关于圆锥曲线的切线作法的几种初等思考7页word

从高中数学角度出发的圆锥曲线确

切线作法的几种思考

江苏省淮北中学 连少雷

许多资料文献，都介召了圆锥曲线的切线的尺规作法。那么，作圆锥曲线的切线是否存在规律，有没有统一的初等方法或是尺规作法呢？ 先看比较特殊的情况说起，过圆锥曲线上一点的切线方程的一种初等求法：

先看一个具体问题：

求过椭圆13422=+

y x 上一点)2

3

,1(P 的切线方程． 在中学阶段解决此类问题，一般采用∆方法，即设切线方程为

)1(2

3

-=-x k y ，代入13422=+y x ，整理得关于x 的一元二次方程：子选手 03124)128()43(2222=--++-++k k x k k x k ，

通过判别式∆＝0)3124)(43(4)128(2222=--+-+-k k k k k ，解得

2

1

-

=k ，故所求切线方程为042=-+y x ． 这种方法思路直，用到知识少，学生容易掌握，不足之处是运算量偏大，出错率高．那么能否给出一种求解思路简单，而运算量又较小的方法呢？

命题：),(00y x P 为圆锥曲线0),(:=y x f C 上一点，则曲线C 上过P 点的切线方程为0)2,2(),(00=---y y x x f y x f （＊）

证明：因0),(=y x f 为二次曲线方程，知方程（＊）代表的是一条直线，记为l ．假设直线l 与曲线C 除了点),(00y x P 外还有一个公共点),(111y x P ，则有0),(11=y x f 和0)2,2(),(101011=---y y x x f y x f 同时成立，从而

0)2,2(1010=--y y x x f ，这表明),(111y x P 关于点),(00y x P 的对称点)2,2(10102y y x x P --也在曲线C 上，因1,P P 点在直线l 上，故2P 点也在直

线l 上，可见直线l 与曲线C 有三个公共点，这与直线与二次曲线最多只有两个公共点矛盾，从而证明了直线l 与曲线C 有且只有一个公共点．

（１）当0),(=y x f 表示椭圆时，由于椭圆是封闭曲线，直线l 就是切线，方程（＊）即为切线方程．

（２）当0),(=y x f 表示双曲线时，只要断定直线l 与双曲线的渐近线不平行，就能证明直线l 就是切线，方程（＊）为其切线方程．

设双曲线C 方程：)0,0(122

22>>=-b a b y a x ，则方程（＊）：

02

022020202=-+-x b y a y y a x x b ．

当00≠y 时，其斜率020

2y a x b k =，因渐近线斜率为a b

±，若a b y a x b =0202 或

a

b

y a x b -

=0

202，则,000=-ay bx 或,000=+ay bx 从而0202202=-y a x b ，与),(00y x P 在双曲线C 上，满足222

022

02b a y a x b =-矛盾，故直线l 与双曲线

的渐近线不平行；又当00=y 时，双曲线C 的切线方程为0x x =，也满足方程（＊），从而知方程（＊）为双曲线C 的切线方程．

（３）当0),(=y x f 表示抛物线时，只要断定直线l 与抛物线的对称轴不平行，就能证明直线l 就是切线，方程（＊）为其切线方程．

设抛物线C 的方程：)0(22>=p px y ，则方程（＊）：

002

00=-+-px y y y px ．

当00≠y 时，其斜率00

≠=

y p

k ，故直线l 与抛物线C 的对称轴不平行；又当00=y 时，抛物线C 的切线方程为0x x =，也满足方程（＊），从而知方程（＊）为抛物线C 的切线方程．

综上所述，方程（＊）为圆锥曲线C 上过P 点的切线方程． 下面用此命题给出的方法解决本文一开始提出的问题．

解：椭圆13422=+y x 关于点)2

3,1(P 对称的椭圆方程为13

)3(4)2(2

2=-+-y x ， 将这两个椭圆方程相减：-+

3422y x 03

)3(4)2(22=---y x ， 整理得042=-+y x ，即为所求的切线方程．

更为一般的情况，过曲线外一点的曲线的切线如何画出呢？我们就从圆锥曲线的切线与过切点的弦来看。

曲线如果在某一点处可导，那么该点处的导数的几何意义是该点处切

线的斜率。以椭圆型函数为例，设)()000,,,y a b x a P x y =

>>≤为其图象上异于长轴端点的任意一点，利用复合函数求导法则，

2020x x b x y a y ='==-；对于)0,y a b x a =>>≤，也有

20

2

x x b x y a y ='=-。如果利用复合函数求导法则，对

222222220,220b x a y a b b x a y y '+-=+⋅=有，当()00,P x y 为其上一点，

()0

20

020

0x x b x y y a y ='=-≠。这样在()00,P x y 处的切线方程为222200b x x a y y a b +=。当00y =时，切线为x a =±，也适合上式。故椭圆曲线上任意一点处的切线方程为222200b x x a y y a b +=。()00,P x y 处切线方程的纵、横截距分别为

200,b E y ⎛⎫' ⎪⎝⎭、20,0a D x ⎛⎫

' ⎪⎝⎭

，具有对称性。 当()00,P x y 在椭圆外，即22222200b x a y a b +>时，过()00,P x y 的切线有两条。设切点为()11,R x y 、()22,S x y ，则切线PR 、PS 方程分别为

222211b x x a y y a b +=和222222b x x a y y a b +=，()00,p x y Q 在切线上，故有22221010b x x a y y a b +=和22222020b x x a y y a b +=，此两式又表明()11,R x y 、()

22,S x y 满足222200b x x a y y a b +=，故对应于点()00,P x y 的切点弦RS 所在直线方程为

2

2

22

00b x x a y y a b +=，切点弦的纵、横截距也为200,b E y ⎛⎫' ⎪⎝⎭、20,0a D x ⎛⎫

' ⎪⎝⎭

，切点

弦的纵、横截距的对称性，为我们寻找切点的位置，统一圆锥曲线的尺规作法提供了思路。 （1）椭圆的切线

设椭圆C 的方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，点()00,P x y 为椭圆外一点，切

线PR 、PS 分别与椭圆相切于R 、S 点，则切点弦RS 所在的直线方程为

222200b x x a y y a b +=。利用平面几何中直角三角形的比例中项定理，结合对

称找点法，可以利用直尺和圆规确定两个切点的位置。

作法：