以b+3=-b-3，即b=-3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b+3，即b=3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b-3，即b=0此时只有两个3和-3所以b=±3【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若关于的方程|1﹣x|=mx有解，则实数m的取值范围【答案】m≥0或m＜﹣1【解析】解： |1﹣x|=mx，①当x≥1时，x﹣1=mx，（1﹣m）x=1，m≠1时，x=，∴≥1，解得：0＜m＜1；②当x＜1时，1﹣x=mx，（1+m）x=1，m≠﹣1时，x=，＜1，∴1+m＜0或1+m≥1，∴m＜﹣1或m≥0；综上所述：解集是：m≥0或m＜﹣1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x+3|+|x﹣6|=a有解，那么a的取值范围是【答案】a≥9【解析】解：（1）当x≥6时，原方程化为x+3+x﹣6=a，∴x=≥6∴a≥9（2）当﹣3≤x＜6时，原方程化为﹣x﹣3﹣x+6=a，∴x=＜﹣3，∴a＞9（3）当x＜﹣3时，原方程化为﹣x﹣3+6﹣x=a∴x=＜﹣3∴a＞9综上，a≥9方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是【答案】a＞1或a≤﹣1【解析】解：①当ax﹣a≥0，a（x﹣1）＞0，解得：x≥1且a≥0或x≤1且a≤0，②正根条件：x＞0，x=ax﹣a，即x=＞0，解得：a＞1 或a＜0，由①，即得正根条件：a＞1且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，③负根条件：x＜0，得：﹣x=ax﹣a，解得：x=＜0，即﹣1＜a＜0，由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（此时0＜x≤1，没负根）综合可得，a＞1或a≤﹣1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有【答案】﹣3，﹣2，﹣1，0【解析】解：（1）当2a+7≥0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7+2a﹣1=8解得a=0.5解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得，a≥﹣3.5，a≥0.5，所以a≥0.5，而a又是整式，故a=0.5不是方程的一个解；（2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7﹣2a+1=8解得a=﹣3.5解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，a≤﹣3.5，a≤0.5，所以a≤﹣3.5，而a又是整数，故a=﹣3.5不是方程的一个解；（3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7﹣2a+1=8解得a可为任何数．解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，a≥﹣3.5，a≤0.5，所以﹣3.5≤a≤0.5，而a又是整数，故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．（4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7+2a﹣1=8，可见此时方程不成立，a无解．综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】5习题演练【试题来源】【题目】方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是【答案】2【解析】解：①当x≥2时，由原方程，得3x+x﹣2=4，即4x﹣2=4，解得x=3/2（舍去）；②当0＜x＜2时，由原方程，得3x﹣x+2=4，解得x=1；③当x＜0时，由原方程，得﹣3x﹣x+2=4，解得x=﹣．综上所述，原方程有2个解【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个【答案】0,1【解析】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥4/3时，原方程就可化简为：3x﹣4+3x+2=6，解得：x=4/3；第二种：当﹣2/3＜x＜4/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4+3x+2=6，恒成立；第三种：当x≤﹣2/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4﹣3x﹣2=6，解得：x=﹣2/3；所以x的取值范围是：﹣2/3≤x≤4/3，故符合条件的整数位：0，1【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个【答案】2【解析】解：根据题意，知（1）|x﹣2|﹣|x﹣6|=1，①当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；②当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=1，即﹣4=1，显然不成立；③当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=1，解得x=4.5；（2）|x﹣2|﹣|x﹣6|=﹣1，④当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=﹣1，解得x=﹣3，不合题意，舍去；⑤当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=﹣1，即﹣4=﹣1，显不成立；⑥当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=﹣1，解得x=3.5；综上所述，原方程的解是：x=4.5，3.5，共有2个【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则A．0，2，4全是根 B.0，2，4全不是根 C.0，2，4不全是根 D.0，2，4之外没有根【答案】A【解析】解：①当x≥4时，原方程化为x﹣4=0，解得x=4，在所给的范围x≥4之内，x=4是原方程的解；②当3≤x＜4时，原方程化为4﹣x=0，解得x=4，不在所给的范围3≤x＜4之内，x=4不是原方程的解；③当2≤x＜3时，原方程化为x﹣2=0，解得x=2，在所给的范围2≤x＜3之内，x=2是原方程的解；④当1≤x＜2时，原方程化为2﹣x=0，解得x=2，不在所给的范围1≤x＜2之内，x=2不是原方程的解；⑤当0≤x＜1时，原方程化为x=0，在所给的范围0≤x＜1之内，x=0是原方程的解；⑥当﹣1≤x＜0时，原方程化为x=0，不在所给的范围﹣1≤x＜0之内，x=0不是原方程的解；⑦当﹣2≤x＜﹣1时，原方程化为x+2=0，解得x=﹣2，在所给的范围﹣2≤x＜﹣1之内，x=﹣2是原方程的解；⑧当x＜﹣2时，原方程化为﹣2﹣x=0，解得x=﹣2，不在所给的范围x＜﹣2之内，x=﹣2不是原方程的解．综上，可知原方程的解为x=4，2，0，﹣2．故选A．【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c的取值范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c ≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，．故答案为：c＞3或1＜c＜3【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。